Jak uczyć zadań na dowodzenie na różnych etapach edukacyjnych

Niwki, 28.01.2013r.

Od 2010 roku matura z matematyki jest obowiązkowa na poziomie podstawowym. W arkuszach maturalnych na poziomie podstawowym znajdują się zadania ze standardu piątego dotyczącego rozumowania i argumentacji w których uczeń powinien prowadzić proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków.W arkuszu rozszerzonym także występują zadnia dwa zadania ze standardu piątego.

Najtrudniejsze są zadania na dowodzenie z geometrii, dlatego że zdający powinien sporządzić rysunek, wprowadzić zgodnie z założeniem oznaczenia, zauważyć kilka własności geometrycznych i wyodrębnić, co jest założeniem a co tezą (w wielu przypadkach uczniowie traktują tezę jako założenie).

Twierdzenia matematyczne możemy dowodzić, stosując dwie metody: dowodzenie wprost i nie wprost.

Można wykorzystać także zasadę indukcji matematycznej, nie została ona jednak objęta podstawą programową. Aby stwierdzić prawdziwość twierdzenia, przeprowadza się rozumowanie zgodne z prawami logiki zwane dowodzeniem tego twierdzenia. W dowodzie korzystamy z założeń dowodzonego twierdzenia, aksjomatów lub z wcześniej udowodnionych twierdzeń.

Dowód, w którym rozpoczyna się od założeń, przeprowadza się wnioskowanie i w ten sposób dochodzi do tezy nazywa się dowodem wprost.Dowód nie wprost polega na zaprzeczeniu tezy dowodzonego twierdzenia i wykazaniu, że przyjęcie takiego zaprzeczenia prowadzi do sprzeczności z założeniem lub wcześniej dowiedzionym twierdzeniem lub aksjomatem. Uzyskana sprzeczność oznacza, że rozpatrywane twierdzenie należy uznać za prawdziwe.

W zadaniach typu uzasadnij, że… uczeń ma wskazany cel, który powinien osiągnąć, poszukując odpowiedniego sposobu oraz powołując się na znane własności.W zbiorze zadań występują także zadania typu uzasadnij, że…, chociaż główną część ich dowodu stanowią obliczenia lub budowanie modelu matematycznego. Zdający powinien zastosować strategię, która jasno wynika z treści zadania lub zbudować model matematyczny do pewnej sytuacji i krytycznie ocenić jego trafność

1. Wykaż, że liczba gdzie i jest liczbą parzystą.D: Aby wykazać, że liczba jest parzysta, należy pokazać, że liczba jest podzielna przez 2. Korzystając z działań na potęgach, liczbę x możemy zapisać w postaci: wobec tego liczb x jest liczbą parzystą.

2. Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 10. = 10k,

====,

3. Wykaż, że liczba jest podzielna przez liczbę 2016.

D:

, więc liczba jest podzielna przez 2016

4. Wykaż, że jeśli liczby a, b, c są pierwszymi, różnymi liczbami to stosunek odwrotności tych liczb nie jest liczbą naturalną.Założenie: liczby a, b, c są liczbami pierwszymi (liczbami pierwszymi nazywamy te liczby naturalne, które mają tylko dwa dzielniki)Teza: nie jest liczbą naturalnąZauważmy, że ten dowód będzie nam łatwiej poprowadzić metodą nie wprost.D(nie wprost): Załóżmy, że Pomnóżmy obie strony równania przez abc, zatem

Czyli liczba bc, która jest iloczynem dwóch liczb pierwszych dzieli się przez a. Zachodzi więc sprzeczność z założeniem, bo liczby a, b, c są liczbami pierwszymi zatem teza jest prawdziwa.

Trzy elementarne nierówności i ich zastosowania

Przy dowodzeniu nierówności stosujemy elementarne przejścia równoważne, przeprowadzamy rozumowanie typu: jeżeli oraz , to .

Własność 1: Dla każdych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność: , przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a=b.1 D:

Lub: D: ,Nierówność prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b.

Własność 2: Dla każdych nieujemnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność . D:

Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a=b lub D:

Własność 3: Dla każdych liczb rzeczywistych a i b takich, że , prawdziwa jest nierówność . D: , z założenia , równość zachodzi gdy Lub D:

Nierówność prawdziwa dla każdych liczb rzeczywistych a i b takich, że

1. Wykaż, że jeżeli , to .Założenie: >0,Teza: D: Zapiszmy trzy razy nierówności dla średnich (własność 2):, zatem

Pomnóżmy te trzy nierówności stronami i otrzymamy:, zatem

2. Jeżeli , to .W dowodzie wykorzystamy związek między średnią arytmetyczną i geometryczną dwóch liczb dodatnich (własność 2)

3. Uzasadnij, że .D: Korzystając z własności sumy logarytmów można zapisać:.Korzystając z własności: , to i , otrzymujemy

4. Wykaż, że zachodzi równość: dla lub .D: L= (z zamiany podstawy logarytmu).

.

5. Uzasadnij, że równanie ma trzy rozwiązania takie, że jedno z nich jest iloczynem dwóch pozostałych.6. Uzasadnij, że dla k=2, równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań

7. Wielomian W(x) jest wielomianem stopnia czwartego, którego pierwiastkami są liczby -2, -1, 1, 2. Uzasadnij, że .8. Uzasadnij, że zbiorem wartości funkcji jest zbiór .

9. Wiedząc, że dla pewnego ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich prawdziwa jest równość , wykaż, że iloraz tego ciągu . Symbol oznacza sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu .10. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony wzorem Uzasadnij, że należy wziąć co najmniej 14 kolejnych wyrazów tego ciągu, aby ich suma różniła się od sumy wyrazów tego nieskończonego ciągu geometrycznego o mniej niż .

11. Dana jest funkcja i . Wykaż, że .

12. Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność .

13. Kod dostępu do komputera Bartka złożony jest z trzech kolejnych naturalnych potęg liczby 4 ułożonych w kolejności od największej do najmniejszej. Suma tych potęg jest równa 5376. Znajdź kod dostępu do komputera Bartka, zapisz rozumowanie.

Kod Bartka składa się z następujących potęg: , czyli 25610244096.

14. Uzasadnij, że pole trójkąta, w którym dwa boki mają długość 126 i 32, nie jest większe od 2016.D: Korzystając z wzoru na pole trójkąta: , gdzie jest kątem między dwoma bokami trójkąta otrzymamy:

Zauważmy, że , zatem pole trójkąta nie przekroczy liczby 2016.

15. W trójkącie ABC, w którym z wierzchołka C poprowadzono dwusieczną kąta, która przecięła bok AB w punkcie D. Wykaż, że .

16. W trójkąt, którego boki mają długości , wpisano okrąg i następnie poprowadzono styczną do tego okręgu równoległą do boku o długości c, nie zawierającą tego boku. Wykaż, że długość odcinka będącego częścią wspólną poprowadzonej stycznej i trójkąta ma długość .

17. Wykaż, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku są prostopadłe.

18. Dwusieczne kątów przy podstawie w trapezie przecinają się w punkcie należącym do krótszej podstawy. Wykaż, że długość krótszej podstawy jest równa sumie długości ich ramion.

19. W trójkącie prostokątnym promień okręgu wpisanego ma długość r, zaś promień okręgu na nim opisanego ma długość R. Wykaż, że pole tego trójkąta jest równe

20. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości . Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość h. Punkt M jest środkiem odcinka DS. Wykaż, że pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną BCM jest równe .

21. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym ściany boczne są kwadratami. Uzasadnij, że , gdzie jest kątem, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

22. Uzasadnij, że jest 28800 liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie raz cyfra 7 i dokładnie dwa razy cyfra 4.23. Listonosz losowo rozmieszcza osiem listów w sześciu różnych skrzynkach na listy. Uzasadnij, że prawdopodobieństwo tego, że w każdej skrzynce znajdzie się przynajmniej jeden list, jest równe .

24. Z 75 sześcianów o krawędzi długości 1 Bartek zbudował graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego każda krawędź miała długość większą od 1. Wszystkie ściany graniastosłupa pomalował na niebiesko a następnie rozłożył graniastosłup na początkowe sześciany. Czy podane zdania są prawdziwe czy fałszywe? Zaznacz właściwą odpowiedź.A] Sześcianów z trzema ścianami niebieskimi było 8.

□Prawda □FałszB] Sześcianów z dwiema ścianami niebieskimi było więcej niż sześcianów z jedną ścianką niebieską.

□Prawda □FałszC] Z sześcianów, które nie miały żadnej niebieskiej ściany można zbudować sześcian.

□Prawda □Fałsz

Na IV etapie edukacyjnym na poziomie podstawowym ta sama treść zadania, lecz inne polecenie: Z 75 tak pomalowanych sześcianów losujemy jeden sześcian. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania sześcianu:A] z jedną pomalowaną ścianą,B] z trzema pomalowanymi ścianami.Na poziomie rozszerzonym sformułujemy pytanie: Z 75 tak pomalowanych sześcianów losujemy trzy sześciany. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie ściany sześcianu są pomalowane .

Dziękuję za uwagę Opracowała M. Romanowska