M:/vyuka/MA/prednaska MAI1 2013rataj/MA/prednaska_MAI1_2013.pdfVěta 3.8 (O limitě součtu,...

Matematická analýza I pro informatiky

Zimní semestr 2013/14

Přednáška 3.10.2013

1 Výroky, množiny a zobrazení

• primitivní pojem výrok;• operace s výroky: negace “¬V ”, konjunkce “V ∧W” (“V&W”), alternativa“V ∨ W” (“V neboW”), implikace “V =⇒ W” a ekvivalence “V ⇐⇒W”;

• výroková funkce (V (x), V (x, y) . . .);

• kvantifikátory: obecný (∀x), existenční (∃x), vázané kvantifikátory, negacevýroků s kvantifikátory;

• axiom, definice, tvrzení, věta, důkaz (přímý, nepřímý, sporem);• primitivní pojem množina a operátor náležení (a ∈ A);

• binární relace inkluze (A ⊂ B), prázdná množina ∅;• P(X) = {A : A ⊂ X} je potenční množina množiny X .

• množinové operace:– sjednocení:

⋃A = {a : ∃b ∈ A, a ∈ b},

– průnik:⋂

A = {a : ∀b ∈ A, a ∈ b},– speciální případy: A ∪ B, A ∩ B,

⋃

α∈I Aα,⋂

α∈I Aα,

– rozdíl: A \ B = {a ∈ A : a 6∈ B},– doplněk A v X : AC = X \ A,

– symetrická diference: A△B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Tvrzení 1.1 (de Morgan) Nechť Aα, α ∈ I, je systém podmnožin množinyX. Pak

1. X \ ⋃

α∈I Aα =⋂

α∈I(X \ Aα),

2. X \ ⋂

α∈I Aα =⋃

α∈I(X \ Aα).

[Důkaz]

1

Definice: Kartézský součin množin A, B je množina uspořádaných dvojic

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Relace množin A, B je libovolná podmnožina R ⊂ A × B; píšeme aRb místo(a, b) ∈ R. Relace na množině A je relací množin A, A.

Definice: Zobrazení množiny A do množiny B je relace množin A, B taková,že ke každému a ∈ A existuje právě jeden b ∈ B takový, že (a, b) ∈ F . PíšemeF : A → B, F (a) = b. Definiční obor D(F ) = A, obor hodnot

H(F ) = {F (a) : a ∈ A}.

Funkce je zobrazení do množiny reálných čísel R. Pro C ⊂ A je

F (C) = {F (a) : a ∈ C}

obraz množiny C a pro D ⊂ B je

F−1(D) = {a ∈ A : F (a) ∈ D}

vzor množiny D.Zobrazení F : A → B je na (surjektivní), jestliže H(F ) = B, a je prosté

(injektivní), jestliže

∀a, b ∈ A : (F (a) = F (b) =⇒ a = b).

Bijekce množiny A na množinu B je prosté zobrazení A na B.Je-li f : A → B bijekce, definujeme inverzní zobrazení f−1 : B → A předpi-

semf−1(b) = a ⇐⇒ f(a) = b.

Jsou-li f : A → B a g : B → C zobrazení, definujeme složené zobrazeníg ◦ f : A → C předpisem

g ◦ f(a) = g(f(a)).

Restrikcí zobrazení f : A → B na množinu C ⊂ A rozumíme zobrazení

f |C : C → B, f |C(a) = f(a), a ∈ A.

2


2 Reálná čísla

Definice: (T,+, ·) je (komutativní) těleso, jestliže T je neprázdná množina a+, · jsou dvě binární operace na T (tedy zobrazení z T × T do T ) splňující:

1. (∀x, y ∈ T ): x+ y = y + x (komutativita sčítání)

2. (∀x, y, z ∈ T ): (x + y) + z = x+ (y + z) (asociativita sčítání)

3. (∃0 ∈ T )(∀x ∈ T ): 0 + x = x

4. (∀x ∈ T )(∃ − x ∈ T ): x+ (−x) = 0

5. (∀x, y ∈ T ): x · y = y · x (komutativita násobení)

6. (∀x, y, z ∈ T ): (x · y) · z = x · (y · z) (asociativita násobení)

7. (∃1 ∈ T )(∀x ∈ T ): 1 · x = x

8. (∀x ∈ T ): x 6= 0 =⇒ ∃x−1 ∈ T : x · x−1 = 1

9. ∀x, y, z ∈ T : x · (y + z) = (x · y) + (x · z) (distributivita)

Příklady: R, Q, C, Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} (sčítání a násobení modulo 5).

Definice: Relace < na množině T je úplné uspořádání, jestliže

1. ∀x, y, z ∈ T : (x < y) ∧ (y < z) =⇒ (x < z) (tranzitivita)

2. pro všechna x, y ∈ T nastává právě jedna z tří možností: (a) x < y, (b)y < x, (c) x = y (trichotomie)

Definice: (T,+, ·, <) je uspořádané těleso, jestliže

1. (T,+, ·) je (komutativní) těleso,

2. < je úplné uspořádání na T ,

3. pro všechna x, y, z ∈ T platí:

(a) x < y =⇒ x+ z < y + z

(b) x < y ∧ z > 0 =⇒ x · z < y · z

Příklady: R a Q jsou uspořádaná tělesa, Z5 a C nikoliv.

Číselné obory: N = {1, 2, 3, . . .} - přirozená čísla

3

Axiom indukce: Nechť pro podmnožinu M ⊂ N platí: (i) 1 ∈ M , (ii) ∀n ∈N : (n ∈ M =⇒ n+ 1 ∈ M). Pak M = N.

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} - celá číslaQ = { p

q : p ∈ Z, q ∈ N} - racionální čísla

Cvičení [Hustota racionálních čísel] Ukažte, že pro všechna a, b ∈ Q taková,že a < b, existuje c ∈ Q takové, že a < b < c.

Definice: Buď (T, <) úplně uspořádaná množina, A ⊂ T a a ∈ T .

• Číslo a je horní (dolní) závorou množiny A, jestliže ∀b ∈ A : b ≤ a (b ≥ a).

• Množina A je omezená shora (zdola), jestliže má aspoň jednu horní (dolní)závoru. Množina A je omezená, jestliže je omezená shora i zdola.

• Číslo a je maximem (minimem) množiny A, jestliže a ∈ A a a je horní(dolní) závorou A (píšeme a = maxA, a = minA).

• Číslo a je supremem množiny A, jestliže

1. a je horní závorou A

2. a je nejmenší horní závorou A, neboli pro libovolnou horní závoru cmnožiny A platí a ≤ c.

(píšeme a = supA).

• Číslo a je infimem množiny A, jestliže

1. a je dolní závorou A

2. a je největší dolní závorou A, neboli pro libovolnou dolní závoru cmnožiny A platí a ≥ c.

(píšeme a = inf A).

Cvičení: Ukažte, že a = supA právě tehdy, když a je horní závorou A a navícplatí

∀b ∈ T : b < a =⇒ ∃c ∈ A, b < c.

Příklady:

1. 1 = max[0, 1] = sup[0, 1]

2. 1 = sup(0, 1)

3. Množina {x ∈ Q : x2 < 2} je shora omezená, ale nemá (v Q) supremum.

Tvrzení 2.1√2 6∈ Q.

[Důkaz]

4

Axiom suprema. Každá neprázdná shora omezená podmnožina R má v R

supremum.

Věta 2.2 (Existence a jednoznačnost tělesa reálných čísel) Existuje uspo-řádané těleso (R,+, ·, <) v němž platí axiom suprema. Je-li (R′,+′, ·′, <′) jinéuspořádané těleso s axiomem suprema, pak existuje bijekce f : R → R′ taková,že pro libovolná x, y ∈ R platí

1. f(x+ y) = f(x) +′ f(y),

2. f(x · y) = f(x) ·′ f(y),

3. x < y ⇐⇒ f(x) <′ f(y).

Pozn.: Zobrazení f z předchozí věty se nazývá izomorfismus a říkáme, žetělesa R a R′ jsou izomorfní.

Definice: Množina A je konečná, jestliže je prázdná, nebo jestliže existujen ∈ N a bijekce f : {1, . . . , n} → A. Množina A je nekonečná spočetná, jestližeexistuje bijekce f : N → A. Množina A je spočetná, jestliže je konečná nebonekonečná spočetná. Množina A je nespočetná, jestliže není spočetná.

Tvrzení 2.3 P(N) je nespočetná.

[Důkaz]

5


Tvrzení 2.4 1. Každá podmnožina spočetné množiny je spočetná.

2. Je-li zobrazení f : N → A na, pak A je spočetná.

3. Je-li množina A spočetná a zobrazení f : A → B na, pak i B je spočetná.

4. Jsou-li množiny A, B spočetné, pak i A × B je spočetná.

5. Jeli I spočetná indexová množina a Ai : i ∈ I systém spočetných množin,je sjednocení

⋃

i∈I Ai rovněž spočetné.

[Idea důkazu]

Příklady: N, Z, Q jsou spočetné.

Věta 2.5 R je nespočetná.

[Idea důkazu]

Věta 2.6 (Existence n-té odmocniny) Ke každému nezápornému reálnémučíslu a existuje právě jedno nezáporné reálné číslo b tak, že bn = a (píšemeb = n

√a).

[Důkaz]

Definice: Pro x ∈ R definujeme absolutní hodnotu jako |x| = max{−x, x},kladnou část jako x+ = max{0, x} a zápornou část jako x− = max{0,−x}, acelou část jako [x] = max{p ∈ Z : p ≤ x}.

Pozn.: Zřejmě x = x+ − x− a |x| = x+ + x−.

Tvrzení 2.7 (trojúhelníková nerovnost) Pro všechna x, y ∈ R platí

(a) |x+ y| ≤ |x|+ |y|,

(b) |x − y| ≥ |x| − |y|.

[Důkaz]

Značení intervalů: [a, b], (a, b), [a, b), (−∞, b], . . .

3 Limita posloupnosti

Definice: Posloupností prvků z neprázdné množiny M rozumíme zobrazenía : N → M . Píšeme a = (an) = (a1, a2, . . .). Reálnou posloupností rozumímeposloupnost reálných čísel.

6

Definice: Reálná posloupnost (an) má (vlastní) limitu r ∈ R, jestliže

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : |an − r| < ε.

Říkáme rovněž, že posloupnost (an) konverguje k číslu r, a píšeme limn→∞ an =r nebo an → r (n → ∞).

Definice: Reálná posloupnost (an) je omezená (shora, zdola) jestliže je mno-žina hodnot {an : n ∈ N} omezená (shora, zdola). Posloupnost (an) je rostoucí(klesající, neklesající, nerostoucí) jestliže ∀n ∈ N, an+1 > an (an+1 < an,an+1 ≥ an, an+1 ≤ an). Neklesající nebo nerostoucí posloupnost se nazývámonotónní, a klesající nebo rostoucí posloupnost ryze monotónní.

Poznámka: Následující výroky jsou ekvivalentní definici lim an = r:

• ∃ε0 > 0 ∀0 < ε < ε0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : |an − a| < ε;

• ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : |an − a| < 10ε;

• ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > 2n0 : |an − a| < ε.

Příklad: lim 1n = 0.

Věta 3.1 (jednoznačnost limity) Každá reálná posloupnost má nejvýše jednuvlastní limitu.

[Důkaz]

Věta 3.2 (Omezenost konvergentní posloupnosti) Každá konvergentní po-sloupnost je omezená.

[Důkaz]

7


Pozn.:

1. an → a ⇐⇒ an − a → 0,2. an → 0 ⇐⇒ |an| → 0.

Tvrzení 3.3 an → 0, |bn| ≤ |an| ∀n =⇒ bn → 0.[Důkaz]

Tvrzení 3.4 an → 0, (bn) omezená =⇒ anbn → 0.[Důkaz]

Tvrzení 3.5 (Limita geometrické posloupnosti) |q| < 1 =⇒ qn → 0.[Důkaz]

Věta 3.6 (Podílové kriterium pro konvergenci k nule) Buď (an) posloup-nost kladných čísel a nechť existuje q < 1 a n0 ∈ N tak, že pro všechna n > n0platí an+1

an≤ q. Pak an → 0.

Důsledek 3.7 Buď (an) posloupnost kladných čísel taková, žean+1

an→ r < 1.

Pak an → 0.

Příklad: n4

2n → 0.Věta 3.8 (O limitě součtu, součinu a podílu) Nechť an → a a bn → b.Pak

(i) an + bn → a+ b;

(ii) an · bn → a · b;(iii) b 6= 0 =⇒ an

bn→ a

b .

Nevlastní limity

Definice: Rozšířená reálná přímka je množina R∗ = R ∪ {−∞,∞} s uspořá-dáním < a operacemi definovanými následovně:

1. x < ∞ ∀x ∈ R∗ \ {∞},2. −∞ < x ∀x ∈ R∗ \ {−∞},3. x+∞ =∞+ x =∞ ∀x ∈ R∗ \ {−∞},4. x −∞ = −∞+ x = −∞ ∀x ∈ R∗ \ {∞},5. x · ∞ =∞ · x ∀x > 0,

6. x · (−∞) = −(x · ∞) ∀x ∈ R∗ \ {0},7. x

∞ =x

−∞ = 0 ∀x ∈ R.

8

Pozn.: Není definováno: ∞−∞, x0 ,

±∞±∞ , 0 · (±∞).

Definice: Jeli A ⊂ R shora (zdola) neomezená, klademe supA =∞ (inf A =−∞).

Definice: Reálná posloupnost (an) má limitu ∞ (−∞), jestliže

∀x ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : an > x (an < x).

Píšeme an → ∞ (an → −∞).

Cvičení: an → ∞ =⇒ (an) je omezená zdola a neomezená shora. (Analo-gicky pro an → −∞.)

Pozn.: Každá reálná posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Věta 3.9 Každá monotónní posloupnost reálných čísel má limitu (v R∗).

[Důkaz]

Věta 3.10 Nechť an → a, bn → b, a, b ∈ R∗. Pak platí:

1. an + bn → a+ b, má-li pravá strana smysl.

2. an · bn → a · b, má-li pravá strana smysl.

3. an

bn→ a

b , má-li pravá strana smysl.

9


Tvrzení 3.11 (o “dělení nulou”) Buď (an) posloupnost kladných čísel kon-vergující k 0. Pak 1

an→ ∞.

Příklad: q > 1 =⇒ qn → ∞.

Tvrzení 3.12 an → a, bn → b, an ≤ bn∀n =⇒ a ≤ b.

Tvrzení 3.13 (O dvou policajtech) an → a, bn → a, an ≤ cn ≤ bn∀n =⇒cn → a.

Pozn.: V obou předchozích tvrzeních stačí předpokládat platnost nerovnostípro dostatečně velká n.

Vybrané podposloupnosti

Definice: Je-li a : N → R reálná posloupnost a σ : N → N rostoucí po-sloupnost přirozených čísel, pak posloupnost a ◦ σ : N → R nazveme vybranoupodposloupností z posloupnosti a.

Tvrzení 3.14 Má-li posloupnost limitu, pak každá její podposloupnost má tutéžlimitu.

[Důkaz]

Věta 3.15 (Cantorův princip vložených intervalů) Jsou-li I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇· · · do sebe vložené uzavřené (omezené) intervaly, pak ⋂∞

n=1 In 6= ∅. Pokud navícdélka(In)→ 0, je

⋂∞n=1 In jednobodová množina.

[Důkaz]

Věta 3.16 (Bolzano-Weierstrassova) Je-li (an) omezená posloupnost reál-ných čísel, pak existuje vybraná podposloupnost (aσ(n)), která konverguje.

[Důkaz]

Definice: a ∈ R je hromadným bodem posloupnosti (an), jestliže a je limitounějaké vybrané podposloupnosti z (an).

Definice: (an) reálná posloupnost,

lim supn→∞

an = limn→∞

sup{an, an+1, . . .} (limes superior),

lim infn→∞

an = limn→∞

inf{an, an+1, . . .} (limes inferior).

10

Pozn.

1. lim sup an, lim inf an vždy existují.

2. Je-li (an) omezená, pak lim sup an je největší a lim inf an nejmenší hro-madný bod (an).

Tvrzení 3.17 Pro každou posloupnost (an) platí lim inf an ≤ lim sup an. Rov-nost nastane právě tehdy, když existuje lim an; pak platí lim an = lim sup an =lim inf an.

Věta 3.18 (Bolzano-Cauchyova nutná a postačující podmínka konvergence)Posloupnost (an) reálných čísel je konvergentní právě tehdy, když

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀m, n > n0) : |am − an| < ε.

4 Číselné řady

Definice: Je-li (an) posloupnost reálných čísel, pak symbolem∑∞

n=1 an rozu-míme nekonečnou řadu. Pro n ∈ N nazveme číslo sn =

∑ni=1 ai n-tým částečným

součtem řady. Platí-li sn → s pro nějaké s ∈ R∗, nazveme číslo s součtem řady∑∞

n=1 an a píšeme∑∞

n=1 an = s. Je-li s ∈ R, říkáme, že řada konverguje, je-lis = ±∞, říkáme, že řada diverguje. Pokud neexistuje lim sn, říkáme, že řadaosciluje.

Pozn.:

1.∑∞

n=0 an,∑∞

n=3 an apod. jsou rovněž řady.

2. Všechna tvrzení o posloupnostech lze aplikovat na řady (resp. posloup-nosti částečných součtů řady). Např: an ≥ 0 ∀n =⇒ ∑∞

n=1 an existuje(Věta 3.9).

Tvrzení 4.1 (O uzávorkování řady) Nechť∑

n an konverguje a σ : N → N

je rostoucí posloupnost. Položme b1 = a1 + · · · + aσ(1), bn = aσ(n−1)+1 + · · ·+aσ(n), n ≥ 1. Pak řada ∑

n bn konverguje a∑∞

n=1 an =∑∞

n=1 bn.

[Důkaz]

11


Věta 4.2 (Nutná podmínka konvergence)∑

n an konverguje =⇒ an →0.

[Důkaz]

Příklady

1. 1n → 0, ale ∑

n1n =∞ (neboť s2n ≥ 1 + n

2 ).

2. Geometrická řada: |q| < 1 =⇒ ∑∞n=0 qn = 1

1−q .

3.∑

n1

n2 konverguje, neboť1

n2 ≤ 1n(n−1) (n ≥ 2) a ∑∞

n=21

n(n−1) = 1.

Věta 4.3 (Bolzano-Cauchyova podmínka pro řady)∑

n an konverguje právětehdy, když

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀m > n > n0) :

∣∣∣∣∣

m∑

i=n+1

ai

∣∣∣∣∣< ε.

Pozn.: an ≥ 0 ∀n =⇒ ∑

n an konverguje (píšeme∑

n an < ∞) nebo∑

n an =∞.

Věta 4.4 (Srovnávací kriterium konvergence) Buďte∑

n an,∑

n bn dvě řadys nezápornými členy takové, že an ≤ bn pro všechna (dostatečně velká) n. Pak

(i)∑

n bn konverguje =⇒∑

n an konverguje,

(ii)∑

n an diverguje =⇒∑

n bn diverguje.

Věta 4.5 (Limitní srovnávací kriterium konvergence) Buď∑

n an řadas nezápornými členy,

∑

n bn řada s kladnými členy a nechť liman

bn=: c ∈ [0,∞].

Pak

(a) 0 < c < ∞ =⇒ [∑

n bn konverguje ⇐⇒ ∑

n an konverguje],

(b) c = 0 =⇒ [∑

n bn konverguje =⇒∑

n an konverguje ],

(c) c =∞ =⇒ [∑

n bn diverguje =⇒∑

n an diverguje].

Věta 4.6 (Cauchyovo (odmocninové) kriterium konvergence řady) Nechťan ≥ 0 ∀n. Jestliže lim n

√an < 1, pak

∑

n an < ∞. Jestliže lim n√

an > 1, pak∑

n an =∞.

[Důkaz]

Věta 4.7 (D’Alembertovo (podílové) kriterium konvergence řady) Nechťan > 0 ∀n. Jestliže lim an+1

an< 1, pak

∑

n an < ∞. Jestliže lim an+1

an> 1, pak

∑

n an =∞.

12

Pozn.:

1. V obou předchozích větách stačí slabší předpoklad pro konvergenci: ∃q <1, ∃n0 ∀n > n0 : n

√an ≤ q (resp. an+1

an≤ q).

2. V případě lim n√

an = 1 a liman+1

an= 1 může řada konvergovat i divergovat.

Definice: Řekneme, ža řada∑

n an konverguje absolutně, jestliže∑

n |an| <∞. Řada∑

n an konverguje neabsolutně, jestliže∑

n an konverguje, ale∑

n |an| =∞.

Věta 4.8∑

n an konverguje absolutně =⇒∑

n an konverguje.

[Důkaz]

Příklad: Řada 1− 12 +

13 − 1

4 + · · · konverguje neabsolutně.

Věta 4.9 (Leibnitzovo kriterium) Je-li (an) nerostoucí posloupnost, an →0, pak

∑

n(−1)n+1an konverguje.

[Důkaz]

Pozn.: Je-li∑

n an neabsolutně konvergentní řada, pak nelze pořadí sčítancůlibovolně měnit, aniž by se změnil součet. Dokonce platí, že ke každému A ∈ R∗

lze najít bijekci π : N → N (permutaci N) takovou, že∑∞

n=1 aπ(n) = A.

5 Limita a spojitost funkce

Definice:

1. Reálná funkce reálné proměnné je zobrazení f : D → R, kde ∅ 6= D ⊂ R

(definiční obor).

2. Funkce f : D → R je omezená (shora, zdola), jestliže její obor hodnotH(f) je omezený (shora, zdola).

3. Funkce f : D → R je rostoucí (klesající, nerostoucí, neklesající), jestliže∀x, y ∈ D, (x < y =⇒ f(x) < (>,≥,≤)f(y)). Funkce je monotónní(ryze monotónní), jestliže je nerostoucí nebo neklesající (rostoucí neboklesající).

4. Funkce f : D → R nabývá v bodě a ∈ D maxima (minima), jestliže∀b ∈ D, f(b) ≤ (≥)f(a). Funkce f nabývá v bodě a ostrého maxima(minima), jestliže ∀b ∈ D, (b 6= a =⇒ f(b) < (>)f(a)). Funkce f nabýváv a (ostrého) extrému, jestliže nabývá v a (ostrého) maxima nebo minima.

13

Příklady:

1. f(x) = c ∈ R ∀x - konstantní funkce,

2. f(x) = ax+ b (a, b ∈ R) - lineární funkce,

3. f(x) = ax2 + bx+ c (a, b, c ∈ R, a 6= 0) - kvadratická funkce,

4. f(x) = anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 (n ∈ N, a0, · · · , an ∈ R) - polynom

(stupně n pokud an 6= 0),

5. f(x) = p(x)q(x) , D = {x : q(x) 6= 0} (p, q polynomy) - racionální funkce,

6. f(x) =√

r(x), D = {x : r(x) ≥ 0} (r racionální funkce) - iracionálnífunkce.

Definice: Okolím bodu a ∈ R rozumíme libovolný otevřený interval obsahujícíbod a. Okolím bodu∞ (−∞) rozumíme interval (x,∞) ((−∞, x)) pro libovolnéx ∈ R. Prstencovým okolím bodu a ∈ R∗ rozumíme libovolnou množinu P =U \ {a}, kde U je okolí bodu a. Symbolem U(a) (P(a)) budeme značit množinuvšech (prstencových) okolí bodu a.

Definice: Nechť funkce f je definována na nějakém prstencovém okolí bodua ∈ R∗ a nechť b ∈ R∗.

limx→a

f(x) = b ⇐⇒ (∀V ∈ U(b))(∃P ∈ P(a)) : f(P ) ⊂ V.

14


Poznámka

1. Pro a, b ∈ R platí

limx→a

f(x) = b ⇐⇒ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x) : (0 < |x−a| < δ =⇒ |f(x)−b| < ε).

2. Pro a ∈ R

limx→a

f(x) =∞ ⇐⇒ (∀z > 0)(∃δ > 0)(∀x) : (0 < |x−a| < δ =⇒ f(x) > z).

3. Pro b ∈ R platí

limx→∞

f(x) = b ⇐⇒ (∀ε > 0)(∃y > 0)(∀x) : x > y =⇒ |f(x)− b| < ε).

Věta 5.1 (Heineho věta) Nechť funkce f je definována na nějakém prsten-covém okolí bodu a ∈ R∗ a nechť b ∈ R∗. Pak platí

limx→a

f(x) = b ⇐⇒ (∀(xn) ⊂ D(f) \ {a}) : (xn → a =⇒ f(xn)→ b).

[Důkaz]

Tvrzení 5.2 (Jednoznačnost limity funkce) Funkce má v bodě nejvýše jednulimitu.

Tvrzení 5.3 Nechť funkce f, g jsou definovány na nějakém prstencovém okolíbodu a a nechť f ≤ g. Pak limx→a f(x) ≤ limx→a g(x), pokud obě limity existují.

Tvrzení 5.4 Nechť limx→a f(x) = 0 a funkce g je omezená na nějakém prs-tencovém okolí bodu a. Pak limx→a f(x)g(x) = 0.

Tvrzení 5.5 Nechť limx→a f(x) = A a limx→a g(x) = B. Pak

(a) limx→a(f + g)(x) = A+B, má-li pravá strana smysl.

(b) limx→a(f · g)(x) = A · B, má-li pravá strana smysl.(c) limx→a

fg (x) =

AB , má-li pravá strana smysl.

(d) Jestliže B = 0 a g > 0 na nějakém prstencovém okolí bodu b, pak limx→a1

g(x) =∞.

Věta 5.6 (Bolzano-Cauchyho podmínka pro limitu funkce) Nechť funkcef je definována na nějakém prstencovém okolí bodu a ∈ R∗. Pak limx→a f(x)existuje vlastní právě tehdy, když

(∀ε > 0)(∃P ∈ P(a))(∀x, y ∈ P ) : |f(x)− f(y)| < ε.

Věta 5.7 (Věta o limitě složené funkce) Nechť limx→a f(x) = b a limy→b g(y) =c (a, b, c ∈ R∗). Nechť dále f(x) 6= b pro všechna x z nějakého prstencového okolíbodu a. Pak limx→a(g ◦ f)(x) = c.

[Důkaz]

15

Definice: Buď funkce f definovaná na nějakém okolí bodu a ∈ R. Řekneme,že f je spojitá v bodě a, jestliže limx→a f(x) = f(a).

Tvrzení 5.8 Jest ekvivalentní:

(i) f je spojitá v bodě a.

(ii) (∀V ∈ U(f(a)))(∃U ∈ U(a)) : f(U) ⊂ V.

(iii) (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x) : |x − a| < δ =⇒ |f(x)− f(a)| < ε.

Věta 5.9 (Druhá věta o limitě složené funkce) Nechť limx→a f(x) = b afunkce g je spojitá v bodě b. Pak limx→a(g ◦ f)(x) = g(b).

16


Důsledek 5.10 (Spojitost složené funkce) Je-li funkce f spojitá v bodě aa funkce g spojitá v bodě f(a), je i funkce g ◦ f spojitá v bodě a.

Tvrzení 5.11 Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a, pak i funkce f + g, f − g,f · g jsou spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) 6= 0, je i funkce f

g spojitá v bodě a.

Příklad: Každý polynom je spojitý v každém bodě a ∈ R. Každá racionálnífunkce je spojitá v každém bodě svého definičního oboru.

Definice: Levým (pravým) okolím bodu a ∈ R rozumíme libovolný interval(a−ε, a) ((a, a+ε)), kde ε > 0. Levým okolím bodu∞ rozumíme okolí bodu∞a pravým okolím bodu −∞ rozumíme okolí bodu −∞. Množinu všech levých(pravých) okolí bodu a značíme U−(a) (U+(a)).

Definice: Buď funkce f definovaná na nějakém levém (pravém) okolí bodua ∈ R∗. Řekneme, že funkce f má limitu A ∈ R∗ v bodě a zleva (zprava)(píšeme limx→a−

f(x) = A (limx→a+ f(x) = A), jestliže

(∀V ∈ U(A))(∃U− ∈ U−(a)) : f(U−) ⊂ V

((∀V ∈ U(A))(∃U+ ∈ U+(a)) : f(U+) ⊂ V ) .

Buď f navíc definovaná v bodě a. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zleva(zprava), jestliže limx→a−

f(x) = f(a) (limx→a+ f(x) = f(a)).

Tvrzení 5.12 Nechť funkce f je definovaná na nějakém prstencovém okolí bodua ∈ R a nechť A ∈ R∗. Pak

limx→a

f(x) = A ⇐⇒ ( limx→a−

f(x) = A ∧ limx→a+

f(x) = A).

Pozn.: Z předchozího tvrzení plyne, že funkce je spojitá v bodě právě tehdy,když je v něm spojitá zleva i zprava.

Věta 5.13 (O limitě monotónní funkce) Nechť je funkce f : (a, b) → R

monotónní. Pak existují limx→a+ f(x) a limx→b− f(x). Je-li navíc funkce f ome-zená, jsou obě limity vlastní.

Spojitá funkce na intervalu

Definice: Řekneme. že funkce f : D → R je spojitá, jestliže je spojitá vkaždém bodě a ∈ R. Funkce f je spojitá na intervalu [a, b], jestliže je spojitá vkaždém vnitřním bodě [a, b], spojitá zprava v a a zleva v b.

Věta 5.14 (O nabývání mezihodnot) Je-li funkce f spojitá na intervalu [a, b]a f(a) < u < f(b) nebo f(a) > u > f(b), pak existuje c ∈ (a, b) takový, žef(c) = u.

17

[Důkaz]

Důsledek 5.15 Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak f(I) je interval.

Tvrzení 5.16 Buď funkce f spojitá na intervalu I. Je-li f rostoucí (klesající),pak je prostá a inverzní funkce f−1 je rostoucí (klesající) na f(I). V oboupřípadech je funkce f−1 spojitá na f(I).

[Důkaz]

Tvrzení 5.17 Nechť je dána spojitá ryze monotónní funkce f : (a, b) → R

(a, b ∈ R∗) a označme A := limx→a+ f(x) a B := limx→b− f(x).

1. Je-li f rostoucí, pak limy→A+ f−1(y) = a a limy→B−f−1(y) = b.

2. Je-li f klesající, pak limy→B+ f−1(y) = b a limy→A−f−1(y) = a.

Příklady:

1. f(x) = xk, k ∈ N liché - rostoucí spojitá funkce na R, f−1(y) = k√

y jerostoucí spojitá funkce na R;

2. f(x) = xk, k ∈ N sudé - rostoucí spojitá funkce na [0,∞), f−1(y) = k√

yje rostoucí spojitá funkce na [0,∞).

Věta 5.18 Spojitá funkce nabývá na uzavřeném omezeném intervalu svého ma-xima a minima. (Neboli: Je-li funkce f : [a, b] → R spojitá, pak existují bodyxmax, xmin ∈ [a, b] takové, že f(xmin) ≤ f(x) ≤ f(xmax) ∀x ∈ [a, b].)

[Důkaz]

18


Některé elementární funkce

Exponenciální funkce

Věta 5.19 Existuje právě jedna spojitá funkce exp : R → (0,∞) s vlastnostmi:

(1) f(0) = 1,

(2) pro všechna x, y ∈ R platí exp(x+ y) = exp(x) exp(y),

(3) limx→0exp(x)−1

x = 1.

Píšeme též exp(x) = ex.

Tvrzení 5.20 Pro x > 0 platí

1. ex = limn→∞(1 + xn )

n,

2. ex =∑∞

n=0xn

n! .

Tvrzení 5.21 (1) Funkce exp je rostoucí,

(2) limx→−∞ expx = 0, limx→∞ expx =∞,

(3) limx→∞ex

xk =∞ pro každé k ∈ N.

Logaritmus

Definice: Funkce (přirozený) logaritmus je definována jako inverzní funkce kfunkci exp:

log = exp−1

(značí se též ln).

Tvrzení 5.22 (i) log : (0,∞)→ R je rostoucí spojitá funkce,

(ii) limx→0+ log x = −∞, limx→∞ log x =∞,

(iii) pro všechna x, y > 0 platí log(xy) = log x+ log y,

(iiv) pro všechna x > 0 platí log 1x = − logx,

(v) limx→1log xx−1 = 1,

(vi) limx→0+k√

x log x = 0 pro každé k ∈ N,

(vii) limx→∞log x

k√

x= 0 pro každé k ∈ N.

19

Obecná mocnina

Pro a ∈ R a x > 0 definujeme

xa = exp(a log x).

Tvrzení 5.23 1. Pro každé 0 6= a ∈ R je funkce fa : x 7→ xa spojitá funkcez (0,∞) na (0,∞).

2. Funkce x 7→ xa je rostoucí pro a > 0 a klesající pro a < 0.

3. Pro všechna x > 0 a a, b ∈ R platí:

(i) xa+b = xaxb,

(ii) (xa)b = xab.

[Důkaz]

Pozn.: Definice obecné mocniny je konsistentní v následujícím smyslu:

(1) pro a ∈ N je xa = x · . . . · x︸︷︷︸

a×

a x−a = 1xa ,

(2) pro p ∈ Z a q ∈ N je xp/q = q√

xp.

Goniometrické funkce

Funkce sin, cos jsou omezené funkce z R do [0, 1] s vlastnostmi:

Věta 5.24 Existuje práve jedna dvojice funkcí sin, cos : R → [−1, 1] s vlast-nostmi:

(a) sin(x+ y) = sinx cos y + cosx sin y, x, y ∈ R,

(b) cos(x + y) = cosx cos y − sinx sin y, x, y ∈ R,

(c) sin2 x+ cosx = 1, x ∈ R,

(d) limx→0

sin xx = 1.

Další vlastnosti

1. sin 2x = 2 sinx cosx, cos 2x = cos2 x − sin2 x,

2. sin 0 = 0, cos 0 = 1,

3. funkce sin, cos jsou spojité,

4. sin je lichá a cos sudá funkce,

5. sinx+ sin y = 2 sin x+y2 cos

x−y2 , sinx − sin y = 2 cos x+y

2 sinx−y2 ,

cosx+ cos y = 2 cos x+y2 cos

x−y2 , cosx − cos y = −2 sin x+y

2 sinx−y2 ,

6. funkce sin a cos jsou 2π-periodické, kde π = inf{x > 0 : sinx = 0} ∈(0,∞).

20

Příklad: limx→0

1−cos xx2 = 1

2 .

Definice:

arcsin =(sin |[−π/2,π/2]

)−1, arccos =

(cos |[0,π]

)−1.

Funkce arcsin je rostoucí spojitá funkce zobrazující interval [−1, 1] na [−π/2, π/2].Funkce arccos je klesající spojitá funkce zobrazující [−1, 1] na [0, π].

Definice:

tg x =sinx

cosx, x 6= π/2 + kπ,

cotg x =cosx

sinx, x 6= kπ, k ∈ Z.

Funkce tg je rostoucí spojitá na (−π/2, π/2). Funkce cotg je klesající spojitána (0, π). Dále definujeme

arctg =(tg |(−π/2,π/2)

)−1: R → (−π/2, π/2),

arccotg =(cotg |(0,π)

)−1: R → (0, π).

Hyperbolické funkce

coshx =ex + e−x

2, sinhx =

ex − e−x

2, x ∈ R.

Funkce cosh je spojitá a sudá a je rostoucí na [0,∞), funkce sinh je spojitá,lichá a rostoucí na R.

Cvičení:cosh2 x − sinh2 x = 1, cosh2 x+ sinh2 x = cosh 2x.

Symboly o, O

Definice: Buďte f, g dvě funkce definované na nějakém prstencovém okolíbodu a ∈ R∗.

• f = o(g), x → a, ⇐⇒ (∀ε > 0)(∃P ∈ P(a))(∀x ∈ P ) : |f(x)| < ε|g(x)|.

• f = O(g), x → a, ⇐⇒ (∃K > 0)(∃P ∈ P(a))(∀x ∈ P ) : |f(x)| ≤K|g(x)|.

Pozn.: Nechť g je různá od nuly na nějakém prstencovém okolí bodu a. Pakf = o(g) ⇐⇒ limx→a

f(x)g(x) = 0 a f = O(g) ⇐⇒ f(x)

g(x) je omezená na nějakémprstencovém okolí bodu a.

21

6 Derivace funkce

Definice: Nechť funkce f je definovaná na nějakém okolí bodu a ∈ R. Řek-neme, že f má v bodě a (vlastní) derivaci f ′(a) ∈ R∗ (f ′(a) ∈ R), jestliže

limx→a

f(x)− f(a)

x − a= f ′(a).

Derivace zprava a zleva v bodě a jsou definovány vztahy

f ′+(a) = lim

x→a+

f(x)− f(a)

x − a, f ′

−(a) = limx→a−

f(x)− f(a)

x − a.

Pozn.:

f ′(a) = limt→0

f(a+ t)− f(a)

t.

Pozn.:f ′(a) = A ⇐⇒ (f ′

+(a) = A ∧ f ′−(a) = A).

Příklady: (x2)′ = 2x, (ex)′ = ex, (cos x)′ = − sinx, (sinx)′ = cosx.

22


Věta 6.1 Má-li funkce f v bodě a vlastní derivaci, je v tomto bodě spojitá.

[Důkaz]

Věta 6.2 Nechť funkce f a g mají vlastní derivace v bodě a. Pak

1. (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a),

2. (f · g)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a),

3. g(a) 6= 0 =⇒ ( fg )′(a) = f ′(a)g(a)−f(a)g′(a)

g2(a) .

[Důkaz]

Pozn.: Tvrzení 1. platí i v případě nevlastních derivací, pokud je f ′(a)+g′(a)definováno.

Věta 6.3 (Derivace složené funkce) Má-li funkce f vlastní derivaci v boděa a funkce g vlastní derivaci v bodě f(a), pak

(g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a).

Věta 6.4 (Derivace inverzní funkce) Nechť funkce f je ryze monotónní naokolí bodu a a nechť existuje vlastní f ′(a) 6= 0. Pak

(f−1)′(f(a)) =1

f ′(a).

[Důkaz]

Příklady: (log x)′ = 1x , x > 0, (arcsinx)′ = 1√

1−x2, x ∈ (−1, 1).

Definice: Derivaci n-tého řádu funkce f v bodě a definujeme indukcí násle-dovně. Klademe f (0)(a) = f(a). Je-li f (n−1) definována (konečná) na nějakémokolí bodu a, definujeme f (n)(a) = (f (n−1))′(a), pokud příslušná (první) deri-vace existuje.

Tvrzení 6.5 Nechť funkce f, g mají derivace až do řádu n v bodě a. Pak

(f · g)(n)(a) =n∑

k=0

(n

k

)

f (k)(x)g(n−k)(a).

23

Definice Nechť funkce f je definována na okolí bodu a ∈ R. Řekneme, že fje rostoucí (klesající) v bodě a, jestliže existuje okolí U bodu a takové, že provšechna x ∈ U je

• x < a =⇒ f(x) < f(a) (f(x) > f(a)),

• x > a =⇒ f(x) > f(a) (f(x) < f(a)).

Tvrzení 6.6 Nechť funkce f má derivaci (možno i nevlastní) v bodě a.

• f ′(a) > 0 =⇒ f je rostoucí v bodě a,

• f ′(a) < 0 =⇒ f je klesající v bodě a.

Řekneme, že funkce f nabývá v bodě a lokálního maxima (minima, extrému),jsetliže existuje okolí U bodu a takové, že restrikce f |U nabývá v bodě a maxima(minima, extrému).

Věta 6.7 (Fermatova věta; nutná podmínka pro lokální extrém) Nechťfunkce f nabývá v bodě a lokálního extrému a nechť existuje f ′(a). Pak f ′(a) = 0.

Pozn.: Obrácená implikace neplatí (viz funkce f(x) = x3 v bodě 0).

Věta 6.8 (Rolleova věta) Nechť funkce f je spojitá na nedegenerovaném in-tervalu [a, b], nechť existuje f ′(x) pro každý bod x ∈ (a, b), a nechť f(a) = f(b).Pak existuje c ∈ (a, b) takový, že f ′(c) = 0.

[Důkaz]

24


Věta 6.9 (Lagrangeova věta o přírůstku funkce) Nechť funkce f je spo-jitá na nedegenerovaném intervalu [a, b], nechť existuje f ′(x) pro každý bodx ∈ (a, b). Pak existuje c ∈ (a, b) takový, že

f ′(c) =f(b)− f(a)

b − a.

[Důkaz]

Věta 6.10 (Vztah monotonie a derivace) Nechť funkce f je spojitá a máderivaci ve všech bodech intervalu (a, b).

(i) f ′ > 0 na (a, b) =⇒ f je rostoucí na (a, b),

(ii) f ′ ≥ 0 na (a, b) ⇐⇒ f je neklesající na (a, b).

[Důkaz]

Pozn.:

1. Obrácená implikace v bodě (i) neplatí (viz funkce f(x) = x3).

2. Analogická tvrzení platí pro funkci se zápornou, resp. nekladnou derivací.

3. Platí: je-li funkce f spojitá na [a, b] a rostoucí (neklasající) na (a, b), pakje f rostoucí (neklasající) i na [a, b].

Důsledek 6.11 f ′ = 0 na (a, b) =⇒ f je konstantní na (a, b).

Důsledek 6.12 f, g spojité funkce na [a, b), f(a) ≤ g(a), f ′ ≤ g′ na (a, b) =⇒f ≤ g na [a, b).

Definice Funkce f : D → R je konvexní (konkávní, ryze konvexní, ryze kon-kávní), jestliže ∀x, y, z ∈ D,

x < y < z =⇒ f(y) ≤ (≥, <, >)f(x) +y − x

z − x(f(z)− f(x)).

Cvičení: Následující výroky jsou ekvivalentní pro funkci f definovanou naintervalu I:

(i) f je konvexní,

(ii) ∀x, y, z ∈ I, x < y < z =⇒ f(y)−f(x)y−x ≤ f(z)−f(y)

z−y ,

(iii) (∀x, z ∈ I)(∀λ ∈ (0, 1)) : f((1− λ)x + λz) ≤ (1− λ)f(x) + λf(z).

Věta 6.13 (Vztah konvexity a derivace) Nechť funkce f je spojitá a máderivaci ve všech bodech intervalu (a, b).

(i) f ′ je rostoucí na (a, b) =⇒ f je ryze konvexní na (a, b),

(ii) f ′ je neklesající na (a, b) ⇐⇒ f je konvexní na (a, b).

[Důkaz]

25

Pozn.: Analogická tvrzení platí pro funkci s klesající, resp. nerostoucí derivací(funkce je ryze konkávní, resp. konkávní).

Důsledek 6.14 Nechť f ′′ existuje na (a, b). Pak

(i) f ′′ > 0 na (a, b) =⇒ f je ryze konvexní na (a, b),

(ii) f ′′ ≥ 0 na (a, b) ⇐⇒ f je konvexní na (a, b).

Věta 6.15 (Spojitost derivace v krajním bodě) Nechť funkce f je spojitána intervalu (a, b], nechť má vlastní derivaci na (a, b) a nechť existuje limx→b− f ′(x).Pak f ′

−(b) = limx→b− f ′(x). (Analogické tvrzení platí pro derivaci zprava.)

[Důkaz]

26


Příklad: Funkce log je (ryze) konkávní na (0,∞), tudíž ∀a1, . . . , an > 0:

1

n(a1 + · · ·+ an) ≥ n

√a1 · · ·an.

Definice: Nechť funkce f má v bodě a vlastní derivaci. Řekneme, že a jeinflexním bodem funkce f , jestliže existuje δ > 0 takové, že platí buď

(I)

{a − δ < x < a =⇒ f(x) < f(a) + f ′(a)(x − a),a < x < a+ δ =⇒ f(x) > f(a) + f ′(a)(x − a),

nebo

(II)

{a − δ < x < a =⇒ f(x) > f(a) + f ′(a)(x − a),a < x < a+ δ =⇒ f(x) < f(a) + f ′(a)(x − a).

Upozornění: Definice inflexního bodu v literatuře kolísá.

Tvrzení 6.16 (Nutná podmínka pro inflexní bod) Nechť funkce f má vbodě a inflexní bod a nechť existuje f ′′(a). Pak f ′′(a) = 0.

[Důkaz]

Tvrzení 6.17 (Postačující podmínka pro inflexní bod) Nechť funkce f mádruhou derivaci na okolí bodu a a nechť f ′′ mění v bodě a znaménko. Pak a jeinflexním bodem funkce f .

Definice: Nechť funkce f je definována na okolí bodu ∞ (−∞). Řekneme, žef má v∞ (−∞) asymptotu y = kx+ q (k, q ∈ R), jestliže limx→∞(f(x)− (kx+q)) = 0 (limx→−∞(f(x)− (kx+ q)) = 0).

Tvrzení 6.18 Funkce f má v ∞ (−∞) asymptotu y = kx+q právě tehdy, když

(1) limx→∞

f(x)x = k ( lim

x→−∞f(x)

x = k),

(2) limx→∞

(f(x) − kx) = q ( limx→−∞

(f(x)− kx) = q).

Příklad: Funkce f(x) =√

x2 − 1 má asymptotu y = x v ∞ a y = −x v −∞.Věta 6.19 (L’Hospital pro limitu “ 00”) Nechť a, A ∈ R∗, limx→a f(x) =

limx→a g(x) = 0 a limx→af ′(x)g′(x) = A. Pak limx→a

f(x)g(x) = A. (Analogické tvrzení

platí i pro jednostranné limity.)

Věta 6.20 (L’Hospital pro limitu “ ·∞”) Nechť a, A ∈ R∗, limx→a g(x) =

∞ a limx→af ′(x)g′(x) = A. Pak limx→a

f(x)g(x) = A. (Analogické tvrzení platí i pro

jednostranné limity.)

Příklad: Průběh funkce f(x) = (x − 1) exp( xx+1 ).

27


Definice: Nechť funkce f má (vlastní) n-tou derivaci f (n)(a) v bodě a ∈ R.Polynom

Tnfa(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) + f ′′(a)(x − a)2

2!+ · · ·+ f (n)(a)

(x − a)n

n!

nazýváme Taylorovým polynomem řádu n funkce f v bodě a.

Příklady:

Tn exp0(x) = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ xn

n!,

T2n+1 sin0(x) = x − x3

3!+

x5

5!+ · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n+ 1)!,

T2n cos0(x) = 1− x2

2!+

x4

4!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!,

Tn log1(x) = (x − 1)− (x − 1)22

+(x − 1)33

+ · · ·+ (−1)n−1 (x − 1)nn

.

Věta 6.21 Nechť existuje f (n)(a). Pak

limx→a

f(x)− Tnfa(x)

(x − a)n= 0.

[Důkaz]

Věta 6.22 (Taylorova věta o zbytku) Nechť a < x a nechť existuje f (n+1)(y)pro všechna y ∈ [a, x]. Nechť dále g je spojitá funkce na [a, x] taková, že existujevlastní nenulová derivace g′ na (a, x). Pak existuje bod c ∈ (a, x) takový, že

f(x)− Tnfa(x) = f (n+1)(c)(x − c)n

n!

g(x)− g(a)

g′(c).

Pozn.: Analogické tvrzení platí i pro x < a.

Důsledky:

1. f(x) − Tnfa(x) = f (n+1)(c) (x−a)n+1

(n+1)! (Lagrangeův tvar zbytku, g(y) =

−(x − y)n+1),

2. f(x)−Tnfa(x) = f (n+1)(c) (x−c)n(x−a)n! (Cauchyho tvar zbytku, g(y) = y).

28

Příklady:

1. expx − Tn exp0(x) = ec xn+1

(n+1)! → 0, n → ∞, ∀x ∈ R.

2. sinx − Tn sin0(x)→ 0, n → ∞, ∀x ∈ R.

3. cosx − Tn cos0(x)→ 0, n → ∞, ∀x ∈ R.

4. log x − Tn log1(x)→ 0, n → ∞, ∀x ∈ (0, 2].

5. f(x) = exp(− 1x2 ), x 6= 0, f(0) = 0. Pak f (n)(0) = 0 ∀n ∈ N, tedy Tnf0 = 0

∀n ∈ N. Proto Tnf0(x) 6→ f(x) ∀x 6= 0.

29

M:/vyuka/MA/prednaska MAI1 2013rataj/MA/prednaska_MAI1_2013.pdfVěta 3.8 (O limitě součtu,...

Documents

Transcript of M:/vyuka/MA/prednaska MAI1 2013rataj/MA/prednaska_MAI1_2013.pdfVěta 3.8 (O limitě součtu,...