Podstawy Automatyki - Wykład 3 - charakterystyki ... · PDF fileJakub Możaryn Podstawy...

Podstawy Automatyki

Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe członydynamiczne

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2017

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

cz.1: Charakterystyki częstotliwościowe


Wstęp

Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu(układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych,więc teoretycznie trwających od t = −∞.

W analizie układów liniowych charakterystyki częstotliwościowesąwykorzystywane do badania m.in. stabilności układów, a takżeokreślonych własności dynamicznych układów.

Określają w funkcji częstotliwości:

stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia

przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem

Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych:

charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista,

logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykresBode’a)

logarytmiczna charakterystyka amplitudowo- fazowa (wykres Blacka)dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek : Wyznaczanie charakterystykczęstotliwościowych

u(t) = A1 sin[ωt] (1)

y(t) = A2 sin[ω(t − tϕ)] (2)

gdzie:Ai - amplituda sygnału,ω - częstotliwość sygnału,tϕ - opóźnienie fazy sygnałuwyjściowego względem sygnałuwejściowego.

Odpowiednio tϕ < 0 - ujemneprzesunięcie fazowe, tϕ > 0 -dodatnie przesunięcie fazowe,

Rysunek : Sygnał wejściowy

Rysunek : Sygnał wyjściowy, ujemneprzesunięcie fazowe



Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowegomożna wyrazić jako przesunięcie w czasie o czas tϕ i wtedy sygnałwyjściowy opisywany jest funkcją

y(t) = A2 sin[ω(t − tϕ)] (3)

lub jako przesunięcie kątowe ϕ(ω) = ωtϕ, wtedy

y(t) = A2 sin[ωt − ϕ] (4)



Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnałysinusoidalnie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmowąG (jω).

Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniemFouriera, które funkcji czasu f (t) przyporządkowuje transformatę F (jω)zgodnie z zależnością zwaną całką Fouriera:

F (jω) =

∞∫−∞

f (t)e−jωtdt (5)

Transmitancja widmowa

Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnałuwyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego.

Gjω =y(jω)

x(jω)(6)



Między transmitancją widmową, a transmitancją operatorową istniejeformalny związek

G (jω) = G (s)|s=jω (7)

wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace’a i Fouriera.



Z własności transformaty Laplace’a - twierdzenie o przesunięciu wdziedzinie zmiennej rzeczywistej

L{f (t + τ)} = L{f (t)}eτs

można napisać transmitancję widmową obiektu w przypadku sygnałusinusoidalnego na jego wejściu

G (s) =L {A2(ω)sin[ω(t + tϕ)]}

L {A1sin[ω(t)]}=

A2(ω)

A1

L {sin[ω(t)]} etϕs

L {sin[ω(t)]}=

A2(ω)

A1etϕs

(8)Ponieważ

G (jω) =Y (jω)

U(jω), G (jω) = G (s)|s=jω, tϕ =

ϕ(ω)

ω

to

G (jω) =A2(ω)

A1etϕs |s=jω =

A2(ω)

A1etϕjω =

A2(ω)

A1e jϕ(ω) (9)



Transmitancję widmową zapisuje się następująco

G (jω) =A2(ω)

A1e jϕ(ω) = M(ω)e jϕ(ω) (10)

gdzie:

M(ω) = A2(ω)A1- moduł transmitancji widmowej

ϕ(ω) - argument transmitancji widmowej

W transmitancji można wyróżnić 2 składowe

G (jω) = M(ω)e jϕ(ω) = P(ω) + jQ(ω) (11)

gdzie:

P(ω) - część rzeczywista transmitancji widmowej

Q(ω) - część urojona transmitancji widmowej


Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona wpłaszczyźnie zmiennej zespolonej, która jest miejscem geometrycznymkońca wektora transmitancji widmowej G (jω) przy zmianach ω = 0→∞

Rysunek : Charakterystykaamplitudowo-fazowa

M(ω) =√

[P(ω)]2 + [Q(ω)]2 (12)

ϕ(ω) = arctg(Q(ω)

P(ω)

)(13)

P(ω) = M(ω) cos[ϕ(ω)] (14)

Q(ω) = M(ω) sin[ϕ(ω)] (15)

M(ω) = P(ω) cos[ϕ(ω)] + Q(ω) sin[ϕ(ω)] (16)



Rysunek : Charakterystykilogarytmiczne


Częstotliwościowe charakterystykiamplitudowa i fazowa sąprzedstawiane na dwóch oddzielnychwykresach:charakterystyka amplitudowaL(ω) = |G (jω)| w zależności odczęstości ω ,hharakterystyka fazowaϕ = argG (ω) w zależności odczęstości ω.

Moduł logarytmiczny (jednostka -decybel)

L(ω) = 10log10M2(omega)

= 20 logM(ω)[dB](17)


cz.2: Podstawowe człony dynamiczne


Wstęp

W złożonych układach automatyki można często wyodrębnić szeregnajprostszych niepodzielnych już elementów funkcjonalnych. Ichwłaściwości można przyporządkować z pewnym przybliżeniem zaledwiekilku podstawowym modelom matematycznym. Abstrakcyjne elementy owłaściwościach odpowiadających tym modelom nazywamypodstawowymi (elementarnymi) liniowymi członami dynamicznymi.

Opis:

równanie ruchu,

transmitancja operatorowa,

charakterystyka statyczna,

odpowiedź na wymuszenie skokowe,

transmitancja widmowa,

charakterystyka amplitudowo - fazowa (Nyquist)

charakterystyki logarytmiczne (Bode)


Podstawowe człony dynamiczne

y(t) = ku(t) (18)człon proporcjonalny(bezinercyjny)

Tdy(t)

dt+ y(t) = ku(t) (19) człon inercyjny

Tdy(t)

dt= u(t), lub

dy(t)

dt= ku(t) (20)

człon całkujący

y(t) = Tdu(t)

dt(21)

człon różniczkującyidealny

Tdy(t)

dt+ y(t) = Td

du(t)

dt(22)

człon różniczkującyrzeczywisty

T 2d2y(t)

dt+2ξT

dy(t)

dt+y(t) = ku(t) (23)

człon różniczkującyoscylacyjny, jeżeli0 < ξ < 1

y(t) = u(t − T0) (24) człon opóźniający


Elementy bezinercyjne

Rysunek : Przykłady elementów bezinercyjnych

a)

U2(t) =R2

R1 + R2U1(t)

b)

y(t) =b

ax(t)

c)

F2(t) =d22d21

F1(t)

Równanie ruchu

y(t) = ku(t) (25)

gdzie: k - wzmocnienie


Człon proporcjonalny

Równanie dynamiki

y(t) = ku(t) (26)

Charakterystyka statyczna

y = ku (27)

Transmitancja operatorowa

G (s) =Y (s)

U(s)= k (28)

Odpowiedź skokowa

y(t) = L−1[ust1sk] = kust

(29)

Rysunek : Charakterystyka statycznaczłonu proporcjonalnego

Rysunek : Odpowiedź na wymuszenieskokowe członu proporcjonalnego




Gjω = G (s)|s=jωk (30)

P(ω) = k , Q(ω) = 0

M(ω) = 0 (31)

L(ω) = 20 log k[dB] (32)

ϕ(ω) = 0 (33) Rysunek : Charakterystykaamplitudowo-fazowa



L(ω) = 20 log k[dB] (34)

ϕ(ω) = 0 (35)

Rysunek : Logarytmicznecharakterystyki amplitudowa i fazowa


Elementy inercyjne

Rysunek : Element inercyjny

gdzie: p1 - ciśnienie przed zwężką, p2 - ciśnienie w zbiorniku, V - objętośćzbiornika.

Założenia:

zmiany ciśnienia w zbiorniku są powolne i nie powodują zmian jegotemperatury (zmiany ciśnienia wg przemiany izotermicznej),

w zwężce występuje przepływ laminarny.


Elementy inercyjne

Równanie stanu gazu (prawo Clapeyrona):

pV = mRΘ (36)

gdzie: m - masa powietrza, R - stała gazowa, Θ - temperatura.zakładając

Θ = const

m =p2(t)V

RΘ(37)

dm(t)

dt=

V

RΘ

dp2(t)

dt(38)

G =dm(t)

dt= α(p1(t)− p2(t)) (39)

gdzie: G - strumień masy, α - współczynnik proporcjonalności.

V

RΘ

dp2(t)

dt= α(p1(t)− p2(t)) = αp1(t)− αp2(t) (40)

ostatecznieV

αRΘ

dp2(t)

dt+ p2 = p1 (41)


Elementy inercyjne


gdzie: R- współczynnik tarcia lepkiego w łożyskach

Jdω(t)

dt + Rω(t) = M(t) (42)

J

R

dω(t)

dt + ω(t) =

1RM(t) (43)


Elementy inercyjne

Rysunek : Element inercyjny - czwórnik RL

U1(t) = LdI (t)

dt+ U2(t) (44)

I (t) =U2(t)

R(45)

L

R

dU2(t)

dt+ U2(t) = U1(t) (46)


Elementy inercyjne

Równania ruchuprzykładowych elementówinercyjnych a)

V

αRΘ

dp2(t)

dt+ p2 = p1

b)

J

R

dω(t)

dt + ω(t) =

1RM(t)

c)

L

R

dU2(t)

dt+ U2(t) = U1(t)

Równanie ruchu

Tdy(t)

dt+ y(t) = ku(t) (47)

gdzie: T - stała czasowa.


Elementy inercyjne


Wyznaczyć równanie ruchu tłumikahydraulicznego, którego wielkościąwejściową jest przesunięcie x(t)końca sprężyny o sztywności C , awyjściową przesunięcie tłoka y(t).Należy założyć:brak ściśliwości oleju,przepływy pomiędzy komoramitłumika mają charakterlaminarny.


Człon inercyjnyRównanie dynamiki

Tdy(t)

dt+y(t) = ku(t) (48)


y = ku (49)


G (s) =Y (s)

U(s)=

k

Ts + 1(50)

Odpowiedź skokowa

y(t) = L−1[ust1s

k

Ts + 1]

= ustk(1− e

−tT

)(51)

Rysunek : Charakterystyka statycznaczłonu inercyjnego

Rysunek : Odpowiedź na wymuszenieskokowe członu inercyjnego


Człon inercyjny


Gjω = G (s)|s=jω =k

Ts + 1|s=jω =

k

Tjω + 1= P(ω) + jQ(ω) (52)

P(ω) =k

T 2ω2 + 1, Q(ω) =

−kTωT 2ω2 + 1

(53)

Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa


Człon inercyjny

charakterystyka amplitudowa

M(ω) =k

√T 2ω2 + 1

(54)

L(ω) = 20 log k − 20 log√

T 2ω2 + 1[dB]

(55)

dla

ω �1

T= ωs (56)

L(ω) = 20 log k[dB] (57)

dla

ω �1

T= ωs (58)

L(ω) = (20 log k−20 log√

T 2ω2 + 1)[dB](59)

charakterystyka fazowa

ϕ = −arctg(Tω) (60)



Elementy całkujące

Rysunek : Elementy całkujące


Elementy całkujące

a)

Q =

{αb

√2ρ

(pz − ps)

}x(t) = Bx(t)

Q1 = Q2 = Bx(t) = Ady(t)

dt

A

B

dy(t)

dt= x(t) (61)

b)

Tϕ(t)

dt=ω

rx(t) (62)

Równanie ruchu

Tdy(t)

dt= u(t) (63)

lubdy(t)

dt= ku(t) (64)


Człon całkujący

Równanie dynamiki

Tdy(t)

dt= u(t) (65)


u = 0 (66)


G (s) =Y (s)

U(s)=1Ts

(67)

Odpowiedź skokowa

y(t) = L−1[ust1s

1Ts

] = ustt

T(68)

Rysunek : Charakterystyka statycznaczłonu całkującego

Rysunek : Odpowiedź na wymuszenieskokowe członu całkującego


Człon całkujący


Gjω = G (s)|s=jω =1Ts|s=jω =

1Tjω

= −j 1Tω

(69)

P(ω) = 0, Q(ω) = − 1Tω

Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu całkującego


Człon całkujący

M(ω) =1Tω

(70)

charakterystykaamplitudowa

L(ω) = 20 log1Tω

= −20 logTω[dB](71)


ϕ(ω) = arctg− 1

Tω

0

= arctg(−∞) = −π2

(72)



Elementy różniczkujące - idealne

a) Prądnica tachometryczna

Rysunek : Element różniczkujący - prądnica tachometryczna

Uy (t) =dθ(t)

dt(73)

b) Dozownik cieczy

Rysunek : Element różniczkujący - dozownik cieczy

Q(t) = Adx(t)

dt(74)


Człon różniczkujący - idealny

Równanie dynamiki

y(t) = Tddu(t)

dt(75)


y = 0 (76)


G (s) =Y (s)

U(s)= Td s (77)

Odpowiedź skokowa

y(t) = L−1[ust1sTd s] = ustTdδ(t)

(78)

Rysunek : Charakterystyka statycznaczłonu różniczkującego idealnego

Rysunek : Odpowiedź na wymuszenieskokowe członu różniczkującegoidealnego




Gjω = Td s|s=jω = jTdω (79)

P(ω) = 0, Q(ω) = Tdω (80)

Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującegoidealnego



charakterystykaamplitudowa

M(ω) = Tdω (81)

L(ω) = 20 logTdω[dB](82)


ϕ(ω) = arctgTdω

0

= arctg(∞) =π

2

(83)



Elementy różniczkujące - rzeczywistea) amortyzator

Rysunek : Element różniczkujący -amortyzator

A

[du(t)

dt− dy(t)

dt

]= Q = k∆p

(84)

∆pA = Cy(t), ∆p =C

Ay (85)

A2

kC

dy(t)

dt+ y(t) =

A2

kC

du(t)

dt(86)

Tdy(t)

dt+ y(t) = Td

du(t)

dt(87)


Elementy różniczkujące - rzeczywiste

b) czwórnik RC

Rysunek : Element różniczkujący - czwórnik RC

RCdU2(t)

dt+ U2(t) = RC

dU1(t)

dt(88)

Tdy(t)

dt+ y(t) = Td

du(t)

dt(89)


Człon różniczkujący - rzeczywisty

Równanie dynamiki

Tdy(t)

dt+ y(t) = Td

du(t)

dt, (90)

kd =Td

T(91)


y = 0 (92)


G(s) =Y (s)

U(s)=

Td s

Ts + 1(93)

Odpowiedź skokowa

y(t) = L−1[ust1

s

Td s

Ts + 1] = ust

Td

Te−

tT

= ustkde− t

T

(94)

Rysunek : Charakterystyka statycznaczłonu różniczkującego idealnego





Gjω =Td s

Ts + 1|s=jω =

Td jω

Tjω + 1(95)

P(ω) =TdTω

2

T 2ω2 + 1, Q(ω) =

Tdω

T 2ω2 + 1(96)

Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującegorzeczywistego



charakterystyka amplitudowa

M(ω) =Tdω√

T 2ω2 + 1(97)

L(ω) = [20 logTdω−20 log√T 2ω2 + 1](98)


ϕ(ω) = arctg1Tω

=π

2− arctg(Tω)

(99)



Elementy oscylacyjne

Rysunek : Elementy oscylacyjne: a) ustawnik pozycyjny, b) czwórnik RLC



a) ustawnik pozycyjny

md2y(t)

dt2+ B

dy(t)

dt+ Cy(t) = Ap(t) (100)

m

C

d2y(t)

dt2+

B

C

dy(t)

dt+ y(t) =

A

Cp(t) (101)

Równanie ruchu

T 2d2y(t)

dt2+ 2ξ

dy(t)

dt+ y(t) = ku(t) (102)



b) czwórnik RLCU3(t) = I (t)R (103)

U4(t) = LdI (t)

dt(104)

I (t) = CdU2(t)

dt(105)

U1(t) = U2(t) + U3(t) + U4(t) (106)

LCd2U2(t)

dt2+ RC

dU2(t)

dt+ U2(t) = U1(t) (107)

Równanie ruchu

T 2d2y(t)

dt2+ 2ξ

dy(t)

dt+ y(t) = ku(t) (108)


Człon oscylacyjny

Równanie dynamiki

T 2d2y(t)

dt2+ 2ξ

dy(t)

dt+ y(t) = ku(t) (109)

1ω20

d2y(t)

dt2+2ξω0

dy(t)

dt+ y(t) = ku(t) (110)

d2y(t)

dt2+ 2ξω0

dy(t)

dt+ ω20y(t) = kω20u(t) (111)

gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0 - pulsacja drgańnietłumionych. Charakterystyka statyczna

y = ku (112)


Człon oscylacyjny


G (s) =Y (s)

U(s)=

k

T 2s2 + 2ξTs + 1(113)

G (s) =Y (s)

U(s)=

kω20s2 + 2ξω0s + ω20

(114)

Odpowiedź skokowa

y(t) = L−1[ust1s

kω20s2 + 2ξω0s + ω0

]= kust

[1− 1√

1− ξ2e−ξω0t sinω0

√1− ξ2t + φ

] (115)

φ = arctg

√1− ξ2ξ

(116)


Człon oscylacyjny

Rysunek : Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego


Człon oscylacyjny


G (jω) =kω20[(ω

20 − ω2)− j2ξω0ω]

(ω20 − ω2)2 + (2ξω0ω)2(117)



Człon oscylacyjny


G(jω) =kω20 [(ω

20 − ω

2)− j2ξω0ω]

(ω20 − ω2)2 + (2ξω0ω)2

(118)

P(jω) =kω20 [(ω

20 − ω

2)]

(ω20 − ω2)2 + (2ξω0ω)2(119)

Q(jω) = −k[2ξω30ω]

(ω20 − ω2)2 + (2ξω0ω)2(120)



Element opóźniający

Rysunek : Element opóźniający - transporter taśmowy

gdzie: Q1,Q2 - strumienie masy odpowiednio, na końcu i na początkutransportera.

Q2(t) = Q1(t − T0), T0 =L

v(121)

Równanie ruchu

y(t) = u(t − T0) (122)


Człon opóźniający

Równanie dynamiki

y(t) = u(t − T0) (123)


y = u (124)


G (s) =Y (s)

U(s)= e−T0s (125)

Odpowiedź skokowa

y(t) = L−1[ust1se−T0s ]

= ust1(t − T0)(126)

Rysunek : Charakterystyka statycznaczłonu opóźniającego





G (jω) = e−jT0ω (127)

P(ω) = cos (−T0ω) (128)

Q(ω) = sin (−T0ω) (129)




Charakterystyka amplitudowa

M(ω) = 1, L(ω) = 0 (130)

Charakterystyka fazowa

ϕ(ω) = −T0ω (131)



Podstawy Automatyki

Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe członydynamiczne

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2017


Podstawy Automatyki - Wykład 3 - charakterystyki ... · PDF fileJakub Możaryn Podstawy...

Documents

Transcript of Podstawy Automatyki - Wykład 3 - charakterystyki ... · PDF fileJakub Możaryn Podstawy...