Podobieństwo i jednokładność figur

Wersja z dnia 08.11.2010 http://matematyka.strefa.pl Podobieństwo i jednokładność — strona 1 Znajdziesz tu omówione pojęcia: jednokładność, podobieństwo figur: trójkątów, prostokątów, kół i okręgów, skala jednokładności i podobieństwa oraz związek z twierdzeniem Talesa. Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. Sprawdzian (praca klasowa) będzie łatwością. To jest darmowy e-book (opracowanie pdf) do gimnazjum. Download go.

Podobieństwo i jednokładność

figur geometrycznych

Przedmowa

To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w podobień-stwie figur oraz w ich jednokładności. Opracowanie to starałem się tak pisać, by każdy typ zadania z jakim można się spotkać w tym dziale był tu bardzo dokładnie i zrozumiale omówiony.

Spis tematów

1. Wstęp do podobieństwa figur. ........................................................................................................................... 2

— przekształcenia geometryczne .................................................................................................................... 2

— figury geometryczne .................................................................................................................................... 2

2. Podobieństwo figur geometrycznych. ................................................................................................................ 4

— skala podobieństwa ..................................................................................................................................... 6

— podobieństwo wielokątów .......................................................................................................................... 4

— cechy podobieństwa trójkątów ................................................................................................................... 9

— cechy podobieństwa prostokątów ............................................................................................................ 12

— podobieństwo kół i okręgów ..................................................................................................................... 16

3. Związek między skalą podobieństwa a stosunkiem pól figur podobnych. ...................................................... 17

4. Jednokładność figur geometrycznych. ............................................................................................................. 21

— jednokładność prosta i odwrotna .............................................................................................................. 21

— kreślenie figur jednokładnych ................................................................................................................... 28

— etapy rozwiązywania zadań tekstowych z jednokładności ....................................................................... 37

— jednokładność w układzie współrzędnych ................................................................................................ 39

5. Jednokładność a podobieństwo. ..................................................................................................................... 43

6. Wyjaśnienie niektóry zagadnień z tego opracowania. ..................................................................................... 46

— twierdzenie odwrotne do danego twierdzenia ......................................................................................... 46

— wzory dotyczące trójkąta równobocznego ................................................................................................ 46

— stosunek dwóch liczb (wielkości) ............................................................................................................... 47

— pojęcia związane z kątem .......................................................................................................................... 48


Temat: Wstęp do podobieństwa figur.

Przekształcenia geometryczne

Przekształcenie1 geometryczne — wykonanie zmian na danej figurze.

Przykładem przekształcenia geometrycznego jest np.:

— pomniejszenie lub powiększenie danej figury (rysowanie jej w skali)

— obrót o dowolny kąt (nawet o 0˚)

— przesunięcie2 o dowolną odległość (nawet o 0 cm)

— symetria np. względem prostej, punktu, płaszczyzny itp.

— rozciąganie3, kurczenie

— przekształcenie identycznościowe4 (nie zmienia ono nic w danej figurze)

Składanie przekształceń geometrycznych — zastosowanie przynajmniej dwóch przekształceń geometrycz-nych.

Obraz figury geometrycznej — druga figura geometryczna, która powstała z figury wyjściowej poprzez za-stosowanie przynajmniej jednego przekształcenia geometrycznego.

Zauważ teraz, że niektóre przekształcenia geometrycznie nie zmieniają nic w danej figurze. Przykładowo obrót o kąt 0˚ lub przesunięcie o 0 cm pozostawiają figurę nietkniętą dokładnie tam gdzie była. W takich szczególnych sytuacjach, rysunek po-kazujący daną figurę przed zastosowaniem przekształcenia oraz po jego zastosowaniu, pozornie będzie przedstawiać jedną figu-rę. W myślach musisz jednak mieć to, że przedstawia on dwie figury idealnie nałożone na siebie. Żeby nie zapomnieć o tym, że na rysunku są dwie figury idealnie pokrywające się, należy do jej punktów charakterystycznych (dla wielokątów są to wierz-chołki, a dla okręgów ich środki) dopisać drugie oznaczenia (patrz rysunki obok). Dzięki temu od razu widzisz, że rysunek przedstawia dwie figury idealnie nałożone na siebie, a nie jed-ną.

Uwaga. W geometrii zamiast sformułowania „przekształcenie geometryczne” można używać tylko słowa „przekształ-cenie” lub „odwzorowanie”.

1 Inna nazwa przekształcenia to odwzorowanie.

2 Przesunięcie bywa często nazywane translacją. 3 Do matury włącznie o takim przekształceniu geometrycznym nawet się nie wspomina.

4 Inna nazwa przekształcenia identycznościowego to odwzorowanie tożsamościowe.

Rysunek 1 — dwa wielokąty pokrywające się.

Rysunek 2 — dwa koła nakładające się na siebie.


Figury geometryczne

Przykłady figur geometrycznych:

— punkt

— odcinek (prostej, krzywej, otwarty, półotwarty, zamknięty)

— półprosta, prosta

— łamana

— okrąg, koło, odcinek koła, wycinek koła

— kąt

— wielokąt: trójkąt, czworokąt (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez, deltoid, trapezoid), pięciokąt itd.

— krzywa

— łuk okręgu

— płaszczyzna, półpłaszczyzna

W opracowaniu tym będziemy głównie zajmować się wielokątami, więc na początek przypomnijmy co to jest wielo-kąt zaczynając od tego jak wyglądają łamane.

Rysunek 3 — rodzaje łamanych

Wielokąt — część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą.


Temat: Podobieństwo figur geometrycznych.

Podobieństwo wielokątów

Figury podobne — przynajmniej dwie figury geometryczne mające taki sam kształt, a różniące się co najwyżej wielkością.

Na podstawie powyższej definicji wywnioskuj, że dwie figury nazywamy podobnymi do siebie, jeśli po narysowaniu jednej z nich w jakiejś skali, dostaniesz drugą z nich. Zatem prawie wszystko co będziesz robić w tym opracowaniu, będzie polegać na poprawnym narysowaniu danej figury w zadanej skali, przy czym skala ta nie będzie zapisywana za pomocą dwukropka jak to było na mapach i planach lecz za pomocą kreski ułamkowej. Innymi słowy, zamiast

pisać 1 ∶ 10, będziesz pisać � =�

�� lub � = 0,1. Zapis zaś mający jedynkę za dwukropkiem np. 50 ∶ 1 zastąpisz zapi-

sem � = 50. Dodatkowo skalę będzie można zapisać w sposób: � = √3, � =�

�, � = 3�

�, … którego nie mogłaś sto-

sować na mapach i planach.

Narysuję teraz dowolny wielokąt (będzie nim pięciokąt) i jego obraz w skali np. 3 : 1 (powiększenie, bo liczba stojąca przed dwukropkiem jest większa od liczby stojącej za dwukropkiem), a następnie wskażę w nich pary odpowiednich

boków i kątów, wyróżniając je tym samym kolorem. Dodatkowo wykonam obrót obrazu danego wielokąta.

Zauważ, że:

— każdy bok większego wielokąta jest w tym przypadku dokładnie 3 razy dłuższy od jego odpowiednika za-znaczonego tym samym kolorem w lewym wielokącie

— kąty odpowiednie (wyróżnione tym samym kolorem) mają tę samą miarę

— oba wielokąty mają dokładnie taki sam kształt, a róż-nią się jedynie wielkością

— obrót nie przeszkadza w tym, by figury nazwać po-dobnymi do siebie

Wniosek: Jeśli figury podobne są wielokątami, to ich odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki proporcjonal-ne.

Boki dwóch wielokątów nazywamy proporcjonalnymi jeśli po pomnożeniu długości każdego boku jednego wielokąta przez ustaloną liczbę dodatnią, dostaniesz długości odpowiednich boków drugiego wielokąta. Mówiąc jaśniej, jeśli jeden wielokąt ma boki np. o długościach: 1, 2, 3, 4, 5 a jego obraz ma boki o długościach: 3, 6, 9, 12, 15, to zważyw-szy na to, że długość każdego boku wielokąta pierwszego została pomnożona przez 3, masz, że boki o długościach: 1 i 3, 2 i 6, 3 i 9, 4 i 12, 5 i 15 są do siebie proporcjonalne.

Spostrzeżenie: Długości boków wielokąta wyjściowego można też mnożyć przez ułamki, liczby miesza-ne, pierwiastki, itp.

Podsumowanie:

Jeśli 2 wielokąty mają:

— kąty przy odpowiednich wierzchołkach równe

— odpowiednie boki proporcjonalne

to wielokąty te nazywamy podobnymi (do siebie).

Rysunek 4 — pięciokąt i jego obraz w skali 3 : 1 z wy-różnionymi parami odpowiednich boków i kątów


Zobacz podobieństwo wielokątów na przykładzie trójkąta. Wyróżnię jednym kolorem boki odpowiednie i sprawdzę, czy są one proporcjonalne.

Z rysunku obok widzisz, że trójkąt wyjściowy:

— jest prostokątny

— ma kąty ostre o miarach α i β

— ma boki o długościach: 3, 4, 5

a jego obraz:

— jest także trójkątem prostokątnym

— także ma kąty ostre o miarach α i β

— ma boki o długościach odpowiednio: 6, 8, 10 (przemnożone w tym przypadku przez 2)

— nie zachowuje (w tym przypadku) równole-głości odpowiednich boków

— nie musi być uzyskany wyłącznie poprzez obrót wokół ustalonego punktu, jak to było na rysunku poprzednim

— jest uzyskany dzięki zastosowaniu: obrotu, symetrii osiowej i dwukrotnego powiększe-nia czyli za pomocą złożenia 3 przekształceń geometrycznych.

Aby symbolicznie zapisać to, że figury są do siebie podobne, należy użyć symbolu: ~. Przykładowo, jeśli na rysunku powyższym oznaczymy wierzchołki mniejszego trójkąta przez A, B, C, a większego przez A’, B’, C’, to zapis ten będzie wyglądać następująco:

△ �� ∼△ �′�′�′

i przeczytamy go: „Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A prim B prim C prim.”

Własność5 figury — cecha która wyróżnia daną figurę.

Własnością np. kwadratu jest m.in. równość boków i kątów.

Własnością okręgu jest zawsze ta sama długość promienia.

Własności podobieństwa figur:

— jeśli wielokąty są podobne, to mają odpowiednie kąty równe (patrz rys. 5)

Sformułowanie odwrotne6 nie jest zawsze prawdziwe.

— jeśli wielokąty są podobne, to mają odpowiednie boki proporcjonalne (patrz rys. 5)

Sformułowanie odwrotne nie jest zawsze prawdziwe.

Rysunek 6 — przykład wielokątów które mają odpo-wiednie kąty równe (równoległość boków), a nie są podobne, bo ich boki nie są do siebie proporcjonalne

Rysunek 7 — przykład wielokątów które mają odpo-wiednie boki proporcjonalne, a nie są podobne, bo ich odpowiednie kąty nie mają po tyle samo stopni.

5 Dawniej w matematyce zamiast słowa własność używano słowa właściwość. Słowo właściwość nadal funkcjonuje, ale w informatyce.

6 Co to jest sformułowanie odwrotne możesz przeczytać na stronie 45.

Rysunek 5 — podobieństwo wielokątów na przykładzie trójkątów


— dowolne kwadraty, okręgi, koła, odcinki, proste są zawsze do siebie podobne.

Skala podobieństwa

Skala podobieństwa — liczba dodatnia określająca ile razy odcinek łączący 2 różne punkty jednej figury jest dłuższy lub krótszy od odpowiedniego odcinka drugiej figury podobnej do pierwszej.

Za odcinek o którym mowa powyżej może posłużyć bok wielokąta lub w przypadku kół lub okręgów ich promień lub średnica. Na rysunku 5 (strona 5) wzięto 3 odcinki z rysunku lewego (boki trójkąta) i ich 3 odpowiedniki z rysunku prawego. Dzięki temu ustalono, że długość każdego z tych 3-ch odcinków (boków) została przemnożona przez tę samą liczbę, w wyniku czego ustalono, że skala podobieństwa przedstawionych trójkątów jest równa 2. Zauważ, że jeśli dwie figury są do siebie podobne, to skalę podobieństwa można wyliczyć dzieląc obwód obrazu (drugiej figury) przez obwód figury wyjściowej.

Ćwiczenie: Dany jest prostokąt ABCD o obwodzie równym 20 cm oraz jego obraz EFGH o obwodzie 80 cm. Ile wy-nosi skala podobieństwa tych prostokątów? [Odp. � = 4.]

Ćwiczenie: Dany jest prostokąt ABCD o obwodzie równym 20 cm oraz jego obraz EFGH o obwodzie 4 cm. Ile wyno-si skala podobieństwa tych prostokątów? [Odp. � =

�

��=

�

�.]

Trójkąty

Przypuśćmy, że masz dwa trójkąty podobne. Pierwszy z nich ma boki o długościach 2 cm, 3 cm, 4 cm, zaś drugi (jego obraz) ma boki o długościach: 16 cm, 24 cm, 32 cm. Zatem aby obliczyć skalę podobieństwa tych trój-kątów wystarczy że wykonasz jedno z poniższych działań:

16 cm

2 cm= 8

24 cm

3 cm= 8

32 cm

4 cm= 8

Długość najkrótszego boku drugiego trójkąta dzielisz

przez długość najkrótszego boku pierwszego trójkąta.

Długość najdłuższego boku drugiego trójkąta dzielisz

przez długość najdłuższego boku pierwszego trójkąta.

Jeśli figury są podobne i powyższe obliczenia zrobisz poprawnie to wynik zawsze wyjdzie taki sam — w rozpatrywa-nym powyżej przypadku � = 8. Gdyby jednak przynajmniej jeden z wyników wyszedł inny od pozostałych, to musisz szukać błędu w obliczeniach albo zastanowić się czy rozpatrywane figury są podobne. Zgodność wyników otrzymu-jesz tylko wtedy gdy dane figury są podobne.

Ćwiczenie: Dany jest trójkąt ABC o bokach 8 cm, 11 cm, 14 cm oraz jego obraz DEF o bokach długości: 4 cm, 5,5 cm, 7 cm. Ile wynosi skala podobieństwa tych trójkątów? [Odp. � =

�

�.]

Ćwiczenie: Dany jest trójkąt ABC o bokach 8 cm, 11 cm, 14 cm oraz jego obraz DEF w którym najdłuższy bok ma długość 28 cm. Ile wynosi skala podobieństwa tych trójkątów? [Odp. � = 2.]

Ćwiczenie: Najkrótszy bok trójkąta ABC ma długość 6 cm a najkrótszy bok jego obrazu ma długość 30 cm. Ile wy-nosi skala podobieństwa tych trójkątów? [Odp. � = 5.]

Ćwiczenie: Skala podobieństwa dwóch trójkątów wynosi 3. Ile wynosi obwód obrazu trójkąta ABC, jeśli obwód trójkąta ABC jest równy 15 cm? [Odp. 45 cm.]

Ćwiczenie: Czy trójkąty o bokach 5 cm, 6 cm, 7 cm oraz 14 cm, 10 cm, 12 cm są do siebie podobne? [Odp. Tak, bo dzieląc

najdłuższy bok jednego trójkąta przez najdłuższy bok drugiego trójkąta oraz odpowiednio najkrótszy przez najkrótszy i tak samo robiąc z pozostałymi bo-

kami, zawsze dostaniemy ten sam wynik z dzielenia.]


Koła i okręgi

Dla kół i okręgów skalę podobieństwa wyliczasz rozpatrując długości ich promieni (lub średnic). Przypuśćmy, że masz

dwa koła: jedno o promieniu � = 6 cm i drugie będące jego obrazem o promieniu � = 2 cm. Zatem skala podobień-stwa tych kół wynosi:

�� =2 cm

6 cm=

1

3

Wykonanie działania odwrotnego tj. podzielenie � przez � byłoby błędne, gdyż dzielenie nie jest przemienne. Zaw-sze dzielisz długość promienia obrazu przez długość promienia okręgu wyjściowego — nigdy odwrotnie.

Ćwiczenie: Dany jest okrąg o promieniu 4 cm i jego obraz o promieniu 12 cm. Ile wynosi skala podobieństwa tych okręgów? [Odp. � = 3.]

Ćwiczenie: Dany jest okrąg o promieniu 4 cm i jego obraz o promieniu 1 cm. Ile wynosi skala podobieństwa tych okręgów? [Odp. � =

�

�.]

Ćwiczenie: Dany jest okrąg o średnicy 6 cm i jego obraz o średnicy 1 cm. Ile wynosi skala podobieństwa tych okrę-gów? [Odp. � =

�

�.]

Ćwiczenie: Dany jest okrąg o średnicy 6 cm i jego obraz o średnicy 18 cm. Ile wynosi skala podobieństwa tych okręgów? [Odp. � = 3.]

Ćwiczenie: Dany jest okrąg o średnicy 8 cm i jego obraz o promieniu 16 cm. Ile wynosi skala podobieństwa tych okręgów? [Podpowiedź: Najpierw oblicz długość średnicy drugiego okręgu. Odp. � = 4.]

Ćwiczenie: Dany jest okrąg o promieniu 2 cm i jego obraz o średnicy 4 cm. Ile wynosi skala podobieństwa tych okręgów? [Podpowiedź: Najpierw oblicz długość średnicy pierwszego okręgu lub długość promienia drugiego okręgu. Odp. � = 1.]

Ćwiczenie: Dany jest okrąg o obwodzie 12π cm i jego obraz o obwodzie 48π cm. Ile wynosi skala podobieństwa tych okręgów? [Odp. � = 4.]

Dla wielokątów z rysunku 5 (strona 5), skala podobieństwa wynosi 2. Zauważ, że gdyby obrazem trójkąta o bokach: 6, 8, 10 był trójkąt o bokach: 3, 4, 5, to skala podobieństwa wynosiłaby ½ czyli 0,5. Innymi słowy, do ustalenia skali podobieństwa musisz wiedzieć to, czy druga figura jest obrazem pierwszej, czy pierwsza jest obrazem drugiej.

Robiąc rysunki dwóch figur podobnych, obraz figury rysuje się po stronie prawej kartki, a figurę obrazowaną po stronie lewej. Dzięki temu można uniknąć pogubienia się w tym czy figura prawa jest obrazem lewej, czy lewa pra-wej. W opracowaniu tym będę zawsze obraz danej figury rysować po stronie prawej, a figurę główną po stronie le-wej.

Uwaga. Gdyby skala podobieństwa dwóch figur wynosiła 0, to obrazem danej figury byłby punkt.

Uwaga. Jeśli skala podobieństwa wynosi 1, to wymiary obrazu danej figury są dokładnie takie same jak figury głów-nej.

Zadanie: Podaj jakie długości będą miały boki obrazu podanego czworokąta w podanej skali podobieństwa k.

a) 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm; k = 2 Odpowiedź: 8 cm, 12 cm, 16 cm, 20 cm.

b) 6 cm, 8 cm, 10 cm, 12 cm; k = 0,5 Odpowiedź: 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm.

c) 8 cm, 10 cm, 12 cm, 14 cm; k = 1 Odpowiedź: 8 cm, 10 cm, 12 cm, 14 cm.

d) 5 cm, 7 cm, 16 cm, 15 cm; k = �

�. Odpowiedź:

��

� cm,

��

� cm,

��

� cm,

��

� cm = 10 cm.

Aby rozwiązać to zadanie, wystarczyło długość każdego boku czworokąta przemnożyć przez skalę podo-

bieństwa. Gdyby skala podobieństwa była zapisana za pomocą liczby mieszanej, to najpierw warto zamie-

nić ów liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.


e) 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm; k = 2�

�. Odpowiedź: k =

��

�; �

� cm,

��

� cm,

��

� cm,

��

� cm.

Zadanie: Dany jest odcinek AB o długości 5 cm oraz odcinek CD o długości 8 cm. Oblicz skalę podobieństwa tych odcinków.

Rozwiązanie:

Zauważ, że w treści tego zadania nie jest powiedziane który z odcinków jest główny, a który jest jego ob-razem. W takim przypadku należy rozpatrzeć 2 przypadki:

— przyjmujesz, że odcinek AB (krótszy) jest wyjściowy, więc skalę podobieństwa wyliczasz układając działanie:

8 cm : 5 cm = 1,6.

— przyjmujesz, że odcinek AB jest obrazem odcinka CD (wyjściowego) więc skalę podobieństwa wyli-czymy układając działanie:

5 cm : 8 cm =�

= 0,625.

Odp.: Odcinki te są podobne do siebie zarówno w skali 1,6 jak i 0,625.

Zauważ również, że w powyższym zadaniu udzielanie odpowiedzi było zbyteczne, gdyż w treści zadania nie było za-danego pytania, a jak zapewne wiesz odpowiedź udziela się tylko na pytania. Jak nie ma pytania, to również nie ma na nie odpowiedzi. Prawda?

Ćwiczenie: Dane są odcinki o długościach 4 cm i 8 cm. Ile wynosi ich skala podobieństwa? [Odp. k = 0,5 lub k = 2.]

Ćwiczenie: Dane są odcinki o długościach 7 cm i 9 cm. Ile wynosi ich skala podobieństwa? [Odp. k = 7/9 lub k = 9/7.]

Ćwiczenie: Trójkąt DEF jest podobny do trójkąta ABC w skali k = 3. Oblicz długości boków trójkąta DEF, jeśli:

a) |AB|= 2 cm, |BC| = 3 cm, |CA| = 4 cm.

b) |AB|= 2,4 cm, |BC| = 3,5 cm, |CA| = 5,7 cm.

c) |AB|= 3�

� cm, |BC| = 4�

� cm, |CA| = 7�

� cm.

[Podpowiedź. Trójkąt DEF jest obrazem trójkąta ABC.]

Ćwiczenie: Trójkąt KLM jest podobny do trójkąta ABC w skali k = 0,3. Oblicz długości boków trójkąta KLM, jeśli:

a) |AB|= 2 cm, |BC| = 3 cm, |CA| = 4 cm.

b) |AB|= 2,4 cm, |BC| = 3,5 cm, |CA| = 5,7 cm.

c) |AB|= 3�

� cm, |BC| = 4�

� cm, |CA| = 7�

� cm.

Ćwiczenie: Trójkąt PRS jest podobny do trójkąta ABC w skali k = 5�

�. Oblicz długości boków trójkąta PRS, jeśli:

a) |AB|= 2 cm, |BC| = 3 cm, |CA| = 4 cm.

b) |AB|= 2,4 cm, |BC| = 3,5 cm, |CA| = 5,7 cm.

c) |AB|= 3�

� cm, |BC| = 4�

� cm, |CA| = 7�

� cm.

[Podpowiedź. Zamień podaną skalę podobieństwa na ułamek niewłaściwy i przemnóż przez nią długość każdego boku trójkąta ABC.]

Ćwiczenie: Trójkąt PRS jest podobny do trójkąta ABC w skali k = 5�

�. Oblicz długości boków trójkąta ABC, jeśli:

a) |PR|= 2 cm, |RS| = 3 cm, |SP| = 4 cm.

b) |PR|= 2,4 cm, |RS| = 3,5 cm, |SP| = 5,7 cm.

c) |PR|= 3�

� cm, |RS| = 4�

� cm, |SP| = 7�

� cm.

[Podpowiedź. Zamień podaną skalę podobieństwa na ułamek niewłaściwy i podziel przez nią długość każdego boku trójkąta PRS. W zadaniu chodzi o to, by

obliczyć długości boków trójkąta wyjściowego.]


Ćwiczenie: Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta MNK w skali k = 7. Oblicz długości boków trójkąta MNK, jeśli:

a) |AB|= 2 cm, |BC| = 3 cm, |CA| = 4 cm.

b) |AB|= 2,4 cm, |BC| = 3,5 cm, |CA| = 5,7 cm.

c) |AB|= 3�

� cm, |BC| = 4�

� cm, |CA| = 7�

� cm.

[Podpowiedź. Trójkąt ABC jest obrazem trójkąta MNK.]

Ćwiczenie: Trójkąt ABC ma boki o długościach: 8 cm, 9 cm, 12 cm, zaś najkrótszy bok trójkąta do niego podobnego ma długość 10 cm. Oblicz skalę podobieństwa tych trójkątów oraz długości dwóch pozostałych boków trójkąta. [Odp. k = 1,25; 11,25 cm; 15 cm.]

Ćwiczenie: Trójkąt ABC ma boki o długościach: 8 cm, 9 cm, 12 cm, zaś najdłuższy bok trójkąta do niego podobnego ma długość 10 cm. Oblicz skalę podobieństwa tych trójkątów oraz długości dwóch pozostałych boków trójkąta. [Odp. k = 5/6; 20/3 cm; 7,5 cm.]

Ćwiczenie: Trójkąt ABC ma boki o długościach: 18 cm, 12 cm, 16 cm, zaś najkrótszy bok trójkąta do niego podob-nego ma długość 6 cm. Oblicz skalę podobieństwa tych trójkątów oraz długości dwóch pozostałych bo-ków trójkąta. [Odp. k = 0,5; 9 cm; 8 cm.]

Cechy podobieństwa trójkątów

Przejdźmy teraz do podobieństwa trójkątów. Zastanów się teraz nad tym co minimum musisz wiedzieć, aby móc jednoznacznie stwierdzić, że dwa trójkąty są podobne. Ponieważ wiesz już, że przy podobieństwie wielokątów istot-ną rolę odgrywają miary kątów i długości boków, więc nie wykraczaj poza to.

1 cecha podobieństwa trójkątów:

Dwa trójkąty są do siebie podobne, jeśli przynajmniej dwa kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim dwóm kątom drugiego trójkąta. (Odpowiednie boki nie muszą być do siebie równoległe.)

Rysunek 8 — dwa trójkąty podobne do siebie na podstawie równości dwóch odpowiednich kątów

Przykład: Jeśli jeden z trójkątów ma kąty o miarach np. 60˚ i 40˚ i drugi z trójkątów również ma kąty o miarach 60˚ i 40˚, to te trójkąty są do siebie podobne.

Przykład: Jeśli jeden z trójkątów ma kąty o miarach np. 60˚, 40˚, 80˚ i drugi z trójkątów również ma kąty o miarach 60˚, 40˚, 80˚, to te trójkąty są do siebie podobne (bo mają wszystkie kąty równe). Innymi słowy, równość dwóch par odpowiednich kątów automatycznie pociąga za sobą równość kątów w ostatniej parze.

Spostrzeżenie: Jeśli jeden z trójkątów ma kąty dokładnie o tych samych miarach co drugi trójkąt, to te trój-kąty są podobne.

Tę cechę podobieństwa trójkątów nazywamy: kąt, kąt, kąt i oznaczamy w skrócie: kkk.


Zadanie: Dany jest trójkąt prostokątny ABC w którym AD jest wysokością opuszczoną na najdłuższy bok.

a) Czy trójkąt ABD jest podobny do trójkąta ADC?

Rozwiązanie:

∢ADB = 90˚ (z treści zadania). ∢DBA oznaczasz przez α zaś ∢DAB oznaczasz przez β. Ponieważ suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180˚, więc zauważ, że α + β = 90˚. Zauważ teraz, że z treści zadania

∢CAB jest równy 90˚, czyli jest równy α + β. Zatem ∢CAD = α. Na podstawie treści zadania ∢ADC = 90˚.

Ponieważ suma kątów w trójkącie ADC wynosi 180 stopni, więc ∢ACD razem z kątem CAD musi dawać

dokładnie 90˚, a to oznacza, że ∢ACD = β.

Ponieważ trójkąty: ABD i ADC mają 3 kąty o tych samych miarach, więc na mocy cechy podobieństwa trójkątów kkk wnioskujesz, że są one do siebie podobne.

b) Czy trójkąt ABD jest podobny do trójkąta ABC?

Rozwiązanie:

Sprawdzasz, czy kąty obu trójkątów mają takie same miary. Trójkąt ABD ma kąty o miarach: 90˚, α, β. Trójkąt ABC ma kąty o miarach: 90˚, α, β. Zatem na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kkk wnioskujesz, że są one do siebie podobne.

c) Czy trójkąt ADC jest podobny do trójkąta ABC?

Rozwiązanie:

Sprawdzasz, czy kąty obu trójkątów mają takie same miary. Trójkąt ADC ma kąty o miarach: 90˚, α, β. Trójkąt ABC ma kąty o miarach: 90˚, α, β. Zatem na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kkk stwierdzasz, że są one do siebie podobne.


Dwa trójkąty są do siebie podobne, jeśli przynajmniej dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpo-wiednich dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między nimi są równe.

Rysunek 9 — dwa trójkąty podobne do siebie na podstawie proporcjonalności dwóch par odpowiednich boków i równości odpowiednich kątów między nimi.

Przykład: Jeśli jeden z trójkątów ma boki o długościach: 3 cm i 4 cm oraz kąt o mierze 90˚ zawarty między nimi, zaś drugi z trójkątów ma boki o długościach np.: 15 cm i 20 cm oraz także kąt o mierze 90 stopni zawarty między nimi, to te trójkąty są do siebie podobne.

Aby wykazać, że zawsze tak jest, należy posłużyć się twierdzeniem odwrotnym do twier-dzenia Talesa.

Tę cechę podobieństwa trójkątów nazywamy: bok, kąt, bok i oznaczamy w skrócie: bkb.



Aby dwa trójkąty były do siebie podobne, wystarczy żeby wszystkie boki jednego trójkąta były proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta.

Przykład: Jeśli jeden z trójkątów ma boki o długościach: 3 cm, 4 cm, 5 cm, zaś drugi trójkąt ma boki o długościach: 6 cm, 8 cm, 10 cm (przemnożone w tym przypadku przez 2), to te trójkąty są do siebie podobne.

Tę cechę podobieństwa trójkątów nazywamy: bok, bok, bok i oznaczamy w skrócie: bbb.

Ćwiczenie: Odpowiedz na poniższe pytania.

a) Co to jest skala podobieństwa? [Odp. Na stronie 6.]

b) Ile jest cech podobieństwa trójkątów i jak się one nazywają? [Odp. Na stronie 11.]

c) Czy trójkąt równoramienny mający między ramionami kąt 120˚ jest podobny do trójkąta równobocznego? Odpowiedź uzasadnij. [Odp. Nie jest podobny. Wynika to z cechy podobieństwa trójkątów kkk.]

d) Czy trójkąt równoramienny mający między ramionami kąt 60˚ jest podobny do trójkąta równobocznego? Odpowiedź uzasadnij. [Odp. Tak jest podobny, bo ma wszystkie kąty po 60˚ — wynika tak z cechy podobieństwa trójkątów kkk.]

e) Czy trójkąt równoramienny o kącie między ramionami 15˚ jest podobny do trójkąta równoramiennego mającego między ramionami także kąt 15˚? [Odp. Tak, na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kkk lub bkb.]

f) Na podstawie której cechy podobieństwa trójkątów można stwierdzić, że dwa trójkąty równoramienne o kącie między ramionami 11˚ są podobne? [Odp. Na stronie 10.]

g) Na podstawie której cechy podobieństwa trójkątów można stwierdzić, że dwa trójkąty równoramienne o kątach przy podstawach po 16˚ są podobne? [Odp. Na stronie 10.]

h) Co oznacza sformułowanie, że boki dwóch wielokątów do siebie proporcjonalne? [Odp. Na stronie 5.]

i) Czy trójkąt o bokach: 6 cm, 12 cm, 15 cm jest podobny do trójkąta o bokach: 4 cm, 8 cm, 10 cm? [Odp. Tak.

Skala podobieństwa wynosi �

�.]

j) Czy to prawda, że jeśli dwie figury są podobne, to mają dokładnie taki sam kształt? [Odp. Na stronie 3.]

k) Czy to prawda, że jeśli dwa wielokąty są podobne, to kąty jednego z nich są równe odpowiednim kątom drugiego? [Odp. Na stronie 9.]


Zadanie: Stosunek długości7 boków trójkąta ABC wynosi 4 ∶ 6 ∶ 8. Jakie długości boków ma trójkąt DEF do niego

podobny, jeśli obwód trójkąta DEF wynosi 36 cm?

Średnica każdego z narysowanych okręgów równa jest od-cinkowi jednostkowemu. Dzięki temu widać, że stosunek boków tego trójkąta wynosi 4 : 6 : 8, bo na każdym z nich uwidoczniono odpowiednio 4, 6, 8 przystających (identycz-nych) okręgów.

Rozwiązanie:

Obliczenia rozpoczynam od ustalenia, na ile odcinków jednostkowych jest podzielony obwód trójkąta ABC:

4 + 6 + 8 = 18.

Ponieważ:

— długość jednego z boków trójkąta ABC stanowi �

� jego obwodu

— długość drugiego z boków trójkąta ABC stanowi

� jego obwodu

— długość trzeciego z boków trójkąta ABC stanowi

� jego obwodu

zatem, długości boków trójkąta DEF, będą mieć odpowiednio długość:

�

�∙ 36 cm = 8 cm;

�∙ 36 cm = 12 cm;

�∙ 36 cm = 16 cm.

Odpowiedź. Trójkąt DEF ma boki o długościach: 8 cm, 12 cm, 16 cm.

Powyższe zadanie można też było obliczyć w nieco inny, choć równoważny sposób. Ponieważ obwód trójkąta ABC został podzielony na 18 przystających (identycznych) okręgów, więc średnica każdego z nich wynosi 2 cm (długość obwodu podzielona przez liczbę tych okręgów). Skoro bok AC składa się z 4-ch takich okręgów, to jego długość wy-nosi 8 cm. Analogicznie z pozostałymi bokami.

Ćwiczenie: Stosunek długości boków czworokąta ABCD wynosi 1 : 2 : 3 : 4. Ile centymetrów wynosi długość każde-go boku czworokąta EFGH podobnego do ABCD, jeśli obwód czworokąta EFGH wynosi pół metra?

Ćwiczenie: Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Z wierzchołków A i B poprowadzono wysokości tego trójkąta, które przecinają bok AC w punkcie D, a bok BC w punkcie E. Punkt przecięcia tych wysokości oznaczono przez S. Dlaczego trójkąty ASD i BSE są podobne? [Podpowiedź. Skorzystaj z tego, że kąty wierzchołkowe mają równe miary. Cecha kkk.]

Cechy podobieństwa prostokątów

Prostokąt — czworokąt mający wszystkie kąty proste (po 90˚).

Kwadrat jest prostokątem, bo ma wszystkie kąty po 90˚.

Wyobraźmy sobie teraz prostokąt o bokach 3 cm i 4 cm, a następnie drugi prostokąt o bokach 6 cm i 8 cm. Zauważ-my, że prostokąty te, spełniają oba warunki podobieństwa wielokątów tj.:

— odpowiednie boki są proporcjonalne (skala podobieństwa wynosi w tym przypadku 2)

— odpowiednie kąty są równe (w przypadku prostokątów po 90˚).

7 Co to jest stosunek dwóch liczb (długości boków) znajdziesz na stronie 46.


Dodatkowo zauważmy, że jeśli w obu tych prostokątach dorysujemy przekątną, to do stwierdzenia podobieństwa tych prostokątów, wystarczy, że:

— kąt między przekątną a bokiem prostokąta, będzie równy odpowiedniemu kątowi w drugim prostokącie.

Rysunek 10 — prostokąty podobne

Żeby dowieść prawdziwości powyższego stwierdzenia, wystarczy wykorzystać cechę podobieństwa trójkątów kkk.

Spostrzeżenie: Jeśli odpowiednie boki prostokątów są równoległe, to i odpowiednie przekątne też są równoległe.

Wniosek: Jeśli na przekątnej prostokąta zaznaczymy dowolny punkt i poprowadzimy z niego odcinki równo-ległe do boków danego prostokąta (rysunek poniżej), to uzyskany w ten sposób prostokąt będzie podobny do wyjściowego.

Rysunek 11 — 3 prostokąty podobne do siebie (wspólna przekątna).

Zadanie: Prostokąt EFGH jest podobny do prostokąta ABCD w skali k = 5/7. Jakie długości mają boki obu tych pro-stokątów, jeśli wiadomo, że obwód prostokąta ABCD jest równy 42 cm, a bok AB jest dłuższy od boku BC o 7 cm?

Rozwiązanie:

Do rozwiązania tego zadania posłużę się układem równań8 i rozwiążę go metodą przeciwnych współczyn-

ników.

�2|��| + 2|��| = 42 cm|��| = |��| + 7

+�|��| + |��| = 21|��| − |��| = 7

2|��| = 28

|��| = 14 cm

8 Układy równań precyzyjnie są omówione w oddzielnym opracowaniu.


|��| = 7 cm

|��| = |��| ∙5

7= 14 ∙

5

7= 10 cm

|� | = |��| ∙5

7= 7 ∙

5

7= 5 cm

Odpowiedź. Prostokąt ABCD ma boki o długościach 14 cm i 7 cm, zaś prostokąt EFGH ma boki o długościach 10 cm i 5 cm.

Ćwiczenie: Prostokąt EFGH jest podobny do prostokąta ABCD w skali k = 8/3. Jakie długości mają boki obu tych prostokątów, jeśli wiadomo, że obwód prostokąta ABCD jest równy 48 cm, a bok AB jest dłuższy od bo-ku BC o 6 cm? [Odp. 15 cm i 9 cm oraz 40 cm i 24 cm.]

Ćwiczenie: Prostokąt EFGH jest podobny do prostokąta ABCD w skali k = 6/5. Jakie długości mają boki obu tych prostokątów, jeśli wiadomo, że obwód prostokąta ABCD jest równy 50 cm, a bok AB jest dłuższy od bo-ku BC o 10 cm? [Odp. 17,5 cm i 7,5 cm oraz 21 cm i 9 cm.]

Ćwiczenie: Wykaż, że jeżeli kąt zawarty między przekątnymi w jednym prostokącie, jest równy odpowiedniemu kątowi zawartemu między dwiema przekątnymi w drugim prostokącie, to te prostokąty są podobne. [Podpowiedź. Wykorzystaj odpowiednią cechę podobieństwa trójkątów oraz jedną z własności trójkąta równoramiennego.]

Ćwiczenie: Dany jest prostokąt ABCD oraz odcinek o długości p. Przy pomocy cyrkla i liniału9, skonstruuj10 obraz prostokąta ABCD o obwodzie równym odcinkowi p. [Podpowiedź. Wykorzystaj konstrukcję podziału danego odcinka na równe

części — na półprostej wychodzącej z jednego końca odcinka p, odłóż po dwa odcinki o długościach AB i po dwa o długościach BC. Na mocy twierdzenia Ta-

lesa11

otrzymasz odcinki proporcjonalne do tych odłożonych na półprostej.]

Ćwiczenie: Dany jest czworokąt ABCD mający ∢A = 110˚, ∢B = 120˚, ∢C = 70˚. Boki AD i BC przedłużono w taki sposób, by się przecięły. Punkt przecięcia tych boków oznaczono przez S. Które trójkąty są do siebie podobne i na mocy której cechy podobieństwa? [Odp. SCD i SBA na mocy cechy podobieństwa kkk.]

Ćwiczenie: Dany jest trapez nierównoramienny ABCD w którym bok AB o długości 12 cm jest równoległy do boku CD o długości 9 cm. Ramiona tego trapezu przedłużono w taki sposób by się przecięły. Punkt ich prze-cięcia oznaczono S. Dodatkowo w trapezie tym narysowano przekątne, które przecinają się w punkcie W. Znajdź wszystkie pary trójkątów podobnych oraz określ skalę ich podobieństwa. [Podpowiedź. Zauważ, że bo-

ki AB i CD są równoległe, a kąty DAB i CDA są naprzemianległe. Doszukaj się też kątów wierzchołkowych. Odp. CDS i ABS oraz CDW i ABW; k = 4/3.]

Zadanie: Narysuj dwa czworokąty, które nie są do siebie podobne, a które mają odpowiednie boki proporcjonalne.

Rozwiązanie:

Wystarczy wykonać rysunek kwadratu i rombu o dowolnych długościach boków.

Ćwiczenie: Narysuj dwa czworokąty, które nie są do siebie podobne, a które mają odpowiednie kąty równe. [Podpo-

wiedź. Co wiesz o kwadracie i prostokącie nie będącym kwadratem?]

Ćwiczenie: Dany jest okrąg z narysowanymi dwiema przecinającymi się w punkcie W cięciwami AB i CD o różnej długości. Dlaczego trójkąty ACW i DBW są do siebie podobne? [Podpowiedź. Dorysuj kąt środkowy oparty na tym samym

łuku co kąt ACD lub ABD.]

9 Liniał — przyrząd od którego można narysować linię prostą. Liniałem mogłaby być linijka bez podziałki.

10 Konstrukcje geometryczne (w tym podział odcinka na równe części) są omówione w opracowaniu dotyczącym twierdzenia Talesa.

11 Twierdzenie Talesa jest omówione w osobnym opracowaniu.


Zadanie: Dany jest prostokąt ABCD oraz okrąg o średnicy AB. Okrąg ten przecina bok CD prostokąta w punktach K i L. Wykaż, że △ �� ~ △ �� ~ △ ��.

Rozwiązanie:

∢ADK = 90˚, bo jest to kąt prostokąta

∢BCK = 90˚, bo jest to kąt prostokąta

∢AKB = 90˚, bo jest to kąt wpisany12 oparty na średnicy

∢AKD + ∢AKB + ∢BKC = 180˚. Skoro już wiemy, że ∢AKB = 90˚, więc ∢AKD + ∢BKC = 90˚.

Żeby nie komplikować obliczeń, oznaczmy miarę kąta AKD przez α, zaś kąta BKC przez β. Zatem:

α + β = 90˚

α = 90˚ – β β = 90˚ – α

Patrzę teraz na trójkąt DKA i widzę, że ∢DAK = 180˚ – 90˚ – α = 90˚ – α = β.

Patrzę teraz na trójkąt BCK i widzę, że ∢BCK = 180˚ – 90˚ – β = 90˚ – β = α.

Patrzę teraz na trójkąt ABK i widzę, że ∢KAB = ∢DAB – ∢DAK = 90˚ – β = α.

Patrzę teraz na trójkąt ABK i widzę, że ∢KAB = 180˚ – 90˚ – ∢KAB = 90˚ – α = β.

Zatem trójkąty: ADK, BCK, ABK mają kąty o miarach: 90˚, α, β. Co za tym idzie, na mocy cechy podobień-stwa trójkątów kkk, wnioskuję, że są one do siebie podobne, co należało dowieść.

Zadanie: Zrób obliczenia wykazujące, że jeśli dwa prostokąty, pierwszy o bokach � i � oraz drugi o bokach � + 5 i � + 5 są do siebie podobne, to są one kwadratami.

Rozwiązanie:

Ponieważ prostokąty te są do siebie podobne (jest to zagwarantowane w treści zadania), więc dzieląc dłu-gości boków pierwszego z nich przez odpowiednie długości boków drugiego z nich, dostajesz tę samą licz-bę. Zatem: �� + 5

=�� + 5

Ponieważ powyższy zapis to tzw. proporcja, więc rozwiązujesz ją wykonując mnożenie po skosie:

�� + 5� = �� + 5�

�� + 5� = �� + 5� 12

Twierdzenie: Jeśli kąt wpisany i środkowy opierają się na tym samym łuku, to kąt wpisany jest dokładnie 2 razy mniejszy od kąta środ-

kowego. Zatem, jeśli kąt środkowy będzie mieć miarę 180˚ (średnica okręgu), to każdy kąt wpisany oparty na tym samym łuku, będzie

mieć miarę 90˚.


5� = 5� /: 5

� = �

więc pierwszy prostokąt ma boki o tej samej długości, czyli jest kwadratem. Skoro drugi prostokąt jest do niego podobny, więc także jest kwadratem, co należało dowieść.

Podobieństwo kół i okręgów

Podobieństwo kół i okręgów da się znacznie szybciej omówić niż podobieństwo wielokątów. Na początek zacznijmy od tego, że każde 2 koła lub okręgi są do siebie podobne, a jedyna trudność jaka może się zdarzyć, to ustalenie ich skali podobieństwa — a to jest sprawa banalna. Zobacz. Jeśli masz dwa okręgi — pierwszy o promieniu � = 4 cm i drugi będący jego obrazem o promieniu � = 12 cm, to skalę podobieństwa obliczasz dzieląc zawsze długość pro-mienia drugiego okręgu (obrazu), przez długość promienia pierwszego okręgu. W tym przypadku otrzymasz, że:

� = �12 cm� ∶ �4 cm� = 3

i ot cała filozofia z ustalaniem ich skali podobieństwa. Zauważ również, że dzieląc obwód drugiego okręgu (koła) któ-ry jest równy 24�, przez obwód pierwszego który jest równy 8� również dostaniesz, że � = �24�� ∶ �8�� = 3. Wy-nik wyszedł ten sam. W przypadku zaś pól tych kół nie będzie już tak samo. Pole drugiego koła jest równe 144�, pierwszego 16�, więc dzieląc 144� przez 16� dostaniesz wynik równy 9 — jest to wcześniej obliczone � podniesio-ne do potęgi 2. Możesz więc powiedzieć, że stosunek pól kół podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.


Temat: Związek między skalą podobieństwa a stosunkiem pól figur podobnych.

Na poniższym rysunku zostały przedstawione dwa prostokąty podobne do siebie w skali k = 3.

Rysunek 12 — prostokąty podobne

Obliczmy teraz pole powierzchni każdego z nich. Niech

Pm oznacza pole mniejszego prostokąta, zaś Pw pole

większego prostokąta.

�� = ��

�� = 3� ∙ 3� = 9��

�� = 9 ∙ ��

Wniosek: Jeśli skala podobieństwa dwóch prostokątów

wynosi 3, to stosunek pola większego prosto-

kąta do pola mniejszego, wynosi 9, czyli 32.

Wynik ten można również było odgadnąć bez obliczeń.

Wystarczyło na powyższym rysunku policzyć z ilu małych

prostokącików składa się duży prostokąt.

Rozpatrzmy teraz dwa trójkąty równoboczne13 o skali podobieństwa k = 5.

Pole mniejszego z nich wynosi:

� �� =√3

4��

[Wzór ten można otrzymać stosując twierdzenie Pitagorasa.]

zaś pole większego:

�� =√3

4�5��ł.��

�=

√3

4∙ 25��

�� = 25 ∙ � ��

Rysunek 13 — trójkąty podobne

Wniosek: Jeśli skala podobieństwa dwóch trójkątów równobocznych wynosi 5, to stosunek pola większego trójkąta

równobocznego do pola mniejszego, wynosi 25, czyli 52.

Wynik ten można również było odgadnąć bez obliczeń. Wystarczyło na powyższym rysunku policzyć z ilu małych

trójkącików składa się duży trójkąt.

13

Wzory dotyczące trójkąta równobocznego znajdziesz na stronie 45.


Uogólnienie powyższych wniosków:

Jeśli dwie figury są do siebie podobne w skali �,

to dzieląc pole drugiej z nich przez pole pierwszej

dostaniesz zawsze ��.

Jeśli dwie figury są do siebie podobne w skali �,

to dzieląc pole pierwszej z nich przez pole drugiej

dostaniesz zawsze �

��.

Zamiast mówić że dzielisz pole jednej figury przez pole drugiej

możesz powiedzieć bardziej fachowo, że

stosunek pola obrazu figury do pola figury wyjściowej

jest zawsze równy kwadratowi skali podobieństwa tych figur.

Wniosek: Aby obliczyć pole wielokąta wyjściowego, znając pole jego obrazu i skalę podobieństwa, należy pole tego

obrazu podzielić przez kwadrat skali podobieństwa.

Przykład: Jakie pole ma trójkąt równoboczny, jeśli pole jego obrazu wynosi 32 cm2, a skala podobieństwa

k = 4? Rozwiązanie: ��

��=��

�= 2 cm�.

Wniosek: Aby obliczyć skalę podobieństwa dwóch figur podobnych, znając pole figury wyjściowej i jej obrazu, należy

pole obrazu podzielić przez pole figury wyjściowej i otrzymany wynik spierwiastkować.

Przykład: Ile wynosi skala podobieństwa dwóch prostokątów, jeśli prostokąt wyjściowy ma pole równe

20 cm2, zaś jego obraz 180 cm2? Rozwiązanie: � = ��

�� = √9 = 3.

Ćwiczenie: Kwadrat EFGH jest podobny do kwadratu ABCD w skali k = 8. Ile razy pole kwadratu EFGH jest większe od pola kwadratu ABCD? [Odp. 64 razy.]

Ćwiczenie: Skala podobieństwa dwóch kwadratów wynosi 4. Jaki jest stosunek pola mniejszego kwadratu do pola większego kwadratu? [Odp. 1/16.]

Ćwiczenie: Skala podobieństwa dwóch kwadratów wynosi 5. Jaką długość ma bok mniejszego kwadratu, jeśli pole większego z nich wynosi 100 cm2? [Odp. 2 cm.]

Ćwiczenie: Skala podobieństwa dwóch kwadratów wynosi 2. Jaką długość ma bok mniejszego kwadratu, jeśli pole większego z nich wynosi 25 cm2? [Odp. 2,5 cm.]

Ćwiczenie: Przekątna mniejszego kwadratu ma długość 8√2 cm. Jakie pole będzie mieć kwadrat podobny do da-nego w skali k = 10? [Podpowiedź. Najpierw oblicz pole mniejszego kwadratu. Odp. 6400 cm

2.]

Ćwiczenie: Pole kwadratu ABCD jest 5,5 razy większe od pola kwadratu EFGH. W jakiej skali podobieństwa wyko-nany jest kwadrat EFGH w stosunku do ABCD? [Podpowiedź. Zamień najpierw liczbę 5,5 na ułamek niewłaściwy nieskracalny.

Odp. 2/11.]

Ćwiczenie: Długości boków prostokąta są równe 6 cm i 10 cm. Oblicz długości boków prostokąta podobnego do niego, jeśli jego pole jest równe 15 cm2. [Podziel pole drugiego prostokąta przez pole danego prostokąta i otrzymany wynik spierwiast-

kuj. Odp. K = 0,5.]

Ćwiczenie: Prostokąt EFGH jest podobny do prostokąta ABCD w skali k = 3,5. Jakie pola mają prostokąty ABCD i EFGH jeśli |CD| = 8 cm, a |FG| = 21 cm? [Odp. 48 cm

2; 588 cm

2.]

Ćwiczenie: Prostokąt EFGH jest podobny do prostokąta ABCD w skali k = 5/7. Jakie pola mają prostokąty ABCD i EFGH jeśli obwód mniejszego z nich wynosi 70 cm, a w prostokącie większym, bok krótszy stanowi 0,75 boku dłuższego? [Podpowiedź. Prostokąt ABCD jest większy od EFGH. Wykorzystaj skalę podobieństwa do napisania równań wiążących

odpowiednie boki prostokątów. Ułóż układ równań14

. Odp. PABCD = 588 cm2; PEFGH = 300 cm

2.]

14

O układach równań możesz przeczytać w oddzielnym opracowaniu.


Ćwiczenie: Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości a. Ile będzie wynosić pole trójkąta EFG podobnego do ABC, jeśli skala podobieństwa k = 4? [Odp. 4��√3.]

Ćwiczenie: W trójkącie równobocznym ABC, wysokość h = 8 cm. Ile będzie wynosić pole trójkąta EFG podobnego do ABC, jeśli skala podobieństwa k = 3? [Podpowiedź. Najpierw wylicz długość boku trójkąta ABC, a następnie w oparciu o wzór P =

(ah)/2 wylicz pole trójkąta ABC. Odp. 192√3 cm.]

Ćwiczenie: W trójkącie równobocznym ABC, długość promienia okręgu opisanego na nim wynosi 5 cm. Ile będzie wynosić pole trójkąta EFG podobnego do ABC, jeśli skala podobieństwa k = 4? [Podpowiedź. Najpierw wylicz dłu-

gość boku trójkąta ABC. Odp. 300√3 cm.]

Ćwiczenie: W trójkącie równobocznym ABC, długość promienia okręgu wpisanego w niego wynosi 6 cm. Ile będzie

wynosić pole trójkąta EFG podobnego do ABC, jeśli skala podobieństwa k = √3? [Podpowiedź. Najpierw wylicz dłu-

gość boku trójkąta ABC. Odp. 324√3 cm.]

Ćwiczenie: Pole trójkąta równobocznego EFG podobnego do ABC wynosi 54 cm2. Wysokość trójkąta ABC ma dłu-gość 6 cm. Ile wynosi skala podobieństwa trójkąta EFG względem trójkąta ABC? [Podpowiedź. Wylicz najpierw dłu-

gość boku trójkąta ABC, a następnie jego pole. Mając już to, podziel pole trójkąta EFG przez pole trójkąta ABC i otrzymany wynik spierwiastkuj. Odp.

� = �1,5√3 cm ≈ 1,61.]

Ćwiczenie: Dane są dwa trójkąty podobne o polach: 100 cm2 i 400 cm2. Wysokość mniejszego z nich wynosi 14 cm. Jaką długość ma wysokość większego trójkąta? [Podpowiedź. k

2 = 4, czyli k = 2. Odp. 28 cm.]

Ćwiczenie: Dane są dwa trójkąty podobne o polach: 250 cm2 i 750 cm2. Wysokość mniejszego z nich wynosi 5 cm. Jaką długość ma wysokość większego trójkąta? [Podpowiedź. k

2 = 3, czyli k = √3. Odp. 5√3 cm.]

Ćwiczenie: Dane są dwa trójkąty podobne o polach: 300 cm2 i 2700 m2. Wysokość mniejszego z nich wynosi 12 cm. Jaką długość ma wysokość większego trójkąta? [Podpowiedź. Pola trójkątów są wyrażone w różnych jednostkach. k

2 = 90000, czyli

k = 300. Odp. 3600 cm = 36 m.]

Ćwiczenie: Dane są dwa trójkąty: ABC i DEF o obwodach odpowiednio 16 cm i 24 cm. Jaki jest stosunek pola trój-kąta większego do pola trójkąta mniejszego? [Podpowiedź. k = 24/16 = 3/2. Odp. 9 : 4.]

Ćwiczenie: Dane są dwa trójkąty: ABC i DEF o obwodach odpowiednio 16 cm i 12 cm. Jaki jest stosunek pola trój-kąta DEF do pola trójkąta ABC? [Podpowiedź. k = 12/16 = 3/4. Odp. 9 : 16.]

Po serii ćwiczeń, przejdźmy do poszukania związku między skalą podobieństwa figur, a skalą jaka występuje na ma-pach i planach. Zauważmy, że jeśli mamy dwa kwadraty np. o bokach długości: 2 cm i 6 cm, to piszemy, że skala po-dobieństwa k = 3 — powiększenie 3-krotne pierwszej figury. W przypadku zaś skali jaka występuje na planach, to samo zapisujemy w sposób: 3 : 1. Gdybyśmy rozpatrywali te same kwadraty w odwrotnej kolejności, to skala podo-bieństwa k byłaby równa 1/3, zaś na planach, trzeba byłoby użyć zapisu: 1 : 3.

Wniosek: Jeśli k = 5, to zapis na planie będzie wyglądać następująco: 5 : 1.

Jeśli k = 1/8 to zapis na planie będzie wyglądać następująco: 1 : 8.

Jeśli k = 2/3 to zapis na planie nie istnieje.

Uwaga. Między skalą na planach i mapach, a skalą podobieństwa istnieje zasadnicza różnica. Otóż skala na pla-nach i mapach musi być zapisana:

— z wykorzystaniem liczby 1 np.: 1 : 100, 1 : 5, 20 : 1, 1000 : 1, …

— tylko i wyłącznie przy użyciu dodatnich liczb naturalnych15,

skala podobieństwa zaś, może być dowolną liczbą dodatnią. Do jej zapisania można używać nawet symbolu pierwiastka.

Ćwiczenie: Pewien bardzo mały przedmiot przedstawiono na rysunku w skali 10 : 1. Jaka jest skala podobieństwa wymiarów z rysunku do wymiarów rzeczywistych tego przedmiotu? [Odp. k = 10.]

Ćwiczenie: Dwie mapy przedstawiają Polskę. Pierwsza z nich jest wykonana w skali 1 : 3 000 000, a druga w skali 1 : 15 000 000. Jaka jest skala podobieństwa między mapą drugą a pierwszą? [Podpowiedź. Skala 1 : 15 000 000 jest

mniejsza od skali 1 : 3 000 000. Odp. k = 1/5.]

15

Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Zbiór liczb naturalnych oznacza się dużą literą N lub rzadziej N0.


Ćwiczenie: Dwa plany tego samego obszaru wykonano w dwóch różnych skalach: 1 : 200 i 1 : 1000. Ile wynosi ska-la podobieństwa między planem wykonanym w większej skali, a planem wykonanym w mniejszej skali? [Podpowiedź. Skala to ułamek zapisany za pomocą dwukropka. Jeśli dwa ułamki mają równe liczniki, to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik.

Skala 1 : 200 jest większa 5 razy od skali 1 : 1000. Odp. k = 5.]

Ćwiczenie: Przydomowy ogródek ma kształt prostokąta o wymiarach 32 m × 72 m. Jakie wymiary oraz jakie pole będzie mieć ten ogródek na rysunku wykonanym w skali 1 : 800? [Odp. 4 cm × 9 cm = 36 cm

2.]

Ćwiczenie: Podłoga w Sali lekcyjnej ma powierzchnię 69 m2. Ile cm2 zajmie ona na kartce papieru, po wykonaniu w skali 1 : 10 000? Ile wyniesie skala podobieństwa między rysunkiem tej podłogi wykonanym w skali 1 : 10 000 a 1 : 2 500? [Podpowiedź. 1 m

2 = 100 cm × 100 cm = 10 000 cm

2. Odp. 69 cm

2; k = ¼ = 0,25.]

Ćwiczenie: Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych wynosi 4 : 9. W jakim stosunku są ich obwody? [Odp. 2 : 3.]

Ćwiczenie: Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych wynosi 3 : 7. W jakim stosunku są ich obwody? [Odp. √21 : 7.]

Ćwiczenie: Stosunek pola trójkąta DEF do pola trójkąta podobnego ABC jest równy 1 : 4. Oblicz stosunek długości obwodu trójkąta DEF do długości obwodu trójkąta ABC. [Odp. 1 : 2.]

Ćwiczenie: Stosunek pola trójkąta DEF do pola trójkąta podobnego ABC jest równy 1 : 2. Oblicz stosunek długości obwodu trójkąta DEF do długości obwodu trójkąta ABC. [Odp. √2 : 2.]

Ćwiczenie: Stosunek pola trójkąta DEF do pola trójkąta podobnego ABC jest równy 1 : 9. Oblicz stosunek długości obwodu trójkąta ABC do długości obwodu trójkąta DEF. [Odp. 3 : 1.]

Ćwiczenie: Stosunek pola trójkąta DEF do pola trójkąta podobnego ABC jest równy 1 : 3. Oblicz stosunek długości obwodu trójkąta większego do długości obwodu trójkąta mniejszego. [Odp. √3 : 1.]

Zadanie: Stosunek pól dwóch czworokątów jest o 2 większy od stosunku obwodów tychże czworokątów. Oblicz skalę podobieństwa tych czworokątów.

Oznaczenia: �� — pole większego czworokąta �� — pole mniejszego czworokąta �� — obwód większego czworokąta �� — obwód mniejszego czworokąta

Rozwiązanie: �� =�� + 2

�� = � + 2

…

� = −1 lub � = 2

Ponieważ skala podobieństwa nie może być ujemna, więc rozwiązanie � = −1 należy odrzucić.

Odpowiedź: Skala podobieństwa tych czworokątów wynosi 2.


Temat: Jednokładność figur geometrycznych.

Jednokładność prosta i odwrotna

Aby mówić o jednokładności16 figur musimy najpierw być 100% pewni, że przedstawione figury są podobne.

Jeśli figury nie są podobne, to na pewno nie są jednokładne.

Jeśli figury są podobne, to czasami mogą być jednokładne, a czasami nie.

Aby sprawdzić, czy dwie figury podobne są jednokładne, należy sprawdzić czy istnieje tzw. środek jednokładności.

Środek jednokładności — punkt przez który przechodzą wszystkie proste poprowadzone przez odpowied-nie punkty danych figur.

Najszybszym sposobem na sprawdzenie tego, czy wielokąty (np. dwa kwadraty) mają środek jednokładności, jest poprowadzenie prostych przez ich odpowiednie wierzchołki i sprawdzenie, czy wszystkie te proste przecinają się w jednym punkcie.

Rysunek 14 — figury podobne, ale nie jednokładne (brak jednego punktu przecięcia czerwonych prostych).

Rysunek 15 — figury podobne i zarazem jednokładne (istnieje jeden punkt przecięcia wszystkich prostych prze-chodzących przez odpowiednie punkty obu figur).

Spostrzeżenie: Jeśli wielokąty są jednokładne, to ich odpowiednie boki zawsze są równoległe.

Spostrzeżenie: Sformułowanie odwrotne do powyższego tj.:

Jeśli odpowiednie boki wielokątów są równoległe, to wielokąty te są jednokładne.

nie jest zawsze prawdziwe.

16

Inna nazwa jednokładności to homotetia.


Rysunek 16 — wielokąty podobne (� = 1) zachowujące równoległość odpowiednich boków, ale nie będące jed-nokładne (brak środka jednokładności).

Jednokładność prosta jest wtedy, gdy dana figura i jej obraz jednokładny leżą po tej samej stronie środka jednokładności (patrz rysunek 15 na str. 21).

Rozpatrzmy „najprostszą” figurę geometryczną tj. punkt i spróbujmy znaleźć jego obraz względem ustalonego pun-ktu S. Na początek oznaczmy dany punkt przez A i umówmy się, że jego obraz nazwiemy A’. Pierwszą rzeczą o której musimy pamiętać jest to, że wszystkie te 3 punkty muszą leżeć na jednej prostej, a drugą, że punkty A i A’ muszą leżeć po tej samej stronie punktu S. Bardziej fachowo powiemy, że punkty A i A’ muszą leżeć na tej samej półprostej mającej początek w punkcie S.

Rysunek 17 — jednokładność prosta punktu A względem punktu S

Ćwiczenie: Zaznacz po jednym przykładowym obrazie punktów A, B, C, D w jednokładności prostej względem punktu S.

Jednokładność odwrotna jest wtedy, gdy dana figura i jej obraz jednokładny leżą po przeciwnych stronach środka jednokładności.

Rozpatrzmy ponownie punkt i znowu spróbujmy znaleźć jego obraz względem ustalonego punktu S. Podobnie jak poprzednio oznaczmy go przez A, a jego obraz przez A’. Ponieważ nadal mamy do czynienia z jednokładnością, więc nadal wszystkie te 3 punkty będą musiały leżeć na jednej prostej. Tym razem jednak, punkty A i A’ będą leżeć po przeciwnej stronie punktu S.

Rysunek 18 — jednokładność odwrotna punktu A względem punktu S

Ćwiczenie: Zaznacz po jednym przykładowym obrazie punktów A, B, C, D w jednokładności odwrotnej względem punktu S.


Przejdźmy teraz do figur mających obwód większy od zera. Na początek przypomnijmy sobie, że dowolna figura róż-na od punktu np. okrąg, kwadrat, trójkąt, odcinek itp. składa się z nieskończenie wielu punktów leżących tak bardzo blisko siebie, że między nimi nie ma żadnych dziur ani przerw. Oznacza to, że chcąc otrzymać obraz jednokładny takiej figury należy każdy punkt należący do tej figury przekształcić jednym z dwóch sposobów opisanych powyżej tj. przez jednokładność prostą lub odwrotną. Ponieważ narysowanie na rysunku nieskończenie wielu prostych prze-chodzących przez każdy punkt figury i dany środek jednokładności nie jest możliwe, więc trzeba będzie posłużyć się pewnym sposobem, by jak najmniejszym nakładem pracy móc narysować poszukiwany obraz jednokładny danej figury.

W praktyce wyznaczenie obrazu jednokładnego figury sprowadza się do:

— znalezienia wszystkich jej punktów charakterystycznych

Dla wielokątów są to jego wierzchołki, zaś dla kół i okręgów ich środki oraz punkty położone w nich najwyżej lub17 najniżej — odpowiedniki geograficznego bieguna północnego lub południowego.

— poprowadzenia prostych przechodzących przez każdy z powyższych punktów i środek jednokładności

— znalezienia wszystkich obrazów punktów charakterystycznych

— poprawnego połączenia wszystkich obrazów punktów charakterystycznych.

Zadanie: Znajdź przykładowy obraz czworokąta ABCD w jednokładności prostej względem punktu S, pamiętając o równoległości odpowiednich boków.

Zadanie: Znajdź przykładowy obraz czworokąta ABCD w jednokładności odwrotnej względem punktu S, pamiętając o równoległości odpowiednich boków.

Zauważmy, że przy jednokładności odwrotnej dodatkowo zachodzi obrót o kąt 180˚ względem środka jednokładno-ści.

17

Słowo lub w tym znaczeniu, oznacza, że należy wybrać przynajmniej jeden z tych dwóch punktów.


Rozpatrzmy kwadrat i spróbujmy znaleźć jego obraz w jednokładności prostej i odwrotnej.

Rysunek 19 — jednokładność prosta (kwadraty I i II) i odwrotna (kwadraty I i III oraz II i III)

Zobaczmy teraz jak będzie wyglądać jednokładność prosta i odwrotna, jeśli oznaczymy wierzchołki powyższych kwadratów. Pamiętajmy jednak o tym, że odpowiednie punkty np. A, A’, A’’ muszą leżeć na jednej prostej.

Rysunek 20 — jednokładność prosta i odwrotna

Wniosek: Jeśli wiadomo, że dwa wielokąty (np. kwadraty) są jednokładne, to aby rozstrzygnąć czy mamy do czynie-nia z jednokładnością prostą czy odwrotną, wystarczy spojrzeć na to, skąd zaczyna się „numeracja” wierz-chołków. Jeśli z tego samego miejsca, to między tymi wielokątami zachodzi jednokładność prosta, jeśli z innego, to odwrotna.

Na powyższym rysunku, „numeracja” w kwadratach I i II zaczyna się od lewego dolnego wierzchołka, zaś w kwadra-cie III od prawego górnego.

Zobaczmy teraz jak wygląda jednokładność prosta i odwrotna, jeśli środek jednokładności leży we wnętrzu danego wielokąta.

Rysunek 21 — jednokładność prosta (rysunek lewy) i odwrotna (rysunek prawy — patrz oznaczenia wierzchołków).

Uwaga. W przypadku jednokładności oznaczenia wierzchołków są ważne. Zobaczmy co by było, gdyby najpierw narysować powyższy kwadrat w kwadracie, a dopiero później dobrać oznaczenia wierzchołków i to w spo-sób dowolny.


Rysunek 22 — brak jednokładności (odpowiednie boki np. AB i A’B’ nie są do siebie równoległe)

Każde dwa okręgi są jednokładne względem siebie.

Jeśli skala podobieństwa kół (okręgów) wynosi 1, to między tymi okręgami zachodzi tylko jednokładność odwrotna.

Rysunek 23 — jednokładność odwrotna okręgów przystających

Jeśli skala podobieństwa okręgów jest różna od 1, to między tymi okręgami można doszukać się zarówno jednokład-ności prostej jak i odwrotnej.

Rysunek 24 — okręgi jednokładne (Sp — środek jednokładności prostej; So — środek jednokładności odwrotnej)

Środek jednokładności dwóch okręgów najszybciej można znaleźć prowadząc dwie proste:

— pierwszą, przez środki tych okręgów

— drugą, przez punkty położone najwyżej (geograficznie jest to biegun północny) — lub najniżej (geograficznie jest to biegun południowy) w danych okręgach.

Lub

— drugą przez punkty leżące na końcach promieni prostopadłych do prostej łączącej środki tych okręgów


Rysunek 25 — różne sposoby wyznaczania środków jednokładności dla okręgów

Spójrzmy jeszcze raz na rysunek przedstawiający czworokąt ABCD i jego obraz w jednokładności prostej względem punktu S.

Niezależnie od tego, czy będziemy mówić o jednokładności prostej czy odwrotnej, będziemy spostrzegać, że:

— jeśli |�′�| =�

�|��|, to: |�′S| =

�

�|��| i |�′�| =

�

�|��| i |�′�| =

�

�|��|; � =

�

�

— jeśli |�′�| =�

�|��|, to: |�′S| =

�

�|��| i |�′�| =

�

�|��| i |�′�| =

�

�|��|; � =

�

�

— jeśli |�′�| = 3|��|, to: |�′S| = 3|��| i |�′�| = 3|��| i |�′�| = 3|��|; � = 3

a liczbę k nazywać skalą jednokładności.

Aby dowieść tego, że jeśli |�′�| = �|��|, to: |�′S| = �|��| i |�′�| = �|��| i |�′�| = �|��| należy wykorzys-tać twierdzenie Talesa18.

Skala jednokładności — liczba określająca ile razy odległość między dowolnym punktem obrazu figury a środkiem jednokładności, jest większa od odległości między odpowiednim punktem figury wyjściowej a środkiem jednokładności. Skala ta dodatkowo okre-śla, czy jednokładność jest prosta czy odwrotna.

Skalę jednokładności podobnie jak skalę podobieństwa, oznaczamy małą literką k.

Jeśli skala jednokładności jest liczbą dodatnią, to jednokładność jest prosta.

Jeśli skala jednokładności jest liczbą ujemną, to jednokładność jest odwrotna.

Jeśli skala podobieństwa jest równa zero, to jednokładność nie jest ani prosta, ani odwrotna. W takim przypadku, obrazem dowolnej figury jest punkt, który pokrywa się ze środkiem jednokładności.

Jeśli skala jednokładności jest liczbą między 0 a 1 lub19 między –1 a 0, to obraz figury jest mniejszy od figury wyj-ściowej. Bardziej matematycznie powiemy, że obraz jednokładny figury jest mniejszy od figury wyjściowej, jeśli

|k| ∈ (0; 1).

18

Twierdzenie Talesa jest szczegółowo omówione w osobnym opracowaniu. 19 Użyte tu słowo lub jest bardzo ważne i nie można go zamieniać np. na słowo bądź. Co matematycznie oznacza to słowo możesz przeczy-

tać w opracowaniu poświęconym logice matematycznej z zakresu szkoły średniej.


Jeśli skala jednokładności jest liczbą większą od 1 lub mniejszą od –1, to obraz figury jest większy od figury wyjścio-wej. Bardziej matematycznie powiemy, że obraz jednokładny figury jest większy od figury wyjściowej, jeśli |k| > 1.

Jeśli � = 1, to obraz jednokładny figury pokrywa się z figurą wyjściową.

Jeśli � = −1, to obraz jednokładny figury ma takie same rozmiary co figura wyjściowa i leży po przeciwnej stronie środka jednokładności. W przypadku tym, między obrazem figury a daną figurą, zachodzi tzw. symetria środkowa

20.

Zestawiając wiedzę o skali jednokładności, możemy wykonać rysunek:

Rysunek 26 — skala jednokładności zinterpretowana za pomocą osi liczbowej

Ćwiczenie: Dokończ uzupełnianie tabelki.

skala

jednokładności

jednokładność

prosta / odwrotna

powiększenie/

pomniejszenie

� = −10 odwrotna powiększenie

� = −8,7

� = −4�

�

� = −1 bez zmian

� = −�

��.

� = 0 ani prosta ani odwrotna pomniejszenie

� =�

��.

� = 1 prosta

� = 4�

�

� = 8,7

� = 10

Jednokładność punktów można zapisywać symbolicznie:

�� = �′

i należy czytać: „Obrazem jednokładnym punktu P w skali k względem punktu S jest punkt P’.”

Jednokładność figur np. trójkątów także można zapisywać symbolicznie:

��△ �� =△ ��

i należy czytać: „Obrazem jednokładnym trójkąta ABC w skali k względem punktu S jest trójkąt DEF.”

Zadanie: Zapisz symbolicznie, że obrazem jednokładnym punktu M względem punktu S i skali k = –2 jest punkt N.

Rozwiązanie: �� = �

20

Symetria środkowa to inna nazwa obrotu o kąt 180˚ względem ustalonego punktu. W przypadku wielokątów zachowuje równoległość

odpowiednich boków. Precyzyjniej o symetriach, w tym także o symetrii środkowej można przeczytać w osobnym opracowaniu.


Ćwiczenie: Zapisz symbolicznie, że obrazem jednokładnym punktu F względem punktu S i skali k = 7 jest punkt G.

Ćwiczenie: Zapisz symbolicznie, że obrazem jednokładnym kwadratu ABCD względem punktu S i skali k = –5 jest kwadrat EFGH.

Kreślenie figur jednokładnych

Na początek zacznijmy od tego, co oznacza sformułowanie wykreślić figurę.

Kreślenie figury — czynność polegająca na narysowaniu figury tylko przy użyciu cyrkla i liniału21.

Ponieważ kreśleniem figur zajmuje się dział matematyki o nazwie konstrukcje geometryczne, więc w tym opracowa-niu nie będę omawiać sposobu ich rysowania. Skupię się na jednokładności prostej i odwrotnej. Cyrkla będę używać tylko do odmierzania równych odcinków i kreślenia okręgów, a liniału tylko do rysowania wielokątów i prostych przechodzących przez ich odpowiednie punkty.

Takie podejście do geometrii, a mówiąc precyzyjniej do konstrukcji geometrycznych sprawia, że w przypadku gdy będzie zachodzić potrzeba odmierzania odcinków równych na jednej prostej, będziemy zawsze musieli posługiwać się cyrklem, a nie linijką — linijka ma dokładność tylko do 1 mm, zaś za pomocą cyrkla możemy odmierzać odcinki o dowolnej długości.

Odmierzanie odcinków równych na jednej prostej będzie wiec polegać na tym, że:

— z ustalonego punktu na prostej np. z punktu A będziemy zakreślać okrąg (czasami półokrąg dla przejrzystości ry-sunku) o ustalonym promieniu

Promień okręgu o którym mowa, najczęściej będzie równy odległości od punktu A do środka jednokładności.

— z punktu w którym narysowany okrąg przecina prostą, będziemy kreślić kolejny okrąg o tym samym promieniu

itd. aż na danej prostej odłożymy tyle równych odcinków ile będziemy potrzebować w zadaniu.

Rysunek 27 — odmierzanie równych odcinków na prostej przy użyciu cyrkla — |SA’| = 5|SA|

Spójrzmy teraz na poniższy rysunek przedstawiający dwa trójkąty jednokładne i spróbujmy odczytać z niego skalę jednokładności mierząc długości odcinków zawsze do środka jednokładności.

Rysunek 28 — trójkąty jednokładne w skali k = –5

Najpierw zauważmy, że odległość między punktami leżącymi na tej samej prostej np. między D i S, jest dokładnie 5 razy większa niż odległość od punktu A do S.

21

Liniał — przyrząd od którego można narysować linię prostą. W przeciwieństwie do linijki nie musi mieć podziałki.


�� = 5�� Następnie spójrzmy na to, czy odpowiednie punkty tych figur leżą po tej samej, czy po przeciwnej stronie środka jednokładności. Jeśli po tej samej, to skala jednokładności k będzie równa 5, jeśli po przeciwnej, to –5.

Ponieważ w rozważanym przypadku odpowiednie punkty figur leżą po przeciwnych stronach środka jednokładności, więc skala jednokładności k = –5. Dodatkowo można sprawdzić, że:

�� = 5�� = 5��.

Spójrzmy teraz na poniższy rysunek przedstawiający także dwa trójkąty jednokładne i spróbujmy odczytać z niego skalę jednokładności.

Rysunek 29 — trójkąty jednokładne w skali k = 3

Najpierw zauważ, że odległość między punktami leżącymi na tej samej prostej np. między D i S, jest dokładnie 3 razy większa niż odległość od punktu A do S.

�� = 3�� Następnie spójrz na to, czy odpowiednie punkty tych figur leżą po tej samej, czy po przeciwnej stronie środka jedno-kładności. Jeśli po tej samej, to skala jednokładności k będzie równa 3, jeśli po przeciwnej, to –3.

Ponieważ w rozważanym przypadku odpowiednie punkty figur leżą po tej samej stronie środka jednokładności, więc skala jednokładności k = 3.

Pamiętajmy. Skalę jednokładności odczytujemy mierząc odległości na tej samej prostej zawsze od środka jednokład-ności.


Zadanie: We wnętrzu koła zaznaczono punkt A niepokrywający się ze środkiem tego koła. Wykreśl względem punk-tu S leżącego poza tym kołem, koło jednokładne do danego w skali k = 3 i zaznacz w nim obraz jednokład-ny punktu A.

Rozwiązanie:

Opis wykonywanych czynności:

1. Przez punkt S i środek O danego okręgu prowadzę prostą.

2. Przy pomocy cyrkla na prostej SO odkładam 3 odcinki o długości SO, dzięki czemu znajduję punkt O’ będący środkiem koła jednokładnego do danego w skali k = 3.

3. Zaznaczam dowolny punkt N leżący na brzegu koła (najwygodniej wybrać „biegun północny”) i przez ten punkt oraz punkt S prowadzę prostą.

4. Na prostej NS odkładam przy pomocy cyrkla 3 odcinki o długości NS licząc od punktu S. Dzięki temu znajduję punkt N’, czyli obraz jednokładny punktu N.

5. Z punktu O’ kreślę okrąg o promieniu O’N'.

6. Przez punkty S i A prowadzę prostą na której to odmierzam 3 odcinki o długości SA licząc od punktu S. Dzięki temu znajduję punkt A’ czyli obraz jednokładny punktu A.

Zadanie: Dany jest kwadrat ABCD oraz środek jednokładności S leżący poza tym kwadratem. Wykreśl kwadrat EFGH jednokładny do danego w skali k = –3.


1. Przez punkty S i A kreślę prostą a.

2. Przez punkty S i B kreślę prostą b.

3. Przez punkty S i C kreślę prostą c.


4. Przez punkty S i D kreślę prostą d.

Ponieważ skala jednokładności jest ujemna (jednokładność odwrotna), więc punkty E, F, G, H będę zaznaczać odpowiednio na prostych a, b, c, d po przeciwnej stronie środka jednokładności niż punkty A, B, C, D.

5. Na prostej a odkładam (po przeciwnej stronie niż punkt A, bo k < 0) trzy odcinki (bo k = –3) o długości SA, przy czym koniec jednego odcinka jest początkiem następnego. Ostatni punkt trzeciego odcinka oznaczam przez E (zgodnie z treścią zadania).

6. Na prostej b odkładam (po przeciwnej stronie niż punkt B, bo k < 0) trzy odcinki (bo k = –3) o długości SB, przy czym koniec jednego odcinka jest początkiem następnego. Ostatni punkt trzeciego odcinka oznaczam przez F (zgodnie z treścią zadania).

7. Na prostej c odkładam (po przeciwnej stronie niż punkt C, bo k < 0) trzy odcinki (bo k = –3) o długości SC, przy czym koniec jednego odcinka jest początkiem następnego. Ostatni punkt trzeciego odcinka oznaczam przez G (zgodnie z treścią zadania).

8. Na prostej d odkładam (po przeciwnej stronie niż punkt D, bo k < 0) trzy odcinki (bo k = –3) o długości SD, przy czym koniec jednego odcinka jest początkiem następnego. Ostatni punkt trzeciego odcinka oznaczam przez H (zgodnie z treścią zadania).

Łączę otrzymane punkty E, F, G, H dostając poszukiwany kwadrat EFGH jednokładny do danego w skali k = –3.

Zadanie: Dany jest kwadrat ABCD oraz środek jednokładności S leżący poza tym kwadratem. Wykreśl kwadrat EFGH jednokładny do danego w skali k = 2 oraz kwadrat KLMN jednokładny do danego w skali k = –2. Wykonaj opis wykonywanych czynności. Co można powiedzieć o kwadratach EFGH i KLMN?


1. Przez punkty S i A kreślę prostą a.

2. Przez punkty S i B kreślę prostą b.

3. Przez punkty S i C kreślę prostą c.

4. Przez punkty S i D kreślę prostą d.

5. Z punktu A zakreślam okrąg o promieniu |AS|, który przecina prostą a w punkcie E (zgonie z treścią zadania).


6. Z punktu B zakreślam okrąg o promieniu |BS|, który przecina prostą b w punkcie F (zgonie z treścią zadania).

7. Z punktu C zakreślam okrąg o promieniu |CS|, który przecina prostą c w punkcie G (zgonie z treścią zadania).

8. Z punktu D zakreślam okrąg o promieniu |DS|, który przecina prostą d w punkcie H (zgonie z treścią zadania).

9. Łączę punkty E, F, G, H dzięki czemu otrzymuję kwadrat jednokładny do danego w skali k = 2.

10. Z punktu S zakreślam okrąg o promieniu |SE|, który przecina prostą a w punkcie K ≠ E.

11. Z punktu S zakreślam okrąg o promieniu |SF|, który przecina prostą b w punkcie L ≠ F.

12. Z punktu S zakreślam okrąg o promieniu |SG|, który przecina prostą c w punkcie M ≠ G.

13. Z punktu S zakreślam okrąg o promieniu |SH|, który przecina prostą d w punkcie N ≠ H.

14. Łączę punkty K, L, M, N dzięki czemu otrzymuję kwadrat jednokładny do danego w skali k = –2.

Kwadraty EFGH i KLMN mają te same długości boków (skala podobieństwa k = 1) i leżą po przeciwnych stronach środka jednokładności, więc między nimi zachodzi symetria (środkowa) względem punktu S. Do-datkowo ich boki są do siebie równoległe.

Zadanie: Dany jest kwadrat ABCD oraz środek jednokładności S leżący w wierzchołku tego kwadratu. Wykreśl kwa-drat EFGH jednokładny do danego w skali k = 2 oraz kwadrat KLMN jednokładny do danego w skali k = –2. Wykonaj opis wykonywanych czynności. Co można powiedzieć o kwadratach EFGH i KLMN?

Opis wykonywanych czynności jest analogiczny do zadania powyższego, tylko rysunek jest nieco inny. Między kwadratami EFGH i KLMN zachodzi taki sam związek jak w zadaniu powyższym.


Zadanie: Dany jest kwadrat ABCD oraz środek jednokładności S leżący w połowie jednego z boków tego kwadratu. Wykreśl kwadrat EFGH jednokładny do danego w skali k = 2 oraz kwadrat KLMN jednokładny do danego w skali k = –2. Wykonaj opis wykonywanych czynności. Co można powiedzieć o kwadratach EFGH i KLMN?

Opis wykonywanych czynności jest analogiczny do zadania powyższego — tylko rysunek jest nieco inny. Między kwadratami EFGH i KLMN zachodzi taki sam związek jak w zadaniu powyższym.

Zadanie: Dany jest kwadrat ABCD oraz środek jednokładności S leżący w punkcie przecięcia przekątnych tego kwa-dratu. Wykreśl kwadrat EFGH jednokładny do danego w skali k = 2 oraz kwadrat KLMN jednokładny do danego w skali k = –2. Wykonaj opis wykonywanych czynności. Co można powiedzieć o kwadratach EFGH i KLMN?



Zadanie: Dany jest kwadrat ABCD oraz środek jednokładności S leżący we wnętrzu tego kwadratu. Wykreśl kwadrat EFGH jednokładny do danego w skali k = 2 oraz kwadrat KLMN jednokładny do danego w skali k = –2. Wy-konaj opis wykonywanych czynności. Co można powiedzieć o kwadratach EFGH i KLMN?


Zadanie: Dany jest kwadrat ABCD oraz środek jednokładności S leżący poza tym kwadratem. Wykreśl kwadrat EFGH jednokładny do danego w skali k = 1,5 oraz kwadrat KLMN jednokładny do danego w skali k = – 1/3. Jaki jest stosunek długości boku kwadratu EFGH do długości boku kwadratu KLMN? Co powiesz o polach tych trzech kwadratów?

W zadaniu tym, długość boku kwadratu EFGH będzie 1,5 razy większa niż kwadratu ABCD. Zadanie polega więc na konstrukcyjnym wykreśleniu odcinka x najpierw o długości 1,5 ⋅|SA|, a następnie o długościach: 1,5 ⋅|SB|, 1,5 ⋅|SC|, 1,5 ⋅|SD|. Jak to wykonać22 można dowiedzieć się z opracowania dotyczącego kon-

strukcji geometrycznych. Dalej postępujemy tak samo jak w zadaniach poprzednich tj. odkładając punkty

22

Aby wykreślić odcinek o długości 1,5 AS należy odcinek AS podzielić na połowy (np. za pomocą symetralnej) i dodać do niego jedną

z tych połówek. Taki sposób kreślenia odcinka o długości 1,5 AS, bierze się stąd, że 1,5 = 3/2 → „podziel na 2 odcinki i weź 3 z nich” lub

„weź odcinek 3-krotnie dłuższy od danego i podziel go na 2 równe części”.


E, F, G, H odpowiednio na prostych a, b, c, d po tej samej stronie środka jednokładności co punkty A, B, C, D, gdyż skala jednokładności jest większa od 0 (k = 1,5).

W zadaniu tym, długość boku kwadratu KLMN będzie wynosić 1/3 długości boku kwadratu ABCD. Zadanie polega więc na konstrukcyjnym wykreśleniu odcinka y najpierw o długości 1/3 ⋅ |SA|, a następnie o dłu-gościach: 1/3 ⋅ |SB|, 1/3 ⋅ |SC|, 1/3 ⋅ |SD|. Jak to wykonać można dowiedzieć się z opracowania dotyczą-cego konstrukcji geometrycznych. Dalej postępujemy tak samo jak w zadaniach poprzednich tj. odkładając punkty K, L, M, N odpowiednio na prostych a, b, c, d po przeciwnej stronie środka jednokładności co punkty A, B, C, D, gdyż skala jednokładności jest mniejsza od 0 (k = –1/3).

�� = 1,5�� =�

��

�� =1,5��

=

��

=3

2:1

3=

3

2∙

3

1=

9

2= 9: 2

� �� = ��

�� = !��"� =

�

��

�� ! = !��"� =

�

��

#$%$&�� =

9

4;

�� !� �� =1

9;

�� ! =9

4:1

9=

9

4∙

9

1=

81

4.

Jak więc widać, stosunek pól kwadratów jest równy kwadratowi ich skal jednokładności.

Wnioski z tego tematu:

1. Aby znaleźć długości boków obrazu danego wielokąta, wykonanego w skali � =�

�, należy długości odpo-

wiednich boków wielokąta wyjściowego, pomnożyć przez �

�.

2. Aby znaleźć długości boków obrazu danego wielokąta, wykonanego w skali � =–�

�, należy długości odpo-

wiednich boków wielokąta wyjściowego, także pomnożyć przez �

�.

3. Jeśli skala jednokładności � =– 4, to obraz jednokładny danego wielokąta ma boki 4 razy dłuższe niż wielokąt

wyjściowy i leży po przeciwnej stronie środka jednokładności. (Skalę � =– 4 można także zapisać jako � =–�

�.)

4. Jeśli skala jednokładności � = 4, to obraz jednokładny danego wielokąta ma boki także 4 razy dłuższe niż wielokąt wyjściowy, ale leży po tej samej stronie środka jednokładności. (Skalę � = 4 można także zapisać

jako � =�

�.)

5. Jeśli skala jednokładności k = – 0,5, to obraz jednokładny danego wielokąta ma boki 2 razy krótsze niż wielo-kąt wyjściowy i leży po przeciwnej stronie środka jednokładności.

6. Jeśli skala jednokładności k = 0,5, to obraz jednokładny danego wielokąta ma boki także 2 razy krótsze niż wielokąt wyjściowy, ale leży po tej samej stronie środka jednokładności.

7. Jeśli skala jednokładności k = –�

�, to długości boków obrazu wielokąta stanowią

�

� długości odpowiednich bo-

ków wielokąta wyjściowego i leżą po przeciwnej stronie środka jednokładności. Boki obrazu są zatem krótsze

od boków wielokąta wyjściowego, bo '− �

�' =

�

�, a jak wiadomo 0 <

�

�< 1.

8. Jeśli skala jednokładności k = –�

�, to długości boków obrazu wielokąta stanowią

�

� długości odpowiednich bo-

ków wielokąta wyjściowego i leżą po przeciwnej stronie środka jednokładności. Boki obrazu są zatem dłuższe

od boków wielokąta wyjściowego, bo '− �

�' =

�

�, a jak wiadomo

�

�> 1.

9. Jednokładność kół i okręgów rozpatrujemy patrząc na długości ich promieni.

10. Stosunek pola obrazu figury jednokładnej do pola figury wyjściowej jest równy kwadratowi skali jednokład-ności.

11. Stosunek obwodu obrazu jednokładnego do obwodu figury wyjściowej jest równy skali jednokładności.


Przykład. Jeśli figura wyjściowa ma pole P = 4 cm2, to jej obraz jednokładny wykonany w skali k = 3, będzie mieć pole 9 razy większe, czyli równe 36 cm2.

12. Stosunek wysokości obrazu jednokładnego do wysokości figury wyjściowej jest równy skali jednokładności.

Ćwiczenie: Narysuj dowolny trójkąt ABC oraz jego obrazy jednokładne w skalach k = 3 i k = –3 względem punktu S leżącego poza tym trójkątem.

Ćwiczenie: Narysuj trójkąt prostokątny ABC oraz jego obraz jednokładny w skalach k = –1 i k = 1 względem punktu S leżącego poza tym trójkątem.

Ćwiczenie: Narysuj trójkąt równoboczny ABC oraz jego obraz jednokładny w skalach k = –1 i k = 1 względem punk-tu S leżącego poza tym trójkątem.

Ćwiczenie: Narysuj dowolny trójkąt ABC oraz jego obrazy jednokładne w skalach k = 3 i k = –3 względem punktu S leżącego w jednym z wierzchołków tego trójkąta.

Ćwiczenie: Narysuj trójkąt prostokątny ABC oraz jego obraz jednokładny w skalach k = –1 i k = 1 względem punktu S leżącego w jednym z wierzchołków tego trójkąta.

Ćwiczenie: Narysuj trójkąt równoboczny ABC oraz jego obraz jednokładny w skalach k = –1 i k = 1 względem punk-tu S leżącego w jednym z wierzchołków tego trójkąta.

Ćwiczenie: Narysuj dowolny trójkąt ABC oraz jego obrazy jednokładne w skalach k = 3 i k = –3 względem punktu S leżącego we wnętrzu tego trójkąta.

Ćwiczenie: Narysuj trójkąt prostokątny ABC oraz jego obraz jednokładny w skalach k = –1 i k = 1 względem punktu S leżącego we wnętrzu tego trójkąta.

Ćwiczenie: Narysuj trójkąt równoboczny ABC oraz jego obraz jednokładny w skalach k = –1 i k = 1 względem punk-tu S leżącego we wnętrzu tego trójkąta.

Ćwiczenie: Narysuj dowolny siedmiokąt i jego obraz jednokładny w skali k = 0,5.

Ćwiczenie: Narysuj dowolny pięciokąt i jego obraz jednokładne w skalach k = �

� oraz k = –

�

�. [Podpowiedź. Wykorzystaj podział

odcinka na 7 równych części.]

Ćwiczenie: Narysuj okrąg o promieniu r = 2 cm i jego obrazy jednokładne w skalach k = 0,5, k = 2, k = 3.

Ćwiczenie: Narysuj okrąg o promieniu r = 2 cm i jego obrazy jednokładne w skalach k = –0,5, k = –2, k = –3.

Ćwiczenie: Narysuj dwa okręgi o różnych promieniach. Znajdź ich środek jednokładności. Rozpatrz dwa przypadki.

Ćwiczenie: Narysuj dwa niepokrywające się okręgi o równych promieniach. Znajdź ich środek jednokładności.

Ćwiczenie: Przy każdym zdaniu określ, czy jest ono prawdziwe czy fałszywe.

a) Jeśli dwa wielokąty są jednokładne, to ich odpowiednie boki są równoległe. [Odp. prawda.]

b) Jeśli odpowiednie boki wielokątów są równoległe, to wielokąty te są jednokładne. [Odp. fałsz]

c) Jeśli skala jednokładności jest równa k, to stosunek pól figur jednokładnych wynosi k2. [Odp. prawda.]

d) Jeśli skala jednokładności jest równa k, to stosunek obwodów figur jednokładnych wynosi k2.

[Odp. fałsz.]

e) Trójkąt ABC może mieć dwa wierzchołki jednokładne względem trzeciego wierzchołka. [Odp. fałsz.]

Ćwiczenie: Narysuj dwa równoległe odcinki o różnej długości niepokrywające się ze sobą. Znajdź ich środek jedno-kładności. Rozpatrz dwa przypadki.

Ćwiczenie: Narysuj dwa okręgi o różnych promieniach. Znajdź ich środek jednokładności.

Ćwiczenie: Narysuj okrąg o promieniu r i środku S. Przekształć go przez jednokładność w skali k = −0,5 względem punktu S.

Ćwiczenie: Narysuj okrąg o promieniu r i środku S. Przekształć go przez jednokładność w skali k = 3,25 względem punktu leżącego na tym okręgu.


Ćwiczenie: Narysuj trójkąt prostokątny ABC i przekształć go jednokładnie w skali k = ��

� względem środka okręgu

opisanego na trójkącie ABC.

Ćwiczenie: Narysuj trójkąt prostokątny ABC i przekształć go jednokładnie w skali k = 3�

� względem środka okręgu

wpisanego w trójkąt ABC.

Etapy rozwiązywania zadań tekstowych z jednokładności

Nim przystąpisz do rozwiązywania zadań tekstowych, przypomnij sobie, co należy w kolejności robić, by zadanie zostało właściwie zrozumiane i rozwiązane.

Aby rozwiązać zadanie tekstowe, należy:

1. Treść zadania czytać fragmentami, ale nie dalej niż do najbliższego przecinka lub kropki.

2. Na podstawie pytania zadanego w treści zadania, odgadnąć co oznaczyć zmiennymi.

3. Oznaczenie zmiennych dobierać intuicyjnie.

4. Wykonywać w sposób poprawny, opis słowny do każdej użytej zmiennej (niewiadomej).

5. W miarę możliwości czynić założenia, nawet jeśli są oczywiste, ale tylko na te zmienne, które trzeba będzie wyliczyć.

6. Na podstawie przeczytanych fragmentów ułożyć stosowne równania lub nierówności.

7. Zweryfikować poprawność ułożonych równań (nierówności) z treścią zadania.

8. Rozwiązać ułożone równania lub nierówności dowolną metodą.

9. Otrzymane wyniki oraz ważniejsze fragmenty obliczeń brać w ramki.

10. Sprawdzać zgodność otrzymanych wyników z poczynionymi wcześniej założeniami.

11. Udzielić odpowiedź, gdy w treści zadania było zadane pytanie.

12. Wykonać sprawdzenia otrzymanych wyników.

Każdy z powyższych punktów jest omówiony szczegółowo w opracowaniu „Czytanie zadań tekstowych”.

Zadanie: Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty: punkt S będący środkiem jednokładności oraz punkty A i A’ leżące po przeciwnych stronach punktu S. Jaka jest skala tej jednokładności, jeśli |SA| = 2 cm, zaś |SA’| = 8 cm?

Rozwiązanie:

8 cm : 2 cm = 4 Otrzymany wynik należy jeszcze pomnożyć przez –1, bo punkty A i A’ leżą po przeciwnych stronach środka jednokładności.

Odpowiedź: Skala tej jednokładności wynosi –4.

Ćwiczenie: Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty: punkt S będący środkiem jednokładności oraz punkty A i A’ leżące po przeciwnych stronach punktu S. Jaka jest skala tej jednokładności, jeśli |SA| = 5 cm, zaś |SA’| = 15 cm? [Odp. k = –3.]

Ćwiczenie: Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty: punkt S będący środkiem jednokładności oraz punkty A i A’ leżące po przeciwnych stronach punktu S. Jaka jest skala tej jednokładności, jeśli |SA| = 18 cm, zaś |SA’| = 7 cm? [Odp. k = –7/18.]

Ćwiczenie: Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty: punkt S będący środkiem jednokładności oraz punkty A i A’ leżące po przeciwnych stronach punktu S. Jaka jest skala tej jednokładności, jeśli |SA| = 13 cm, zaś |AA’| = 20 cm? [Odp. k = –7/13.]

Ćwiczenie: Trójkąty ABC i DEF są jednokładne względem siebie w skali k = – 1. Jakie długości mają boki trójkąta ABC, jeśli |DE| = 7 cm, |EF|= 9 cm, |FD| = 11 cm?


Ćwiczenie: Trójkąt DEF jest jednokładny do trójkąta ABC w skali k = – 5. Jakie długości mają boki trójkąta ABC, jeśli |DE| = 7 cm, |EF|= 9 cm, |FD| = 11 cm?

Ćwiczenie: Trójkąt DEF jest jednokładny do trójkąta ABC w skali k = –�

�. Jakie długości mają boki trójkąta ABC, jeśli

|DE| = 7 cm, |EF|= 9 cm, |FD| = 11 cm?

Ćwiczenie: Trójkąt DEF jest jednokładny do trójkąta ABC w skali k = –��

��. Jakie miary mają kąty tych trójkątów,

jeśli ∢E = 20˚, ∢C = 50˚? [Podpowiedź. Jeśli figury są jednokładne, to są także podobne. Wykorzystaj cechę podobieństwa trójkątów kkk.

Odp. ∢A = ∢D = 110˚, ∢B = ∢E = 20˚, ∢C = ∢F = 50˚.]

Zadanie: Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty: punkt S będący środkiem jednokładności oraz punkty A i A’ leżące po tej samej stronie punktu S. Jaka jest skala tej jednokładności, jeśli |SA| = 2 cm, zaś |SA’| = 8 cm?

Rozwiązanie:

8 cm : 2 cm = 4 Otrzymanego wyniku nie należy mnożyć przez –1, bo punkty A i A’ leżą po tej samej stronie środka jednokładności.

Odpowiedź: Skala tej jednokładności wynosi 4.

Ćwiczenie: Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty: punkt S będący środkiem jednokładności oraz punkty A i A’ leżące po tej samej stronie punktu S. Jaka jest skala tej jednokładności, jeśli |SA| = 8 cm, zaś |SA’| = 32 cm? [Odp. k = 4.]

Ćwiczenie: Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty: punkt S będący środkiem jednokładności oraz punkty A i A’ leżące po po tej samej stronie punktu S. Jaka jest skala tej jednokładności, jeśli |SA| = 16 cm, zaś |SA’|= 2 cm? [Odp. k = 1/8.]

Ćwiczenie: Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty: punkt S będący środkiem jednokładności oraz punkty A i A’ leżące po tej samej stronie punktu S. Jaka jest skala tej jednokładności, jeśli |SA| = 13 cm, zaś |AA’| = 20 cm? [Odp. k = 33/13.]

Ćwiczenie: Trójkąt DEF jest jednokładny do trójkąta ABC w skali k = � ��

��. Jakie miary mają kąty tych trójkątów,

jeśli ∢F = 80˚, ∢B = 30˚? [Podpowiedź. Jeśli figury są jednokładne, to są także podobne. Wykorzystaj cechę podobieństwa trójkątów kkk.

Odp. ∢A = ∢D = 70˚, ∢B = ∢E = 30˚, ∢C = ∢F = 80˚.]

Ćwiczenie: Trójkąt DEF o obwodzie równym 72 cm jest jednokładny do trójkąta ABC o bokach długości: 6 cm, 8 cm, 10 cm. Oblicz długości boków trójkąta DEF oraz podaj jaki jest stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta DEF. [Odp. 2 cm, 8/3 cm, 10/3 cm. PABC : PDEF = 1/9.]

Ćwiczenie: Trójkąt równoramienny ABC o kącie między ramionami 120˚ przekształcono jednokładnie w skali k = 3 na trójkąt DEF o podstawie |DE| = 3 cm. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC? [Odp. Obw. =

��√�

� cm, P =

√�

�� cm

2.]

Ćwiczenie: Trójkąt równoramienny ABC o kącie między ramionami 120˚ przekształcono jednokładnie w skali k = 0,4 na trójkąt DEF o podstawie |DE| = 6 cm. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC? [Odp. Obw. = �7,5 + 10√3�

cm, P = ��√�

� cm

2.]

Ćwiczenie: Trójkąt równoramienny ABC o kącie między ramionami 60˚ przekształcono jednokładnie w skali k = 3 na trójkąt DEF o podstawie |DE| = 3 cm. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC? [Odp. Obw. = 3 cm, P =

√�

� cm

2.]

Ćwiczenie: Trójkąt równoramienny ABC o kącie między ramionami 60˚ przekształcono jednokładnie w skali k = 0,4 na trójkąt DEF o podstawie |DE| = 6 cm. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC? [Odp. Obw. = 22,5 cm,

P = ��√�

�� cm

2.]

Ćwiczenie: Trójkąt równoramienny ABC o kącie między ramionami 90˚ przekształcono jednokładnie w skali k = 3 na trójkąt DEF o podstawie |DE| = 3 cm. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC? [Odp. Obw. = �1 + √2� cm,

P = √�

� cm

2.]


Ćwiczenie: Trójkąt równoramienny ABC o kącie między ramionami 90˚ przekształcono jednokładnie w skali k = 0,4 na trójkąt DEF o podstawie |DE| = 6 cm. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC? [Odp. Obw. = �1 +

��√�

�� cm,

P = ��√�

�� cm

2.]

Jednokładność w układzie współrzędnych

Na początek przypomnijmy sobie w jaki sposób odczytuje się współrzędne punktów w prostokątnym23 układzie współrzędnych. Nim przejdziemy jednak do niego, zobaczmy w jaki sposób odczytuje się nazwy pól po których ska-cze sobie np. konik polny. Wędrówkę tegoż konika zacznijmy i skończmy na polu oznaczonym kolorem niebieskim.

Rysunek 30 — wędrówka konika polnego po oznaczonych polach kratownicy

Jak widać z powyższego rysunku

— nazwę pola ujmujemy zawsze w nawias zwykły

— to co jest w nim umieszczone rozdzielamy zawsze średnikiem

— oznaczenie przed średnikiem odczytujemy spośród oznaczeń poziomych

— oznaczenie za średnikiem odczytujemy spośród oznaczeń pionowych

Oznaczenie przed średnikiem będziemy nazywać pierwszą współrzędną punktu, zaś za średnikiem — drugą współ-

rzędną punktu.

Zauważmy, że jeśli punkty leżą w tej samej kolumnie, to mają tą samą pierwszą współrzędną np. (L; 4) i (L; –3).

Zauważmy, że jeśli punkty leżą w tym samym wierszu, to mają tą samą drugą współrzędną np. (C; –5) i (G; –5).

Aby zrozumieć co to jest układ współrzędnych wystarczy przerobić nieco powyższy rysunek, tj.:

— przez środek wiersza 0 poprowadzić oś poziomą i nazwać ją x

— zamienić oznaczenia A, B, C, D, … odpowiednio na: 0, 1, 2, 3, 4, …

— przez środek kolumny A poprowadzić oś pionową i nazwać ją y

23

Inne nazwy prostokątnego układu współrzędnych to: układ kartezjański oraz układ ortokartezjański. Układ ten jest także szczególnym

przypadkiem układu ukośnokątnego o kącie α = 90˚. Układ ten może być zarówno prawo- jak i lewoskrętny.


Rysunek 31 — wędrówka konika polnego po prostokątnym układzie współrzędnych

Dzięki tym zmianom dostaniemy, że obie współrzędne punktu będą wyrażone za pomocą dwóch liczb, a nie jak do tej pory było za pomocą litery i liczby oraz to, że będziemy mogli punktom nadawać nazwy — najczęściej A, B, C, …

Jeśli punkt A będzie mieć współrzędne np. (0; 0), to będziemy pisać: A(0; 0) → błędnie24: A = (0; 0).

Jak widać z powyższego rysunku:

— pierwszą współrzędną punktu odczytujemy zawsze z osi poziomej25, a drugą z osi pionowej

26.

— nazwy punktów oznaczamy zawsze dużymi literami: A, B, C, D, E, …

— współrzędne danego punktu zawsze ujmujemy w nawias zwykły i rozdzielamy je średnikiem

— jeśli liczby dotyczące osi poziomej są pod nią, to i oznaczenie tej osi też jest pod nią

— jeśli liczby dotyczące osi pionowej są z jej lewej strony, to i oznaczenie tejże osi też jest z lewej strony.

Uwaga. W układzie współrzędnych, zawsze27 muszą być zaznaczone liczby 0 i 1 na obu osiach.

24

Zapis z użyciem znaku równości oznacza, że mamy dwa punkty o tych samych współrzędnych — jeden z nich nazywa się A, drugi zaś nie

ma swojej nazwy, ale jest określony za pomocą współrzędnych. W naszym przypadku mamy zaś do czynienia z jednym punktem, więc

stosowanie zapisu za pomocą znaku równości jest błędne. Nie mniej jednak, autorzy niektórych podręczników uznają ten zapis za po-

prawny. 25

Inne nazwy osi poziomej to: oś iksów, oś argumentów, oś odciętych. 26

Inne nazwy osi pionowej to: oś igreków, oś wartości (funkcji), oś rzędnych. 27

Osie układu współrzędnych nie muszą przecinać się w punkcie (0; 0). Stąd właśnie zaznaczanie na rysunku, współrzędnych punktu prze-

cięcia osi i długości odcinka jednostkowego na każdej z nich, jest ważne.


Zaznaczmy teraz w układzie współrzędnych odcinek AB o współrzędnych końców: A(1; 2), B(5; 3) i przekształćmy go jednokładnie względem początku układu współrzędnych tj. punktu O(0; 0) w skali k = – 3 na odcinek CD.

Rysunek 32 —jednokładne przekształcanie odcinka względem początku układu współrzędnych

Zauważmy teraz, że obie współrzędne punktów A i B zostały przemnożone przez skalę jednokładności, czyli przez –3.

A(1; 2) ֏ C(–3; –6)

B(5; 3) ֏ D(–15; –9)

Wniosek: Gdyby odcinek AB miał współrzędne końców: A(100; –20) oraz B(–30; –40), to końce odcinka CD miałyby współrzędne: C(–300; 60), D(90; 120).

Ćwiczenie: Odcinek AB ma końce o współrzędnych: A(10; 40), B(15; 30). Jakie współrzędne będzie mieć odcinek CD jednokładny do danego w skali k = – 5 względem początku układu współrzędnych? [Odp. C(–50; –200), D(–75; –150).]

Ćwiczenie: Odcinek AB ma końce o współrzędnych: A(–6; –15), B(5; –3). Jakie współrzędne będzie mieć odcinek CD jednokładny do danego w skali k = – 10 względem początku układu współrzędnych? [Odp. C(60; 150), D(–50; 30).]

Ćwiczenie: Odcinek AB ma końce o współrzędnych: A(8; –205), B(–305; –17). Jakie współrzędne będzie mieć od-cinek CD jednokładny do danego w skali k = 2 względem początku układu współrzędnych? [Odp. C(16; –410), D(–610; –34).]

Ćwiczenie: Trójkąt ABC ma wierzchołki o współrzędnych: A(5; –2), B(–3; –1), C(200; –300). Jakie współrzędne wierzchołków będzie mieć trójkąt DEF jednokładny do danego w skali k = –5 względem początku układu współrzędnych? [Odp. D(–25; 10), E(15; 5), F(–1000; 1500).]

Jednokładność w układzie współrzędnych względem punktu nie leżącego w początku układu współrzędnych wyma-ga znajomości tzw. wektorów

28 i sprawnego posługiwania się nimi. Ponieważ wiedza taka wykracza poza gimnazjum,

więc postaram się tylko naszkicować gotowy schemat obliczania szukanych współrzędnych, bez wnikania dlaczego tak się robi.

28

Wektory są omówione w osobnym opracowaniu.


Weźmy odcinek AB o współrzędnych końców: A(a1; a2) oraz B(b1; b2) i przekształćmy go jednokładnie w skali k na odcinek CD o współrzędnych końców: C(c1; c2), D(d1; d2), względem punktu S(s1; s2). Gotowy szablon do wyliczania współrzędnych punktów C i D przedstawia się następująco:

c1 = (a1 – s1) ּ◌ k + s1

c2 = (a2 – s2) ּ◌ k + s2

d1 = (b1 – s1) ּ◌ k + s1

d2 = (b2 – s2) ּ◌ k + s2.

Zadanie: Odcinek AB ma końce o współrzędnych: A(3; 10), B(4; 6). Jakie współrzędne będzie mieć odcinek CD jed-nokładny do danego w skali k = – 5 względem punktu S(2; –7)?

Dane:

�� = 3 , �� = 10 , �� = 4 , �� = 6 , (� = 2 , (� = −7 , � = −5 .

Rozwiązanie:

Niech punkt C ma współrzędne (c1; c2), zaś D(d1; d2).

)� = �3 − 2�*+,+-�

∙ �−5�.///0///1��

+ 2 = −5 + 2 = −3; )� = 210 − �−7�3*+++,+++-��

∙ �−5�./////0/////1��

+ �−7� = −85 − 7 = −92

4� = �4 − 2�*+,+-�

∙ �−5�.///0///1��

+ 2 = −10 + 2 = −8; 4� = 26 − �−7�3*++,++-��

∙ �−5�./////0/////1��

+ �−7� = −65 − 7 = −72

Odpowiedź. Punkt C ma współrzędne (–3; –92), zaś punkt D(–8; –72).

Ćwiczenie: Odcinek AB ma końce o współrzędnych: A(–7; –5), B(2; 8). Jakie współrzędne będzie mieć odcinek CD jednokładny do danego w skali k = – 3 względem punktu S(–4; 6)?


Temat: Jednokładność a podobieństwo.

Zestawmy teraz posiadaną wiedzę na temat związków jednokładności figur z ich podobieństwem.

1. Jeżeli dwie figury są jednokładne, to zawsze są podobne.

2. Jeżeli dwie figury są podobne, to nie muszą być jednokładne.

3. Jednokładność, to szczególny przypadek podobieństwa.

4. Dwie figury są do siebie podobne, jeżeli jedną z nich można przekształcić na drugą poprzez jednokładność i obrót.

Rysunek 33 — przekształcenie figury B na figurę A za pomocą obrotu i jednokładności

Zobaczmy teraz co należało zrobić, aby sprawdzić czy dane figury A i B z powyższego rysunku są do siebie podobne.

1. Zaznaczam w dowolnym miejscu punkt O (punkt obrotu).

2. Wybieram sobie odcinek należący do figury A (najlepiej wybrać jeden z boków) i jego odpowiednik na figurze B. [Na rysunku oba odcinki wyróżniono kolorem ciemnozielonym.]

3. Prowadzę proste przechodzące przez te odcinki. [Na rysunku są one zaznaczone kolorem jasnozielonym.]

Dzięki temu dostałem poszukiwany kąt obrotu o mierze α. Gdyby odpowiednie boki były do siebie równoległe, to kąta obrotu nie trzeba byłoby wyznaczać — kąt ten byłby równy 180˚.

4. Obracam29 figurę B względem punktu O o wyznaczony w powyższym punkcie kąt α.

Dzięki temu powstała mi figura C przystająca (identyczna) do figury B, zachowująca równoległość boków wyróż-nionych kolorem zielonym. Jej pozostałe boki, nie muszą być równoległe do odpowiednich boków figury A.

5. Przez wszystkie30 odpowiednie punkty figur A i C prowadzę proste.

Jeśli przecinają się one w jednym punkcie, to figury B i A są do siebie podobne, jeśli nie — to nie.

Na powyższym rysunku, figury A i B są do siebie podobne, bo wszystkie czerwone proste przecięły się w jednym punkcie.

29

Sformułowanie obrócić figurę oznacza, że należy obrócić każdy punkt należący do tej figury, a nie tylko jej brzeg. 30

Figura o której mowa składa się z nieskończenie wielu punktów. Nie jest zatem możliwe by przez jej wszystkie punkty narysować proste.

W sformułowaniu tym chodzi jednak o to, by proste te poprowadzić przez wszystkie punkty charakterystyczne dla danej figury. Dla wie-

lokątów punktami tymi są wierzchołki, zaś dla kół i okręgów, ich środki oraz punkty położone w kierunkach: północ, południe, wschód,

zachód.


Własności podobieństwa:

1. Odpowiednie kąty figur podobnych są równe.

2. Odpowiednie odcinki figur podobnych są do siebie proporcjonalne i ich stosunek jest równy skali podobień-stwa (zawsze k > 0). Oznacza to, że jeżeli dwie figury są podobne w skali k = 4, to odpowiednie odcinki obrazu danej figury są dokładnie 4 razy dłuższe od odpowiednich odcinków danej figury.

3. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Oznacza to, że jeżeli dwie figury są podobne w skali k = 4, to stosunek pola większej z nich, do pola mniejszej, jest równy 42 czyli 16.

Własności jednokładności:

1. Odpowiednie kąty figur jednokładnych są równe.

2. Odpowiednie odcinki figur jednokładnych są do siebie proporcjonalne i ich stosunek jest równy modułowi31 skali jednokładności. Oznacza to, że jeżeli dwie figury są jednokładne w skali k = – 4, to odpowiednie odcinki obrazu danej figury są dokładnie 4 razy dłuższe od odpowiednich odcinków danej figury.

3. Stosunek pól figur jednokładnych jest równy kwadratowi skali jednokładności. Oznacza to, że jeżeli dwie figu-ry są jednokładne w skali k = 4, to stosunek pola większej z nich, do pola mniejszej, jest równy 42 czyli 16.

4. Odpowiednie odcinki figur jednokładnych są zawsze do siebie równoległe.

Na początku tego tematu wypisywałem też cechy podobieństwa trójkątów: kkk, bkb, bbb. Często jednak są one mylone z cechami przystawania

32 trójkątów: kbk, bkb, bbb. Różnica między nimi jest jednak zasadnicza. W cechach podobieństwa literka b oznacza, że odpowiednie boki są do siebie proporcjonalne, zaś w cechach przystawania, b oznacza, że odpowiednie boki mają tą samą długość. W obu przypadkach, k oznacza, że odpowiednie kąty są rów-ne.

Zobaczmy teraz zadanie z olimpiady matematycznej do rozwiązania którego trzeba posłużyć się cechami przystawa-nia trójkątów.

Zadanie: Dany jest kwadrat ABCD o boku 1 oraz prosta l przechodząca przez jego środek. Niech a, b, c, d oznaczają odpowiednio odległości punktów A, B, C, D od prostej l. Wykaż, że a2 + b2 + c2 + d2 = 1.

Dowód geometryczny:

□

31

Moduł liczby (wartość bezwzględna) zmienia liczby ujemne na liczby przeciwne (usuwa znak minus), w pozostałych przypadkach pozo-

stawia daną liczbę bez zmian np.: |−5| = 5; |0| = 0; |17| = 17. 32

Dwa trójkąty są przystające gdy są identyczne tj. gdy mają odpowiednie boki i kąty równe.


[Kwadracik33

z prawej strony należy czytać „Co kończy dowód.”]

Opis dowodu geometrycznego:

∢FBE = 90˚ ∢ABC = 90˚

∢CBE = α ∢ABF = ∢ABC – ∢FBC = 90˚ – (90˚ – α) = 90˚ – 90˚ + α = α

∢FBC = ∢FBE – ∢CBE = 90˚ – α

Ponieważ ∢GFB = ∢HEB i |FB| = |EB| i ∢FBA = ∢CBE, więc na mocy cechy przystawania trójkątów kbk, wnioskuję, że trójkąty GFB i HEB są przystające (identyczne).

Analogiczne rozumowanie należy przeprowadzić dla trzech pozostałych trójkątów prostokątnych wysta-jących poza kwadrat ABCD.

Dostaliśmy zatem, że suma pól kwadratów o bokach: a, b, c, d jest równa polu kwadratu ABCD.

33

Zastosowany kwadracik jest międzynarodowym symbolem oznaczającym, że dowód został skończony. Stosuje się go również na łamach

czasopism np. w sytuacjach, gdy redaktor gazety odpowiada na pytanie czytelnika.


Temat: Wyjaśnienie niektórych zagadnień z tego opracowania.

Twierdzenie odwrotne do danego twierdzenia

Nim dowiesz się co to jest podobieństwo figur oraz ich jednokładność, warto zrozumieć zasadę formułowania twier-dzenia głównego i odwrotnego do niego. Odbiegając na chwilę od matematyki, zobacz:

Sformułowanie główne (wyjściowe):

a) Jeśli pojazd jest samochodem osobowym, to ma przynajmniej 4 koła.

Sformułowanie odwrotne do powyższego sformułowania:

b) Jeśli pojazd ma przynajmniej 4 koła, to jest samochodem osobowym.

Zauważ, że:

— oba sformułowania są bardzo podobne (różnią się tylko kolejnością słów)

— sformułowanie odwrotne do wyjściowego tworzymy poprzez przesunięcie na początek zdania tego, co było w sformułowaniu głównym na końcu zdania

— sformułowanie główne jest w tym przypadku prawdziwe

— w tym przypadku, sformułowanie odwrotne do głównego nie jest prawdziwe (pociąg ma więcej niż 4 koła, a nie jest samochodem osobowym).

Sformułowanie główne które jest zawsze prawdziwe, w matematyce nazywamy twierdzeniem.

Sformułowanie odwrotne do głównego może w matematyce występować pod dwiema nazwami:

— jeśli jest ono zawsze prawdziwe, wówczas zwiemy go twierdzeniem odwrotnym do danego twierdzenia

— jeśli jest ono fałszywe (zawsze lub czasami), to zwiemy go nadal sformułowaniem odwrotnym do danego sfor.

Z podobieństwem figur i ich jednokładnością jest podobnie jak z przytoczonym samochodem osobowym. Otóż:

Sformułowanie główne (wyjściowe) brzmi następująco:

a) Jeśli dwie figury są jednokładne, to zawsze są podobne. — prawda

Sformułowanie odwrotne do powyższego sformułowania:

b) Jeśli dwie figury są podobne, to zawsze są jednokładne. — fałsz

Wniosek:

Sformułowanie: Jeśli dwie figury są jednokładne, to zawsze są podobne nazywamy twierdzeniem.


Wzory dotyczące trójkąta równobocznego

Poniżej przedstawiam wzory które nie są w prawdzie potrzebne do zrozumienia podobieństwa i jednokładności, jednakże będą potrzebne przy rozwiązywaniu niektórych zadań ich dotyczących.

Okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki trójkąta ABC nazywamy okręgiem opisanym

34 na trójkącie ABC.

Okrąg styczny do wszystkich boków trójkąta ABC nazywamy okręgiem wpi-

sanym35 w ten trójkąt. Przechodzi on przez punkty: D, E, F (kolor niebieski).

Niech:

h — wysokość trójkąta równobocznego ABC

a — długość boku trójkąta ABC

r — długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC

R — długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC

S — punkt przecięcia wysokości w trójkącie ABC

P — pole powierzchni trójkąta ABC.

ℎ = � + � "

#= 2 � =

√�

�� =

√�

��

ℎ =√�

��

#

"=�

� � =

√�

� ��. = 3�

Stosunek dwóch liczb (wielkości)

Oprócz wszystkiego tego co zostało napisane wyżej, warto też wiedzieć, co to jest stosunek dwóch liczb.

Stosunek dwóch liczb — wynik z podzielenia jednej z tych liczb przez drugą.

Stosunek dwóch liczb najczęściej zapisuje się za pomocą dwukropka np.: � ∶ � = 5 ∶ 8

choć zapis z użyciem kreski ułamkowej jest również poprawny:

� ∶ � =�

.

Stosunek dwóch powyższych liczb � i � należy rozumieć w ten sposób, że liczba

� =�

�, zaś � =

��.

Jeśli liczba stojąca przed dwukropkiem (w liczniku ułamka) jest mniejsza od liczby stojącej za dwukropkiem (w mianowniku ułamka), czyli tak jak rozpatrywanym przypadku, to pierwsza z tych liczb jest mniejsza od drugiej:

� < �, bo 5 < 8.

Jeśli spotkamy się ze stosunkiem trzech liczb: � ∶ � ∶ ) = 2 ∶ 3 ∶ 5 to będą z tego wynikać następujące stosunki:

%

�=�

�,

%

&=�

�,

�

&=�

�.

34

Aby znaleźć środek okręgu opisanego na trójkącie, należy wykreślić przynajmniej dwie symetralne boków tego trójkąta. 35

Aby znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt, należy wykreślić przynajmniej dwie dwusieczne kątów tego trójkąta.


Pojęcia związane z kątem

Kąt — część płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku, razem z tymi półprostymi.

Ramiona kąta — półproste które wyznaczają kąt.

Miara kąta — liczba wyrażająca rozpiętość między ramionami kąta.

Kąty równe — przynajmniej dwa kąty o tej samej mierze.

Miarę kąta najczęściej się wyraża w stopniach (w matematyce), w radianach (w fizyce), w gradach (w geodezji), w rumbach (np. na morzu).

Podobieństwo i jednokładność figur

Documents

Transcript of Podobieństwo i jednokładność figur