Politechnika Opolska | Opole University of Technology | www.po.opole.pl

Wydział InżynierIi Produkcji i Logistyki | Faculty of Production Engineering and Logistics | www.wipil.po.opole.pl

Klasyfikacja ruchów

Ruch jednostajny prostoliniowy

Ruch jednostajnie zmienny

Spadek swobodny

Rzut pionowy w dół i w górę

Rzut poziomy i rzut ukośny

Ruch jednostajny po okręgu

Wielkości kątowe

KINEMATYKA

tor ruchu

ruch prostoliniowy

ruch krzywoliniowy

prędkość

ruch jednostajny V = const.

ruch jednostajnie

zmienny V ~ t

ruch niejednostajnie

zmienny V (t)

RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY Ruch jednostajny prostoliniowy (r.j.pr.) jest to ruch, w którym

ciało w jednakowych odstępach czasu przebywa jednakowe

odcinki drogi (V = const.), a tor jest linią prostą.

Stałe są wszystkie cechy wektora V, a zatem Vśr = Vch.

Z definicji:

Ruch jednostajny prostoliniowy jest ruchem jednowymiarowym

(tylko jedna zmienna przestrzenna), można zatem zrezygnować z

zapisu wektorowego równań na rzecz zapisu (prostszego)

skalarnego:

0

0

tt

xx

tΔ

xΔV

𝑉 =∆𝑟

∆𝑡 , 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 ∆ 𝑟 = 𝑖 ∆𝑥 + 𝑗 ∆𝑦 + 𝑘 ∆𝑧

𝑉 = 𝑖 ∆𝑥

∆𝑡+ 𝑗

∆𝑦

∆𝑡+ 𝑘

∆𝑧

∆𝑡

W r.j.pr. wykresem prędkości

w funkcji czasu jest prosta

równoległa do osi czasu.

Drogę przebytą przez ciało

(punkt materialny) znajdujemy

jako pole powierzchni pod

linią wykresu prędkości w

funkcji czasu.

V = c o n s t.

tt0

x = V t

t

pręd

ko

ść

V

[m/s

]

czas t [s]

Wykresem położenia, drogi

przebytej przez ciało (punkt

materialny) w funkcji czasu

jest prosta nachylona pod

pewnym kątem α do osi czasu.

Im większy jest kąt nachylenia

α, tym większa prędkość.

= tg = V x

t

t

x

xo

x = x o + v ( t

- t o)

po

łożen

ie

x

[m]

czas t [s]

RUCH JEDNOSTAJNIE ZMIENNY O ruchu jednostajnie zmiennym mówimy wówczas, gdy prędkość

ciała (punktu materialnego) zmienia się w sposób jednostajny

(a = const.).

Prędkość jest wielkością wektorową, może więc ulegać zmianie

ze względu na jej wartość lub kierunek, bądź obydwie te cechy

jednocześnie.

Ze względu na zmianę wartości V rozróżniamy:

r.j.p. - ruch jednostajnie przyspieszony (a > 0),

r.j.o. - ruch jednostajnie opóźniony (a < 0).

Przykładem ruchu jednostajnie zmiennego ze względu na zmianę

kierunku wektora prędkości jest ruch jednostajny po okręgu.

RUCH JEDNOSTAJNIE ZMIENNY

W ruchu prostoliniowym jednostajnie zmiennym (r.pr.j.z.) torem

ruchu jest linia prosta, a wektor prędkości zmienia się w sposób

jednostajny ze względu na jego wartość (w jednakowych

odstępach czasu prędkość zmienia się o tę samą wartość).

a = c o n s t.

tt0

V = a t

tprzy

sp

ieszen

ie

a

[m/s

2]

czas t [s]

W r.pr.j.z. wektor a = const.

(wszystkie jego cechy), a

wykresem przyspieszenia w

funkcji czasu jest prosta

równoległa do osi czasu.

Prędkość w dowolnym ruchu

zmiennym znajdujemy jako

pole powierzchni pod linią

przyspieszenia w funkcji czasu.

Z definicji (zapis wektorowy):

W ruchu jednowymiarowym można zrezygnować z zapisu

wektorowego równań :

gdzie:

ΔV - zmiana prędkości;

Δt - przedział czasu, w którym zmiana prędkości nastąpiła;

V0 - prędkość początkowa (prędkość w chwili czasu t0);

V - prędkość w chwili czasu t = t0 + Δt.

Zatem prędkość punktu materialnego (ciała) w ruchu jednostajnie

zmiennym przedstawia następujące równanie:

0

0

tt

VV

tΔ

VΔa

tΔ

VΔa

)( 00 ttaVV

Wykresem prędkości w funkcji

czasu jest prosta nachylona pod

pewnym kątem α do osi czasu.

Im większy jest kąt nachylenia α,

tym większe przyspieszenie.

Pole powierzchni pod linią

wykresu V = f (t) dla jest wprost

proporcjonalne do drogi x

przebytej przez to ciało (punkt

materialny) w czasie t.

x = V0t + ½ ·a t

2

V0 - 0t - t

0

V -

V0

Vo

V = f ( t )

pręd

ko

ść

V

[m/s

]

czas t [s]

Pole pod wykresem prędkości to pole trapezu równoważne sumie

pól prostokąta o wymiarach (V0 – 0) i (Δt = t – t0) oraz trójkąta

prostokątnego o podstawie (Δt = t – t0) i wysokości (ΔV = V – V0):

Ptrapezu = Pprostokąta + Ptrójkąta

2

0

2

0

0

0000 )()()()(

ta2

1tVxP

ta2

1tVP

taVt

Va

tV2

1tVP

VVtt2

1tt0VP

trapezu

trapezu

trapezu

trapezu

Wyprowadzenie:

ostatecznie: (parabola) 2

00 ta2

1tVxx

'= tg' =V'

t'x'

x'

t'

punkt styczności

x(t)

xo

po

łożen

ie

x

[m]

czas t [s]

SPADEK SWOBODNY Swobodny spadek - ruch ciała pod

wpływem siły grawitacyjnej (nie

występują żadne opory i tarcia).

W spadku swobodnym ciało porusza się

ruchem jednostajnie przyspieszonym z

przyspieszeniem ziemskim g i bez

prędkości początkowej (V0 = 0).

Równania ruchu ciała swobodnie

spadającego z wysokości h:

gdzie:

2

0,

2

2

0

2

00

gthgtV

gaVhs

attVsatVV

i

i

i

h

g

Q2 Q2

SPADEK SWOBODNY Swobodny spadek - ruch ciała pod

wpływem siły grawitacyjnej (nie

występują żadne opory i tarcia).

Równania ruchu ciała swobodnie

spadającego z wysokości h:

gdzie:

ghVg

ht k 2

2 i

2

0,

2

2

0

2

00

gthgtV

gaVhs

attVsatVV

i

i

i

h

g

Q2 Q2

RZUT PIONOWY W DÓŁ Rzut pionowy w dół - ruch w polu

grawitacyjnym Ziemi, w którym ciału

znajdującemu się na wysokości h

nadajemy prędkość początkową V0

skierowaną pionowo w dół.

W rzucie tym ciało porusza się ruchem

jednostajnie przyspieszonym z prędkością

początkową (V0 ≠ 0) i przyspieszeniem g.

Równania kinematyczne w tym ruchu:

gdzie:

2

0,

2

2

00

0

2

00

gttVhgtVV

gaVhs

attVsatVV

i

i

i

V0

h

g

Q2 Q2

RZUT PIONOWY W DÓŁ Rzut pionowy w dół - ruch w polu

grawitacyjnym Ziemi, w którym ciału

znajdującemu się na wysokości h

nadajemy prędkość początkową V0

skierowaną pionowo w dół.

ghVVk 22

0

UWAGA:

wzór wskazuje na wektorowy charakter

prędkości ciała przy zetknięciu z Ziemią,

gdyż Vk jest pierwiastkiem z sumy

kwadratów prędkości początkowej i

prędkości swobodnego spadku.

h V0

g

Q2 Q2

Rzut pionowy w górę - ruch w polu

grawitacyjnym Ziemi, w którym ciału

nadajemy prędkość początkową V0

skierowaną pionowo w górę.

W rzucie tym ciało porusza się ruchem

jednostajnie opóźnionym z prędkością

początkową (V0 ≠ 0) i opóźnieniem g.

Równania kinematyczne w/w ruchu:

gdzie:

RZUT PIONOWY W GÓRĘ

2

0,

2

2

00

0

2

00

gttVhgtVV

gaVhs

attVsatVV

i

i

i

hmax

V0

g

VhV

g

Vtw

2)0(

2

0max

0 i

Rzut pionowy w górę - ruch w polu

grawitacyjnym Ziemi, w którym ciału

nadajemy prędkość początkową V0

skierowaną pionowo w górę.

Równania kinematyczne w/w ruchu:

gdzie:

RZUT PIONOWY W GÓRĘ

2

0,

2

2

00

0

2

00

gttVhgtVV

gaVhs

attVsatVV

i

i

i

hmax

V0

RZUT POZIOMY Rzut poziomy - ruch, w którym ciału znajdującemu się na wysokości

h nadajemy prędkość początkową V0 skierowaną poziomo.

W rzucie tym ciało porusza się równocześnie dwoma ruchami:

• poziomo - ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością V0 ≠ 0;

• pionowo - ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości

początkowej (V0 = 0) z przyspieszeniem g (swobodny spadek ).

V0

g Vy V1

h

x

y

g

V0

g

Vy V

V0

Z

α

Zasięg (Z) w rzucie poziomym jest drogą, jaką ciało przebywa

poziomo ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Prędkość ciała w dowolnym punkcie toru jest sumą geometryczną

prędkości początkowej V0 i prędkości swobodnego spadku.

Kątem upadku ciała nazywamy kąt zawarty między pionem, a

styczną do toru w miejscu upadku.

g

hVZ

g

htVVZstVs

2

)2

,,(

0

0

ghVV 22

0

gh

Vtgarc

gh

Vtg

22

00

ruchem jednostajnie

opóźnionym (czyli rzut

pionowy do góry z

prędkością V0y ) i w

dalszej fazie lotu

ruchem jednostajnie

przyspieszonym (czyli

swobodny spadek).

RZUT UKOŚNY Rzut ukośny - ruch, w którym ciału nadajemy prędkość początkową

V0 skierowaną pod kątem θ0 do poziomu.

W rzucie ukośnym ciało porusza się równocześnie dwoma ruchami:

• poziomo - ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością V0x ;

• pionowo - ruchem jednostajnie zmiennym (do osiągnięcia max. toru

Zasięg (R) w rzucie ukośnym jest drogą, jaką ciało przebywa

poziomo ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością V0x .

Czas rzutu (czas przebywania ciała na torze) jest dwukrotnie

większy od czasu osiągnięcia maksymalnej wysokości.

rzrzx tVtVR cos00

g

Vh

gttVhy

g

VR

g

V

g

VVR

g

Vt

g

V

g

Vt

VgtVV

y

rz

y

yyy

2

sin

2

2sin

cossin2sin2cos

sin2sin

)0(

22

0max

2

2

0

2

000

000

max

max0

i

1) Wypisujemy równania ruchu ciała w kierunku poziomym

(oś x) i pionowym (oś y).

2) Z równań ruchu eliminujemy czas, uzyskując w ten

sposób równanie toru ruchu ciała.

3) Przyrównujemy równanie toru do zera i rozwiązujemy ze

względu na x, uzyskując w ten sposób zasięg rzutu (R).

4) Wstawiając do równania toru za x połowę zasięgu

otrzymujemy maksymalną wysokość ciała na torze (hmax).

PRZEPIS

MNMNr

MN

V

V

||

||

||

||

RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU Ruch jednostajny po okręgu (r.j.o.) - zmienia się (w sposób

jednostajny i ciągły) kierunek wektora prędkości, ale nie zmienia

się jego długość (wartość), a torem ruchu jest okrąg.

gdy Δt→0

r

Va

t

V

r

V

t

V

r

tV

V

V

constVtVMN

2

2

)(

1V

2VV

2V

1V

1r

2r

)(tM

)( ttN

k

l

)(tM

Przyspieszenie normalne jest prostopadłe do toru ruchu i zmienia

kierunek prędkości.

W przypadku ruchu po okręgu przyspieszenie normalne jest

skierowane do środka okręgu i dlatego jest też często nazywane

przyspieszeniem dośrodkowym ar (skierowane wzdłuż promienia

okręgu).

gdzie:

T - okres (w ruchu po okręgu czas jednego pełnego obrotu).

2

2

2

4

2

T

ra

T

rV

r

Va

r

r

𝜔 = lim∆𝑡→0

∆𝜑

∆𝑡=

𝑑𝜑

𝑑𝑡= 𝜑

gdzie:

Δφ - przemieszczenie kątowe (kąt

jaki zakreśla wektor wodzący);

Δt - czas w jakim odbywa się ruch;

Wartość prędkości kątowej

wyrażana jest w jednostkach

miary kąta płaskiego na

jednostkę czasu (rad/s lub 1/s).

PRĘDKOŚĆ KĄTOWA Średnia prędkość kątowa - wielkość wektorowa (pseudowektor)

charakteryzująca szybkość zmian kąta zakreślanego w danym

czasie przez promień wodzący do tego czasu.

0

0

tttΔ

Δω

P

0

x

y

z

𝜔

𝑟

Chwilowa prędkość kątowa jest granicą właściwą z ilorazu

różnicowego Δφ/Δt przy Δt→0 lub pochodną przemieszczenia

kątowego względem czasu:

W ruchu jednostajnym po okręgu prędkości kątowe: średnia i

chwilowa są sobie równe.

𝜔 = lim∆𝑡→0

∆𝜑

∆𝑡=

𝑑𝜑

𝑑𝑡= 𝜑

PRĘDKOŚĆ KĄTOWA Średnia prędkość kątowa - wielkość wektorowa (pseudowektor)

charakteryzująca szybkość zmian kąta zakreślanego w danym

czasie przez promień wodzący do tego czasu.

0

0

tttΔ

Δω

𝛼 = lim∆𝑡→0

∆𝜔

∆𝑡=𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝜔

Jeżeli prędkość kątowa nie jest stała to ciało (punkt materialny)

doznaje przyspieszenia kątowego:

gdzie:

ω i ω0 - chwilowe prędkości kątowe, odpowiednio w chwilach t i to.

Wartość przyspieszenia kątowego wyrażana jest w jednostkach

prędkości kątowej dzielonych przez jednostki czasu (np. rad/s2

lub 1/s2).

Chwilowe (rzeczywiste) przyspieszenie kątowe liczymy jako:

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔα

PRZYSPIESZNIE KĄTOWE

Równania opisujące ruch obrotowy możemy zapisać przez

analogię do ruchu postępowego:

Ruch postępowy

(stały kierunek ruchu)

Ruch obrotowy

(nieruchoma oś obrotu)

V = V0 + aΔt ω = ω0 + αΔt

x =V0 Δt + ½ a(Δt)2 φ =ω0 Δt + ½ α(Δt)2

Wielkości liniowe a kątowe:

f - częstotliwość (liczba pełnych obiegów w jednostce czasu)

T - okres ruchu (czas trwania jednego pełnego obiegu)

f2πω

T

2πω

Δt

Δω

T

1f

nyp.szczególdef.

Hz1

s

1f ][

𝑠 = 𝜑 ∙ 𝑟

𝑠 =𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑑𝜑

𝑑𝑡𝑟

𝑉 = 𝜔 ∙ 𝑟

𝑉 =𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑𝜔

𝑑𝑡𝑟

𝑎 = 𝛼 ∙ 𝑟 = 𝑎𝑡

taV lub lub

P

x0

y

z Droga kątowa - kąt φ

zakreślony przez promień

wodzący w czasie ruchu

(wyrażana w radianach).

radian (rad) jest jednostką

miary kąta płaskiego

(uzupełniająca układu SI);

wielkość niemianowana.

y

x

r

φ r

φ=1rad r

r

Var

22

𝑟

𝑎 𝑟