1

Podstawy Elektrotechniki - Stany nieustalone

II. Metoda Operatorowa Zadanie o.14

Wyznaczyć uc(t), jeżeli: C

LR = .

1. t≥0 Zastępczy schemat operatorowy po przełączeniu w pozycję t = 0

Równania ze schematu :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )sCsUcsIsUcsC

sI

sUcRsIsU

=⇒=

+=

1

stąd

2

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )sUcsRC

sU

sRCsUcsUcssRCUcsU

=+

+=+=

1

1

( )

+=

+=

RCss

RC

U

RCsRC

s

U

sUc1

1*

1

( )

−=

−=

−− tRC

tRC eURCeRC

RC

UtUc

11

1

2. t ≥ τ Zastępczy schemat operatorowy po przełączeniu w pozycję t = τ

Równania ze schematu:

( ) ( )LCL

RssL

Uc

LCL

RssL

Uc

LCssRCs

sCUc

sCsLR

s

Uc

sI1

1*

111 2

*

2

*

2

*

*

++=

++=

++=

++=

Obliczamy ∆ :

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )21

*

21

*

21

*

2,1

22

1*

1*

1*

3

2

1

2

3

334

sssssLC

Uc

sssssLC

Uc

sCssssL

Uc

sCsIsUc

LCj

L

Rs

LCj

LCj

LCLCL

R

−−=

−−=

−−==

±−=

=∆

=−=−

=∆

3

Korzystając z zależności na pierwiastki sprzężone:

( ) ( ) ( )( )

( )90sin1

ReRe2121

121

−=

=

′

=

′

+′

+

tej

e

sF

e

sF

e

sF

e ttjtststs

βββ

αβα

Obliczamy napięcie Uc(t):

( ) ( ) ( )( )

−−−+−=− −

ββα

τβτ τα 90sin1** teUcUctUcc t

Odpowiedź:

( )

( ) ( ) ( )( )

−−−+−=−⇒≥

−=⇒≥

−

−

ββα

τβττ τα 90sin1

10

**

1

teUcUctUcct

eUtUct

t

tRC

Zadanie o.15

E(t)= tEm ωsin

E= tjmeE ω

E(s)=ωjs

Em

−

1. Dla: τ >t>0

4

sCIU c

1=

I=1

)(1)(

+=

+ RCs

sCsE

sCR

sE

Uc=ωjs

RCsRC

E

RCs

sE m

−+=

+1

11

1

)(

+−

+=

− tRCtjm e

jRC

RCe

jRC

RC

RC

Ec(t)u

1

11 ωωω

( )

−

+=

−−−

ϕϕω

ω

jtRCtjjm

c eeRC

EtU

1

2)(1)(

gdzie: φ=arctgRCω

cU (t)=2)(1 ωRC

Em

+( )

+−

− tRcet1

sinsin ϕϕω

2. Dla t>τ , oraz )(0 τcUU =

5

Zadanie o.16 Wyznaczyć i(t)=?

tUmtu ωsin)( ⋅=

ωjsUmsU

−=

1)(

Zadanie o.17 Wyznaczyć i(t)=?

( ) tEte ωsin=

Zadanie o.18

L1 L2

R e(t)

t=0

t=t1

i=?

6

e(t)=Em sin ωt 1. 0≥t

++⋅

+⋅=

−+

⋅=

+−⋅

=

+=

+=

−⋅=

+=

− tCR

Z

Ztj

Z

Z

ZZ

Z

ZZ

Z

Ze

CRj

CRe

CRj

j

R

EmtI

jsCR

sR

sEm

sCRjs

sCEmI

sCR

sCsE

sCR

sEI

jsEmsE

RRR

1

21

1

1

1)(

))(1

()1)((

1

)(1)(

1)(

ωω

ω

ωω

ω

ω

+⋅+

+⋅⋅=

− tCR

Z

tj

Z

Z

Z

ZeCRj

eCRj

CjR

R

EmtI

1

1

1

1)(

ωωω ω

⋅⋅++

⋅⋅+

⋅=

− tCR

jAZ

tj

jAZ

jZ

Z

ZeeRC

eeRC

eCR

R

EmtI

1

22

90

)(1

1

)(1)(

ωω

ω ω

⋅⋅++

⋅⋅+

⋅⋅=

−−

−+At

CR

Z

Atj

Z

Z

Z

ZeRC

eRC

CR

R

EmtI

1

2

)90(

2 )(1

1

)(1)(

ωω

ω ω

ZCRarA ωctg=

−+−+

⋅⋅+=

=−

)sin()90sin()(1

)(

)(Im)(1

2AeAtCR

RCR

Emti

tIti

tCR

Z

ZZ

Zωωω

7

sCsIsUC

1)()( ⋅=

−+

⋅=

−+⋅=

− tCR

Z

tj

Z

ZC

Z

ZC

ZeRj

e

CRjCR

EmtU

jsCR

sCR

EmsU

11

11

)(

))(1

(

1)(

ωω

ω

ω

+−

+=

− tCR

Z

tj

ZC

ZeCRj

eCRj

EmtU1

1

1

1

1)(

ωωω

+−

+=

−−−

jAtCR

Z

Atj

Z

CZe

CRe

CREmtU

1

2

)(

2 )(1

1

)(1

1)(

ωωω

)(Im)( tUtu CC =

−−−

+=

−

)sin()sin()(1

)(1

2AeAt

CR

Emtu

tCR

Z

CZω

ω

2. t> t1

1ttt x −=

)( 10 tUU C=

)1

(1)(

1

)()(

1

0

11

0

sCRs

Uj

sCR

sE

sCR

s

UjsE

sI+

⋅+

=+

−=

8

)1

())(1

()(

11

0

1

1

CRsR

Uj

jsCR

s

s

CR

EsI

+−

−+⋅=

ω

xxx t

CRt

CRtjx eR

Uje

CRj

CRe

CRj

j

CR

EtI 11

1

1

0

1

1

1

1

11

1

1)(

−−

−

−+

+⋅=

ωω

ω ω

xxx t

CRt

CRtjx eR

Uje

CRj

CRe

CRj

jEtI 11

1

1

0

1

1

1

1 1

1

1)(

−−

−

++

+=

ωωω ω

xxx t

CRjBt

CRBtjx eR

Uje

CR

CRe

CREtI 11

1

1

0

1

21

1)90(

21 )(1

1

)(1)(

−−

−

−+ −

++

+=

ωω

ω ω

CRarB 1ctgω=

)(Im)( xx tItI =

−+−+

+=

−

)sin(1

)90sin()(1

)( 1

1

12

1

BeCR

BtCR

Eti

xtCRxωω

ω

Zadanie o.19 Wyznaczyć uc(t)=?

1. 0≥t

9

RS

USC

RV =

+2

)()

2(

1

2

12

sU

RCSSRC

U

RSCS

U

R

RSCRS

U

V c=+

=+

=+

=

−=

−+=

−− tRC

tRC

C eU

e

RCRCRC

Utu

22

122

121

)(

2. 1tt ≥

)( 10 tUU C=

Zadanie o.20

10

Wyznaczyć prąd płynący przez cewkę L

e(t)=Umsinωt 1. t≥0

−−−

+=

−)sin()sin(

)()(

1

221

ϕϕωω

tL

Rm et

LR

Uti

Po czasie t1 zamknięto W2

−−−

+=

−)sin()sin(

)()(

11

1221

1* ϕϕω

ω

tL

Rm et

LR

UtI

Prąd płynący przez cewkę L wynosi:

≥−−−+++

=

<≤

−−−

+=

−

−

11**

221

221

2*

1221

)1()()sin()()(

)(

0)sin()sin()(

)(

*

1

tteatIAtLRLRaLRaLR

RUti

ttetLR

Uti

atm

tL

Rm

ωωω

ϕϕωω

Przy czym:

1* ttt −=

aLRaLR

LRLRarA

21

21ctg+

+=

ωω

)( 21

21

RRL

RRa

+=

11

Zadanie o. 21

Rozwiązanie:

>⋅+

−

≤≤⋅= −

+−

121

2

1

_

0_)( 2

21

ttdlaeRR

RU

ttdlaeUtU t

L

R

tL

RR

L

Zadanie o.22 W obwodzie podanym na rys w chwili t=0 otwarto wyłącznik w1, a w chwili t=t1 otwarto wyłącznik w2. Obliczyć napięcie na cewce. Dla t<0 w obwodzie panował stan ustalony.

Gdzie: 2RL

T :gdzie 2Tt1 ==

Zadanie o.23 Korzystając z całki Duhamela wyznaczyć S2(t). ( ) ateUtS −= 01

( ) )1(1

tRC

i etk−

−=

12

Stosujemy poniższy wzór:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dtikSkitStSt

−′+= ∫ *0*0

112

Obliczamy: ( )

( )

( )( )τ

τ−−

−

=−′

=′

=

tRC

tRC

eRC

tik

eRC

tik

ki

1

1

1

1

00

( )( ) ( )

−

−=

+−

−=

=

−

−=

−

−=

=−

===

==+=

−−−

−

−−

−−

−−

+−−−−

−−−−−−−

∫∫

∫∫

att

RCt

RCat

taRC

tRC

taRC

tRC

ta

RCt

RC

tRC

atRCRC

tRC

ta

tRC

ta

tt

RCaat

eeRCa

Uee

RCa

U

eea

RCRC

Uee

aRC

eRC

U

ea

RC

eRC

Udee

RC

Udeee

RC

U

deRC

eRC

Ude

RCeUeUtS

10

10

1100

110

0

110

0

110

11

0

0

1

0

0

0

1

002

11

111

1*

11

*

1*

1*0*

ττττ

ττττ

ττ

ττ

Zadanie o.24 Korzystając z całki Duhamela znaleźć Ur(t) jeżeli jest podane U2(t).

13

Tє<0,4>

Odpowiedź układu na skok jednostkowy: RU =t

Rce1

−

1U =4-t

ik (t)=t

Rce1

−

ti etk −=)(

)(1 tU =4-t

4)0(1 =U

1)('1 −=tU korzystamy z następującej zależności:

∫ =−+= τττ dktUtkUtU iiR )()()()0()( '11

1514][414)(0

−=−+=−+=−+= −−−−−−− ∫ tt

tttttR eeeeedeetU ττ τ

Zadanie o.25 Korzystając z całki Duhamela znaleźć UL(t) jeżeli jest podane U2(t). U2(t) dla t∈< 0 , 2 >

5

U1(t)

t

2

2

U2(t)

t

1H

1ΩΩΩΩ

U(t) UL=?

14

Zadanie o.26 Korzystając z całki Duhamela wyznaczyć Uc(t), jeżeli U(t)=U0e

-at

Odpowiedź układu na skok jednostkowy:

tRC

c etu1

1)(−

−=

Korzystając z zależności

τττ dtUUUtUUt

wwwy )(')()0()(0

11 −+= ∫

otrzymujemy:

0)0(1 =wU

tRC

w eRC

tU1

1

1)('

−=

)(1

1

1)('

ττ

−−=−

tRC

w eRC

tU

τττττ

τ

deeR

eUdeRC

eUU RCt

RC

ta

tRC

at

wy

11

0

0

)(1

0

0

11 −−

−−−

∫∫ ==

ττ

)1

(1

0

0

)1

(1

0

11

*a

RCt

RC

tta

RCt

RCwy e

aRC

eRC

Udee

RC

UU

−−=−

−== ∫

−

−=

−

−−=

−−

−− tRCato

taRC

tRCo

wy eeRCa

Ue

RCa

RCe

RC

UU

1)

1(

1

11

1

15

Zadanie o.27 Korzystając z całki Duhamela wyznaczyć S2(t), jeżeli S1(t)=Be-bt, Ki(t)=Ae-at; a≠b 1(t) Ki(t) S1(t) S2(t)

∫ −+=t

ii dtkStkStS0

'112 )()()()0()( τττ

∫ −−−− −+=t

tabat dAeBbeBAetS0

)(2 ()( τττ

∫ −−− −=t

aatbat deeeABbBAetS0

2 )( τττ

∫ −−− −=t

baatat deABbeABetS0

)(2 )( ττ

tbaatat eba

ABbeABetS0

)(2

1)( τ−−−

−−=

( )11)( )(

2 −−

−= −−− tbaatat eba

ABbeABetS

−

+−

−=

−+

−−= −−−−

−−

−− atbtatatat

attba

atat e

ba

bee

ba

beAB

ba

bee

ba

beeABtS )(

2 )(

−

+−

−= −−− atbtat eba

be

ba

beABtS )(2

Zadanie o.28

K(S)

U1(t)=1(t)

Ki(s)=1/s(s+10)

K(s)

K(s)

16

( )

ti

i

tii

etK

K

etKss

sK

10

10

)('

0)0(

11.0)()10(

1)(

−

−

=

=

−=≅+

=

Całka Duhamela:

tttt

ttttt

tX

t

ii

eeee

eeeeedeedeetUtS

dKtSKtStS

10555

05550

5

0

5)510(5

0

)(5102

0

112

)1(

)(|55

1555)()(

)(')()0()()(

−−−−

⋅−−−−−+−−−−−

−=−=

=−−=⋅⋅==⋅==

⋅−+⋅=

∫∫

∫

ττττττ ττ

τττ

K(S)

U2(t)=5e-5t

Ux(t)