Zadania na dowodzenie

Zadania na dowodzenie

PUBLIKACJA DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZAKRZEW 2014

Zadania na dowodzenie Publikacja dla uczniów gimnazjum i szkoły średniej

Rafał Kobza

Pod redakcją pani Donaty Olędzkiej

Publiczne Gimnazjum nr 1 im. Henryka Sienkiewicza w Zakrzewie

Spis treści

Część teoretyczna ....................................................................................................................................8 Algebra

Część testowa ........................................................................................................................... 11 Część otwarta ........................................................................................................................... 20

Geometria

Część testowa ........................................................................................................................... 31 Część otwarta ........................................................................................................................... 40

Źródła

Materiały szkoleniowe dla nauczycieli matematyki GWO Podręczniki dla gimnazjum z serii „Matematyka z plusem” GWO Arkusze zadań z konkursów przedmiotowych MKO dla uczniów województwa mazowieckiego (G) Gazetka Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów „Kwadrat” Arkusze zadań z części testowych Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Arkusze zadań z egzaminów gimnazjalnych CKE Arkusze zadań z próbnych egzaminów maturalnych z „Operonem” i „Gazetą Wyborczą”

Część teoretyczna

8

Hipoteza i twierdzenie Hipoteza (inaczej przypuszczenie) to nieudowodnione zdanie matematyczne. Twierdzenie to udowodnione zdanie matematyczne głoszące, że jeśli zostaną spełnione pewne wa-runki (założenie), to zachodzi jakieś zjawisko lub zależność (teza).

Cecha podzielności liczby przez 6 Jeśli liczba jest podzielna przez 2 i przez 3, to dzieli się także przez 6.

Twierdzenie Pitagorasa Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Twierdzenie odwrotne Twierdzenie odwrotne powstaje w wyniku zamiany założenia z tezą. Uwaga! Otrzymane zdanie nie zawsze jest prawdziwe.

Jeśli w trójkącie suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny. Jeśli czworokąt jest kwadratem, to jest też prostokątem. (PRAWDA) Jeśli czworokąt jest prostokątem, to jest też kwadratem. (FAŁSZ)

Pojęcia pierwotne i definicja Pojęcia pierwotne nie mają definicji. Czym w końcu jest punkt, prosta czy przestrzeń? Definicja w sposób precyzyjny wyjaśnia dane słowo. Często zawiera pojęcia pierwotne.

Odcinek – część prostej ograniczona dwoma punktami wraz z tymi punktami Liczba pierwsza – liczba mająca tylko dwa dzielniki (jeden i siebie samą)

9

Przykład i kontrprzykład Przykład służy przedstawieniu danego zjawiska lub zależności w określonej sytuacji. Kontrprzykład służy podważeniu słuszności danego przypuszczenia, wskazując zazwyczaj na jego niedoskonałość.

Sprawdź, czy dla dowolnej liczby 𝑛 liczba postaci 2𝑛 jest podzielna przez 2. Przypuszczenie powyżej jest prawdziwe dla takich wartości liczby 𝑛 jak 3 lub 5 (przykład), ale już nie dla 𝑛 = 1,5 (kontrprzykład). Jak widać, w dowodzeniu nie należy kierować się tym, że w pewnych sytuacjach dana hipoteza jest prawdziwa, gdyż dla innych przypadków może oka-zać się fałszywa.

Metody dowodzenia

1) Dowód wprost – wykazanie, że jeśli założenie jest prawdziwe, to prawdziwa jest też teza 2) Dowód nie wprost – wykazanie, że jeśli teza jest nieprawdziwa, to nieprawdziwe jest też za-

łożenie (→ zadanie 7/46) 3) Dowód geometryczny – wykazanie słuszności danego przypuszczenia przy użyciu praw geo-

metrii 4) Dowód niezależności – wykazanie, że słuszności danego przypuszczenia nie można udowod-

nić 5) Dowód konstruktywny – wykazanie słuszności danego przypuszczenia przy użyciu przykładu,

np. „Udowodnij, że istnieje taki wielościan, który…” 6) Dowód z zastosowaniem kontrprzykładu – podważenie słuszności danego przypuszczenia 7) Dowód z zastosowaniem komputerów – często krytykowany, gdyż umożliwia jedynie spraw-

dzenie słuszności danego przypuszczenia do pewnych granic liczbowych

Algebra

Część testowa – treści zadań

11

Treść każdego z poniższych zadań zawiera trzy stwierdzenia. Każde z nich jest prawdziwe lub fałszywe. Jeśli dane stwierdzenie jest prawdziwe, wpisz w odpowiednią kratkę literkę T, jeśli zaś stwierdzenie jest fałszywe, wpisz literkę N. Zadanie 𝟏. Suma cyfr pewnej dodatniej liczby całkowitej wynosi 6. Wynika z tego, że liczba ta jest podzielna przez

a) 2.

b) 3.

c) 5.

Zadanie 𝟐. Liczby 𝑎, 𝑏 i 𝑐 są kolejnymi dodatnimi liczbami całkowitymi. Wynika z tego, że

a) liczba 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 jest podzielna przez 3.

b) liczba 2𝑎 + 𝑏 jest podzielna przez 3.

c) liczba 𝑎 + 2𝑏 jest podzielna przez 3.

Zadanie 𝟑. Suma pewnych czterech dodatnich liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. Wynika z tego, że

a) co najmniej jedna z tych liczb jest nieparzysta.

b) co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta.

c) dokładnie dwie z tych liczb mogą być parzyste.

Zadanie 𝟒.

Liczba (2 + √3) ∙ (2 − √3) jest

a) niewymierna.

b) całkowita.

c) równa 1.


12

Zadanie 𝟓.

Liczba √0,4444 …

a) nie istnieje.

b) jest równa 0,2222 …

c) jest równa 0,6666 …

Zadanie 𝟔. Sens liczbowy ma wyrażenie

a) 3/0.

b) √−4.

c) √23

.

Zadanie 𝟕. Pewną liczbę podniesiono do potęgi drugiej. Wynika z tego, że otrzymana liczba jest

a) wymierna.

b) większa lub równa zero.

c) większa od liczby początkowej.

Zadanie 𝟖. Równanie 𝑥2 − 15 = 21

a) nie ma rozwiązań.

b) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

c) ma dokładnie dwa rozwiązania.


13

Zadanie 𝟗. Pewne dodatnie liczby całkowite dodatnie spełniają równości 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 i 𝑎 − 𝑏 = 𝑑. Wynika z tego, że

a) 𝑐 < 𝑑.

b) 𝑐 + 𝑑 = 2𝑎.

c) 𝑐 − 𝑑 = 2𝑏.

Zadanie 𝟏𝟎. Istnieją takie liczby pierwsze 𝑝 i 𝑞, że liczba

a) 𝑝 + 𝑞 jest liczbą pierwszą.

b) 𝑝𝑞 + 1 jest liczbą pierwszą.

c) 𝑝𝑞 + 1 jest liczbą złożoną (ma więcej niż dwa dzielniki).

Część testowa - rozwiązania

14

Zadanie 𝟏. Suma cyfr pewnej dodatniej liczby całkowitej wynosi 6. Wynika z tego, że liczba ta jest podzielna przez

N a) 2.

T b) 3.

N c) 5.

a) Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta. W treści zadania nie ma

o tym ani słowa.

b) Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr także dzieli się przez 3 (6/3 = 2).

c) Liczba jest podzielna przez 5, jeśli kończy się na 0 lub 5. W treści zadania nie ma o tym ani

słowa.

Kontrprzykład do zdań a) i c)

Rozpatrzmy liczbę 33. Choć suma jej cyfr jest równa 6, liczba 33 nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5.

Zadanie 𝟐. Liczby 𝑎, 𝑏 i 𝑐 są kolejnymi dodatnimi liczbami całkowitymi. Wynika z tego, że

T a) liczba 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 jest podzielna przez 3.

N b) liczba 2𝑎 + 𝑏 jest podzielna przez 3.

N c) liczba 𝑎 + 2𝑏 jest podzielna przez 3.

Zauważmy, że liczbę 𝑏 możemy zapisać jako 𝑎 + 1, natomiast liczbę 𝑐 – jako 𝑎 + 2. Wówczas

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑎 + 1 + 𝑎 + 2 = 3𝑎 + 3 = 3 ∙ (𝑎 + 1) ,

2𝑎 + 𝑏 = 2𝑎 + 𝑎 + 1 = 3𝑎 + 1 = 3 ∙ (𝑎 +1

3) ,

𝑎 + 2𝑏 = 𝑎 + 2 ∙ (𝑎 + 1) = 3𝑎 + 2 = 3 ∙ (𝑎 +2

3) .

Liczby 𝑎 +1

3 i 𝑎 +

2

3 nie są całkowite, co świadczy o nieprawdziwości zdań b) i c).

Część testowa – rozwiązania

15

Zadanie 𝟑. Suma pewnych czterech dodatnich liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. Wynika z tego, że

T a) co najmniej jedna z tych liczb jest nieparzysta.

T b) co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta.

N c) dokładnie dwie z tych liczb mogą być parzyste.

Zauważmy, że liczbę parzystą możemy zapisać jako 2𝑛, natomiast liczbę nieparzystą – jako 2𝑛 + 1,

gdzie 𝑛 to dodatnia liczba całkowita.

Jeśli wszystkie podane w zadaniu liczby byłyby parzyste, to moglibyśmy zapisać ich sumę jako

2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 + 2𝑑 = 2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) .

Jak widać, suma tych liczb byłaby wówczas liczbą parzystą, co stoi w sprzeczności z warunkami zada-

nia. Wnioskujemy stąd, że co najmniej jedna z nich jest nieparzysta. W podobny sposób dowodzimy,

że co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta.

Jeśli dokładnie dwie z tych czterech liczb byłyby parzyste, to

2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 + 1 + 2𝑑 + 1 = 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 + 2𝑑 + 2 = 2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 1) .

Zadanie 𝟒.

Liczba (2 + √3) ∙ (2 − √3) jest

N a) niewymierna.

T b) całkowita.

T c) równa 1.

Aby wykonać działania szybciej, zastosujemy wzór skróconego mnożenia1.

(2 + √3) ∙ (2 − √3) = 22 − (√3)2

= 4 − 3 = 1

Liczba 1 jest całkowita, czyli należy do zbioru liczb wymiernych. Jak widać, pozory mylą. Pierwiastki nie zawsze zwiastują niewymierność wyrażenia.

1 (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2


16

Zadanie 𝟓.

Liczba √0,4444 …

N a) nie istnieje.

N b) jest równa 0,2222 …

T c) jest równa 0,6666 …

Oznaczmy przez 𝑛 liczbę 0,4444 … Wówczas 10𝑛 = 4 + 𝑛 , czyli 9𝑛 = 4, więc 𝑛 =4

9. Wnioskujemy

stąd, że

√0,4444 … = √4

9=

2

3=

6

9= 0,6666 …

Zadanie 𝟔. Sens liczbowy ma wyrażenie

N a) 3/0.

N b) √−4.

T c) √23

.

Zauważmy, że sens liczbowy ma takie wyrażenie, które zachodzi.

a) Nie możemy dzielić przez zero.

b) Co prawda potęgowanie i pierwiastkowanie to działania odwrotne, ale nie istnieje taka licz-

ba, która podniesiona do kwadratu będzie liczbą ujemną.

c) Wyrażenie √23

w przybliżeniu wynosi 1,26.

Przykłady do zdania b)

22 = 4

(−2)2 = 4


17

Zadanie 𝟕. Pewną liczbę podniesiono do potęgi drugiej. Wynika z tego, że otrzymana liczba jest

N a) wymierna.

T b) większa lub równa zero.

N c) większa od liczby początkowej.

a) Jeśli niewymierny pierwiastek trzeciego stopnia podniesiemy do potęgi drugiej, to dostanie-

my liczbę, która wciąż będzie niewymierna.

b) Kwadrat dowolnej liczby (także ujemnej) jest większy lub równy zero. W końcu „minus razy

minus daje plus”.

c) Jeśli dodatni ułamek zwykły podniesiemy do potęgi drugiej, to dostaniemy liczbę mniejszą od

liczby początkowej.

Przykłady

a) (√23

)2 = √23

∙ √23

= √43

b) (−3)2 = (−3) ∙ (−3) = 9

c) (1

2)

2=

1

2∙

1

2=

1

4

Zadanie 𝟖. Równanie 𝑥2 − 15 = 21

N a) nie ma rozwiązań.

N b) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

T c) ma dokładnie dwa rozwiązania.

𝑥2 − 15 = 21

𝑥2 = 36

𝑥 = 6 lub 𝑥 = (−6)


18

Zadanie 𝟗. Pewne dodatnie liczby całkowite spełniają równości 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 i 𝑎 − 𝑏 = 𝑑. Wynika z tego, że

N a) 𝑐 < 𝑑.

T b) 𝑐 + 𝑑 = 2𝑎.

T c) 𝑐 − 𝑑 = 2𝑏.

a) b) c)

𝑎 + 𝑏 > 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 − 𝑏 = 2𝑎 𝑎 + 𝑏 − (𝑎 − 𝑏) = 2𝑏 𝑐 > 𝑑 𝑐 + 𝑑 = 2𝑎 𝑐 − 𝑑 = 2𝑏

Zadanie 𝟏𝟎. Istnieją takie liczby pierwsze 𝑝 i 𝑞, że liczba

T a) 𝑝 + 𝑞 jest liczbą pierwszą.

T b) 𝑝𝑞 + 1 jest liczbą pierwszą.

T c) 𝑝𝑞 + 1 jest liczbą złożoną (ma więcej niż dwa dzielniki).

a) Dla 𝑝 = 2 i 𝑞 = 3 liczba 𝑝 + 𝑞 = 5 jest liczbą pierwszą.

b) Dla 𝑝 = 2 i 𝑞 = 3 liczba 𝑝𝑞 + 1 = 7 jest liczbą pierwszą.

c) Dla 𝑝 = 3 i 𝑞 = 5 liczba 𝑝𝑞 + 1 = 16 jest liczbą złożoną (ma więcej niż dwa dzielniki).

Część otwarta – treści zadań

20

Zadanie 𝟏. Udowodnij, że iloczyn dowolnej liczby podzielnej przez 2 i dowolnej liczby podzielnej przez 3 dzieli się przez 6. Zadanie 𝟐. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 liczba postaci 𝑛2 − 𝑛 jest podzielna przez 2. Zadanie 𝟑. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 liczba postaci 𝑛3 − 𝑛 jest podzielna przez 6. Zadanie 𝟒. Udowodnij, że kwadrat dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 jest podzielny przez 9 albo przy dziele-niu przez 3 daje resztę 1. Zadanie 𝟓. Udowodnij, że suma dowolnej liczby dwucyfrowej dodatniej i liczby powstałej z przestawienia jej cyfr jest podzielna przez 11. Zadanie 𝟔.

Udowodnij, że liczba 252 + 253 + 254 jest podzielna przez 7. Zadanie 𝟕. Udowodnij, że liczba 20152 + 4 ∙ 2015 + 4 jest podzielna przez 2017. Zadanie 𝟖. Udowodnij, że suma kwadratów dwóch dowolnych liczb całkowitych dodatnich jest większa lub rów-na podwojonemu iloczynowi tych liczb. Zadanie 𝟗. Udowodnij, że kwadrat średniej arytmetycznej dwóch dowolnych liczb całkowitych dodatnich jest większy lub równy iloczynowi tych liczb. Zadanie 𝟏𝟎. Udowodnij, że jeśli dowolne liczby całkowite dodatnie spełniają nierówności 𝑎 < 𝑐 i 𝑏 < 𝑐, to 𝑎 + 𝑏

2<

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

3 .


21

Zadanie 𝟏𝟏. Udowodnij, że liczba 436 jest większa od 724. Zadanie 𝟏𝟐. Udowodnij, że wśród dowolnych jedenastu liczb naturalnych istnieją dwie, które mają tę samą cyfrę jedności. Zadanie 𝟏𝟑. Sprawdź, czy istnieje liczba, której iloczyn cyfr jest równy 92. Zadanie 𝟏𝟒. Wyznacz ostatnią cyfrę liczby 230. Zadanie 𝟏𝟓.

Wyznacz wartość wyrażenia 3𝑏

𝑎+𝑏, jeśli

𝑎

𝑎+𝑏=

1

3.

Część otwarta – rozwiązania

22

Zadanie 𝟏. Udowodnij, że iloczyn dowolnej liczby podzielnej przez 2 i dowolnej liczby podzielnej przez 3 dzieli się przez 6. Zauważmy, że liczbę podzielną przez 2 możemy ją zapisać jako 2𝑚. Analogicznie, liczbę podzielną przez 3 możemy zapisać jako 3𝑘. Przykłady

20 = 2 ∙ 10 30 = 3 ∙ 10

Iloczyn liczb 2𝑚 i 3𝑘 jest równy 6𝑚𝑘. Otrzymana liczba dzieli się przez 2, przez 3 i przez 6. Zadanie 𝟐. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 liczba postaci 𝑛2 − 𝑛 jest podzielna przez 2. Na początku spróbujemy sprowadzić tę liczbę do jak najprostszej postaci poprzez wyłączenie naj-większego wspólnego czynnika za nawias.

𝑛2 − 𝑛 = (𝑛 − 1) ∙ 𝑛 Liczby 𝑛 − 1 i 𝑛 są dwiema kolejnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, dlatego dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 2. Przykłady

3 i 4 Liczba 4 dzieli się przez 2

56 i 57 Liczba 56 dzieli się przez 2

Liczba 𝑛2 − 𝑛 będąca iloczynem tych liczb także jest podzielna przez 2.


23

Zadanie 𝟑. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 liczba postaci 𝑛3 − 𝑛 jest podzielna przez 6. Na początku spróbujemy sprowadzić tę liczbę do jak najprostszej postaci poprzez wyłączenie jej naj-większego wspólnego czynnika przed nawias, a następnie zastosowanie wzoru skróconego mnożenia.

𝑛3 − 𝑛 = 𝑛 ∙ (𝑛2 − 1) = 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ∙ (𝑛 − 1) = (𝑛 − 1) ∙ 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) Liczby 𝑛 − 1, 𝑛 i 𝑛 + 1 są trzema kolejnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, dlatego co najmniej jed-na z nich jest podzielna przez 2 oraz dokładnie jedna jest podzielna przez 3. Przykłady

15, 16 i 17 Liczba 16 dzieli się przez 2, a liczba 15 – przez 3

20, 21 i 22 Liczby 20 i 22 dzielą się przez 2, a liczba 21 – przez 3

Liczba 𝑛3 − 𝑛 będąca iloczynem tych liczb także jest podzielna przez 2 i przez 3. Wnioskujemy stąd, że liczba 𝑛3 − 𝑛 dzieli się przez 6. Zadanie 𝟒. Udowodnij, że kwadrat dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 jest podzielny przez 9 albo przy dziele-niu przez 3 daje resztę 1. Zauważmy, że dowolna dodatnia liczba całkowita 𝑛 jest podzielna przez 3 albo przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 czy też 2. Przykłady

30 30 = 3 ∙ 10 31 31 = 3 ∙ 10 + 1 32 32 = 3 ∙ 10 + 2

Wnioskujemy stąd, że liczbę 𝑛 możemy zapisać jako 3𝑚, 3𝑚 + 1 lub 3𝑚 + 2. Możliwe są więc trzy przypadki.

1) (3𝑚)2 = 9𝑚2, czyli liczba ta jest podzielna przez 9. 2) (3𝑚 + 1)2 = 9𝑚2 + 6𝑚 + 1 = 3 ∙ (3𝑚2 + 2𝑚) + 1, czyli liczba ta przy dzieleniu przez

3 daje resztę 1. 3) (3𝑚 + 2)2 = 9𝑚2 + 12𝑚 + 4 = 3 ∙ (3𝑚2 + 4𝑚 + 1) + 1, czyli liczba ta przy dzieleniu przez

3 daje resztę 1.


24

Zadanie 𝟓. Udowodnij, że suma dowolnej liczby dwucyfrowej dodatniej i liczby powstałej z przestawienia jej cyfr jest podzielna przez 11. Zauważmy, że liczbę dwucyfrową dodatnią możemy zapisać jako 10𝑚 + 𝑘, gdzie 𝑚 i 𝑘 to dodatnie liczby całkowite. Wówczas liczba powstała z przestawienia jej cyfr przybiera postać 10𝑘 + 𝑚. Przykłady

26 = 10 ∙ 2 + 6 62 = 10 ∙ 6 + 2 35 = 10 ∙ 3 + 5 53 = 10 ∙ 5 + 3

Dowód przeprowadzimy poprzez symboliczne dodanie liczb z treści zadania, a następnie wyłączenie największego wspólnego czynnika przed nawias.

10𝑚 + 𝑘 + 10𝑘 + 𝑚 = 11𝑘 + 11𝑚 = 11 ∙ (𝑚 + 𝑘) Zadanie 𝟔.

Udowodnij, że liczba 252 + 253 + 254 jest podzielna przez 7. Dowód przeprowadzimy poprzez wyłączenie największego wspólnego czynnika przed nawias z zastosowaniem prawa wykładników, które głosi, że 𝑎𝑛+𝑚 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚.

252 + 253 + 254 = 252 + 252 ∙ 21 + 252 ∙ 22 = 252 ∙ (1 + 2 + 4) = 252 ∙ 7 Zadanie 𝟕. Udowodnij, że liczba 20152 + 4 ∙ 2015 + 4 jest podzielna przez 2017. Dowód przeprowadzimy poprzez zastosowanie wzoru skróconego mnożenia2.

20152 + 4 ∙ 2015 + 4 = (2015 + 2)2 = 20172 = 2017 ∙ 2017

2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2


25

Zadanie 𝟖. Udowodnij, że suma kwadratów dwóch dowolnych liczb całkowitych dodatnich jest większa lub rów-na podwojonemu iloczynowi tych liczb. Oznaczmy przez 𝑎 i 𝑏 dowolne liczby całkowite dodatnie. Wówczas nierówność ukryta w treści zada-nia przybiera postać 𝑎2 + 𝑏2 ≥ 2𝑎𝑏. Dowód przeprowadzimy poprzez przeniesienie prawej strony nierówności na jej lewą część, a na-stępnie zastosowanie wzoru skróconego mnożenia.

𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ≥ 0

(𝑎 − 𝑏)2 ≥ 0

Kwadrat dowolnej liczby (także ujemnej) jest większy lub równy zero. Zadanie 𝟗. Udowodnij, że kwadrat średniej arytmetycznej dwóch dowolnych liczb całkowitych dodatnich jest większy lub równy iloczynowi tych liczb. Oznaczmy przez 𝑎 i 𝑏 dowolne liczby całkowite dodatnie. Wówczas nierówność ukryta w treści zada-

nia przybiera postać (𝑎+𝑏

2)

2≥ 𝑎𝑏.

Postąpimy podobnie jak w poprzednim zadaniu.

(𝑎 + 𝑏

2)

2

≥ 𝑎𝑏

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

4≥ 𝑎𝑏/∙ 4

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ 4𝑎𝑏

𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ 0

(𝑎 − 𝑏)2 ≥ 0

Kwadrat dowolnej liczby (także ujemnej) jest większy lub równy zero.


26

Zadanie 𝟏𝟎. Udowodnij, że jeśli dowolne liczby całkowite dodatnie spełniają nierówności 𝑎 < 𝑐 i 𝑏 < 𝑐, to 𝑎 + 𝑏

2<

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

3 .

Dowód przeprowadzimy poprzez zapisanie nierówności powyżej w jak najprostszej formie.

𝑎 + 𝑏

2<

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

3/∙ 6

3𝑎 + 3𝑏 < 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐

𝑎 + 𝑏 < 2𝑐

Sprawdzimy teraz, czy uzyskana nierówność pokrywa się z warunkami zadania.

𝑎 < 𝑐 𝑏 < 𝑐

Po dodaniu tych nierówności stronami dostaniemy 𝑎 + 𝑏 < 2𝑐. Zadanie 𝟏𝟏. Udowodnij, że liczba 436 jest większa od 724. Dowód przeprowadzimy poprzez zastosowanie prawa wykładników, które głosi, że 𝑎𝑛𝑚 = (𝑎𝑛)𝑚.

436 > 724

(43)12 > (72)12

6412 > 4912


27

Zadanie 𝟏𝟐. (→ zadanie 15/50) Udowodnij, że wśród dowolnych jedenastu liczb naturalnych istnieją dwie, które mają tę samą cyfrę jedności. Zasada szufladkowa3 głosi, że jeśli umieszczamy przedmioty w szufladkach i dysponujemy większą liczbą przedmiotów, niż szufladek, to w pewnej szufladce znajdą się co najmniej dwa przedmioty. Tę naturalną obserwację wykorzystamy do rozwiązania tego zadania. Mamy 10 możliwych cyfr jedności (od 0 do 9), niech to będą nasze szufladki. Rozmieszczamy w nich 11 dowolnych liczb. Wówczas z zasady szufladkowej wnioskujemy, że do pewnej szufladki trafią co najmniej dwie liczby. Zadanie 𝟏𝟑. Sprawdź, czy istnieje liczba, której iloczyn cyfr jest równy 92. Na początku rozłożymy liczbę 92 na czynniki pierwsze.

92 2 46 2 23 23 1

Liczby 92 nie możemy otrzymać w wyniku mnożenia samych cyfr. Musimy użyć jednej z trzech liczb dwucyfrowych (92, 46 lub 23), co stoi w sprzeczności z warunkami zadania. Przykłady

92 = 1 ∙ 92 92 = 2 ∙ 46 92 = 4 ∙ 23

3 Jej autorem jest Peter G. L. Dirichlet.


28

Zadanie 𝟏𝟒. Wyznacz ostatnią cyfrę liczby 230. Na początku sprawdzimy, jakie cyfry jedności mają kolejne potęgi liczby 2.

21 22 23 24 25 26 27 28 2 4 8 16 32 64 128 256

Z powyższej tabeli wnioskujemy, że cyfry jedności kolejnych potęg liczby 2 powtarzają się w sekwen-cji 2486. W ciągu trzydziestu cyfr mieści się siedem takich czterocyfrowych sekwencji i jeszcze dwie cyfry (2 i 4). Wobec tego liczba 230 kończy się cyfrą 4. W wielu zadaniach dotyczących podzielności liczb należy wyznaczyć ostatnią cyfrę danej liczby, aby sprawdzić, czy dzieli się ona np. przez 5. Liczba 230 nie ma tej własności, gdyż kończy się cyfrą 4. Zadanie 𝟏𝟓.

Wyznacz wartość wyrażenia 3𝑏

𝑎+𝑏, jeśli

𝑎

𝑎+𝑏=

1

3.

To zadanie wykonamy poprzez zastosowanie proporcji.

𝑎

𝑎 + 𝑏=

1

3

𝑎 + 𝑏 = 3𝑎 𝑏 = 2𝑎

Po podstawieniu uzyskanej zależności otrzymujemy

3𝑏

𝑎 + 𝑏=

3 ∙ 2𝑎

𝑎 + 2𝑎=

6𝑎

3𝑎= 2 .

Notki W kilku zadaniach pominęliśmy fakt, że dla 𝑛 = 1 „twierdzenia” są nieprawdziwe. Podobnie należy postąpić w takiej sytuacji na konkursie matematycznym lub na egzaminie gimnazjalnym.

Geometria


31

Treść każdego z poniższych zadań zawiera trzy stwierdzenia. Każde z nich jest prawdziwe lub fałszywe. Jeśli dane stwierdzenie jest prawdziwe, wpisz w odpowiednią kratkę literkę T, jeśli zaś stwierdzenie jest fałszywe, wpisz literkę N. Zadanie 𝟏. Trójkąt o bokach długości 𝑎, 2𝑎 i 4𝑎 jest

a) ostrokątny.

b) prostokątny.

c) rozwartokątny.

Zadanie 𝟐. Punkt 𝑆 leży w tej samej odległości od wierzchołków trójkąta. Wynika z tego, że punkt 𝑆

a) nie istnieje.

b) powstał poprzez przecięcie się symetralnych boków tego trójkąta.

c) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 𝟑. Liczba 𝜋 jest równa

a) 3,14.

b) stosunkowi długości okręgu do jego średnicy.

c) stosunkowi pola koła do kwadratu jego promienia.

Zadanie 𝟒. Przekątne prostokąta

a) dzielą jego kąty wewnętrzne na połowy.

b) przecinają się pod kątem prostym.

c) mają tę samą długość.


32

Zadanie 𝟓. Jeśli wszystkie boki czworokąta mają tę samą długość, to czworokąt ten jest

a) równoległobokiem.

b) rombem.

c) kwadratem.

Zadanie 𝟔. Jeśli każdy bok kwadratu powiększono o 20%, to pole tego kwadratu zwiększyło się

a) o 20%.

b) o 40%.

c) o 44%.

Zadanie 𝟕. Każdy bok i każdą przekątną pięciokąta foremnego pomalowano na czerwono lub niebiesko. Wynika

z tego, że

a) pewne trzy boki są tego samego koloru.

b) pewne dwie przekątne są różnych kolorów.

c) z pewnego wierzchołka wychodzą trzy odcinki tego samego koloru.

Zadanie 𝟖. Jeśli sześciokąt jest foremny, to

a) ma sześć osi symetrii.

b) ma środek symetrii.

c) jego kąty wewnętrzne mają miarę 120°.


33

Zadanie 𝟗. Istnieje ostrosłup mający

Zadanie 𝟏𝟎. Istnieje graniastosłup mający

a) 15 ścian.

b) 15 wierzchołków.

c) 15 krawędzi.

a) 20 ścian.

b) 20 wierzchołków.

c) 20 krawędzi.


34

Zadanie 𝟏. Trójkąt o bokach długości 𝑎, 2𝑎 i 4𝑎 jest

N a) ostrokątny.

N b) prostokątny.

N c) rozwartokątny.

Zanim zdecydujemy, czy jest to trójkąt ostrokątny, czy rozwartokątny, sprawdzimy, czy w ogóle da się

go zbudować. Warunek istnienia trójkąta głosi, że suma długości dwóch krótszych boków musi być

większa od długości najdłuższego boku.

𝑎 + 2𝑎 > 4𝑎

3𝑎 > 4𝑎

Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli trójkąt ten nie istnieje.

Zadanie 𝟐. Punkt 𝑆 leży w tej samej odległości od wierzchołków trójkąta. Wynika z tego, że punkt 𝑆

N a) nie istnieje.

T b) powstał poprzez przecięcie się symetralnych boków tego trójkąta.

T c) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.


35

Zadanie 𝟑. Liczba 𝜋 jest równa

N a) 3,14.

T b) stosunkowi długości okręgu do jego średnicy.

T c) stosunkowi pola koła do kwadratu jego promienia.

Liczba 𝜋 jest liczbą niewymierną, czyli ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.

𝜋 = 3,14159265 …

b) c) 𝐿 = 𝜋 ∙ 2𝑟 𝑃 = 𝜋 ∙ 𝑟2

𝐿 = 𝜋 ∙ 𝑑 𝑃

𝑟2= 𝜋

𝐿

𝑑= 𝜋

Zadanie 𝟒. Przekątne prostokąta

N a) dzielą jego kąty wewnętrzne na połowy.

N b) przecinają się pod kątem prostym.

T c) mają tę samą długość.

Aby ocenić prawdziwość zdań powyżej, narysujmy kilka różnych prostokątów i sprawdźmy własności ich przekątnych.


36

Zadanie 𝟓. Jeśli wszystkie boki czworokąta mają tę samą długość, to czworokąt ten jest

T a) równoległobokiem.

T b) rombem.

N c) kwadratem.

a) Równoległobok – czworokąt mający dwie pary boków równoległych. b) Romb – czworokąt mający wszystkie boki tej samej długości. c) Kwadrat – czworokąt mający wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty proste. W tre-

ści zadania nie ma o tym drugim ani słowa. Romb jest równoległobokiem. Zadanie 𝟔. Jeśli każdy bok kwadratu powiększono o 20%, to pole tego kwadratu zwiększyło się

N a) o 20%.

N b) o 40%.

T c) o 44%.

Oznaczmy przez 𝑎 początkową długość boku kwadratu. Po powiększeniu liczby 𝑎 o 20% dostaniemy

𝑎 +20

100𝑎 =

12

10𝑎. Pole kwadratu o boku długości

12

10𝑎 jest równe

(12

10𝑎)

2

=144

100𝑎2 .

Jak widać, pole tego kwadratu zwiększyło się o 44%.


37

Zadanie 𝟕. Każdy bok i każdą przekątną pięciokąta foremnego pomalowano na czerwono lub niebiesko. Wynika

z tego, że

T a) pewne trzy boki są tego samego koloru.

N b) pewne dwie przekątne są różnych kolorów.

N c) z pewnego wierzchołka wychodzą trzy odcinki tego samego koloru.

Zdanie a) jest prawdziwe, co możemy sprawdzić, rysując wszystkie

możliwe kombinacje kolorów. Gdy pokolorujemy jeden bok na nie-

biesko, to będziemy musieli pokolorować cztery pozostałe boki na

czerwono; gdy pokolorujemy dwa boki na niebiesko, to będziemy

musieli pokolorować trzy pozostałe boki na czerwono itd. Aby oce-

nić prawdziwość zdań b) i c), rozpatrzmy taki pięciokąt foremny,

którego każdy bok pomalowano na czerwono, a każdą przekątną na

niebiesko. Z każdego wierzchołka tego wielokąta wychodzą dokład-

nie dwa odcinki czerwone oraz dwa odcinki niebieskie, co widać na

załączonym obrazku.

Zadanie 𝟖. Jeśli sześciokąt jest foremny, to

T a) ma sześć osi symetrii.

T b) ma środek symetrii.

T c) jego kąty wewnętrzne mają miarę 120°.

Zauważmy, że liczba osi symetrii dowolnego wielokąta foremnego jest równa liczbie jego boków. Jeśli

do tego liczba tych boków dzieli się przez 2, to wielokąt ten ma także środek symetrii.

Miarę kątów wewnętrznych 𝑛-kąta foremnego możemy obliczyć ze wzoru 𝛼 =(𝑛−2)∙180°

𝑛. Wobec tego

𝛼 =(6 − 2) ∙ 180°

6= 120° .


38

Zadanie 𝟗. Istnieje ostrosłup mający

Oznaczmy przez 𝑛 liczbę krawędzi podstawy dowolnego graniastosłupa. Wówczas 𝑛 + 1 to liczba jego ścian, ale także liczba wierzchołków, natomiast 2𝑛 – liczba wszystkich krawędzi. Pozostaje nam napisać trzy równania i wyznaczyć liczby krawędzi podstaw.

a) b) c)

𝑛 + 1 = 15 𝑛 + 1 = 15 2𝑛 = 15 𝑛 = 14 𝑛 = 14 𝑛 = 7,5

Liczba krawędzi musi być liczbą całkowitą, czyli zdanie c) jest nieprawdziwe.

Zadanie 𝟏𝟎. Istnieje graniastosłup mający

Oznaczmy przez 𝑛 liczbę krawędzi podstawy dowolnego graniastosłupa. Wówczas 𝑛 + 2 to liczba jego ścian, 2𝑛 – liczba wierzchołków, natomiast 3𝑛 – liczba wszystkich krawędzi. Pozostaje nam napisać trzy równania i wyznaczyć liczby krawędzi podstaw.

a) b) c)

𝑛 + 2 = 20 2𝑛 = 20 3𝑛 = 20 𝑛 = 18 𝑛 = 10 𝑛 = 6,6666 …

Liczba krawędzi musi być liczbą całkowitą, czyli zdanie c) jest nieprawdziwe.

T a) 15 ścian.

T b) 15 wierzchołków.

N c) 15 krawędzi.

T a) 20 ścian.

T b) 20 wierzchołków.

N c) 20 krawędzi.


40

Zadanie 𝟏. Wykaż, że jeśli czworokąt jest opisany na okręgu, to sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Zadanie 𝟐.

Wykaż, że pole czworokąta o obwodzie 𝐿 opisanego na okręgu o promieniu 𝑟 jest równe 1

2𝐿 ∙ 𝑟.

Zadanie 𝟑. Wykaż, że promień 𝑟 okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 𝑎 i 𝑏

oraz przeciwprostokątnej 𝑐 dany jest wzorem 𝑟 =𝑎+𝑏−𝑐

2.

Zadanie 𝟒. Na rysunku prosta 𝑘 jest styczna do okręgu o środku 𝑆. Wykaż, że kąt 𝛼 ma miarę dwukrotnie większą od kąta 𝛽. Zadanie 𝟓. Wykaż, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 przedstawiony na rysunku jest równoboczny. Zadanie 𝟔. Jedno z ramion trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶 przecina prostą prostopadłą do podstawy 𝐴𝐵, która na przedłużeniu boku 𝐴𝐶 wyznaczyła punkt 𝐷, na ramieniu 𝐵𝐶 punkt – 𝐸, a na podstawie 𝐴𝐵 – punkt 𝐹. Wykaż, że trójkąt 𝐶𝐷𝐸 jest równoramienny. Zadanie 𝟕. Wykaż, że w dowolnym trójkącie jest kąt wewnętrzny, który mierzy co najmniej 60°. Zadanie 𝟖.

Wykaż, że jeśli punkt 𝐷 leży na boku 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, to 𝑃𝐴𝐷𝐶

𝑃𝐷𝐵𝐶=

𝐴𝐷

𝐷𝐵.


41

Zadanie 𝟗.

Wykaż, że pole pięciokąta przedstawionego na rysunku jest równe 1

2𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐 + 𝑑).

Zadanie 𝟏𝟎. Wykaż, że jeśli przekątne trapezu równoramiennego zawierają się w dwusiecznych kątów przy jego dłuższej podstawie, to ramiona tego trapezu mają tę samą długość co krótsza z podstaw. Zadanie 𝟏𝟏. Wykaż, że jeśli przekątne czworokąta przecinają się w połowie, to czworokąt ten jest równoległobo-kiem. Zadanie 𝟏𝟐. Wykaż, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 przedstawione na rysunku są podobne. Zadanie 𝟏𝟑. Prostokąt o bokach długości 𝑎, 𝑏 jest podobny do prostokąta o bokach długości 𝑎 + 5, 𝑏 + 5. Wykaż, że prostokąty te są kwadratami. Zadanie 𝟏𝟒. Wykaż, że pole kwadratu zbudowanego na przekątnej kwadratu jest dwukrotnie większe od pola tego kwadratu. Zadanie 𝟏𝟓. W kwadracie o boku długości 2𝑎 znajduje się pięć punktów. Wykaż, że wśród tych punktów istnieją

dwa, których odległość jest mniejsza lub równa 𝑎√2.

Część otwarta - rozwiązania

42

Zadanie 𝟏. Wykaż, że jeśli czworokąt jest opisany na okręgu, to sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Wskazówka Odcinki łączące punkt przecięcia się stycznych do okręgu z punktami styczności mają równe długości. Własność powyżej została przedstawiona na załączonym obrazku. W czworokącie przeciwległe są do siebie podstawy oraz ramiona. Suma długości podstaw 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 składa się z odcinka niebieskiego, zielonego, pomarańczowego i czerwonego. Z tych samych elementów zbudowana jest także suma długości ramion 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶. Wnioskujemy stąd, że 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶.


43

Zadanie 𝟐.

Wykaż, że pole czworokąta o obwodzie 𝐿 opisanego na okręgu o promieniu 𝑟 jest równe 1

2𝐿 ∙ 𝑟.

Wskazówka Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 składa się z czterech par przystających trójkątów prostokątnych (niebieskich, zielo-nych, pomarańczowych i czerwonych). Ze wskazówki wynika, że promienie okręgu poprowadzone do punktów styczności są wysokościami tych trójkątów.

𝑃 = 2 ∙1

2∙ 𝑎𝑟 + 2 ∙

1

2∙ 𝑏𝑟 + 2 ∙

1

2∙ 𝑐𝑟 + 2 ∙

1

2∙ 𝑑𝑟 = 𝑎𝑟 + 𝑏𝑟 + 𝑐𝑟 + 𝑑𝑟 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) ∙ 𝑟

Obwód 𝐿 tego czworokąta wynosi 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 + 2𝑑, czyli 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 =1

2𝐿.

Wnioskujemy stąd, że 𝑃 =1

2𝐿 ∙ 𝑟.


44

Zadanie 𝟑. Wykaż, że promień 𝑟 okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 𝑎 i 𝑏

oraz przeciwprostokątnej 𝑐 dany jest wzorem 𝑟 =𝑎+𝑏−𝑐

2.

Wskazówki Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Odcinki łączące punkt przecięcia się stycznych do okręgu z punktami styczności mają równe długości. Własności powyżej zostały przedstawione na załączonym obrazku. Sąsiadujące ze sobą boki (promie-nie) niebieskiego prostokąta mają tę samą długość, czyli jest on kwadratem. Suma długości odcinka niebieskiego i pomarańczowego jest równa 𝑎, więc odcinek pomarańczowy ma długość 𝑎 − 𝑟. W podobny sposób dowodzimy, że odcinek zielony ma długość 𝑏 − 𝑟. Wnioskujemy stąd, że

𝑐 = 𝑎 − 𝑟 + 𝑏 − 𝑟

𝑐 + 2𝑟 = 𝑎 + 𝑏

2𝑟 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑐

𝑟 =𝑎 + 𝑏 − 𝑐

2


45

Zadanie 𝟒. Na rysunku prosta 𝑘 jest styczna do okręgu o środku 𝑆. Wykaż, że kąt 𝛼 ma miarę dwukrotnie większą od kąta 𝛽. Wskazówki Promienie okręgu mają równe długości. Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

1) Niebieski trójkąt jest równoramienny, czyli kąty leżące przy jego podstawie mają tę samą miarę.

2) Suma miar kąta niebieskiego i kąta 𝛽 wynosi 90°, czyli kąt

niebieski ma miarę 90° − 𝛽.

3) Suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie wynosi 180°.

90° − 𝛽 + 90° − 𝛽 + 𝛼 = 180°

180° − 2𝛽 + 𝛼 = 180°

−2𝛽 + 𝛼 = 0

𝛼 = 2𝛽

Zadanie 𝟓. Wykaż, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 przedstawiony na rysunku jest równoboczny.

1) Kąty 𝐵𝐴𝐶 i 120° są kątami przyległymi, czyli ∡𝐵𝐴𝐶 = 180° − 120° = 60°.

2) Kąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝛼 są kątami wierzchołkowymi, czyli ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝛼.

3) Suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie

wynosi 180°.

60° + 𝑎 + 𝑎 = 180°

2𝑎 = 120°

𝑎 = 60°

Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 ma wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary, więc jest równoboczny.

𝛼 – kąt środkowy

𝛽 – kąt dopisany do okręgu


46

Zadanie 𝟔. Jedno z ramion trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶 przecina prostą prostopadłą do podstawy 𝐴𝐵, która na przedłużeniu boku 𝐴𝐶 wyznaczyła punkt 𝐷, na ramieniu 𝐵𝐶 punkt – 𝐸, a na podstawie 𝐴𝐵 –punkt 𝐹. Wykaż, że trójkąt 𝐶𝐷𝐸 jest równoramienny. Skoro trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, to ∡𝐵𝐴𝐶 = ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝛼.

1) ∡𝐴𝐶𝐵 = 180° − 2𝛼, czyli ∡𝐷𝐶𝐸 = 2𝛼 (kąty przyległe).

2) ∡𝐵𝐸𝐹 = 180° − 90° − 𝛼 = 90° − 𝑎, czyli ∡𝐶𝐸𝐷 = 90° − 𝛼 (kąty wierzchołkowe).

3) ∡𝐶𝐷𝐸 = 180° − 2𝛼 − (90° − 𝛼) = 90° − 𝛼

Trójkąt 𝐶𝐷𝐸 ma dwa kąty tej samej miary, więc jest równoramienny. Zadanie 𝟕. Wykaż, że w dowolnym trójkącie jest kąt wewnętrzny, który mierzy co najmniej 60°. Przypuśćmy, że w pewnym trójkącie wszystkie kąty wewnętrzne mierzą mniej niż 60°.

𝛼 < 60°

𝛽 < 60°

𝛾 < 60°

Po podaniu tych nierówności stronami dostaniemy 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 < 180°. Otrzymaliśmy sprzeczność, gdyż w każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180°. Wnioskujemy stąd, że w każdym trójkącie jest kąt, który mierzy co najmniej 60°.


47

Zadanie 𝟖.

Wykaż, że jeśli punkt 𝐷 leży na boku 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, to 𝑃𝐴𝐷𝐶

𝑃𝐷𝐵𝐶=

𝐴𝐷

𝐷𝐵.

Zauważmy, że trójkąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐷𝐵𝐶 mają tę samą wysokość. Wnioskujemy stąd, że

𝑃𝐴𝐷𝐶

𝑃𝐷𝐵𝐶=

12

∙ 𝐴𝐷 ∙ ℎ

12 ∙ 𝐷𝐵 ∙ ℎ

=𝐴𝐷

𝐷𝐵 .

Zadanie 𝟗.

Wykaż, że pole pięciokąta przedstawionego na rysunku jest równe 1

2𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐 + 𝑑).

Zauważmy, że przedstawiony na rysunku pięciokąt składa się z dwóch większych trójkątów rozwarto-kątnych (jeden jest przechylony w lewo, a drugi w prawo). Suma pól tych trójkątów będzie większa od pola pięciokąta, gdyż mają one jedną część wspólną. Wobec tego

𝑃 =1

2𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) +

1

2𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑑) −

1

2𝑎 ∙ 𝑏 =

1

2𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 − 𝑏) =

1

2𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐 + 𝑑) .


48

Zadanie 𝟏𝟎. Wykaż, że jeśli przekątne trapezu równoramiennego zawierają się w dwusiecznych kątów przy jego dłuższej podstawie, to ramiona tego trapezu mają tę samą długość co krótsza z podstaw. Zauważmy, że dwusieczna dzieli kąt 𝐵𝐴𝐷 na dwie równe części, czyli ∡𝐵𝐴𝐶 = ∡𝐶𝐴𝐷 = 𝛼. Ponadto ∡𝐵𝐴𝐶 = ∡𝐴𝐶𝐷 = 𝛼. Z powyższych równości wnioskujemy, że kąty leżące przy odcinku 𝐴𝐶 mają tę samą miarę. Wynika z tego, że trójkąt 𝐴𝐶𝐷 ma równe ramiona, więc 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶. Trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 także jest równoramienny, zatem 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 = 𝐶𝐵.

𝑘 i 𝑙 – proste równoległe

Kąty odpowiadające i naprzemianległe mają równe miary

Zadanie 𝟏𝟏. Wykaż, że jeśli przekątne czworokąta przecinają się w połowie, to czworokąt ten jest równoległobo-kiem. Zauważmy, że 𝐴𝑆 = 𝐶𝑆 oraz 𝐵𝑆 = 𝐷𝑆. Ponadto kąt zawarty między odcinkami 𝐴𝑆 i 𝐵𝑆 ma tę samą miarę co kąt zawarty między odcinkami 𝐷𝑆 i 𝐶𝑆. Wobec tego trójkąty 𝐴𝐵𝑆 i 𝐷𝐶𝑆 są przystające, czyli 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶. W podobny sposób dowo-dzimy, że 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶. Czworokąt, który ma dwie pary boków równej długości, jest równoległobokiem.


49

Zadanie 12. Wykaż, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 przedstawione na rysunku są podobne. Na początku obliczymy długość odcinka 𝐴𝐶 poprzez zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

𝐴𝐶2 + 22 = 42

𝐴𝐶2 = 16 − 4

𝐴𝐶 = √12

𝐴𝐶 = 2√3

Długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 możemy zapisać jako 𝑎, 𝑎√3 i 2𝑎. Ze związków miarowych otrzymuje-my, że kąty tego trójkąta mają miary 90°, 30° i 60°. Kąty trójkąta 𝐴𝐵𝐶 mają takie same miary jak kąty trójkąta 𝐾𝐿𝑀, czyli trójkąty te są podobne. Zadanie 𝟏𝟑. Prostokąt o bokach długości 𝑎, 𝑏 jest podobny do prostokąta o bokach długości 𝑎 + 5, 𝑏 + 5. Wykaż, że prostokąty te są kwadratami. To zadanie wykonamy poprzez zastosowanie skali podobieństwa i proporcji.

𝑎 + 5

𝑎=

𝑏 + 5

𝑏

𝑎(𝑏 + 5) = 𝑏(𝑎 + 5)

𝑎𝑏 + 5𝑎 = 𝑎𝑏 + 5𝑏

5𝑎 = 5𝑏

𝑎 = 𝑏

Prostokąty, które mają wszystkie boki tej samej długości, są kwadratami.

𝑎 = 𝑏 𝑎 + 5 = 𝑏 + 5


50

Zadanie 𝟏𝟒. Wykaż, że pole kwadratu zbudowanego na przekątnej kwadratu jest dwukrotnie większe od pola tego kwadratu. Zauważmy, że przekątna kwadratu jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego. Wobec tego

𝑎2 + 𝑎2 = 𝑑2

𝑑2 = 2𝑎2

𝑑 = 𝑎√2

Wnioskujemy stąd, że

𝑃2

𝑃1=

(𝑎√2)2

𝑎2=

2𝑎2

𝑎2= 2 .

Zadanie 𝟏𝟓. (→ zadanie 12/27) W kwadracie o boku długości 2𝑎 znajduje się pięć punktów. Wykaż, że wśród tych punktów istnieją

dwa, których odległość jest mniejsza lub równa 𝑎√2. Na początku podzielimy duży kwadrat na cztery mniejsze o boku długości 𝑎. Wówczas co najmniej dwa z pięciu punktów znajdą się w jednym z jednym z tych kwadratów (zasada szufladkowa).

Najdłuższym odcinkiem w kwadracie jest przekątna licząca 𝑎√2.

Zadania na dowodzenie

Documents

Transcript of Zadania na dowodzenie