Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

12

description

Książka została przygotowana z myślą o uczniach starszych klas szkoły podstawowej, gimnazjum i liceum zainteresowanych matematyką. Znajdują się tutaj m.in. zadania pochodzące z olimpiad i konkursów matematycznych. Zadania zostały pogrupowane w sześciu działach: Figle z zapałkami; Zadania geometryczne; Diagramy i rebusy; Potęgi i wzory skróconego mnożenia; Równania, nierówności i tożsamości; Zadania rozmaite. Ostatni, siódmy rozdział stanowi mini-vademecum olimpijczyka. Zadania zawierają rozwiązania, a tylko niekiedy krótką wskazówkę. Książka jest bogato ilustrowana.

Transcript of Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

Page 1: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski
Page 2: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

Henryk Paw³owski

Toruñ 2006

Na olimpijskim

szlakuZadania

dla kó³ek matematycznych

w szko³ach podstawowych

i gimnazjach

strona – 1 — czerwonystrona – 1 — niebieski strona – 1 — czarny

Page 3: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

Henryk Paw³owski

Na olimpijskim szlaku

Zadania dla kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i gimnazjach

Redaktor wydania:

Zdzis³aw G³owacki

Korekta:

Joanna Kar³owska-Pik

Redakcja techniczna, opracowanie graficzne, ³amanie i przygotowanie do druku:

Robert Ciechanowski, RC PRO (www.rc-pro.eu)

Projekt ok³adki:

Miros³aw G³odkowski, Zdzis³aw G³owacki

Ilustracje:

Katarzyna Danielewska

Ksi¹¿ka zosta³a przygotowana z myœl¹ o uczniach starszych klas szko³y podstawowej,

gimnazjum i liceum zainteresowanych matematyk¹. Znajduj¹ siê tutaj m.in. zadania

pochodz¹ce z olimpiad i konkursów matematycznych. Na olimpijskim szlaku to ele-

mentarz ucznia myœl¹cego powa¿nie o udziale w konkursach matematycznych, to

tak¿e zbiór ciekawych zadañ do wykorzystywania na lekcjach matematyki.

© Copyright by Oficyna Wydawnicza „Tutor”

Wydanie III. Toruñ 2006 r.

Oficyna Wydawnicza „Tutor”

87-100 Toruñ, ul. Warszawska 14/2, tel./fax 0-56 65-999-55, 0-56 66-408-66

Wysy³kowa Ksiêgarnia Internetowa: www.szkolna.pl

ISBN 978-83-89563-25-5

strona – 2 — czarny

Page 4: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

„Nie mo¿esz rozwi¹zaæ trudnego zadania

— bierz siê za zadanie niemo¿liwe”

(Aleksander Wielki)

strona – 3 — czarny

Page 5: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

strona – 4 — czarny

Page 6: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

Spis treœci

Od Autora 7

Rozdzia³ 1Figle z zapa³kami 9

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 1Figle z zapa³kami 26

Rozdzia³ 2Zadania geometryczne 49

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 2Zadania geometryczne 67

Rozdzia³ 3Diagramy i rebusy 92

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 3Diagramy i rebusy 100

Rozdzia³ 4Potêgi i wzory skróconego mno¿enia 108

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 4Potêgi i wzory skróconego mno¿enia 114

Rozdzia³ 5Równania, nierównoœci i to¿samoœci 128

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 5Równania, nierównoœci i to¿samoœci 136

strona – 5 — czerwonystrona – 5 — czarnystrona – 5 — niebieski

Page 7: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

Rozdzia³ 6Zadania rozmaite 153

Rozwi¹zania – Rozdzia³ 6Zadania rozmaite 161

Ma³e vademecum pocz¹tkuj¹cego olimpijczyka 175

1. Arytmetyka i algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

1.1. Elementy teorii podzielnoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

1.2. Przydatne to¿samoœci i nierównoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

1.3. Symbol Newtona, dwumian Newtona i trójk¹t Pascala . . . . . . . . 181

1.4. Wartoœæ bezwzglêdna liczby rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . 183

1.5. Czêœæ ca³kowita (cecha) i czêœæ u³amkowa (mantysa)

liczby rzeczywistej x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

2. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

2.1. Elementy geometrii trójk¹ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

2.2. Okr¹g i prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

2.3. W³asnoœci ³uków i ciêciw okrêgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

2.4. K¹ty w kole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

2.5. Czworok¹ty wpisane w okr¹g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2.6. Dwa okrêgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

2.7. Kilka faktów o trapezie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

2.8. n-k¹ty (n ³ 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

2.9. Twierdzenie Talesa i doñ odwrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

2.10. Geometryczny dowód zale¿noœci miêdzy œrednimi

dwóch liczb dodatnich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

2.11. Bry³y Platona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Propozycje tematów zajêæ kó³ek matematycznych 205

Literatura 207

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Ksi¹¿ki, po które warto siêgn¹æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

strona – 6 — czerwony strona – 6 — czarny strona – 6 — niebieski

Page 8: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

Coraz wiêcej pañstw ca³ego œwiata organizuje narodowe olimpiady matematyczne,ale s¹ one adresowane zazwyczaj do uczniów szkó³ œrednich.

W niektórych krajach olimpiadami regularnie obejmowani s¹ tak¿e uczniowie klasm³odszych. W takich pañstwach jak np. Rosja, Litwa, £otwa, Estonia, Bia³oruœ,Ukraina (a dawniej ca³y Zwi¹zek Radziecki), Czechy, S³owacja (kiedyœ Czechos³o-wacja), Wêgry, Rumunia, Bu³garia, ta forma pracy z uzdolnionym matematycznieuczniem ma swoj¹ d³ugoletni¹ i bogat¹ tradycjê.

Organizowane w Polsce konkursy matematyczne dla uczniów szkó³ podstawo-wych (g³ównie klas V i VI) oraz gimnazjów maj¹ zasiêg lokalny. Odbywaj¹ siê oneniezale¿nie od siebie w ka¿dym województwie. £¹czy je ta sama liczba etapów, ró¿nizaœ stopieñ trudnoœci przygotowywanych zadañ.

Niniejszy zbiór, przeznaczony dla uczniów szkó³ podstawowych i nowo utworzo-nych gimnazjów, zawiera zadania z olimpiad matematycznych wymienionych wy¿ejpañstw. S¹ tutaj tak¿e zadania dla uczniów najm³odszych z konkursów matematycz-nych organizowanych na ³amach ró¿nych zagranicznych czasopism. Prawie wszyst-kie prezentowane w tej ksi¹¿ce zadania rozwi¹zywa³em z uczniami klas IV–VIII nazajêciach miêdzyszkolnych kó³ matematycznych i cieszy³y siê one bardzo du¿ympowodzeniem. Znajdziemy tutaj zadania, które nie tylko uatrakcyjni¹ zajêcia ko³a czylekcjê, ale tak¿e znakomicie przygotuj¹ ucznia do udzia³u w konkursach matematycz-nych, a w przysz³oœci — w olimpiadzie. Zadania s¹ zestawione w szeœciu tematycz-nych rozdzia³ach i maj¹ ró¿ny stopieñ trudnoœci. Opracowane rozwi¹zania s¹ w du¿ejmierze oparte na pomys³ach przedstawianych przez uczniów na zajêciach wspomnia-nych kó³ek. Wiele rozwi¹zañ jest tak¿e autorskich. ¯adne rozwi¹zanie nie wymagawiedzy wykraczaj¹cej poza obowi¹zuj¹cy program matematyki realizowany w szko-le podstawowej. Co wiêcej, zale¿a³o mi na tym, aby pokazaæ, jak wiele mo¿naosi¹gn¹æ, pos³uguj¹c siê tylko wiedz¹, któr¹ uczeñ wynosi z lekcji. Siódmy rozdzia³tej ksi¹¿ki stanowi ma³e vademecum pocz¹tkuj¹cego olimpijczyka. Zawiera ono

Od Autora

strona – 7 — niebieski strona – 7 — czarny

Page 9: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

pewne znane ju¿ uczniom fakty oraz ich rozszerzenie. Zaznajomienie siê z tymfragmentem ksi¹¿ki np. tu¿ przed wystêpem na olimpiadzie, powinno sprzyjaæ przy-gotowaniu do startu w zawodach. Mo¿e te¿ owo vademecum, jak s¹dzê, dostarczyætematów do zajêæ kó³ka matematycznego w szkole podstawowej i gimnazjum.

Pozwalam sobie wyraziæ tak¿e nadziejê, ¿e zbiór „Na olimpijskim szlaku” zachêcido dalszych poszukiwañ i dociekañ, w czym pomocny mo¿e okazaæ siê nie tylkozestaw proponowanych tematów zajêæ kó³ka matematycznego, ale równie¿ spis reko-mendowanej literatury.

Na koniec pragnê serdecznie podziêkowaæ Panu Zdzis³awowi G³owackiemu zapodjêcie siê trudu wydania tej ksi¹¿ki, Panu Robertowi Ciechanowskiemu za przygo-towanie jej do druku, zaœ Pani Joannie Kar³owskiej-Pik za wnikliw¹ korektê orazwiele cennych uwag i sugestii, które podnios³y jakoœæ tekstu.

Toruñ, 14 lipca 1999 r.

Henryk Paw³owski

strona – 8 — czarny

8 Od Autora

Page 10: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

Zadanie 1.1

Prze³ó¿ po 1 zapa³ce w ka¿dej z poni¿szych fa³szywych równoœci tak, aby otrzymaæ

równoœæ prawdziw¹.

Rozdzia³ 1Figle z zapa³kami

a)

b)

c)

d)

e)

strona – 9 — czerwonystrona – 9 — niebieski strona – 9 — czarny

Page 11: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

f)

g)

h)

l)

j)

k)

i)

strona – 10 — czerwony strona – 10 — czarny

10 Rozdzia³ 1

Page 12: Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

n)

p)

o)

³)

m)

strona – 11 — czerwonystrona – 11 — czarny

Figle z zapa³kami 11