Kauzalna struktura
Transcript of Kauzalna struktura
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
1/47
Kauzalna struktura prostor-vremena i
naruenja kronalnosti
Mateo Paulii
University of Zagreb
Faculty of Science
Department of Physics
Zagreb, 3. Veljae 2016
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
2/47
Sadraj
1 Uvod - prostor-vrijeme, kauzalnost i kauzalna struktura
2
Kongruencija geodezika i njeno ponaanje3 Teoremi o singularitetima
Singularnost u globalno hiperbolnom prostoru
Singularnost na rubu skupa naruene kronalnosti
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
3/47
Uvod
Kauzalnost
Kauzalna struktura prostor-vremenaMateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
4/47
Definicije
Definicija prostor-vremena
Prostor-vrijemeje vremenski orijentabilna povezanaHausdorfova C mnogostrukost sa prebrojivom bazom (M, g),dimenzije m 2, sa Lorentzovom metrikom (metrikimtenzorom) g predznaka (, +,...,+)
TMoznaava prostor svih tangentnih vektora namnogostrukosti M. Vektorsko polje X TMmoe biti:
Prostornog tipa ("space-like"), ako jeg(X(p), X(p))> 0,p M
Vremenskog tipa ("time-like"), ako jeg(X(p), X(p))< 0,p M
Svjetlosnog tipa ("lightlike"), ako jeg(X(p), X(p)) =0,p M
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
5/47
Definicije
Kronoloka budunost:I+(p) =q M :p q
Kronoloka prolost:
I(p) =q M :q pKauzalna budunost:J+ =q M :p q
Kauzalna prolost:
J(p) =q M :q p
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
6/47
DefinicijeUvjeti kauzalnosti
Kronoloko prostor-vrijemeNe sadri nijednu zatvorenu krivulju vremenskog tipa
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
7/47
DefinicijeUvjeti kauzalnosti
Kronoloko prostor-vrijemeNe sadri nijednu zatvorenu krivulju vremenskog tipa
Figure:Prostor-vrijeme sa povredom kronolokog uvjeta
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
8/47
DefinicijeUvjeti kauzalnosti
Kronoloko prostor-vrijemeNe sadri nijednu zatvorenu krivulju vremenskog tipa
Figure:Prostor-vrijeme sa povredom kronolokog uvjeta
Kauzalno prostor-vrijeme
Ne sadri nijednu zatvorenu krivulju kauzalnogtipa
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
9/47
DefinicijeUvjeti kauzalnosti
Jako kauzalno prostor-vrijemeSvaka toka prostor-vremena ima proizvoljno male kauzalnokonveksne okoline
Figure: Primjer gdje U nije kauzalnokonveksanskup
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
10/47
DefinicijeUvjeti kauzalnosti
S
D+(S)
Figure: Budua domena ovisnosti od S
Ukupna domena ovisnosti je D(S) =D+(S) D(S)
Cauchyjeva ploha
je Cauchyjeva ploha ako vrijedi D() =M
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
11/47
DefinicijeUvjeti kauzalnosti
Globalna hiperbolnostProstorvrijeme je globalno hiperbolno ako posjedujeCauchyjevu plohu
(t)
p
Figure: Svaku Cauchyjevu plohu svaka ne-prostorna krivulja
presjeca samo jednom
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
12/47
DefinicijeEinsteinova jednadba
Rab1
2
Rgab=8Tab
Uzimajui trag, i prebacivanjem lanova
Rab=8(Tab1
2gabT)
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
13/47
Energijski uvjetiSlabi, svjetlosni i jaki energijski uvjet i naruenja
Slabi energijski uvjet
Tabvavb 0, za va vremenski vektor
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
14/47
Energijski uvjetiSlabi, svjetlosni i jaki energijski uvjet i naruenja
Slabi energijski uvjet
Tabvavb 0, za va vremenski vektor
Pr. Savreni fluidTab = (p+)ea0 eb0 +pgab 0, +p>0
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
15/47
Energijski uvjetiSlabi, svjetlosni i jaki energijski uvjet i naruenja
Slabi energijski uvjet
Tabvavb 0, za va vremenski vektor
Pr. Savreni fluid
Tab = (p+)ea0 eb0 +pgab 0, +p>0
Svjetlosni energijski uvjet
Tabkakb 0, za ka vremenski vektor
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
16/47
Energijski uvjetiSlabi, svjetlosni i jaki energijski uvjet i naruenja
Slabi energijski uvjet
Tabvavb 0, za va vremenski vektor
Pr. Savreni fluid
Tab = (p+)ea0 eb0 +pgab 0, +p>0
Svjetlosni energijski uvjet
Tabkakb 0, za ka vremenski vektor
Jaki energijski uvjet
(Tab 12
gabT)vavb 0
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
17/47
Kongruencije geodezika
Figure:Kongruencija geodezika
Tangentni vektor ua
Vektor devijacije a
Nai ponaanje vektoradevijacije uzdu geodezika
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
18/47
Kongruencije geodezika
Figure:Kongruencija geodezika
d
da =ubb
a =bbua
=Ba
bb
Bab= 1
3hab+ab+ab
- skalar ekspanzijeab- tenzor smicanja
ab- tenzor rotacije
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
19/47
Sk l k ij
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
20/47
Skalar ekspanzije
1
2
Figure:Kongruencija geodezika
= 1V
ddV
V =
det[hij]
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Sk l k ij
http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
21/47
Skalar ekspanzije
1
2
Figure:Kongruencija geodezika
= 1V
ddV
V =
det[hij]1V
ddV = 1
2hij
dhijd
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Sk l k ij
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
22/47
Skalar ekspanzije
1
2
Figure:Kongruencija geodezika
= 1V
ddV
V =
det[hij]1V
ddV = 1
2hij
dhijd
hijdhijd
=2Babgab =2
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
R h dh ij j d db
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
23/47
Raychaudhurijeva jednadbaEvolucija skalara ekspanzije
dd
Bab=...= BacBcb Radbcu
duc
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
R h dh ij j d db
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
24/47
Raychaudhurijeva jednadbaEvolucija skalara ekspanzije
dd
Bab=...= BacBcb Radbcu
duc
Raychaudhurijeva jednadba
d
d = 132 + abab
abab
Vano je primijetiti da su abab 0 i ab
ab 0.
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Raychaudhurijeva jednadba
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
25/47
Raychaudhurijeva jednadbaEvolucija skalara ekspanzije
dd
Bab=...= BacBcb Radbcu
duc
Raychaudhurijeva jednadba
d
d = 132 + abab
abab
Vano je primijetiti da su abab 0 i ab
ab 0.
Raychaudhurijeva jednadba za svjetlosne geodezike
dd =
12
2 +abab abab
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Teorem o fokusiranju
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
26/47
Teorem o fokusiranju
Neka je kongruencija vremenskih geodezika okomita na familijuprostornih povrina (ab=0) i neka vrijedi jaki energijski uvjet
Rabuaub 0
. Tada Raychaudhurijeva jednadba povlai:
d
d =
1
32 abab Rabu
aub 0
"Gravitacija je privlana sila"
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Teorem o fokusiranju
http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
27/47
Teorem o fokusiranju
Figure: Kaustik u kongruenciji
Jaki energijski uvjet, ab=0
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
28/47
Teorem o fokusiranju
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
29/47
Teorem o fokusiranju
Figure: Kaustik u kongruenciji
Jaki energijski uvjet, ab=0
d
d
1
32
1() 10 +
3
(0
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
30/47
Teoremi o singularitetimaPotpunost geodezika
Neka postoji barem jedan geodezik koji je beskrajan barem ujednom smjeru. Ako je njegova afina duljina konana,prostor-vrijeme je singularno
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Teoremi o singularitetima
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
31/47
Teoremi o singularitetimaKonjugirane toke
p
q
c
Figure: Par konjugiranih
toaka
d2
d2c =uaa(u
bbc)
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Teoremi o singularitetima
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
32/47
Teoremi o singularitetimaKonjugirane toke
p
q
c
Figure: Par konjugiranih
toaka
d2
d2c =uaa(u
bbc)
c
nuno isezava u p iq p i qsu konjugirane
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Teoremi o singularitetima
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
33/47
Teoremi o singularitetimaKonjugirane toke
p
q
c
Figure: Par konjugiranih
toaka
d2
d2c =uaa(u
bbc)
c
nuno isezava u p iq p i qsu konjugirane
Geodezik nijemaksimalne duljine
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Teoremi o singularitetima
http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
34/47
Teoremi o singularitetimaKonjugirane toke
p
q
c
Figure: Par konjugiranih
toaka
d2
d2c =uaa(u
bbc)
c
nuno isezava u p iq p i qsu konjugirane
Geodezik nijemaksimalne duljine
Kongruencija razvijakaustik (vrijedi i obrat)
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
35/47
Teoremi o singularitetima
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
36/47
g
Dokaz:
C(p, q)(skup kauzalnih krivulja izmeu p i q jekompaktan)
p
q
n
f :C(kompaktan) IR je omeeno, postie min. i maks.vrijednosti
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Teoremi o singularitetima
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
37/47
gTeorem o singularnosti globalno hiperbolnog prostor-vremena
Teorem o singularnosti globalno hiperbolnog prostor-vremena
(M, gab) globalno hiperbolno (1)
vrijedi jaki energijski uvjet (Rabuaub 0 ua vremenskog
tipa). (2) glatka (ili barem C2) prostorna Cauchyjeva ploha td.za ortogonalnu prolosno orjentiranu kongruenciju od vrijedi K C
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
38/47
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
39/47
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
40/47
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
41/47
Teoremi o singularitetima
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
42/47
Teorem o singularnosti globalno hiperbolnog prostor-vremena
Dokaz:
pp. duljine >3/|C| od do p.
Neka je p . (po (1)) krivulja maksimalne duljine (>3/|C|)Nuan uvjet - nema konjugiranih toaka izmeu p i .Teorem o fokusiranju -> Za 0
-
7/25/2019 Kauzalna struktura
43/47
Teorem o singularnosti na rubu kompaktnog skupa naruene kronalnosti
Figure: Skup narusene kronalnosti vI
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Teoremi o singularitetima
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
44/47
Teorem o singularnosti na rubu kompaktnog skupa naruene kronalnosti
Teorem o generinosti
(M, g) - potpuno po svjetlosnim geodezicima
vrijedi svjetlosni energijski uvjet Rabkakb 0
vrijedi uvjet svjetlosne generinosti kckdk[aRb]cd[ekf]
Tada svaki geodezik posjeduje konjugirane toke
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Teoremi o singularitetima
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
45/47
Teorem o singularnosti na rubu kompaktnog skupa naruene kronalnosti
Teorem o singularnosti na rubu kompaktnog skupa naruenekronalnosti
(M, g) posjeduje kompaktni skup naruene kronalnostivrijedi svjetlosni energijski uvjet Rabk
akb 0
vrijedi uvjet svjetlosne generinosti kckdk[aRb]cd[ekf]
Tada je (M, gab) singularno
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Teoremi o singularitetima
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
46/47
Teorem o singularnosti na rubu kompaktnog skupa naruene kronalnosti
Dokaz:
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
Literatura
http://find/ -
7/25/2019 Kauzalna struktura
47/47
S.W. Hawking, G.F.R. Ellis The large scale structure of space-time1973: Cambridge University Press
J.K. Beeem, P.E. Erlich, K.L. Easly Global LorentzGeometrySecond edition, 1996: Marcel Dekker, Inc., NewYork
Robert M. Wald General Relativity1984: The Universityof Chicago Press
Loring W. Tu An introduction to ManifoldsSecondedition, 2011: Springer
Mateo Paulii Kauzalna struktura prostor-vremena i naruenja kronalnosti
http://find/