Podobieństwo trójkątów

Lekcja ćwiczeniowa

Odniesienie tematu do nowej podstawy programowej

Treści nauczania – wymagania szczegółowe na poziomie podstawowym:

7.3 Planimetria (poziom podstawowy). Uczeń: rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach

praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów;

7.4 Planimetria (poziom rozszerzony). Uczeń:

rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;

Odniesienie tematu do standardów wymagań egzaminacyjnych

Zdający posiada umiejętności w zakresie:

1) wykorzystania i tworzenia informacji: używa języka matematycznego do opisu

rozumowania i uzyskanych wyników

3) modelowania matematycznego: buduje model matematyczny danej sytuacji,

uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia

Cele lekcji Utrwalenie wiedzy uczniów na temat cech podobieństwa

trójkątów;

Nabycie przez uczniów umiejętności stosowania cech podobieństwa trójkątów w rozwiązaniach zadań geometrycznych, w tym również z wykorzystaniem wcześniej poznanych twierdzeń;

Doskonalenie umiejętności pracy w grupie;

Doskonalenie umiejętności posługiwania się poprawnym językiem matematycznym

Doskonalenie umiejętności prezentowania opisu przeprowadzonego rozumowania i wyników własnej pracy

Cechy podobieństwa trójkątów

A1

B1

C1

A

B

C

I Cecha podobieństwa trójkątów (bok, bok, bok)

Jeżeli długości boków trójkąta ABC są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta A1B1C1, czyli

to te trójkąty są podobne.

Stosunek długości odcinków proporcjonalnych s nazywamy skalą podobieństwa.

A1

B1

C1

A

B

CsACCA

BCCB

ABBA

||

||

||

||

||

|| 111111

II Cecha podobieństwa trójkątów (bok, kąt, bok)

Jeżeli długości boków trójkąta ABC są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta A1B1C1, czyli

oraz kąty między tymi bokami są równe, to te trójkąty są podobne.

||

||

||

||

ACCA

ABBA 1111

III Cecha podobieństwa trójkątów (kąt, kąt, kąt)

Jeżeli dwa kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe dwóm kątom trójkąta A1B1C1, czyli |A1| = |A| oraz |C1| = |C|, to te trójkąty są podobne.

Zastosowanie podobieństwa trójkątów w praktyce

Jak obliczyć wysokość wielkiego drzewa, rosnącego w parku, w

słoneczny dzień?

Wystarczy użyć dłuższej tyczki, którą trzeba wbić pionowo w ziemię i wykorzystać podobieństwo trójkątów.

Drzewo rzuca na ziemię cień o długości 63m. Jednocześnie tyczka o długości 1,8 m wbita w ziemię rzuca cień równy 4,2 m.

Z uwagi na ogromną odległość Ziemi od Słońca przyjmujemy, że promienie słoneczne są do siebie równoległe, zatem padają na ziemię pod tym samym kątem. W badanej sytuacji możemy się dopatrzeć dwóch trójkątów prostokątnych, podobnych do siebie.

Jak obliczyć wysokość wielkiego drzewa, rosnącego w parku, w słoneczny dzień?

Na podstawie cechy (k, k, k) stwierdzamy, że trójkąty ABC i A’B’C’

są do siebie podobne, zatem

||

||

||

||'''' CB

BCBA

AB

|CB|

A| |AB|

''

' |||' BCB

][,, mAB 2724

6381

Odpowiedź: Drzewo ma wysokość 27 m.

Jak stojąc na brzegu rzeki można zmierzyć jej szerokość?

Aby zmierzyć szerokość AB rzeki wybieramy na obu brzegach rzeki jakieś punkty charakterystyczne, np. drzewo (punkt A) oraz tyczkę (punkt B na rysunku).

Następnie odmierzamy wzdłuż brzegu dwa odcinki BC i CD leżące na jednej prostej. W punktach C i D umieszczamy kolejne tyczki.

Z punktu D oddalamy się wzdłuż linii prostopadłej do BD, aż do punktu E, z którego można zobaczyć tyczkę C i punkt A leżący po drugiej stronie rzeki w linii prostej.

Jak stojąc na brzegu rzeki można zmierzyć jej szerokość?

W badanej sytuacji znowu mamy do czynienia z trójkątami podobnymi.

ABC ~ CDE (cecha k,k,k). Po zmierzeniu odcinków BC, CD i DE

z własności podobieństwa otrzymujemy:

||

||

||

||

CDBC

DEAB

zatem szerokość rzeki |AB| jest równa:||

||||||

CDBCDE

AB

Czego się nauczyliśmy podczas lekcji?

Utrwaliliśmy wiedzę na temat cech podobieństwa trójkątów

Ćwiczyliśmy umiejętność stosowania własności trójkątów podobnych, dotyczącą zachowania stosunków długości odcinków proporcjonalnych.

Poznaliśmy przykłady zastosowania podobieństwa trójkątów w praktyce

Zapraszam na stronę MKI II LO

Dziękuję za udział w lekcji