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LA GEOMETRIA DE LA FORMA

D.I. PABLO H. RAEDER

!A UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Casa aDIJ1a ~ ~-

Dr. Gustavo Adolfo Chapela Castañares Rector General

Dr. Enrique Fernández Fassnacht Secretario General

Unidad Xochimilco

Dr. Avedis Aznavurian Rector de la Unidad Xochimilco

M. en C. Magdalena Fresán Orozco Secretaria de la Unidad Xochimilco

Arq. Raúl Hemández Valdés Director de la División de Ciencias y Artes para el Diseño

Arq. J osé Luis Rojas Arias Secretario Académico de la División de Ciencias y Artes para el Diseño

LA.V. Gonzalo Becerra Prado Jefe del Departamento de Síntesis Creativa

Ma. Teresa Goilia Sott-lo Diseño y Formación

Alfredo Rodríguez Silva Aida Tapia Escobar Cecil ia Huiz Rodríguez Alfonso Machorro Colaboradores

Mari ha López Martíncz Tipografía

Fernando Usó Asesoría y Apoyo en Fotomecánica

Primera edición. 1992 D.R. Universidad Autón oma Metropolitana Unidad Xochimiko Calz. delllueso 1100. Col. Villa Quietud Coyoacán. 04960. México. D.F.

ISBN: 968-840-873 -5

INDICE

INTRODUCCION 7

l. LAS SEMILLAS 9

2. GEOMETRIA DESCRIPTIVA 13 Clasificación de las superficies 14 Poliedros regulares 15 Radiales cónicos 16 Radiales cilíndricos 18 Tangenciales 20 Alabeadas de plano director 22 Alabeadas de cono director 26 Curvas de segundo grado 28 Curvas por revolución 32 Sistemas geométricos utilizados 34

3. LA APLICACION 37

EJERCICIOS 54

BIBLIOGRAFIA 55

3

·· ... el zoólogo y el morfólogo han sido lentos en donde el fisiólogo ha buscado con ahínco la ayuda de las ciencias matemática y física. y la razón para esta diferencia de opinión se encuentra profundamente arraigada en viejas tradi­ciones y en algunas mentes y temperamentos variables del hombre. Tratar al cuerpo viviente como un mecanismo era repugnante y hasta pecaminoso para Pascal. Aún ahora el zoólogo apenas comienza a pensar en definir el lenguaje matemático en formas orgánicas más simples. Cuando se topa con una construcción geométrica sencilla. por ejemplo. un panal. p refiere refe­rirse a un instinto físico o una habilidad o ingenuidad. antes que la operación de ciertas fuerzas físicas o leyes matemáticas. Cuando se ve en una concha de caracol. nautilus o radiolaria alguna semejanza con una espiral o esfera está puesto. según su antigua costumbre, de creer que después de todo son algo más que una espiral o una esfera y que en ese "algo más". se encuentra lo que ni la física puede explicar. En pocas palabras. se niega a comparar lo vivo con lo muerto o aclarar. por medio de la geometría o la mecánica, las cosas que tienen algo que ver con los misterios de la vida".

D'an..)' Thompson , on grou ·th and [orm

5

• Porqué no entender las formas que vemos ~ a diario a nuestro alrededor y que cons­U tantemente se repiten con ligeras varian­tes, como algo lógico y natural, como algo que tiene un origen común más allá de nuestro entender y que las rige; como algo que podemos observar, abstraer y reproducir para nuestro beneficio propio y aprovechamiento colectivo?

Las personas que de alguna forma tienen que ver con la creación, diseño y materialización de formas nuevas que vienen a satisfacer necesi­dades mínimas del hombre, por costumbre, tradición o simple ignorancia, siguen apegados a viejos patrones y cánones formales, sin atre­verse a cuestionar los actuales y a experimen­tar con alternativas.

La búsqueda de soluciones a problemas plan­teados, obteniendo la respuesta directamente de la naturaleza, se ha venido desarrollando a través de los siglos.

En este estudio se pretende mostrar un pano­rama general de las superficies y sus posibili­dades de materialización formal, ampliar las fuentes de inspiración tomando y analizando ejemplos de la naturaleza: concretamente las semillas y sintetizar enseñando muestras de trabajos en los que el desarrollo de la envolvente se obtuvo con base en la geometría descriptiva. Estas muestras pueden servir como fundamen­to sobre el cual smjan nuevas combinaciones formales; asimismo, facilitar al estudiante una herramienta más con la cual: " ... despertar resonancias lógicas y afectivas en el que las contempla, o sea, practicar la estética".*

Leonardo da Vinci y sus máquinas voladoras sentaron un precedente para el diseño de los actuales aviones. El observó, tomó notas y apuntes de todo aquello que podría ser deter­minante para poder volar. Para ello, se basó primordialmente en el vuelo de las aves; en el tipo y características especiales de su estruc­tura ósea; en las cualidades y colocación de las plumas, posición y actitud del ala en los dife­rentes momentos del vuelo; cómo despegan y cómo se posan. Estudió también las áreas de soporte, temperatura ambiente y corrientes de aire.

7

INTRODUCCION El hombre siempre ha buscado obtener de la observación directa de la naturaleza una solu­ción a sus propios problemas y esta búsqueda continúa en todos los campos. Actualmente este tipo de búsqueda se conoce con el nombre de biónica, la cual centra su atención en la íntima relación hombre-naturaleza, ya que observa y analiza la naturaleza para proponer soluciones que satisfagan la problemática material humana.

Esa búsqueda prosigue ahora con diseñadores como Bruno Munari (crecimiento de las plan­tas), Gui Bonsiepe (imparte cursos sobre bió­nica en Brasil), Carmelo Di Bartola (fundador del Centro de Estructuras Naturales, en Milán, Italia) y muchos otros que tratan de encontrar respuestas en la naturaleza.

Dentro del vasto campo de la biónica, el estudio y análisis de las formas naturales tienen gran importancia ya que cualquier objeto de diseño (sea arquitectónico, industrial o gráfico) siem­pre llevará alguna envolvente que lo id en tifiq u e o una estructura interna que lo soporte.

En el presente estudio, el enfoque se centra en el carácter formal de los objetos, específica­mente en las formas de las estructuras que envuelven a las semillas.

Todo el estudio se basa en la geometría descrip­tiva, comprendida como una disciplina orde­nadoray clasificadora de la forma que permite:

a) Fomentar la capacidad de abstracción para poder entender el lenguaje bi y tridimen­sional.

b) Manejar objetos y volúmenes en el espacio, sintetizándolos en una imagen planimétri­ca por medio de representaciones ortogo­nales.

e) Tener la posibilidad de graficar imágenes de los objetos de diseño y obtener la informa­ción necesaria para su posterior materiali­zación y producción, de acuerdo con una metodología adecuada.

*Matila C. Ghyka. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes.

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1 LAS SEMILLAS

e olocar en el suelo húmedo una pequeña semilla y verla crecer hasta convertirse en arbusto o frondoso árbol, es verdade­

ramente mágico. Magia es lo que han [lecho las semillas por la humanidad.

Todas las grandes culturas antiguas han gi­rado alrededor de las semillas. Gracias a éstas pudieron establecerse como pueblos sedenta­rios y florecer como verdaderas civilizaciones en las más variadas regiones del planeta: la cultura del arroz en Asia, del maíz en América. la del trigo en Europa y la del sorgo en Africa.

Muchos de los o~jetos y artefactos más anti­guos. rescatados en excavaciones recientes. se relacionan con la semilla, como son utensilios para cocinarla. molerla o sembrarla.

El hombre siempre ha venerado, respetado y reconocido lo que la semilla significa. La utiliza no sólo como alimento sino también como ritual y símbolo en instrumentos musicales. adornos. en la magia yen diferentes manifesta­ciones artísticas. Produce bebidas como el cho­colate. el anís y el café; extrae el aceite o usa las fibras - algodón- para vestirse. Es tanto el uso que pareciera que la plarúa produce semi­llas para beneficiar sólo al hombre, pero la ver­dad es que lo hace exclusivamente con el fin de reproducirse.

Todas las especies deben multiplicarse; las plantas lo hacen por medio de las semillas. Estas se producen al efectuarse la polinización, misma que fecunda al óvulo en el que comienza a gestarse la semilla portadora de todas las características de la especie original y única capaz de reproducirse.

Para que la polinización se lleve a cabo, la naturaleza se vale de varios elementos como el viento y el agua; pero el más in te re san te son los insectos, que han llegado a un alto grado de especialización para poder satisfacer esa sim­biosis entre planta y animal. El más conocido polinizador es la abeja, ya que al mismo tiempo que poliniza lleva al panal el pólen y néctar que le sirven de alimento a ella y sus crías.

Si bien la polinización ha logrado un asom­broso grado de adaptación a una función espe­cífica, la propia semilla, cuando llega a su madurez, utiliza medios para protegerse y pro­pagarse.

10

El codo de fraile se utiliza como

cascabel en nzas autóctonas

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La higuerilla explota para soltar y lanzar su semilla

El tulipán de la India suelta semillas que planean largas distancias antes de caer al suelo

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1 Geranio o pico de cigüeña j con tirabuzón

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11

La semilla en sí se encuentra casi siempre den­tro de un cofre que la aísla del medio ambiéntey cuenta con mecanismos propios para liberarla y esparcirla lo más lejos posible de la planta madre. Estos mecanismos son muchos y varia­dos. cubriendo aspectos que van desde la ex­pulsión de la semilla. pasando por su distribu­ción y diseminación. hasta la forma en que debe hacer con tacto con la tierra.

Al abrirse el cofre muchas semillas, como el diente de león. cuentan con pequeños "para­caídas con los que el viento las impulsa lejos a muchos metros de la planta original: otras, como el fresno se valen de pequeñas alas que les permiten deslízarse a grandes distancias como si fueran verdaderos ''planeadores".

Otra forma de garantizar su reproducción es elaborar gran cantidad de semillas, acomodán­dolas perfectamente en un mínimo espacio e irlas soltando poco a poco al secarse como en el caso del Tulipán de la India.

El cardo prefiere anclarse al pelo de los anima­les que pasean cerca y así poder alejarse de la planta original.

Otras. como las semillas de la higuerilla, explotan lanzando la semilla a grandes distan­cias. Algunas más, como las del pirúl, son tra­gadas por los pájaros, liberándolas posterior­mente con el excremento, sin dañarlas.

La semilla del cocotero puede flotar meses en el mar hasta llegar a tierra firme y allí poder des­arrollarse.

Hay semillas como la avena silvestre que al caer a tierra "camina" hasta encontrar un sitio apropiado para enterrarse o la del geranio o pico de cigüeña, cuya semilla cuenta en un extremo con una especie de "cola" que co­mienza a retorcer y enrollar como tirabuzón según la temperatura y humedad del medio ambiente, hasta caer sobre la tierra para allí poder autosembrarse con la misma serie de movimientos.

Esta gran variedad de funciones hace que la semilla adquiera distintas formas externas. De allí el interés en utilizarlas como ejemplos en el presente estudio.

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2 GEOMETRIA DESCRIPTIVA

CLASIFICACION DE LAS SUPERFICIES

Superficies Regladas Desarrollables

Alabeadas

Curvas

Poliedros Regulares Tetraedro Cubo (exaedro) Octaedro Dodecaedro Isocaedro

Radiales cónicos Cono

Radiales cilíndricos

Tangenciales

De tres directrices De plano director

De cono director

Segundo grado

Revolución

Varias

Pirámide

Cilindro Prisma

Helicoide desarrollable (convoluta helicoidal)

Hiperboloide elíptico Paraboloide hiperbólico Conoide Helicoides alabeados

Esfera Elipsoide Paraboloide elíptico Hiperboloide de un manto

Toro Escocia

Helicoides curvos Serpentines

Combinación entre todas las superficies anteriores

Para efecto del estudio, vamos a dividir en dos partes las superficies de la clasificación anterior.

Superficies desarrollables. Son aquellas su­perficies que se pueden reproducir fielmente por medio de cortes y dobleces a partir de un plano (hoja de papel, lámina o madera).

14

Superficies no desarrollables. Como su nom­bre lo indica, no se pueden reproducir. Para hacerlo se realizan aproximaciones; nunca se obtiene un resultado fiel al cien por ciento en la lámina de la cual provienen.

SUPERFICIES DESARROLLABLES

POLIEDROS REGULARES O PLATONICOS

Tetraedro Estos poliedros se generan a partir de los polí­gonos regulares: el triángulo es el más simple. Al unir triángulos entre sí llegamos a forma r una pirámide de base triangular: el cuarto triángulo es la base para obtener un tetraedro.

Octaedro Al formar con cuatro triángulos una pirámide, no podemos cerrar la base con un cuadrado regular ya que se anularía la primera caracte­rística de los sólidos platónicos. Todas las caras son idénticas: por lo tanto. sustituimos la base cuadrada por otra pirámide invertida, para obtener un octaedro.

Icosaedro Con cinco triángulos equiláteros formamos una pirámide de base pentagonal. Pero ahora no podremos colocarle una pirámide pentago­nal invertida, ya que obtendríamos vértices pentagonales y otros cuadrangulares. Rompe­ríamos la segunda regla de los sólidos platóni­cos. Todos los vertices son idénticos. Separa­mos las pirámides y colocamos entre ellas una faja de 10 triángulos equiláteros y el resultado final es un icosaedro.

Con seis triángulos equilá teros formamos un exágono que es, a su vez, un polígono. pero con el cual no podemos armar un poliedro regular.

Cubo El siguiente polígono. después del triángulo, es el cuadrado. Al unir seis de ellos formamos un exaedro o cubo.

Dodecaedro El último polígono con el cual podemos generar un poliedro regular es el pentágono. Al unir doce de estos polígonos obtenemos al dode­caedro.

Gran cantidad de formas naturales basan sus estructuras en estos poliedros regulares. Uno de los ejemplos preferidos son los granos de polen.

15

RADIALES CONICOS

Cono

En la montea del cono trazamos la espiral de Arquímedes. Dividimos la base en 12 partes iguales y también la generatriz 1-V, por donde trazamos círculos concéntricos.

v'

Pirámide oblicua de la base pentagonal

v'

Desarrollo

Con la verdadera magnitud de la generatriz del cono (VM) trazamos un círculo, intersectán­dolo 24 veces con la medida 1-2 del círculo que es la base del cono. La VM dividida en 12 es el radio de nuestro desarrollo. Por cada división trazamos círculos concéntricos ( 12). Donde intersecten con su correspondiente generatriz obtenemos un punto para el paso y el trazo de las dos espirales, límite de nuestro desarrollo.

Montea

La pirámide recta es una variante del cono recto por lo que escogimos esta oblicua para ejemplificar este tipo de desarrollo. Básica­mente es un desarrollo por triangulación, igual

que en el caso anterior. Aquí basta con tener las verdaderas magnitudes de las

aristas de cada uno de los triángu­los, para sumarlos en el orden

dado en la montea, a la hora de trazar el desarrollo.

Las verdaderas magnitudes se obtuvieron por el método de giros.

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Al comenzar a trazar el desarrollo, escogemos la generatriz más larga. en este caso la V-4.·Esto se hace para controlar la dirección y el sen ti do que debe tomar el desarrollo. Vamos trazando triángulos hasta terminar con la generatriz V-1 en ambos extremos del desarrollo.

Las generatrices se marcaron con unas curvas suaves para que al armar el desarrollo den un efecto especial requerido.

Al obtener el desarrollo de la pirámide oblícua, mencionamos que las verdaderas magnitudes las obtuvimos por el método de giros. Este método consiste en colocar una recta 4-V pa­ralela a la línea de tierra, o sea perpendicular a las líneas de proyección de la montea, por medio del giro de uno de los puntos.

En este caso el punto 4 pasa girado a ser (4). Los puntos V y V permanecen en su lugar de ori­gen. En el plano vertical el punto 4' se desplaza horizontalmente hasta la referencia vertical de (4) obteniendo (4'). Su unión con V nos da la verdadera magnitud \11\11 buscada.

Obsérvese al cono, de allí surge este método. El punto fijo es el vértice. El móvil: un punto en la base.

Desarrollo pirámide

Giro

V

17

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RADIALES CILINDRICOS

Cilindro recto (por espiral) '1

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Prisma

Desarrollo por espiral

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ver montea

Cilindro (montea) Cilindro es la sucesión continua de generatri-ces que giran en forma equidistante a un eje. La planta de la montea e~ una circunferencia di vi-di da en 12 partes iguales (generatrices a, b. c ... k. 1). En la vista frontal, la altura la dividimos .. -. tamb1en en 12 partes 1guales. La mterseccwn referencia de generatriz y división horizontal genera los puntos de la espiral.

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1

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k _, J

Cuatro ejemplos en los cuales mantuvimos el desarrollo con las mismas dimensiones; se altera únicamente

Prisma recto base cuadrada Prisma bases giradas

18

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d' e' i:>' a

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Desarrollo (trazo) Prolongamos las divisiones horizontales ( 1, 2, 3, 4 .. . 1 O, 11, 12, 1 ). Sobre la última división trazamos con la medida 'X" (ver montea), 24 puntos. (a, l, k, j, i .. . e', b ', a") .

Sobre estos contruimos rectas verticales que intersecten la horizontal correspondiente. a saber a, a' y a" ---+ hor 1 ver desarrollo

lyl" ---thor 12 k y k' ---+ hor 11 j y j' ---+ hor 10 i e i' ---+ hor 9 h y h' ---+ hor 8 g y g· ---+ hor 7 fyf ---+hor6 e y e' ---+ hor 5 d y d' ---+ hor 4 e y e' ---+ hor 3 by b' ---+ hor 2

Al unir estos puntos por medio de una recta obtendremos lo que será, al armar el cilindro, la espiral indicada en la montea.

la colocación y forma de las bases o el doblez que marca cada una de las aristas.

Prisma tapa circular Prisma bases giradas aristas curvas

19

TANGENC~ES 7

~ Tangenciales Convoluta helicoidal

4

Definición. Recta tangente a una helicoide regular tra­zada sobre un cilindro. Montea. Siguiendo la dirección de un 12° de la hélice

sobre el c ilindro y hasta que intersecte la recta sobre la base del cilindro obtenemos la VM (verdadera

magnitud) de la recta tangente. Esta recta es la que se desplaza a lo largo de la

helicoide: reduce un doceavo en cada segmento hasta lle ­

gar a O.

En la proyección horizontal de la recta tangente en VM, efec­tuamos la división en doce par­tes iguales.

Dividimos el círculo también en doce partes trazando una tangente a cada uno de los puntos.

La tangente al punto 1 mide 12/ 12. sobre el punto 2 mide 11/12, sobre el punto 3 mide 10/12. así sucesi­vamente hasta llegar al punto 1 con 0/1 2.

Unimos los puntos extremos obtenidos, terminando así la espiral.

20

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Convoluta helicoidal (desarrollo)

l. Para obtener "R" (ver montea página ante­rior), trazamos una paralela a la V.M. tangente al cilindro en el que se apoyalaconvoluta, hasta

in tersectar el eje del mismo cilindro. A par­tir del punto obtenido construimos una

perpendicular que a su vez intersecte

~-------

la tapa del cilindro. Del punto último de intersección al punto de tan­gencia de la paralela a V.M. obte­nemos la medida "R". Con esa medida trazamos un

círculo.

2. Al círculo lo intersectamos 12 veces con la medida "z" (ver página anterior).

----~---VM· - _3/l?:_-----

3. Sobre los primeros 12 puntos construimos rec­tas tangentes comenzan­do con la medida en V.M. (verdadera magnitud).

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=t.a CU!IIé> :se, adh"'re a la héhC.. del cilindro

21

4. La recta en V.M. la di­vidimos en 12 partes (ver página anterior, la recta

ya tuvimos que dividir­la en 12 partes. Podemos

dividir proyectando los puntos a partir de la recta

1 __, 1 en la vista horizontal de la montea).

5. A la segunda tangente le res­tamos 11 12' de la longitud total, de

la V.M. A la tercera le tenemos que restar 2/12' de la longitud total; hasta

llegar al punto 12 cuya longitud es de sólo 1/ 12' de la longitud total. El segundo punto

1 mide O.

6. Los puntos externos se unen entre sí para obtener la espiral.

7. Este plano, recortado, lo adherimos al cilin­dro a lo largo de la espiral por la parte circular obtenida con el radio "R".

ALABEADAS DE PLANO DIRECTOR

Paraboloide hiperbólico (generación) Podemos definirla como una recta desplazán­dose (planos paralelos) a lo largo de· un eje (A..._.B) cambiando su dirección.

Paraboloide hiperbólico (montea) Comenzamos trazando un cuadrado (puede ser un triángulo) con las dimensiones requeridas .

. Dividimos las aristas en partes iguales, en este caso cuatro, y obtenemos cinco rectas paralelas entre sí y a su vez perpendiculares al eje a--1b.

Trazamos paralelas al eje para obtener una retícula de cuadrados. A estos cuadrados los dividimos por medio de una diagonal (vertical) para obtener triángulos y poder trazar el de-sarrollo. ·

Para el plano vertical, determinamos la altura "h" y dividimos la rectal en cuatro partes igua­les (se pueden referir del plano horizontal).

Por su inclinación notamos que tenemos úni­camente tres rectas diferentes, a saber:

la l mide lo mismo que la 5 la 2 mide lo mismo que la 4 y la 3.

22

Paraboloide hiperbólico (desarrollo)

Método por triangulación Este método consiste en triangular una super­ficie para obtener posteriormente la dimensión de las aristas de cada uno de los triángulos y reproducirlos a sus dimensiones reales.

Como se puede observar, en la montea la figura es totalmente simétrica; por lo tanto, el número de aristas diferentes es muy reducido.

Su verdadera magnitud se obtiene por giros (ver recuadro de giro en la página 17).

La recta 1 se localiza en toda la parte externa del paraboloide (ver montea) y equivale a la recta 5. Su VM la obtenemos por giro.

La recta 2, paralela a la 1, equivale a la recta 4 y su VM también se obtiene por giro.

La recta 3 también es paralela a la 1 y a la 2. Junto con el eje a~b divide al cuadrado en cuatro partes siendo cuadrados más pequeños. Aimrece ya en VM en el plano horizontal.

Las diagonales

Las rectas 6 y 8, como son rectas de punta, ya están en VM en la montea en el plano horizon­tal.

Las rectas 7, 9, 10 son las últimas diagonales que debemos girar para obtener su VM.

Una vez obtenidas todas las verdaderas magni­tudes (VM) se elabora la tablita que se ve a la derecha en que aparecen todas las medidas colocadas en orden. De allí tomamos las dimen­siones en el compás para trazar el desarrollo que tenemos a la derecha:

Consta de tres partes diferentes, mis­mas que debemos de trazar invertidas, para posteriormente recortar y armar, doblando por las líneas, para obtener el volumen del paraboloide hiperbólico.

23

V.M.1

YM 2.

VM3 VM 6 y 8

VM.7 _______ VM.'3 1: ·<

________ V M.10

1

Conoide (generación)

Se define como una recta que se desplaza sobre planos paralelos: siempre tangente a una recta (eje A-+Bl y a un círculo.

Conoide (montea) A la derecha tenemos la montea con la repre­sentación de la conoide.

Los elementos primordiales son: el eje a ~ by el círculo. A primera vista parece que se trata de un cono. pero al observarlo más de cerca vemos que lo que aparenta ser el vértice es en realidad un eje. perpendicular al cual se desplazan los planos paralelos conteniendo a las genera­trices.

En el presente ejemplo. el eje lo dividimos en ocho partes iguales, pudiéndose dividir el cír­culo en partes iguales.

Todas las generatrices aparecen en el plano vertical en su verdadera magnitud. De allí las tomaremos para trazar el desarrollo.

El desarrollo consta de cuatro partes idénticas, de las cuales dos están invertidas.

24

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Conoide (desarrollo) Método: el ángulo recto entre dos rectas se mantiene si una de estas se encuentra en la montea en verdadera magnitud.

Si observamos la montea, notamos que en la planta el eje se encuentra en verdadera magni­tud y las generatrices forman un ángulo recto con él.

Este ángulo recto es el que conservaremos al trazar el desarrollo.

Comenzamos trazando la recta e~ l . Sobre el punto '"C" levantamos una perpendicular con la medida del eje C ~D. Haciendo centro en " 1" trazo un arco con la medida 1 ~2 del círculo. Haciendo centro en "D" trazo otro arco con la medida D---*2; donde ambos arcos se intersec­ten localizamos el punto "2".

Desde la recta D-2, sobre el punto ··o", levan­tamos una perpendicular con la medida del eje D~E. Continuamos el mismo procedimiento hasta llegar a la última generatriz: A-9.

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25

1

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ALABEADAS DE CONO DIRECTOR

Helicoides alabeados

Helicoide oblicuo (generación) Esta superficie la obtenemos al desplazar una recta alrededor de un eje (X-Z).

El ángulo que forma la recta con el eje es menor de 90°. Si el ángulo es de 90° se trata de un helicoide recto.

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26

Helicoide oblicuo (desarrollo) Utilizando el mismo método que empleamos para trazar el desarrollo en la conoide, comen­zamos con la recta A---1l. Sobre el punto "A" construimos una recta cuya dimensión sea a'­b' y su ángulo sea igual a" a". A continuación trazamos un arco haciendo centro en el punto "B" con la medida A---'1 l.

Haciendo centro en el punto "1" con la medida en verdadera magnitud de 1 ---"2 trazamos un

1 segundo arco hasta que intersecte el arco ante­

Helicoide oblicuo (montea) El eje X ___,z lo dividimos en 24 partes iguales, lo mismo que el círculo en la planta. Estos últi­mos puntos obtenidos los proyectamos al plano vertical.

Trazamos la primera generatriz (A___, 1) con la inclinación requerida. La segunda (B-2) parte del punto "b" y unimos con la proyección del punto "2", pero restando la distancia a'___,b' de la altura del punto " 1". En esta forma conti­nuamos hasta terminar con el recorrido de los 24 puntos sobre el eje.

27

rior, obteniendo así el punto "2".

Este trapecio lo repetimos otras 23 veces para completar un ciclo y terminar nuevamente con la medida A---" l.

1

10

CURVAS DE SEGUNDO GRADO

Esfera (generación) Generamos la esfera por la revoluci<?n (rota­ción} de una línea curva. contenida en un plano, alrededor d€- un eje recto.

En este caso el eje A~B.

-

28

Esfera (montea) Para comenzar trazamos dos circunferencias del tamaño deseado. Una en el plano vertical (vista frontal) y la segunda en el plano horizon­tal (vista superior de la esfera).

Ambas circunferencias las dividimos en 12 partes iguales. Turnando como referencia estas divisiones, trazamos cinco horizontales en el plano vertical, dividiendo la esfera por el mismo número de cortes horizontales. Estos cortes aparecerán en el plano horizontal como círcu­los concéntricos.

Al círculo en el plano horizontal lo dividimos por cortes a 30° y 60°. Luego proyectamos las intersecciones con las circunferencias con­céntricas al plano vertical al corte correspon­diente y obtenemos así los puntos para el trazo de las elipses en la proyección vertical.

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Esfera (desarrollo)

Método de gajos Este método lo utilizamos generalmente cuan­do tenemos un círculo en la planta de Úna mon­tea representando algún objeto.

Para trazar el desarrollo comenzamos con la medida "X" (ecuador). misma que marcamos con el compás sobre una recta horizontal.

Cada una de estas doce partes las dividimos a la mitad y sobre cada punto obtenido trazamos una vertical, prolongándola también hacia abajo.

Con la misma medida "X" localizamos tres puntos sobre la vertical hacia arriba dei ecua­dor y otros tres hacia abajo.

El punto superior de cada vertical representa al punto "A" de la montea y el inferior al punto "B''.

29

El primer y segundo puntos obtenidos a partir del ecuador representan la posición de los tró­picos y polos respectivamente.

Sobre las horizontales a la altura de los trópicos y a partir de la vertical centramos la medida "Y'.

Sobre las horizontales a la altura de los polos y a partir de la vertical centramos la medida "Z".

Unimos los puntos, obtenidos a partir de cada vertical, entre sí desde el vértice "A" hasta el vértice "B".

Así obtenemos los doce gajos para poder cons­truir el volumen.

Los gajos conviene trazarlos independiente­mente, para facilitar el armado.

Hiperboloide de un manto (generación) Esta superficie se genera por una hipérbola que gira sobre su eje transversal A~B.

,""'---eje

fúperl:da ~ (~oera+riz)

También se puede generar al rotar una recta inclinada alrededor del eje A~B.

30

Hiperboloide de un manto (montea) Para comenzar trazamos un círculo en el plano horizontal (círculo 1 l y lo dividimos en 24 par­tes iguales. Este círculo, en el plano vertical, aparece como la base y la tapa del volumen.

El eje A~B corresponde al centro del círculo inicial y a su proyección vertical a'~b'.

Comenzamos trazando la generatriz 1~10, en ambas proyecciones, haciendo notar que el nú­mero 1 corresponde a la base y el número 1 O a la tapa.

Continuamos con los puntos 2 (base) y 11 (tapa). Los dos siguientes: 3 (base) 12 (tapa). Así sucesivamente hasta terminar el ciclo con los dos últimos puntos; 24 (base) y 9 (tapa).

.. Hiperboloide de un manto (desarrollo)

Método donde utilizamos secciones de una o más superficies desarrollables. En este caso particular estamos utilizando la parte inferior de tres conos truncados para armar la mitad del volumen. La otra mitad es idéntica.

Una vez trazada la montea de la superficie, dividimos su proyección frontal en seis partes iguales y obtenemos tres secciones superiores limitadas por los círculos 1, 2, 3 y 4. (La parte inferior es idéntica).

Al unir el punto de intersección del círculo 1 (tapa) con el contorno de la hiperboloide y el punto de intersección del círculo 2 con el con­torno, obtenemos la recta marcada en la mon­tea como "base cono 1 ". Esta recta la prolon­gamos hasta intersectar el eje a'-tb' y obte­nemos el punto "V1".

31

Con la medida V1-tcírculo 1 trazamos una cir­cunferencia, misma que marcamos 24 veces con la medida l-t2 del círculo 1 del plano hori­zontal en la montea. Unimos el centro con los dos puntos 1 obtenidos. Tomamos en el com­pás la medida V1 --'; círculo 2 (plano vertical) y haciendo centro en el V1 del desarrollo traza­mos un segundo círculo concéntrico al pri­mero. completando así la pieza l.

Para la pieza 2 utilizamos el radio exterior de V2--';círculo 2 y radio interiorV2--';círculo 3 en el plano horizontal.

Para la pieza 3 radio exterior V3~círculo 3 radio interior v3--';CÍrculo 4

De las tres piezas utilizamos dos idénticas para poder armar la superficie completa.

CURVAS POR REVOLUCION

Toro (generación) Se genera por la rotación de un plano circular alrededor de un eje A----tB.

En este caso, el círculo es el generador de la superficie.

32

Toro (montea) Trazamos en la planta de la montea dos círcu­los concéntricos que representan el paso del círculo generador alrededor del eje.

La mitad entre los dos círculos proyectado a una recta horizontal (ecuador). sitúa a los pun­tos "Z". Estos puntos son el centro de los dos círculos cuyo diámetro es la diferencia de radios entre el círculo menor y mayor de la planta.

Estos círculos limitan la proyección frontal de la superficie. Los mismos se dividen en ocho partes iguales (puntos e', d' , e', f' y g'} y se proyec­tan al plano horizontal (e, d , e, fy g}. Al girarlos haciendo centro en ab, intersectando las doce divisiones sobre los círculos iniciales, obtene­mos las medidas para el desarrollo.

Toro (desarrollo)

Método de gajos Al igual que en la esfera, comenzamos·con una recta (en este caso vertical) sobre la cual con la medida "O" del ecuador trazamos doce partes iguales que marcarán la base para cada uno de los gajos. Sólo mostramos diez en el desarrollo de la derecha.

A la mitad de cada una de estas divisiones tra­zamos rectas horizontales. Tanto a la izquierda como a la derecha, dividimos estas horizonta­les en cuatro con la medida 'X" (ver plano verti­cal en la montea).

Trazamos ahora rectas verticales por los pun­tos obtenidos.

Sobre las dos rectas verticales adyacentes a la del ecuador, centramos respectivamente en cada punto obtenido la medida "p".

Seguimos haciendo lo mismo con las tres rec­tas verticales a la derecha y con las tres a la izquierda con las medidas "q", "r" y "s'', res­pectivamente.

Unimos con una línea todos los puntos obteni­dos a cada lado de las horizontales para obtener el desarrollo de cada uno de los gajos de la toro.

Al igual que en la esfera, recomendamos trazar cada gajo por separado.

Para armar la superficie conviene unir los pun­tos "e" de cada gajo formado y así formar aros. Estos aros los unimos posteriormente para obtener la superficie continua.

-1-~~ 33

SISTEMAS GEOMETRICOS UTILIZADOS

En el capítulo que concluye utilizamos exclu­sivamente el sistema europeo o sistema de pro­yecciones.

En el siguiente capítulo La aplicación utiliza­remos el sistema americano. caja de cristal o método directo en la sección de primer acer­camiento formal y el sistema europeo lo usa­remos en las secciones de montea y desarrollo.

El funcionamiento es parecido, lo que cambia es que el sistema europeo está dentro. del pri­mer cuadrante y el americano en el tercero.

4' ruadrarri:e

34

Para comparar mostramos la montea del mismo objeto en los dos sistemas.

SISTEMA El!ROPEO V

..Jano ,...'1'\?rtical

plano hai>::onla 1

plano fmnt.al

1 " \

\

' ,-

\

\ . \

3 LA APLICACION

CASTAÑA

Primer acercamiento formal El primer paso para representar algún objeto geométricamente y después poderlo reproducir en la tercera dimensión, es conocerlo más a fondo.

Por eso incluimos esta parte antes de la geome­trización difinitiva. Casi siempre aparece un tercer elemento además de la montea y primera abstracción geometrizada, en este caso de la castaña.

Esta montea aparece en el sistema geométrico americano (tercer cuadrante).

A planta B. alzado C. abstracción D. fruto sin la cáscara de protección.

38

D

( \ \ e

.. p;¡ .. 1 6 1.b f b

Geometría de la castaña

Ejemplo 1

1 b co~=. en crns ese. 1: 1..

En este caso, la castaña se conforma de dos cuartos de esfera unidos por medio cilindro; la pequena base es también cilíndrica, rematan­do con una pequeña pirámide, (x-x') como pico.

Para los cilindros el desarrollo lo obtenemos multiplicando el radio porn, según la fórmula para obtener el perímetro de un círculo; p = 2 n r

Los gajos los trazamos como en la esfera (ver esfera página 29). En el presente caso emplea­mos únicamente tres cortes circulares parale­los para el desarrollo (0, 1, 3, 5 y 2, 4, 6}.

Este ejemplo nos muestra la utilización de de­sarrollos tanto de superficies desarrollables como no desarrollables.

Las dimensiones de la tapa inferior del volu­men la obtenemos del contorno de la planta en la montea.

v,'

X

39

Castaña

Ejemplo 2 Parecido al anterior, consta de media esfera y un cono truncado como base; Jo original radi­ca en haber integrado el pico en ambos desa­rrollos.

La media esfera se mantiene igual que el de­sarrollo original hasta el medio círculo a-b . A partir de allí se alarga y deforma para alcanzar el punto V.

La base la forma un cono truncado cuyo vértice es el punto ''X" (en la montea se localiza un poco más abajo de la planta). La deformación para el pico la obtenemos con la verdadera magnitud de MV localizada con los puntos M' 1 -V 1 en la montea. Esta dimensión la medimos a partir del punto M en el desarrollo y obtenemos el punto V.

La tapa en la base es el círculo punteado en la planta de la montea.

Desarrollos

A

\ \ }\

/1 j

40

Castaña

Ejemplo 3 Aquí un ejemplo más sencillo. Una media esfera deformada en los dos polos.

En el punto "O" se decapitó la media esfera. El corte se cubrió con un círculo del mismo tamaño.

En ei otro polo el punto "V' se prolongó para formar un vértice que es, a la vez, el pico de la castaña.

Todo el desarrollo se logra con gajos idénticos, con excepción del círculo que rebana la media esfera y la tapa en la base cuya forma es idén­tica al contorno de la planta en la montea.

Castaña

Ejemplo 4 Por último, un ejemplo en el cual la castaña permanece como una forma muy simplificada, totalmente abstracta y conformada con trazos geométricos básicos.

Consta de un cuarto de esfera formada por gajos idénticos en el punto superior O.

La parte frontal o pico (punto V) la componen dos conos: Uno truncado que se une al cuarto de esfera y otro completo cuyo vértice V da forma al pico de la castaña.

La tapa en la base es el contorno de la planta en la montea.

/ 1

41

TOMATILLO

/

""r ·

4 '' ,,,.

' j·

/ '\ , Pt ~-/·..-..... . {~· .·-.... ~.- . ',

1 . '\;. \ ' .íj ' 1

i \

2..5

~.'' \ ,\. ·-. J

J

i

25

!

2.5

2.S

'2.5

5

i .5

co\.a:s en crns e.sc . 1 1

42

Primer acercamiento formal A la izquierda, las primeras abstracciones de un tomatillo:

A: planta B: vista formal C: primer análisis formal

Abajo vemos la simplificación de la semilla.

Geometrización del tomatillo

Ejemplo 1

.---1

\

y'

~ ! }-/ Consta de dos pirárñittes, añaden tro de la otra. La primera más alta cuyo vértice es "V'. La segunda más pequeña, cuyo vértice es "A". Sobre las aristas exteriores de la pirámide mayor colocamos los alerones que dan forma a la semilla cuya verdadera forma y magnitud indicamos con VFM.

Tomatillo

Ejemplo 2 En este caso. utilizaremos el método por trian­gulación para obtener uno de los diez· gajos en los que se dividió la semilla.

5 en positivo y 5 en negativo (ver desarrollos al pie de la página).

Basándonos en el ejemplo del primer acerca­miento formal. trazamos la montea del tomati­llo.

La vista frontal se dividió en varios cortes para­lelos en partes iguales; estos cortes. al intersec­tar las diferentes generatrices, nos dan hileras alternadas de letras y números.

Al unirletra-número-letra-númeroorigina una línea en zig-zag que divide al gajo en pequeños triángulos. siendo el triángulo superior /,j. VAl.

Las medidas de las aristas se toman en la vista frontal. v'-a'-b'-c'-d' ... o'-p'-q'.

v'-1'-2'-3'-4' ... 13'-14'-15'.

Las verdaderas magnitudes de las lineas hori­zontales se obtienen en la planta a-1, b-2. c-3 ... n-14, o-15.

Las diagonales se giran y se obtiene su verda­dera magnitud. Tomando de allí la dimensión. Como ejemplo: g'-(8'), h'-(9'), i'-(10) ...

Al trazar el desarrollo conviene comenzar por la parte más ancha, así es más fácil controlar la dirección que va a seguir. En este caso comen­zamos con la recta J-10.

k J I H

43

Desarrollo positivo

V

Desarrollo negativo

y

y

44

Tomatillo (aberración)

Ejemplo 3 Este ejemplo es una deformación, ya que gene­ralmente esta semilla consta de cinco gajos; nos sirve para mostrar otra manera de enfocar el problema.

Se parte del desarrollo normal de la esfera alar­gando el vértice V como en el ejemplo 3 de la castaña.

De estos gajos utilizaremos únicamente 6 en el volumen como lo indica la planta en la montea a la derecha.

Los otros seis gajos dobles (positivo y negativo) los vamos a obtener igual que en el ejemplo anterior por triangulación.

Esto quiere decir que para trazar o construir el gajo inicial positivo, necesitamos obtener las dimensiones de todas y cada una de las aristas que componen los triángulos, esto es su verda­dera magnitud.

Dividimos nuevamente el gajo por medio de rectas horizontales. A las divisiones del lado izquierdo les colocamos números y a las del lado derecho de un gajo las nombramos con letras. Esta división se efectuó en la vista fron­tal. Tanto los números como las letras se refie­ren a la planta y allí mismo obtenemos la ver­dadera magnitud de estas horizontales ejem­plo: vista frontal planta (VM).

3'-d' 4'-e'

3-d 4 -e

Las dimensiones entre letras o entre números se obtienen directamente en la vista frontal. Nota: las dimensiones reales entre los números hay que tomarlas en el contorno de la esfera.

Las verdaderas magnitudes de las diagonales hay que obtenerlas, como en el caso anterior, por el método de giros.

En este caso, comenzaremos a trazar el de­sarrollo (ver a la izquierda) con la recta 6-G ya que una sección del desarrollo es simétrica con la opuesta a partir de esa recta.

y'

l \

\ l 9

45

\ . / / \

2.9

1

1

j

!

9

• 2

l

2

l

.9

58

5 l

5

1 catas ""cms ese. 11.

TOLOACHE

-( ..... .. j_ 5 1. 24

46

Primer acercamiento formal En este primer acercamiento podemos enten­der la estructura formal del objeto a represen­tar.

En el caso del toloache, notamos inmediata­mente dos ejes muy marcados: uno vertical y otro horizontal, mismos que dividen la semilla en cuatro partes iguales.

Geometría del toloache Una vez dividida la planta por los dos ejes, se dividen estas cuatro partes nuevamente en cuatro para obtener 16 gajos. (ver montea en la página siguiente).

Al observar la figura. notamos que únicamente se requiere obtener el desarrollo de dos de los gajos.

En este caso, utilizaremos el método. El ángulo recto se mantiene, siempre y cuando una de las dos rectas se encuentre en verdadera magnitud.

Gajo 1 La verdadera magnitud del eje v' a' se obtiene en el extremo de la vista frontal con las dimensio­nes entre los puntos v'-1'-2'-3'-4'-5'-6'-7'-0'.

Las dimensiones perpendiculares se obtienen en la vista frontal a la altura de los puntos del párrafo anterior marcados como 1·1, 2-2, etc.

G~o2 La verdadera magnitud se obtiene sumando las distancias entre los puntos v'-a'-b'-c'-d'-e'-f-g'-o'.

Unicamente podemos trazar las perpendicu­lares y verdaderas magnitudes en los puntos C y D. Los otros se obtienen por triangulación.

V

y'

47

HIGO

23

2.~

- '

f'

Primer acercamiento formal Este fruto no es un higo propiamente dicho. Proviene de una planta de la familia de las higueras, cuyo fruto no es comestible.

Sin embargo, desde el punto de vista formal, guarda una gran semejanza con su primo, por eso decidimos incluirlo.

Como en todos los ejemplos anteriores, en esta parte del análisis trazamos las monteas con base en el sistema americano.

Tenemos ahora: A planta B. alzado C y D abstraccione:~

El diagrama en el punto D nos muestra dos círculos tangentes entre sí que componen la parte superior del fruto, terminamos el trazo al colocar dos rectas tangentes a ambos círculos en su parte exterior, unidas a la base del higo.

48

•• 2.3

Geometría del higo

Ejemplós 1 y 2

I

• •

23

2.3

1.1

z_g

ao+a.s en c m s esL 1:1

En este caso, presentamos juntos los dos ejem­plos. Las soluciones dadas son similares pero el enfoque es diferente.

En el ejemplo 1 tenemos intersección de dos figuras geométricas; una como cono regular y la mitad de un toro. Se dividió en 12 partes iguales y se obtuvo una sección.

En el ejemplo 2 el higo se trató como una forma totalmente orgánica; su perfil se conforma de una línea curva por lo que la única solución para este tipo de volumen es la de gajos. Igual que el ejemplo anterior la planta circular se dividió en 12 partes iguales y se procedió a obtener la verdadera forma y magnitud de uno de los gajos del desarrollo.

En la parte inferior se muestran los dos gajos para poderlos comparar ¿Cuál es el mejor? ¡Depende del problema a solucionar!

'

ejemplo i ejemplo 2.

y a

gaJo 2

49

SENULLASSEMEJANTES r-,

l' 1 " i ,b _,..

'(

• l

.. J.6

1S

8 ,8 • ~ 1>

Primer acercamiento formal Al realizar los primeros esquemas notamos inmediatamente las semejanzas, si es que exis­ten, entre semillas aparentemente muy dife­rentes.

En estapáginaylasiguiente tenemos un ejem­plo de esta naturaleza. La primera abstracción en ambos casos resultó idéntica.

Geometría para ambos casos A la derecha un ejemplo de lo que podría ser la montea promedio para los tres casos mos­trados.

Dividimos la planta en la montea en 12 partes y la vista frontal en cortes horizontales cada cen­tímetro.

Al dividir así notamos que únicamente vamos a requerir del desarrollo de dos gajos diferentes.

Los cortes en la planta dan lugar a tres perfiles diferentes, mismos que utilizaremos para obte­ner el desarrollo.

1a abstrac:C!Ón

50

/~> ( / Á. o

¡ ·-t,.t~~

rT).-,.· ~~

• J.1

Desarrollos

V V

o o

51

Cómo obtener el desarrollo Para obtener el desarrollo vamos a combinar el sistema de gajos y el de triangulación.

Los gajos los utilizamos para obtener los cortes horizontales y los perfiles en el trazo de la mon­tea. De allí vamos a obtener todas las verdade­ras mangitudes, excepto las diagonales de los trapecios. Estas tenemos que obtenerlas por el método de giros.

Una vez obtenidas todas las dimensiones, pro­cedemos a triangular. como en casos anteriores.

Al invertir los dos desarrollos así obtenidos, tendremos ya la tercera parte del volumen completo que buscamos.

2 ..

z

•

cotas c:n cms ..se i 1

SEMILLA CODO DE FRAILE

r--- ~;

1 ; ,1 ; li 1 1 \' . J

• 1 1 \ ''••' - / _Li.:~ .

:L-3 1 3 ...----w--- -

Geometrización

-r~

1< __ .1)

1:5 L5

a:ri;as en c.ms e!>C 11

La abstracción de la presente semilla la redu­cimos a la utilización de dos formas básicas: la esfera y la conoide (página 24 y 28).

La planta en la montea la dividimos por medio de dos ejes: uno vertical y el horizontal para obtener cuatro cuadrantes idénticos pero opuestos entre sí.

El cuarto de círculo de uno de los cuadrantes lo dividimos en seis partes iguales . obteniendo los gajos para la media esfera.

Por estos puntos trazamos rectas horizontales para dividir al eje a-h. para obtener los puntos b, c,d,e, f.gsobre el eje y los puntos 1, 2. 34, 5. 6, 7, sobre la base de la conoide y unión con la media esfera.

Las verdaderas magnitudes para la conoide las obtuvimos en la vista frontal de la montea a excepción del círculo con los números y las medidas entre las letras del eje, que obtenemos en la vista horizontal.

52

Primer acercamiento formal En esta semilla notamos inmediátamente la forma esférica que se une a otra forma geomé­trica: una conoide.

Como característica importante en esta semilla de origen tropical es la dureza de su cáscara envolvente. resultado de su forma así como de la estructura de sus_ elementos.

Montea

Desarrollo

El desarrollo de la conoide la obtenemos por el método ángulo recto entre dos rectas s~ man­tiene si una de ellas se encuentra en la montea en verdadera magnitud.

En el dibujo del desarrollo se indican los ángu­los rectos: 'i

Comenzamos trazando la recta B-1 en verda­dera mgnitud. El ángulo recto en el punto By la medida B-C. De allí construimos el primer tra­pecio obteniendo el punto 2 con la intersección de las rectas C-2 y 1-2.

Continuamos así hasta terminar el trazo de la conoide con la recta H-7.

Sobre las rectas que van del1 al 7 construimos los seis gajos del octavo de esfera.

Dos piezas idénticas y otras dos invertidas completan el desarrollo total de esta semilla.

El gajo que parte de la recta 6-7, lo trazamos aparte del desarrollo completo. ya que el ángulo que obtenemos hubiera obligado a que los dos últimos gajos se traslaparan.

V

Desarrollo (trazo)

53

E o e 8 1..' ll L l

i

y

EJERCICIOS

~ A continuación presenta mos dos ejemplos con los que puedes comenzar a practicar ..

Achiote (normal)

~r {;1

~;

/ . ., '/'

. -· •

"' .. -7 i b

Achiote (aberración)

cala~ en tFn".> e.sc J 1

... ;.. 1

/, !

i 6 "' -7

2

54

. -

.··~

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1 !

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'('

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1. ¡,

;

... .7

t

4

4

\ . 6

J

j 1

i

i 1

• . b

t

55

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Wentworth Thompson. D'arcy. On growth and form, Quinta edición. Ed. The university press. Cambridge. 1971.

..

GEOMETRIA DE LA FORMA Se terminó de imprimir en e l mes de

Febrero de 1992 en los talleres de servicio de

Asesoría Gráfica

calle de Andorra no. 1 tel. 5 32 40 70 y el tiraje fue de 1500 ejemplares.