2013-10-11

1

Prof. dr hab. in. JAROSAW PRZEWCKIJAROSAW PRZEWCKIpok. 364

Konsultacje: roda 1313 - 1500

Literatura:

Bielewicz E.: Wytrzymao materiaw.Dylg Z., Jakubowicz A., Oro Z.: Wytrzymao materiaw.Kolendowicz T.: Mechanika budowli dla architektw.Przewcki J., Grski J.: Podstawy mechaniki budowli.Pyrak S., Szulborski K.: Mechanika konstrukcji.Szymczak Cz., Skowronek M., Witkowski W., Kujawa M.: Wytrzymao materiaw. Zadania.

Obecno na wszystkich wykadach i wiczeniach jest obowizkowa i bdzie sprawdzana.

Zaliczenie przedmiotu uzyskuje si na podstawie wynikw dwch kolokwiw pisemnych i egzaminu.

Kolokwia oceniane s w skali punktowej 0 50 p W sumie

WARUNKI ZALICZENIA SEMESTR III

W zajciach mog uczestniczy jedynie Osoby znajdujce si na Listach Studenckich.

Kolokwia oceniane s w skali punktowej 0 - 50 p. W sumie z kolokwiw tych mona uzyska 0 100 p.

Przewiduje si moliwo poprawy kadego kolokwium wczasie sesji podstawowej lub poprawkowej (do uzgodnienia zestarost roku). Wynik tego kolokwium jest wicy.

Egzamin (pisemny) obejmuje cao materiau (sem. II i sem. III) i przeprowadzany jest w formie testu otwartego. Mona z niego uzyska 0 100 p.

Suma punktw z zalicze i z egzaminu ocena

110 124 3

Kocow ocen przedmiotu otrzymuje si zgodnie z tabel, napodstawie sumy punktw uzyskanych z kolokwiw zwykych (lubz kolokwium poprawkowego) w sem. III oraz z egzaminu.

Osoby, ktre uzyskaj z kolokwiw z semestrw II i III sum 150punktw mog by zwolnione z egzaminu, otrzymujc ocendobry.

110-124 3125-143 3+144-160 4161-174 4+175-189 5190-200 5+

Moliwe jest uzyskanie dodatkowych punktw za aktywno nazajciach.

2013-10-11

2

PROGRAM WYKADW: SEM. III 15 GODZ. 1-2. Wprowadzenie. Stan naprenia, ekstremalne wartoci

napre, koo Mohra.

3. Zwizki midzy napreniami i siami wewntrznymi. Stan odksztacenia.

4. Zwizki midzy napreniami i odksztaceniami.

5. Wymiarowanie konstrukcji: warunki wymiarowania, metodyprojektowania konstrukcji Rozciganie i ciskanie osioweprojektowania konstrukcji. Rozciganie i ciskanie osiowe.

6. Poczenia elementw konstrukcyjnych, cinanie techniczne.

7. Charakterystyki geometryczne figur paskich: momenty statyczne i rodek cikoci, momenty bezwadnoci figurpaskich, gwne osie i momenty bezwadnoci.

8. Zginanie proste, ukone, zginanie ze cinaniem, belki zoone.

9. Skrcanie swobodne. ciskanie - rozciganie mimorodowe,rdze przekroju.

10. Linia ugicia belek zginanych - rwnanie Eulera. Statecznoukadw prtowych.

11. Nono graniczna ukadw prtowych (osiowe rozciganie-ciskanie prtw, prty zginane).

12. Analiza statyczna i kinematyczna ukadw prtowych.

13 Zasada prac wirtualnych Przemieszczenia ukadw13. Zasada prac wirtualnych. Przemieszczenia ukadw prtowych.

14. Ukady prtowe statycznie niewyznaczalne - metoda si.

15. Ukady prtowe o symetrycznej budowie: obcienie symetryczne i asymetryczne.

PLAN WICZE W SEMESTRZE III 30 GODZ. Rozciganie, ciskanie osiowe 2 godz.

Poczenia elementw konstrukcyjnych. cinanie techniczne 1godz.

Momenty statyczne i bezwadnoci, wskanik wytrzymaoci 3godz.

Zginanie proste 2 godz.

Zginanie ukone 2 godz.

Zginanie ze cinaniem 2 godz.

Kolokwium nr 1 2 godz. ciskanie mimorodowe 2 godz.

Rdze przekroju 1 godz.

Metoda Eulera 2 godz.

2013-10-11

3

Przemieszczenia (zasada prac wirtualnych) 3 godz.

Metoda si w prostych ukadach statycznie niewyznaczalnych 4godz.

Nono graniczna 2 godz.

Kolokwium nr 2 2 godz.

ROZCIGANIE I CISKANIE OSIOWE

POCZENIA ELEMENTW KONSTRUKCYJNYCH. CINANIE TECHNICZNE

ZGINANIE CZYSTE M0,V=0,N=0

ZGINANIE PROSTE Mx0,My=0P

xMx

yZGINANIE ZE CINANIEM Mx0,Vy0

x y

c

Patew

ZGINANIE UKONE Mx0,My 0

Mx My

2013-10-11

4

SKRCANIE SWOBODNEe

P P

Ms=Pe

CISKANIE - ROZCIGANIE MIMORODOWE z P

x

y

ezginanie

Zginanie i ciskanie

LINIA UGICIA BELEK ZGINANYCH - RWNANIE EULERA

STATECZNO PRTW

NONO GRANICZNA PRTW

UKADY PRTOWE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

A

B C

Model sprysto-plastyczny

A

B

Model liniowo-sprysty

OBLICZANIE PRZEMIESZCZE UKADW PRTOWYCH

METODA SI

UKADY PRTOWE O SYMETRYCZNEJ BUDOWIE

2J JJ

2013-10-11

5

ELEMENTY WYTRZYMAOCI MATERIAW

Wytrzymao materiaw zajmuje si wyznaczaniem napre, odksztace orazprzemieszcze w konstrukcjach i ich elementach wywoanych obcieniami, jakie na nie dziaaj.

Wytrzymao materiaw stanowi podstawWytrzymao materiaw stanowi podstawwymiarowania konstrukcji, czyli doborumateriaw i wymiarw poszczeglnych jej elementw w taki sposb, aby cay ustrj by bezpieczny, tj. zdolny do przeniesienia dziaajcych na obcie.

W wyniku wprowadzenia wielu upraszczajcych zaoe, zwizki wytrzymaoci materiaw pozwalaj na uzyskanie jedynie przyblionych rozwiza, ktre jednak w peni zaspokajaj potrzeby praktyki

Wytrzymao materiaw wie si cile z mechanik budowli (mechanik ogln). Jest to nauka zarwno o charakterze teoretycznym, jak i eksperymentalnym.

jednak w peni zaspokajaj potrzeby praktyki inynierskiej.

Badania dowiadczalne umoliwiaj nie tylko okrelenie waciwoci stosowanych materiaw, ale take weryfikacj poprawnoci wprowadzonych zaoe oraz wykorzystanych podstaw teoretycznych.

STAN NAPRENIA Jednymi z najwaniejszych poj mechaniki i wytrzymaoci materiaw s naprenia orazodksztacenia elementu.

P

P

P

P

A

N

s

NsA

=

Wymiarem naprenia jest paskal [Pa], czyli [N/m2]. W praktyce, naprenia najczciej wyraane s w megapaskalach [MPa].

A pole powierzchni przekroju prta naprenie

2013-10-11

6

Gdyby prt zosta przecity paszczyzn nachylon pod pewnym ktem do jego osi, zmieniaby si powierzchnia przekroju A, a wic zmianie ulegoby take naprenie s.

P

A

P

A1

P

A2

Pojcie naprenie jest zwizane z orientacj przekroju, na ktre dziaa. Naprenie jest wektorem.

s

NsA

=

s1

11

NsA

=

s2

A2

22

NsA

=

s

n

A

PKAK

cossin

ss

==

PK sia przypadajca naelement o powierzchni Abdcy otoczeniem punktu K. 0

lim KA

PsA

=

Napreniem normalnym nazywany jest rzut wektora naprenia s na kierunek prostopady do paszczyzny przekroju i oznacza si je przez .Napreniem stycznym (tncym lub cinajcym) nazywany jest rzut wektora naprenia s na kierunek styczny do paszczyzny przekroju i oznacza si je przez .

bdcy otoczeniem punktu K.

PRZESTRZENNY STAN NAPRENIA

K

K

x

z

y

K

x

y

z

xyxz

zxzy

yz

yx

Punkt materialny elementarny prostopadocian

K

2013-10-11

7

x

y

z

xyxz

Dodatnie kierunki napre

z

zyzx

y

yz

yx

xxy

xz

dz

dy

W elemencie prostopadociennym, o krawdziach rwnolegych do osi prostoktnego ukadu wsprzdnych, naprenia wystpi na wszystkich ciankach. Naprenia styczne rozkadamy na skadowe rwnolege do osi ukadu.

p

, , , , , , , , x y z xy yx xz zx yz zy

Skadowe napre stycznych prostopade do krawdzi przecicia si dwch przekrojw elementarnych wzajemnie prostopadych s zawsze rwne.

, , , , , x y z xy yx xz Sze skadowych stanu naprenia cakowicie okrela stan naprenia w danym punkcie. Za ich pomoc mona okreli naprenia na dowolnie poprowadzonej paszczynie przekroju.

Naprenie w danym punkcie jest wielkoci bardziej ogln ni wektor jest tzw. symetrycznym tensorem.

x xy xz

yx y yz

zx zy z

=

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

=

1

2

311 12 13

21 22 23

31 32 33

=

EKSTREMALNE WARTOCI NAPRE Paski stan naprenia (PSN) - obcienie paskiej, cienkiej tarczy wystpuje wycznie w paszczynie ukadu - w kierunku prostopadym do powierzchni tarczy nie wystpuj adne skadowe naprenia.

x

y

x x

y

xy

xyyx

Ax

yyx

xytarcza

A

xy

yx

wskanik naprenia normalnego x (y) oznacza o wsprzdnych do rwnoleg,

pierwszy wskanik naprenia stycznego xy (yx) oznacza o wsprzdnych prostopad do krawdzi, na ktrej to napreniedziaa, a drugi pokrywa si z oznaczeniem osi rwnolegej.

xy yx =Brak napre na ciance/ 1b l

2013-10-11

8

y

y

x

Dane: x, y i xy - poszukuje si napre w przekroju nachylonym pod ktem do poziomu: i .

cos sin 0x x xyP dy dx ds ds = + =sin cos 0y y xyP dx dy ds ds = + + =

Naprenia w dowolnie nachylonym przekroju

xdx

dy

y

xy

xy

cosdy ds =sindx ds =

cos 2 sin 22 2

x y x yxy

+ = + +

sin 2 cos 22

x yxy

= +

cos 2 sin 22 2

x y x yxy

+ = + +

n

n

( )sin 2 2 cos 2 0x y n xy nn

dd

= + =2

tg 2 xynx y

=

n - kt nachylenia prostej normalnej do tzw. przekrojugwnego, na ktry dziaaj tylko naprenia ekstremalne.

W praktyce, istotne jest okrelenie przekroju (kta nachylenia prostej normalnej do paszczyzny przekroju), na ktrym naprenia osigaj wartoci ekstremalne.

g g , y j y p Dla danej wartoci tangensa kta 2n istniej w zakresie od 0 do

2 dwie wartoci kta rnice si o .

2n2 2n1

1

tg2nPrzekroje te okrelone s przez kty n1 i n2 rnice si od siebie o /2.

Opisuj one dwa przekroje, na ktre dziaaj ekstremalne naprenia normalne.

2 n

yPrzekroje gwne s do siebie prostopade. Dziaajce na tych przekrojach naprenia normalne nazywaj si napreniamigwnymi 1 i 2 (1 > 2).

( )sin 2 2 cos 2 0x y n xy nn

dd

= + =

1sin 2 cos 2 02 2

x yxy

n

dd

= + = =

Naprenia styczne w przekrojach gwnych s rwne zeru.

Naprenia gwne przedstawiaj jednoczenie cakowite naprenia w danym przekroju.

n

2013-10-11

9

2 n Aby stwierdzi, ktremu z ktw odpowiada wiksze, a ktremumniejsze naprenie gwne, naley wyznaczy drug pochodnfunkcji () wzgldem .

( )2

12

2

02 cos 2 4 sin 2

0n

x y n xy nn

d

d

< =

y

Jeeli po podstawieniu wartoci napre x, y i xy oraz kta nachylenia do wzoru otrzyma si wyraenie mniejsze od zeranachylenia n1 do wzoru otrzyma si wyraenie mniejsze od zera, to kt n1 odpowiada wikszemu napreniu gwnemu.

( ) ( )( )2

122

2

cos 2 02 cos 2 1 tg 2

cos 2 0

x y n nx y n n

x y n n

d

d

> = + <

Po odpowiednich przeksztaceniach otrzymujemy alternatywnie

Wartoci napre gwnych otrzymamy podstawiajc tg2n do wzoru na

22

1 2 2x y x y

xy

+

= + +

22

2 2 2x y x y

xy

+

= +

x x

y

y

xy

xy

12

22

1,2 2 2x y x y

xy

+

= +

Suma napre normalnych w dwch wzajemnie prostopadych do siebie przekrojach nie zaley od orientacji elementu (jest niezmiennikiem).

2 2

1 2 x y + = +

12

t - kt nachylenia prostej normalnej do przekroju odpowiadajcemu ekstremalnym wartociom napre stycznych:

( ) ( )cos 2 2 sin 2 0 tg 2 2x y

x y t xy t tt xy

= = =

Ekstremalne wartoci napre stycznych

2

sin 2 cos 22

x yxy

= +

2ekstr 2

x yxy

= +

1 2

ekstr 2 = lub

4t n = +

Naprenia styczne osigaj wartoci ekstremalne w paszczyznach nachylonych pod ktem 450 w stosunku do przekrojw gwnych.

1

12

2450 ekstr

ekstr (x+y)/2

(x+y)/2

2013-10-11

10

KOO MOHRA

cos 2 sin 22 2

x y x yxy

+ = + +

sin 2 cos 22

x yxy

= +

2 2

cos 2 sin 22 2

x y x yxy

+ = +

22 sin 2 cos 2

2x y

xy

= +

2 22 2

2 2x y x y

xy

+

+ = +

( )2 2 2x a y r + =

Powysze wyraenie przedstawia rwnanie okrgu w ukadzie wsprzdnych (, ), zwane koem Mohra. Pozwala ono na graficzne wyznaczenie wartoci i kierunkw napre gwnych.

1

2

xy

2 xy

n1n2

O2n1

12

x y 2

x y +

2 22 2

2 2x y x y

xy

+

+ = +

czc punkt (x, xy) ze rodkiem koa otrzymamy jego promie.

Obieramy prostoktny ukad wsprzdnych (, ). Na osi odkadamy wartoci x i y.

W punkcie (0, x) odmierzamy w kierunku pionowym naprenie styczne xy.

Wyznaczamy rodek koa Mohra, ktrego odcita wynosi(x+y)/2.

1

x x

y

y

xy

xy

12

21

2

xy

2 xy

n1n2

O2n1

1Wsprzdne punktw koa Mohra przedstawiaj wartoci napre normalnych i stycznych w dowolnie nachylonych

k j hprzekrojach.

Maksymalne naprenie styczne wystpuje w punktach, ktrymodpowiada naprenie normalne =(1+2 )/2.

Koo przecina o w punktach, dla ktrych naprenia styczne s rwne zeru, a naprenia normalne osigaj wartoci ekstremalne. Punkty te wyznaczaj naprenia gwne. Kierunek wikszego naprenia gwnego 1 otrzymamy czc punkty (0, 2 ) i (x , xy ). Kierunek naprenia 2 jest do prostopady.

2013-10-11

11

Wyznaczy analitycznie i graficznie naprenia gwne i maksymalne naprenia styczne oraz ich kierunki w punkcie, w ktrym naprenia maj nastpujce wartoci: x = 200 kPa,y = 100 kPa i xy = 50 kPa.

x=200

y=100

x=200xy=50

xy=50

22

1

22

2

200 100 200 100 50 220,7 kPa2 2

200 100 200 100 50 79,3 kPa2 2

+ = + + =

+ = + =

0 01 2

2 50tg 2 1 22,5 , 112,5200 100n n n

= = = =

y=100

( ) 0 02 200 100 cos 45 4 50 sin 45 282,8 0 =

Przestrzenne rwnomierne ciskanie

1 2 3 0 = = = < 12

3

21

12

3

21

3

3

Paskie rwnomierne rozciganie

Paskie rwnomierne ciskanie

1 2 30 , 0 = = > =

1 2 30 , 0 = = < =

1

2

1

2

1

2

1

2

Jednoosiowe rozciganie

1 2 30 , 0 = > = =

1 =xy

1 =x

x

1 =

xy

y

Czyste cinanie paski stan naprenia

( )1 2 1 2 3 , 0 , , 0 = = > = =

21

1

2

1

2

cos 2 , cos 2 , sin 2x y xy = = =

xyxy

2

12

Naprenia normalne w paszczyznach najwikszych napre stycznych nachylonych do kierunkw gwnych pod ktem 450 s rwne zeru. Wystpuj tu tylko naprenia styczne:

max 1 2 = = =

2

xyxy

2

1

max450

maxmax

045

Przy odpowiedniej orientacji osi stan naprenia mona opisa podajc wycznie wartoci napre stycznych.

1

2

1

2

2013-10-11

13

ZWIZKIMIDZYNAPRENIAMIISIAMIWEWNTRZNYMI

xz

AO

y

Vx

Vy

Nx

y

z

zy

AO

zx zK

zA

N dA=

IndeksA przysymbolucakioznacza,icakowanieobejmujecaepoleprzekroju.

x

y

z

R

MO

AO

xz

AO

y

Mx

My

Ms

x zA

M ydA=

x zxA

V dA=

( )s zy zxA

M x y dA =

y zyA

V dA=

y zA

M xdA= Wzoryte niepozwalajnajednoznacznewyznaczenierozkadu(funkcji)napreprzyznanychwartociachsiwewntrznych.Dlatychsamychsiwewntrznychmonabowiemotrzymarnerozkadynapre.Ichwyznaczeniejestjednymzpodstawowychzadawytrzymaocimateriaw.

STANODKSZTACENIAOdksztacenie nazywamy sprystym,gdypousuniciuobcieniaodksztacenieznika,akonstrukcjapowracadoswojejpierwotnejpostaci TEORIASPRYSTOCIOdksztacenia trwaelub plastyczne nieznikajpoodcieniukonstrukcji TEORIAPLASTYCZNOCI

Rozciganie ciskanieosiowezachodzi,jeeliniezerowestylkosiypoduneN. Gdysiytesdodatnie,towystpujerozciganie,agdyujemne ciskanieujemne ciskanie.

N>0 N

2013-10-11

14

DEFORMACJA PASKIEGOELEMENTU

v

u

xy

yx

A B

D C

y

x

y k

A

D C

Bxkx

Przyrostdugocielementu ku x x = Zmiana postacielementu tg , tgyx xy

u v = =

tg xy xy

tg p g , gyx xyy x tg yx yx

Odksztaceniemjednostkowympodunym nazywasizmianwymiaruelementuwzduosix (y)przypadajcnajednostkdugoci

0lim x x

u ux x

= =

0lim y x

v vy y

= =

Odksztaceniempostaciowymnazywasizmianksztatuelementunaskutekzmianyktw

0, 0limxy yx yx xy x y

u v u vy x y x

= = + = + = +

Wartoci i kierunki odksztace gwnych

n kt nachylenia tzw.przekroju gwnego,na ktry dziaaj tylkoodksztacenia podune.

Dla paskiego stanu odksztacenia aktualna pozostaje take konstrukcja koa Mohra przy czym na osi pionowej naley

22

1,21

2 2 4x y x y

xy

+

= +

tg 2 xyox y

=

konstrukcja koa Mohra, przy czym na osi pionowej naley odmierza warto xy/2.

1

/2

2

xy/2

2 xy

n1n2

O2n1

1

1

2

Dodatnia konwencja zgodnie ze zwrotami i.

x

y

xy

yx

1

1

ZWIZKI MIDZY NAPRENIAMI A ODKSZTACENIAMI

Zwizki midzy napreniami a odksztaceniami dla danego materiau, np. stali lub betonu, okrela si na podstawie prb wytrzymaociowych przeprowadzanych w laboratorium. Standardowym badaniem wytrzymaociowym jest tzw. statyczna prba jednoosiowego rozcigania prbki materiau w ksztacie walca, w maszynie zwanej zrywark.

Maszyna wytrzymaociowa do prby rozcigania

Prbka zamocowana w szczkach maszyny wytrzymaociowej

2013-10-11

15

RpRs Rpl

Rr

Obcienie

Odcienie

=P/A

RuB

C D

Przewenie szyjka na rozciganej prbce

Rp granica proporcjonalnoci,Rs granica sprystoci,Rpl granica plastycznoci,Rr granica wytrzymaoci

na rozciganieRu naprenie zrywajce.

pl =l/lA E

Miejsce zerwania prbki

Rc

Rr

ciskanie

Rozciganie

Granica wytrzymaoci betonu na ciskanie Rc jest znacznie wiksza (1012 razy) od granicy na rozciganie Rr.

Wartoci granicy plastycznoci i wytrzymaoci dla typowych materiaw konstrukcyjnych

dla typowych materiaw konstrukcyjnychMateria Granica

plastycznoci[MPa]

Granica wytrzymaoci[MPa]

rozciganie ciskanieStopy aluminium 90 300 90430 90430Stal 195 440 315720 6001400Beton 0,53 550Cega 0,53 515Drewno wzdu wkien 4090 2550Drewno w poprzek wkien 4 515

Prekursorem bada dowiadczalnych cia sprystych by Robert Hooke, ktry w 1678 roku sformuowa prawo sprystoci.

E - wspczynnik proporcjonalnoci (modu Younga, wspczynnik sprystoci.

x x

yx

yxyx

xyxy

xy

yE =

xyxy

xy

yx

yx

= +y

, xx E

=

, xy E

=

,, yy E

=

,, yx E

=

- wspczynnik Poissona,

( ), ,, 1x x x x yE = + =

,2 2

yx xyyx xyG G

= =

( )2 1EG

=

+

G - modu cinania (modu odksztacenia postaciowego)

2 2xy yx xy

xy xy yx G G G

= + = + =

2013-10-11

16

Robert Hooke zapisa si w historii Londynu rwnie jako wietny architekt. Po poarze miasta w 1666 roku znalaz si w komisji odbudowujcej miasto i wedug jego projektw wzniesiono wiele budynkw i paacw.

Wynalaz i skonstruowa kilkadziesit przyrzdw naukowych (m.in.): pompa prniowa, barometr sprynowy, termometr, higrometr, deszczomierz, poziomnic, mikroskop, teleskopzwierciadlany, wiatromierz, gbokociomierz itp.

H k d i i t i t dk iHooke prowadzi nieustanne spory o pierwszestwo odkry, m.in. z Newtonem o odkrycie prawa cienia. Uwaa, i zosta okradziony z odkrycia tego prawa.

Za spraw Isaaca Newtona, ktry postanowi wymaza go z pamici potomnych, nie wiadomo jak Hooke wyglda. Zaraz po mierci Hooke'a prezesem Royal Society zosta wanie Newton. Przy przenosinach Royal Society do nowej siedziby, w niewiadomych okolicznociach zagin jedyny portret Hooke'a oraz wikszo instrumentw, ktre wynalaz i wykona.

Uoglnione prawo Hookea

lub

( )

( )

1

1

x x y

y y x

xyxy

E

E

G

=

=

=

( )

( )2

2

1

1

x x y

x y x

xy xy

E

E

G

= +

= +

=

Materia sprysty charakteryzuj dwa niezalene parametry E i . Na ich podstawie mona wyznaczy modu cinania G. Wspczynnik Poissona zmienia si w granicach od 0 dla materiaw ciliwych (korek) do 0,5 dla materiaw nieciliwych (kauczuk). Wspczynnik ten dla wikszoci materiaw konstrukcyjnych przyjmuje wartoci pomidzy 1/4 a 1/3.

Wartoci moduu Younga i wspczynnika Poissona dla podstawowych materiaw konstrukcyjnych

Materia Modu Younga E [MPa]

Wspczynnik Poissona

Stopy aluminium 0,290,33Stal 0,30Beton 0,160,2

(77,5)1042,1105

(1,14)104Cega Drewno wzdu wkien Drewno w poprzek wkien

(24)103(914)103(110)102

2013-10-11

17

WYMIAROWANIE KONSTRUKCJI

Materia wykorzystany do wykonania konstrukcji nie moe by obciony do granicy plastycznoci czy wytrzymaoci. Z uwagi na to, e dane dotyczce obcienia, waciwoci stosowanych materiaw czy wymiarw poszczeglnych elementw s zawsze obarczone pewnym bdem, konieczny jest odpowiedni zapas bezpieczestwa.

Dc do minimalnego nakadu kosztw, przy minimalnym i t i b t d b i t j tzuyciu materiaw, zbyt duy zapas bezpieczestwa jest

rozwizaniem nieekonomicznym.

Waciwy dobr zapasu bezpieczestwa jest podstawowym problemem w projektowaniu konstrukcji.

Zagadnienie to wci nie jest cakowicie rozwizane i jest przedmiotem bada nowo powstaej nauki teorii bezpieczestwa konstrukcji. Gwn trudno sprawia statystyczny charakter danych niezbdnych do wyznaczenia zapasu bezpieczestwa.

Podstawowym celem wytrzymaoci materiaw jest bezpieczne wymiarowanie konstrukcji. Aby konstrukcja bya dostatecznie bezpieczna musz by spenione trzy podstawowe warunki: wytrzymaoci, statecznoci i sztywnoci.

Warunki wymiarowania

Metody wymiarowania konstrukcji zawarte w procedurach i normach obliczeniowych musz te warunki uwzgldnia.

P

P

Warunek wytrzymaoci

Pr sia zrywajaca okrelona napodstawie dowiadczenia,n > 1 - wspczynnik bezpieczestwa.

P = PrrPP

n

Warunek statecznoci

P P

J li i i i t k t P t i

PW

aO

b

wM Pb= uM Wa=u

w

M nM

Jeeli sia osignie pewn warto krytyczn Pkr, wystpi nage, niekontrolowane wygicie supa, zwane wyboczeniem. Ukad staje si wwczas niestateczny, co jest rwnoznaczne ze zniszczeniem konstrukcji.

P

2013-10-11

18

Warunek sztywnoci

ymaxl l

ymax

maxlym

Warunek wytrzymaoci zwizany jest z waciwociami fizycznymi wykorzystanego materiau. Warunki statecznoci i sztywnoci dotycz konstrukcji jako caoci lub jej wybranych elementw.

m - wspczynnikiem liczbowym okrelony w normach (znacznie wikszy od jednoci, np. m = 400).

Warunki wymiarowania musz zosta uwzgldnione w metodach, na podstawie ktrych projektuje si konstrukcje.

METODY PROJEKTOWANIA KONSTRUKCJI

METODA STANW GRANICZNYCHWytrzymaoci obliczeniowe - otrzymuje si przez podzielenie granicy plastycznoci (rzeczywistej lub umownej) bd granic wytrzymaoci przez odpowiedni wspczynnik bezpieczestwa(n > 1). ( )Obcienia obliczeniowe - wartoci charakterystyczne (zestawione w normach) mnoy si przez odpowiednie wspczynniki czstkowe (rwnie podane w normach).

Jako graniczne okrela si takie stany, po osigniciu ktrych konstrukcja lub jej elementy przestaj spenia postawione im wymagania. stany graniczne nonoci, stany graniczne uytkowania (uytkowalnoci).

Stan graniczny nonoci spowodowany zniszczeniemprzekrojw konstrukcji, polega na porwnaniu napre sobl,wywoanych tzw. obcieniem obliczeniowym i wytrzymaociobliczeniowej fd:

:

Pobl - maksymalne obcienie obliczeniowe dziaajce nakonstrukcj,R bli i t i k t k ji

obl df ( ) ( )S F R FWg normy

obl dP R

Rd nono obliczeniowa materiau konstrukcji.

Stan graniczny uytkowania (uytkowalnoci) polega przede wszystkim na sprawdzeniu ugi, czyli porwnania ich z ugiciami dopuszczalnymi (spenienie warunku sztywnoci). W niektrych konstrukcjach, np. elbetowych, sprawdza si take inne stany graniczne uytkowania, jak np. pojawienie si nadmiernych rys w elementach betonowych lub murowanych.

dopa aWg normy

2013-10-11

19

ROZCIGANIE I CISKANIE OSIOWE

Pknicie

Przykady awarii rozciganych i ciskanych elementw konstrukcyjnych

ciskanie

Rozciganie

Badania laboratoryjne

2013-10-11

20

ciskanie

Rozciganieciskanie

Rozciganie

ciskanieKonstrukcjemostoweidealne

g

ciskanieRozciganie

ciskanie

P Pxy

N

Zaoenia: w przekrojach prostopadych do osi prta wystpuj tylkonaprenia normalne,

Osiowe rozciganie (ciskanie) zachodzi wtedy, gdy w prcie wystpuje tylko sia poduna.

N

naprenia normalne rozoone s rwnomiernie w przekroju.

x xA

N dA A = = dN fA =

E modu Younga, A pole przekroju poprzecznego prta,fd wytrzymao obliczeniowa (fcd ciskanie, ftd rozciaganie).

x

y

NE EA

NEA

= = =

= =

( )

( )

1

1

x x y

y y x

xyxy

E

E

G

=

=

=

Uoglnione prawoHookea (PSN)

x = , y = 0

STAN JEDNOWYMIAROWY

dudx

=J d tk dk t i dx

Cakowitego wyduenia prta o dugoci l

0 0

l l N Nlu dx dxEA EA

= = =

Jednostkowe odksztacenie podune

0lim x x

u ux x

= =

0lim y y

v vy y

= =

EA sztywno prta na rozciganie (ciskanie)

dopu l

Prt zbudowany z odcinkw o rnych przekrojach 1

ni i

ii

N lu

EA==

2013-10-11

21

Budowa wzorw teorii jednoosiowego rozcigania i ciskania pozwala nie tylko na odpowiednie wymiarowanie elementw konstrukcyjnych, ale i na dowiadczalne wyznaczenie parametrw sprystych, czyli wspczynnika Poissona i moduu Younga E.Statyczna prba jednoosiowego rozcigania

L wyduenie prbki,

=L/L0 jednostkowe wyduenie,p=d/d jednostkowe zwenie,

P = N sia rozcigajca.d rednica prta,

Modu Younga okrela si w pierwszej fazie badania, odczyty wyduenia i zwenia prbki dokonuje si dla rnych wartoci siy P, a uzyskane z oblicze parametry spryste urednia si.

p

= Wspczynnika Poissona

/ 0 j y ,

E

=

POCZENIA ELEMENTW KONSTRUKCYJNYCH. CINANIE TECHNICZNE

Elementy konstrukcji metalowych s czone w cao za pomoc rub, nitw i spaww. W konstrukcjach drewnianych wykorzystywane s gwodzie, klamry lub inne specjalne czniki. Coraz czciej stosowane s poczenia klejone.

Sydney Opera House

Klej epoksydowy

Sydney Opera House

Prefabrykowane elementy powokowe

2013-10-11

22

Wiea Eiffel'a - nity

Przykady pocze zniszczonych

Stan obcienia lub naprenia wywoujcy powstanie wycznie odksztace postaciowych nazywamy czystym cinaniem. W przypadku ukadw prtowych, naprenia styczne wynikaj z dziaania siy tncej. Sia ta jest pochodn momentu zginajcego, zatem realizacja stanu obcienia z udziaem tylko siy tncej nie jest moliwa bez wystpienia momentu zginajcego. cinanie wystpuje zatem tylko ze zginaniem, wywoanym momentem zginajcym. Czyste cinanie zakada si w przypadkach, gdy wpyw zginania jest odpowiednio may. Praktycznie, zaoenie takie jest uzasadnione w niektrych poczeniach elementw konstrukcyjnych.

P

Pt/2t/2

t/2t/2

PP t/2

t/2

t/2t/2M

M

M=Pt/2T0

2013-10-11

23

Rodzaje pocze w zalenoci od dziaajcego na nie ukadu si

Ukad si zbienych

Ukad si dowolnych

P P

M

O wytrzymaoci pocze elementw konstrukcyjnych decyduj przede wszystkim siy poprzeczne. Wystpujcy w cznikach stan wywoany przez naprenia styczne nazywany jest cinaniem technicznym.

Zaoenia: w przekroju cznika wystpuj tylko naprenia styczne, naprenia styczne rozoone s rwnomiernie.

vdP fA

=

P sia powodujca cinanie,A cakowite pole powierzchni

przekroju poczenia,fvd wytrzymao obliczeniowa

na cinanie.

P

P

PPA

POCZENIA RUBOWE

2013-10-11

24

Nity

ruby

P P

PP/2

P/2

d

d=P/A

t2t1

t1

ruby (nity) dwucite

1) cinanie

Obliczenia pocze rubowych polegaj na okreleniu niezbdnej liczby rub n i ich wymiarw (rednicy d) tak, aby poczenie byo wystarczajco bezpieczne.

vdP f

mnA =

A = d2/4 pole przekroju poprzecznego ruby, fvd wytrzymao obliczeniowa na cinanie materiau, z ktregowykonana jest ruba.

n liczba rub,m liczb paszczyzn cinania,

We wzorze na naprenia styczne wystpuj dwieniewiadome n i A.

Nono obliczeniowa ruby sia, ktr moe przenie pojedyncza ruba

vdP f

mnA =

Przy wymiarowaniu poczenia rubowego naley z gry przyjjedn z tych wielkoci. Najczciej przyjmuje si jako danyprzekrj A (rednic d) i oblicza potrzebn liczb rub wpoczeniu.

2

4t vd vddN mAf m f= =

Potrzebna liczba cznikw

t

PnN

2013-10-11

25

2) Docisk ruby

Zakada si, e naprenia dociskowe rozkadaj si w sposbrwnomierny take wzdu rednicy rednicy d.

PP/2

P/2

Strefazgniotud

PP/2

P/2t2t1

t1

Strefyzgniotu

d

mincd

d

P fn dt

=

nd liczba rub,fcd wytrzymao obliczeniow na ciskanie materiau blachy lub ruby.

Grubo blach tmin dobiera si w takisposb, aby uzyska jak najmniejszwarto pola powierzchni przekroju,np. tmin = 2t1lub tmin = t2.

d

3) Zerwania blachy

tmin

d

b

( ) min tdpP f

b n d t =

b szeroko przekroju blachy, np liczba rub w przekroju, tmin minimalna grubo blachy, ftd wytrzymao obliczeniowa na rozciganie materiau, z ktrego wykonana jest blacha.

Spoiny czooweSpoiny pachwinowePOCZENIA SPAWANE

2013-10-11

26

SPOINY CZOOWEP

PP

P

Spoinaczoowa

t

b

tdP s f

b t =

ftd wytrzymaoobliczeniowanarozciganiespoiny,s wspczynnik zmniejszajcys wspczynnikzmniejszajcy.

Wytrzymaoobliczeniownarozciganiespoinyprzyjmujesimniejszodmateriauczcego,zuwaginaniejednorodnomateriauspoiny,niedokadnopoczeniaspoinyzmateriaemblachyczykoncentracjnapre.

Wprzypadkuciskaniazakadasi,espoinapracujejakmateriablachyiobliczeniespoinyjestzbyteczne.

Sprawdzenie napre w spoinie czoowej.

sP

PP

P b

Spoinaczoowa

t

l

b

2cos cos cos tdP P P s fA lt bt

= = =

sin sin sin cos vdP P P s fA lt bt

= = =

, cos cos

bA lt b l l

= = =

PP

Podunaspoinapachwinowa

Poprzecznaspoinapachwinowa

Spoiny pachwinowe

t

Powierzchniacicia

t

P P

l0

Spoinapachwinowa

t

t

Spoina

a

02vd

P s fal

= s wspczynnik zmniejszajcy

2013-10-11

27

bh

c cd

PP

P

POCZENIA CIESIELSKIE

Poczenia ciesielskie oblicza si, tak jak poczenia metalowe, przyzaoeniu rwnomiernego rozkadu napre w danej paszczynie.

cicie vdP f

c b =

Rozerwanie

2

tdP f

h d b =

c c

h d0,5(h-d)

Docisk cdP f

d b =

RYSY I SPKANIA PRZY CINANIU

Obcienie od wiatru

Poziome pknicie

Zaoenie intuicyjne nieprawidoweH RR Zaoenie intuicyjne nieprawidoweR

R/2

R/2

R/2

R/2H/2 H/2

H/2 H/2 Spkaniaodobciesejsmicznych

Pole powierzchni przekroju A = A1 + A2 + + An = Ai

CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PASKICH

xz

y

c

x x

Pole, A

A1

A2

y1y2

An

ynycc

Moment bezwadnoci figury wzgldem osi x:

Jx = A1(y1)2 + A2(y2)2 + + An(yn)2 = (Ai) (yi)2 [m4]

Moment statyczny figury wzgldem osi x:

Sx = A1 y1 + A2 y2 + + An yn = Ai yi [m3]

Rzdna rodka cikoci: yc = SxA

2013-10-11

28

AdA

y

yyc

x

xxc

r A

A dA=

MOMENTY STATYCZNE figury paskiej wzgldem osi x i y

,x c y cS ydA y A S xdA x A= = = = ,x c y cA A

S ydA y A S xdA x A

Pooenia rodka cikoci pola figury

Momenty statyczne mog przybiera zarwno wartoci dodatnie, jak i ujemne. Moment statyczny figury wzgldem osi przechodzcych przez jej rodek cikoci rwna si zeru. Osie takie nazywaj si osiami centralnymi (rodkowymi) pola.

, y xc cS S

x yA A

= =

W przypadku, gdy figura paska ma jedn o symetrii, to jej rodek

Figury o symetrycznych ksztatach

p yp , g y g p j y , j jcikoci ley na tej osi. Jeeli figura ma dwie osie symetrii, to jej rodek cikoci znajduje si w punkcie ich przecicia.

rodek cikoci figur o antysymetrycznym ksztacie

Moment statyczny przekroju zoonego wzgldem osi x i y

x i ciS A y= y i ciS A x=

Ai - pola powierzchni figur skadowych,xci, yci - pooenie rodkw cikoci tych figur.

i cic

i

A xx

A=

i ci

ci

A yy

A=

Pooenie rodka cikoci przekroju zoonego

2013-10-11

29

i cic

i

A xx

A=

i ci

ci

A yy

A=

y

4

6A1

A2c2c13

2

y

56

A

A2 c2c13

4

Pole ujemne

2 6 1 6 4 5 3,672 6 6 4c

x + = +

2 6 3 6 4 2 2,332 6 6 4c

y + = +

8 6 4 6 2 5 3,678 6 6 2c

x =

8 6 3 6 2 5 2,338 6 6 2c

y =

0 1 2 5 8x

2

0 4 5 8x

A1

AAy

yyc

x

xxc

r

Momenty bezwadnoci wzgldem osi

MOMENTY BEZWADNOCI

lub 2 2I y dA I x dA= = 2 2J dA J dA

Odrodkowy moment bezwadnoci wzgldem osi (moment dewiacyjny) xy A

J xydA= Biegunowym moment bezwadnoci wzgldem pocztku ukad

20 x y

A

J r dA J J= = +

Promie bezwadnoci ,xxJiA

=y

yJ

iA

=

lub ,x yA A

I y dA I x dA= = 2 2,x yA A

J y dA J x dA= =

Momenty bezwadnoci przekrojw poprzecznych elementwdecyduj o sztywnoci, a w konsekwencji o nonoci konstrukcji.

JxII > JxI

JxI

x

y

Im wikszy moment bezwadnoci tym mniejsze ugicie belki (wiksza sztywno)

JxIIx

y

2013-10-11

30

Wasnoci momentw bezwadnoci figur paskich

Wartoci momentw bezwadnoci Jx, Jy, J0 s zawsze dodatnie.

Momenty odrodkowe Jxy mog przybiera wartoci dodatnie, ujemne lub rwne zeru.

Odrodkowy moment pola wzgldem ukadu osi, z ktrych chocia jedna jest osi symetrii figury, rwny jest zeru.

Momenty bezwadnoci wzgldem osi, dla ktrych odrodkowy moment bezwadnoci jest rwny zeru zwane s gwnymi momentami bezwadnoci, a w przypadku gdy osie te sosiami rodkowymi nazywane s gwnymi rodkowymi (centralnymi) momentami bezwadnoci i oznaczane J1 , J2.

Jednostk momentw bezwadnoci jest [m4].

Figury bisymetrycznePrzypadki symetrii

Figury monosymetryczne

Figury majce wicej ni dwie osie symetrii kady kierunek jest dla nich kierunkiem gwnym

dA=bdy

dyh

xO

y

yb y

h

x

dA=hdx

O

b

x dx

0

2 3 3

0

1 13 3

hh

xJ y bdy by bh= = =0

2 3 3

0

1 13 3

bb

yJ x hdx hx hb= = =

Aby wyznaczy moment odrodkowy naley przyj inny element powierzchni dA.

2013-10-11

31

y

dxdy

h

x

dA=dxdy

O

b

x

y

0 0

2 2 3 3

0 0 0 0

1 13 3

b hb h b h

xJ y dxdy dx y dy x y bh= = = =

0 0

2 2 3 3

0 0 0 0

1 13 3

h bb h h b

yJ x dxdy dy x dx y x b h= = = =

0 0

2 22 2

0 0 0 0

1 12 2 4

b hb h b h

xyb hJ xydxdy xdx ydy x y= = = =

r r

dA=2d

x

y

r r

42 2 3

00 0

2 2 2

r r

A

rJ dA d d = = = =

0 , =2x y x y xJ J J J J J= = +

4

4xrJ =

Momenty bezwadnoci w ukadzie wsprzdnych przesunitym rwnolegle wzgldem ukadu, ktrego pocztek pokrywa si ze rodkiem cikoci rozpatrywanej figury.

A

yc

y

c dA

y ,c cx x y y = + = +

xc xx

( ) ( )2 2 2 2 22 2x c c c c cA A A A A

J y dA y y dA y dA y dA dA = + = + + = + +

0 ,A

dA = 2 ,A

dA J =A

dA A= 22

x c

y c

xy c c

J J Ay

J J Ax

J J Ax y

= +

= +

= +2x cJ J Ay= + Wzory Steinera

2013-10-11

32

h

b

h/2

b/2C

x

y

O

23 3

3 2 12b h b b hJ bh

= =

2 20

4 2 2b h b hJ bh = =

23 3

3 2 12bh h bhJ bh

= =

3bh

Momenty bezwadnoci przekroju zoonego:

,ix xJ J= ,iy yJ J= 0 0iJ J= ,ixy xyJ J=

12bhJ =

3

12b hJ =

Pola ujemne

hi

bi bi

Pole dodatnie

bo

ho

3 30 0 212 12

i ix

b h b hJ =

Dwuteownik

x

3I 0 0

12xb hJ =

3II 2

12i i

xb hJ =

12 12x 12x 12x

Przy obliczaniu momentw bezwadnoci przekrojw cienkociennych pomija si wyrazy zawierajce wysze ni pierwsza potgi wielkoci (grubo cianki).

teownik

ktownik

ceownik

P k j P k j k k

Przekrojem cienkociennym nazywamy przekrj skadajcy si z figur, ktrych jeden wymiar jest duo wikszy od drugiego.

Przekrj ceowy Przekrj skrzynkowy

Ktownik rwnoramienny Przekrj rurowy

2013-10-11

33

Przekrojem cienkociennym jest take przekrj skadajcy si z dwch lub wicej blach. Przekrj taki nazywa si blachownic. Poszczeglne blachy czy si najczciej za pomoc rub lub spawania.

Ayc

xc

a

x

y

0

2x cJ a y=

32

12y caJ a x = +

y

x

z

( )

3222 2

2

sin sin12

a

xaA

aJ y dA z dz

= = = 3

2cos12yaJ =

3

sin cos12xyaJ =

3

0 0 , 12x yaJ J = = =

( )33

2 2 3

212 12

3 6 46

x

a babJ

a b b

= =

= +

b

a

x

2aba J 2x

a J

23

212 2x

a bJ a = +

b

a

x2

2a b

2013-10-11

34

( ) ( )33 2 212 12x

a ba bJ

= =

b

a

x b

a

x

2 2 3 3 2 2 31 3 6 4 6 126

a b a b a b b b = + + + 2 3

, 2 6x

a b ba b J +

23 3

212 2 12x

a b bJ a = + +

2 3

2 6a b b

+

Gwne osie i momenty bezwadnoci

x

y

y

xA

dA

cos sincos sin

x yy x

= +=

( )22 2 2cos sin cos sin sin 2x y xyA A

J dA y x dA J J J = = = +

( )22 2 2cos sin sin cos sin 2x y xyA A

J dA x y dA J J J = = + = + +

( )( ) ( )1cos sin cos sin sin 2 cos 22 x y xyA A

J dA x y y x dA J J J = = + = +

x yJ J J J + = +Dodajc dwie pierwsze zalenoci

Kontrola poprawnoci uzyskanych wynikw

Pooenie osi, dla ktrej moment bezwadnoci J przyjmie warto ekstremaln - poszukiwane ekstremum funkcji.

cos 2 sin 22 2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x yxy

x y x yxy

x yxy

J J J JJ J

J J J JJ J

J JJ J

+ = +

+ = +

= +

p j

02

t g2 xyx y

JJ J

=

sin 2 cos 2 02

x yxy

J JdJJ

d

= =

Osie, wzgldem ktrych momenty bezwadnoci osigaj wartoci ekstremalne, nazywaj si gwnymi osiami bezwadnoci. Odpowiadaj im gwne momenty bezwadnoci

22

1,2 2 2x y x y

xyJ J J J

J J+

= +

2013-10-11

35

O obrcona o kt 0 - odpowiada maksymalnej wartoci momentu bezwadnoci, jeeli speniony bdzie warunek

( ) 0cos 2 0x yJ J >Dla ukadu wsprzdnych o osiach pokrywajcych si z gwnymi osiami bezwadnoci, odrodkowy moment bezwadnoci ma zerow warto Jxy = 0. Jeeli gwne osie bezwadnoci przechodz przez rodek cikoci figury, to nazywaj si gwnymi centralnymi osiami bezwadnoci.gwnymi centralnymi osiami bezwadnoci.

Jeeli figura paska posiada o symetrii, to gwna centralna o bezwadnoci pokrywa si z t osi. Druga gwna centralna o bezwadnoci jest do prostopada.

Niezmiennikiem nazywamy tak wielko fizyczn, ktra nie zmienia swojej wartoci przy obrocie ukadu wsprzdnych.

1 2+ = +x yJ J J J2

1 2= x y xyJ J J J J

Algorytm wyznaczenia pooenia osi gwnych orazobliczenia wartoci gwnych momentw bezwadnoci zoonej figury paskiej1. Obliczy pole przekroju A figury, rozkadajc j na figury proste.

y xS S

3. Obliczy momenty statyczne Sx1, Sy1 (jako sumy lub rnicemomentw statycznych figur skadowych) wzgldem przyjtychosi x1, y1.

2. Przyj dowolny ukad osi wsprzdnych x1, y1.

5. Obliczy momenty bezwadnoci figury Jx1, Jy1, Jx1y1 wzgldemprzyjtych osi x, y (jako sumy lub rnicy momentw bezwadnoci prostych figur skadowych, ze szczeglnymuwzgldnieniem znakw (+/-) dla momentw odrodkowych.

4. Okreli pooenie rodka cikoci figury: 1 1 , y xc cS S

x yA A

= =

6. Obliczy momenty bezwadnoci wzgldem osi rodkowych zewzorw

2 21 1 , x x c y y cJ J A y J J A x= =

7. Okreli pooenie osi gwnych ze wzoru 02

t g2 xyx y

JJ J

=

8. Obliczy wartoci gwnych rodkowych momentwbezwadnoci ze wzorw:

22

1 2 2x y x y

xyJ J J J

J J+

= + +

22

2 2 2x y x y

xyJ J J J

J J+

= +

9. Narysowa w skali figur wraz naniesionymi ukadami ositk h dk h i t l h hpocztkowych, rodkowych i centralnych gwnych.

10. Przeprowadzi kontrol wartoci momentw bezwadnoci:

1 1 1 2, , , , , 0x y x yJ J J J J J >

11. Przeprowadzi kontrol niezmiennikw momentwbezwadnoci:

1 2+ = +x yJ J J J2

1 2= x y xyJ J J J J

2013-10-11

36

( )

( )

12 220 2 1 12 2 2 22 3 cm

20 2 12 2 2cx

+ + = =

+

( )( )

2020 2 12 2 2 12 7 cm

20 2 12 2 2cy

+ = =

+

( ) ( )3 3

2 2 42 20 10 220 2 7 10 10 2 7 1 2420J

y1 y

x

x1

20 A1

A22

2 c

12

0

[cm]

( ) ( ) 420 2 7 10 10 2 7 1 2420 cm12 12x

J = + + + =

( )23 3

2 42 20 10 2 12 220 2 3 1 10 2 3 2 660 cm12 12 2y

J = + + + + =

( )( ) ( ) ( ) 412 22 20 7 10 3 1 12 2 2 7 1 3 2 720 cm2xy

J = + + =

( ) 0 00 01 02

2 720t g2 0,818 19 39 , 109 39

2420 660

= = = =

( ) ( ) ( )00cos 2 2420 660 cos 2 19 39 0x yJ J = >Kierunek wikszego momentu bezwadnoci odpowiada ktowi 01

( )2

2 41

2420 660 2420 660 720 2680 cm2 2

J + = + +

( )2

2 42

2420 660 2420 660 720 400 cm2 2

J + = +

y1

x

x1

J2

3

y

c

J119039

7

1 22420 660 2680 400 x yJ J J J+ = + = + = +

( )22420 660 720 2680 400

21 2= x y xyJ J J J J

Kontrola

b

h

3

12xh bJ =

bh

3

12xb hJ =

d4

64xdJ =

HB

hb

3 3

12 12xB H b hJ =

Dd

( )4 464x

D dJ

=

2013-10-11

37

Dwuteowniki normalne INP PN-91/H-93407

Teowniki wysokie

Ceowniki ekonomiczne

2013-10-11

38

ZGINANIE

2013-10-11

39

Badania laboratoryjne

1

Belka Vierendeela

Belka swobodnie podparta

Deformacja (ugicie) belek zginanych

Belka wspornikowa Belka dwuwspornikowa

Belka swobodnie podpartaze wspornikiem (przewieszeniem)

Belka swobodnie podpartaze wspornikami

p

Belka ciga

2013-10-11

40

Belka przed odksztaceniem

Belka po odksztaceniu

Belka po odksztaceniu

Belka przed odksztaceniem

Celem teorii zginania jest wyznaczenie napre i odksztace w kadym punkcie belki, a take okrelenie przemieszcze poszczeglnych przekrojw.

zginanie ze cinaniem w przekroju wystpuje jednoczeniemoment zginajcy i sia poprzeczna.

zginanie czyste w przekroju poprzecznym prta wystpujewycznie moment zginajcy,

P P

(niezmieniona dugo)

P1

xzyP2P1

O belki

Wkna grne (skrcenie)

Wkna dolne(wyduenie)

O odksztacona

P2

Zginany prt nazywany jest zwykle belk.

W zagadnieniach technicznych, gdzie ugicia s mae, nie uwzgldnia si deformacji konturu przekroju.

Podstawowe zaoenia:

P PM M

MM

VV

Zginanie czyste

Przekroje paskie i prostopade do osi belki przed odksztaceniem

Istnieje warstwa obojtna prostopada do paszczyzny dziaaniaobcienia.

j p p p ppozostaj rwnie paskie i prostopade do tej osi po odksztaceniu (zaoenie Bernoulliego). Przekroje ulegaj jedynie obrotowi.

W przekrojach podunych belki nie wystpi adne naprenia.

W przekrojach poprzecznych wystpi jedynie naprenia normalne, rwnolege do osi belki.

2013-10-11

41

Powierzchnia obojtna

zy

Cx C

M

Mx

yz

O obojtna

Czyste zginanie nie powoduje odksztace postaciowych, ktre pojawiaj si jedynie w przypadku dziaania napre stycznych.

zginanie proste linia dziaania obcienia pokrywa si z jedn z gwnych centralnych osi bezwadnoci przekroju (oznacza to, e jednoczenie o obojtna pokrywa si z drug z osi gwnych), zginanie ukone linia dziaania obcienia nie pokrywa si z adn z gwnych osi bezwadnoci (o obojtna przechodzi przez rodek cikoci przekroju, ale jest nachylona do osi gwnych pod pewnym ktem).

W zalenoci od pooenia linii (powierzchni) dziaania obcienia, wyrnia si dwa przypadki zginania czystego:

Ujednolicenie konwencji znakw momentw zginajcych

1. Ukad gwnych centralnych osi zwizanych z przekrojem belki. MECHANIKA OGLNA ZWIZKI TEORII ZGINANIA

Mx

zxMx Mx

zx

Mx

2. W ukadzie osi gwnych o y skierowana jest w kierunku spodw. Zwrot osi x wynika z przyjcia prawoskrtnego ukadu osi na paszczynie.3. Wektor Mx naley narysowa zgodnie z wersorem osi x, jeeli jest on dodatni (rozciga spody) i przeciwnie do tego wersora, jeeli jest on ujemny (ciska spody).

zy

Mx

zy

Mx

ZGINANIE PROSTE

Naprenie

g

d

z

P P

y

dz

z=ay+b

Mxz

Odksztacenie

Mx

P

rodekcikoci

xMx

y

( )z zE E ay b = = +( ) 0z

A A A A

N dA E ay b dA Ea ydA Eb dA= = + = + = ( ) 2x z

A A A A

M ydA E ay b ydA Ea y dA Eb ydA= = + = +

, 0xx

Ma b

EJ= =0,x

A

S ydA= =Jx - moment bezwadnoci wzgldem osi x.

xz

x

My

J =

Naprenia normalne!!!

2013-10-11

42

xz

x

My

J =

gP

e J JW W

Mx

zy

x

min

max

Mx Mxz

y

x

max

min

Mx

Wg - grny wskanik wytrzymaoci przekroju na zginanie(wskanik zginania),

Wd - dolny wskanik wytrzymaociprzekroju na zginanie.

d

xMx

y

eg

ed

,g dg d

W We e

= =

,g dg d

M MW W

= =

Naprenia ekstremalne

ekstrMW

= Na podstawie analizy belki i jej obcienianaley okreli znaki napre (ustali wknaciskane i rozcigane).

Poniewa wsprzdna wkien grnych jest ujemna, to i grny wskanik wytrzymaoci jest ujemny, zatem naprenia s ciskajce. Naprenia rozcigajce wystpuj we wknach dolnych, gdzie wskanik wytrzymaoci na zginanie jest dodatni.

Wskaniki wytrzymaoci przekroju na zginanie znajduj si w tablicach do projektowania konstrukcji metalowych i s wykorzystywane do przyjciu przekroju prta, w ktrym paszczyzna obcienia pokrywa si z jedn z osi gwnych.

minx

d

MW

f=

Znajc warto momentu zginajcego Mx oraz wytrzymao obliczeniow fd mona wyznaczy minimaln warto wskanika wytrzymaoci:

z

23 2

h

23 2

h

y

xH

H

2h

2h

Mx

zy

x

min

max

Mx

Bryy napre dziaajce na przekrj

y

xz

M

W belkach betowych zbrojonych naprenia ciskajce przejmuje beton, a wszystkie naprenia rozcigajce przenosz prty stalowe.

betD

Z

y2H wypadkowe bry

napre

ymax y

M moment rwnowany parze si

D Z=

2013-10-11

43

OPTYMALNE WYMIAROWANIE PRTA ZGINANEGO

xz

x

M yJ

= Aby naprenia byy mae, naley stosowa due momenty bezwadnoci.

Dobr wymiarw przekroju zapewniajcego spenienie warunku wytrzymaoci prta rozciganego sprowadza si do wyznaczenia pola jego powierzchni ksztat nie ma znaczenia. W przypadku zginania istotn role odgrywa uksztatowanie geometryczne przekroju wzgldem jego osi obojtnej.

x

Moment bezwadnoci przy zadanym polu powierzchni figury jest tym wikszy im elementy tej figury s bardziej oddalone od osi.

2x

A

J y dA=

ekstr x

d x d xx

Mf M f w

W =

Nono belki jest tym wiksza im wiksza jest warto wskanika wytrzymaoci na zginanie.

x

Przekrj dwuteowy(dwuteownik)

x

Przekrj idealny

I 24010625 5

A=46,1 cm2

Jx=4250 cm4

wx=3540 cm3

Jy=221 cm4

wy=41,6 cm3

240

25,5

13,1

8,7

x

y

Lp. Profil A [cm2] Jx [cm4] Wx [cm3]

1 46,1 4250 100 % 354 100 %

2 46,1 221 5,2 % 41,6 11,7 %

3 b=5,6 cmh=8,3 cm

46,5 266 6,2 % 64,2 18,2 %

4 b 5 6 46 5 121 5 2 9 % 43 8 12 4 %

I 240

I 240

bh

4 b=5,6 cmh=8,3 cm

46,5 121,5 2,9 % 43,8 12,4 %

5 a=6,8 cm 46,2 178 4,2 % 52,5 14,8 %

6 d=7,7 cm 46,6 173,2 4,1 % 45 12,7 %

7 D=12,7 cmd=10,1 cm

46,6 765 18 % 120 34 %

bh

aa

d

d D

2013-10-11

44

z

Przekrj dwuteowy Przekrj teowy

Ksztatowniki walcowane

j y

Przekroje drewnianeKsztatowniki zimnogite

Dwigary do przenoszenia bardzo duych obcie i przy znacznych rozpitociach wykonuje si z blach odpowiednio czonych (ruby, spawy), tzw. blachownic.

Przekrj skrzynkowy, w porwnaniu do dwuteowego, ma wiksz sztywno wzgldem drugiej gwnej centralnej osi bezwadnoci.

x x

W przypadku materiaw o rnej wytrzymaoci na rozciganie i p yp j y y gciskanie uzasadnione jest stosowanie przekrojw niesymetrycznych wzgldem osi obojtnej.

x

eg

ed

d td

g cd

e fe f

=

Proporcje przekroju

BELKI O RWNOMIERNEJ WYTRZYMAOCI NA ZGINANIE

P

l/2 l/2

M

Mmax= Pl/4

Zaoenie: zginanie czyste i proste. Wymiary przekroju poprzecznego dobiera si ze wzgldu na maksymaln warto momentu zginajcego.

max maxmax max d

d

M Mf W

W f = =

dfW pozostaych przekrojach naprenia w skrajnych wknach s mniejsze, czyli materia nie jest naleycie wykonany.

Naprenia w skrajnych wknach, w kadym przekroju bd jednakowe i rwne wytrzymaoci obliczeniowej przy zastosowaniu zmiennego wskanika wytrzymaoci przekroju na zginanie W(z):

( ) ( )max =const xd

d

M Mf W zW z f

=

2013-10-11

45

Belka o przekroju prostoktnym bh o staej szerokoci b.

2P

l l

2P

( )M z P z=

( ) ( ) 6 xd d

M P zW z h zf b f

= =

( ) ( )2

6b h z

W z

= h(z) zmienna szeroko przekroju.

Wysoko przekroju zmienia si wedug paraboli.

b

W zginaniu ukonym (czystym) linia dziaania obcienia przechodzi przez rodek cikoci przekroju i nie pokrywa si z adn z gwnych osi bezwadnoci.

ZGINANIE UKONE

y

c

Patew

Moment skrcajcy jest bardzo niepodanym obcieniem, poniewa powoduje powstanie duych napre stycznych a take napre normalnych, wpywajcych na obnienie nonoci prta.

W przypadku, gdy paszczyzna dziaania obcienia nie przechodzi przez rodek cikoci przekroju, prt jest take skrcany momentem skrcajcym.

x y yx

W budownictwie zginanie ukone wystpuje przede wszystkim w patwiach dachowych. Patwie przymocowane do pochyych dwigarw lub do pochyego pasa grnego kratownicy. Pochylenie tych elementw wynika z koniecznoci odprowadzenia wody z dachu.

Obcienie patwi dachowej w postaci ciaru wasnego, ciaru pokrycia dachowego umieszczonego na patwi, ciaru niegu, obcienia od wiatru oraz obcienia uytkowego dziaa zgodnie z kierunkiem si grawitacji czyli w d.

2013-10-11

46

Obcienie ukone powoduje wystpienie momentw zginajcych wzgldem obu gwnych osi bezwadnoci.

xMx

MyM

y

I

z ax by c = + +'M M

Mx

x y

x C

y

Patew

Mx

My

yxz

x y

MMy x

J J =

Moment Mx, skierowany zgodnie z wersorem osi x, powoduje rozciganie pierwszej wiartki ukadu, a zatem pierwszy skadnik wzoru jest dodatni. Drugi skadnik jest ujemny, gdy moment My, skierowany zgodnie z wersorem osi y, powoduje ciskanie pierwszej wiartki ukadu.

'

cos

sinx x

y x

M M

M M

=

= cossin

x

y

M MM M

= =

Mx

My

My

Mx

y

Pxq

max 4yP lM =

Spody w kierunku osi y

x Spody w kierunku osi x

Dodatni moment Mx odkadamy zgodnie z wersorem osi x. O ta jest obrcona w prawo o 900 wzgldem osi y skierowanej do spodw. Podobnie rysujemy dodatni moment My, na osi obrconej o 900 w prawo wzgldem osi x skierowanej do spodw. Wektor tego momentu jest skierowany ku grze, czyli w przyjtym ukadzie wsprzdnych jest ujemny.

2

max 8xq lM =

O obojtna O obojtnaO obojtna

Rwnanie osi obojtnej (zerowej) dla zginania ukonego

0 y yx xzx y y x

M MM Jy x y x

J J J M = = =

O obojtna przechodzi ukonie przez rodek cikoci przekroju i zawsze przebiega przez te same wiartki ukadu wsprzdnych, co prosta na ktrej ley wektor momentu M.

xz

y

Mxx

yz

Myx

y

z

yxz

x y

MM y xJ J

= xzx

My

J =

yz

y

Mx

J =

Naprenia ekstremalne wystpuj w punktach najbardziej oddalonych od osi obojtnej.

2013-10-11

47

Py

PxB

A

P

y

C

Dx

Wyznaczy naprenia normalne w belce.

1010 M [kNm]

spd10kN 10kN

5m 1m1m

A

B

Mx

300x y

x c

y

300

max 10 kN mxM M = = ymaxx

3 1cos30 10 8,7kN m, sin 30 10 5 kN m2 2x x y x

M M M M = = = = =

3 34 4 4 4 4 418 24 24 1820736 cm 2,07 10 m , 11664 cm 1,17 10 m

12 12x yJ J = = = =

( ) 34 48,7 5 42 42,7 10 kPa

2,07 10 1,17 10zy x y x

= +

42 42,7 0 1,02y x y x+ = = O obojtna:

A

B

Mx

300x y

x c

y

300

B42 42 7 MP

xyA

OobojtnaB

xA = 0,09, yA = 0,12:

42 0,12 42,7 0,09 8,9 MPaAz = +

( ) ( )42 0,12 42,7 0,09 8,9 MPaBz = +

xB = -0,09, yB = -0,12:

x

yA

[MPa]

Oobojtna

42 42,7 MPaz y x = +

2013-10-11

48

Przekrj bisymetryczny zginanie ukone w ukadzie gwnych centralnych osi bezwadnoci

y

x

My

Mx

y

x

My

Mx

y

x

My

Mx

y

x

My

Mx

ekstryx

x y

MMW W

=

y y y

max max , yxx y

JJW W

y x= =gdzie:

Naprenia ekstremalne w naroach:

xmax, ymax odlegoci skrajnych wkien odpowiednio od osi y i x.

Moment M wywouje ciskanie na krawdzi AB a rozciganie na

Mx

x y

x c

y

Mx

MyA

B

CD

ekstryx

x y

MMW W

=

Moment Mx wywouje ciskanie na krawdzi AB a rozciganie na krawdzi CD. Moment My wywouje ciskanie na krawdzi BC a rozciganie na krawdzi AD. Wartoci napre w naroach:

yxA

x y

MMW W

= + yxBx y

MMW W

=

yxC

x y

MMW W

= yxDx y

MMW W

= +

Ekstremalne naprenia normalne wystpuj w przeciwlegych

Szczeglne przypadki przekrojw naprenia ekstremalne

y

x

1 2

34

x

y1 2

34

ekstryx

x y

MMW W

= +

Punkty, w ktrych wystpuj ekstremalne naprenia normalne, s punktami najbardziej oddalonymi zarwno od osi x jak i y.

y p j p g ynaroach przekroju.

x

y1 2

34

x

y1 2

34

W powyszych przypadkach poszukiwanie osi obojtnej jest zbdne.

W przekrojach nie majcych dwch osi symetrii trzeba rozrni odpowiednio dolny Wd, grny Wg, lewy Wl i prawy Wp wskanik wytrzymaoci na zginanie.

2013-10-11

49

Moment zginajcy powoduje powstanie w przekroju belki napre normalnych ciskajcych i rozcigajcych.

ZGINANIE ZE CINANIEM

Na skutek ugicia i nierwnomiernego

Sia poprzeczna usiuje ci i przesun wzgldem siebie poszczeglne elementy.

g gwyduenia lub skrcenia wkien, niepoczone ze sob warstwy belki przesuwaj si po sobie.

W belce jednolitej istnieje tendencja do poziomego cicia wzdu takich warstw. Na powierzchni styku, wystpi naprenia styczne. Zgodno z twierdzeniem o rwnoci odpowiednich napre stycznych na wzajemnie prostopadych do siebie paszczyznach.

/2 /2

ZGINANIE ZE CINANIEM DEFORMACJA

/2/2

Zniszczenie na skutek cinania

2013-10-11

50

Zginanie ze cinaniem zachodzi w przypadku, gdy w przekroju poprzecznym belki dziaaj rwnoczenie moment zginajcy i sia poprzeczna.

Sia poprzeczna wywouje naprenia styczne, ktre z kolei powoduj wystpienie odksztace postaciowych. W wyniku takiego zoonego stanu odksztace, przekroje poprzeczne przestan by paszczyznami i ulegn spaczeniu.

Podstawowe zaoenie: sia poprzeczna nie wpywa na rozkad napre normalnych w przekroju poprzecznym prta.

V

Naprenia normalne wyznacza si wedug wzorw wyprowadzonych dla czystego zginania.

yxz

x y

MMy x

J J =

b

z

+d

zyyz

z

dz

z z+dz

yz

zy

P q

zdz

x

by

C

zy A

x

by

CVy

( ) 0z z z yzA A

d dA dA bdz + = 1 zd dAA bz+dz

zyz

A

dAb dz

=

,x xz yx x x

M y dMd d y yVdz dz J dz J J

= = =

yyz

x A

VydA

bJ =

y x

x

V SbJ

=

= yz, Vy - sia poprzeczn w danym przekroju, Jx - moment bezwadnoci caego przekroju belki wzgldem osi obojtnej, b - szeroko przekroju w punkcie obliczania napre.

xS - moment statyczny zakreskowanego pola,

y x

x

V SbJ

=

Moment bezwadnoci Jx oraz szeroko belki b przyjmuj zawsze wartoci dodatnie. Rwnie moment statyczny Sy liczony wzgldem osi x jest wikszy od zera. Znak naprenia stycznego zaley wycznie od znaku siy poprzecznej.

+V V

l/2 l/2

P

V

V V

Konwencja dodatnia

PV V Rzeczywisty zwrot

si poprzecznych

PZwrot napre stycznych

2013-10-11

51

max

h/2

h/2

b

VyC

x

y

yh/2-y

A

22

12 2 2

2 4

xh hS b y y y

b h y

= + =

=

22

3

64

yV h ybh

=

Rozkad napre stycznych zmienia si parabolicznie wzdu

Przekrj prostoktny

p y y pwysokoci belki. Naprenia styczne osigaj wartoci ekstremalne dla punktw pooonych na osi obojtnej.

Vzx y

maxmax

yz zy =

y

x x

y y

x

Rozkad napre stycznych w przekroju teowym

Rozkad napre stycznych w przekroju dwuteowym

W miejscach poczenia rodnika z pasami dolnym i grnym wystpuje znaczny skok na wykresie napre stycznych. W rzeczywistoci, w tego typu punktach rozkad napre stycznych jest duo bardziej skomplikowany. W celu uniknicia tzw. koncentracji napre, przy poczeniu pasw ze rodnikiem wykonywane s odpowiednie zaokrglenia.

Zmiana szerokoci przekroju poprzecznego belki nie ma natomiast wpywu na rozkad napre normalnych.

y x

x

V SbJ

=2

23

64

yV h ybh

=

Przekrj prostoktny

4 V

( )max 30 2yVy

A = = =

Przekrj koowy max43

yVA

=

Posta oglna wzoru na maksymalne naprenia styczne:

m wspczynnik ksztatu przekroju.

Przekrj piercieniowy: m = 2,0Przekrj dwuteowy: m = 1,0 (A pole przekroju rodnika).

maxyVm

A =

2013-10-11

52

Belka drewniana

Przekrj prostoktny

max 1,5yV

A =

Vy

A

maxyV

A =

Belka stalowa

Przekrj dwuteowy

Vy

A

zzmax z=0

z

yz=0max

Naprenia normalne z przybieraj ekstremalne wartoci tylko w skrajnych wknach belki, a wic s napreniami gwnymi. Jestskrajnych wknach belki, a wic s napreniami gwnymi. Jest to przypadek osiowego ciskania (wkna grne) i osiowego rozcigania (wkna dolne).

W paszczynie obojtnej wystpuj tylko naprenia styczne. Jest to przypadek czystego cinania.

=0, =0

Korzystna lokalizacja otworu na instalacje

23

1

PRTY CIENKOCIENNE

Vx

y

woda woda

woda woda

2max

1V

x

y

woda

woda

rodek cinania

c

y

A

W1

W1

W2

2013-10-11

53

rodek cinania - dowiadczenie

Zginanie ze skrcaniem Zginanie

Belkawielokrotna

xbl

P

hh

BELKI ZOONE I WIELOKROTNE

3 32w bh bhJ

Brakpoczenia

cznik

Belkazoona

212 6

wx

bh bhJ = =

( )3 32 2 412 3

z wx x

b h bhJ J= = =

Wikszy moment bezwadnoci dla belki zoonej oznacza, e charakteryzuje si ona wiksz sztywnoci na zginanie, a zatem i wiksz nonoci ni podobna belka wielokrotna.

W rzeczywistoci parametry wytrzymaociowe belek zoonych s nieco gorsze ni belek jednolitych o takim samym przekroju. Przepisy budowlane mwi, e przy projektowaniu belek zoonych, moment ten powinien by zmniejszony o co najmniej 20%, w zalenoci od liczby czonych elementw.

Belka wielokrotna Belka zoona

2013-10-11

54

Przy wymiarowaniu belek zoonych naley wyznaczy naprenia styczne wystpujce w paszczynie styku poszczeglnych belek skadowych. Naprenia te decyduj o odpowiednim zaprojektowaniu czcych je elementw (spawy, klej, gwodzie, nity itp.). Sia rozwarstwiajca - powoduje rozwarstwienie belki, czyli przesunicie belek skadowych. Sia ta jest wypadkow napre stycznych z caej szerokoci belki i jednostkowej dugoci (wzdu osi belki):

Brakpoczenia

Paszczyznyciciaspawwx

y

)

1 1y x

zyx

V SH b

J

= =

Sia poprzeczna staa na odcinku o dugoci e:

1y x

x

V SH H e e

J

= =

Due siy poprzeczne

Moment zginajcy schemat konstrukcji q

V

M

BA

2 / 8ql

2ql

2ql

RH

C 2 2C R H= +

uk

R

HMH

h

, 2

M qlH Rh

= =

Belka

h 2h/3T

C

MR

Kratownica

hM

C

TR

MC Th

= =

dM fW

RHT 2 2T R H= +

CignoR

H

M

Hh

, 2

M qlH Rh

= =

2013-10-11

55

SKRCANIE SWOBODNE

PrtzginanyPrtzginanyiskrcany

eP P

Ms=PeMs Pe

Ms

Ms

Deformacja prta swobodnie skrcanego polega na wzajemnym sztywnym obrocie poszczeglnych przekrojw wzgldem siebie.

Kolumna poddana skrcaniu.

2013-10-11

56

Podstawowe zaoenie teorii skrcania momenty skrcajce powoduj wystpienie tylko napre stycznych w przekroju.

Stan taki nazywa si skrcaniem swobodnym.

Rozwizanie cise jest moliwe jedynie dla skrcanych swobodnie prtw o przekroju koowym.

W skrcaniu nieswobodnym wystpuj dodatkowo naprenia normalne.

dz

Ms

Ms

r

AAd

Moment skrcajcy jest dodatni, jeeli jego wektor jest zwrcony na zewntrz powierzchni elementu.

dz

Ms

Ms

r

AAd

AA AA Mae deformacje

t 'AAg AA dzdz

= =

tg 'AAd d AA d

= =

ddz =

dG Gdz = =

2 2s

A A A

d dM dA G dA G dAdz dz = = =

40 / 2J r= 0

0 ss

Md dM GJdz dz GJ

= =0

sMJ

=

max maxr

R

0

sMJ

=

( )4 40 2J R r

= 4

0 2RJ =

00

JWr

= - wskanik skrcania

Cakowite skrcenie prta o dugoci l

0 0 00

l

s s sM M M ld dzdz GJ GJ GJ = = =

( )20 2

max0

sMW

=

2013-10-11

57

Na ciankach elementu lecych w przekrojach normalnych do osi prta wystpi wycznie naprenia styczne.

MsMs 4501

1

2

2

Element na powierzchni skrcanego prta

Zgodnie z twierdzeniem o odpowiadajcych sobie napreniach stycznych, naprenia o takich samych wartociach wystpi w przekrojach podunych.

Kierunki gwne stanu naprenia s nachylone pod ktem 450 do osi prta.

Taki stan naprenia nazywa si czystym cinaniem.

Wewntrz prta rwnie wystpuj naprenia styczne, a ich wartoci malej w miar zbliania si do osi prta.

Prt z materiau plastycznego (stal) ulega zniszczeniu wzdu paszczyzny prostopadej do osi.

MsMs 4501

1

2

2

Ms

Ms

Prt z materiau kruchego (beton) ulega zniszczeniu wzdu paszczyzny o maksymalnym napreniu rozcigajcym, tj. nachylonej pod ktem 450 do osi.

spkania

FF

spkania

Ms

Ms

Dla prtw o innych przekrojach ni koowe lub piercieniowe nie mona uzyska cisych zalenoci i stosuje si dla nich wzory przyblione.

3 4 , 0,08 0,14s sM M la Ga

= =Przekrj kwadratowy o boku a:

Wymiarowanie prtw skrcanych:

dop , vdf

fvd wytrzymao obliczeniowa na cinanie,max - maksymalny kt skrcania,dop - dopuszczalny kta skrcania.

p

2013-10-11

58

Mimorodowe dziaanie siy wystpuje najczciej w supach hal wyposaonych w suwnice, powodujce powstanie jednego z momentw zginajcych. Sia normalna N oraz moment zginajcy Mx powstaj w wyniku dziaania obcienia dziaajcego w paszczynie ramy. Moment zginajcy Mz powstaje w wyniku dziaania obcienia prostopadego do paszczyzny ramy.

CISKANIE - ROZCIGANIE MIMORODOWE

Jest to na przykad obcienie hamowaniem suwnicyprzenoszone przez belk podsuwnicow czy parcie wiatru na cian szczytow hali.

N

yx

zMzMx

Stan obcienia, w ktrym sia ciskajca lub rozcigajca nie dziaa w osi prta, lecz jest wzgldem niej przesunita o pewn wielko e, nazywany jest obcieniem mimorodowym.

z

x

y

P

e

CISKANIE - ROZCIGANIE MIMORODOWE z

x

y

P

e

Odlego e midzy osi prta a lini dziaania siy nazywa si mimorodem. W zalenoci od zwrotu siy rozrnia si ciskanie lub rozciganie mimorodowe.

Przesuwajc si P rwnolegle do osi otrzymuje si ukad rwnowany, w ktrym wystpuje sia poduna (osiowe ciskanie-rozciganie) i moment zginajcy (czyste zginanie).

ciskanie mimorodowe wystpuje te gdy sia ciskajca dziaa osiowo (ciar wasny), a dodatkowo wystpuje zginanie, np. obcieniem od wiatru.

zginanieZginanie i ciskanie

zginanieZginanie i ciskanie

2013-10-11

59

P

e

PM

PM

PMz

yxM

x y

MMy x

J J = P

NA

=yx

zx y

MMN y xA J J

= +

x

y

zP A

K

exey

, , x y y xN P M Pe M Pe= = =

yxz

x y

P eP eP y xA J J

=

0 x y xzy x x

J e Jy xJ e A e

= =

Sia N przyjmuje wartoci ujemne, gdy przekrj jest ciskany. Moment My od siy P wzgldem osi y jest dodatni, gdy patrzc z ki k d d i i d i i

yP/A

min

O obojtna

max

ey

y0x0

xKex

x

yP/A

min

O obojtna

maxK

y

x

P/Amin

O obojtna

K

kierunku dodatniego zwrotu osi y na paszczyzn dziaania momentu, jest on lewoskrtny.

Ekstremalne naprenia normalne wystpuj w przeciwlegych

Szczeglne przypadki przekrojw

y

x

1 2

34

x

y1 2

34

ekstryx

x y

MMNA W W

= +

Punkty, w ktrych wystpuj ekstremalne naprenia normalne, s punktami najbardziej oddalonymi zarwno od osi x jak i y.

y p j p g ynaroach przekroju.

x

y1 2

34

x

y1 2

34

W powyszych przypadkach poszukiwanie osi obojtnej jest zbdne.

W przekrojach nie majcych dwch osi symetrii trzeba rozrni odpowiednio dolny Wd, grny Wg, lewy Wl i prawy Wp wskanik wytrzymaoci na zginanie.

2013-10-11

60

RDZE PRZEKROJU

Rdze przekroju to miejsce geometryczne punktw przyoenia siy,dla ktrej o obojtna nie przecina przekroju, a naprenia

l k j j d k

P P PO

PO

Pe

normalne w caym przekroju s jednego znaku.

P

y

xA

C

D

B a

b

A

Bx

y

OE1ex

a

b

O obojtna

D

C

x

y

a

b

A D

ey E2

O obojtna

OCB

A

Bx

y

OE1ex

a

b

O obojtna O1

D

C

N P= 0xM = y xM Pe=x

zy

PeP xA J

=

0xy

PeP xA J

=y

xJ

eAx

= 3

2 212 2 6

yx

baJa ax eA a ab a

= = = = ex szukane,

x

y

a

b

A D

ey E2

O obojtna O2

O

CB

O1 dane(x=a/2)

N P= x yM Pe= 0yM =

1 0y yzx x

Pe eP y yA J A J

= =

xy

Je

Ay=

2 6yb by e= =

ey szukane,O2 dane(y=b/2)

E1

y

x E2E3E4

O1O2O3

O4x

y

a/6 a/6

E3E1E4E2 b/6

b/6

Rdze przekroju

Twierdzenie: jeeli sia P bdzie przemieszczaa si po prostej czcej punkty rdzenia, to o obojtna wykona obrt dookoa punktu naronego konturu. Dla dowolnego przekroju, osie obojtne i odpowiadajce im g p j , j p jpunkty rdzenia przekroju zawsze tworz wieloboki wypuke. Jeeli kontur przekroju jest wielobokiem wypukym, to i rdze przekroju jest wielobokiem o takiej samej liczbie bokw. Dla przekroju posiadajcego o symetrii, rdze przekroju ma t sam o symetrii. Gdy przekrj jest koowy, to take rdze jest koem. Kademu wierzchokowi rdzenia odpowiada bok konturu przekroju, a kademu bokowi rdzenia wierzchoek konturu przekroju.

2013-10-11

61

a

bb/3

a/3P

P

P PM M

PPA

= MM xJ

= P M = +

M P e=

e - mimord

P

Materia kruchy(beton, mur)

Pe

Oobojtna

Rdzeprzekroju

O obojtna nachylona do poziomu

M P M P

o obojtna

x

y

x0

y0

exeyE

N P= x yM P e= y xM P e=

y xz

x y

P e P eP y xA J J

=

0 x x xzy y y

J e Jy x

e A e J = =

0 0 , y xx y

J Je e

Ax Ay= = (x0,0) ; (0,y0)

Pooenie rdzenia przekroju nie jest uzalenione ani od wartoci, ani od znaku siy P.

2 2

0 0 0

1y yxx

J iJe

Ax x A x

= = =

2 2

0 0 0

1x x xy

J J ie

Ay y A y

= = =

ix , iy promieniebezwadnoci ,xxJiA

= yyJ

iA

=

0 0

1y y yx

J J We

Ax A x A

= = = 0 0

1x x xy

J J We

Ay A y A

= = =

Wx , Wy wskanikiwytrzymaoci,np.: ,x xxd xdg d

J JW W

e e= =

2013-10-11

62

Aby wyznaczy pooenie rdzenia przekroju naley okreli obszar wypuky zbudowany na przekroju czyli przeprowadzi osie obojtne przechodzce przez krawdzie lub wierzchoki przekroju.

Korzystajc ze wzorw mona wyznaczy wartoci mimorodw.

0 0

1y y yx

J J We

Ax A x A

= = = 0 0

1x x xy

J J We

Ay A y A

= = =

Rdze przekroju

Stopa fundamentowabb/3

h h/3x

yc

xP

1 xzy

eP xA J

= +

3 , ,

12 2x xh b bA b h J e c= = =

1 6 2 1zP c xA b b

= +

1 22 3 2 31 , 2P c P cb h b b h b

= = +

1) c>b/3 1 2c

P

2c

P

2

1 2b h b b h b )

2) c=b/3 1 220 , Pb h

= =

3) c

2013-10-11

63

Zwykle nawet niedopuszczalne ugicia nie s widoczne goym okiem, ale na zdjciu jest pokazany przykad, gdzie ugicie jest do wyrane

Lini ugicia nazywamy odksztacon o belki powsta na skutek jej obcienia.

Stan przemieszczenia dla belek jest okrelony, gdy znane jest rwnanie opisujce lini ugicia.

xA Biyi

y Due i i

i

P

Mae i i

Zaoenia: zginanie jest proste, odksztacenia i przemieszczenia s mae, siy poprzeczne nie wpywaj na odksztacenia prta.Zaoenie maych odksztace oznacza, e poszczeglne punkty osi belki doznaj tylko przemieszcze pionowych. Poniewa punkty osi belki le na osiach obojtnych przekrojw poprzecznych, dugo osi belki nie ulega zmianie.

przemieszczenie przemieszczenie

Liniaugicia y(x)

xA Bi

fyiA

yStrzakaugiciaKtobrotu

Ugicie

i

Przemieszczenia pionowe punktw osi nazywane s ugiciami i zgodnie z przyjt orientacj ukadu oznacza si je przez y.

Podczas czystego zginania przekroje poprzeczne belki obracaj si o pewien kt, pozostajc paskimi. Dla ustalonego przekroju, kt taki jest rwny ktowi, jaki tworzy styczna do odksztaconej osi, w punkcie przecicia tego przekroju z osi prta, z dodatnim kierunkiem osi x.

Jest to tzw. kt obrotu danego przekroju i oznacza si go przez .

2013-10-11

64

Najwiksze ugicie belki, oznaczane zwykle liter f, nazywanestrzak ugicia porwnuje si z wartoci dopuszczaln.

maxlf ym

=

Dopuszczalne ugicia zale od rozpitoci prtw l a ich wartoci s opisane w normach, dotyczcych projektowania konstrukcji z rnych materiaw. Przykadowo dla konstrukcji stalowych: ugicie dwigara kratowego penociennego max

ly ugicie dwigara kratowego penociennego max 250y

ugicie gwnych belek stropowych max 350ly

Dla konstrukcji drewnianych max 300ly

Dla konstrukcji betonowych i elbetowych: ugicie belek stropowych o rozpitoci poniej 6m max 200

ly

ugicie przekry dachowych o rozpitoci powyej 6m max 150ly

Pochodna funkcji opisujcej lini ugicia y(x) jest rwna wspczynnikowi kierunkowemu stycznej do linii ugicia:

t gdyydx

= = (< 0,01 rad)

Ugicia dodatnie zwrcone s w stron dodatniego zwrotu osi y, t i t k t b t j t d d t i j li t d

x

y

x

y

KtydodatnieKt obrotu przekroju

natomiast kt obrotu jest dodatni, jeeli styczna do odksztaconej osi obrci si od dodatniego zwrotu osi x w stron dodatniego zwrotu osi y.

Krzywizna belki (analiza matematyczna):

( )

2

2

3 22

1

1

d ydx

x dydx

=

+

2

1dydx

(x) - promie krzywizny

( )2

21 d yx dx

tg dxd d dx yd = =

dx

y dx/2

d y

dx/2

d

tgd d dx ydy

E =

( )M xdx dx ydx yd

E EJ = = =

( )M xddx EJ

= - krzywizna belki

2013-10-11

65

l

Warunki brzegowe

2

2( )d y M x

EJdx= Rwnanie rniczkowe Eulera

( )2

21 d yx dx

( )M xd

dx EJ

=Krzywizna belki: lub

EJ sztywno belki na zginanie

( )EJy M x =

( ) 1EJy M x dx C = +

( ) 1 2EJy M x dx dx C x C = + +

( )( )

0 0

0

y x

y x l

= =

= =

( )( )

0 0

0 0

y x

y x

= =

= =

l

q

xy l

y(x)

A B( ) ( )

2qxM x l x=

( ) ( )2 3

1 12 2 2 3qx q lx xEJy x l x dx C C

= + = +

Wyznaczy lini ugicia belki swobodnie podpartej obcionej rwnomiernie. 2

2( )d y M x

EJdx=

( ) 2 20 = 0 0EJy x C C= = =

3 4 3

2 6 12 12q lx x l xyEJ

=

452 384l qlf y x

EJ = = =

( )2 3 3 4

1 2 1 22 2 3 2 6 12q lx x q lx xEJy x dx C x C C x C

= + + = + +

( )4 4 3

1 10 2 6 12 24q l l qlEJy x l C l C

= = + = =

( ) ( )dM x

EJy V xdx

= =

( ) ( )IVdV x

EJy q x= =

Uoglniona posta rwnania Eulera

2

2( )d y M x

EJdx=

( )EJy q xdx

( )IVEJy q x=

Rwnanie Eulera pokazuje zwizki pomidzy podstawowymi wielkociami charakteryzujcymi obcienie, siy wewntrzne i ugicia.

2013-10-11

66

q

l

45384

qlfEJ

=

P

l

3

3PlfEJ

=

q

l

41384

qlfEJ

=

Schemat statyczny:

1 2 3

ksztat prostokt prostokt dwuteownik

P=50[N], l=3[m]

E=106[N/cm2]

Ugicia belek o rnych przekrojach poprzecznych

P

l/2 l/2

przekrj poprzeczny

wymiary w [cm] b h = 6 2 b h = 2 6 B H = 3 9

A [cm2] 12 12 12

J [cm4] 4 36 137,25

7 0,8 0,23

[cm]48Plf

EJ=

Ugicie belki swobodnie podpartej

-20

0 50 100 150 200 250 300

w [c

m]

-8-6-4

Odcita w [cm]

Ugic

ie w

Belka 6x2 [cm] Belka 2x6 [cm] Dwuteownik

2013-10-11

67

VekstrVekstr

M

45384

qlfEJ

=

2

max 8qlM =

qBA

f

l

ekstr 2qlV =

maxM 8

Moment zginajcy zmienia si z kwadratem rozpitoci.

Sia poprzeczna zmienia si liniowo rozpitoci.

Ugicie zmienia si z czwart potg rozpitoci belki.

Dla belek o niewielkich rozpitociach, o wymiarach przekroju poprzecznego decyduje z reguy warunek wytrzymaoci.W przypadku czystego zginania do wymiarowania stosuje si wskanik wytrzymaoci przekroju na zginanie:

max

d

MW

f=

Przy wikszych rozpitociach belek, o wymiarach przekroju poprzecznego decyduje przewanie warunek sztywnoci (dopuszczalna strzaka ugicia) Naprenia w przekroju s(dopuszczalna strzaka ugicia). Naprenia w przekroju s wwczas czsto znacznie mniejsze od wytrzymaoci obliczeniowej na zginanie.Dobranie przekroju belki wedug wskanika wytrzymaoci, a nastpnie obliczenie strzaki ugicia jest pracochonne, zwaszcza wtedy, gdy przekrj belki dobiera si kilkakrotnie.W celu uatwienia oblicze strzaki ugicia, sporzdza si tablice lub nomogramy, pozwalajce na wyznaczenie odpowiedniego przekroju belki, przy zadanej jej rozpitoci.

Tablice i nomogramy opracowywane s na podstawie wzorw uproszczonych, wyprowadzonych ze wzorw na ugicia.

q

l

45384

qlfEJ

=

2

max 8qlM =

22 2max5 5

48 8 48M lq l lf

EJ EJ

= =

maxlf ym

= Warunek sztywnoci:

max548

M l mJ

E

=

Potrzebny moment bezwadnoci przekroju:

maxJ M l=

wspczynnik zaleny od sposobu obcienia, materiau belki i dopuszczalnej strzaki ugicia.

2max5

48M l l

EJ m

2013-10-11

68

Wartoci wspczynnikw dla belki swobodnie podpartej

q

l

Wspczynnik [ cm2/N ]

Belki drewniane Belki stalowe

2,08

200l

200l

300l

300l

3,13 0,100 0,149

Schemat obcienia

Uwaga na jednostki ! M [Ncm],E [N/cm2],l [cm].

P

l/2 l/2

P

l/3 l/3 l/3

P

1,67 2,50 0,080 0,120

2,14 3,21 0,102 0,153

oko

h[c

m]

30

60

90

Belka drewniana

Wstpne wymiarowanie elementw konstrukcyjnychWg P.A. Corkill

Rozpito l [m]

h

Wys

o

0 2,5 7,5 12,55 10

30

0

Przy zwykych obcieniach przyjmuje si z wykresu warto redni. Przy duych, wyjtkowych obcieniach warto najwiksz, a przy maych obcieniach warto najmniejsz. Naley te uwzgldni rne wytrzymaoci tego samego materiau.

Rozpito l [m]

h

Wys

oko

h[m

]

0 5 15 2510 20

0,5

1,0

1,5

0

Belka stalowa

1,5

1,0

0,5

Rozpito l [m]

h

Wys

oko

h[m

]

0 2,5 7,5 12,55 100

Belka elbetowa

2013-10-11

69

hl

h

Kratownica stalowa

7,5

10,0

2,5

R i l [ ]

Wys

oko

h[m

]

0 15 45 7530 60

5,0

090

l

h5,0

7,5

2,5

Rozpito l [m]

Wys

oko

h[m

]

0 7,5 22,5 37,515 300 45

Rozpito l [m]

STATECZNO PRTW

2013-10-11

70

Stacja Cortlandt Street w Nowym Jorku

P

Stan rwnowagi statecznej

Stan rwnowagi niestatecznej (chwiejnej)

Stan rwnowagi obojtnejKonstrukcje budowlane i ich elementy powinny znajdowa si wycznie w stanie rwnowagi statecznej.

Zaoenie: prostoliniowy prt jest ciskany wycznie osiowo, siami b d i d W i i

P

bdcymi w rwnowadze. Wygicie prta pod wpywem takiego obcienia nazywa si wyboczeniem.

Zjawisko wyboczenia wyjania si tym, e nawet najbardziej starannie wykonany prt prosty ma w rzeczywistoci pewne pocztkowe wygicie oraz kada sia osiowa w rzeczywistoci przyoona jest na pewnym mimorodzie.

P P

Zniszczenie prta nastpuje na skutek zginania a nie ciskania.

y(x)

y

x

P

l

P

Wyboczenie wystpuje zwykle dla si oraz wynikajcych z nich napre, znacznie mniejszych od wytrzymaoci obliczeniowej na ciskanie.

( )M x Py= EJy Py = 2 0y y + =lub2 P

EJ =gdzie:

St k i ( 0) 0 C 0

1 2sin cosy C x C x = +Rozwizanie:y

PP Stae cakowania: y(x = 0) = 0 z C2 = 0

y(x = l) = 0 z 1 sin 0C l =

sin 0l =

dla 1, 2,3,...n nl = =

2 2

2nP EJ

l

=

Sia krytyczna (eulerowska) Pkr - dla n = 1:2

kr 2P EJ l

=

2013-10-11

71

f

Staej C1 nie mona okreli jednoznacznie. Po osigniciu przez si ciskajc wartoci Pkr, o prta staje si sinusoid o nieokrelonej amplitudzie.

1 sinxy C

l

=

Sile eulerowskiej odpowiada posta rwnowagi prta :

Prt wspornikowy2

Prt swobodnie podpartyKade wygicie prta ciskanego si Pkr prowadzi do awarii.

PP f

y(x)

yx

l 2kr 2

P EJl

=

2

kr 2w

EJPl

=

lw dugo wyboczeniowa (dugo wolna na wyboczenie) zaley od sposobu zamocowania prta.

2

kr 2P EJ l

=

Dugo wyboczeniow okrela si jako dugo pfali sinusoidy.

l

lw=2l

lw dugo wyboczeniowa w zalenoci od zamocowania

lw=l lw=0,7l lw=0,5l

W praktyce budowlanej prty ciskane s najczciejpodparte przegubowo na obu kocach lub sztywno

utwierdzone na jednym kocu. Przykadowo, jako przegubowo podparte przyjmuje si supy z ksztatownikw stalowych przytwierdzone rubami do fundamentu, na ktrych opieraj si podcigi czy wizary kratowe.

22 22

kr minkr 2 2 2

w w w

JEP E iEJ AA l A l l

= = = =

Naprenie krytyczne wzr EULERA

min

wli

= - smuko prta

Smuko jest tym wiksza im duszy i cieszy jest prt

2

kr 2E

=

imin najmniejszy promie bezwadnoci.

2

kr 2w

P EJl

=

Naprenie krytyczne (sia powodujca wyboczenie prta) jest tym mniejsze im wiksza jest smuko prta im duszy i im cieszy jest prt tym mniejsze jest naprenie, przy ktrym zachodzi wyboczenie.

Wyboczenie prta przy jego ustalonej dugoci i sposobie podparcia, zaley te od sprystoci prta (moduu Younga) oraz promienia bezwadnoci (ksztatu i wymiarw przekroju poprzecznego).

Smuko jest tym wiksza, im duszy i cieszy jest prt.

2013-10-11

72

Ksztat przekroju ciskanego prta jest optymalny, gdy przy najmniejszym polu przekroju, promie bezwadnoci jest dla rnych osi jednakowy i moliwie duy. Postulat taki spenia przede wszystkim przekrj piercieniowy. Dobre ze wzgldu na wyboczenie s rwnie przekroje koowe lub kwadratowe, skrzynkowe i pene.

Niewaciwe przy ciskaniu s profile stosowane w elementach zginanych, jak dwuteowniki, ceowniki czy wskie prostokty, gdy maj one znacznie rnice si gwne momenty bezwadnoci. Profile te znajduj zastosowanie w elementach ciskanych, jeeli stanowi ich cz.

Wyboczenie w paszczynie yz:3 21

2 12

12 12x

x xbaJ a ai i

A ab= = = =

Wyznaczy optymalne wymiary przekroju ciskanego supa. Dane: l = 5 m, E = 2105 MPa, P = 250 kN.

, 0, 7 0, 7 5 12 12,1w xl l = = = =

x y

la

Pz

Wyboczenie w paszczynie xz:

3 212 12

12 12y

y y

J ab b bi iA ab

= = = =

12x xi a aa = = = =

, 2 2 5 12 34, 6/ 12

w yy

y

l li b bb

= = = =

ab

Py

z

lw,x=0,7l

Px

z

lw,y=2l

0 , 3 5a b=

2 2 2 2

k r1 2 ,1 3 4 , 6 x y

x y

E Ea b

= = = =

c kr =

Optymalne wymiary uzyska si w przypadku gdy naprenia krytyczne bd identyczne, z uwzgldnieniem wyboczenia w obydwu kierunkach i jednoczenie rwne napreniu przy ciskaniu osiowym .

( )250

1,22cPA b b

= =

( ) ( )

2 2 8

kr 2 22 10

34,6w

El i b = =

( ) ( )

2 8

2250 2 10

1,22 34,6b b b

=10,6 cm

0,35 3,7 cm

ba b

= = =

c naprenia przy ciskaniu osiowym

2013-10-11

73

Krtkie prty ciskane o maej smukoci nie podlegaj wyboczeniu sprystemu ulegaj zniszczeniu na skutek dziaania si ciskajcych przy napreniach znacznie mniejszych od tych, ktre otrzymuje si ze wzoru Eulera.

Ich wymiary dobiera si ze wzgldu na warunek wytrzymaoci. W prtach ciskanych o redniej i duej smukoci wystpuje wyboczenie spryste. Ich wymiary dobiera si ze wzgldu na si krytyczn (warunek statecznoci)

2

kr 2E

=

10ld

< - zniszczenie na skutek utraty wytrzymaoci

10ld

> - zniszczenie na skutek utraty statecznoci

ld P P

si krytyczn (warunek statecznoci).

Ze wzoru Eulera wynika, e naprenie krytyczne zmienia si odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu smukoci prta. W miar wzrostu smukoci naprenie krytyczne szybko maleje.Naprenia te osigaj bardzo mae wartoci w dugich i cienkich prtach, czyli niewielka sia krytyczna moe spowodowa wyboczenie prtw smukych.

2

kr 2E

=

Wzory Eulera na si i naprenie krytyczne zostay wyprowadzone przy zaoeniu e naprenia znajduj si wwyprowadzone przy zaoeniu, e naprenia znajduj si w obszarze liniowo-sprystym.

Jeeli naprenia krprzekrocz granic proporcjonalnoci to wzory Eulera trac sw wano!

RpRs Rpl

Rr

Ru

kr

Rp

gr

Zakres wanociwzorw Eulera

Przy smukoci =100 naprenia krytyczne przekraczaj granic proporcjonalnoci dla stali zwykej Rp=196 MPa.

Wzoru Eulera nie mona stosowa dla prtw o smukoci

kr [MPa]

50 80 150100

830

324

92

stal zwyka

Rp=196

mniejszej ni smuko graniczna gr. Dla prtw wykonanych ze stali zwykej, smuko nie moe by mniejsza ni 100.

2 2 2 4

kr gr2gr

10 8115p p

E ERR

= = = =

Prt drewniany (sosna): granica proporcjonalnoci Rp=15 MPa, modu Younga E=104 MPa.

Wzoru Eulera nie mona stosowa dla prtw wykonanych z drewna sosnowego o smukoci granicznej mniejszej ni 81.

gr- smuko graniczna

2013-10-11

74

Dla wyboczenia w obszarze niesprystym stosuje si tzw. wspczynniki wyboczenia 1 lub mw 1, ustalone dla

Krzywa wyboczenia niesprystego i sprystego

kr

Rp

gr

Wyboczenie niespryste

Wyboczenie sprysteStal St0S gr=100Drewno sosnowe gr=81

2gr

p

ER

=

rnych materiaw i zalene od smukoci.

kr kr lub wd cdP mP f f

A A

= =

fcd wytrzymao obliczeniowa materi