Mechanika kwantowa a natura świata

Mechanika kwantowa – stosunkowo nowa, bo licząca sobie niespełna sto lat teoria fizyczna, może bardzo dużo powiedzieć nam o naturze otaczającego nas świata, ocierając się czasem o całkowicie nie ścisłe dziedziny, takie jak filozofia. Zanim jednak przejdziemy do tych fizyczno-filozoficznych zagadnień, zobaczymy jak narodziła się mechanika kwantowa i jakie są podstawy jej formalizmu matematycznego. Teoria kwantów była dość sporym zaskoczeniem dla fizyków i naukowców w ogóle. Pod koniec XIX wieku panowało powszechne przekonanie, że fizyka nie ma przyszłości. Wydawało się, że opisuje ona świat w sposób kompletny, i że nic nowego w tej dziedzinie nie można już odkryć. Pozostawało jednak jeszcze kilka problemów do rozwiązania: min. kwestia dużej rozbieżności między przewidywaniami teoretycznymi, a wynikami pomiarów rozkładu promieniowania ciała doskonale czarnego (nazywana „katastrofą” w nadfiolecie), czy wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego. Planck i Einstein rozwiązując powyższe zagadki stworzyli podwaliny mechaniki kwantowej, której matematyczny formalizm był rozwijany następnie min. przez Schrödingera i Diraca (uhonorowanych w 1933 roku Nagrodą Nobla za „odkrycie nowych, płodnych aspektów teorii atomów i ich zastosowanie”. W 1935 roku trójka fizyków: Einstein, Podolsky i Rosen w swojej pracy zatytułowanej „Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?” zadała pytanie o kompletność mechaniki kwantowej, jako teorii opisującej fizyczną rzeczywistość. Paradoks EPR w skrócie przedstawia się następująco: wynik pomiaru na jednej ze splątanych cząstek natychmiast określa również wynik pomiaru na cząstce drugiej, dowolnie oddalonej. Samo splątanie to stan, w którem obie cząstki mają jakąś dobrze określoną właściwość (np. wiemy, że ich spiny są przeciwnie skierowane), ale nie potrafimy nic konkretnego powiedzieć o danej właściwości każdej z tych cząstek z osobna. Mamy więc do czynienia z - jak to Einstein określił – „upiornym oddziaływaniem na odległość”. Informacja o stanie drugiej, niemierzonej cząstki jest bowiem dostępna natychmiast, przemieszcza się szybciej niż światło… (Na marginesie – nie jest to wcale informacja, bo wyniki pomiarów są całkowicie przypadkowe). Einstein podejrzewał, że musza istnieć jakieś niedostępne dla obserwatora – a zatem ukryte zmienne, które przed pomiarem determinują wynik. Cała sprawa wzbudziła wiele kontrowersji (kłótnia Einsteina z Bohrem), pojawili się też fizycy, którzy twierdzili, że natura świata wcale nie jest taka, jak nam się wydaje. Brak jest więc lokalności (czyli wyniki eksperymentu mogą zależeć też od tego, co dzieje się w „zupełnie innym miejscu” – urządzeniu pomiarowym) i realizmu (realizm zakłada, że wielkości fizyczne istnieją także, gdy ich nie mierzymy). Podstawowymi pojęciami aparatu matematycznego mechaniki kwantowej są wektor stanu (ozn.

) opisujący stan danego obiektu mikroskopowego oraz amplituda prawdopodobieństwa (ozn. ) – czyli iloczyn skalarny dwóch wektorów stanu odpowiadający przejściu obiektu ze stanu do stanu . Iloczyn skalarny to liczba zespolona (mechanika kwantowa używa zespolonych przestrzeni liniowych, zatem współrzędne wektorów, a co za tym idzie również iloczyny skalarne są liczbami zespolonymi). Dla równych sobie wektorów ich iloczyn skalarny - delta Kroneckera , dla wektorów ortogonalnych . Kwadrat modułu amplitudy prawdopodobieństwa to prawdopodobieństwo przejścia cząstki z jednego stanu do drugiego.

Dla całej wiązki światła jej polaryzacja to kąt nachylenia płaszczyzny, na której oscyluje pole elektryczne. Dla pojedynczego fotonu należy przyjąć, że jest on „mieszaniną” dwóch ortogonalnych polaryzacji – poziomej oraz – pionowej z odpowiednimi amplitudami prawdopodobieństwa:

i , jeśli to żądana polaryzacja. Możemy np. rozpatrywać foton o polaryzacji 45° - przejdzie

on z prawdopodobieństwem przez polaryzator ustawiony tak, by przepuszczał fotony

spolaryzowane pionowo. Natomiast foton o polaryzacji poziomej na pewno nie przejdzie przez taki polaryzator – pod modułem pojawia się delta Kroneckera, która dla stanów ortogonalnych jest równa 0.

Formalizm mechaniki kwantowej przewiduje istnienie stanu dwóch cząstek, w którym jako praz mają one dobrze zdefiniowane właściwości, ale jako osobne obiekty już nie. Matematycznym wyrazem

tego stwierdzenia jest fakt, że stan jest stanem poprawnym gdyż iloczyn

to wciąż prawidłowa amplituda prawdopodobieństwa. Jednocześnie nie można stanu rozpisać na stany cząstek składowych, bo układ równań służący do wyznaczenia odpowiednich amplitud dla poszczególnych cząstek jest sprzeczny.

Teraz, znając już podstawy matematycznego aparatu mechaniki kwantowej chcemy się dowiedzieć czy EPR mieli rację i czy świat działa tak, jak podpowiada nam intuicja. W tym celu budujemy model matematyczny spełniający nasze założenia wolnej woli obserwatorów, lokalności oraz realizmu: mamy źródło emitujące parę cząstek w przeciwnych kierunkach. Po dwóch stronach źródła umieszczamy detektory A i B mogące dowolnie wybraną obserwablę (wielkość fizyczną), odpowiednio A lub A’ oraz B lub B’. Pary obserwabli nie komutują ze sobą. Wynik pomiaru dla i-tej emisji dla detektora A oznaczmy jako , gdzie to wybrana obserwabla. Zachowana jest lokalność bo wynik zależy jedynie od wybranej w urządzeniu pomiarowym obserwabli. Funkcja korelacji to średnia

wartość iloczynów wyników z dwóch urządzeń w ciągu emisji: .

Wyrażenie spełnia nierówność i jest wyrazem realizmu w naszym modelu – mimo, iż w jednym eksperymencie nie możemy zmierzyć wszystkich obserwabli, to zakładamy, że one istnieją.

Układ doświadczalny stanowiący fizyczną realizację modelu to generator par splątanych fotonów (laser o długości fali 401,5 nm, polaryzator oraz kryształ nieliniowy BBO, w którym jeden foton „pęka” na dwa fotony światła o dwukrotnie większej długości fali), dwa polaryzatory oraz detektor pojedynczych fotonów zliczający koincydencje – czyli jednoczesne zarejestrowanie fotonu na 1. i 2. wejściu.

Stan pary fotonów opuszczających kryształ BBO jest stanem splątanym:

. Oba fotony mogą mieć polaryzację pionową lub z równym

prawdopodobieństwem poziomą. Wykorzystując poznany uprzednio formalizm mechaniki kwantowej możemy teoretycznie wyznaczyć prawdopodobieństwo koincydencji zliczeń fotonów na obu wejściach przy danym ustawieniu polaryzatorów (dwa plusy oznaczają dwa „kliknięcia” detektora, a to rozumieć należy w ten sposób, że oba fotony ze splątanej pary przyszły by przez odpowiednio ustawione polaryzatory i wpadły by do detektora). Zmiany ustawień polaryzatorów przed detektorem pozawalają uzyskać ekwiwalent zmiany obserwabli mierzonej w danej stacji pomiarowej.

Dla kwantowego układu doświadczalnego możemy zdefiniować kwantowo-mechaniczną funkcję korelacji wyrażaną wzorem:

który jest tożsamy z klasyczną funkcją korelacji, czyli tak naprawdę zwraca wartość średnią wyniku pomiaru przy wyborze danych obserwabli, przy założeniu, że wynik może mieć wartość . Po obliczeniu wartości poszczególnych funkcji korelacji można sprawdzić, jaką wartość ma wyrażenie , które przy spełnionych złożeniach realizmu, lokalności i wolnej woli powinno spełniać nierówność . Okazuje się, że w naszym przypadku , zatem nierówność została złamana! Można więc uważać, że kwantowy układ doświadczalny nie spełnia założeń wolnej woli obserwatorów, realizmu i lokalności lub tylko wybranych z nich, oraz że nie istnieją ukryte zmienne

determinujące wynik przed pomiarem. (W wyidealizowanym przypadku , a nasz błąd wynika z użycia przybliżonych wartości prawdopodobieństw. Fizyczne układy doświadczalne są jeszcze mniej dokładne – np. certyfikat zestawu firmy qutools do demonstracji splątania podaje wartość

.) Na zakończenie warto wspomnieć, że łamanie nierówności Bella przeprowadziliśmy bez wprowadzania fazy , a zatem jest to nieskomplikowana i niewykorzystująca dodatkowych interakcji obserwatora z układem metoda. Zauważmy ponadto, że łamanie nierówności zachodzi jedynie dla wybranych ustawień polaryzatorów – to przejaw wolnej woli (obserwator może wybrać właśnie takie ustawienia), czy wręcz przeciwnie – jej braku (obserwator musi wybrać konkretne ustawienia)? Warto również zająć się zadaniem znalezienia systemu matematycznego pozwalającego na bardziej precyzyjną eliminację założeń niespełnianych przez układ kwantowy oraz w którym łamanie nierówności nie będzie zależało od ustawień przyrządów wybranych przez obserwatora (lub użyte zostanie prawdopodobieństwo wyboru danego ustawienia przyrządów)…