P Baranski Przeksztalcenie Z - Fragment

Spis treści

Przedmowa 5

Rozdział 1 Przekształcenie Laplace’a 7

Rozdział 2 Wyprowadzenie przekształcenia Z 91. Przykładowe zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . 16

Rozdział 3 Właściwości przekształcenia Z 171. Opóźnienie sygnału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. Różniczkowanie względem zmiennej z . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Rozdział 4 Odwrotne przekształcenie Z 231. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232. Przykładowe zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Rozdział 5 Opis filtrów cyfrowych z zastosowaniem przekształ-cenia Z 29

1. Analiza filtrów w dziedzinie czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.1. Filtr dolnoprzepustowy SOI pierwszego rzędu . . . . . . . 291.2. Filtr górnoprzepustowy SOI pierwszego rzędu . . . . . . . 381.3. Filtr środkowoprzepustowy SOI . . . . . . . . . . . . . . . 441.4. Filtr środkowozaporowy SOI . . . . . . . . . . . . . . . . 481.5. Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.6. Filtr dolnoprzepustowy NOI . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.7. Filtr górnoprzepustowy NOI . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2. Płaszczyzna zmiennej s i zmiennej z . . . . . . . . . . . . . . . . 563. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . 58

Rozdział 6 Transmitancja i właściwości filtrów cyfrowych 631. Zera i bieguny transmitancji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632. Przyczynowość filtra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653. Odpowiedź filtra o wartościach rzeczywistych . . . . . . . . . . . 684. Stabilność filtrów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695. Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Rozdział 7 Charakterystyki częstotliwościowe filtrów 79

3

SPIS TREŚCI

1. Charakterystyka amplitudowa filtra . . . . . . . . . . . . . . . . . 802. Charakterystyka fazowa filtra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Rozdział 8 Przekształcenie filtrów analogowych na cyfrowe 991. Właściwości przekształcenia biliniowego . . . . . . . . . . . . . . 102

Rozdział 9 Realizacje filtrów cyfrowych 1091. Realizacja bezpośrednia I rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092. Realizacja kaskadowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113. Realizacja równoległa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184. Realizacja bezpośrednia II rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Bibliografia 127

4

Przedmowa

Niniejszy zbiór zadań jest pomocą dydaktyczną do wykładów „Przetwarza-nie Sygnałów” prowadzonych na Wydziale Elektrotechniki, Elektroniki, Infor-matyki i Automatyki Politechniki Łódzkiej. Do opisu sygnałów cyfrowych ko-rzysta się równań różnicowych. Przekształcenie Z jest bardzo efektywnym na-rzędziem do rozwiązywania równań różnicowych, podobnie jak przekształcenieLaplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych. Celem skryptu jest zapozna-nie Czytelnika z przekształceniem Z w kontekście filtracji sygnałów cyfrowych.Skrypt składa się z dziewięciu rozdziałów.

W rozdziale pierwszym podano podstawy przekształcenia Laplace’a, którejest fundamentem przekształcenia Z. Rozdział ten wymaga od Czytelnika znajo-mości transformacji Laplace’a oraz analizy matematycznej i jest ograniczony dopodstawowych wzorów i pojęć. Podstawy teoretyczne ww. przekształcenia cał-kowego można znaleźć w książce prof. Michała Tadeusiewicza [1]. Szereg zadańznajduje się w zbiorze zadań dr Kajetany Snopek i prof. Jacka Wojciechowskie-go [2].

W następnym rozdziale wprowadzono pojęcie przekształcenia Z. Rozdziałzawiera kilkanaście rozwiązanych zadań – transformaty podstawowych sygna-łów. Ogólniejsze spojrzenie na przekształcenie Z zawarte jest w książce prof.Jacka Kudrewicza [3].

W trzecim rozdziale omówiono właściwości przekształcenia Z. Rozdział tenzawiera zadania, których zrozumienie jest kluczowe przy późniejszym omawianiustabilności i przyczynowości filtrów.

Rozdział czwarty jest poświęcony odwrotnemu przekształceniu Z obliczane-mu przy użyciu metody rozkładu na ułamki proste.

Rozdział piąty jest wprowadzeniem do filtracji cyfrowej sygnałów. Prosteprzykłady wprowadzają Czytelnika do filtrów o skończonej odpowiedzi impulso-wej (tzw. filtry SOI). Zawarte w rozdziale zadania, które można rozwiązać przypomocy arkusza kalkulacyjnego, pozwalają poznać proste filtry górnoprzepu-stowe, pasmowoprzepustowe i pasmowozaporowe. Rozdział ten uwidacznia jakefektywnym narzędziem przy analizie filtrów cyfrowych jest przekształcenie Z.Stosując przekształcenie Z uzyskujemy wynik kilkakrotnie szybciej niż rachun-kiem bezpośrednim. W dalszej części rozdziału omawiane są filtry o nieskoń-czonej odpowiedzi impulsowej (tzw. filtry NOI). Prosty przykład rachunkowy –

5

SPIS TREŚCI

liczenie średniej z próbek – pokazuje podstawowe właściwości filtrów NOI.Rozdział szósty zawiera wiele przykładów. Służy on omówieniu stabilno-

ści i przyczynowości filtrów. Quiz na końcu rozdziału pozwala nabrać biegłościw rozpoznawaniu różnych właściwości filtrów cyfrowych.

W rozdziale siódmym omówiono charakterystyki częstotliwościowe filtrów.Na podstawie wielu przykładów pokazano wpływ biegunów i zer transmitan-cji filtra na charakterystykę amplitudową. Wyjaśniono charakterystykę fazowąfiltra, której znaczenie jest często zaniedbywane przez projektantów. Test nakońcu rozdziału pozwala na weryfikację zdobytej wiedzy.

W ósmym rozdziale zdefiniowano przekształcenie biliniowe, które pozwala nawykorzystanie analogowego prototypu filtra do budowy cyfrowego odpowiedni-ka. Omówiono właściwości tego przekształcenia m.in. w kontekście projektowa-nia filtrów dolno- i górnoprzepustowych.

W ostatnim rozdziale omówiono różne sposoby realizacji filtrów cyfrowych:realizacja bezpośrednia I i II rodzaju, kaskadowa, równoległa. Poruszono równieżkwestię stabilności filtrów NOI.

Chciałbym serdecznie podziękować Panu profesorowi Pawłowi Strumiłło,wieloletniemu opiekunowi, za motywację do pracy oraz lekturę i dyskusje nadpierwszą wersją skryptu. Dziękuję Panu doktorowi Andrzejowi Kuczyńskiemuza bardzo cenne sugestie dotyczące zawartości skryptu. Szczególne podziękowa-nia składam Panu profesorowi Michałowi Tadeusiewiczowi za czas poświęconyna recenzję skryptu oraz bardzo trafne uwagi merytoryczne.

6

Rozdział 6Transmitancja i właściwościfiltrów cyfrowych

1. Zera i bieguny transmitancji

Już wcześniej rozważaliśmy transmitancję filtra, w której wprowadziliśmypojęcie zer i biegunów. Transmitancję można zapisać w postaci ułamka (6.1),mnożąc licznik i mianownik przez z do odpowiedniej potęgi. Wielomian stopniaN posiada N+1 współczynników (np. N = 2; az2+bz+c) i N miejsc zerowych(np.N = 2; a(z−z1)(z−z2)). Pamiętamy, że z jest zmienną zespoloną i będziemyposzukiwali miejsc zerowych, które mogą być liczbami zespolonymi. Zatem:

H(z) =b0 z

N + b1 zN−1 + . . .+ bN−1 z+ bN

zM + a1 zM−1 + . . .+ aM−1 z+ aM(6.1)

H(z) =b0(z− o0)(z− o1) · . . . · (z− oN−1)

(z− p0)(z− p1) · . . . · (z− oM−1)= b0

N−1∏n=0

(z− on)

M−1∏m=0

(z− pm)

(6.2)

gdzie on są miejscami zerowymi licznika i nazywamy je zerami transmitancji,a pm są miejscami zerowymi mianownika i nazywamy je biegunami transmitan-cji. Na płaszczyźnie z bieguny będziemy oznaczać symbolem ×, a zera symbo-lem ◦.

Zbadajmy charakterystykę widmową filtra danego równaniem różnicowym:

y(n) = −y(n− 2) + x(n− 1) − x(n− 2).

Transmitancja tego filtra NOI wynosi:

H(z) =z− 1

z2 + 1=

z− 1

(z− j)(z+ j).

63

ROZDZIAŁ 6. TRANSMITANCJA I WŁAŚCIWOŚCI FILTRÓWCYFROWYCH

Filtr ten posiada jedno zero o0 = 1 i dwa bieguny p0 = j oraz p1 = −j.Zaznaczmy to na płaszczyźnie z – rysunek 6.1. Na podstawie położenia zeri biegunów można bardzo łatwo wyznaczyć charakterystykę amplitudową filtra.

Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

×

Rys. 6.1. Położenie zer i biegunów na płaszczyźnie z filtra danego równaniem różnico-wym y(n) = −y(n − 2) + x(n − 1) − x(n − 2)

Teraz wykonajmy zadanie odwrotne, tj. na podstawie wykresu zer i biegunówfiltra pokazanego na rysunku 6.2 odtworzymy równanie różnicowe filtra.

Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

×

Rys. 6.2. Zera i bieguny filtra NOI

Filtr posiada jedno zero o0 = −1 oraz dwa bieguny p0 = 0.5 + j0.5 orazp1 = 0.5− j0.5. Transmitancja:

64


H(z) =z− o0

(z− p0)(z− p1)=

z+ 1

z2 − 2 Re{p0}+ |p0|2=

z+ 1

z2 − z+ 0.5

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na (z − p)(z − p∗). Transmitancja wyznaczonajest z dokładnością do współczynnika proporcjonalności – współczynnik b0 wewzorze (6.2).

(z− p)(z− p∗) = z2 − 2z Re{p}+ |p|2

Zapamiętaj

Dzielimy licznik i mianownik przez z2, tj. wyraz w największej potędze mia-nownika:

H(z) =Y(z)

X(z)=

z−1 + z−2

1− z−1 + 0.5 z−2

stąd:

Y(z) − Y(z)−1 + 0.5 Y(z) z−2 = X(z) z−1 + X(z) z−2

a odpowiadające tej transmitancji równanie różnicowe jest dane w postaci:

y(n) − y(n− 1) + 0.5 y(n− 2) = x(n− 1) + x(n− 2)

lub w postaci:

y(n) = y(n− 1) − 0.5 y(n− 2) + x(n− 1) + x(n− 2).

2. Przyczynowość filtra

Filtr jest przyczynowy, gdy jego odpowiedź nie występuje przed pobudze-niem. Filtr nieprzyczynowy to taki, którego odpowiedź występuje przed pobu-dzeniem. Oznaczałoby to, że filtr posiada możliwość „patrzenia w przyszłość”i wysterowania wyjścia przed wystąpieniem pobudzenia. Takich filtrów nie moż-na zbudować w praktyce. Rozważmy filtr o następującej transmitancji, określmyjego odpowiedź impulsową i wykreślimy na wykresie:

H(z) =z2 − 0.5z

z+ 0.5=z(z− 0.5)

z+ 0.5.

65


Filtr posiada dwa zera: o0 = 0, o1 = 0.5 oraz jeden biegun p0 = −0.5. Obliczmyodpowiedź impulsową tego filtra:

Y(z) =z(z− 0.5)

z+ 0.5· 1 = z2 + 0.5z− z

z+ 0.5= z

z+ 0.5

z+ 0.5−

z

z+ 0.5= z−

z

z+ 0.5.

Odpowiedź w dziedzinie czasu (korzystając z dwustronnego przekształcenia Zomówionego w rozdziale 4) jest następująca:

y(n) = δ(n+ 1) − u(n) · (−0.5)n

a jej wykres jest pokazany na rysunku 6.3.

n-2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

◦ x(n) • y(n)

•

•

•

•• •

Rys. 6.3. Odpowiedź impulsowa filtra nieprzyczynowego

Odpowiedź filtra występuje w chwili n = −1 przed faktycznym pobudzeniemw chwili n = 0. Wyznaczmy równanie różnicowe filtra. Podzielmy licznik i mia-nownik transmitancji przez z:

H(z) =Y(z)

X(z)=

z− 0.5

1+ 0.5z−1

Y(z) (1+ 0.5 z−1) = X(z) · (z− 0.5).Równanie różnicowe:

y(n) + 0.5 y(n− 1) = x(n+ 1) − 0.5 x(n)

lub

y(n) = −0.5 y(n− 1) + x(n+ 1) − 0.5 x(n).

Z równania różnicowego widać, że filtr wyznacza wynik na podstawie próbkiz przyszłości x(n+1). Jest to filtr nieprzyczynowy. Filtr nieprzyczynowy możnaprzekształcić do filtra przyczynowego opóźniając tor pobierania próbek x(n).W naszym przypadku, po opóźnieniu toru próbek wejściowych o jeden cykluzyskujemy filtr:

y(n) = −0.5 y(n− 1) + x(n) − 0.5 x(n− 1).

66


Transmitancja tego filtra przyczynowego jest równa:

H(z) =1− 0.5z−1

1+ 0.5z−1=z2 − 0.5z

z2 + 0.5z.

Ponieważ opóźnienie o jedną próbkę odpowiada pomnożeniu przez z−1, transmi-tancję omawianego filtra nieprzyczynowego można przekształcić do transmitan-cji filtra przyczynowego poprzez pomnożenie licznika przez z−1 (lub mianownikaprzez z1).

Można łatwo pokazać, że dla filtra nieprzyczynowego stopień wielomianuw liczniku transmitancji N jest większy od stopnia wielomianu mianownika M– lub inaczej mówiąc, liczba zer transmitancji jest większa od liczby biegunów.

Filtr jest przyczynowy, gdy:

◦ stopień wielomianu mianownika M jest większy lub równy stopniuwielomianu licznika N, co jest równoważne stwierdzeniu, że:

◦ liczba biegunów jest większa lub równa liczbie zer transmitancjifiltra.

Zapamiętaj

Zadania

Dla podanych transmitancji filtrów:

◦ określ liczbę zer i biegunów,

◦ oblicz i wykreśl odpowiedź impulsową,

◦ nieprzyczynowy przekształć do filtrów przyczynowych.

1. H(z) = z3

z2−1,

2. H(z) = z,

3. H(z) = z2−1z2+1

,

4. H(z) = z4−1z2

.

67


3. Odpowiedź filtra o wartościach rzeczywistych

Aby filtr posiadał odpowiedź o wartościach rzeczywistych w dziedzinie cza-su wszystkie zera i bieguny posiadające część urojoną muszą posiadać swojesprzężone odpowiedniki. Rozważmy prosty przykład pokazany na rysunku 6.4.

Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

Rys. 6.4. Filtr o jednym biegunie zespolonym

Transmitancja filtra wynosi:

H(z) =z

z− j

a odpowiedź impulsowa:

y(n) = u(n) · jn = {1, j,−1,−j, 1, . . .}

jest zespolona. Rozważmy teraz filtr, gdzie biegun p0 = 0+ j ma swój sprzężonyodpowiednik p1 = 0− j (rysunek 6.5). Transmitancja tego filtra jest postaci:

H(z) =z

(z− j)(z+ j)=

z

z2 + 1

a odpowiedź impulsowa składa się z wyrazów o wartościach rzeczywistych:

y(n) = u(n) · sin(nπ

2

)= {0, 1, 0,−1, 0, 1, . . .}.

Podobnie sytuacja wygląda dla zer transmitancji. Bieguny i zera posiadającetylko część rzeczywistą nie muszą mieć sprzężonych odpowiedników.

68


Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

×

Rys. 6.5. Filtr o dwóch biegunach sprzężonych

Bieguny i zera filtrów posiadające część urojoną muszą posiadać sprzężo-ne odpowiedniki, aby odpowiedź czasowa filtra miała wyłącznie wartościrzeczywiste.

Zapamiętaj

4. Stabilność filtrów

Rozważmy prosty filtr NOI o strukturze pokazanej na rysunku 6.6. Równanieróżnicowe tego filtra jest następujące:

y(n) = 1.1 y(n− 1) + x(n).

Przeanalizujmy ten filtr. Pobudźmy filtr deltą Kroneckera i wyznaczmy odpo-wiedź filtra metodą rachunku bezpośredniego.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8x(n) 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y(n− 1) 0 1 1.1 1.21 1.33 1.46 1.61 1.77 1.95y(n) 1 1.1 1.21 1.33 1.46 1.61 1.77 1.95 2.14

69


x(n) + y(n)

1.1

y(n− 1)z−1

Rys. 6.6. Przykładowy niestabilny filtr NOI

Odpowiedź impulsową pokazano na rysunku 6.7.

n1 2 3 4 5 6 7 8

-1

0

1

2

3

◦ x(n) • y(n)

• • • • • • • • •

Rys. 6.7. Odpowiedź impulsowa filtra NOI z rysunku 6.6

Kolejne próbki sygnału wyjściowego zwiększają się zgodnie z postępem geo-metrycznym i rosną do nieskończoności. Filtr ten jest niestabilny. Filtr o iden-tycznej strukturze rozważaliśmy w rozdziale 1.6., jednak jego odpowiedź impul-sowa zanikała do 0. Od czego zatem zależy czy filtr jest stabilny, czy niestabilny?

Przeanalizujmy filtr przy użyciu przekształcenia Z. Transmitancja tego filtrawynosi:

H(z) =z

z− 1.1

a odpowiedź impulsowa:

y(n) = 1.1n.

Przypomnijmy, że transformata odwrotna:

Y(z) =z

z− b

70


jest równa:

y(n) = bn.

Gdy b > 1, wartości próbek na wyjściu filtra będą się zwiększać. Wyznaczmyjeszcze odpowiedź impulsową filtra dla ujemnych wartości b. Rozważmy filtro transmitancji:

H(z) =z

z+ 1.1.

Jego odpowiedź impulsowa jest ciągiem próbek:

y(n) = (−1.1)n = {1,−1.1, 1.21,−1.33, 1.46,−1.61, 1.77,−1.95, 2.14,−2.36, . . .}.

Bezwzględne wartości kolejnych próbek na wyjściu filtra zwiększają się. Filtr tenjest niestabilny. Aby filtr był stabilny należy przyjąć |b| < 1. Podobne rozważa-nia można poczynić, gdy b jest biegunem zespolonym i tym razem otrzymamywarunek stabilności filtra |b| < 1 – czyli moduł bieguna powinien być mniej-szy od 1, tj. odległość bieguna od początku układu współrzędnych powinna byćmniejsza od 1. Oznacza to, że aby filtr był stabilny wszystkie bieguny filtramuszą leżeć wewnątrz okręgu jednostkowego, tj. okręgu o promieniu 1.

Wykreślmy na płaszczyźnie z bieguny i zera dla omawianego filtra o trans-mitancji z

z−1.1 i stabilnego filtra omawianego w rozdziale 1.6. o transmitancjiz

z−0.5 – rysunek 6.8.

Re{z}

-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

a) Filtr niestabilnyH(z) = z

z−1.1

y(n) = 1.1n

Re{z}

-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

b) Filtr stabilnyH(z) = z

z−0.5

y(n) = 0.5n

Rys. 6.8. Przykłady filtrów NOI niestabilnego i stabilnego

71


Aby filtr był stabilny, wszystkie jego bieguny powinny leżeć wewnątrzokręgu o promieniu 1. Odpowiedź impulsowa takiego filtra zanika dozera. Każdy filtr nierekursywny, tj. filtr SOI, jest stabilny.

Zapamiętaj

Zajmijmy się teraz pewnym szczególnym przypadkiem, który może zainte-resować czytelnika. Co się stanie, gdy biegun leży dokładnie na okręgu jednost-kowym? Rozważmy filtr o transmitancji:

H(z) =1

z− 1.

Odpowiedź impulsowa takiego filtra jest równa:

y(n) = u(n− 1)

więc wydaje się, że filtr jest stabilny. Spójrzmy natomiast co się stanie, gdypodamy na wejście skok jednostkowy. Wówczas odpowiedź filtra:

Y(z) =z

(z− 1)2.

Transformatę odwrotną obliczaliśmy w rozdziale 2. i wynosi ona:

y(n) = n u(n) = {0, 1, 2, 3, . . .}.

Filtr jest ewidentnie niestabilny. Rozważmy podobny stabilny filtr, którego bie-gun znajduje się wewnątrz okręgu:

H(z) =1

z− 0.9.

Zbadajmy odpowiedź filtra na skok jednostkowy:

Y(z) =1

z− 0.9· z

z− 1

Y(z)

z=

−10

z− 0.9+

10

z− 1

Y(z) = −10z

z− 0.9+ 10

z

z− 1

y(n) = −10 · 0.9n + 10 u(n).

Składnik 0.9n zanika ze wzrostem n. Filtr jest stabilny.

72


Zadanie 23

Dany jest filtr o transmitancji:

H(z) =z2

z2 + 1.21.

Sprawdzić czy filtr jest stabilny, badając jego odpowiedź impulsową w dziedzinieczasu.Rozwiązanie:

H(z) =z2

(z+ j1.1)(z− j1.1).

Położenie zer i biegunów filtra pokazano na rysunku 6.9.

Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

×

Rys. 6.9. Położenie zer i biegunów filtra o transmitancji H(z) = z2

z2+1.21

Obydwa bieguny leżą poza okręgiem jednostkowym, więc należy się spodzie-wać, że filtr jest niestabilny. Obliczmy odpowiedź impulsową:

Y(z)

z=

z

(z+ j1.1)(z− j1.1)=

A

z+ j1.1+

B

z− j1.1.

Po obliczeniach znajdujemy A = 0.5 i B = 0.5, zatem:

y(n) = 0.5((−1.1j)n + (1.1j)n

)= 0.5

((1.1e

−jπ2 )n + (1.1e

jπ2 )n

)

y(n) = 0.5 · 1.1n(ejπn2 + e

−jπn2

)

y(n) = 1.1n · cos(nπ

2

).

73


Odpowiedź impulsowa filtra pokazana jest na rysunku 6.10. Filtr, jak słusznieprzypuszczaliśmy, jest niestabilny.

n1 2 3 4 5 6 7 8

-3

-2

-1

0

1

2

3

◦ x(n) • y(n)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Rys. 6.10. Odpowiedź impulsowa filtra o zerach i biegunach pokazanych na rysunku 6.9

5. Quiz

Wybierz jedną lub więcej poprawnych odpowiedzi.

Zadanie 24

Filtr o biegunach i zerach pokazanych na rysunku jest filtrem:

◦ stabilnym,

◦ niestabilnym,

◦ przyczynowym,

◦ nieprzyczynowym,

◦ którego odpowiedź impulsowa jest rzeczywista,

◦ którego odpowiedź impulsowa jest zespolona.

74


Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

Zadanie 25


◦ stabilnym,

◦ niestabilnym,

◦ przyczynowym,




Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

75


Zadanie 26


◦ stabilnym,

◦ niestabilnym,

◦ przyczynowym,




Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

Zadanie 27


◦ stabilnym,

◦ niestabilnym,

◦ przyczynowym,




76


Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

×

Zadanie 28


◦ stabilnym,

◦ niestabilnym,

◦ przyczynowym,




Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

×

77


Zadanie 29


◦ stabilnym,

◦ niestabilnym,

◦ przyczynowym,




Re{z}-1.5 -0.5 0.5 1.5

Im{z}

-1.5

-0.5

0.5

1.5

×

×

78

Pełna wersja książki dostępna pod adresem:http://www.wydawnictwa.p.lodz.pl

http://www.wydawnictwa.p.lodz.pl

P Baranski Przeksztalcenie Z - Fragment

Documents

Transcript of P Baranski Przeksztalcenie Z - Fragment