WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego

ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO

Przedmiot:

PODSTAWY AUTOMATYKI I AUTOMATYZACJI (studia I stopnia)

ĆWICZENIE RACHUNKOWE

KOREKCJA LINIOWYCH UKŁADÓW REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

Warszawa 2013

2

ĆWICZENIE RACHUNKOWE

Temat:

Korekcja liniowych układów regulacji automatycznej

Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia: przykład wykorzystania do korekcji logarytmicznej

charakterystyki amplitudowej układu otwartego; dobór członu korekcyjnego.

1. Wprowadzenie

Dla danego obiektu znany jest model matematyczny oraz ograniczenia narzucone na poszczególne sygnały, a także określony zasób informacji o jego warunkach pracy i występujących zakłóceniach. Należy dla tego obiektu dobrać układ sterowania, który zapewni wykonanie postawionych zadań – przy spełnieniu wymagań dotyczących stabilności, dokładności (w stanach ustalonych i przejściowych) oraz charakteru przebiegów dynamicznych (spełni narzucone kryterium jakości sterowania).

Proces taki w automatyce nazywany jest syntezą układów sterowania i polega na doborze struktury układu oraz parametrów elementu korekcyjnego, aby układ mógł wykonać postawione przed nim zadania.

Elementami korekcyjnymi automatyki nazywamy elementy stabilizujące automatyki których zadaniem jest korygowanie charakterystyk częstotliwościowych i czasowych układów regulacji.

Elementami stabilizującymi automatyki nazywamy elementy, które zwiększają stabilność i polepszają jakość procesów sterowania automatycznego przez zmianę właściwości dynamicznych układu. Za pomocą taki elementów można osiągnąć znaczne zwiększenie dokładności sterowania. Wobec ciągłego wzrostu wymagań co do jakości procesu sterowania, duże możliwości techniczne realizacji takich elementów spowodowało ich zastosowanie we współczesnych układach sterowania automatycznego.

Elementy stabilizujące dzielą się na dwie grupy: szeregowe i równoległe. Elementy szeregowe włącza się bezpośrednio w kanał przesyłający sygnał sterowania. Natomiast elementy równoległe stanowią sprzężenie zwrotne, w obwody których włączone są mniej lub bardziej złożone układy przekształcania sygnałów.

Podstawowymi wymaganiami stawianymi jednowymiarowym układom regulacji automatycznej są:

dokładność statyczna;

3

zakres regulacji wielkości wyjściowej; pasmo robocze (pasmo przenoszonych częstotliwości); zapas stabilności.

Proces syntezy z zastosowaniem elementów korekcyjnych można podzielić na dwa etapy:

I etap - określenie strukturę układu regulacji i typ regulatora lub/i elementu korekcyjnego;

II etap - dobór wartości parametrów elementu korekcyjnego Dla określenia struktury układu regulacji stosowana jest struktura

szeregowa, w której regulator jest włączony w tor główny układu regulacji, czyli szeregowo z obiektem (rys.1a). Sygnałem wejściowym regulatora jest sygnał uchyb e(t), a sygnałem wyjściowym – sterowanie obiektem u(t). Drugim sposobem jest włączenie dodatkowego elementu korekcyjnego, którego zadaniem jest wstępne uformowanie sygnału uchybu (rys.1b).

Rys.1. Struktura szeregowa układu regulacji (a) i włączanie członu korekcyjnego

przed regulatorem (b).

Inną stosowaną strukturą układu regulacji jest struktura z dodatkowym sprzężeniem zwrotnym (rys.2a), w którym element korekcyjny jest włączany w tor dodatkowego sprzężenia zwrotnego wokół obiektu regulacji.

4

Rys.2. Struktura szeregowa układu regulacji z wewnętrznym sprzężeniem zwrotnym (a) i skorygowanego zamkniętego układu regulacji (b).

W obu wymienionych przypadkach regulator i element korekcyjny

mają za zadanie taką modyfikację właściwości obiektu, aby działanie skorygowanego układu zamkniętego było zadowalające z punktu widzenia przyjętego kryterium jakości. Kryterium to łączy zwykle wiele elementów – chodzi nie tylko o uzyskanie odpowiednich parametrów odpowiedzi skokowej z wymuszenie zewnętrzne w(t), ale również o odporność na zakłócenia. Odporność ta może być wyrażone na przykład przez wymagania narzucone na przebieg sygnału uchybu w odpowiedzi na zakłócenia skokowe.

2. Rodzaje elementów korekcyjnych i ich wpływ na właściwości

układu regulacji automatycznej

2.1. Element proporcjonalny W proporcjonalnym elemencie korekcyjnym– typu P (rys.3) –

związek pomiędzy sygnałem wyjściowym regulatora u(t), a sygnałem uchybu e(t) jest następujący: teKtu p (1)

lub po zastosowaniu transformaty Laplace’a:

pKsEsU (2)

Rys.3. Struktura fragmentu układu regulacji z proporcjonalnym elementem

korekcyjnym.

2.2. Element całkowy

5

W całkującym elemencie korekcyjnym– typu I (rys.4) – przyrost wartości sygnał wyjściowego regulatora u(t) zmienia się proporcjonalnie do sygnału uchybu e(t):

t

ii

i dtteKtuteT

teKdt

tdu

0

lub1 (3)

Transmitancja całkującego elementu korekcyjnego ma postać:

sTs

KsEsU

i

i 1 (4)

W układzie takim jeśli wartość e(t) jest stała przez czas Ti, to

wartość u(t) podwoi się po upływie tego czasu. Dla wartości uchybu e(t) równego zero wartość u(t) pozostaje niezmienna.

Rys.4. Struktura fragmentu układu regulacji z całkującym elementem

korekcyjnym.

W sterowaniu proporcjonalnym obiektu, którego transmitancja nie ma integratora 1/s, w odpowiedzi na skokowy sygnał wejściowy występuje uchyb w stanie ustalonym. Taki uchyb ustalony może być wyeliminowany, jeśli w regulatorze doda się algorytm sterowania całkowego. Jego zastosowanie stabilizuje pracę układu i zmniejsza uchyb ustalony. Zapas stabilności jest dowolnie duży, jednak pogarszają się nieznacznie właściwości dynamiczne (obniża się górna granica pasma przenoszenia).

2.3. Element proporcjonalno - całkowy Algorytm pracy elementu proporcjonalno – całkowego – typu PI

(rys.5) – zdefiniowany jest wzorem:

t

i

pp dtte

TK

teKtu0

(5)

a jego transmitancja przyjmuje ma postać:

6

ip T

KsEsU 11 (6)

Czas całkowania Ti wpływa na algorytm całkowy, podczas gdy

zmiana wartości Kp wpływa zarówno na część proporcjonalną, jak i część całkową algorytmu sterowania.

Rys.5. Struktura fragmentu układu regulacji z całkującym elementem

korekcyjnym.

Odwrotność czasu całkowania Ti jest nazywana szybkością działania całkowania – wskazuje ona jak szybko całka „napełni się” uchybem e(t).

Na rys.5 pokazano przebieg sygnału wyjściowego elementu korekcyjnego u(t) w przypadku gdy uchyb regulacji e(t) jest jednostkową funkcją skokową.

2.4. Element proporcjonalno - różniczkujący Algorytm pracy proporcjonalno – różniczkującego elementu

korekcyjnego – typu PD (rys.6) – zdefiniowany jest wzorem:

dt

tdeTKteKtu ppp (7)

a jego transmitancja przyjmuje ma postać:

sTKsEsU

dp 1 (8)

Algorytm działania elementu proporcjonalno - różniczkowego

nazywamy sterowaniem szybkością i ma miejsce, gdy wartość sygnału wyjściowego regulatora jest proporcjonalna do szybkości zmiany

7

sygnału uchybu. Czas różniczkujący Td jest miarą tego, w jakim stopniu sterowanie PD wyprzedza sterowanie z regulatorem proporcjonalnym.

Rys.6. Struktura fragmentu układu regulacji z proporcjonalno-różniczkującym

elementem korekcyjnym.

Zaletą tego rodzaju elementu wyprzedzający charakter sterowania. Natomiast jego wadą jest wzmacnianie sygnałów szumów i wywoływanie efektu nasycenia w elemencie wykonawczym.

Jak widać z rys.6 pokazano przebieg sygnału wyjściowego z elementu korekcyjnego u(t) w przypadku gdy sygnał uchybu e(t) jest funkcją liniowo narastającą.

2.5. Element proporcjonalno – całkowo - różniczkowy Połączenie w algorytmu korekcji elementów proporcjonalnego,

sterowania całkowego i różniczkowego nazywane jest elementem regulacji proporcjonalno – całkowo – różniczkowej (typu PID):

dt

tdeTKdtteTK

teKtu pp

t

i

pp

0

(9)

a jego transmitancja przyjmuje ma postać:

sT

sTK

sEsU

di

p11 (10)

Algorytm działania elementu proporcjonalno - różniczkowego nazywamy sterowaniem szybkością i ma miejsce, gdy wartość sygnału wyjściowego regulatora jest proporcjonalna do szybkości zmiany sygnału uchybu. Czas różniczkujący Td jest miarą tego, w jakim stopniu sterowanie PD wyprzedza sterowanie z regulatorem proporcjonalnym.

8

Rys.7. Struktura fragmentu układu regulacji z proporcjonalno-całkowo -

różniczkującym elementem korekcyjnym. 3. Synteza układów regulacji metodami klasycznymi

Przy stosowaniu klasycznych metod syntezy układów regulacji realizuje się następujące etapy:

po ustaleniu danych wyjściowych i wynikających z nich założeń, wybiera się pierwsze rozwiązanie;

wyznacza się odpowiednie wielkości oraz wskaźniki, charakteryzujące projektowane urządzenia, które są potrzebne do oceny przyjętego pierwszego wariantu rozwiązania;

na podstawie otrzymanych wyników wprowadza się odpowiednie zmiany i otrzymuje drugi wariant rozwiązania, który zostaje oceniony, skorygowany, itd.

3.1. Metoda Zieglera – Nicholsa Przedstawione w tym punkcie dwie tzw. metody Zieglera-Nicholsa

polegają na określeniu nastaw korektora PID w oparciu o pewne parametry, które można w prosty sposób wyznaczyć doświadczalnie w układzie z badanym obiektem. Pełna znajomość modelu obiektu nie jest potrzebna.

3.1.1. Metoda oparta na aproksymacji parametrów odpowiedzi

skokowej

Metoda ta opiera się na fakcie, że odpowiedź skokowa wielu obiektów (zmierzona doświadczalnie albo otrzymana w wyniku symulacji) ma kształt pokazany na Rys.8. Odpowiedź taka jest charakterystyczna dla układów inercyjnych wyższych rzędów, ale można ją aproksymować charakterystyką skokową członu inercyjnego I rzędu z opóźnieniem transportowym:

9

e s

Tsk

sEsU

1 (11)

Rys.8. Aproksymacja parametrów odpowiedzi skokowej obiektu inercyjnego.

Linię styczną należy wystawić w punkcie przegięcia Q charakterystyki skokowej .

Na podstawie przebiegu odpowiedzi skokowej rzeczywistego obiektu należy wyznaczyć graficznie stałą czasową T i opóźnienie τ transmitancji zastępczej jak pokazano na rysunku. Optymalne nastawy korektora spełniające określone kryterium oblicza się w sposób teoretyczny dla układu regulacji z obiektem zastępczym. W Tabeli 1 podano wzięte z literatury wzory na optymalne nastawy dla trzech wymagań co do przebiegu regulacji po skokowej zmianie zakłócenia: - odpowiedzi aperiodycznej o minimalnym czasie regulacji, - odpowiedzi oscylacyjnej (κ=20%) o minimalnym czasie regulacji oraz - odpowiedzi minimalizującej całkę ISE. W układzie z obiektem rzeczywistym nastawy wzięte z tabeli mogą dawać – ze względu na błąd aproksymacji - przebiegi różniące się od założonych. Tym niemniej przedstawiona metoda jest skutecznym narzędziem wstępnego strojenia korektora.

Tabela 1. Optymalne nastawy regulatora i wskaźniki jakości dla obiektu statycznego z opóźnieniem przy skokowej zmianie zakłócenia z=1(t)

Typ korektora

10

3.1.2. Metoda oparta na aproksymacji parametrów odpowiedzi skokowej

Druga reguła wyznaczania nastaw korektorów opiera się na znajomości parametrów układu znajdującego się na granicy stabilności. Parametry te są wyznaczane w następujący sposób: w układzie zamkniętym z regulatorem typu P zwiększa się współczynnik wzmocnienia Kp dopóki w odpowiedzi skokowej h(t) nie zaobserwuje się drgań niegasnących (Rys.9). W takim stanie należy zanotować wartość wzmocnienia krytycznego regulatora Kp=Kkr oraz zmierzyć okres drgań krytycznych Tkr sygnału wyjściowego.

Rys.9. Wyznaczanie okresu drgań krytycznych układu na granicy stabilności

Nastawy korektora wyznaczone według metody wskaźników drgań krytycznych są następujące:

Korektor P k = 0.5 kgr Korektor PI k = 0.45 kgr Ti = Tdr/ 1.2 Korektor PID k = 0.6 kgr Ti = Tdr / 2 Td= Tdr / 8

3.2. Metoda linii pierwiastkowych Metoda linii pierwiastkowych (Evansa) badania stabilności układu

zamkniętego została opracowana dla sterowanego układu o transmitancji

n

i

ii

m

j

jj

o

sa

sbk

sMsLksG

0

0

0

0)( (12)

W torze głównym ze sztywnym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym gdzie m≤n.

Transmitancje układu otwartego można zapisać jako

h(t)

Kor. P Kp

11

m

mo pspsps

zszszsksMsLksG

......)(

21

21

0

0 (13)

lub w postaci alternatywnej

)(00

sj oeskRsG (14)

Na podstawie transmitancji układu zamkniętego

)()(

)()()(

)(1)()(

sMsL

sMskLskL

sGsGsG

oo

o

o

o

(15)

równanie charakterystyczne jest dane jako

)()( sMskL oo (16)

lub, z wykorzystaniem alternatywnego zapisu, jako

01)(0 sj oeskR (17)

czyli

1)(0 sj oeskR (18)

Warunek na granicę stabilności układu zamkniętego można zapisać jako

,...1,0,2)(1

0

0

llsskR

(19)

Analiza właściwości linii pierwiastkowych: linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi

rzeczywistej; linie pierwiastkowe zaczynają się w biegunach transmitancji

układu otwartego (dla k=0 w układzie zamkniętym); linie pierwiastkowe kończą się w zerach transmitancji

układu otwartego (dla k w układzie zamkniętym); liczba rozgałęzień linii pierwiastkowych to maksymalnie

max(n,m) - punkty rozgałęzień są pierwiastkami równania

0oGdsd , jeżeli istnieje taka skończona, rzeczywista

wartość wzmocnienia k>0, dla której po podstawieniu

12

zamiast zmiennej s pojedynczego pierwiastka równania

0oGdsd jest spełnione 01 oG ;

bieguny wielokrotne transmitancji układu zamkniętego są punktami wspólnymi odpowiednich linii pierwiastkowych – występują, gdy dla pewnej wartości wzmocnienia bieguny położone na kilku liniach pierwiastkowych znajdują się w tym samym punkcie płaszczyzny zespolonej;

liczba linii pierwiastkowych jest równa liczbie biegunów transmitancji układu otwartego;

każda z linii pierwiastkowych odpowiada przesuwaniu się bieguna transmitancji układu zamkniętego dla k0 ;

gdy m<n, liczba linii pierwiastkowych kończących się w zerach jest równa m, pozostałe linie pierwiastkowe oddalają się nieskończenie daleko od środka układu współrzędnych i dążą do asymptot, tworzących jako linie proste ramiona symetrycznej gwiazdy, przecinających się pod kątem

mna

2 , (20)

a tworzących z dodatnim fragmentem osi rzeczywistej kąt

;1,...,1,0,)12(

mnimn

iia

, (21)

środek gwiazdy odcina na osi rzeczywistej wartość

,1 1

mn

zps

n

i

m

jji

a

, (22)

odcinki linii pierwiastkowych pokrywające się z osią rzeczywistą znajdują się w tych jej częściach, od których na prawo sumaryczna liczba wszystkich rzeczywistych zer i biegunów transmitancji układu otwartego (łącznie z ich krotnościami) jest nieparzysta;

kąty wyjścia i wejścia linii pierwiastkowej – kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna oblicza się jako ( qps 1 )

m

j

n

qii

ijqp pszslpsq

1 1111 )arg()arg()12()arg( , (23)

13

a kąt wejścia linii pierwiastkowej do zera jako ( qzs 1 )

n

ji

m

qjj

qz pszjslzsq

11

111 )arg()arg(2)arg( , (24)

kąt wejścia/wyjścia dla biegunów/zer o krotności d większej niż jeden oblicza się dla wartości tego bieguna/zera, a

pozostałe kąty dla bieguna/zera są przesunięte o d2 ;

kąty wejścia linii pierwiastkowej do zera odmierza się do linii, która nakreśliłaby linia pierwiastkowa, gdyby przeszła przez dane zero;

przecięcie linii pierwiastkowej z osią urojoną – przecięcie z osią urojoną (jeżeli istnieje) jest zbiorem punktów wyznaczanych za pomocą tablicy Routha, w których układ staje się stabilny.

Linie o stałym współczynniku tłumienia i krzywe stałej pulsacji drgań ωN tworzą odpowiednio proste i współśrodkowe okręgi. Na ich podstawie można wyciągnąć wnioski na temat charakteru przebiegu przejściowego.

αIm{s}

Re{s}0

ω 1

ω 2

ω 30<ξ <1

ξ =1

ξ =0

Rys.10. Linie o stałym współczynniku tłumienia ξ i krzywe stałej pulsacji

drgań ωN

14

Kąt odchylenia od osi rzędnych linii stałego współczynnika tłumienia

21

arctg , (25)

przy czym zależność między maksymalnym odchyleniem dynamicznym a współczynnikiem tłumienia ma postać

21

e , (26)

lub

22

2

lnln

, (27)

Promień okręgu r jest związany z pulsacją drgań zależnością

sradrN , (28)

Linie stałego współczynnika tłumienia oraz krzywe stałej pulsacji drgań własnych pokazano na rys. 10.

4. Przykład

Wykreślić linie pierwiastkowe układu zamkniętego dla

)5()(

ssksGo .

Transmitancja układu zamkniętego

kssk

sGsGsG

o

o

5)(1)()( 2

Tworzenie linii pierwiastkowych przebiega wg algorytmu: punkty wyjścia - dla k=0 pierwiastki równania

charakterystycznego kss 52 =0 są punktami wyjścia, czyli s=0 oraz s=-5.

punkty wejścia – transmitancja układu zamkniętego nie ma zer; liczba rozgałęzień linii pierwiastkowych - max(2,0)=2;

15

o punkty rozgałęzień są pierwiastkami równania

0oGdsd , ,0

)5()52(

)5( 22

ss

skssk

dsd czyli

s=- 2.5; o równanie 01 oG ma rzeczywiste rozwiązanie

k=6.25 dla s=-2.5. liczba linii pierwiastkowych - równa liczbie biegunów układu

zamkniętego, czyli 2. warunek m<n; wszystkie linie pierwiastkowe oddalają sié do

nieskończoności, ramiona symetrycznej gwiazdy asymptot tworzą kąt

02

2a

i nachylone są do osi rzeczywistej pod katami:

202)10(

0

a

23

02)12(

1

a

środek gwiazdy odcina na osi rzeczywistej wartość

,5.20250

02

2

1

i

i

a

ps

odcinki osi rzeczywistej będące częścią wykresu linii pierwiastkowych: dla k>0 odcinek osi rzeczywistej od +5 do 0 jest częścią wykresu linii pierwiastkowych.

kąty wejścia i wyjścia linii pierwiastkowej: o dla bieguna )0(0 1 ss

,0)12()5arg()12()arg()0arg( 1110 lslss dla najmniejszej wartości 02, 5 l .

przecięcie linii pierwiastkowej z osią urojoną kss 52

005

1

0

1

2

k

k

sss

Dla k=0 układ staje się niestabilny. Należy teraz dla wiersza 2sskonstruować wielomian pomocniczy kssA 2)( , którego pierwiastki dla k=0, czyli 0js , są punktami przecięć linii pierwiastkowych z osią urojoną.

16

ω

σ 0

ω 1

ω 2

ω 3

k =6.25-1-2-3-4-5

-1

-2

1

2

5. Literatura

1. Janusz KOWAL „Podstawy automatyki T1”, Uczelniane

Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 2004, Sygnatura: 60378

2. Tadeusz Kaczorek „Teoria sterowania. Tom I Układy liniowe ciągłe i dyskretne”. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977

3. Dariusz HORLA „Podstawy Automatyki” Ćwiczenia rachunkowe część I, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2010