Grupa renormalizacji w teorii turbulencji

5/11/2018 Grupa renormalizacji w teorii turbulencji - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/grupa-renormalizacji-w-teorii-turbulencji 1/79

Grupa

renormalizacji

w teorii turbulencji

Kazimierz Kurz



Grupa

renormalizacji

w teorii turbulencji

Kazimierz Kurz

Zywiec 2011



Wydawnictwo własne.Kazimierz Kurz

Ksi azka ta w wersji papierowej ukazała sienakładem Wydawnictwa Uniwersytetu Jagiellonskiego

w 2000 roku

Redaktorem i korektorem edycji papierowej był Jerzy Hrycyk

Recenzentem edycji papierowej był prof. Krzysztof Sokalski

Skład w systemie LATEXprzy uzyciu edytora TexMaker

Wykorzystano szablony stron tytułowychze zbiorów CTAN wg. opracowania

Peter Wilson 2010/07/13distributed under the LaTeX Project Public Licence.

Reprodukcja na okładce:Fragment rysunku Leonardo Da Vinci"Studium wody opływaj acej przeszkode i spadaj acej"

zródło Wikipedia, na licencji CC.Pozostałe rysunki własne autora

Copyright c2011 Kazimierz Kurz



Spis treści

1 Wstęp 2

2 Równania i więzy 8

3 Prawa skalowania i analiza wymiarowa. Przedział bez-władnościowy 13

4 Równania N-S w przestrzeni Fouriera. Wprowadzenielosowych źródeł 27

5 Grupa Renormalizacji 385.1 DRG: podstawowe idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Reprezentacja równań za pomocą grafów. . . . . . . . . 475.3 DRG: renormalizacja równań N-S . . . . . . . . . . . . 565.4 Renormalizacja pól losowych . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Zakończenie 68

1



Rozdział 1

Wstęp

Każdy z nas spotyka się niemal codziennie z przepływami burzliwymi.Przykładów można podać mnóstwo, wymieńmy w tym miejscu tylkonajpowszechniejsze: szybki wypływ wody z kranu, zawirowania powie-trza podczas silnego wiatru ( szczególnie ciekawe do obserwacji w zimieprzy załomach murów i na rogach budynków) kształty obłoków, takżebędące odbiciem charakteru ruchu mas powietrza, czy wreszcie przy-kład obrazujący utratę stabilności przepływu: dym, unoszący się nadodłożonym papierosem, który początkowo unosi się do góry w postacicienkich pasm, by w końcu po szeregu zawirowań przejść w zupełnienieuporządkowaną formę przepływu.

Opis turbulencji jest jednym z najtrudniejszych, a zarazem naj-istotniejszych problemów fizyki i techniki. Przepływy burzliwe obser-

wuje się i bada w różnorakich dziedzinach od medycyny (przepływy wsercu, przepywy w arteriach), przez niemal wszystkie dziedziny tech-niki związane z szeroko rozumianymi komunikacją i transportem (pro-blem turbulentnego mieszania paliwa z utleniaczem w silnikach różne-go rodzaju, projektowanie opływowych kształtów pojazdów, samolo-tów i rakiet, łodzi podwodnych oraz śrub napędowych statków itd.),aż po geofizykę czy meteorologię. Podobnie szeroko przedstawia się

2



Rozdział 1. Wstęp

zakres wielkości związanych z przepływami rozpatrywanymi w teoriiturbulencji. Każda z wymienionych dziedzin zajmuje się zjawiskamiw innej skali przestrzennej i czasowej, inne są zakresy prędkości, innesą przestrzenne skale rozpatrywanych struktur. Różnice te są na tyleistotne, że często sama definicja turbulencji pozostaje sprawą lokal-ną pewnej gałęzi badań, i w opinii specjalistów związanych z innymirodzajami przepływów nie jest uważana za właściwą. Podstawowy po-dział to wyróżnienie turbulencji w pełni rozwiniętej ( która stanowi

główny temat tego artykułu i posiada istotnie uniwersalne własności),oraz turbulencji słabej, ( badanej w teorii chaosu deterministycznego,która w pewnych układach poprzedza fazę turbulencji rozwiniętej, aktórą nie będziemy się zajmować). Wspólną cechą dla tych form prze-pływu jest ich wielki stopień komplikacji, co na razie będzie dla nasstanowić roboczą definicję zjawiska turbulencji. Zauważmy, że wystę-powanie turbulencji w przepływach doświadczalnych i technicznych

jest raczej prawidłowością, niż wyjątkiem, i że między innymi w ten

sposób manifestuje się nieliniowość naszego świata, tak często pomi- jana i bagatelizowana tam gdzie jej przejawy nie są tak dobitnie wi-doczne, lub nie tak gwałtowne.

W całym tym bogactwie można wskazać pewne cechy które okazująsie być uniwersalne i których opisem będziemy się zajmowali w niniej-szym artykule. Przez uniwersalność rozumiemy przy tym niezależnośćod warunków brzegowych, innymi słowy od geometrycznej formy prze-pływu, dzięki czemu, możliwy staje się opis w oderwaniu od konkret-nych warunków brzegowych. Trzeba sobie jednak już na wstępie wy-

jaśnić, że przepływy turbulentne rozpatrywane w ”całości”, mogą sięróżnić w zasadniczy sposób i w rzeczywistości taki oderwany od kon-kretów, idealny przepływ turbulentny, jest jedynie wygodną idealiza-cją rzeczywistych form przepływu. Przedmiotem teorii turbulencji jestoczywiście badanie całego bogactwa przepływów turbulentnych, jed-nak ogrom materiału objętego zakresem badań wymaga wprowadzeniadaleko nieraz idącej specjalizacji i uproszczeń. Podstawową linią po-

3



Rozdział 1. Wstęp

działu wydaje się być przy tym podział na dziedziny związane z zasto-sowaniami i te, które zajmują sie raczej zagadnieniami podstawowymi.Oczywiście podział taki z natury nie jest ostry. Aby wyjaśnić jego uży-teczność, zauważmy, że przez zagadnienia podstawowe rozumiemy teproblemy, które dotyczą uniwersalnych własności wielorakich przepły-wów, a jak wynika z danych doświadczalnych i badań teoretycznych sąto własności struktur o małych rozmiarach w porównaniu z całkowitąskalą przepływu. Struktury o wielkościach porównywalnych z global-nymi rozmiarami przepływu wykazują silny brak uniwersalności, a ichwłasności zmieniają się bardzo gwałtownie przy nieraz nawet nieznacz-nej zmianie geometrii przepływu, czy charakteru opływanych powierz-chni (gładkość, różnice kształtu itp). Jednocześnie łatwo spostrzec, żewłaśnie te skale stanowią główne pole zainteresowań inżyniera aero-dynamika, czy meteorologa, gdyż to właśnie ruchy ośrodka w dużychskalach przestrzennych decydują o oporach podczas ruchu pojazdu, czyo pogodzie nad danym obszarem geograficznym. Jak pokazuje prakty-

ka, analiza przepływów turbulentnych nie może zostać ograniczona dowybranego wycinka skal przestrzennych. Postępowanie takie na ogół

jest nieprawidłowe i nie prowadzi do satysfakcjonującego zamodelowa-nia przepływu. Tym samym, jak jeszcze nieraz powtórzymy, nie możnaanalizy przepływu burzliwego ograniczyć tylko do analizy przepływuw wielkich skalach. Znajomość wyników badań przepływów w skalacho małych rozmiarach przestrzennych jest podstawą dla modelowaniaprzepływów występujących w układach rzeczywistych, wpływu struk-tur małoskalowych nie należy pomijać.

Silna niestabilność przepływów turbulentnych jest źródłem poważ-nych problemów w analizie zjawiska i to zarówno przy badaniachdoświadczalnych, jak i teoretycznych. Warto sobie uprzytomnić, żedla praktycznych zagadnień, jak opływy wokół profilu samolotu nad-dźwiękowego czy promu kosmicznego, złożoność obliczeń numerycz-nych (analityczne obliczenia są praktycznie niewykonalne z uwagi, naskomplikowane kształty opływanych powierzchni nie wykazujące oczy-

4



Rozdział 1. Wstęp

wistych symetrii), jest tak znaczna, iż współcześnie nie jest możliwe ichwykonanie, mimo zaangażowania komputerów o największych dostęp-nych mocach obliczeniowych [1]. Powodem takich kłopotów jest oczy-wiście czułość przepływów burzliwych na zmiany warunków początko-wych, czy geometrii przepływu. Tym samym implementacje kompute-rowe modeli hydrodynamicznych muszą być budowane w oparciu o gi-gantycznej wielkości ( w sensie zajmowanego miejsca w pamięci maso-wej komputera ) siatki obliczeniowe, oraz muszą symulować zachowa-nie wielu milionów zmiennych dynamicznych: wartości ciśnienia, tem-peratury lub wektora prędkości cieczy w punktach siatki. Implemen-tacja typowej siatki służącej do obliczeń dla przepływów burzliwych

jest poważnym problemem, jako że ma ona zwykle oczka o niejednako-wej wielkości, dopasowanej do lokalnej złożoności struktur przepływu,oraz w praktycznie istotnych przypadkach pokrywa obiekty o bardzozłożonym kształcie. Sama budowa odpowiedniej siatki może stano-wić istotny problem, wymaga bowiem poczynienia pewnych założeń

na temat przepływu, a przecież jest ona dopiero wstępem do właści-wych obliczeń ! Powoduje to, że przeprowadzane współcześnie symu-lacje dotyczą jedynie rozkładów ciśnień lub prędkości w najbliższymsąsiedztwie analizowanych obiektów, lub wręcz na ich powierzchni,oraz krótkich przedziałów czasowych. Badania te wspierane są przezdoświadczenia przeprowadzane w tunelach aerodynamicznych opiera-

jące się na rozmaitych twierdzeniach o podobieństwie przepływu [2],[3]. Jednak współcześne projekty na przykład samolotów hipersonicz-nych, to znaczy poruszających się z prędkościami znacznie większymi

od prędkości dźwięku nie dopuszczają takiej możliwości, warunki prze-pływów w tych przypadkach są tak ekstremalne, że badania tuneloweprzestają być użyteczne, przestają bowiem być prawdziwe wspomnia-ne prawa podobieństwa. Jedynym narzędziem w takim wypadku stająsie symulacje komputerowe skal globalnych z jednoczesnym modelo-waniem małych skal w oparciu o ich uniwersalne własności.

Głównym celem artykułu jest przedstawienie metody Grupy Re-

5



Rozdział 1. Wstęp

normalizacji w zastosowaniu do analizy turbulencji. Metoda ta, pozo-stająca w ścisłej analogii do metod wykorzystywanych w teorii przejśćfazowych i kwantowej teorii pola, stanowi jedną z bardziej owocnychprób analizy zjawiska turbulencji. Szczególnie warto podkreślić, żepodstawą prezentowanego podejścia są fundamentalne dla hydrody-namiki równania Naviera-Stokesa. Tym samym opisywana analiza maoparcie w ogólnie przyjętym modelu dynamicznym, czego nie możnapowiedzieć o wielu innych sposobach analizy turbulencji.

Rozpoczynamy od wprowadzenia w zagadnienie przepływów burz-liwych. W rozdziale pierwszym wprowadzamy równania opisujące prze-pływ burzliwy cieczy nieściśliwej.

W kolejnym rozdziale przechodzimy do fundamentalnego dla hy-drodynamiki podejścia opartego na analizie wymiarowej. Technika tabazująca na szeregu założeń o głównie zdroworozsądkowym uzasadnie-niu, stanowi fundament teorii Kołmogorowa, będącej wiodącą teoriąturbulencji dla kilku pokoleń uczonych i inżynierów. Zauważmy jed-

nak, że swego czasu niespodziewane załamanie się analizy wymiarowejw teorii przejść fazowych nasuwa już od dosyć dawna wątpliwości codo zakresu jej stosowalności i wagi wyników. Oparte o analizę wy-miarową wyniki Kołmogorowa dotyczące skalowania w turbulencji dodziś dzień pozostają bez satysfakcjonującego teoretycznego wyprowa-dzenia w oparciu o model dynamiczny. Pozostając zatem podstawąkształtowania intuicji przyszłych badaczy i fundamentem podejściainżynierów, muszą one być poddawane nieustannej weryfikacji.

Ostatni rozdział poświęcamy zastosowaniu teoriopolowej techniki

dynamicznej grupy renormalizacji (DRG) do opisu turbulencji rozwi-niętej. DRG jest techniką rachunkową bazującą na równaniach dy-namicznych opisujących przepływ. Jednak, jak najdobitniej pokazujebogata literatura przedmiotu, sposób w jaki należy zastosować tą tech-nikę daleki jest od oczywistości i jednoznaczności, zaś rachunki opar-te na grupie renormalizacji także zawierają wiele niekontrolowanychprzybliżeń. Zaletą DRG jest niewątpliwie fakt, że bazując na pełnych

6



Rozdział 1. Wstęp

równaniach opisujących przepływ, bardzo dobitnie uwypukla ona kwe-stię uniwersalności, przez co także odpowiada prezentowanemu w tymartykule podejściu.

Przedstawione zagadnienia w żaden sposób nie wyczerpują nie-zmiernie bogatej tematyki związanej z burzliwością przepływów i ichuniwersalnymi własnościami. Literatura tego przedmiotu jest niezmier-nie bogata. W ostatnim rozdziale dokonujemy pewnego podsumowaniawspominając także o pominiętych w tej pracy podejściach i technikachrachunkowych.

Praca w zamierzeniu autora ma charakter popularyzatorski.

7



Rozdział 2

Równania i więzy

Równaniami opisującymi przepływ nieściśliwej cieczy są równania Naviera-Stokesa (N-S), wyrażające zasadę zachowania pędu dla ośrodka ciągłe-go [2]:

∂ tV i(x, t) + V k(x, t)∂ kV i(x, t) = −1ρ

∂ iP (x, t) + ν∂ 2kV i(x, t) (2.1)

oraz równanie ciągłości wyrażające zasadę zachowania masy:

∂ρ(x, t)

∂t+ ∂ i(ρ(x, t)V i(x, t)) = 0,

które w przypadku cieczy nieściśliwej, czyli gdy w całym rozważanym

obszarze przepływu gęstość cieczy jest stała, ρ = const, przybierapostać:∂ iV i(x, t) = 0 (2.2)

W równaniach tych występują niewiadome pole prędkości V i ciśnie-nia P , zaś ν oznacza lepkość kinematyczną. Wartości lepkości kine-matycznej dla wody wynosi 0.01 104 (m · s)−1, zaś dla powietrza0.15 104 (m·s)−1, przy czym w przypadku wody ( i wielu innych cieczy)

8



Rozdział 2. Równania i więzy

założenie o nieściśliwości jest bardzo dobrze spełnione w prawie całymbogactwie rozpatrywanych przepływów. Z diametralnie różną sytuacjąmamy do czynienia w wypadku ośrodków gazowych, w tym oczywiściepowietrza, wykazujących znaczną ściśliwość. W dalszej części ograni-czymy się do zagadnień związanych z przepływami w ośrodkach nie-ściśliwych. Równania N-S wraz z równaniem (2.2) zawierają pełnąinformację o dynamice cieczy nieściśliwej i nie wymagają poprawekdla opisania turbulencji. Dla uzyskania jednoznacznego rozwiązaniarównania powyższe należy uzupełnić warunkami brzegowymi, opisują-cymi geometrię przepływu, przy czym żądamy na ogół znikania polaprędkości na nieruchomych powierzchniach granicznych.

Wygodne jest przedstawienie równania (2.1) w postaci bezwymia-rowej. Jeśli prędkość mierzymy w jednostkach V 0 (pewna prędkośćcharakterystyczna dla danego przepływu, np średnia prędkość prze-pływu), odległości w jednostkach L (podobnie jak prędkość dowolnacharakterystyczna długość w przepływie, np szerokość strumienia cie-

czy), a pozostałe wielkości wyrazimy za ich pomocą (czas – L/V 0,ciśnienie – V 20 ) to okazuje się, że jedynym parametrem w bezwymia-rowym równaniu N-S jest tzw. liczba Reynoldsa Re:

Re =V 0L

ν

zaś równania N-S (2.1) i równanie ciągłości (2.2) przybiera postać [3]:

∂ tvi(x, t) + vk(x, t)∂ kvi(x, t) = −∂ i p(x, t) +1

Re

∂ 2kvi(x, t) (2.3)

∂ ivi(x, t) = 0 (2.4)

gdzie występujące w powyższych wyrażeniach v i p są bezwymiarowy-mi polami prędkości i ciśnienia. Rozważa się także inne bezwymiaro-we charakterystyki przepływu [2],[3], również związane z równaniamiN-S, jak np. liczba Strouhala S , którą otrzymujemy kiedy do wybra-nego układu wielkości bazowych dołączymy charakterystyczny czas T

9




zamiast wyrażać go jako L/V , co odpowiada analizie ruchów niesta-cjonarnych i nie będzie tu rozpatrywane, podobnie jak ruchy w poluciężkości charakteryzowane liczbą Froude’a F , czy ruchy cieczy ściśli-wej które wykluczyliśmy już na wstępie, charakteryzowane między in-nymi liczbą Macha Ma itd. Rzeczywiste przepływy charakteryzowanesą na ogół przez cały zespół liczb charakterystycznych i ograniczaniesię do mniejszej ich ilości jest kwestią przybliżeń. 1

Dla stacjonarnych przepływów nieściśliwych cieczy, jedyną bezwy-miarową charakterystyką jest liczba Reynoldsa Re. Mierzy ona wza-

jemny stosunek członu nieliniowego, zawierającego kwadrat prędko-ści, do członu dyssypacyjnego, zawierającego współczynnik lepkości,w równaniach (2.1). Doświadczalne badania przepływów wykazują, żeprzepływ cieczy staje się niestabilny przy przekroczeniu pewnej kry-tycznej wartości Rekr, która wynosi około kilkudziesięciu, czyli kiedyrównania N-S są zdominowane przez człon nieliniowy. Na przykładprzy poprzecznym opływie walca Rekr ∼ 30, przy przepływie w rurze

Rekr ∼ 2300, podczas gdy dla typowych przepływów atmosferycz-nych Re = 105, zaś dla przepływy wody jakie spotykamy na co dzieńRe = 107 ! Jak widzimy wartość Rekr nie jest uniwersalna i zmieniasię w zależności od warunków przepływu. 2

1W rozpatrywanych w artykule przepływach odpowiednie wielkości bazowe wy-kluczamy z rozważań na ogół z powodu przyjmowanych przez nie wartości w po-równaniu z tymi które rozważamy np. czas T który dla przepływów stacjonarnych jest nieskończony, lub nieskończenie wielka prędkość dźwięku dla przepływów nie-ściśliwych co odpowiada zerowej wartości liczby Macha itd.

2

Czułość przepływu turbulentnego na zmianę warunków przepływu ilustrujeanegdota mówiąca o współczesnych próbach powtórzenia oryginalnego ekspery-mentu Reynoldsa wykonanego w 1883 r, dotyczącego pomiaru Rekr. Eksperymen-ty te przynoszą zwykle rozbieżność wyników w stosunku do oryginalnych wynikówReynoldsa, czego powodem są na ogół... drgania podłoża pochodzące od współcze-snego ruchu samochodowego, wind itd. drgania te ułatwiają przechodzenie prze-pływu cieczy w stan niestabilny i turbulencję. Aby określić ”prawdziwą” wartościRekr, pomiary należy przeprowadzać nocą, lub w miejscach położonych daleko od

10




Z podanych wartości krytycznych liczb Reynoldsa widać, że prze-pływy spotykane w życiu codziennym mają zaskakująco duży stopieńburzliwości. Można śmiało powiedzieć, że wbrew intuicji kształtowa-nej przez rozmaite kursy hydrodynamiki, w których zwykle turbulencjipoświęcone jest niewiele miejsca, przepływy z jakimi się spotykamy wrzeczywistości prawie nigdy nie są laminarne. Nawet w naszym sercukilka razy na minutę szaleje turbulencja, to dzięki turbulencji prze-pływ krwi w tętnicach można usłyszeć, co znajduje zastosowanie przypomiarze ciśnienia krwi. Podobnie nie do pominięcia są zjawiska zwią-zane z turbulencją, a występujące w technice samochodowej i lotni-czej, gdzie na badania przepływów burzliwych wydaje się olbrzymiekwoty pieniędzy. Zaskakujące przy tym, biorąc pod uwagę niezmiernąkomplikację zjawiska jakim się tu zajmujemy, jak wielkie są dotych-czasowe osiągnięcia techniki w dziedzinach związanych z przepływa-mi. Jest tak, gdyż w wielu przypadkach badania empiryczne mogązastąpić wiedzę teoretyczną, szczególnie tam, gdzie istnieje możliwość

dokonania pomiarów w kontrolowanej, czysto laboratoryjnej formie.Podstawowym narzędziem teoretycznym są przy tym kryteria podo-bieństwa wskazujące na daleko idącą uniwersalność opisu ruchu cie-czy za pomocą równań N-S. Jeżeli spojrzymy na równania (2.3) towidzimy, że geometrycznie podobne przepływy odpowiadające tymsamym wartościom liczby Reynoldsa Re, są opisywane tym samymrównaniem, niezależnie od tego jaka ciecz bierze w nich udział. Tymsamym możemy badać zjawiska zachodzące podczas opływu powie-trza wokół płatu samolotu, badając jego zmniejszony geometrycznie

model w tunelu wypełnionym wodą. Podobnie z każdą z wymienio-nych wcześniej bezwymiarowych charakterystyk przepływów wiążemymożliwość zastąpienia pewnej formy przepływu rzeczywistego formąumożliwiającą wykonanie pomiarów, zwykle w mniejszej geometrycz-nie skali. Zauważmy przy tym, że możemy decydować się na takie mo-

tras komunikacyjnych.

11




delowanie przepływu, w którym podobieństwo z pewnym przepływemrzeczywistym zachodzi tylko według jednej charakterystyki, na przy-kład tylko według liczby Strouhala, zaś pozostałe parametry są wolne.Każdy taki możliwy wybór nazywamy kryterium podobieństwa. Naogół nie można spełnić wszystkich kryteriów na raz, ale też i nie jestto zwykle konieczne. Znaczenie istnienia wspomnianych praw trudnoprzecenić, wystarczy tylko uświadomić sobie jak wielkie są korzyści zmożliwości przetestowania pracy śluzy w zaporze wodnej za pomocą

jej modelu, zanim zacznie ona pracować w rzeczywistych rozmiarach.Warto tutaj także podkreślić, że istnienie kryteriów podobieństwa nie

jest własnością wyłącznie przepływów turbulentnych, a nawet nie za-chodzi wyłącznie w hydrodynamice, choć w tej dziedzinie mają onechyba największe znaczenie praktyczne, głównie w związku z wielki-mi problemami w teoretycznej czy numerycznej analizie przepływówburzliwych.

12



Rozdział 3

Prawa skalowania i analizawymiarowa. Przedziałbezwładnościowy

Załóżmy, że mamy do czynienia z przepływem burzliwym opisanymprzez pole prędkości V(x, t). Pole to musi być rozwiązaniem równańN-S (2.1), ale z powodu jego bardzo skomplikowanej zależności odzmiennych przestrzennych i czasu, pozostając w zgodzie z danymi do-świadczalnymi, możemy uważać je za pole losowe. Innymi słowy, dlaustalonego punktu pomiarowego x wielkość V(x, t) może być trak-towana jako proces losowy zmiennej t. Podobnie dla ustalonej chwiliczasu t, pole prędkości w rozmaitych punktach badanego obszaru jest

realizacją pewnej zmiennej losowej. Zauważmy, że takie sformułowanie jest dostosowane do oczekiwań wobec opisu burzliwości, gdyż znacze-nie praktyczne mają raczej średnie i tym podobne statystyczne cha-rakterystyki przepływu, co jest zrozumiałe wobec złożoności ruchu cie-czy. Rozważmy pewien zespół realizacji losowego pola prędkości cieczyV(x, t). Możemy w tym celu obserwować jednocześnie wiele układówdoświadczalnych, o jednakowych warunkach przepływu, bądź w jed-

13



Rozdział 3. Skalowanie

nym układzie doświadczalnym powtórzyć obserwację przepływu wielerazy. Postępowanie takie pozwala na zdefiniowanie gęstości rozkładuprawdopodobieństwa f (V, x, t) pomiaru określonej prędkości V(x, t)w punkcie x w czasie t. Przepływ turbulentny nazywamy stacjonar-nym jeżeli odpowiadające mu pole losowe prędkości jest stacjonarnympolem losowym, co oznacza, że gęstość prawdopodobieństwa f (V, x, t)spełnia następującą zależność:

f (V(x, t), x, t) = f (V(x, t + τ ), x, t + τ ) (3.1)

dla dowolnych wartości czasów t i τ . Powyższa formuła oznacza, że gę-stość rozkładu prawdopodobieństwa prędkości nie zmienia się z upły-wem czasu. Wydzielmy ze zmiennej losowej V(x, t) pole prędkościśredniej V:

V(x, t) = V(x, t) + v(x, t)

przy czym pole v(x, t) jest zmienną losową o zerowej średniej v = 0,zaś operacja uśredniania dotyczy zależności czasowych. Jeżeli prze-pływ jest stacjonarny, to wartość pola prędkości średniej jest stała wczasie: V(x, t) = V(x).

Podobne własności można zdefiniować dla zależności przestrzen-nych. Pola ”stacjonarne” w zmiennych przestrzennych nazywamy po-lami jednorodnymi, co okazuje się być innym określeniem niezmienni-czości translacyjnej rozkładów prawdopodobieństwa:

f (V(x, t), x, t) = f (V(x + , t), x + , t) (3.2)

przy czym ograniczamy zakres zmienności x i do pewnej objętościprzepływu, dalekiej od ścianek ograniczających układ badawczy. Za-uważmy, że z powodu wektorowego charakteru zmiennych przestrzen-nych użytych w powyższej definicji, oraz ze względu na dowolność ,

jednorodność może dotyczyć tylko pewnych określonych kierunków wprzepływie. Na przykład dla przepływów w szerokim kanale czy ru-rze o wielkiej średnicy, spodziewamy się jednorodności tylko w wzdłuż

14




przepływu, oraz w objętościach zlokalizowanych w pobliżu środka stru-gi, tak aby możliwe było zaniedbanie wpływu ścianek. Podobnie jakdla przepływów stacjonarnych, średnie dla przepływu jednorodnego wkierunku wyznaczonym przez wektor jednostkowy ei, są niezależne odwspółrzędnej przestrzennej xi związanej z tym kierunkiem.

Własności te przenoszą się także na wyższe momenty statystycznezmiennej V(x, t). Na przykład korelacje pola prędkości dla turbulen-cji jednorodnej, zależne jedynie od różnicy, współrzędnych punktówobserwacji:

V(x, t)V(y, t) = F (x − y, t) (3.3)

Należy przy tym pamiętać, że zgodnie z uwagami poczynionymi wy-żej, jednorodność dotyczy zwykle tylko wybranych kierunków w prze-strzeni, czego dla uproszczenia zapisu nie uwzględniliśmy w ostatniejzależności.

Jak już wspomnieliśmy, brak uniwersalnych własności przepływuskłonni jesteśmy wiązać z występowaniem specyficznych warunków

brzegowych. Dlatego przy badaniu uniwersalnych własności turbu-lencji często rozważa się, wygodny do analiz teoretycznych i nume-rycznych, przepływ kompletnie jednorodny i stacjonarny, o zerowymśrednim polu prędkości V(x, t) = 0. Doświadczalna realizacja takiegoprzepływu jest raczej złożona i osiągana w pewnym przybliżeniu wmałych fragmentach objętości w przepływach za kratami. W analizieteoretycznej wybieg taki pozwala jednak uniezależnić się od zjawiskaunoszenia struktur wirowych co znacznie upraszcza rachunki. Argu-

mentem teoretycznym, zezwalającym na taką operację, jest HipotezaTaylora [4]. Przypuśćmy, że w turbulentnym przepływie stacjonarnymmierzymy prędkość przepływu V(x, t) = V(x) + v(x, t) w pewnymustalonym punkcie x. Hipoteza Taylora stwierdza, że jeżeli średniaprędkość przepływu jest znacznie większa niż losowy składnik pełne-go pola prędkości, to znaczy, jeśli |V| |v|, to zmierzoną realizacjęv(x, t) możemy uważać, za wynik unoszenia ”zamrożonego” pola lo-

15




sowego v(x, t) przez średnie pole przepływu, przez punkt pomiarowy,co można zapisać:

v(x, t) = v(Vt, t) (3.4)

Zauważmy, że jeżeli Hipoteza Taylora jest prawdziwa, to prawdziwy jest także następujący związek między korelacjami czasowymi i prze-strzennymi pola prędkości:

v(x)v(x + Vs) = v(t)v(t + s) (3.5)

co jest wyrazem ergodyczności przepływu. Mimo wielkiego znaczenia ipowszechnego stosowania brak do dziś ścisłego teoretycznego dowoduprawdziwości przytoczonej hipotezy. Wiadomo, że istnieją przepływy(tak zwane wtryski, strumienie, ang. jets), dla których nie jest onaprawdziwa, co wiąże się z niespełnieniem założenia o małości składni-ka losowego prędkości. Z drugiej strony pozostaje ona w dobrej zgod-ności z doświadczeniem dla tych przepływów w których wspomnianezałożenie jest spełnione, co uzasadnia jej stosowanie.

Aby przepływ mógł być uważany za stacjonarny i jednorodny, odmomentu wystąpienia pierwszych oznak niestabilności musi upłynąćpewien krótki czas w którym dochodzi do ustalenia się stanu przepły-wu. Czas ten, możemy go nazwać czasem rozwoju turbulencji, w prze-pływach rzeczywistych jest na ogół niezwykle krótki, tak, że rozwójburzliwości w przepływie ma nieraz bardzo gwałtowny, wybuchowycharakter. W rzeczywistych, technicznych układach jest to zjawiskona ogół niepożądane i często bardzo niebezpieczne, powodujące naprzykład gwałtowny wzrost oporów ruchu samolotu przy przekrocze-

niu pewnej prędkości, czy gwałtowny wzrost szumów podczas ruchułodzi podwodnej. Jednocześnie znane są układy, jak choćby omawia-na w poprzednim rozdziale komórka Rayleygha-Bernarda, w którychprzejściem od ruchu laminarnego do turbulentnego można sterowaćtak, że możliwe jest prześledzenie rozwoju niestabilności przepływu.W dalszej części artykułu będziemy zajmować się wyłącznie ustalo-nym stanem przepływu burzliwego. W kilku najbliższych akapitach

16




posłużymy się analizą wymiarową aby wprowadzić pewne podstawowewłasności stacjonarnego stanu turbulencji i wreszcie aby zdefiniowaćw pełni rozwinięty stan burzliwości przepływu.

Każdy kto choć raz widział przepływ turbulentny np. rzeki, zpewnością zwrócił uwagę na złożoność ruchu cieczy. Można zauważyćogromną rozmaitość struktur, od samego ruchu średniego zgodnegoz kierunkiem płynięcia cieczy, przez wiry o rozmaitych skalach prze-strzennych i prędkościach ruchu, aż do ruchu najmniejszych fragmen-tów cieczy, który wydaję się nie mieć w krótkiej skali czasu żadnegozwiązku z ruchem skal globalnych. Przy tym kiedy schodzimy w kie-runku coraz mniejszych rozmiarów przestrzennych struktur, w głąbcieczy, spostrzegamy, że ich przepływ jest w coraz większym stopniuniezależny od ruchu w skalach większych. Rozpatrzmy ruch cieczy wobjętości o rozmiarach liniowych pewnego ustalonego rzędu x. Niechcharakterystyczna prędkość cieczy w rozważanej objętości wynosi vx.Możemy analogicznie jak dla całego przepływu wyliczyć liczbę Rey-

noldsa związaną z przepływem w rozważanej skali Rex = vxx/ν . Licz-ba ta, dla x bliskich globalnemu rozmiarowi L, jest oczywiście bliskaRe, zaś gdy zmniejszamy x, jej wartość zmniejsza się 1 , aż dla pewne-go x0 staje się na tyle mała, że ruch w tej skali odzyskuje stabilność.Zauważmy, że oznacza to, iż w skali x0 w równaniach N-S dominujeczłon lepkościowy. Odwrotnie, dla skal o rozmiarach x x0 wiodącąrolę odgrywa człon nieliniowy, zaś wpływ lepkości jest pomijanie ma-ły. Ruch w takich skalach musi być możliwy do opisania bez użyciawspółczynnika lepkości ν . W dalszych rozważaniach będziemy używać

określenia ”przedział ruchu turbulentnego” na określenie zakresu roz-miarów liniowych od L do x0, w którym to zakresie ruch cieczy jestniestabilny.

Oszacujmy rząd wielkości współczynnika dyssypacji ε, będącego

1Zależność ta jest prawdziwa jeśli składnik losowy pola prędkości jest mniejszyod składnika reprezentującego średni przepływ

17




średnią energią rozpraszaną w jednostce objętości na jednostkę czasu.Chociaż dyssypacja jest związana z ruchem drobnoskalowym (x x0) to jednak ponieważ energia jest czerpana z ruchu skal globalnych,dla oszacowania wartości ε możemy posłużyć się charakterystykamiprzepływu właściwymi tylko dla tych ostatnich skal. Są to średniacharakterystyczna prędkość vL (używamy indeksu L aby podkreślićskalę przestrzenną rozważanej wielkości), gęstość cieczy ρ oraz skaladługości L, i jak nadmieniliśmy, nie należy do nich lepkość. Z analizywymiarowej otrzymujemy, że interesująca nas wielkość musi spełniać:

ε ∼v3L

L(3.6)

Współczynnik dyssypacji ε, dla jednostkowej objętości, jest związanyz lepkością ν zależnością postaci:

ε = ˙E kin = −ν

2(∂ kvi + ∂ ivk)2 ,

gdzie ˙E kin jest pochodną czasową E kin, zaś powyższa zależność doty-czy jednostkowej objętości cieczy. Jak widać ε jest proporcjonalny dokwadratu gradientu prędkości, zaś współczynnikiem proporcjonalno-ści jest lepkość ν . Chcąc zachować podobną postać dla równania (3.6)wprowadzimy współczynnik lepkości turbulentnej ν t :

ν t ∼ vLL

co umożliwia przepisanie (3.6) w postaci:

ε ∼ ν t

vLL

2

Zauważmy, że w przeciwieństwie do lepkości zwykłej, lepkość turbu-lentna jest własnością przepływu, a nie cieczy. Jak widać jest ona miarąwielkości dyssypacji energii w przepływie. Możemy także zauważyć, że

18




związek między zwykłą lepkością ν i lepkością turbulentną musi byćpostaci:

ν tν

∼Re

Rekr,

tak, że dla Re = Rekr mamy równość ν = ν kr, zaś dla Re > Rekr za-chodzi ν t > ν . Ostatnią zależność łatwo zrozumieć jeśli przyjąć podanąwyżej interpretację ν t: dyssypacja energii w przepływie turbulentnym

jest znacznie większa niż w przepływie laminarnym Re < Rekr.Wprowadzenie współczynnika lepkości turbulentnej ν t okazuje się

mieć znaczenie wykraczające poza analizę wymiarową. Historyczniepierwszy wprowadził tą wielkość do mechaniki płynów Boussinesq wroku 1877 [5]. Odpowiada to opisowi przepływu burzliwego za po-mocą efektywnego ośrodka o lepkości ν t, którego ruch jest stabilny.Koncepcja Bousinesqa przejścia od lepkości fizycznej cieczy, do lep-kości efektywnej określonej przez dynamiczne własności układu jest,być może pierwszym historycznie, przykładem renormalizacji wielkości

fizycznej.Fundamentalne znaczenie dla teorii przepływów burzliwych ma

wprowadzona przez Kołmogorowa w 1941 roku hipoteza lokalnej izo-tropowości turbulencji [6]. Dotyczy ona własności pola turbulentnejprędkości v dla tzw. turbulencji w pełni rozwiniętej. Jest to stan sta-cjonarny przepływu w którym cała rozważana objętość cieczy jest ob-

jęta turbulencją, w której występuje wiele skal długości. Kołmogorowpoczynił dwa podstawowe założenia na temat własności ruchu turbu-lentnego. Pierwsze z nich dotyczy lokalnej izotropowości ruchu cieczy

dla dostatecznie małych elementów objętości. Przez lokalną izotro-powość rozumiemy przy tym, niezależność od kierunków dla skal obadanych rozmiarach. Skale o rozmiarach większych mogą i w istociewykazują silnie anizotropowe własności. My jednak na razie możemysię ograniczyć do dostatecznie małych objętości tak aby ruch cieczy byłizotropowy, pozostawiając kilka uwag o anizotropowych własnościachturbulencji na później. Przedział ruchu turbulentnego dla przepływu

19




turbulentnego w pełni rozwiniętego jest dostateczne szeroki, aby zało-żenie Kołmogorowa o izotropowości przepływu mogło być prawdziwe.Możemy dalej ograniczyć się do rozpatrywania objętości tak małych,aby ich rozmiary liniowe x były dużo mniejsze od rozmiaru całkowite-go przepływu L, na tyle jednak duże w porównaniu z rozmiarem do-lmy x0, aby lepkość nie była istotna dla opisu ruchu. Istnienie takiegozakresu jest treścią drugiego założenia Kołmogorowa na temat tur-bulencji. Doświadczalnie obserwujemy takie przepływy przy dużychliczbach Reynoldsa (co znaczy w tym wypadku duży jest pojęciemwzględnym i zależy od warunków w jakich przepływ zachodzi, możnaprzyjąć, że chodzi o wartości Re rzędu od kilkuset do kilku tysięcy).Dalszą analizę będziemy prowadzić, przy założeniu, że liczba Reynold-sa dla skal globalnych ReL zmierza do nieskończoności, zaś na koniecpowiemy jakie są konsekwencje przejścia do skończonych (choć bardzodużych) wartości Re.

Jedynymi parametrami wymiarowymi dostępnymi dla opisu ruchu,

w skalach o zapostulowanych rozmiarach są: gęstość ρ, stopień dyssy-pacji ε, oraz wymiar liniowy x. Z podanych wielkości można utworzyćtylko jedno wyrażenie o wymiarze prędkości:

vx = (εx)13

Podobnie jeśli dopuścimy do rozważań jeszcze jedną wielkość, cha-rakterystyczny czas τ zmienności struktur w rozważanych skalach, toużywając średniej prędkości przepływu vL możemy powyższe zapisać

jako:

vτ = (εvLτ ) 13

łącząc ostatnie dwa równania z zależnością (3.6), otrzymujemy:

vxvL

∼

x

L

1/3 vτ vT

∼

τ

T

1/3(3.7)

gdzie przez T oznaczyliśmy czas charakterystyczny dla ruchu skal glo-balnych (vL = L/T ). Mając na uwadze powyższe zależności mówimy

20




o samopodobieństwie ruchu dla skal w przedziale Kołmogorowa, lubinaczej bezwładnościowym. Ostatnia nazwa podkreśla brak dyssypa-cji, niejako ruch bezwładny cieczy, w rozważanym zakresie rozmiarówprzepływu.

Podobne prawo skalowania możemy zapisać dla lokalnych liczbReynoldsa Rex:

RexReL

= x

L43

(3.8)

Prawa skalowania (3.7) i (3.8) stanowią asumpt do prowadzenia anali-zy ruchu turbulentnego, w przedziale bezwładnościowym, za pomocąmetod właściwych dla teorii pola i teorii przejść fazowych. Podobnerelacje skalowania możliwe są do wyprowadzenia dla momentów polav i to dowolnego rzędu [7]. Okazuje się przy tym, że pole prędko-ści jest silnie niegaussowskie, oraz wykazuje intermitencję w małychskalach. Jest to ciekawym wynikiem teoretycznym, co więcej obecniesprawdzonym także doświadczalnie. Niestety jest to także źródłem

podstawowych problemów w teoretycznej analizie przepływów burzli-wych z uwagi na to, że nie jest możliwe analizowanie pola prędkości

jako zaburzonego pola stochastycznego o rozkładzie normalnym.Możemy teraz ściślej zdefiniować to co rozumiemy przez turbulen-

cję w pełni rozwiniętą. Dla rozmiarów liniowych rzędu x0 ruch prze-staje być niestabilny. Oznacza to, że co do rzędu wielkości Rex0 1.Za pomocą równania (3.8) otrzymujemy:

x0 =

L

(ReL)3/4 (3.9)

Jeśli ReL jest dostatecznie duże, to przedział skal (L, x0) jest na tyleszeroki, że możemy mieć nadzieje na istnienie w nim skal dla którychprawdziwe są założenia Kołmogorowa.

Spróbujmy teraz przejść od operowania wielkościami związanymi zrozmiarami przestrzennymi x do wielkości wyrażanych przez zmienne

21




przestrzeni odwrotnej k ∼ 1/x. Zmienne k w przestrzeni odwrotnejleżą w przedziale 2πL < k < kd = 1/x0. Dla liczby Reynoldsa ReLzmierzającej do nieskończoności, rozmiar charakterystyczny x0 naj-mniejszych struktur przepływu, dany wzorem (3.9), zmierza do zera,a tym samym kd zmierza do nieskończoności, i przepływ rozpatrywanyw przestrzeni odwrotnej opisywany jest przez rozkłady rozciągające sięna całą półoś dodatnią liczb rzeczywistych. Jeżeli przez E (k)dk ozna-czymy energię kinetyczną jednostkowej objętości cieczy, związaną zprędkościami dla pewnego przedziału (k, k + dk) to, stosując analizęwymiarową, otrzymamy:

E (k) = C K ε23 k−5

3 (3.10)

Stała C K w powyższym wzorze nazywana jest stałą Kołmogorowai przyjmuje prawie uniwersalną wartość C K 1.9. Samo równanie(3.10) jest często nazywane prawem Kołmogorowa. Podkreślmy, żewynik ten uzyskany przy użyciu analizy wymiarowej dotyczy prze-pływów, dla których kd → ∞ i nie wchodzi w skład bazy wielkościwymiarowych, rozważanych przy konstrukcji (3.10).

Reasumując, popatrzmy do jakiego obrazu turbulencji doprowadzi-ły nas przedstawione rozważania. Rysunek 1. przedstawia wcześniejzdefiniowane widmo energetyczne E (k) dla turbulencji w pełni rozwi-niętej. Możemy zauważyć obecność przedziałów: dyssypacyjnego dlak > kd, bezwładnościowego dla 1/L ∼ 0 k kd oraz przedziałuruchu skal globalnych k 1/L do których nie stosuje się przedstawio-

ne wyżej rozumowanie. Widzimy również, że dla pewnego przedziału kwidmo E (k) posiada wyraźne maksimum, czyli, że istnieje w przepły-wie klasa struktur, o dobrze zdefiniowanych rozmiarach przestrzennychzgrupowanych wokół xmax = 1/kmax, które niosą ze sobą największączęść energii przepływu. Ponieważ jednak ruch tych fragmentów cieczyzachodzi przy pewnej liczbie Reynoldsa Remax > Rekr, nie mogą onewystępować w przepływie samotnie, gdyż są niestabilne. Pojawiają się

22




E(k)

kII III IVI

Rysunek 3.1: Widmo energetyczne przepływu dla turbulencji w peł-ni rozwiniętej. Zaznaczono charakterystyczne przedziały: I-skal glo-

balnych wykazujący silną anizotropię, II-wirów o największej energiiruchu, III-bezwładnościowy, IV-dyssypatywny. Rysunek wykonano napodstawie [3].

zatem struktury o niższych rozmiarach przestrzennych, mniejszej ener-gii kinetycznej i niższej liczbie Reynoldsa i tak, aż do skal o rozmiarachrzędu x0 = 1/kd, dla których istotną rolę zaczyna odgrywać dyssypa-cja, przywracając jednocześnie stabilność ruchu. Zrealizowany w ten

sposób zostaje tak zwany kaskadowy transport energii od skal global-nych do najmniejszych. Aby taki mechanizm mógł produkować sta-cjonarny przepływ konieczne są oczywiście zewnętrzne źródła energiidla utrzymania ruchu. Wprowadzoną koncepcja kaskady energetycznej

jest często przytaczanym obrazem przepływu turbulentnego, bazuje naniej wiele prób modelowania turbulencji opartych o koncepcję samo-podobieństwa geometrycznego przepływu [8], [9], [10], [7]. Modele te

23




zwane modelami multifraktalnymi zmierzają do opisania turbulencjiprzy użyciu multiplikatywnego procesu stochastycznego obrazującegolosowy rozpad wirów o dużych rozmiarach przestrzennych na mniejszewiry. Pomimo, iż próby te mają wybitnie fenomenologiczny charakteri na ogół brak im oparcia modelu dynamicznego, są one dosyć intere-sującą dziedzinę badań, choć ich status nie jest obecnie jasny.

Rozpatrzmy teraz co się stanie jeśli liczba Reynoldsa ReL przyj-mie dużą, lecz skończoną wartość. Konsekwencją takiego faktu jestkonieczność włączenia do naszych rozważań wielkości kd, która po-przednio przyjmowała nieskończone wartości i nie mogła chodzić wskład wyrażeń opisujących zmienne fizyczne, jak na przykład widmoenergetyczne E (k). Konieczność włączenia dodatkowej zmiennej wy-miarowej do naszych rozważań powoduje, że niemożliwe staje się tymrazem określenie zależności E (k) od k, i w wyniku występuje nieznanafunkcja od bezwymiarowej kombinacji k/kd.

E (k) = C K ε

2

3 k−5

3 F k

kd

(3.11)

Oczywiście dla kd → ∞ żądamy, aby powyższa formuła przechodzi-ła w wyrażenie (3.10), co wymaga aby F (0) = 1. Gdyby możliwebyło rozwinięcie F w szereg Taylora, to pierwsza poprawka byłabystałą ∼ (k/kd)

0, zaś kolejna zależałaby liniowo od kombinacji k/kd.Nie jesteśmy jednak w stanie rozstrzygnąć a priori, czy funkcja F jestdostatecznie regularna w otoczeniu zera, aby możliwe było jej rozwi-nięcie w szereg Taylora. Tym samym możliwe poprawki do równania

Kołmogorowa (3.10) niekoniecznie muszą mieć prostą postać w rodzaju zmiany wykładnika o liczbę całkowitą. Możliwe także, że zmianyte polegają na zmianie wykładnika w prawie Kolmogorowa o czynniknie będący liczbą całkowitą. Istnieje tutaj pełna analogia z teorią zja-wisk krytycznych i występującymi w niej wykładnikami krytycznymi.Czasem w tym kontekście mówi się o rozmaitych anomalnych wykład-nikach, które pozostają w sprzeczności z analizą wymiarową, przez co

24




mogą się wydawać nieco niezwykłe. Ich pochodzenie jest jednak ła-twe do wyjaśnienia, wystarczy wyobrazić sobie, że nie dopuszczamy wnaszej analizie obecności kd. Jeśli funkcja F (x) nie jest wystarczającoregularna aby istniał jej szereg Taylora dla x = 0, na przykład ma wzerze punkt rozgałęzienia, to jej obecność w (3.11) zamanifestuje sięw postaci mniej lub bardziej skomplikowanej zmiany wykładnika wzależności E (k) od k. Tak więc pochodzenie rozmaitych anomalnych(czyli niezgodnych z analizą wymiarową) wykładników krytycznychznajduje wyjaśnienie w zbyt uproszczonym wyborze bazy parametrówprzy prowadzeniu analizy wymiarowej. Należy przy tym mieć na uwa-dze, że właściwy wybór parametrów wymiarowych często rzeczywiściepozostaje poza możliwościami naszej intuicji i w tym sensie otrzyma-ne wyniki mają pewien posmak niezwykłości. Występowanie takichniezwykłych praw skalowania jest charakterystyczne dla układów wy-kazujących symetrię skalowania. Dla układów takich charakterystycz-ne jest skłonność do jednoczesnej ekscytacji, to znaczy wzbudzania,

wielu stopni swobody o bardzo szerokim zakresie skal przestrzennych.Taka sytuacja zachodzi w wypadku przejść fazowych drugiego rodza-

ju, a także w wypadku przepływów burzliwych. Narzędziem umożli-wiającym badanie układów wykazujących symetrię skalowania, orazobliczanie wykładników krytycznych jest Grupa Renormalizacji.

Cała powyższa dyskusja dotyczy przedziału bezwładnościowegoprzepływu, gdzie spełnione jest założenie o izotropowości takich cha-rakterystyk ruchu cieczy, jak na przykład dwupunktowe korelacje pręd-kości. W rzeczywistych przepływach, przy dużych liczbach Reynoldsa

w istocie obserwujemy prawdziwość prawa Kołmogorowa (3.10) przybraniu pod uwagę odpowiednio małych fragmentów cieczy. Podobniezmierzone korelacje prędkości wykazują przybliżoną izotropię, tak, żemożemy sądzić, iż założenia Kołmogorowa są spełnione. Jednocześnieoczywistą własnością ruchu turbulentnego, łatwą do zaobserwowania,

jest oczywista anizotropia skal globalnych. Jawnie widoczny jest przytym wpływ warunków brzegowych na ruch cieczy. Można przyjąć, że

25




próba opisu takiego ruchu wymaga wprowadzenia kilku wielkości o wy-miarze długości czy prędkości do naszej bazy wymiarowej, zaś każda ztych wielkości powinna charakteryzować ruch w jednym z możliwychkierunków. Na przykład dla przepływu w kanale płaskim możemy wy-brać dwa rozmiary charakterystyczne, dla kierunku wzdłuż i w poprzekkanału, zaś ruch charakteryzować prędkością poprzeczną i podłużną.Oczekujemy przy tym, że opis analogiczny do przedstawionego wyma-gać będzie wprowadzenia dwu lepkości turbulentnych, zaś w ogólnymprzypadku być może tensora turbulentnej lepkości.

26



Rozdział 4

Równania N-S w przestrzeniFouriera. Wprowadzenielosowych źródeł

Jak zaznaczyliśmy na wstępie poszukujemy uniwersalnych własnościruchów turbulentnych. Warto zatem zadać sobie pytanie jak rozumie-my uniwersalność? Ponieważ zmierzamy do opisania zastosowania me-tody DRG do turbulencji rozsądne wydaje się być porównanie z me-todą Grupy Renormalizacji znanej z teorii przejść fazowych i zjawiskkrytycznych. Ogólnie znane jest Twierdzenie o Uniwersalności w zja-wiskach krytycznych. Ograniczymy się tutaj tylko do wzmianki, żedzieli ono wszystkie układy statystyczne, wykazujące przejścia fazowe

drugiego rodzaju, na klasy równoważności. Dla układów w danej klasierównoważności, wykładniki krytyczne, a tym samym własności przej-ścia, są jednakowe. Przy badaniu ruchów turbulentnych widzieliśmy,że za pomocą analizy wymiarowej w przedziale bezwładnościowymbyliśmy w stanie odtworzyć potęgową postać widma energetycznegow funkcji “liczby falowej” k, z dokładnością do czynnika w postaciuniwersalnej funkcji, oznaczyliśmy ją przez F ,. Podobne rozumowania

27



Rozdział 4. Równania N-S w przestrzeni Fouriera

napotykamy w teorii przejść fazowych, gdzie wykładniki krytyczne wy-liczane w przybliżeniu średniego pola też są możliwe do odtworzeniaza pomocą analizy wymiarowej, zaś dalsza analiza, prowadzona zwy-kle przy użyciu techniki Grupy Renormalizacji prowadzi do zmiany ichwartości na lepiej oddające rzeczywiste zachowanie układu w przejściufazowym. Czy zatem istnieje analogiczne twierdzenie o uniwersalnościdla teorii turbulencji, oraz czy zastosowanie grupy renormalizacji doanalizy ruchu turbulentnego może dać poprawki do prawa Kołmogo-rowa, tak jak w wypadku zjawisk krytycznych?

Uniwersalność w teorii turbulencji rozumiemy jako niezależność odwarunków brzegowych. Innymi słowy mówiąc, że badamy własnościuniwersalne przepływów turbulentnych, mówimy, że chodzi nam o tewłasności które zachodzą przy dowolnych lub przynajmniej bardzoogólnych warunkach brzegowych. Zwróćmy uwagę na to, że chodzi tu

jak widać o zupełnie inną własność układów niż w teorii zjawisk kry-tycznych [11], [12]. W tej ostatniej warunki brzegowe nie występują

jawnie z zupełnie naturalnych powodów: rozważamy na ogół ukła-dy w granicy termodynamicznej. Z drugiej strony twierdzenie o uni-wersalności przeniesione z teorii przejść fazowych II rodzaju do teoriiturbulencji nie ma tak wielkiego znaczenia głównie z uwagi na to, iżmamy tu do czynienia z określonymi równaniami opisującymi ruch.Nie dysponujemy całą gamą różnie opisywanych układów wykazują-cych turbulencję, zatem znajdujemy też niewiele istotnego w podzialena klasy równoważności skoro dysponujemy strukturą złożoną tylkoz jednego elementu: równań N-S. Reasumując powtórzmy: mówiąc o

uniwersalności w turbulencji mamy na myśli niezależność od warun-ków brzegowych i nie budujemy analogii między taką uniwersalnością,a tą którą znamy z teorii zjawisk krytycznych.

Z uwagi na występowanie w przepływie turbulentnym struktur orozmaitych skalach zarówno przestrzennych jak i czasowych pomocne

jest rozważanie równań N-S w przestrzeni Fouriera. Umożliwia to jaw-ną kontrolę zakresów długości rozważanych podczas analizy. Ważnym

28




powodem jest też fakt, że w przestrzeni Fouriera więz jaki stanowirównanie ciągłości daje się wyrazić w sposób algebraiczny, co umoż-liwia jego jawne uwzględnienie. Podczas takiej operacji człon zawie-rający ciśnienie występujący z prawej strony równań N-S okazuje sięprzechodzić w wyrażenie mające analogiczną formę jak transformatafurierowska wyrazu nieliniowego występującego w N-S. Podziałajmyoperatorem dywergencji na obydwie strony równań N-S, oraz skorzy-stajmy z równania ciągłości w postaci (2.2). Otrzymujemy równanie:

∂ i∂ k(vivk) = −1

ρ∂ i∂ k p (4.1)

Jak widać przez zastosowanie więzu (2.2) wyeliminowaliśmy wszyst-kie wyrazy liniowe względem prędkości w równaniu (2.1), a otrzymanerównanie stanowi związek różniczkowy między polem ciśnienia, a nie-liniowym wyrazem zawierającym pole prędkości. Związek ten możnaodwikłać i wyliczyć jawną zależność między p a v. Aby tego dokonać

należy wziąć transformatę Fouriera obu stron równania (4.1). Prowa-dzi to do zależności postaci:

1

ρ p(k) = −

kikkk2

q1q2

δ(k − q1 − q2)vi(q1)vk(q2) (4.2)

gdzie transformaty pola v zdefiniowano w następujący sposób:

v(x, t) = |k|<Λ +∞

−∞

d3kdω

(2π)

4ei(kx−ωt)vi(k, ω) (4.3)

i analogicznie dla pola p, zaś |k| ∈ (0, Λ), ω ∈ (−∞, ∞). W po-wyższych wyrażeniach dla skrócenia zapisu użyto oznaczeń postaci xoraz k dla zapisania zmiennych przestrzennych (x, t), czy furierowskich(k, ω). Podobnie gdy będzie jasne z kontekstu czy rozważamy pola wprzestrzeni Fouriera czy rzeczywistej, będziemy pomijać oznaczeniazmiennych niezależnych.

29




Ograniczenia nałożone na długość wektora falowego k oznaczają,że w modelu nie rozważamy skal długości mniejszych niż Λ−1. Jest tozabieg typowy dla teorii fenomenologicznych operujących zmiennymibędącymi średnimi objętościowymi po zmiennych mikroskopowych. Wnaszym przypadku v jest taką zmienną, zaś średniowanie wykonywanedla jej zdefiniowania przebiega po objętościach rzędu Λ−3, o którychzakładamy, że są małe makroskopowo, dostatecznie jednak wielkie abypole v(x, t) było gładką funkcją zmiennych przestrzennych i czasu.

Obliczmy transformatę Fouriera obu stron równania (2.1).

(−iω + νk2) vi(k) = (4.4)

−i1ρ

ki p(k) + ik j q1q2

δ(k − q1 − q2)vi(q1)v j(q2)

Jak widać w równaniu (4.4) możemy za pomocą zależności (4.2)wyeliminować wyrażenie zawierające ciśnienie p. Zauważmy też, że wy-raz całkowy po prawej stronie równania (4.4) jest jawnie symetryczny

we wskaźnikach j oraz i co sprawia, iż pożądana staje się symetryza-cja pozostałych wyrazów stojących przed całką. Ostatecznie równaniaN-S w przestrzeni Fouriera mają postać:

(−iω + νk2) vi(k) = (4.5)

i12

P iml(k) q1q2

δ(k − q1 − q2)vm(q1)vl(q2)

gdzie:P ijk(k) = P ij(k)kk + P ik(k)k j (4.6)

oraz

P ik(k) = δik −kikkk2

(4.7)

Zauważmy też, że więz jakim jest równanie ciągłości (2.2) w przestrzeniodwrotnej przybiera czysto algebraiczną postać:

kivi(k) = 0.

30




Wyrażenie P ij(k) jest symetryczne w swych wskaźnikach, a takżespełnia zależności kiP ij(k) = 0, oraz P ij(k)P jm(k) = P im(k), co po-woduje, że więz ciągłości jest automatycznie spełniony dla obiektówproporcjonalnych do P ij(k), a ponadto jest ono operatorem rzutowym.Z uwagi na te własności bywa ono nazywane deltą transwersalną i od-grywa podobną rolę jak analogiczny obiekt w elektrodynamice: umoż-liwia spełnienie pewnego cechowania, narzucanego na rozważane polaw sposób tożsamościowy.

Konsekwencją występowania nieliniowości w równaniu N-S (2.1) jest występowanie w równaniu (4.5) wyrazu sprzęgającego mody fu-rierowskie zależne od różnych liczb falowych. Jeżeli przyjąć interpre-tację, w której mody furierowskie pola v traktujemy jako quasicząstkiz oddziaływaniem opisanym członem całkowym w równaniu (4.5) toprzejście z przestrzeni rzeczywistej do przestrzeni Fouriera jest przej-ściem od problemu klasycznej teorii pola do zagadnień związanych zteorią wielu ciał. Jak już wcześniej nadmieniliśmy, tak rozpatrywany

problem zawiera nieskończenie wiele zmiennych dynamicznych.Prowadząc dyskusję na temat równania (2.1) wspomnieliśmy, że

równanie to jest wystarczające do opisu turbulencji i w zasadzie dlaścisłości wymaga uzupełnienia warunkiem brzegowym (lub początko-wym) dla uzyskania jednoznacznego rozwiązania. Zauważmy, że abyopisywać stan burzliwy przepływu, na przykład przy opływie konturu,naturalnym jest przyjąć, że w nieskończoności pole prędkości ma stałąi niezerową wartość. Zauważmy także, że przyjęcie zerowej asympto-tyki dla pola prędkości cieczy daje nam rozwiązanie w całej objętości

z zerową prędkością (i stałym ciśnieniem, tak, że człon z gradientemciśnienia nie daje wkładu do prawej strony równania (2.1)). Reasumu-

jąc: aby uzyskać niezerowe rozwiązanie w interesującej nas objętościmusimy założyć niezerowe wartości dla pola v z dala od rozważane-go przez nas obszaru. Takie założenie jest jednak źródłem kłopotówprzy przejściu do przestrzeni Fouriera, jako, że jednym z warunkówkoniecznych istnienia transformaty Fouriera dla funkcji nieokresowej

31




jest jej znikanie w nieskończoności 1. Tak więc z fundamentalnych po-wodów przejście do przestrzeni Fouriera wymaga założenia znikaniapola prędkości cieczy w nieskończoności. Chcąc jednocześnie zacho-wać rozwiązania opisujące stan stacjonarny przepływu turbulentnegoo nieznikającej tożsamościowo prędkości w rozważanej objętości mu-simy uzupełnić równania (4.5) o dodatkowe źródło. Zwykle jest toźródło w postaci pola stochastycznego zdefiniowane jedynie przez sta-tystyczne własności: średnie, korelacje, a czasem przez podanie samegorozkładu prawdopodobieństwa dla możliwych realizacji. Tak docho-dzimy do modelowania turbulencji przez pola losowe. Jest to wysocenietrywialna operacja, jako że źródła takie powinny w zasadzie mo-delować wpływ skal o największych rozmiarach rzędu rozmiarów glo-balnych przepływu na skale mniejsze o rozmiarach rzędu rozmiarówwirów występujących w przedziale bezwładnościowym. Jednocześnieczłon całkowy w równaniu (4.5) sprawia, że niemożliwa jest separa-cja pewnych modów od innych: oddziaływanie sprzęga je wszystkie

co sprawia, że zasadniczo wprowadzenie takiego źródła jest obarczonepoczynieniem różnego rodzaju arbitralnych założeń na temat postacikaskady energetycznej w przepływie.

Rozwiązanie problemu polega na założeniu jawnie pewnej formyoddziaływania między zakresami widma globalnym i bezwładnościo-wym, co wyraża się przez wybór konkretnej formy charakterystyk po-la źródłowego. Zgodnie z opisaną wcześniej hipotezą o uniwersalno-ści powinna istnieć szeroka klasa źródeł, które dzięki mechanizmomwłaściwym dla turbulencji, takim jak mieszanie, silna nieliniowość i

sprzęganie skal o różnych wymiarach, mogą ”wyprodukować” uniwer-salne charakterystyki ruchu, jak spektrum energetyczne przepływu wprzedziale bezwładnościowym. Tym samym możemy mieć nadzieję, że

1Aby istniała transformata Fouriera funkcji nieokresowej f (x) warunkiem ko-niecznym i wystarczającym jest, aby obok spełnienia w dowolnym przedziale skoń-czonym warunków Dirichleta, całka

+∞−∞

|f (x)|dx była zbieżna.

32




jeżeli nawet przyjmiemy, że wprowadzone do równania (4.5) źródła bę-dą gaussowskie, to i tak otrzymamy właściwe przewidywania na tematinteresujących nas wielkości. Podkreślmy, że założenie o normalnościrozkładów nie jest równoważne zamknięciu hierarchii równań momen-tów statystycznych pola prędkości w ruchu turbulentnym, zakładamyw ten sposób tylko specyficzną formę więzów dla asymptotyki polaprędkości, które ma nadal w rozważanej objętości takie własności jakiesą właściwe dla nieliniowego (czy nielokalnego w przestrzeni furiera)równania N-S. Można zbudować analogię między modelowanym przeznas wpływem skal globalnych, a koncepcją termostatu w fizyce staty-stycznej, gdzie nie specyfikujemy konkretnej formy oddziaływania mię-dzy układem a rezerwuarem cieplnym, zaś jedynym ograniczeniem jest”dobry” kontakt tego ostatniego i badanego układu, tak aby możliwebyło osiągnięcie między nimi stanu równowagi termodynamicznej. Jestto tylko analogia, gdyż my musimy poczynić jakieś założenia na tematszczegółów tego kontaktu. W przypadku termostatu jego własności są

niezależne od własności badanego układu, i podobnie w naszym wy-padku własności źródeł nie będą zależeć od stanu pola prędkości wprzedziale bezwładnościowym.

Pozostaje do rozważenia jeszcze jeden problem: wiemy, że skale glo-balne wykazują silną anizotropię przepływu. Pozostaje zatem wybór,przyjąć jawnie anizotropową formę źródeł przepływu i tym samym pró-bować pokazać, że owa anizotropia znika w procesie dyssypacji (bo jakwiemy rzeczywiście istnieją skale przepływu w których hipoteza Koł-mogorowa jest prawdziwa, jest to wynik doświadczalny), lub przyjąć

izotropową formę źródeł i traktować taką analizę jako pierwsze przy-bliżenie, uzupełniane w miarę potrzeb, rachunkiem perturbacyjnym,o małą anizotropię. Badania związane anizotropowymi własnościamiprzepływów turbulentnych są prowadzone dosyć intensywnie z uwagina ich duże znaczenie teoretyczne i praktyczne ( np. badania prze-pływów w plazmie). Jest to jednak trudna tematyka. Czytelnika za-interesowanego zagadnieniami anizotropowej turbulencji odsyłam do

33




literatury [13], [14], [15], [16]. W dalszej części artykułu będziemy mó-wili o turbulencji izotropowej.

Jak wspomnieliśmy wyżej, skale poza przedziałem bezwładnościo-wym przepływu będziemy modelować polem stochastycznym f (k, ω):

(−iω + νk2) vi(k, ω) = (4.8)

f i(k, ω) + iλ2

P iml(k) q1ω1q2ω2

δ(k − q1 − q2)vm(q1, ω1)vl(q2, ω2)

gdzie współczynnik λ pełni rolę stałej sprzężenia dla członu nielinio-wego. Wyjściowe równania N-S otrzymujemy dla λ = 1. Wprowadźmytakże dodatkową funkcję, zwaną dalej propagatorem, pochodzącą tyl-ko z wyrazów liniowej części równania N-S:

G(k, ω) =1

(−iω + νk2). (4.9)

Za Yakhotem i Orszagiem [17] wprowadźmy zasadę odpowiednio-ści; od tego miejsca postulujemy, że wszelkie wyniki jakie otrzymamy

z równania (4.8), w którym obecne jest pole stochastyczne f , dotycząturbulencji tylko w obszarze bezwładnościowym. Tym samym buduje-my równoważność między równaniami (4.8) i (4.5) tylko dla przedziałubezwładnościowego przepływu.

Skale globalne pełnią w stosunku do skal bezwładnościowych po-dobną rolę jak w termodynamice równowagowej rezerwuar cieplny, imogą być reprezentowane przez pole stochastyczne. Oczekujemy, żepole f będzie oddawało wpływ niestabilności związanej z polem v wskalach porównywalnych z całkowitą skalą przepływu, dlatego musi-

my postulować jego własności asymptotycznie dla k → 0. Poza tąasymptotyką nie nakładamy innych warunków, żądając jedynie, by wprzestrzeni pędów korelacja ff było wolnozmienną funkcją ciągła,malejącą i ograniczoną wszędzie poza zerem, oraz aby pole f byłoniezależne statystycznie od pola prędkości (co przedyskutujemy da-lej). Dzięki polu f istnieją niezerowe stacjonarne rozwiązania równania(4.8).

34




Rozważmy pewne pole skalarne f . W myśl powyższego wywoduzauważmy, że jeśli zdefiniować statystyczne własności pola f w prze-strzeni rzeczywistej, przez odniesienie do białego (nieskorelowanego)szumu R(x, t) za pomocą relacji:

f (x, t) = t−∞

dt ∞−∞

ddxK (x − x, t − t)R(x, t),

to założenie potęgowego zaniku jądra K (x, t) ∼ 1/|xd−ρ

||t|, z pewnymwykładnikiem ρ, implikuje, że:

f (x, t)f (x, t) ∼ |x − x|2ρ−d|t − t|

co oznacza, że w przestrzeni Fouriera, dla (k, ω) → 0 mamy:

f (k, ω)f (k, ω) = 2Dk−2ρδd(k − k)δ(ω − ω).

Zaznaczmy, że długozasięgowość korelacji pól f oznacza także, że prze-

noszą one do skal niższych nie tylko energię, ale też informację o upo-rządkowaniu skal wyższych.

W rozważanym modelu definiujemy własności pól stochastycznychzgodnie z wyżej przytoczonymi rozważaniami. Zakładamy, że pole f ma zerową średnią:

f i(k) = 0; (4.10)

Odmienne założenie odpowiadałoby sytuacji, w której na ciecz jakocałość działa pewna dodatkowa siła masowa.

Korelacje składowych furierowskich pola f wybieramy, tak aby do-datkowo spełnić więz wynikający z równania ciągłości:

f i(k, ω)f j(k, ω) = 2DP ij(k)k−yδd(k − k)δ(ω − ω), (4.11)

to znaczy wprowadzamy w powyższym wyrażeniu operator rzutowyP ij(k). W powyższym równaniu występuje wolny parametr y. Ponie-waż wartość y = −2 odpowiada cieczy pozostającej w równowadze

35




termicznej, wzburzanej termicznym szumem [18], natomiast my zain-teresowani jesteśmy w analizie silnie nierównowagowego przepływu, wdalszej części artykułu będziemy zakładać, że y > −2 [17].

Zauważmy , że definicja pola f nie jest wyczerpująca. W zasa-dzie dla określenia statystycznych własności pola f powinniśmy podaćwszystkie jego momenty statystyczne, a nie jedynie pierwsze dwa jakto uczyniliśmy. Problemy tego typu rozwiązujemy zwykle przez zało-żenie kwazigausowskiego rozkładu dla pól przez co rozumiemy, że zni-kają wszystkie nieparzyste momenty rozkładu, zaś parzyste dowolnegostopnia, dają się wyrazić przez drugi. Jednak założenie o gausowsko-ści pól budzi wątpliwości. Należy przypuszczać, że rzeczywiste polastochastyczne występujące w turbulencji z gausowskością mają nie-wiele wspólnego. Jednocześnie jak wspomnieliśmy, w myśl hipotezyo uniwersalności mamy nadzieję, że takie założenie nie ma decydują-cego wpływu na wyniki dalszych rozważań i jest jedynie pomocniczerachunkowo.

Przedyskutujmy na koniec założenie o niezależności statystycznejpól v i f . Poczynienie takiego założenia umożliwia nam faktoryzacjętakich wyrażeń, jak vff , czy vf i podobnych. Zauważmy jednak, żeskoro pole f , jest źródłem w równaniu (4.8), i modeluje niestabilnośćskal globalnych, to założenie takie jest w zasadzie niesłuszne ! Dopierooparcie się na hipotezie o uniwersalności i wykorzystanie wprowadzo-nej wyżej zasady odpowiedniości pozwala mieć nadzieję, że w rozpa-trywanych skalach, w zakresie bezwładnościowym, założenie takie nie

jest zbyt ograniczające. Sądzimy bowiem, jak już nadmieniono wcze-

śniej, że wiele przyczyn ruchu burzliwego cieczy, a to w postaci siłzewnętrznych uzupełnionych o warunki brzegowe, daje w wyniku, wprzedziale bezwładnościowym, jednakowe własności przepływu. Ostat-nie założenie jest jednak źródłem poważnych krytyk wysuwanych podadresem opisywanego podejścia, tym bardziej, że jak się przekonamyzostanie ono jeszcze bardziej rozszerzone w toku dalszych rachunków,bowiem będziemy zmuszeni korzystać z dosyć drastycznego przybliże-

36




nia, w myśl którego dla λ = 0 pole v spełnia:−iω + νk2

vi(k, ω) = G−1(k)vi(k) = f i(k, ω). (4.12)

Oczywiście podstawienie λ = 0 w równaniu (4.8) jest niezbyt zasadne, jako, że dla oryginalnego równania N-S λ = 1, jednak postępowanietakie umożliwia domknięcie schematu eliminacji części modów polav, jaki opiszemy w następnym podrozdziale. Równania stochastycz-

ne, jak powyższe, będące związkiem między polami losowymi nosząnazwę równań Langevina. Podstawową ideą grupy renormalizacji jesttakie przedefiniowanie współczynnika lepkości w powyższym równa-niu, aby jego rozwiązanie dobrze przybliżało rozwiązanie oryginalnego(nielokalnego i nieliniowego) równania (4.5).

37



Rozdział 5

Grupa Renormalizacji

Model który poniżej opiszemy dotyczy zakresu bezwładnościowegowidma turbulencji, i jest oparty na zastosowaniu Dynamicznej GrupyRenormalizacji (DRG) do analizy równań N-S. DRG jest aparatemobliczeniowym, zaadaptowanym przez Ma i Mazenkę [19], do bada-nia problemów dynamicznych, wprost z teorii przejść fazowych w cielestałym (zobacz także [11], [12], [20]). Pierwsze zastosowanie DRG nagruncie hydrodynamiki miało miejsce w pracy D.Forstera, D.Nelsonai M.Stephena [18], w roku 1977 (FNS). Praca ta nie miała ściśle rzeczbiorąc związku z turbulencją i dotyczyła jedynie analizy długoczaso-wych i wielkoskalowych własności cieczy wzburzanej polem stocha-stycznym (porównaj komentarz na ten temat z pracy McComba [21]).Rozszerzenie zastosowanej w FNS metody analizy równań N-S na przy-

padek ruchu turbulentnego przez zastosowanie tak zwanego rachunkuK − co opiszemy niżej , dokonali V.Yakhot i S.Orszag w połowielat osiemdziesiątych [22], [17]. Niniejszy artykuł bazuje na drugiej zcytowanych prac.

Zastosowanie DRG wiąże się ściśle z symetria skalowania, którąwykazują układy znajdujące się w pobliżu punktów przejść fazowych.W pobliżu takich punktów układy te charakteryzują się dalekozasię-

38



Rozdział 5. Podstawowe idee

gowymi korelacjami, zależnymi potęgowo od odległości inaczej niż po-za obszarami krytycznymi, gdzie ta zależność jest wykładnicza, czylikrótkozasięgowa. Fizycznie oznacza to, że dla układu wykazującego za-chowanie krytyczne niemożliwe jest zaniedbanie wpływu jednych skalna inne, niezależnie od ich przestrzennej różnicy. Symetrię skalowaniaodnajdujemy w hydrodynamice cieczy nieściśliwej, w analizie ruchuskal bezwładnościowych, co zresztą znajduje potwierdzenie w wielupracach doświadczalnych (pewien przegląd wyników doświadczalnychzawiera praca McComba [21]). Jednocześnie skale pozostające pozazasięgiem modelu będziemy modelować przez wprowadzenie dodatko-wych pól o odpowiednio zdefiniowanych własnościach. Zakładamy żewymiar przestrzeni d jest wolnym parametrem, podobnie jak jest toprzyjęte w teorii zjawisk krytycznych.

5.1 DRG: podstawowe idee

Poświęćmy nieco uwagi wyjaśnieniu formalizmu Dynamicznej GrupyRenormalizacji. Niniejszy rozdział będzie jedynie czysto formalnymopisem zasady działania DRG, szczegółowe rachunki odłożymy na póź-niej, tutaj definiując jedynie potrzebne obiekty i wyjaśniając sens i celoperacji które dokładniej przedstawimy później.

Model dynamiczny, który analizujemy, to znaczy model turbulencjioparty na równaniach (4.8) uzupełniony o własności pola f , przedys-kutowane wyżej, może być scharakteryzowany przez podanie zbioru

parametrów, oznaczmy go przez µ, takich jak lepkość ν , formalna stałasprzężenia λ, czy współczynnik D występujący w zależności (4.11). Za-uważmy, że każda wielkość fizyczna dotycząca przepływu jest funkcjązależną od tych parametrów. DRG jest ciągłym zbiorem transformacjiRr; 0 r < ∞, działających na zbiorze µ według następującegoprzepisu:

1. Eliminujemy z równań ruchu krótkofalowe mody pola v(k, ω),

39




odpowiadające k takim, że Λe−r < |k| < Λ. Dokonujemy tegoprzez dekompozycję pól v i f : definiując nowe pola v> i v< wpostaci:

v>(k, ω) = v(k, ω)θ>(k) (5.1)

v<(k, ω) = v(k, ω)θ<(k) (5.2)

gdzie:

θ

>

(k) = 1 jeżeli |k| ∈ (Λe−r, Λ)

0 jeżeli |k| ∈ (0, Λe−r)oraz:

θ<(k) =

0 jeżeli |k| ∈ (Λe−r, Λ)1 jeżeli |k| ∈ (0, Λe−r)

Podobnie definiujemy dodatkowe pola stochastyczne f > i f <.Oczywiście spełnione jest v = v< + v>. Podstawienie tej ostat-niej zależności do równań (4.8) pozwala zapisać odzielnie rów-nania dla v> oraz v<. Równania te pojawią się w dalszej części

artykułu, w tym miejscu ograniczmy się jedynie do opisu postę-powania jakie jawnie przeprowadzimy nieco dalej. Możemy, przezużycie równania na v>, próbować wyeliminować v> z równaniana v<, przynajmniej do pewnego, skończonego, rzędu w stałejsprzężenia λ. Należy jednak zauważyć, że z powodu występowa-nia nieliniowości po prawej stronie równań (4.8), nie jest możliwecałkowite rozseparowanie dynamiki tych pól: w równaniu na v<

zawsze występują wyrazy zawierające v> i to samo można po-wiedzieć o równaniu na v>. Iteracyjną eliminację modów pola

v zależnych od k leżących w pasie kulistym o zadanych wyżejpromieniu i szerokości, możemy w zasadzie prowadzić w nieskoń-czoność, a przez to wyeliminować pole v> w sposób całkowity.Zauważmy jednak, że postępowanie takie prowadzi do czysto for-malnego przedstawienia pola v<, jako szeregu w potęgach stałejλ, który nie może być zbieżny bezwzględnie (a jak należy przy-puszczać nie jest także zbieżny warunkowo). Oczywiście kłopoty

40




te wynikają z wielkości λ, która jak wspomnieliśmy, dla bada-nego problemu jest równa jedności. Jeśli jednak dla pewnegoskończonego rzędu iteracji, skorzystamy z zależności (4.12), touzyskujemy tym samym możliwość domknięcia równania na v<,dzięki temu, że znamy własności pola f , a tym samym pól f >

i f <. Dalsze postępowanie polega na uśrednieniu otrzymanychrównań względem pola f >, oraz skorzystaniu z omówionej jużniezależności pól v i f .

Operacja eliminacji modów powoduje pojawienie się w równa-niach na pole v< wielu dodatkowych wyrazów, z których częśćmoże zostać włączona w parametry modelu. W ten sposób wpływmodów które wyeliminowaliśmy, zostaje przerzucony na czynnikitakie, jak na przykład lepkość ν r, czy stała sprzężenia λr, którenabywają, jak widać, zależności od parametru grupowego.

2. Po wykonaniu powyższej procedury, w równaniach na pole v<,

występują wyłącznie pola opatrzone znakiem ”<”, a wszystkiecałkowania ograniczone są do wnętrza kuli, o promieniu Λe−r

i środku w zerze. Wektory falowe o długościach z przedziału(Λe−r, Λ) zostały wyeliminowane z rozważań. Aby przywrócićpoprzedni zakres zmienności zmiennych zależnych, a tym sa-mym wprowadzić możliwość porównywania równań przed i powyeliminowaniu zmiennych, dokonujemy teraz ich przeskalowa-nia. Podobnie przeskalowanie dotyczy także pól dynamicznych.Operacja ta odbywa się według następujących związków:

k = erk, ω = eα(r)ω, v<(k, ω) = ξ(r)v(k, ω) (5.3)

Jednocześnie, jak zobaczymy później, operacja ta wymusza takżeprzeskalowanie pola stochastycznego f <, oraz elementów zbioruµ(r), co prowadzi do pojawienia się parametrów efektywnych jakν (r), czy λ(r), których zależność od r pochodzi zarówno od ope-racji eliminacji modów jak i od opisanego wyżej przeskalowania.

41




Aby odróżnić te dwa rodzaje zależności, z których jedna ma jakgdyby dynamiczne, a druga czysto kinematyczne pochodzenie,wprowadziliśmy oznaczenia ν r dla lepkości po eliminacji modóworaz ν (r) dla lepkości po wykonaniu pełnej procedury renorma-lizacji i analogicznie dla pozostałych parametrów.

Zaznaczmy, że używanie nazwy grupa, w odniesieniu do rodzinywyżej opisanych przekształceń, jest w zasadnie nieuzasadnione, gdyż

w istocie tworzą one jedynie półgrupę, co oznacza, że nie istnieje trans-formacja odwrotna do opisanej. łatwo to zrozumieć, mając na uwadze,że operacja średniowania wchodząca w skład opisanej transformacji

jest nieodwracalna i powoduje zgubienie części informacji o wystę-pujących obiektach. Powyższa uwaga pozostaje w zgodzie z definicjązakresu zmienności parametru grupowego r, który musi pozostawaćnieujemny.

Krok pierwszy opisanej procedury polega na eliminacji części mo-dów krótkofalowych, leżących w pasie kulistym o szerokości Λ(1 −e−r). Operacja ta produkuje nowy układ posiadający własną dynamikęokreśloną przez swoisty dla niego zespół stałych sprzężenia i oddziały-wań, z których nie wszystkie mają swoje odpowiedniki w wyjściowymmodelu. Na przykład jednokrotna iteracja opisanej procedury powo-duje pojawienie się w równaniu na v< wyrazów proporcjonalnych dotrzeciej potęgi pola prędkości, których brak w wyjściowym równaniuN-S. Tym samym musimy poszerzyć definicję zbioru parametrów µo dodatkowe możliwe stałe sprzężenia, odpowiadające pojawiającym

się, wyższym nieliniowościom. Można iść dalej, i przyjąć formalne roz-szerzenie zbioru µ, do wszelkich możliwych sprzężeń pól, tak, że licz-ba jego elementów stanie sie nieskończona. Taka, podkreślmy, czystoformalna operacja, jest wygodna, jako, że z jednej strony, unikamyrozbudowywania zbioru µ, a co za tym idzie przestrzeni działania pół-grupy Rr, za każdym kolejnym wykonaniem kroków 1 i 2 opisanychwyżej, zaś z drugiej strony, jak zobaczymy dalej, oczekujemy, że w tak

42




rozbudowanej strukturze, znaczenie fizyczne będzie miała i tak tylkoskończona liczba parametrów.

Kolejny krok DRG, przeskalowanie zmiennych i pól, jest zazwyczajłatwiejszy do wykonania. Stanowi on powrót do oryginalnych zakre-sów zmienności pól i zmiennych niezależnych, co pozwala porównywaćdynamikę przed i po wykonaniu opisanych operacji. Jeżeli zażądamyidentyczności rozpatrywanych układów, to musimy znaleźć punkt sta-ły opisywanej transformacji. Znalezienie takiego punktu oznaczać bo-wiem będzie, że układ przed i po eliminacji części modów, opisywany

jest równaniami o tej samej formie, czyli równaniami w których wy-stępują oddziaływania w tej samej postaci, choć zapewne występująróżnice w ich wzajemnych wielkościach. Często mówi się w tym kon-tekście, że równania ruchu w takim przypadku są forminwariantne.Pytanie o istnienie punktu stałego DRG jest równoważne pytaniu o to,czy układ posiada w jakimś przedziale parametrów symetrię skalowa-nia, lub równoważnie, czy wykazuje zachowanie krytyczne. Pożyteczne

jest przy tym zbudowanie analogii między symetrią skalowania, a jakąśinną, obecną w fizyce symetrią, jak na przykład względem obrotów.Analogiem grupy obrotów będzie wtedy grupa renormalizacji. Szcze-gólnie interesującym przypadkiem inwariantności względem obrotów

jest oczywiście symetria względem obrotu o dowolny kąt, co jest dlaukładów hamiltonowskich związane z możliwością zastosowania twier-dzenia Noether. Podobnie w przypadku DRG interesuje nas niezmien-niczość, przy transformacji opisanej wyżej, dla dowolnego parametrugrupowego r. Wynika to także z tego, że jako iż transformacje te sta-

nowią półgrupę, to możemy je składać, a tym samym otrzymać dowol-ną wartość r, także nieskończoną. Podkreślmy także, że zastosowanieDRG do badania określonego modelu dynamicznego jest, podobnie jakdla grupy obrotów, operacją umożliwiającą uzyskanie tylko pewnychogólnych informacji o dynamice badanego układu. Tylko szczególnieproste modele dynamiczne mogą być rozwiązane w ten sposób, przyczym przez rozwiązanie rozumiemy na przykład znalezienie szczegól-

43




nego rozwiązania równań ruchu. Jednocześnie informacje, które uzy-skujemy przez taką analizę dynamiki układu nie tracą swej ważnościprzy zaburzeniu modelu nie niszczącym jego własności symetrii, przyczym tutaj, podkreślmy, mamy na myśli symetrię względem działaniaDRG [20]. Postulujemy, że do klasy takich zaburzeń dla równania N-S(2.1) należą zmiany warunków brzegowych, co w równaniu w prze-strzeni fouriera (4.8) odbija się jako zmiana pola losowego f .

Jeżeli posłużyć się wprowadzonym wcześniej zapisem, to działanieDRG można przedstawić jako:

Rrµ = µ(r)

gdzie µ(r) zawiera na ogół inną niż µ liczbę niezerowych stałych i jawnie zależy od r, zaś w punkcie stałym µ:

Rrµ = µ

Znalezienie µ jest możliwe przez wykorzystanie dowolności parame-tru r oraz przez swobodę w wyborze funkcji α(r) i ξ(r). Te ostatniewielkości wybieramy przy tym w taki sposób, aby wielkości fizycznenie zależały od r. Szczególnie ważną charakterystyką układu jest takzwana funkcja odpowiedzi układu Gij określona definicją:

Gij(k, ω, µ) =vi(k, ω)vk( j, ω)

(2π)d+1δ(k + k)(5.4)

Użyteczność funkcji odpowiedzi polega między innymi na tym, żeza jej pomocą możemy wyrazić wiele wielkości fizycznych mającychznaczenie dla dynamiki układu, a w szczególności funkcję spektrumenergetycznego E (k):

E (k, ω) =1

(2π)12d+1Γ(d

2)

kd−1 +∞−∞

T rGij(k, ω)dω (5.5)

44




Znalezienie punktu stałego transformacji DRG oznacza możliwość speł-nienia przez funkcję odpowiedzi relacji jednorodności postaci:

Gij(k, ω, µ) = vi(k,ω)vj(k,ω)(2π)d+1δ(k+k)δ(ω+ω)

=

ξ2(r)e−dr+α(r) vi(e

rk,eα(r)ω)vj(erk,eα(r)ω)

(2π)d+1δ(erk+erk)δ(eα(r)ω+eα(r)ω)+ IR(r) = (5.6)

eα(r)Gij

erk, eα(r)ω, µ(r)

+ IR(r)

gdzie IR(r) oznacza wyrazy nie dające się włączyć do wyrazów wystę-pujących przed renormalizacją modelu, i które znikają kiedy µ(r) →µ, są to tak zwane wyrazy irrelewantne inaczej pomijalne lub nie-istotne. Znikanie tych wyrazów jest przy tym warunkiem wystąpieniasymetrii skalowania [23], [20]. W punkcie stałym zbiór parametrówopisujących układ, to znaczy zbiór µ, może zawierać rozmaitą liczbęniezerowych elementów. Warto zdać sobie przy tym sprawę z faktu, żedany układ dynamiczny może mieć więcej niż jeden punkt stały, zaś

zbiory parametrów istotnych dla dynamiki układu w punktach stałych,to znaczy parametrów ze zbioru µ, które nie znikają gdy µ(r) → µ,nie muszą być identyczne. Szczególnie pożądane jest znalezienie takichpunktów stałych DRG, w których niektóre z parametrów jak na przy-kład stałe sprzężenia związane z oddziaływaniami wyjściowego modelusą niewielkie, lub wręcz zerowe. Ostatni przypadek, to znaczy kiedystałe sprzężenia znikają w granicy punktu stałego, na ogół nie jest zbytinteresujący, gdyż oznacza brak oddziaływań w modelu po renorma-lizacji. Mamy wówczas do czynienia z układem zachowującym się po-

dobnie jak układy fizyki statystycznej w granicy nieskończonych tem-peratur. Punkty stałe odpowiadające takiej sytuacji nazywamy try-wialnymi punktami stałymi. Inna jest sytuacja, gdy w granicy punktustałego parametry mierzące siłę oddziaływań w rozważanym modeluzmierzają do małych i niezerowych wartości. W takiej sytuacji układbez oddziaływań jest odpowiednim przybliżeniem dla szeregu pertur-bacyjnego, w którym parametrem rozwinięcia może być odpowiednia,

45




niewielka stała sprzężenia. Mówimy wówczas o asymptotycznej swo-bodzie modelu. Wyrazy, które nie znikają w granicy punktu stałegodzielimy na dwie grupy. Pierwszą z nich są wyrazy relewantne lubistotne, które pod wpływem działania DRG przyjmują coraz większewartości. Można takie wyrazy określić jako te z charakterystyk układu,które są nie do pominięcia w punkcie krytycznym, i które muszą zo-stać zadane gdy chcemy obserwować określone zachowanie krytyczneukładu. Drugą grupę stanowią tak zwane parametry marginalne. Sąto te z parametrów ze zbioru µ, które pod wpływem działania DRGpozostają niezmienione, a tym samym w granicy punktu stałego mająte same wartości co w wyjściowym modelu.

Powyższe rozważania dają się wygodnie przedstawić przy wykorzy-staniu relacji jednorodności. Po pierwsze zauważmy, że po lewej stro-nie równości (5.6) znajduje się funkcja odpowiedzi układu związana zwyjściową postacią modelu, w przeciwieństwie do strony prawej, gdzieznajdujemy funkcję odpowiedzi układu po renormalizacji. Fakt znika-

nia wyrazów irrelewantnych przy przejściu do punktu stałego DRG,oznacza zatem, że wielkości fizyczne wyznaczane w oparciu o Gij, sątakie same dla układu zawierającego wszystkie mody, jak i dla układupo wykonaniu transformacji DRG, czyli ze zmniejszoną ich liczbą. Je-żeli przyjmiemy, że model przejawia swobodę aymptotyczną, oznaczato, że przy przejściu do punktu stałego znikają wyrazy IR(r), a teparametry ze zbioru µ, które są miarą oddziaływań w pierwotnym (izarazem w zrenormalizowanym) modelu przyjmują niewielkie warto-ści. Gdyby taka sytuacja zachodziła dla równań N-S oznaczało by to

przyjmowanie małych wartości (asymptotycznie zerowych) przez stałąλ. Jeżeli w takim przypadku zapiszemy relację jednorodności (5.6), toprzyjmie ona postać:

Gij(k, ω, µ) = eα(r)Gij(erk, eα(r)ω, 0) (5.7)

gdzie małość stałych sprzężenia zaznaczyliśmy wstawiając zero w miej-sce µ po prawej stronie równości. Jak widać prawą stronę związku (5.7)

46



Rozdział 5. Grafy Feynmanna

możemy, wobec małości wyrazów nieliniowych, wyliczyć perturbacyj-nie, jako, że w tym przypadku równania ruchu będą zdominowaneprzez wyrazy liniowe ! Należy przy tym zauważyć, że swoboda asymp-totyczna nie jest własnością każdego modelu.

Gdy w zależności wiążącej parametry zrenormalizowane µ(r) z pa-rametrami przed renormalizacją, przejdziemy do infinitenzymalnychwartości parametru grupowego r, analiza DRG prowadzi do równańróżniczkowych grupy renormalizacji [23]. Powstaje w ten sposób układrównań różniczkowych zwyczajnych, na ogół nieliniowych, który stajesię podstawą do szukania punktów stałych. Zbadanie jego własności,pozwala stworzyć wykres który przedstawia zależność parametrów zezbioru µ(r) od zmiennej r, i który nazywamy zwykle diagramem fazo-wym grupy renormalizacji.

5.2 Reprezentacja równań za pomocą gra-

fów.Zanim opiszemy w szczegółach renormalizację równań N-S wprowa-dzimy do rozważań jeszcze kilka pomocniczych obiektów. Będą nimigrafy Feynmanna, pozwalające na wygodny zapis graficzny skompli-kowanych nieraz, i rozbudowanych wzorów. Szczególnie pomocną ce-chą tych piktogramów, jest to, że przy wielkim uproszczeniu formułmatematycznych, przedstawiają one w czytelny sposób informację oich podstawowej strukturze. Diagramy takie do hydrodynamiki jako

pierwszy wprowadził H.W.Wyld [24] w 1961 roku.Pole prędkości v(k) oznaczymy grubą, zaś pole stochastyczne f (k)

cięką linią ciągłą, zaznaczając dodatkowo zwrot wektora k za pomocąstrzałki, i zakańczając te linie znakiem ”x”. Należy przy tym rozu-mieć, że strzałki wskazujące z lewa na prawo oznaczają dodatni znakprzy wektorze falowym, to znaczy wektor k, zaś strzałki z prawa na

47




lewo oznaczają zwrot przeciwny: −k. Znak ”x” na końcu linii ozna-czającej pola dynamiczne dodajemy, dla odróżnienia ich oznaczeń odoznaczenia dla propagatora (4.9), który będziemy oznaczać ciągłą cien-ką linią bez ”x” na końcu. Natomiast grubą linią ciągłą bez ”x” nakońcu, oznaczymy propagator po renormalizacji, zawierający lepkość(porównaj (4.9)) wziętą w punkcie stałym DRG, czyli tak zwany zre-normalizowany propagator. Wyraz całkowy w równaniau (4.8) ozna-czać będziemy przez trzy zbiegające się linie, przy czym rozumiemyprzez takie oznaczenie jedynie tą część wierzchołka, która nie zależyod pól dynamicznych. Każdy wierzchołek zawiera (jak widać zresztą wrównaniu (4.8)) deltę Diraca, tak, że suma wektorów falowych wcho-dzących do wierzchołka jest równa sumie wychodzących. Zauważmytakże, że wierzchołek występujący w równaniu (4.8) jest symetrycz-ny względem zamiany pól prędkości o indeksach m i l, co sprawia, żenie musimy dodatkowa oznaczać indeksem lini wychodzących z grafuoznaczającego wierzchołek, Jest to niewątpliwie znaczne uproszczenie

zarówno dla samej graficznej reprezentacji wyrażeń algebraicznych, jaki w czasie prowadzonych rachunków, gdyż znacznie redukuje to liczbęwystępujących w nich wyrazów.

Rysunek 5.1: Definicje grafów.

Na rys.5.1 przedstawiamy wszystkie wprowadzone obiekty wraz zopisem wielkości, które oznaczają, zaś na rys.5.2 można znaleść rów-

48




Rysunek 5.2: Przedstawienie równań N-S za pomocą grafów z rys.2.

nanie (4.8) w zapisie graficznym.Spróbujmy przeprowadzić teraz jawną eliminację pól v> z równania

(4.8), a dalej wyśredniować otrzymane równania względem pola f <.Wprowadzając pola v> i v< jak we wzorach (5.1) i (5.2), oraz ko-

rzystając z rozkładu pola v na ich sumę, jak wzmiankowaliśmy wcze-śniej, otrzymujemy równanie dla pola v< w postaci przedstawionej narys.5.3, i równanie dla pola v>, w tej samej postaci, różniące się je-

dynie obecnością pół v>, w miejscu pól v<. Z powodu symetrii częścinieliniowej równania zamiana ta dotyczy tylko wyrazów liniowych.

Rysunek 5.3: Równanie dla pola v<.

Podstawienie za pole v> do równania z rys.5.3 powoduje poja-wienie się wielu wyrazów o dosyć złożonej strukturze algebraicznej.

49




Rysunek 5.4: Przykładowe grafy pojawiające się w procedurze elimi-nacji v>.

Rys.5.4. przedstawia jedynie dwa z nich, jeden zawierający parzystą,a drugi nieparzystą liczbę pól v>.

Dokonaliśmy w ten sposób pierwszej iteracji. Istnieje teraz oczywi-ście możliwość przeprowadzenia kolejnych, my jednak zatrzymamy sięna pierwszej i będziemy prowadzić rachunki z dokładnością do drugie-go rzędu w stałej sprzężenia λ, która jest jednocześnie naszym parame-trem rozwinięcia. Zauważmy, że rząd grafu względem stałej sprzężeniamożemy rozpoznać zliczając liczbę występujących w nim wierzchoł-ków. Kolejnym krokiem jest zamiana pól v>, na pola stochastycznef >, posługujemy się przy tym wyrażeniem (4.12). Następnie średniu-

jemy otrzymane równania względem pól stochastycznych f >

. Zakła-damy przy tym, jak wyżej, że pole f > jest kwazigaussowskie, to zna-czy, że znikają jego nieparzyste momenty, a tym samym w dalszychrachunkach niezerowe wkłady będą pochodzić wyłącznie od grafów za-wierających parzystą liczbę pól v>. Przy średniowaniu będziemy po-sługiwać się formułą (4.11), którą uogólniamy na pole f >. Jeżeli graf zawiera nieparzystą liczbę pól f >, to jego wkład jest zerowy i znika

50




on z dalszych rozważań. Jeśli zawiera parzystą liczbę wyrazów f >, tozastępujemy go grafem zawierającym pewną liczbę pętli, według na-stępujących reguł. Jeśli graf przed wyśredniowaniem zawiera jedynie

Rysunek 5.5: Równanie N-S po operacji wyśredniowania po polachstochastycznych

dwa pola f >, to po wyśredniowaniu będzie on zawierał jedną pętlę, zło-żoną z gładkich cienkich linii oznaczających propagatory, zaś miejscesklejenia oznaczamy pustym kółkiem, symbolizującym prawą stronęwyrażenia (4.11). Kiedy graf zawiera większą niż dwa, parzystą liczbępól f >, powiedzmy 2n pól losowych, postępowanie powyższe powtarza-

my dla każdej pary pól z osobna. Prowadzi to do całej rodziny grafówzawierających po n pętli każdy. Mówimy, że dokonaliśmy sparowaniapól stochastycznych. Zauważmy, że postępowanie takie odpowiada wy-korzystaniu kwazigaussowskości pola f >, gdyż opisane parowanie, tonic innego, jak wyrażenie momentu stochastycznego wysokiego rzędu(2n), przez momenty rzędu drugiego, reprezentowane przez pojedyn-cze puste kółko którym ”sklejamy” linie grafu odpowiadające polu f >.

51




Równanie na v<, przyjmuje po tej operacji postać pokazaną na rys.5.5.Poprowadzenie opisanej procedury iteracyjnej do wyższego rzędu

w stałej sprzężenia λ, produkuje coraz to nowe grafy, z których tylkoczęść znajduje odpowiedniki w oryginalnym równaniu przedstawionymna rys.5.2, są to te grafy, które mają liczbę nóg wyjściowych (to znaczytakich linii których strzałki są skierowane na zewnątrz grafu) identycz-ną, jak pewien graf z równania z rys.5.2. Włączenie tych grafów do wy-razów obecnych w wyjściowym równaniu prowadzi do przedefiniowania

jego współczynników, jak mówimy, ich renormalizacji. Pozostałe grafymuszą pozostać na zewnątrz, czekając na znalezienie punktu stałego,w którym być może okażą się być pomijalnie małymi wkładami. Jeślitaka sytuacja nie zajdzie, konieczne może być przedefiniowanie wyj-ściowego modelu, tak aby te kłopotliwe wyrazy były w nim obecne odpoczątku. Może się jednak okazać, że procedura prowadzona na takimnowym modelu znów produkuje nowe kłopotliwe sprzężenia, i tak wnieskończoność, każdy nowy model będzie produkował oddziaływania

nie obecne w modelu go poprzedzającym. Mówimy wtedy, że model jest nierenormalizowalny. Fizycznie oznacza to, brak niezmienniczościze względu na zmianę skali wielkości, a tym samym brak własnościkrytycznych. My jednak spodziewamy się nieco bardziej optymistycz-nego scenariusza: fakt, że układ wykazuje skalowanie wykazaliśmy, zaKołmogorowem, w rozdziale pierwszym, posługując się analizą wy-miarową. Możemy się zatem spodziewać, że model który badamy jestrenormalizowalny.

W rachunkach które tutaj przedstawiamy, naszym celem jest okre-

ślenie wpływu przestrzennie małych, a co za tym idzie, szybkich, struk-tur przepływu, które są opisywane modami v>, na dynamikę modówv<, opisujących struktury wielkie i powolne. Dlatego jesteśmy zainte-resowani w asymptotycznym opisie modów v<, w granicy |k| → 0 iω → 0. Opierając się na znanych zastosowaniach DRG, spodziewamysię, że przeprowadzane rozważania pozostaną w dobrej zgodności z rze-czywistością dla skończonych i niezerowych k i ω, także w przedziale

52




bezwładnościowym.Przyjrzyjmy się teraz wyrazom które powstały w wyniku eliminacji

części modów pola prędkości i średniowania względem pól stochastycz-nych. Jak widzimy, rys.5.5. zawiera dwa składniki nie występujące wreprezentacji graficznej równania N-S z rys.5.2. Są to dwa grafy za-wierające po jednej pętli każdy. Zauważmy, że jeden z nich, leżącypo prawej stronie rysunku, jest proporcjonalny do λ2, czyli zawieradwa wierzchołki, oraz pole v< w pierwszej potędze. Graf ten możebyć zatem włączony do lewej strony równania, tak, że wyraz całko-wy związany z występującą w nim pętlą zrenormalizuje współczynniklepkości ν 0. Drugi z grafów zawierających pętle, leżący na rysunku zlewej strony, jest grafem pierwszego rzędu, w stałej sprzężenia λ, jeston czynnikiem renormalizującym pole f <.

Podobne do powyższego postępowanie pozwala wyrazić poprawki2-giego rzędu renormalizujące korelację pola f <, co oznacza renorma-lizację współczynnika D0, jak przedstawiono na rys.5.6, oraz popraw-

ki trzeciego rzędu renormalizujące postać oddziaływania, czyli stałąsprzężenia λ0, przedstawione na rys.5.7.

Rysunek 5.6: Renormalizacja współczynnika D0

Nazwijmy grafami jednocząstkowo nieredukowalnymi (1PI) te gra-fy, które nie mogą być podzielone na dwie niespójne części przez prze-cięcie pojedynczej występującej w nich linii. Aby kontynuować przed-stawione rachunki w wyższych rzędach wygodnie jest wprowadzić na-stępującą mnemotechniczną regułę pozwalającą ocenić postać grafów

53




Rysunek 5.7: Renormalizacja współczynnika λ0

dających przyczynki do odpowiednich zrenormalizowanych stałych.

Niezerowe przyczynki pochodzą tylko od grafów 1PI, przy czym lep-kość renormalizują tylko grafy w których występuje jedna linia wcho-dząca do grafu i jedna wychodząca, współczynnik D jest renormali-zowany przez grafy 1PI zawierające dwie wchodzące linie, zaś grafyrenormalizujące stałą sprzężenia λ0 mają jedną linię wchodzącą i dwiewychodzące.

Spróbujmy zapisać i uprościć wyrażenie algebraiczne odpowiada- jące grafowi drugiego rzędu z rys.5.5. Ma ono postać:

I l = (5.8)−λ2

02D0

(2π)d+1 P lmn(k) > |G0(q)|2G0(k − q)P nµν (k − q)P mµ(q)vν (k)dq

Oznaczenie > wskazuje, że całkujemy po zmiennych, które eliminu-

jemy z problemu: >dq =

Λe−r<q<Λ

dq ∞−∞

dΩ

54




Wprowadziliśmy także oznaczenia λ0 i G0(q), które wskazują, że wiel-kości te są związane z parametrami modelu sprzed procedury elimina-cji modów, a więc występujących w wyjściowym równaniu. W podob-nym sensie będziemy dalej korzystać z oznaczenia ν 0. Przeprowadzeniecałkowania względem częstości, co najłatwiej wykonać metodą funkcjizespolonych, oraz zamiana zmiennych postaci: q → q + 1

2k, prowadzą

do wyrażenia postaci:

I l = (5.9)

−λ20

2D0πν 0(2π)d+1 P lmn(k)

> P nµν( 12k−q)P mµ(q+12k)|q+ 1

2k|−y−2dq

−iω+2ν 0q2+ν02k2

v<ν (k)

Powyższe wyrażenie rozważamy dla k → 0. Dalsze przekształceniapolegające na skorzystaniu z definicji wyrazów P lmn(k) i P ij(k), roz-winięciu I l wokół k = 0, oraz pominięciu czynników rzędów wyższychniż drugi w wektorze falowym k, prowadzą do wyniku:

I l ≈ −λ20D0

ν 0Λ4S d

(2π)3d2

− d − 2(d + 2)d

er

− 1

k2v<l

gdzie S d = (2π)d2 /Γ(d

2), jest polem d–wymiarowej sfery, zaś = 4 +

y − d. Zauważmy, że powyższe wyrażenie jest proporcjonalne do kom-binacji k2v<, która występuje po prawej stronie równania z rys.5.2.Tym samym możemy zapisać I l = −δν (k)k2v<l , gdzie δν (k) dla k →0, ω → 0 wynosi:

δν (0) = Adλ20D0

ν 0λ4er(4+y−d) − 1

4 + y − 1(5.10)

W powyższym wzorze wprowadziliśmy dodatkowe oznaczenie Ad nawyrażenie postaci:

Ad =S d

(2π)3d2 − d −

2(d + 2)d

55



Rozdział 5. DRG: renormalizacja równań N-S

Możemy także zauważyć, że wyrażenie

λ20 =

λ20D0

ν 30Λ4(5.11)

jest bezwymiarowe, co uzasadnia nadanie λ0 nazwy bezwymiarowejstałej sprzężenia. Tak więc po eliminacji modów v> otrzymujemy wy-rażenie na współczynnik lepkości postaci:

ν r = ν 0

1 + Adλ

20

er(4+y−d) − 1

4 + y − 1

Możemy teraz przepisać równanie, zapisane graficznie na rys.5.3. wpostaci analogicznej do równania (4.8),

v<i (k) = Gr(k)(f <i (k) + δf <i (k)) − (5.12)iλ02

Gr(k)P imn(k) < dq1dq2

(2π)d+1δ(k − q1 − q2)v<m(q1)v<n (q2)

gdzie:Gr(k) =

1

(−iω + ν rk2)

Analizę przyczynku δf <i (k), którą przeprowadzimy razem z renor-malizacją korelacji pola f <, a także renormalizację stałej sprzężenia,do której wkłady, jak widać z rys.5.7. pochodzą od wyrazów trzeciegorzędu w stałej sprzężenia pozostawimy na później, nadmieńmy tutaj

jedynie, że wszystkie te wkłady okażą się być pomijalne.

W kolejnym rozdziale przeanalizujemy do jakich zmian w równaniuN-S doprowadziliśmy, dokonując eliminacji modów v>.

5.3 DRG: renormalizacja równań N-S

Kolejny krok w naszkicowanej wyżej procedurze renormalizacji polegana przeskalowaniu zmiennych niezależnych i pól według równań (5.3).

56




Po takiej operacji długość nowej zmiennej falowej k zawiera się wprzedziale (0, Λ), jak w oryginalnym równaniu (4.8). W dalszych wy-rażeniach będziemy pomijać znak prima nad k, oraz nad pozostałymizmiennymi, o ile zmienne nieprimowane nie będą już występować ra-zem z primowanymi w jednym wyrażeniu. Równanie (5.12) po operacjiprzeskalowania przyjmuje postać:

vi(k) = (5.13)

G(r, k)f i(k) − iλ(r)2

G(r, k)P imn(k) < dq1dq2

(2π)d+1 δ(k − q1 − q2)v<m(q1)v<n (q2)

gdzie:

G(r, k) =1

(−iω + ν (r)k2),

W powyższych wyrażeniach użyliśmy oznaczeń:

ν (r) = ν reα(r)−2r, f i(k) = f <i (k)

eα(r)

ξ(r), λ(r) = λ0e−r(d+1), (5.14)

Podobne do powyższego skalowanie dotyczy także równania dlakorelacji pola f <(k), prowadząc do następującego wyrażenia:

f i(k1, ω1)f j(k2, ω2) = 2(2π)d+1D(r)P ij(k1)δ(k1 + k2)δ(ω1 + ω2)(5.15)

gdzie:

D(r) = Dre(3α(r)+(d+y)r)

ξ2(r)(5.16)

oraz Dr jest zrenormalizowanym współczynnikiem D0: Dr = D0 + δD,którego wartości jeszcze nie znamy.

Poczynimy teraz pewne założenie na temat renormalizacji polaf <(k), którego ścisłe uzasadnienie, polega na jawnym wyliczeniu wyra-zów renormalizujących stałą D0 i samo pole f <(k) z równania z rys.5.5.Otóż założymy, że usunięcie modów v<(k) nie daje wkładów do po-wyższej korelacji pola stochastycznego, czyli, że D(r) = D0, a co za

57




tym idzie, że δD = 0. Aby uzasadnić takie przypuszczenie, zauważ-my, że odmienna sytuacja oznaczałaby, że eliminacja szybkich modówpola prędkości miała jakiś istotny wpływ na definicję źródeł ruchudla rozważanego przepływu. W zasadzie możliwa jest taka sytuacja,gdyż jak nadmieniliśmy wcześniej, nieliniowość w równaniu N-S sprzę-ga wszystkie mody, nie pozwalając żadnej ich grupie na posiadaniedynamiki odseparowanej od dynamiki pozostałych. Tak więc w zało-żenie takie nie może być ogólnie prawdziwe, i jak zobaczymy dalej, nie

jest. Jednakże w dalszej części artykułu zostanie pokazane, że możliwa jest też sytuacja, w której wpływ eliminowanych skal, na pole stocha-styczne modelujące źródła ruchu, jest pomijalnie mały. Zauważmy nakoniec, że ponieważ wyżej założyliśmy, że pole f (k) jest statystycznieniezależne od pola prędkości, oraz że założenie takie miało kluczoweznaczenie w przeprowadzanych wyżej rachunkach, to spełnienie poczy-nionego tu założenia o pomijalności wyrazów renormalizujących polestochastyczne jest wręcz warunkiem konsystencji metody, którą przed-

stawiamy.Aby spełnić powyższe możemy skorzystać z swobody jaką daje nam

dowolność funkcji ξ(r), występującej w wzorze (5.16), wybierając

ξ(r) = exp

3

2α(r) +

d + y

2r

.

Przy takim wyborze funkcji ξ(r), skalowanie nie daje dodatkowychprzyczynków do D(r). Tym samym D(r) = Dr, dzięki czemu, przy

warunku δD = 0, D(r) = D0 nie zależy od r.Przejdźmy teraz w wyrażeniach na ν (r), D(r) i λ(r) do granicyr → 0, co odpowiada eliminacji nieskończenie wąskiego pasa kulistegow przestrzeni liczb falowych k wokół parametru obcięcia Λ. Otrzymu-

jemy w ten sposób równania różniczkowe grupy renormalizacji:

dν (r)

dr= ν (r)

dα(r)

dr− 2 + Adλ

2

(5.17)

58




dD(r)

dr= 0 (5.18)

dλ(r)

dr= λ(r)

2

3

dα(r)

dr− 1 +

1

2(d − y)

(5.19)

Eliminacja dowolnego pasa kulistego o skończonej szerokości możebyć dokonana przez iteracyjną eliminację (nieskończenie wielu) pasówsferycznych o infinitenzymalnej szerokości, tak więc przejście do wiel-

kości infinitenzymalnych nie powoduje utraty jakiejkolwiek informacji,ułatwia zaś poszukiwanie punktu stałego opisanej procedury. Pozosta-

je jeszcze do zapisania równanie różniczkowe dla bezwymiarowej stałejsprzężenia λ(r), które otrzymujemy z równania (5.11):

λ2 =λ2D

ν 3Λ4,

oraz za pomocą równań (5.17), (5.18), oraz (5.19), co prowadzi do:

dλ(r)dr

= 12

λ(r)

− 3Adλ(r)2

(5.20)

Poszukujemy punktów stałych powyższych równań. Zauważmy, żeinteresujące są jedyni równania dla współczynnika lepkości ν (r), orazdla bezwymiarowej stałej sprzężenia λ(r). Znalezienie punktu stałe-go (λ, ν ) odpowiada rządaniu znikania wyrazów po prawej stronierównań (5.17) i (5.20), co prowadzi do dwu możliwych przypadków:

1. Przypadek trywialny: z równania (5.20) dostajemy, że¯λ

= 0,co prowadzi, po podstawieniu do równania (5.17), do ν = 0. Li-nearyzując analizowane równania wokół punktu (λ, ν ) = (0, 0)możemy zbadać stabilność rozwiązania trywialnego. Otrzymuje-my, że jest ono stabilne dla < 0, oraz niestabilne dla > 0.

2. Przypadek nietrywialny: w równaniu dla stałej sprzężenia λ(r),przyjmujemy, że − 3Adλ

2 = 0, co prowadzi do punktu stałego

59




o wartości:

λ =

3Ad. (5.21)

Po wstawieniu powyższej wartości do równania na lepkość ν (r),otrzymujemy równanie postaci:

dν (r)

dr= ν (r)

dα(r)

dr− 2 + Adλ

2

= ν (r)

dα(r)

dr− 2 +

3

Aby otrzymać zrenormalizowany współczynnik lepkości niezależ-ny od parametru grupowego r, musimy założyć, że

dα(r)

dr= 2 −

3≡ z

Ostatnie równanie prowadzi wprost do określenia funkcji skalu- jącej α(r) = zr. Zauważmy jednocześnie że punktem stałym lep-kości ν jest nieskończoność, co oznacza, że gdy r → ∞ mamy:

λ(r) → λ, oraz ν (r) → ∞. Fakt ten oznacza, że równania N-Spo przejściu do rozpatrywanego punktu stałego są zdominowaneprzez wyrazy liniowe. Traktując parametr = 4 + y − d jako ma-ły, możemy prowadzić obliczenia rozwijając bezwymiarową stałąsprzężenia λ względem i zachowując skończoną liczbę wyrazów.Jak widać właściwie dobierając y możemy uczynić λ dowolniemałym, a co za tym idzie analizować równanie N-S, jako równa-nie liniowe z małym nieliniowym zaburzeniem. Zachodzi jednak

pytanie czy wartość y jest dowolna, oraz czy możliwe jest w ra-mach naszych rachunków odtworzenie skalowania Kołmogorowa?Badanie stabilności nietrywialnego rozwiązania prowadzi do wy-niku, że omawiany punkt stały jest stabilny dla > 0 i staje sięniestabilny dla < 0.

Dalsza dyskusja będzie poświęcona analizie zrenormalizowanychparametrów w granicy nietrywialnego punktu stałego.

60




Znając funkcję ξ(r), której postać otrzymaliśmy z warunku na-rzuconego na renormalizację pola losowego f (k), oraz znając funkcjęα(r), możemy zapisać relację jednorodności dla funkcji odpowiedziGij(k, ω , µ(r)), a co za tym idzie, określić zachowanie widma energe-tycznego w funkcji liczby falowej k. Jak wynika z fundamentalnychwłasności układów wykazujących własności krytyczne i symetrię ska-lowania, funkcja odpowiedzi, podczas skalowania postaci (5.3), gdzie

jak obliczyliśmy α(r) = zr, musi dać się przedstawić w postaci [23]:

Gij(k, ω) ∼ k−2z−yg(ω

kz) (5.22)

Korzystając z powyższego związku otrzymujemy, za pomocą relacji(5.5), następującą, potęgową postać widma energetycznego:

E (k) ∼ kd−z−y−1 = k53+

23 (d−y) (5.23)

gdzie skorzystaliśmy z wyrażeń z = 2 −

3 , oraz = 4 + y − d. Jakwidzimy z powyższego równania wynika, że skalowanie Kołmogorowawystępuje dla y = d. Taka sytuacja niesie jednak z sobą pewne proble-my. Otóż nie interesowaliśmy się dotychczas wyrazami wyższego rzęduw stałej sprzężenia λ, obcinając nasz szereg perturbacyjny przedsta-wiany za pomocą grafów Feynmanna na wyrazach proporcjonalnychdo rzędu drugiego. Jeśli zapiszemy wyrazy proporcjonalne do rzędutrzeciego (jak nadmieniliśmy wcześniej pochodzą one od grafów 1PI),i dokonamy w nich przeskalowania (5.3), otrzymamy, że ich wkłady są

proporcjonalne do wyrażenia postaci:

ξ2e(2d+2)r = e−(d−y)r

Tym samym otrzymujemy, że wyrazy te w granicy r → ∞ są pomijalnetylko dla y < d. Tak więc spełnienie założenia (5.22), oraz spełnienieskalowania Kołmogorowa jest możliwe tylko dla y < d.

61




Z drugiej strony, jeżeli y > d, wyrazy wyższych rzędów niż druginie mogą być pominięte, lub wręcz stają się dominujące, i skalowanie(5.22) nie zachodzi. Przypadek graniczny, y = d prowadzi, zgodnie z(5.23) do skalowania Kołmogorowa:

E (k) ∼ k53

lecz należy mieć na uwadze, że jak wynika z zapisanego wyżej skalo-

wania dla wyrazów trzeciego rzędu, równość y = d oznacza, że wyrazyte nie znikają, a jedynie przestają być rozbieżne, lub używając ogólnieprzyjętej terminologii, są marginalne. Należy się zatem liczyć z moż-liwością, która jak wykazują pełne rachunki rzeczywiście zachodzi, iżwyrazy te dają skończone, logarytmiczne wkłady, analogicznie zresztą,

jak w podobnych przypadkach w teorii zjawisk krytycznych.Znajomość funkcji skalującej α(r) pozwala także na znalezienie ska-

lowania dla współczynnika lepkości turbulentnej ν (k). Zauważmy po

pierwsze, że równość α(r) = zr oznacza, że częstość ω skaluje się przy(5.3), jak kz. Przechodząc z wymiarem przestrzennym d do fizycznejwartości d = 3, otrzymujemy, że z = 2/3. Z jednorodności propagato-ra G(k, ω), która ma miejsce z uwagi na skalowanie (5.3), wynika, że

ω ∼ k23 ∼ ν (k)k2, a co za tym idzie:

ν (k) ∼ k−43

co pozostaje w zgodzie z analizą wymiarową i rozważaniami prowadzo-

nymi w ramach teorii turbulencji izotropowej. ściślejsza analiza pozwa-la określić stałą proporcjonalności w powyższym wzorze, co prowadzido zależności ([17]):

ν (k) = (3

4AdD0)

13 k−4

3

gdzie zostały wykorzystane zależności λ0 = 1, oraz y = d. Wyrażenie

62




takie prowadzi do następującej postaci widma energetycznego:

E (k) =1

2

16

3

d2 + 2d

d2 − d −

13

2D0S d

(2π)d

23

k−53 (5.24)

Za Yakhotem i Orszagiem, wyliczenie numerycznej wartości stałej wpowyższym wzorze, zostanie przeprowadzone w najniższym rzędziewzględem parametru , to znaczy przyjmiemy = 0. Także wymiarprzestrzeni d podstawimy równy wymiarowi fizycznemu d = 3. Za-uważmy jednak, że ponieważ jesteśmy zmuszeni założyć, że y = d,rzeczywisty parametr nie jest wcale mały. Proste wyliczenia prowa-dzą do następującego wyniku:

E (k) = 1.186

2D0

S d(2π)d

23

k−53 (5.25)

Podobna zależność została także otrzymana w nieco inny sposób przezFourniera i Frischa [25].

Aby otrzymać stałą Kołmogorowa C K , występującą w zależności(3.10):

E (k) = C K ε23 k−5

3 (5.26)

konieczna jest znajomość związku pomiędzy stałą D0 charakteryzują-cą użyte przez nas pole losowe, a współczynnikiem dyssypacji, który,przypomnijmy, oznaczamy przez ε. Zależność między tymi stałymi,pochodzącą z równania na bilans energii w przedziale bezwładnościo-wym można znaleźć w opracowaniu Lesliego [26]. Przepiszemy ją tutajw postaci wykorzystywanej przez Yakhota i Orszaga [17]:

C K = 1.496

2D0

ε

S d(2π)d

16

(5.27)

łącząc wyrażenia (5.25), (5.26), oraz (5.27) otrzymujemy poszukiwanyzwiązek:

2D0S d

(2π)d= 1.59ε, (5.28)

63



Rozdział 5. Renormalizacja pól

który po wstawieniu do wyrażenia (5.25) prowadzi do wyrażenia naspektrum energetyczne w postaci:

E RNG(k) = 1.617ε23 k−5

3 , (5.29)

a co za tym idzie do stałej Kołmogorowa o wartości C K = 1.617,podczas gdy wartości eksperymentalne zawierają się w zakresie C K =1.4 . . . 1.7.

Tym samym możemy uznać, że skalowanie Kołmogorowa (3.10)znalazło swoje potwierdzenie na gruncie analizy za pomocą DRG.Pozostaje do rozważenia wpływ pól losowych w opisywanym podej-ściu, czym zajmiemy się w następnym rozdziale. Na koniec dodajmy,że przeprowadzona analiza wykazała także odstępstwa od skalowaniaKołmogorowa, które przejawiają się jako logarytmiczne wkłady po-chodzące od marginalnych wyrazów trzeciego rzędu.

5.4 Renormalizacja pól losowychNa koniec pozostawiliśmy analizę pominiętych do tej pory wyrazóww równaniu N-S, to znaczy, w drugim rzędzie w stałej sprzężenia,wyrazu renormalizującego pole stochastyczne, oraz analizę renormali-zacji korelacji pola stochastycznego, i samego parametru rozwinięcia,czyli stałej λ. Renormalizacja stałej sprzężenia jak wykazano w [18],lub elementarnie w [27] dla równania Burgersa, o analogicznej struk-turze jak równania N-S, prowadzi do λ = λ0 dla dowolnego rzędu

rachunku. Równość taka jest konsekwencją niezmienniczości równańN-S ze względu na transformację Galileusza, i jako oparta na symetrii

jest uniwersalną własnością modeli opartych na źródłach losowych okorelacjach deltowatych w zmiennej czasowej, a co za tym idzie, wdeltowatych w częstościach, tak jak w równaniu (4.11).

Pozostaje zatem do rozważenia renormalizacja pola stochastycz-nego f . Zauważmy na wstępie, że wkłady do pola stochastycznego,

64




indukowane przez procedurę eliminacji krótkofalowych modów nie mo-gą zostać włączone do wyrażenia definiującego to pole, to znaczy ichwkład nie sprowadza się do renormalizacji stałej D0. Wynika to z wła-sności statystycznych indukowanego pola. Pomimo, że jest ono polemgaussowskim o zerowej średniej, podobnie jak oryginalne pole f , to

jednak jego korelacje mają postać:

f i(k)f j(k) = Dr(2π)d+1k2P ij(k)δ(k + k)

gdzie

Dr = (5.30)

2D20λ2

0P lmn(k)P lµν (k) > dq

(2π)d+1 |G0(q)|2|G0(k − q)|2P mµ(q)P nν (k − q)q−d|k − q|−d

Jest to wynik pochodzący z graficznego przedstawienia szeregu renor-malizującego stałą D0 z rys.5.6. Jak widzimy korelacje te proporcjo-nalne są do k2, co nie może być uwzględnione we wzorze (4.11) jedynieprzez przedefiniowanie stałej D0. Jedyną możliwością jest znalezienie

warunków w jakich te dodatkowe wkłady stają się marginalne, to zna-czy dają stałe lub logarytmiczne przyczynki, lub wręcz są pomijalne.Odpowiada to szukaniu takiego przedziału parametrów określającychnasz model, w którym prawdziwe są przedstawione przez nas wcześniejrozważania. Zauważmy także, że w poniższych rachunkach nie doko-nujemy przeskalowania zmiennych niezależnych i pól dynamicznych, atym samym po eliminacji k ∈ (0, Λ(r)), gdzie Λ(r) = Λe−r.

Łatwe wyliczenia polegające na wyliczeniu całki z wzoru (5.30)prowadzą, dla d = 3, do następującego wyniku:

Dr = Bd

D20λ2

0

ν 30Λ9

e9r − 1

9(5.31)

W powyższej zależności czynnik Bd jest zdefiniowany w następującysposób:

Bd =1

2

d2 − 2

d(d + 2)

S d(2π)d

65




Równanie różniczkowe dla Dr otrzymujemy przechodząć w wyrażeniu

(5.31) do infinitenzymalnych wartości r co daje:

dDr

dr= Bd

D0

Λ5(r)λ2(r) (5.32)

Rozwiązaniem powyższego równania, dla λ = λ jest:

Dr ≈ 4

15d2

− 2d2 − d

2D0

Λ5 S d(2π)d

(e5r − 1) (5.33)

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia: niech kd ≈ Λ oznacza wektorfalowy związany z skalami w których dominującą rolę odgrywa lep-kość, nazwijmy go dyssypacyjnym parametrem obcięcia, podczas gdykc ≈ Λ(r) niech oznacza wektor falowy związany z wyeliminowaną ska-lą o największych rozmiarach w przestrzeni rzeczywistej. Przepiszmyrównanie (5.33), korzystając z zależności kd/kc = er, oraz wyraża-

jąc parametry związane z polem stochastycznym przez stałe liczbowe,podobnie jak to robiliśmy już wcześniej przy wyliczaniu stałej Kołmo-gorowa, to znaczy wykorzystując równanie (5.28). Otrzymujemy:

D ≈ 1.5944

15

d2 − 2

d2 − d

ε

k5d

(

kdkc

)5 − 1

(5.34)

Możliwe jest teraz porównanie wyrazów związanych z wkładami po- jawiającymi się po eliminacji krótkofalowej części pola prędkości, z

polem losowym występującym w równaniu (4.8). Porównajmy wyra-żenia D i D0 przy czym skorzystajmy powtórnie z wyrażenia D0 przezwspółczynnik dyssypacji ε (5.28). Wyrażenie (5.33) składa się z dwóchwyrazów. Jesteśmy zainteresowani sytuacją, gdy pierwszy z nich, pro-porcjonalny do ilorazu kd

kcdominuje, czyli gdy kd

kc 1. Jeśli wówczas

chcemy aby wyrazy indukowane były znacznie mniejsze niż oryginalnepole stochastyczne, wówczas z nierówności Dk2 D0k−y, zapisanej

66




dla y = d = 3:

1.5944

15

d2 − 2

d2 − d

ε

k5d

k2 ε

k3

otrzymujemy warunek:k

kc 1 (5.35)

Ostatnia nierówność oznacza, że wpływ indukowanego procedurą re-

normalizacyjną pola stochastycznego, jest pomijalny dla liczb falo-wych k małych w porównaniu z parametrem obcięcia kc związanym zwyeliminowaną skalą o największych przestrzennie rozmiarach. Przy-pomnijmy w tym miejscu, że nasze obliczenia dotyczące skalowaniaKołmogorowa, a także obliczenia dotyczące renormalizacji współczyn-nika lepkości przeprowadzaliśmy dla k → 0. Tym samym nierówność(5.35) jest spełniona i opisane wyniki nie wychodzą poza zakres sto-sowanych przybliżeń (zakładaliśmy że wkłady od pól indukowanychsą pomijalnie małe). Z drugiej strony, gdy k

kc≈ 1, pominięte wkłady

stają się znaczące i przedstawione rachunki tracą swoją ważność.Rozważmy teraz sytuację graniczną, gdy kd i kc są tego samego rzę-

du, czyli eliminacja dotyczy tylko wąskiej łupiny sferycznej zmiennychfalowych. Wówczas, jak należy się spodziewać, indukowane wkłady niesą istotne, gdyż D → 0 gdy kc → kd. Sytuacja taka oznacza po pro-stu odtworzenie wyjściowej postaci modelu w granicznym przypadkueliminacji modów krótkofalowych rozpiętych na wąskiej łupinie sfe-rycznej w przestrzeni liczb falowych i zmierzaniu z jej szerokością do

zera.1

1Zerowa szerokość eliminowanego pasa oznacza oczywiście brak eliminacji ja-kiejkolwiek części pola v.

67



Rozdział 6

Zakończenie

Zakończyliśmy opis podstaw zastosowania Dynamicznej Grupy Re-normalizacji do badania ruchu turbulentnego. W obecnym rozdzialepodsumujemy i skomentujemy uzyskane wyniki.

Najważniejszym rezultatem uzyskanym dzięki zastosowaniu tech-niki DRG do badania równań N-S jest oczywiście potwierdzenie praw-dziwości skalowania Kołmogorowa wyrażającego się wzorem (5.29):

E RNG(k) = 1.617ε23 k−5

3 .

W istocie uzyskaliśmy o wiele więcej gdyż dzięki zastosowaniu równa-nia (5.27) wyrażającego bilans energetyczny dla przedziału bezwład-nościowego, byliśmy w stanie obliczyć wartość stałej Kołmogorowa,

która pozostaje w doskonałej zgodności z danymi doświadczalnymi ito pomimo dosyć drastycznych przybliżenia, którego dokonaliśmy roz-wijając wyrażenie na spektrum energetyczne (5.24) względem zmien-nej . Uzyskane wyniki mają swój zakres ważności (5.35) wynikający zwarunku nałożonego na człony pochodzące od renormalizacji losowegopola f modelującego niestabilność skal globalnych przepływu będącychźródłem energii dla przepływu w przedziale bezwładnościowym.

68



Rozdział 6. Zakończenie

Przedstawione przez nas rachunki zostały wykonane w drugim rzę-dzie w stałej sprzężenia λ. Rachunki wyższych rzędów prowadzą dodalszych poprawek, które są rozbieżne gdy wykładnik y w wyrażeniu(4.11) na korelacje pola losowego f spełnia nierówność y > d. Badanyukład nie przejawia wtedy symetrii skalowania w żadnej postaci. Skalo-wanie Kołmogorowa dotyczy takich źródeł losowych, że odpowiadają-cy im wykładnik y = d. Przypadek y < d wykazuje co prawda własnośćskalowania, nie jest to jednak przypadek skalowania Kołmogorowa, atym samym jest to skalowanie wychodzące poza wnioski wynikającez analizy wymiarowej. Można także spostrzec, że dla y < d uzyskanewnioski jawnie zależą od wartości wykładnika y, a tym samym zależąod postaci źródeł w naszym modelu, co nie jest satysfakcjonującą nassytuacją. Dla naszych rozważań kluczowe znaczenie ma fakt, że rów-nanie (5.29) otrzymaliśmy na granicy rozbieżności przeprowadzonychrachunków, i możemy się spodziewać, że wyliczenia obejmujące wyż-szy rząd stałych sprzężenia wprowadzą nieznikające w granicy punktu

stałego wkłady, choć wkłady te będą typu logarytmicznego w zmiennejk, to znaczy rosnące wolniej niż dowolna potęga k.

Schemat Grupy Renormalizacji, który opisaliśmy ma swoje źródłow pracach Wilsona i Koguta [23], i jest nazywany wilsonowską GrupąRenormalizacji. Pomimo dekady, dzielącej nas od publikacji Yakho-ta i Orszaga, wyniki uzyskane przez nich uzyskane stanowią pewienpunkt odniesienia w pracach dotyczących turbulencji. Przedstawionepodejście znalazło zastosowane do opisu modeli turbulentnego trans-portu ciepła, zostało także zastosowane jako metoda numeryczna po-

zwalająca na rozwiązywanie zagadnień o jawnie zadanych warunkachbrzegowych [28].

Na zakończenie zacytujmy opinię Frischa i Orszaga dotyczącą przed-stawionego podejścia [28]: ” W odróżnieniu od wielu innych teoriopolo-wych modeli, modele (turbulencji) oparte na DRG, ponieważ posługu-

ją się równaniami Langevina z łatwą do obliczenia lepkością turbulent-ną, są łatwe do użycia w opisie złożonych przepływów. Pozostają one w

69



Rozdział 6. Zakończenie

bliskiej analogii z wcześniejszym, heurystycznym, lecz raczej popraw-nym modelowaniem turbulencji przez zastosowanie lepkości wirowej.Analiza turbulencji w przedziale bezwładnościowym, oparta na DRG,oparta jest na dosyć grubych przybliżeniach i ignoruje niektóre z sub-telności turbulencji, lecz metoda ta nie zawiera ah hoc dobieranychstałych czy parametrów i może dostarczyć rzeczywistych podstaw dlaprzyszłego postępu w analizie turbulencji.”

70



Bibliografia

[1] P.Moin and J.Kim. Superkomputery zmagają się z turbulencją.Świat Nauki , 3(67) 1997.

[2] L.D.Landau and E.M.Lifszyc. Hydrodynamika . PWN, 1994.

[3] R.Gryboś. Podstawy Mechaniki Płynów . PWN, 1989.

[4] G.I Taylor. Proc.R.Soc., Lond A 164, 476 (1938).

[5] I.V.Bousinesq. Theorie de l’ecoulement turbillonnant.Mem.Pres.Acad.Sc. Paris 23, 1877.

[6] Kołmogorow. 1941.

[7] M.Nelkin. Universality and scaling in fully developed turbulence.Adv. in Phys. 43(2), 143 (1994).

[8] U.Frisch and M.Vergassola. A prediction of the multifractal mo-

del: the intermediate dissipation range. Europhys.Lett. 14(5), 439(1991).

[9] G.Paladin and A.Vulpiani. Fractal models for two and three di-mensional turbulence. In L.Pietronero and E.Tosatti, editors,Fractal in Physics. Elsevier Science Publishers, B.V., 1986.

71



Bibliografia

[10] B.Mandelbrot. The fractal geometry of nature. Freeman andCompany, S. Francisco 1982.

[11] P.C.Hohenberg and B.I.Halperin. Theory of dynamic critical phe-nomena. Rev.Mod.Phys. 49, 435 (1977).

[12] M.H.Ernst. Fundamental problems in statistical mechnics IV. InE.G.D.Cohen and W.Fiszdon, editors, Critical dynamics. Zakład

Narodowy im. Ossolińskich, Wydawnictwo PAN, 1978.

[13] D.Carati and L.Brenig. Renormalization-group method for ani-sotropic turbulent transport. Phys.Rev. A 40, 5193 (1989).

[14] R.Rubinstein and J.M.Barton. Infrared properties of an anisotro-pically stirred fluid. Phys.Fluids 30, 2987 (1987).

[15] P.Olla. Extension of the Yakhot-Orszag renormalization group-based closure to isotropic and anisotropic two-dimensional turbu-

lence. Int.J.Mod.Phys B8, 615 (1993).

[16] J.Buśa, M.Hnatich, J.Honkonen, and D.Horvath. Stabilityof Kolmogorov scaling in anisotropically forced turbulence.Phys.Rev. E 55, 381 (1997).

[17] V.Yakhot and S.A.Orszag. Renormalization group theory of tur-bulence. Phys.Rev.Lett. 57, 1722 (1986).

[18] D.Forster, D.R.Nelson, and M.J.Stephen. Large-distance andlong-time properties of a randomly stirred fluid. Phys.Rev. A16, 732 (1977).

[19] S.K.Ma and G.F.Mazenko. Critical dynamics of ferromagnetsin 6 − dimensions: General discussion and detailed calculation.Phys.Rev B 11, 4078 (1975).

72



Bibliografia

[20] S.K.Ma. Modern Theory of Critical Phenomena . Frontiers inPhysics Lecture Note Series 46 W.A.Benjamin, Inc., 1976.

[21] W.D.McComb. Theory of turbulence. Reports on Progress in Physics 58(10), 1118(1995).

[22] V.Yakhot. Ultraviolet dynamic renormalization group: Small-scale properties of randomly stirred fluid. Phys.Rev. A 23, 1486

(1981).

[23] K.G.Wilson and J.Kogut. The renormalization group and theε-expansion. Phys.Rep. 12 C, 75 (1974).

[24] H.W.Wyld. Formulation of the theory of turbulence in an incom-pressible fluid. Annals of Physics 14, 143 (1961).

[25] J.D.Fournier and U.Frisch. Remarks on the renormalization groupin statistical fluid dynamics. Phys.Rev. A 28, 1000 (1983).

[26] D.C.Leslie. Developments in the theory of turbulence. ClarendonPress, 1972.

[27] E.Medina, T.Hwa, M.Kardar, and Y-C.Zhang. Burgers equationwith correlated noise: Renormalization-group analisys and appli-cations to directed polymers and interface growth. Phys.Rev A39, 3053 (1989).

[28] U.Frisch and S.A.Orszag. Turbulence: challenges for theory andexperiment. Physics Today , page 24, JAN 1990.

73



A



B

Grupa renormalizacji w teorii turbulencji

Documents

Transcript of Grupa renormalizacji w teorii turbulencji