Liczby zespolone 1

Liczby zespoloneLiczby zespolone – liczby uzyskane jako rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną od którejwymaga się, aby spełniała warunek . Każda z nich może być zapisana jako , gdzie sąliczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną.Liczby zespolone stanowią ciało, określone są więc dla nich działania dodawania, odejmowania, mnożenia idzielenia. Działania są rozszerzeniem odpowiednich działań w liczbach rzeczywistych.

Postać algebraiczna (kanoniczna)

Liczby zespolone mogą być przedstawione jakowspółrzędne wektora na płaszczyźnie zespolonej

Postać nazywana jest postacią algebraiczną liczbyzespolonej.Występująca tu jednostka urojona spełnia równość

Spotykany czasami, a pochodzący od tej równości zapis jest niepoprawny, gdyż istnieją dwa pierwiastki algebraiczne z liczby

, mianowicie oraz .

Dla liczb zespolonych postaci mamy:• nazywane częścią rzeczywistą,• nazywane częścią urojoną.Przykładowo liczba jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi , a część urojona .Liczby rzeczywiste są utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej .Liczby postaci określa się mianem liczb urojonych.

Liczby zespolone 2

Zapis alternatywnyW zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych itp. zapis może okazać się mylącyz powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery do innych celów, np. chwilowego natężenia prąduelektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie , wktórym to oznacza jednostkę urojoną.

Wykres funkcji

wykonany za pomocą techniki kolorowania dziedziny.Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie

reprezentuje jej moduł.

Równość

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ichczęści rzeczywiste i urojone są sobie równe. Innymi słowy, liczbyzespolone postaci oraz są sobie równe wtedy itylko wtedy, gdy oraz .

Działania

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postacialgebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje nawyrażeniach algebraicznych, przy czym

.Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną dodzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych):

Liczby zespolone 3

Płaszczyzna zespolona

Płaszczyzna zespolona

Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemniejednoznacznie wektory na płaszczyźnie (zob. sekcję formalnakonstrukcja), podobnie jak utożsamia się wektory na prostej zliczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiaćrównież same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się wpoczątku układów współrzędnych).

Każdej więc liczbie zespolonej można przyporządkować wektor i odwrotnie. Działaniadodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:• ,• .Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalnysposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jejautorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyznąArganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.

Moduł

Zauważmy, iż długość wektora jest równa z twierdzenia Pitagorasa . Dla liczby moduł

definiujemy jako . Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartościbezwzględnej liczby rzeczywistej spełniając przy tym definicję normy.

ArgumentNiech oznacza kąt, który wektor tworzy z prostą , oznaczmy go przez . Jest to tzw. argument.Widać, iż i . Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć

tylko jeden moduł.Argument liczby spełniający nierówność (czasami też równoważnie )oznacza się przez i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla . Dla liczbrzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz dla ujemnych.

Liczby zespolone 4

Postać trygonometrycznaLiczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany(argument):

.Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcjitrygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lubgeometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, żepostać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj. oraz są równe, gdy

oraz (istotne tylko dla ).

Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:

.

Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:

,

.

Powyższy wzór posiada dużo przypadków, jednakże w wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcustangens, często nazywany arctan2 lub atan2, który przetwarza je wewnętrznie. Wzór korzystający z funkcji arcuscosinus wymaga mniejszej liczby przypadków:

.

MnożenieWarto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech

Wówczas iloczyn

.Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne otrzymujemy ostatecznie

,co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników orazargument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

Liczby zespolone 5

Mnożenie przez można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt .

Wzór de Moivre'aPotęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartościwyrażenia dla danego wykładnika przy warunku . Mimo że można korzystać z własnościtrójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiejprzeprowadzić w postaci trygonometrycznej.Rozpatrzmy . Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór

.Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu -tej potęgi funkcji i – należy wówczas obliczyć

przy .

Pierwiastkowanie

Wzór de Moivre'a jest prawdziwy również dla liczb wymiernych. Każda liczba zespolona posiada różnych pierwiastków -tego stopnia:

, gdzie oraz .

Postać wykładniczaRozpatrzmy liczbę wyrażając funkcje i za pomocą funkcji wykładniczej (zob.wzory Eulera):

Mamy .

Zatem ostatecznie .Pierwiastki zespolone wyrażają się wówczas wzorem

dla .

SprzężenieNiech . Bardzo ważną operacją jest sprzężenie liczby zespolonej,jest ona najprostsza dla liczby w postaci algebraicznej:

Działanie to powoduje odbicie wektora liczby zespolonej względem osi płaszczyzny zespolonej. Zatem liczbaw postaci trygonometrycznej zachowa moduł, lecz jej argument ulegnie zmianie na lub równoważnie –zmieni on znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu oraz argumentu, ta samaobserwacja dotyczy i jej. Prawdą jest też, że sprzężenie liczby rzeczywistej (liczby zespolonej o zerowej częściurojonej) jest równe tej liczbie.Sprzężenie przeprowadza izomorficznie ciało liczb zespolonych na siebie, jest zatem automorfizmem. Oprócztożsamości jest to jedyny ciągły automorfizm tego ciała, moc zbioru nieciągłych automorfizmów wynosi zaś .Działanie sprzężenia zespolonego jest inwolucją: .

Liczby zespolone 6

Relacja porządkuChoć można sztucznie wprowadzić jakiś porządek liczb zespolonych (np. porządek leksykograficzny), to jednak takarelacja nie została określona i szerzej przyjęta. Nie da się bowiem sformułować jej w taki sposób, aby w zbiorzeliczb zespolonych spełniała aksjomaty ciała uporządkowanego, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Tak więc nieda się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły orazargumenty (główne), gdyż zarówno moduł jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.

PrzykładyPrzedstawmy liczbę (zob. sekcję dot. konstrukcji) w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej(biegunowej) i wykładniczej obliczając za każdym razem jej sprzężenie.Postać algebraiczna:

,.

Obliczamy

,

,

,

,

podobnie

.

Stąd postać trygonometryczna oraz to

,

,zaś wykładnicza:

,

.

Konstrukcje i własności

Konstrukcja HamiltonaNastępująca formalna definicja liczb zespolonych pochodzi od Hamiltona, matematyka irlandzkiego.W iloczynie kartezjańskim wprowadza się działania dodawania i mnożenia:

• ,• ,gdzie .

Tak określona struktura jest ciałem zwanym ciałem liczb zespolonych oznaczanym symbolem (odang. complex – złożony)[1] . Wówczas odpowiada wektorowi .

Liczby zespolone 7

CiałoCiało to struktura algebraiczna z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, która spełnia określoneprawa algebraiczne. Liczby zespolone jako ciało w szczególności mają więc:• element neutralny dodawania („zero”), ,• element neutralny mnożenia („jedynka”), ,• element odwrotny dodawania (element przeciwny) dla każdej liczby zespolonej, dla liczby jest nim

,• element odwrotny mnożenia (odwrotność) dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej, dla liczby jest nim

.

Innymi ciałami są liczby rzeczywiste i liczby wymierne. Utożsamienie każdej liczby rzeczywistej z liczbązespoloną sprawia, że liczby rzeczywiste stają się podciałem .Liczby zespolone mogą być scharakteryzowane również jako domknięcie topologiczne liczb algebraicznych orazjako domknięcie algebraiczne , co opisano dalej.

Reprezentacja macierzowaChociaż niezbyt użyteczne, alternatywne reprezentacje ciała liczb zespolonych mogą dać pewien wgląd w jegonaturę. Jedna ze szczególnie eleganckich reprezentacji przedstawia każdą liczbę zespoloną jako 2×2-macierz owspółczynnikach rzeczywistych, które rozciągają i obracają punkty (wektory) płaszczyzny. Każda taka macierz jestpostaci

,

gdzie . Suma i iloczyn dwóch takich macierzy także ma tę postać, a działanie mnożenia macierzy tegotypu jest przemienne. Każda niezerowa macierz tego typu jest odwracalna, a jej odwrotność także ma tę postać. Stądmacierze tego typu są ciałem izomorficznym z ciałem liczb zespolonych. Każda taka macierz może być zapisanajako

,

co sugeruje, że liczba rzeczywista powinna być utożsamiana z macierzą identycznościową

,

a jednostka urojona z

,

obrotem o w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kwadrat drugiej z macierzy rzeczywiście jestrówny 2×2-macierzy reprezentującej .Kwadrat modułu liczby zespolonej wyrażonej jako macierz jest równy wyznacznikowi tej macierzy.

.

Jeżeli macierz postrzegana jest jako przekształcenie płaszczyzny, to obraca ono punkty o kąt równy argumentowiliczby zespolonej i skaluje o wspólczynnik równy modułowi liczby zespolonej. Sprzężenie liczby zespolonej odpowiada przekształceniu, które obraca o ten sam kąt, co , lecz w przeciwnym kierunku i skaluje w ten samsposób, co ; może to być oddane jako transpozycja macierzy odpowiadającej .

Liczby zespolone 8

Jeżeli elementy macierzy same są liczbami zespolonymi, to powstała w ten sposób algebra może być utożsamiana zkwaternionami. Innymi słowy, ta reprezentacja macierzowa jest sposobem wyrażenia konstrukcji Cayleya-Dicksonaalgebr.Istnieją dwa wektory własne 2×2-macierzy reprezentującej liczbę zespoloną: rzeczona liczba zespolona i jejsprzężenie.

Rzeczywista przestrzeń liniowaCiało jest dwuwymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową. W przeciwieństwie jednak do liczb rzeczywistych,liczby zespolone nie mogą być w żaden sposób uporządkowane liniowo tak, by było to zgodne z działaniamiarytmetycznymi w nich określonymi: nie może być przekształcone w ciało uporządkowane. Ogólniej: żadneciało zawierające pierwiastek z nie może być uporządkowane.W ogólności -liniowe przekształcenia są postaci

gdzie są współczynnikami zespolonymi. Tylko pierwszy wyraz jest -liniowy i tylko on jest holomorficzny,drugi jest różniczkowalny w sensie rzeczywistym, lecz nie spełnia równań Cauchy'ego-Riemanna.Funkcja

odpowiada obrotom złożonym ze skalowaniem (która nie zmienia orientacji), zaś funkcja

odpowiada symetriom złożonym ze skalowaniem (zmienia orientację).

Rozwiązania równań wielomianowych

Pierwiastek wielomianu to liczba zespolona spełniająca . Zaskakującym wynikiem analizyzespolonej jest to, iż wszystkie wielomiany stopnia o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych majądokładnie pierwiastków zespolonych (licząc pierwiastki wielokrotnie zgodnie z ich wielokrotnością). Wynik tenznany jest jako podstawowe twierdzenie algebry i pokazuje, że liczby zespolone są ciałem algebraiczniedomkniętym. Rzeczywiście, są one domknięciem algebraicznym liczb rzeczywistych, jak opisano niżej.

Konstrukcja algebraicznaJedna z możliwych konstrukcji ciała liczb zespolonych polega na rozszerzeniu ciała liczb rzeczywistych opierwiastek wielomianu . Aby skonstruować to rozszerzenie, należy wziąć pierścień wielomianów owspółczynnikach. Wielomian jest nierozkładalny nad , skąd ideał przez niego generowany jest maksymalny, a więc pierścień ilorazowy jest ciałem. Rozszerzenie to zawiera dwa pierwiastkikwadratowe z –1; wybiera się jeden z nich i oznacza symbolem . Zbiór stanowi bazę tego rozszerzeniaciała liczb rzeczywistych. Dokładniej: każdy element tego rozszerzenia można zapisać w postaci

dla pewnych a,b rzeczywistych.

Liczby zespolone 9

Algebraiczna domkniętość

Chociaż dodano wyłącznie pierwiastki , to otrzymane ciało ciało liczb zespolonych jest algebraiczniedomknięte – każdy wielomian o współczynnikach w można rozłożyć na wielomiany liniowe o współczynnikachz . Ponieważ każde ciało ma tylko jedno, co do izomorfizmu, domknięcie algebraiczne, liczby zespolone mogąbyć scharakteryzowane jako domknięcie algebraiczne liczb rzeczywistych.

Charakteryzacja algebraicznaOpisywane rozszerzenie odpowiada dobrze znanej płaszczyźnie zespolonej, lecz fakt ten charakteryzuje je wyłączniealgebraicznie. Ciało jest scharakteryzowane co do izomorfizmu ciał przez następujące trzy własności:• jego charakterystyka wynosi ,• jego stopień przestępności nad ciałem prostym jest mocy continuum,• jest algebraicznie domknięte.Jedną z konsekwencji tej charakteryzacji jest to, że zawiera wiele podciał właściwych izomorficznych z (tosamo jest prawdą dla , które zawiera wiele podciał izomorficznych do siebie). Jak opisano poniżej, aby odróżnićte podciała od samych ciał i wymagane są rozważania topologiczne.

Charakteryzacja topologicznaJak zauważono wyżej, algebraiczna charakteryzacja nie dostarcza pewnych z jego najważniejszych własnościtopologicznych. Własności te są kluczowe podczas studiowania analizy zespolonej, gdzie liczby zespolone badane sąjako ciało topologiczne.Następujące własności charakteryzują jako ciało topologiczne:Wikipedia:Weryfikowalność• jest ciałem,• zawiera podzbiór niezerowych elementów spełniających:

• jest zamknięte ze względu na dodawanie, mnożenie i branie elementów odwrotnych,• jeżeli i są różnymi elementami , to tak , jak i należą do ,• jeżeli jest niepustym podzbiorem , to dla pewnego ,

• ma nietrywialny, będący inwolucją automorfizm , który dla ustalonego spełnia własność, żenależy do dla dowolnego niezerowygo .

Dla danego ciała o tych własnościach można zdefiniować topologię biorąc zbiory

•jako bazę, gdzie przebiega to ciało, a przebiega .Aby przekonać się, że te własności charakteryzują jako ciało topologiczne, należy zauważyć, że

to ciało uporządkowane zupełnie w sensie Dedekinda, które może być w związku z tymutożsamiane z liczbami rzeczywistymi poprzez jednoznacznie wyznaczony izomorfizm ciał. Z ostatniejwłasności łatwo wynika, że grupa Galois nad liczbami rzeczywistymi ma rząd równy dwa, co uzupełniacharakteryzację.Lew Pontriagin pokazał, że jedynymi spójnymi lokalnie zwartymi ciałami topologicznymi są oraz . Fakt tenumożliwia jeszcze jedną charakteryzację jako ciała topologicznego, ponieważ może być odróżnione od poprzez uwagę, iż niezerowe liczby zespolone są spójne w przeciwieństwie do niezerowych liczb rzeczywistych.

Liczby zespolone 10

HistoriaLiczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie

nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go zapomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciegostopnia (tzw. wzory Cardano).Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton, czy Euler (zob. wzór Eulera). Jest tociekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swojegłówne zastosowanie po kilkuset latach od odkrycia. Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru ,z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia, pochodzi od Hamiltona.

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją [2].

ZastosowaniaLiczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny. Analizą euklidesowej przestrzenidwuwymiarowej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analizazespolona.Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w:• wyznaczaniu pierwiastków równań kwadratowych, których wyróżnik jest mniejszy od zera,• teorii fraktali,• analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego.Liczby zespolone można rozumieć m.in. jako szczególny przypadek kwaternionów, oktaw Cayleya, sedenionów.

Zobacz też• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,• liczby całkowite Gaussa,• liczby dualne,• liczby podwójne,• wzór Eulera,• sfera Riemanna (rozszerzona płaszczyzna zespolona),• kwaterniony,• liczby hiperzespolone,• ciało lokalne.

Linki zewnętrzne• Zbiór ćwiczeń z rozwiązaniami + teoria [3]

• Obliczenia na liczbach zespolonych ([[język niemiecki|niem. [4]])]

Przypisy[1] istnieje też nieużywane powszechnie polskie oznaczenie szkolne: [2] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Liczby_zespolone[3] http:/ / wms. mat. agh. edu. pl/ ~zrr/ zespolone/ index. htm[4] http:/ / komplexe-zahlen. de. / content. php?s=rechnereien

Źródła i autorzy artykułu 11

Źródła i autorzy artykułuLiczby zespolone  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21112763  Autorzy: 4C, Abbatini, AdSR, Adam majewski, Aionel, Ajank, And91, Beau, Beaumont, Beno, Bogmis,Chymatioq, CiaPan, D.M. from Ukraine, EMeczKa, Filu, GiM, Googl, Gregul, JDavid, Kakaz, Karol Ossowski, Kbsc, Konradek, Kuki, Kurowski, Kuszi, Lethern, LimoWreck, Lord Ag.Ent,Loxley, LukKot, Lzur, Markotek, MatFizka, Matusz, Merdis, MesserWoland, Michall, Midge, Mik, MonteChristof, Mpfiz, Neo007, Olaf, Olga007, Petryk, Pimke, Pko, Polakko, Romanm,Rosomak, Saf, Sceptyczny, Selena von Eichendorf, Siałababamak, Stepa, Stok, Stotr, Szwejk, Taw, ToAr, ToSter, Turkusowy smok, Urzyfka, WRIM, Webkid, Wp, Ymar, Ziel, Zielu20,conversion script, 88 anonimowych edycji

Źródła, licencje i autorzy grafikPlik:Complex number illustration.svg  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Complex_number_illustration.svg  Licencja: GNU Free Documentation License  Autorzy: Originaluploader was Wolfkeeper at en.wikipediaPlik:Color complex plot.jpg  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Color_complex_plot.jpg  Licencja: Creative Commons Attribution 2.5  Autorzy: Claudio RocchiniPlik:Complex number.svg  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Complex_number.svg  Licencja: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5  Autorzy: user:MesserWolandPlik:Wiki letter w.svg  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Wiki_letter_w.svg  Licencja: GNU Free Documentation License  Autorzy: User:Jarkko Piiroinen

LicencjaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unportedhttp:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/