Geometria y Trigonometria Libro Para El Profesor

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto

Politécnico Nacional

Este material fue elaborado por la Comisión creada por la Academia Institucional de

Matemáticas para este fin. Esta comisión la formaron los profesores:

Javier Montes de Oca Olvera CECyT 4 “Lázaro Cárdenas”

Francisco Bañuelos Tepallo CECyT 5 “Benito Juárez”

José Calvillo Velázquez CECyT 6 “Miguel Othón de Mendizabal”

José Luis Torres Guerrero CECyT 7 “Cuauhtémoc”

Guillermo Carrasco García CECyT 9 “Juan de Dios Bátiz”

Salvador Romano Reyes CECyT 11 “Wilfrido Massieu”

Pedro Ortega Cuenca CECyT 11 “Wilfrido Massieu”

María del Carmen Sevilla CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

Norberto Matus Ruiz CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

Claudio Héctor Galván Aguirre CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

Manuel Aguilar Zamora CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 1

Geometría y TrigonometríaLibro para el profesor

Nivel Medio Superior del

Instituto Politécnico Nacional

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superiordel Instituto Politécnico Nacional


Libro para el profesor

Introducción

1. Justificación de las Secuencias de AprendizajeUnidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicasUnidad 2. Geometría euclidianaUnidad 3. Trigonometría

2. Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje(MAPOA)

3. Problemas I. Problemas II. Problemas con guía III. Proyectos

4. Ejercicios

5. Lecturas

6. Evaluaciones y Autoevaluaciones

7. Bibliografía


IntroducciónEl marco institucionalHay un hecho que difícilmente podemos ignorar: pocos, muy pocos, profesores dematemáticas están satisfechos con su trabajo, no hemos logrado que los aprendizajes de losestudiantes sean sólidos y duraderos. Tampoco hemos logrado que los alumnos desarrollenuna actitud activa y responsable hacia su aprendizaje en la escuela. Por supuesto, haymuchas explicaciones que limitando nuestra responsabilidad nos permiten tolerar unasituación tan difícilmente tolerable. La cuestión es muy compleja y hay excusas y razones.

En la medida que los objetivos de la educación han evolucionado hacia un aprendizajemultidimensional para todos, acordes con una sociedad que se sustenta en el desarrollotecnológico y que se pretende democrática, el énfasis se ha desplazado del conjunto deconocimientos rígidos centrados en el dominio de técnicas y en el desarrollo de habilidadesmecánicas hacia el desarrollo de las llamadas habilidades intelectuales de orden superior yla formación de actitudes que favorezcan la independencia, la autonomía y la toma dedecisiones responsable, en las situaciones cambiantes y de incertidumbre, como las queenfrenta el individuo actualmente en los ámbitos personal, ciudadano y profesional.

La educación matemática, disciplina que trata del aprendizaje de las matemáticas, haflorecido durante las últimas décadas aportando una gran diversidad de nuevosconocimientos acerca de las múltiples dimensiones del desarrollo de la cultura matemática.Así, se sabe que no basta que nosotros los profesores “sepamos” de la materia, es necesarioconvertirnos en profesionales de la docencia, en ingenieros en didáctica, que estemos altanto de los resultados de la investigación en educación matemática y que tengamos claro,de manera explícita, cuáles son los principios en que fundamentamos nuestra práctica.

Podemos decir que el propósito general de la educación matemática es lograr que elestudiante desarrolle una cultura matemática dinámica, que le permita enfrentar situaciones,tanto familiares como inéditas, en las que se requiera la producción o utilización de ideasmatemáticas, que dé lugar a una valoración global fundamentada de estas situaciones, ylogre definir varias opciones con sus respectivos costos y beneficios.

El papel que se le reconoce al profesor actualmente en los documentos de la SEP como elorganizador de las secuencias de aprendizaje para lograr los propósitos de sus cursospresupone una amplia solvencia, tanto matemática como didáctica, en los temas que debeenseñar, pues «…los programas no están concebidos como una progresión de temas quedeban estudiarse uno a continuación del otro. Por el contrario, se recomienda al maestromodificar el orden de los contenidos y entrelazar temas de distintos ejes en la forma queconsidere más adecuada para el aprendizaje de sus alumnos, sin más limitación que cumplircon los propósitos del programa.» (Alarcón et al., 1994, p7).

La profesión docente se ha vuelto difícil a causa de los ambiciosos objetivos de laeducación y, en consecuencia, de la gran complejidad de los fenómenos que enfrenta. Elprofesor ya no es el que tiene un conocimiento acabado y lo transmite fielmente, sino el


administrador de las interacciones entre un medio enseñante y el alumno. Ahora tenemosun papel mucho más complejo e interesante.

El salón de clases es el sitio de concurrencia de los principales actores de la experiencia dela matemática educativa. Es ahí donde, de manera explícita o implícita, interactúan lascostumbres, los sistemas de ideas y creencias de profesores y alumnos, la instituciónescolar y la escuela se hacen presentes con sus planes y programas de estudio y sus propiasnormas, que presuponen visiones de lo que es enseñar y aprender matemáticas, que, a suvez, se apoyan en ideas de lo que son el saber matemático y las matemáticas mismas.

El modelo de cátedra expositiva en el que fuimos educados ha mostrado sus limitacionescuando se trata de lograr aprendizajes complejos, además de que fomenta actitudes en losestudiantes que son incompatibles con las competencias básicas del nivel medio superioractual. Pero no se cambian las creencias ni se modifican los hábitos de un día a otro. Nohay aquí un dictamen definitivo acerca de una costumbre entrañable: “dar clase”, sino unaserie de evidencias que nos invitan a reflexionar sobre nuestra responsabilidad comoprofesores.

Cada cual se tiene que convencer de que vale la pena emprender esta revisión a fondo de sutrabajo, porque implica un grado muy alto de cuestionamiento. Pero también nos puedeconducir a adoptar una perspectiva nueva llena de retos sorprendentes.

Para organizar aprendizajes complejos a partir de supuestos cualitativamente distintos deaquellos en los que se basa nuestra formación, necesitamos identificar los conocimientos,habilidades, actitudes, así como los valores subyacentes, que debemos revisar.

No nos queda más remedio que reconocer la complejidad de la problemática queenfrentamos, así como la necesidad de instrumentar propuestas que apunten a solucionesfactibles, flexibles y duraderas, que tomen en cuenta los tiempos reales que se requierenpara que den frutos. No hay recetas de aplicación mecánica para la enseñanza de lasmatemáticas. Afortunadamente en nuestra profesión se requiere del análisis de situacionescomplejas según criterios múltiples, que nos conducen a la formulación de juiciosmatizados y a una toma de decisiones siempre consciente de los riesgos.

El curso de Geometría y TrigonometríaEl curso de Matemáticas de segundo semestre comprende tres partes, la primera continúa elestudio de las funciones exponencial y logarítmica y las dos restantes corresponden a lo queel nombre de la asignatura anticipa. Así, naturalmente, se integran los desarrollos deÁlgebra y Geometría aprovechando las conexiones entre ambas áreas pero cuidandotambién el desarrollo de las líneas propias de cada una.El desarrollo de los Libros se basa fundamentalmente en el programa de Geometría yTrigonometría, es decir, retoma como propósitos fundamentales que los estudiantesdesarrollen sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento, análisis, reflexión,comunicación y valoración, a través de una actitud participativa, crítica y creativa, quepermita relacionar los conocimientos de la aritmética, el álgebra, la geometría y latrigonometría, para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas, sociales, de la


naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptualesnecesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.

En el diseño de los Libros se consideró, como lo establecen los programas del área deMatemáticas, que la resolución de problemas es la que permite generar e integrarconocimiento, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menosimportante. En este proceso el docente es un facilitador del aprendizaje que problematiza,proporciona información y crea códigos de instrucción, al mismo tiempo que organiza eltrabajo en clase de manera que sus alumnos puedan resolver los problemas planteados yavanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, en el transcurso de las actividades,los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbrengradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólicoy gráfico, así como al uso de tablas y diagramas.

Uno de los supuestos metodológicos para la elaboración de los Libros es que las ideas oprocedimientos matemáticos se comprenden si se articulan adecuadamente en una red deconocimientos y experiencias. En este sentido, el conjunto de actividades de aprendizajeque se presenta en los Libros (problemas, problemas con guía, proyectos, ejercicios,lecturas y autoevaluaciones) constituye una secuencia de actividades que se organiza, porun lado, alrededor de las cuatro líneas de desarrollo del curso de Álgebra: lenguajealgebraico, modelación, ecuaciones y funciones, y las que se establecieron para Geometría,imaginación espacial, demostración, objetos geométricos y cálculo geométrico, y por otrolado, de acuerdo a las características del ambiente de aprendizaje integral que se necesitafomentar en nuestros salones de clase.

La caracterización de las actividadesPara conformar y caracterizar la red de actividades que el estudiante realizará en el curso,se definieron diez características:

1. Experiencia de aprendizaje2. Modalidad de trabajo3. Lugar de realización4. Herramientas tecnológicas5. Tiempo6. Producto7. Referencias curriculares8. Representaciones9. Estrategias10. Evaluación

Observaciones.

Con esta caracterización de las actividades de aprendizaje, se puede establecerexplícitamente la vinculación que hay entre ellas desde perspectivas diferentes que se debenarticular para organizar una sesión de clase. Hay que destacar que el tránsito hacia unaeducación integradora implica, en particular, una diversificación de los contenidos (hastaahora principalmente conceptuales) para atender los de tipo procedimental y actitudinalnecesarios para una formación cultural básica y equilibrada de todos los estudiantes. Así, enel rubro de ‘Referencias curriculares’ se consideraron, además de los contenidos que marca


el programa, algunos contenidos procedimentales y actitudinales, las competencias básicasdel estudiante de bachillerato y los estándares 9-12 del NCTM (Consejo Nacional deProfesores de Matemáticas, asociación estadounidense). La complejidad del diseño y de lainstrumentación de las actividades no se riñe con una consideración del tiempo disponible,que debe ser suficiente para que los estudiantes puedan realizar realmente las actividades, yde otros factores importantes como el nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes, susideas previas, sus expectativas y la pertinencia de los contenidos, que suelen variar paracada grupo de estudiantes en particular. Por el contrario, si el profesor dispone de másinformación se espera que la use para armonizar un trabajo que conduzca a un aprendizajeverdaderamente significativo para el estudiante.

El ambienteNuestra perspectiva es la del profesor que quiere enseñar para que todos sus alumnos logrenlos aprendizajes que los faculten para un uso activo de sus matemáticas. Desde estaperspectiva, los ambientes de resolución de problemas son potencialmente fecundos ypueden constituir uno más de los muchos recursos que el profesor necesita para organizarlos aprendizajes multidimensionales de sus alumnos. Los ambientes de resolución deproblemas son complejos e incluyen planes en varios niveles y decisiones frecuentes queconducen a escenarios distintos. La posibilidad de organizar los aprendizajes curricularesen estos ambientes depende de la habilidad que tengamos los profesores paraadministrarlos en función de ciertos objetivos. Para lograrlo necesitamos incorporar unaperspectiva de trabajo que nos permita convertirnos en productores de nuestros propiossaberes y prácticas.

En cuanto al ambiente, es importante poner en acción un conjunto de creencias que Pirie yKieren (1992) resumen en cuatro principios:

• Aunque un profesor puede tener la intención de impulsar a los estudiantes haciaobjetivos de aprendizaje matemático, estará consciente de que tal progreso puedeno ser logrado por algunos estudiantes y puede no ser logrado como se esperabapor otros.

• Al crear un ambiente o proporcionar oportunidades a los alumnos de modificarsu comprensión matemática, el profesor actuará sobre la creencia de que hay víasdistintas para una comprensión matemática similar.

• El profesor estará consciente de que las distintas personas tendrán modos decomprensión distintos.

• El profesor sabrá que para cualquier tema hay diferentes niveles de comprensióny que éstos nunca se alcanzan ‘de una vez por todas’.

Los ejemplosEn este libro se incluyen, en cada capítulo, algunos ejemplos de los documentos que seconsideran útiles para el trabajo del profesor. Se presenta el desarrollo de la solución quepodemos esperar que produzcan los estudiantes del nivel y que llamamos ‘de referencia’,sin dejar de lado las variantes posibles. También se incluye un comentario de la actividadque se detiene en las distintas vías que puede seguir un estudiante, con la aplicación de las


estrategias correspondientes, para avanzar en la solución de la actividad y describe laarticulación de las representaciones. Apunta algunas sugerencias para la interacción con losestudiantes, en forma individual o en equipo, durante la realización de la actividad y para ladiscusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. El comentario concluye con unaficha que resume los aspectos más importantes. Así se irán conformando historias deproblemas que se robustecerán cada vez que las trabajemos en clase. Estas historias seharán más detalladas y útiles en la medida en que podamos elaborar los documentos que sedescriben en la sección siguiente. Esta labor la podremos emprender aprovechando la redde interacción académica en Internet.

El trabajo del profesorEn este Libro presentamos una propuesta de trabajo que toma en cuenta las característicasdel quehacer docente mencionadas antes y, por tanto, modificar o adaptar dicho quehaceraprovechando la información que aporta. Cada profesor tiene su estilo de docencia, que sepuede beneficiar de una práctica y una reflexión más sistemática, así como de lasdiscusiones que se realicen alrededor de nuestras preocupaciones comunes. En nuestrasacademias y en la red de interacción en Internet podremos ventilar nuestras inquietudes ydificultades y beneficiarnos de los comentarios y sugerencias de nuestros colegas.

Para utilizar las actividades en una sesión de clase, hay que hacer un plan, instrumentarlo yevaluarlo. Esta terna se repite en distintos niveles: la actividad, la clase, el tema, la unidad,el curso, el área, el ciclo, etc. Necesitamos desarrollar la habilidad de usar una especie dezoom que nos permita destacar los aspectos importantes que corresponden a cada nivelcomo el zoom lo hace con la escala. En cada acto de enseñanza, consideramos los objetivosde niveles distintos con los que se relaciona y la forma en que lo hace. Por ejemplo si setrata de una experiencia necesaria pero que no genera un aprendizaje inmediato exigible,como es el caso de algunas de las líneas que apuntan al desarrollo de las habilidadesintelectuales de orden superior, establecemos los lineamientos de interacción con losalumnos y los criterios de evaluación correspondientes, vinculándolos con otrasexperiencias de aprendizaje posteriores y haciendo inferencias explícitas sobre el desarrollode la comprensión de los conceptos y procesos que se ponen en juego. Así mismoidentificamos, desde una perspectiva sistémica, los factores que influyen en su práctica paraestablecer estrategias de acción, aun cuando la posibilidad de actuar sobre algunos factoressea muy escasa. En este sentido, es importante que nos veamos como parte de diferentessubsistemas y nos propongamos ampliar gradualmente nuestro campo de competencia yresponsabilidad. El «zoom del profesor» se constituye así en una herramienta para, desdeperspectivas distintas pero pertinentes, superar algunos callejones sin salida que parecentales cuando sólo se atiende a la perspectiva del salón de clases.

A modo de ilustración te presentamos cómo puedes planear, instrumentar y evaluar unasesión de resolución de problemas.


1. La Planeación de una sesión de trabajo

Figura 1. La planeación de un problema.

En la figura 1 se describe una manera de organizar una sesión a partir de una actividadque permite generar información sobre estos aspectos en cada instrumentaciónconformando una ‘historia del problema’ o, en general, de la actividad de aprendizaje.

La fase de planeación requiere un análisis de la actividad desde un marco de referenciay el registro por escrito de ese análisis. Esto le permitirá al profesor definirpreviamente no sólo la actividad que trabajará, cuál es el objetivo de la sesión y lostiempos disponibles, sino también cuáles son los obstáculos con los que se puede toparel alumno, cuáles van a ser sus actitudes ante los obstáculos, hasta dónde debe llegar lasesión y, en caso de no lograrlo qué hará para cumplir sus objetivos. Uno de losobjetivos de la planeación es hacer explícitas nuestras expectativas.


Por supuesto que lo que ocurrirá en la sesión de trabajo no puede estar completamentedefinido. Dentro del salón de clases el profesor toma decisiones constantemente conbase en el marco de referencia que le brindan los documentos de la planeación y lainformación que va registrando durante la sesión. La planeación, entonces, debe serflexible. Los documentos que concretarán nuestra planeación son:

Propósito de la actividad: Que se manejará no únicamente desde la perspectivade un contenido programático sino considerando las representaciones quearticula (gráfica, aritmética, textual, icónica, etc), los aprendizajes que prepara,las categorías de resolución de problemas y los objetivos institucionales. Elpropósito de la actividad debe considerar que no todos los aprendizajes puedenser inmediatos y que hay cuestiones que sólo se logran a largo plazo.Recomendaciones durante la actividad: Cada uno de estos documentos estáenfocado a los momentos que constituyen la sesión de trabajo; son una guía quele permite al profesor dirigir la sesión hacia el objetivo establecido, sindesvirtuar la actividad.

a) Lineamientos para la interacción con los equipos: Darán las pautas aseguir en la interacción del profesor con los alumnos mientrasrealizan la actividad. La intervención de un profesor debe estarguiada por el ambiente, en el sentido de no invalidar el trabajo de losalumnos ni privarlos de la satisfacción de encontrar la solución porellos mismos (véase figura 2).

Figura 2. La interacción del profesor con un equipo.

b) Guión de la discusión: Brinda un marco para la conducción de ladiscusión. Se consideran los posibles desarrollos de las soluciones yse establecen los lineamientos para la participación del profesor(véase figura 3).


Figura 3. Las interacciones durante la discusión del trabajo de un equipo.

Recomendaciones para la evaluación de la actividad: La evaluación de laactividad debe considerar por lo menos:

a) Solución de referencia: Esta solución se elabora considerando losconocimientos que se ponen en juego durante la resolución delproblema o la realización de la actividad.

b) Precepto de evaluación: Este documento contiene la descripción delos estándares de evaluación de un problema en particular. Elprecepto debe reflejar los principales aspectos del problema y aportarinformación útil para orientar el curso de las acciones del profesor ydel estudiante ya sea para avanzar o profundizar en los contenidosque se pusieron en juego en el problema o para corregir las ideaserróneas que se hayan identificado.

2. La InstrumentaciónLa planeación debe tomar en cuenta los cursos diversos que puede seguir la accióndurante la instrumentación y sus posibles consecuencias en función de los propósitosde la sesión.No es conveniente prodigar los comentarios ni las reformulaciones. Sin embargo, hayalgunas intervenciones en las que el profesor puede solicitar aclaraciones, precisiones,explicaciones, justificaciones, cuando advierte indicios de perplejidad o incomodidaden el equipo o en el grupo que no logran formularse. La disyuntiva fundamental delprofesor es decidir cuándo conviene detenerse para profundizar algún aspectomatemático.Las intervenciones del profesor deben estar guiadas por los lineamientos para lainteracción con los equipos y por el guión de la discusión de tal manera que no se vaya


a desvirtuar, con comentarios impacientes o irreflexivos, la experiencia de aprendizajeque le corresponde disfrutar a los estudiantes. Hay un principio básico para que laplaneación resulte útil: antes de hablar, hay que escuchar. Hay que dar oportunidad aque surja la participación espontánea de los alumnos.

3. La Evaluación de la actividadDespués de realizada la actividad el profesor debe evaluar la efectividad y losresultados que se obtuvieron. No se trata sólo de la evaluación de los conocimientos,habilidades, actitudes y transferencia del alumno. La evaluación de la actividad debeaportar información útil y confiable para mejorar el diseño de la actividad.

Además de la evaluación de los alumnos, se tiene la evaluación de la actividad y parteimportante de ella es ‘historiar el problema’. La idea es contrastar los análisis previo yposterior a la instrumentación para hacer un registro cada vez más robusto de lasinteracciones posibles, las formas de comprensión y el uso de las matemáticas quehacen los alumnos, se puede complementar muy provechosamente con la investigaciónde los problemas y las condiciones en que se originaron los conceptos que se ponen enjuego. Pero, puesto que nuestra perspectiva es la del profesor, y lo que necesariamentehace es trabajar con los alumnos, hemos optado por basarnos en nuestra experiencia yen la disposición de hacer explícitas nuestras expectativas para que, aun cuandonuestro primer análisis sea muy rudimentario, se vaya robusteciendo en las sucesivaspuestas en escena, de tal manera que esta historia del problema se constituya en unsaber propio del profesor generado en su práctica. Los registros audiovisuales brindanla oportunidad de aprovechar las ventajas de un análisis más detenido para incorporarsus resultados en las historias de los problemas (véase figura 4).


Figura 4. La historia de un problema.

Materiales Auxiliares Para la Organización del Aprendizaje (MAPOA)Se tiene, además, una propuesta para la organización del aprendizaje de los alumnos que seplantea en una serie de materiales. Estos auxiliares sirven como marcos de referenciacompartidos que se pueden usar y comentar constantemente durante las actividades deaprendizaje con los estudiantes y de planeación con los profesores. En la medida en que nosfamiliaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que se puedenexpresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En el proceso deprofesionalización de nuestro quehacer abundan, afortunadamente, las oportunidades deaprender. La mejor manera de familiarizarnos con los MAPOA es usarlos para organizarnuestro aprendizaje. Así tendremos una experiencia de primera mano que compartir con losestudiantes.

El Libro para el Estudiante va acompañada de un disco compacto que incluye tantoactividades interactivas como paquetes con herramientas de graficación, con sistemas decálculo algebraico y paquetes de geometría dinámica. También hay algunas animaciones yejercicios de práctica y autoevaluación. Estos recursos, que estarán a disposición de losestudiantes, se deben integrar como parte de sus experiencias de aprendizaje con unaplaneación adecuada, ya sea en el ámbito escolar o en forma de tareas. El uso cotidiano yresponsable de las herramientas tecnológicas para la comprensión de las matemáticas puedecontribuir a crear un ambiente propicio para el desarrollo de los aprendizajes complejos eintegradores que promete nuestra institución a todos sus estudiantes.

Desafíos docentesEs importante que hagamos un esfuerzo sistemático por hacer explícitos los sistemas decreencias que sustentan nuestra práctica docente. Puesto que somos profesores, tenemosuna idea clara de las condiciones reales en que se realiza nuestro trabajo, pero hay queevitar la autocomplacencia y el victimismo, un tránsito hacia un ejercicio profesional de ladocencia implica tanto una revisión de la forma en que concebimos nuestro trabajo comouna redefinición de las relaciones que tenemos con las instituciones educativas. Para queestos cambios tengan lugar se requiere de un compromiso muy fuerte y del tiemponecesario para fortalecer nuestras organizaciones y para darnos las condicionesindispensables que nos permitan convertir nuestro trabajo docente en el trabajo de unprofesional reflexivo.

Hay una necesidad de plantear una reconceptualización del quehacer del profesor desde losejes constitutivos de su trabajo. Entre estos ejes se destacan:

• Las relaciones que enmarcan y posibilitan su labor académica,• Los modelos educativos que orientan su práctica, y• La axiología social y educativa que lo identifica con los fines y valores de una

institución.


En este sentido, los profesores tenemos un papel de intervención directa en el proyectocultural de la institución, un proyecto que se concibe como un proyecto dinámico enconstrucción permanente, en el que participan todos los agentes educativos.

Para que podamos asumir nuestro papel como sujeto del cambio que plantea una reformaacadémica integral, es necesario consolidar los espacios de reflexión en los que se define laorientación del ejercicio de la docencia. Al insertarnos en estos espacios, podremos dejar deser entes aislados para convertirnos en un sujetos participativos, cuyas acciones no sólorepercutan en el estudiante sino en todo lo que implica la institución educativa.

Dada la complejidad del quehacer docente en los niveles que incluyen las fases deplaneación, instrumentación y evaluación para el logro de los ambiciosos, pero pertinentes,objetivos del nivel, es necesario que, además del espacio privilegiado que representa laacademia, se abran y consoliden otros espacios de reflexión, discusión y producción, endonde los profesores podamos avanzar en nuestra profesionalización como docentes.

En este sentido, un elemento fundamental de la instrumentación de estos libros es una redde interacción académica de profesores de Matemáticas del NMS del IPN en Internet.


1 . Justificación de la secuencia deaprendizaje (comentarios acercade las secuencias de aprendizaje)

En el Libro se tienen señaladas distintas actividades de aprendizaje: problemas, problemascon guía, proyectos, lecturas, ejercicios, tareas y autoevaluaciones. De todo esto lo que másse asemeja a lo que todavía muchos alumnos esperan del profesor corresponde a losejercicios.

Esta variedad de actividades es necesaria para el cumplimiento de los objetivos delprograma del curso y de la dimensión matemática de las competencias básicas delestudiante de bachillerato.

Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante, de losconocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para lacomprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para suaplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo quese considera que son -o deben ser- comunes a todos los bachilleratos del país.

Se considera que, en términos generales, las competencias básicas que deben estarpresentes en el perfil del educando son:

C1. Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita,así como interpretar los mensajes en ambas formas.

C2. Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos,matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.).

C3. Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicospara la resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitudcreativa y trabajando individualmente o en grupos.

C4. Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de losconocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos ypolíticos de su comunidad, región y del país.

C5. Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes parapropiciar su progreso intelectual.

C6. Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en loque se refiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, saludfísica y formación cultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lobeneficien en lo individual y en lo social.

C7. Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vidaescolar y cotidiana.

C8. Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global delmedio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad.


No se pueden fomentar estas competencias con un solo tipo de actividad de aprendizaje, seimpone el uso integral de varios tipos para ello. Las actividades propuestas en los Lobros lopermiten, pero sólo el trabajo del profesor, cuidando el quehacer cotidiano en el aula,permite la integración, las conexiones y las aplicaciones de los conocimientos tanto dentrocomo fuera de las Matemáticas.

A continuación proporcionamos comentarios sobre la importancia de cada una de estasactividades.

Problemas: Aquí se presenta un enunciado en el que se pide la respuesta a una o máspreguntas y al alumno le corresponde responder. El profesor orienta el trabajo del alumno,pero no es él quien debe resolver y responder lo que se pide. La idea es que el alumno sevaya acostumbrando a tomar decisiones y a justificarlas. Para ello debe comenzar por unalectura cuidadosa del texto, encontrarle un sentido a la situación planteada, establecer unaforma de representar la situación mediante una tabla, gráfica o expresión algebraica (mejorsi utiliza las tres) y al trabajar con ellas podrá responder lo que se le pide. Pero no terminaaquí su trabajo. Debe darse cuenta si su respuesta tiene sentido, es decir, si es aceptable apartir de la situación presentada en el enunciado. Como es una actividad de aprendizaje,encontrar una respuesta a la situación planteada no concluye el problema, éste continúa y seamplía al buscar otras formas de resolverlo o el establecimiento de un método de soluciónque facilite el tratamiento de otras situaciones similares y el planteamiento de otraspreguntas.Todo esto no es sencillo ni para el alumno ni para el profesor. El alumno, ante todo esto,fácilmente se puede paralizar y decir “no entiendo”. Al trabajar en equipo con otros de suscompañeros reduce esta parálisis. Es más fácil que un alumno se anime a comentar con susiguales lo que entiende y qué puede hacer. Desde luego que no es suficiente, no faltaránalumnos que digan que prefieren trabajar solos. Ante esto, el profesor no debe simplementeimponerles la decisión de trabajar en equipo, sino tratar de convencerlos de la convenienciade ello.Trabajar en equipo no se reduce a separar temas y repartirlos entre los integrantes. Incluyediscusiones para llegar a acuerdos o para una comprensión mutua de los desacuerdos y lafortaleza o debilidad de la posición de cada uno de los integrantes. Estas discusionesrequieren tiempo, más de lo que alumnos y profesores estamos acostumbramos dedicarle aun tema, y provoca la sensación de que se está perdiendo el tiempo, a pesar de juzgarinteresante e importante el tema tratado.Mientras los alumnos están trabajando, el profesor debe estar al pendiente de lo que estáocurriendo en cada equipo. A partir de preguntas y comentarios breves orienta el trabajo delos equipos. Debe cuidarse en no calificar el trabajo de los equipos, es decir, que ante lapregunta: “¿estamos bien profesor?”, no responda con un “sí” o un “no”. Los alumnosestán acostumbrados a que sea el profesor quien establezca quiénes están bien y quiénes no.No están acostumbrados a que sean ellos mismos quienes lo determinen. Pero si se va afomentar su independencia deben acostumbrarse a hacerlo. Así, cuando un alumnopregunte si está bien, se les replica con otra pregunta: ¿Por qué no estás seguro? Y se invitaa otros alumnos del equipo a que externen sus ideas. Si manifiestan que están de acuerdo,se les pide que preparen una presentación ante el resto de sus compañeros. Cuando setrabaja un problema es el grupo en pleno quien decide qué soluciones están bien. Es cierto,se corre el riesgo de que se acepte una solución con errores y el profesor debe evitar la


tentación de decirles que se equivocaron. El profesor debe decidir si desde el primermomento les presenta objeciones a su solución, o deja que pasen algunos días antes devolver a tratar el mismo problema.Para un alumno, la actividad del profesor en una sesión de resolución de problemas puedeparecer bastante menor: pasearse por los equipos, observar lo que están haciendo, hacerlesalgunos comentarios y no decir quiénes están bien y quiénes no. Pero no es sencillo lo quetiene que hacer el profesor. Antes de proponer a los alumnos un problema, debe haberloestudiado y establecer un plan de su puesta en escena. De esta forma estará en condicionesde anticipar dificultades y preparar comentarios que permitan avances en los alumnos. Perono es seguro que lo anticipado ocurra exactamente. Así, la improvisación en susintervenciones con los alumnos es inevitable, pero si el profesor tiene claro cuáles son losobjetivos a lograr en el problema, le resultará más fácil decidir el sentido de susintervenciones.Cuando se tienen las primeras sesiones de resolución de problemas es usual que alumnos (yprofesores) perciban que aunque interesante, eso no es una clase de matemáticas, que siacaso es una actividad para quitar la tensión de lo que es la materia y las dificultades que setienen para aprenderla. No es así, en ella se ponen en juego varios aspectos importantes:fomenta la lectura reflexiva, la discusión matemática, desarrollo de estrategias paraenfrentar un problema, la importancia de lo que se aprende mientras se busca resolver unproblema, la argumentación que sustenta las opiniones o conclusiones de una persona o deun equipo, la presentación ante otros de las ideas propias, la importancia de saber escuchary ser escuchado.Es tanto todo esto que el profesor puede ser rebasado, y que sienta que no tiene control enla sesión, pues aun cuando todo el grupo esté discutiendo el problema propuesto, el ruidoque se provoca y la variedad de ideas que se manejen pueden aturdir al profesor y alencontrar que no es posible tratar todo lo que surge en el tiempo que se dispone, sentir quemucho de lo tratado en la sesión se pierde y, en consecuencia, es tiempo perdido en elcurso.Hay algo más que encuentra el profesor en una sesión de problemas: cuando se buscaconvencer a un alumno que su idea o argumento sobre cierta situación está equivocada, noa partir de una posición de autoridad (“Soy el profesor y si te digo que estás mal, es que asíes”), sino de hacerle ver que hay inconsistencias o contradicciones en su argumentación, serequiere de más tiempo y de ser cuidadoso en el argumento que el propio profesorconstruya para convencer a su alumno.Habitualmente los enunciados de los problemas son cortos y esto permite que los alumnospuedan pensar y seguir distintos caminos de solución. El profesor no debe prohibirlesalguno sólo por no haberlo él previsto en la planeación del problema. Si está bienfundamentado el camino que sigue un equipo, el profesor debe respetar su trabajo. En todocaso, cuando se tenga la discusión general (de todos los equipos) del problema y sepresenten varias vías de solución, el profesor tendrá la oportunidad de destacar la que másle interesa y proponer, si es necesario, una comparación entre los distintos métodos desolución.

En los problemas con guía se tienen sesiones similares a la de los problemas. Ladiferencia consiste en que en los primeros, el enunciado incluye preguntas o actividadesque se pide a los alumnos realizar para responder la pregunta (o preguntas) principales del


problema. De esta manera se dirige más al alumno hacia un camino o forma de resolverlo.La intención es disminuir la parálisis, tensión y angustia que algunos alumnos pueden tenercon los problemas que dejan abierta la vía de solución.

Los proyectos son problemas para los cuales se requiere de mayor tiempo para trabajarlosy fuera del salón de clases. La intención es fomentar la importancia de la perseverancia enel trabajo y de enfrentar compromisos que se hacen. Para que un equipo pueda entregar unbuen reporte de un proyecto se requiere que se interesen en él, que no lo vean como unatarea más que se deja en una materia para la cual basta entregar un reporte donde se anotelo que el alumno sabe que quiere el profesor.Para el curso no es necesario que se trabajen todos los proyectos que contiene, pueden sersólo algunos de ellos. Queda en el profesor decidir cuáles son los proyectos que sedestacan.

Las lecturas pueden verse como simple complemento al curso, una introducción de temasque predispongan al alumno para el trabajo “en serio” de la materia. Pero no es así. Elalumno debe desarrollar su habilidad de leer, de manera que pueda aprender de ella. En laslecturas propuestas no se espera que el alumno haga un resumen de ellas, sino que seanpuntos de partida para discutir los temas que tratan. Para que esto se logre, se requiere laelaboración previa de un cuestionario que el profesor debe tener y el cual sirva de guía parala discusión de la lectura. Fomentar en el alumno una lectura crítica y reflexiva (cuidadosa)contribuye para la elaboración de argumentos mejor estructurados, y una comunicación máseficaz de sus ideas. Particularmente es importante esto porque ahora estamos saturados deinformación de todo tipo, y se requieren habilidades para hacer a un lado la informaciónque no sea importante y, en cambio, analizar cuidadosamente la que sí lo es.

Los ejercicios en el libro tienen un significado diferente al de los problemas. En unejercicio ya se sabe el tipo de situación planteada y de que existe un procedimiento pararesolverlo. Lo que se busca es que se utilice ese procedimiento y que, en lo posible, sedesarrolle cierta soltura en el manejo de estas situaciones de manera que se adquierarapidez y precisión en lo que se hace. Para lograrlo se requiere de un trabajo cuidadoso enel alumno, de manera que no confunda la importancia de escribir signos, paréntesis, signosde igualdad y líneas de fracción donde sea necesario.Esta actividad algunos alumnos la identificarán como lo que es y en lo que consiste unaclase de matemáticas. Sin embargo, un apoyo importante lo tendrá el alumno en su libro detexto. Vale la pena destacarlo de nuevo: este Libro no es un texto de matemáticas en dondese encuentra todo lo que el alumno necesita para aprender álgebra, geometría ytrigonometría. No. Contiene todas las actividades que al alumno le permitirán tener unabuena comprensión de la misma, pero esta Libro va acompañada de un libro de texto. Loideal es que cada alumno tenga su Libro y su libro de texto, pero si no es posible, que almenos el texto esté disponible para él en la biblioteca de su escuela. Aunque se señalacomo texto el libro Algebra con aplicaciones de Phillips, Butts y Shaughnessy, para laprimera unidad y de Geometría y Experiencias de Bertrán y García para la segunda unidady de Trigonometría de Selby para al tercera, es posible que la Academia de Matemáticas decada escuela decida utilizar otros equivalentes en contenido, enfoque y calidad.Ante las primeras dudas que surjan de un ejercicio, el alumno deberá recurrir a su textopara leer las explicaciones correspondientes y revisar los ejercicios resueltos en él (aquí se


destaca la importancia de la lectura). Al disponer de un texto, el profesor podrá sugerirlerevisar otros temas correspondientes al que se esté trabajando. Si el profesor lograsensibilizar al alumno de la importancia de aprovechar el poco tiempo de que se dispone enel salón de clases, más fácilmente el alumno trabajará buena parte de los ejercicios fuera delsalón de clases, permitiendo que en éste se discutan problemas (con guía y sin ella),lecturas y autoevaluaciones. El profesor debe conocer a detalle el texto que esté utilizandopara orientar adecuadamente a sus alumnos sobre la mejor manera de utilizarlo. Cuando lojuzgue necesario discutirá en clase algunos ejercicios, pero siempre después de que ya loshayan trabajado sus alumnos.

Las tareas se refieren a las actividades que los alumnos deberán realizar fuera del horariode clase. Buena parte de ellas consiste en el trabajo que deberán realizar con su libro detexto, pero también están las lecturas y la conclusión de alguna actividad que no se terminóen clase.

Las autoevaluaciones le permiten al alumno conocer su comprensión y dominio de lostemas tratados. El profesor conoce las soluciones de las autoevaluaciones, y su actividadprincipal es señalar al alumno el momento adecuado de utilizarlas y destacar un aspecto queusualmente se olvida en las evaluaciones: identificar dónde se tienen deficiencias y, enconsecuencia, se tiene que trabajar más.

En cada unidad se presentan actividades de aprendizaje para los alumnos. Estas actividadesestán presentadas por bloques de horas, suponiendo un total de 70 horas para el curso. Elprofesor debe revisar todas las actividades de cada unidad y planear explícitamente lasecuencia que va a realizar con tus alumnos, de manera que seleccione las actividades de launidad, combinando distintos tipos actividades para lograr los objetivos de aprendizajerequeridos en la unidad. Recuerde que se pueden identificar tres momentos importantes enel trabajo de los profesores: planear, instrumentar y evaluar cada actividad de aprendizajede los alumnos. Es enriquecedor compartir con los compañeros profesores las inquietudes yresultados de las actividades de aprendizaje instrumentadas, y, más todavía si se planean yevalúan actividades en equipo con otros profesores.

Para hacer la historia de las actividades de aprendizaje se tiene el formato decaracterización de las actividades. Al caracterizar las actividades se aporta información quesirve para que el profesor tome mejores decisiones en los distintos niveles que debeconsiderar cuando diseña una trayectoria para sus estudiantes.


Caracterización de las Actividades de Aprendizaje

Formato para la clasificación de problemas

Título1. Experiencia de aprendizaje

2. Modalidad de trabajo

3. Lugar de realización

4. Herramientas tecnológicas

5. Tiempo6. Producto

7. Referencias curriculares

8. Representaciones

9. Estrategias

10. Evaluación

Observaciones


Cada experiencia de aprendizaje tiene asociadas una serie de atributos que precisan tanto surelación con las dimensiones del aprendizaje como su instrumentación.1. Experiencia de aprendizaje

1.1. Resolución de problemas1.2. Resolución de problemas guiada con exploración1.3. Resolución de ejercicios1.4. Proyecto1.5. Lectura

2. Modalidad de trabajo, la participación es2.1. Individual2.2. Equipo2.3. Grupo

3. Lugar de realización3.1. Salón de clases3.2. Aula de cómputo3.3. Fuera de la escuela

4. Herramientas tecnológicas4.1. Juego de geometría4.2. Ambientes computacionales4.3. Calculadora científica4.4. Calculadora con poder de graficación4.5. Sistema de cálculo algebraico

5. Tiempo6. Producto

6.1. Reporte de RP6.2. Reporte de lectura6.3. Resultados con comprobación6.4. Informe

7. Referencias curriculares7.1. Contenidos

7.1.1. Conceptuales7.1.2. Procedimentales7.1.3. Actitudinales

7.2. Competencias Básicas del estudiante de bachillerato7.3. Estándares 2000 del NCTM

8. Representaciones8.1. Textual8.2. Tabular8.3. Gráfica8.4. Algebraica8.5. Geométrica

9. Estrategias10. Evaluación

10.1. Evaluación de reporte10.2. Evaluación de presentación


Formato para la clasificación de problemasEjemplo

Título ‘Ifigenia Cruel’ de Alfonso Reyes1. Experiencia de aprendizaje 1.2 Resolución de problemas guiada con exploración2. Modalidad de trabajo 2.2 Equipo, 2.3 Grupo3. Lugar de realización 3.1 Salón de clases4. Herramientas tecnológicas 4.1 Juego de geometría, 4.3 Calculadora científica5. Tiempo 60 minutos (si se tiene limitación de tiempo, el profesor puede

seleccionar algunas preguntas para que se trabajen como tarea yampliar la discusión en otra sesión)

6. Producto 6.1 Reporte de RP7. Referencias curriculares 7.1 Contenidos

7.1.1 Conceptuales (3.1, 3.2) (4.1, 4.2) (5.2)

7.1.2 ProcedimentalesP1, P2, P3, P4, P5, P6, P8, P10

7.1.3 ActitudinalesA2, A3, A6, A7, A13

7.2. Competencias básicas del estudiante de bachillerato.CB1, CB2, CB3, CB5, CB7

7.3 Estándares 2000 del NCTME1.3E2.1.2, E2.1.3, E2.2, E2.3, E2.4E3.4.5E4.1.1, E4.2.1E6E8E9E10

8. Representaciones 8.3 Gráfica→ 8.2 Tabular → 8.4 Algebraica → 8.3 Gráfica9. Estrategias 'Localiza los puntos en la gráfica que te permiten responder las

preguntas''Haz una estimación razonable de los valores representados por estospuntos''Organiza la información en una tabla''Obtén la ecuación'

10. Evaluación Evaluación del reporteEvaluación de la presentación

Observaciones Se recomienda trabajar esta actividad por lo menos en dos ocasiones,en la primera se puede centrar la atención en el uso de lasrepresentaciones gráfica y tabular, en las posteriores se puededestacar la representación algebraica y sus relaciones con las otrasformas de representación


Programa de Geometría y Trigonometría

Objetivo generalQue el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento,análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud participativa,crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra,geometría y trigonometría para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas,sociales, de la naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructurasconceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.

Las cuatro líneas indispensables que se desarrollan en el curso de álgebra y que secontinúan en la primera unidad de este curso son:

• Lenguaje algebraico

• Modelación

• Ecuaciones

• FuncionesEs importante hacer notar que no es conveniente que haya largos período dedicadosexclusivamente a la ejercitación de la operatividad, sino que a medida que los alumnoshayan aprendido nuevos procedimientos algebraicos, los utilicen en la resolución deproblemas y aplicaciones.

En cuanto al curso de Geometría, cada experiencia de aprendizaje que tengan los alumnos,dentro o fuera de la clase, será más provechosa en la medida en la que el profesor puedaidentificar cómo contribuye al logro de las líneas siguientes:

• El desarrollo de la imaginación geométrica y espacial

• La construcción de la idea de demostración

• La familiarización con los objetos de la geometría (incluyendo propiedadesy relaciones)

• La articulación de los conocimientos pertinentes en el cálculo geométrico(a partir de lo que se conoce, averiguar lo que se ignora, combinando datosy relaciones)

El programa deberá cumplirse hasta sus últimas unidades, pues estas preparan a losalumnos para los siguientes cursos. Lo anterior será posible si el docente distingue siemprelo esencial de lo accesorio y no insiste en la ejercitación excesiva de temas de pocaimportancia para los cuales bastará resolver uno o dos ejemplos en el salón de clases y dejarotros como tarea. También deberán evitarse aquellos tratamientos teóricos superfluos oinnecesarios, o tratar de agotar un tema desde el principio, pues el programa ha sidodiseñado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a lo largo detodo el curso.


LLiinneeaammiieennttooss ggeenneerraalleess ppaarraa llaa iinnssttrruummeennttaacciióónn ddee ttooddoo eell pprrooggrraammaa

- El núcleo de la actividad del curso será la problematización, pues el problema deberá serel instrumento que permita generar el conocimiento, el desarrollo de la habilidad paraaplicarlo y la consolidación para asimilarlo.

- La orientación de la dinámica se enfocará a la comunicación, el razonamiento y laresolución de problemas.

- Se propone un modelo de sesión que incluya tres momentos:• Apertura. El docente puede informar y generar códigos de instrucción.• Desarrollo. El docente, y/o el estudiante, propone o plantea problemas, y/o

actividades, dentro del contexto del tema. El docente organiza la dinámica deltrabajo.

• Cierre. El estudiante describe la actividad de la sesión, comunica lo que cree haberaprendido, el docente evalúa y toma decisiones para la siguiente sesión.

Esta instrumentación se aplicará en todas las unidades del programa y la Academiadiseñará los problemas tipo, con los que abordará la temática.

Unidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicasEl estudiante manejará las propiedades básicas de las funciones logarítmicas yexponenciales a través de problemas de situaciones reales, lo que le permitirá incrementarsus habilidades interpretativas y destrezas operativas.

1.1 Noción intuitiva de función1.2 Concepto de función exponencial y logarítmica1.3 Propiedad de la función logarítmica

1.3.1 Cambios de base1.4 Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas con una variable

Unidad 2. Geometría euclidianaA partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos, postulados yteoremas de la geometría euclidiana que aplicará en la resolución de problemas que lepermitan desarrollar sus habilidades matemáticas y fomentar su razonamiento lógico.

2.1 Conceptos básicos2.1.1 Antecedentes históricos2.1.2 El método axiomático-deductivo2.1.3 Términos no definidos2.1.4 La demostración deductiva directa e indirecta2.1.5 Definiciones, postulados2.1.6 Teoremas fundamentales sobre punto, recta y ángulos

2.2 Congruencia de triángulos2.2.1 Definición de triángulos congruentes2.2.2 Postulados de congruencia LAL, ALA y LLL2.2.3 Líneas y puntos notables del triángulo2.2.4 El triángulo isósceles y sus propiedades2.2.5 Teorema del ángulo externo


2.3 Paralelismo y perpendicularidad2.3.1 Teorema para la construcción de perpendiculares a una recta2.3.2 Rectas paralelas: postulados de las paralelas. Propiedades2.3.3 Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal: definición yteorema2.3.4 Pares de ángulos con lados respectivamente paralelos y con ladosrespectivamente perpendiculares

2.4 Propiedades del triángulo2.4.1 Teoremas para los ángulos internos y los ángulos externos2.4.2 Relación entre ángulos interiores y ángulos opuestos2.4.3 Desigualdad del triángulo

2.5 Semejanza de triángulos2.5.1 Definición de semejanza2.5.2 Postulados de semejanza: AAA, LAL y LLL2.5.3 Teorema de Tales2.5.4 Teorema de Pitágoras

2.6 Polígonos2.6.1 Definición y clasificación2.6.2 Propiedades de los paralelogramos2.6.3 Teoremas relativos a suma de ángulos internos, externos y número dediagonales

2.7 Circunferencia y círculo2.7.1 Rectas y puntos notables2.7.2 Propiedades relativas a cuerdas y tangentes2.7.3 Ángulos y arcos2.7.4 Transformación de medidas angulares de grados a radianes y viceversa

Unidad 3. TrigonometríaEl estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas,modelos geométricos que le permitan resolver problemas.

3.1 Funciones trigonométricas3.1.1 Definición3.1.2 Relación entre funciones trigonométricas

3.1.1.1 Identidades trigonométricas3.1.1.2 Identidades pitagóricas3.1.1.3 Identidades de cociente

3.1.3 Círculo trigonométrico3.1.4 Funciones trigonométricas inversas3.1.5 Gráficas de funciones trigonométricas (para seno, coseno y tangente)

3.2 Resolución de triángulos3.2.1 Rectángulos3.2.2 Oblicuángulos

3.3 Ecuaciones trigonométricas


Bibliografía

Clemens, Stanley R., O’Daffer, Phares G., Geometría, México, Prentice Hall, 1998.

García Arenas, Jesús, Bertrán Infante, Celestí, Geometría y Experiencias, México, EditorialAlhambra, 1990.

Rich, Barnet, Geometría, México, Mc Graw-Hill, 1991.

Phillips, Elizabeth et al, Álgebra con aplicaciones, México, Editorial Oxford UniversityPress, 1999.

Gustafson, David R., Álgebra intermedia, México, Thomson Editories, 1996.

Smith, Stanley A. et al, Álgebra y Trigonometría, México, Addison-WesleyIberoamericana, 1997.

Calter, Paul, Fundamentos de matemáticas I y II, México, Mc Graw-Hill, 1996.


EVALUACIÓNASPECTO AEVALUAR DEFINICIÓN OPERATIVA FORMA DE EVALUACIÓN INDIRE

CTADIRECT

APotencia

MatemáticaHabilidad y capacidad de usar la matemática para resolverproblemas en diferentes áreas de estudio

− Exámenes escritos− Exposición y resolución

de problemas− Trabajos extraclases

XX

X

X

Resolución deProblemas

Capacidad para resolver problemas y plantearlos, considerandodiversas alternativas para resolver problemas, un plan pararesolverlos, interpretar y comprobar resultados, y generalizarsoluciones

− Exámenes escritos− Exposición y resolución

de problemas− Trabajos extraclases

XX

X

X

Razonamiento Capacidad de reconocer patrones, estructuras comunes yformular conjeturas

− Exámenes escritos− Exposición− Interrogatorios− Entrevistas

XXXX

X

Comunicación Capacidad del alumno para expresar ideas matemáticas endiversas formas: hablada, escrita y gráfica

− Exámenes escritos− Interrogatorios− Trabajos extraclases

XXX

X

ActitudMatemática

Confianza en el uso de las matemáticas para resolver problemas,comunicar ideas y razonar, probar métodos alternativos para laresolución de problemas; la perseverancia de llegar hasta el finde la tarea matemática; el interés, la curiosidad, la inventiva delos alumnos para hacer matemáticas; reconocer el valor quetienen las matemáticas en nuestra cultura, como herramienta ycomo lenguaje

− Exámenes escritos− Observación− Entrevistas− Interrogatorios− Trabajo en equipo

XXXXX

X

X

PERIODO UNIDADESTEMÁTICAS

PLAN DE EVALUACIÓN

1 1 a 2.2 Examen departamental 60%Evaluación continua 40%

2 2.3 a 2.10 Examen departamental 60%Evaluación continua 40%

3 3Examen departamental 60%Evaluación continua 40%

El examen departamental estará conformado por problemas que se evaluarántomando en cuenta:1. la comprensión del problema2. la planeación de una solución3. la obtención de una respuestaEn la evaluación continua se tomará en cuenta el modelo PER para propiciar que losalumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje


Procedimentales Actitudinales

1. Formación de hábitos de organización delpropio aprendizaje

2. Desarrollo de hábitos favorables para elevar lacalidad del propio trabajo y de la participaciónen el trabajo en equipo

3. Habilidad para resolver situacionesconflictivas que se presenten en lasmodalidades de participación: individual, porequipo y grupal

4. Uso eficaz del lenguaje y formas de expresiónmatemática

5. Formación de hábitos de pensamientoanalítico para el manejo de situacionesproblemáticas

6. Desarrollo de estrategias personales para elanálisis y resolución de problemas

7. Exploración sistemática en la búsqueda desoluciones

8. Tránsito de los diferentes registros derepresentación de una situación

9. Formulación de un plan de trabajo paraabordar situaciones problemáticas

10. Formulación, defensa y entendimiento deargumentos matemáticos

11. Interpretación y cuantificación de aspectos dela vida profesional y cotidiana

12. Análisis crítico sobre información de carácternumérico

13. Empleo de formas de pensamiento lógico

14. Habilidad para generalizar los problemas enotros contextos más cercanos al propio

15. Aplicación eficaz de los métodosalgorítmicos asociados a los contenidosconceptuales del curso

1. Actitud propositiva ante elconocimiento

2. Confianza en el uso de lasmatemáticas para resolverproblemas, comunicar ideas yrazonar

3. Perseverancia de llegar hastael fin de la tarea matemática

4. Valorar las matemáticas ennuestra cultura, comoherramienta y como lenguaje

5. Interés, curiosidad e inventivapara hacer matemáticas

6. Actitud científica ante lainterpretación de datos

7. Perseverancia en la búsquedade soluciones

8. Flexibilidad para modificar elpunto de vista

9. Camaradería honesta con suscompañeros de grupo

10. Aprecio por la culturamatemática y por susaportaciones al mundopersonal y profesional

11. Responsabilidad ante loscompromisos que exige elcurso

12. Superación continua de lacalidad del propio trabajo

13. Tolerancia, escucha,participación y respeto en eltrabajo en equipo y grupal


Estándares del NCTM para los Grados 9-12

1. Estándar de Número y Operaciones para los grados del 9 al 12

ExpectativasLos programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todoslos estudiantes —en los años escolares del 9–12 los estudiantes deben saber hacerlo—

1.1 Comprender los números, formas de representarlos, relaciones entre ellos y también sistemasnuméricos

•1.1.1 Desarrollar una comprensión más profunda sobre números muy grandes y muy pequeños y

varias representaciones de ellos;

•1.1.2 comparar y contrastar las propiedades de los números y sistemas numéricos, incluyendo los

números racionales y reales, ver los números complejos como soluciones de ecuacionescuadráticas que no tienen soluciones reales;

•1.1.3 comprender los vectores y las matrices como sistemas que tienen algunas propiedades del

sistema de números reales;

•1.1.4 usar argumentos de teoría de números para justificar relaciones que involucren a números

enteros

1.2 Comprender significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras•1.2.1 Juzgar los efectos de operaciones tales como multiplicación, división y cálculo de potencias y

raíces sobre las magnitudes de los números;

•1.2.2 desarrollar una comprensión de las propiedades, y representaciones, de la suma y

multiplicación de los vectores y matrices;

•1.2.3 desarrollar una comprensión de las permutaciones y combinaciones como parte de las

técnicas de conteo

1.3 Calcular con soltura y ser capaz de hacer estimaciones razonables•1.3.1 Desarrollar una soltura en operaciones con números reales, vectores y matrices, mediante el

cálculo mental o cálculos con lápiz y papel para casos simples y el uso de la tecnología paracasos más complicados;

•1.3.2 juzgar la sensatez de los cálculos numéricos y sus resultados


2. Estándar de Álgebra para los grados del 9 al 12


2.1 Comprender patrones, relaciones y funciones•2.1.1 Generalizar patrones al usar funciones definidas explícita o recursivamente;

•2.1.2 comprender relaciones y funciones y seleccionarlas, usar varias representaciones y pasar

fácilmente de unas a otras;

•2.1.3 analizar funciones de una variable al estudiar razones de cambio, intercepciones, ceros,

asíntotas y comportamientos locales y globales;

•2.1.4 comprender y realizar transformaciones como las combinaciones aritméticas, la composición

y la inversión de las funciones más comunes y, mediante el uso de la tecnología, hacer lasmismas operaciones con expresiones simbólicas más complicadas;

•2.1.5 comprender y comparar las propiedades de clases de funciones, incluyendo funciones

exponenciales, polinomiales, racionales, logarítmicas y periódicas;

•2.1.6 interpretar representaciones de funciones de dos variables

2.2 Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas al usar símbolos algebraicos•2.2.1 Comprender el significado de formas equivalentes de expresiones, ecuaciones,

desigualdades y relaciones;

•2.2.2 escribir formas equivalentes de ecuaciones, desigualdades y sistemas de ecuaciones y

resolverlas con soltura –mentalmente o con lápiz y papel en casos simples y utilizando latecnología en todos los casos;

•2.2.3 utilizar el álgebra simbólica para representar y explicar relaciones matemáticas;

•2.2.4 utilizar una variedad de representaciones simbólicas, incluyendo ecuaciones recursivas y

paramétricas, para funciones y relaciones;


•2.2.5 juzgar el significado, la utilidad y lo sensato de los resultados de las manipulaciones

simbólicas, incluyendo aquellos llevados a cabo con el uso de tecnología

2.3 Usar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones cuantitativas•2.3.1 Identificar relaciones cuantitativas esenciales en una situación y determinar la clase o clases

de funciones que podrían modelar las relaciones;

•2.3.2 usar expresiones simbólicas, incluyendo formas iterativas y recursivas, para representar

relaciones que surgen en varios contextos;

•2.3.3 obtener conclusiones razonables sobre una situación que se modeló

2.4 Analizar el cambio en varios contextos•2.4.1 Aproximar e interpretar razones de cambio de datos gráficos y numéricos

3. Estándar de Geometría para los grados del 9 al 12


3.1 Analizar las características y propiedades de formas geométricas de dos y tres dimensiones ydesarrollar argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas

•3.1.1 Analizar propiedades y determinar atributos de objetos de dos y tres dimensiones;

•3.1.2 explorar relaciones (incluyendo congruencia y semejanza) entre clases de objetos de dos y

tres dimensiones, formular y probar conjeturas sobre ellos y resolver problemas que losinvolucren;

•3.1.3 establecer la validez de conjeturas geométricas al usar la deducción, probar teoremas y

discutir los argumentos construidos por otros;

•3.1.4 usar relaciones trigonométricas para determinar medidas de longitudes y de ángulos

3.2 Especificar ubicaciones y describir relaciones espaciales al usar la geometría con coordenadas


y otros sistemas de representación•3.2.1 Usar coordenadas cartesianas y otros sistemas de coordenadas, como los sistemas de

navegación, polar o esférica, para analizar situaciones geométricas;

•3.2.2 investigar conjeturas y resolver problemas involucrando objetos de dos o tres dimensiones,

representados con coordenadas cartesianas

3.3 Aplicar transformaciones y usar simetrías para analizar situaciones matemáticas•3.3.1 Comprender y representar translaciones, reflexiones, rotaciones y dilataciones de objetos en

el plano al usar dibujos, coordenadas, vectores, notación de funciones y matrices;

•3.3.2 usar varias representaciones para ayudar a comprender los efectos de transformaciones

simples y sus composiciones

3.4 Usar la representación en la mente (visualización), el razonamiento espacial y la modelacióngeométrica para resolver problemas

•3.4.1 Obtener y construir representaciones de objetos geométricos de dos y tres dimensiones al

usar una variedad de herramientas;

•3.4.2 representar en la mente (visualizar) objetos y espacios de tres dimensiones desde diferentes

perspectivas y analizar sus secciones transversales;

•3.4.3 usar gráficas de vértice-lado para modelar y resolver problemas;

•3.4.4 usar modelos geométricos para comprender mejor situaciones, y responder preguntas, de

otras áreas de las matemáticas;

•3.4.5 usar ideas geométricas para resolver problemas, y mejorar la comprensión, de otras

disciplinas y otras áreas de interés como el arte y la arquitectura


4. Estándar de la Medición para los grados del 9 al 12


4.1 Comprender atibutos medibles de objetos y unidades, sistemas y procesos de medición•4.1.1 Tomar decisiones sobre las unidades y escalas que son apropiadas para situaciones

problemáticas que involucren medición

4.2 Aplicar técnicas, herramientas y fórmulas apropiadas para determinar mediciones•4.2.1 Analizar la precisión, la exactitud y el error de aproximación den las situaciones de medición;

•4.2.2 comprender y usar fórmulas para el área, área superficial y el volumen de figuras

geométricas, incluyendo conos, esferas y cilindros;

•4.2.3 aplicar en mediciones conceptos informales de aproximación sucesiva, cotas superiores e

inferiores y límite;

•4.2.4 usar análisis de unidades para comprobar cálculos de mediciones

5. Estándar de Análisis de Datos y Probabilidad para los Grados 9–12

ExpectativasProgramas instruccionales de prekinder al grado 12 que deberían capacitar a todos los estudiantes para—en los grados 9-12 todos los estudiantes deberían—

5.1 Formular preguntas que se refieran a datos y recolectar, organizar y presentar datos pertinentes pararesponderlas

•5.1.1 Entender las diferencias entre los distintos tipos de estudios y qué tipos de inferencias se pueden sacar

legítimamente de cada uno de ellos;

•5.1.2 conocer las características de los estudios bien diseñados, incluyendo el papel de la aleatorización en

encuestas y experimentos;

•5.1.3 entender el significado de los datos medidos y los datos categóricos, de los datos de una variable y dos

variables y del término variable;


•5.1.4 entender los histogramas, los diagramas de caja paralelos y los diagramas de dispersión, y usarlos para

presentar datos;

•5.1.5 calcular las estadísticas básicas y entender la distinción entre una estadística y un parámetro

5.2 Seleccionar y usar métodos estadísticos apropiados para analizar datos•5.2.1 Para datos medidos de una variable, ser capaces de mostrar la distribución, describir su forma y

seleccionar y calcular las estadísticas sumarias;

•5.2.2 para datos medidos de dos variables, ser capaces de mostrar un diagrama de dispersión, describir su

forma y determinar coeficientes de regresión, ecuaciones de regresión y coeficientes de correlaciónusando herramientas tecnológicas;

•5.2.3 presentar y discutir datos de dos variables cuando al menos una variable es categórica;

•5.2.4 reconocer cómo las transformaciones lineales de datos de una variable afectan la forma, el centro y la

dispersión;

•5.2.5 identificar tendencias en datos de dos variables y encontrar funciones que modelen los datos o

transformen los datos para que puedan ser modelados

5.3 Desarrollar y evaluar inferencias y predicciones que se basan en datos•5.3.1 Usar simulaciones para explorar la variabilidad de las estadísticas de muestra de una población conocida

y construir distribuciones de muestreo;

•5.3.2 comprender cómo las estadísticas de muestra reflejan los valores de los parámetros de la población y

usar distribuciones de muestreo como la base de inferencias informales;

•5.3.3 evaluar reportes publicados que se basan en datos mediante el examen del diseño del estudio, lo

apropiado del análisis de datos y la validez de las conclusiones;

•5.3.4 entender cómo las técnicas estadísticas básicas se usan para monitorear las características de los

procesos en los centros de trabajo

5.4 Comprender y aplicar los conceptos básicos de la probabilidad•5.4.1 Entender los conceptos de espacio muestral y distribución de probabilidad, y construir espacios

muestrales y distribuciones en casos sencillos;

•


5.4.2 usar simulaciones para construir distribuciones empíricas de probabilidad;

•5.4.3 calcular e interpretar el valor esperado de variables aleatorias en casos sencillos;

•5.4.4 entender los conceptos de probabilidad condicional y eventos independientes;

•5.4.5 entender cómo calcular la probabilidad de un evento compuesto

6. Estándar de Resolución de Problemas para los grados del 9 al 12

Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todoslos estudiantes:

• 6.1 Construir el nuevo conocimiento matemático a través de la resolución de problemas;

• 6.2 resolver problemas que surgen en las matemáticas y otros contextos;

• 6.3 aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver problemas;

• 6.4 revisar y reflexionar en el proceso de resolución de problemas matemáticos

7. Estándar del Razonamiento y la Demostración para los grados del 9 al 12


• 7.1 Reconocer el razonamiento y la demostración como aspectos fundamentales de lasmatemáticas;

• 7.2 formular e investigar conjeturas matemáticas;

• 7.3 desarrollar y evaluar argumentos y demostraciones matemáticas;

• 7.4 seleccionar y usar diversos tipos de razonamiento y métodos de demostración


8. Estándar de la Comunicación para los grados del 9 al 12


• 8.1 Organizar y consolidar su pensamiento matemático a través de la comunicación;

• 8.2 comunicar coherente y claramente su pensamiento matemático a sus compañeros,profesores y otras personas;

• 8.3 analizar y evaluar el pensamiento y estrategias matemáticas de otros;

• 8.4 usar el lenguaje de las matemáticas para expresar, justamente, las ideas matemáticas

9. Estándar de las Relaciones (Conexiones) para los grados del 9 al 12


• 9.1 Reconocer y usar las relaciones entre las ideas matemáticas;

• 9.2 comprender cómo las ideas matemáticas están interrelacionadas y apoyadas unas conotras para producir un todo coherente;

• 9.3 reconocer y aplicar las matemáticas en contextos distintos a los matemáticos.

10. Estándar de la Representación para los grados del 9 al 12


• 10.1 Crear y usar las representaciones para organizar, registrar y comunicar las ideasmatemáticas;

• 10.2 seleccionar, aplicar y pasar de una a otra representación para resolver problemas;

• 10.3 usar las representaciones para modelar e interpretar fenómenos físicos, sociales ymatemáticos


Inventario de estrategias

♦ Organiza la información en una tablaLas tablas pueden ayudar a identificar las partes que intervienen y mediante el análisisde las sucesiones de los valores de las columnas pueden orientar para identificar elpatrón. Si se dispone de una calculadora potente o de una computadora se puedeaprovechar la versatilidad de la hoja de cálculo.

♦ Busca un patrónLas regularidades que se identifiquen en las representaciones pueden contribuir aavanzar en la solución del problema. Cada representación tiene sus técnicas propiaspara identificar las regularidades.

♦ Haz un dibujo o un diagramaUn diagrama puede ayudar a organizar e integrar la información. Pueden ser dibujoscon características geométricas que conserven la escala y representen las característicasde la situación mediante puntos, rectas, y otros objetos geométricos. También puedenser diagramas de árbol o de flujo, según sea la situación que se quiera representar.

♦ Busca otra forma de representaciónEn algunas ocasiones, cambiar la forma de representar la información puede hacervisibles algunas características que permiten establecer relaciones y, así, avanzar en lasolución del problema. Las representaciones más comunes son la verbal, gráfica,numérica, algebraica y geométrica.

♦ Analiza un caso particular, pon un ejemploCuando es posible poner un ejemplo, se concretan las relaciones que hay entre lascaracterísticas de la situación. Si son varios los ejemplos se puede organizar lainformación que se genere en una tabla y aplicarle algunas técnicas para tratar deidentificar algún patrón.

♦ Planea un tanteo sistemáticoPuedes suponer algunos valores y analizar las consecuencias de tus suposicionesbuscando que se ajusten a las condiciones del problema y den respuesta a las preguntasplanteadas; puedes repetir este procedimiento refinando las respuestas, hasta queobtengas la respuesta correcta o una buena aproximación.

♦ Aplica la lupaPuedes emplear un tanteo sistemático para ubicar aproximadamente la zona, elintervalo, donde se encuentra la respuesta que buscas y aplicar un método deaproximaciones sucesivas mediante el cual puedas obtener respuestas más precisas ycuantificar el margen de error de tus respuestas.


♦ Toma una instantáneaEn aquellas situaciones en las que se pueda identificar un proceso, sea temporal o no,se trata de coagular el proceso y describir las características cuantitativas, depreferencia en una tabla, y analizar sus relaciones para avanzar en la identificación dealgún patrón.

♦ Mete reversaSi se supone un resultado, en ocasiones se puede reconstruir el proceso que conduce aél e identificar así un procedimiento de solución.

En cuanto a las estrategias, conviene que se registren e incorporen aquéllas que el profesoridentifique en sus grupos. Se pueden consultar otras estrategias en la ‘Tabla de Heurísticasmás frecuentes’ de A.H. Schoenfeld en los MAPOA, además de las que incluye Polya en sulibro ya clásico Cómo plantear y resolver problemas.

Algunas ligas relacionadas con las estrategias de RP.

http://msip.lce.org/jahumada/mrsg1010/unidad1/u1s1t2.htm#Organizar%20la%20información%20en%20una%20tabla

http://curry.edschool.virginia.edu/teacherlink/content/math/interactive/probability/numbersense/heuristics/home.html

A continuación presentamos las actividades propuestas para cada unidad.

http://msip.lce.org/jahumada/mrsg1010/unidad1/u1s1t2.htm#Organizar%20la%20informacin%20en%20una%20tabla

http://msip.lce.org/jahumada/mrsg1010/unidad1/u1s1t2.htm#Organizar%20la%20informacin%20en%20una%20tabla




Unidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicas

El estudiante manejará las propiedades básicas de las funciones logarítmicas y exponenciales a través de problemas desituaciones reales, lo que le permitirá incrementar sus habilidades interpretativas y destrezas operativas.

Horas Problemas Problemas conguía

ActividadesInternet

Ejercicios Lecturas Proyectos

1-3 El chisme Las ballenas deAlaska

El lenguaje de lasfunciones

Aspectosexternos

4-5 Dédalo yCalipso

Háganme lugar

Gauss, listillodesde chiquillo

Lee haciendopp. 591 a 602 de tu libro de

texto de Álgebra Álgebra conaplicaciones de Phillips et al

Haz los ejercicios cuyonúmero es de la forma

4n+13 pp. 602 a 606

El que noconoce a Dios

5-6 Vértigo La escala Richter Funciónexponencial

Lee haciendopp. 606 a 617.


4n+15 de la sección 10.2, pp.617 a 620

e

7-9 Incrementos Construcciones 1Usando Geómetra

Lee haciendopp. 621 a 630.


4n+11 de la sección 10.3, pp.630 a 633

10-12 Atenuadores Funciónlogarítmica

Haz los ejercicios cuyonúmero es múltiplo de 9 delos ejercicios de repaso, pp.634 a 636

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/4a_eso/Lenguaje_funciones.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/4a_eso/Lenguaje_funciones.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/Bach_CNST_1/Func-exp.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/Bach_CNST_1/Func-exp.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/Bach_CNST_1/Func-log.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/Bach_CNST_1/Func-log.htm


Unidad 2. Geometría euclidiana (1)

A partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos, postulados y teoremas de la geometría euclidiana que aplicaráen la resolución de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas y fomentar su razonamiento lógico.


ActividadesInternet


1-3 Tales de Mileto Tales

Construcciones 2

Homotecia ySemejanza

Lee haciendo el capítulo«Conceptos básicos deGeometría » del libro

Geometría y Experienciasde García Arenas y

Bertrán Infante

La Filosofía dela Matemática

La culturamatemática

4-5 El sope Viaje a Liliput conlas magnitudes

6-8 La torre Eiffel Construcciones 3 Proporcionalidad Geométrica

9-10 En Liliput Demostraciones 1 Lee haciendo el capítulo«Los polígonos» del libroGeometría y Experiencias

de García Arenas yBertrán Infante

11-13 El granjero:Esfuerzomínimo

Costo mínimo

Construcciones 4

Demostraciones 2

El teorema dePitágoras





ActividadesInternet


14-15 Las escalerascruzadas

Pitágorasgeneralizado

Construcciones 5

Razonestrigonométricas

Lee haciendo el capítulo«Proporcionalidad de

segmentos y semejanza »del libro Geometría y

Experiencias de GarcíaArenas y Bertrán Infante

El casete

16-18 El Progreso delPeregrino

Construcciones 6 Simetría einvariancia

19-21 Las aparienciasengañan

Demostraciones 3 Cónicas Lee haciendo el capítulo «El teorema de Pitágoras y

otras relaciones entriángulo» del libro

Geometría y Experienciasde García Arenas y

Bertrán Infante

Calculemos π

22-24 Hayrevoluciones

que engendran...

Construcciones 7

Demostraciones 4





ActividadesInternet


25-27 Dos tazas Un presuntotetraedro

Teorema dePitágoras

Topología La cienciapara todos

28-30 El vaso cónico Identidadesalgebraicas

Lee haciendo el capítulo«La circunferencia» del

libro Geometría yExperiencias de García

Arenas y Bertrán Infante31-32 Otra revolución Construcciones 8

La razón áurea

QED,demostraciones

y teoremas33-35 Simas

¡Qué lata!

Construcciones 9 Lee haciendo el capítulo«Áreas de figuras planas»

del libro Geometría yExperiencias de García

Arenas y Bertrán Infante


Unidad 3. TrigonometríaEl estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas, modelos geométricos que lepermitan resolver problemas.Horas Problemas Problemas con

guíaActividades

InternetEjercicios Lecturas Proyectos

1-3 En las entrañasdel ángulo

Construcciones 10

Demostraciones 5

Resolución detriángulos

rectángulos

Lee haciendo el capítulo«Trigonometría del

triángulo rectángulo» deTrigonometría de la serieTeoría y Práctica de H-B

Jovanovich,

Pi Mi detectorinfalible

4-6 La lata familiar

El mirón

El cálculo π segúnArquímedes

Gráficas de funcionestrigonométricas

7-9 Hipólito y Fedra

Sin segundasintenciones

Construcciones 11

Demostraciones 6

Las funcionestrigonométricas

Algunos ejercicios deTrigonometría

10-12 El jovenecologista

Los pasillos

Construcciones 12 Lee haciendo el capítulo«Trigonometría general»

de Trigonometría de laserie Teoría y Práctica de

Harcourt BraceJovanovich

13-15 El negro que nose raja

La banda de laspoleas

Construcciones 13 Razonestrigonométricas

OperacionesIdentidades y

ecuaciones

Identidades y ecuacionestrigonométricas

Cinta deMöbius y

orientabilidad

16-18 El pistón

El hogareñoCaronte

Demostraciones 7 Resolución detriángulos

oblicuángulos


2 . Materiales Auxiliares para el Aprendizajede los Alumnos (MAPOA)

No basta decirle a los alumnos que se pongan a estudiar. Lo que tiene que aprender, las habilidades adesarrollar y las actitudes requeridas no se logran simplemente al escuchar o leer acerca de ellas.Nuestros alumnos requieren de ciertos lineamientos, comentarios, referencias y sugerencias para queorganicen su trabajo y les permita cumplir con los requerimientos que tienen.

Los Materiales de Apoyo para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) se elaboraron con este fin.Por ello es necesario que los conozcas en detalle antes de que los alumnos lo tengan es sus manos. Deesta manera podrás referirte a ellos en el momento oportuno para que el alumno los incorpore poco apoco en su trabajo cotidiano en las diversas actividades de aprendizaje que realice.

Recuerda que tú también debes utilizar estos materiales cuando sea oportuno, pues el ejemplo querefuerza o contradice el discurso tiene una influencia a veces definitiva.

Parte de tu trabajo es dosificar la lectura e incorporación paulatina de lo contenido en estos materiales.Desde las primeras clases solicita a tus alumnos que recorten y enmiquen las fichas para que las tengana la mano para una consulta rápida y al mismo tiempo evitar que se vuelvan inservibles por romperse oborrarse su contenido.

Los MAPOA contienen el modelo PER, La heurística, el portafolios, las fichas y formatos deevaluación, además de documentos de introducción. Desde luego puedes agregar otros documentos quejuzgues necesarios. Si encuentras que falta algo en estos materiales, agrégalo y coméntalo con tuscompañeros de la escuela donde laboras (mejor aún si te comunicas con el resto a través de Internet).

A continuación te presentamos uno de los documentos de los MAPOA acompañado de comentariosacerca de su uso o aspectos relevantes para su discusión con los alumnos.


Sobre resolución de problemas y juegos*

Para desarrollar esta actividad no tienes que construir ni manipular ningún material, sólo debes leer conatención lo que sigue y reflexionar sobre la lectura, ya que en las próximas actividades deberás recordarlo que aquí se dice.¿Qué es un problema o un juego matemático?Es una situación que implica un propósito u objetivo que hay que conseguir, y que es aceptada comoproblema por alguien. Sin esa aceptación no hay problema. Hay obstáculos para alcanzar ese propósito,y requiere deliberación, ya que el que lo afronta no conoce ningún algoritmo o procedimiento pararesolverlo.Un problema debe representar un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo. Ademásdebe tener interés en sí mismo, estimular el deseo de proponerlo a otras personas: no debe ser unproblema con trampa o un acertijo, ni dejar bloqueado inicialmente a quien lo ha de resolver.No confundas problema con ejercicio: éstos son cuestiones que de un golpe de vista se ve en quéconsisten y cuál es el medio para resolverlas. A la hora de resolver un ejercicio se suele tener a la manouna receta que facilita su solución y en general la resolución de un ejercicio exige poco tiempo,situaciones que no suelen darse ante un problema o juego.¿Qué es resolver un problema o juego?La resolución de un problema o juego es un proceso de acontecimientos que nos lleva a recorrerdiferentes etapas en un viaje: aceptar el desafío, formular las preguntas adecuadas a cada caso,clarificar el objetivo, definir y ejecutar el plan de acción y evaluar la solución. Llevará consigo el usode la heurística (el arte del descubrimiento), pero no de una manera predecible, porque si el método(que no existe) pudiera ser predicho de antemano, se convertiría en un algoritmo pasando de problemaa mero ejercicio.Todo esto comporta, para cada uno de los problemas a resolver, una inmersión en el mundo particulardel problema, poniendo de manifiesto las técnicas, habilidades, estrategias y actitudes personales decada individuo que aborda el problema.La resolución de problemas es un proceso, no un procedimiento paso a paso: es fundamentalmente unviaje, no un destino (…"no hay camino, se hace camino al andar"). Este viaje queda plasmado en ircubriendo las siguientes etapas: deseo de acercarse al problema, aceptar el desafío, correr un riesgo,hallar la respuesta, comprender una pregunta, descubrir nuevos conocimientos o crear una solución.¿Quién es un buen resolvedor de problemas?El que tiene deseo de afrontarlo (yo quiero), acepta el desafío con entusiasmo (yo puedo), está enposesión del equipamiento de técnicas y estrategias (heurística) matemáticas oportunas (estoydispuesto a aprenderlas) y tiene talento para ello (aunque el talento es fundamental para llegar lejosen el viaje, no lo es para disfrutar de él). Y por fin, el que practica las virtudes de la paciencia y laperseverancia.¿Qué se aprende resolviendo problemas?Se aprende fundamentalmente a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento, a dominarnuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos, nuestra autoestima.¿Cuál es la mejor forma de resolver problemas?La única forma es resolviendo problemas. Cada problema afrontado, con o sin éxito, nos enseña aresolver el siguiente. De alguna manera se aprende a aprender, por eso es interesante esta actividad. * Tomada de: J. L. Antón Bozal, et al, Taller de Matemáticas, Madrid, Narcea Ediciones y MEC de España,1994.


Pero recuerda que ésta, como todo arte, es una actividad que requiere fe (en que puedes), coraje (enque quieres), humildad (porque no lo sabes todo) y disciplina (estás dispuesto a esforzarte porseguir aprendiendo).

Regla de oro: Lo que importa es el camino

Siempre debes tener en cuenta que lo que importa es el camino. No pongas la mira en el éxito, sino enel proceso. Es el proceso el que te enseña. Un problema resuelto es un problema muerto, pero si aún sete resiste, vive en ti como problema.Bloqueos y DesbloqueosDijimos anteriormente que un problema constituye un auténtico reto. Sabemos, más o menos, a dóndequeremos llegar, pero ignoramos el camino. Ante esta situación caben actitudes positivas comoconfianza, tranquilidad, disposición de aprender, curiosidad, gusto por el reto, etc., y otras negativas obloqueos que pueden obstaculizar nuestro avance como miedo a lo desconocido, nerviosismo, prisa poracabar o cierta desazón ante la prueba.En la tabla siguiente puedes ver los tipos de bloqueos que nos pueden afectar y algunas pautas parareflexionar sobre ellos e intentar superarlos.

Bloqueos de origen Pautas para superar los bloqueosAfectivo

Apatía, abulia, pereza por elcomienzo

Miedo al fracaso, a laequivocación, al ridículo

Ansiedades Repugnancias

♦ Piensa en las distintas formas de comenzar tu tarea.Escoge una y comienza

♦ El inicio puede tener carácter provisional

♦ Los fallos y equivocaciones nos enseñan sobre lasformas adecuadas de proceder

♦ Aminorar la hiperactividad cuando nos percatamosde estar empujados a ella

♦ Actúa ocasionalmente contra la tendencia que tearrastra

Cognoscitivo Dificultades en la percepción

del problema Incapacidad de desglosar el

problema Visión estereotipada

♦ Examinar cómo otros se enfrentan con actividadesparecidas y comparar procedimientos

♦ Tratar de descomponer en partes más sencillas.Establecer prioridades

♦ Permanecer abierto a lo extrañoCulturales y Ambientales

La sabiduría popular dice:"Busca la respuesta correcta""Esto no es lógico""Hay que ser práctico"

♦ No te contentes con la primera respuesta, buscavarias respuestas.

♦ Déjate llevar por ideas imaginativas y por tufantasía.

♦ Cultiva, en lo posible, la actitud lógica

♦ Juega con tus problemas


Autoexamen sobre tu manera de pensarLa resolución de problemas nos debe llevar a entender el funcionamiento de nuestro propiorazonamiento, a dominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos. Endefinitiva, nos ayuda a conocernos mejor a nosotros mismos. El conocerte a ti mismo, en ese ámbito, teproporcionará la posibilidad de utilizar tus recursos de la forma más eficaz posible y alcanzar conseguridad un conocimiento más pleno.Lee con atención, reflexiona detenidamente y escribe con cuidado y orden las respuestas a lassiguientes cuestiones:

1. Cuando te enfrentas a un problema, ¿con qué papel de los siguientes te identificas más?investigadorexploradornegociantedetectiveactormatemáticoprofesorjuezconstructorconductor de cochescientíficoel más listo de la claseExplica brevemente tu elección.

2. Cuando te enfrentas a un problema, ¿con qué estado de animo te identificas más?optimistavigilanteangustiadopesimistaderrotadoaburridodesanimadocríticodivertidoindiferentedisgustadotranquiloExplica brevemente por qué.

3. ¿Qué es lo que más te ayuda a concentrarte? El silencio, la paz, la tranquilidad, la música, viajar,pasear, contemplar el paisaje, etc. Explica por qué.

4. Si no te sale un problema, ¿qué prefieres hacer: continuar a pesar de todo, olvidarte de él por untiempo, abandonarlo definitivamente, seguir pensando en él en casa? Explica por qué.

5. A la vista de la tabla de bloqueos, ¿de qué tipo son los bloqueos que encuentras al resolver unproblema? Explica por qué.

6. ¿Qué buscas en la resolución de problemas: entretenimiento, ejercicio, cumplimiento de un deber,satisfacer mi curiosidad, autosuperación, preparación más eficaz, etc.? Explica por qué.


7. ¿Cómo eres respecto al trabajo? Me cuesta ponerme en marcha, soy de esfuerzos prolongados, mecanso y me aburro fácilmente, soy de intensos altibajos. Explica cuál puede ser la causa.

8. En el trabajo, ¿qué te produce más satisfacción: pensar autónomo, observar, mirar como lo hacenlos otros, explorar, repetir, repasar, asegurarse, no trabajar? ¿Qué es lo que más trabajo te cuesta?

9. ¿Qué tipos de problemas son los que más te gustan?10. Tu pensamiento, ¿anda casi siempre bajo control o a ratos anda vagando y divagando? ¿Cuál crees

que sea la causa?

ComentarioEsta actividad se puede combinar con alguna de las primeras experiencias de resolución de problemas,de preferencia con la primera, ‘El chisme’. Así se brinda una oportunidad a los estudiantes de discutirsobre la resolución de problemas inmediatamente después de vivir una experiencia como bienvenida alnivel medio superior. De esta manera, los estudiantes tendrán a la mano detalles para ejemplificar losaspectos que se tratan en la lectura. A partir de las respuestas se hace una descripción del grupo segúnsu estilo de resolución de problemas y su manera de pensar. Entre los puntos que se pueden discutir conprovecho están los siguientes:♦ ¿Es mejor un papel que otro? ¿Por qué?♦ ¿Qué características son comunes a varios papeles?♦ ¿Hay estados de ánimo que contribuyen a tener éxito en la resolución de problemas?♦ ¿Qué papel desempeña la concentración en la resolución de problemas y en el estudio de lasmatemáticas?♦ ¿Cuáles son los bloqueos más frecuentes en el grupo?♦ ¿Cómo se pueden seguir las pautas para superar los bloqueos? ¿Son pautas de sentido común? ¿Enqué tipo de argumento se sustentan?♦ ¿Cuál sería una distribución deseable de las características del grupo? ¿Qué estrategias se puedenaplicar para lograrla?En la discusión de otros MAPOA es conveniente usar la información recabada en esta actividad.Al final del curso se puede volver a aplicar el autoexamen para contrastar las distribuciones y describirla evolución del grupo con respecto a las categorías que comprende.


3 . ProblemasEn una sesión resolución de problemas se integran varios procesos. Es, tal vez, el tipo más importantede actividades debido a la riqueza tan grande que ofrece al estudiante, sin embargo también es una delas más difíciles de implementar, requiere más tiempo y presenta mayor dificultad para los estudiantes.En la resolución de problemas los alumnos trabajan por equipo, exponen y reportan y validan susolución. En todo momento está presente la discusión y argumentación matemáticas, y es pertinente eluso de casi todos los materiales auxiliares para la organización del aprendizaje (MAPOA). Unaactividad de resolución de problemas difícilmente queda concluida en una primera aproximación alproblema, pero dependiendo del grado de avance y el objetivo de aprendizaje, la actividad se puederetomar posteriormente en clase o extraclase.

Recordemos el contenido de una de las fichas de los MAPOA acerca de las características de unproblema.

Un problema es una situación matemática o extramatemática que no tiene una solución inmediata,admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones, puede consumir mucho tiempo,quizás varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental, imaginación y creatividad.Además, un buen problema no es paralizante, no es inmediato, es potencialmente soluble, es generadorde conjeturas y preguntas, es controlable por parte del alumno, es decir, el alumno puede generarcriterios para decidir cuándo está resuelto el problema, genera un conflicto emocional y contribuye aque el alumno produzca conocimientos nuevos o reorganice los que ha adquirido.

En sesiones de resolución de problemas se busca la vinculación de las herramientas matemáticas conuna dimensión de uso, se introducen conceptos matemáticos utilizando contextos, se interactúa con unasituación familiar, o no, en la que se requiere de las matemáticas y se formulan y responden preguntasque contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos. Se pretende que el alumno haga usode las matemáticas con las que cuenta para dar respuesta a las preguntas planteadas en el contexto de lasituación, busque conexiones entre diferentes registros de representación, logre diferentes vías deacceso trabajando varios enfoques, generalice sus soluciones y reformule, ampliándolo, el problema enotros campos, genere criterios para validar interpretaciones y los modelos matemáticos, surjan yevolucionen los conceptos matemáticos como respuesta a sus propias preguntas, y desarrolle actitudesque le permitan enfrentar y manejar situaciones complejas con un alto grado de incertidumbre.

Así, un problema ofrece una oportunidad para que el alumno logre adquirir varios aprendizajesimportantes, pero para ello es necesario que cuando se le proponga un problema, él se involucre, loacepte como propio, lo haga suyo, es decir que se olvide que el problema se lo propuso el profesor yque se concentre en la búsqueda de su solución.Es posible que nuestros alumnos no estén acostumbrados a resolver problemas, sino a ver que otros lohagan, especialmente el profesor. Cuando varios alumnos sólo leen el enunciado del problema y deinmediato dicen “no entiendo”, podemos desesperarnos y en nuestro afán de ayudarles, terminar por sernosotros quienes resolvamos el problema que ya no fue, mientras los alumnos sólo toman anotacionesde lo hecho en el pizarrón. Cuando esto sucede, la actividad perdió toda su riqueza como medio y finde aprendizaje.Desde luego tampoco hay que dejar a nuestros alumnos solos esperando simplemente a que terminen elproblema. Necesitan apoyo, pero mediante preguntas y comentarios que hagamos de su trabajo.


Los MAPOA son importantes para cuando los alumnos resuelven problemas. Hay que solicitarles querecorten copias de las fichas, que las enmiquen y que siempre las tengan a la mano, para poderconsultarlas con facilidad. Un documento especialmente importante para resolver problemas es LaHeurística de Schoenfeld. En él se describe una estrategia sistemática que facilita resolver unproblema. También se describen estrategias heurísticas que llegan a ser muy útiles al resolverproblemas. Conviene que tengamos este escrito a la mano para no perder oportunidad de comentarlocuando se resuelven problemas e identificar y destacar estrategias heurísticas que se utilizan.

Una sesión de resolución de problemasPara aprovechar de la mejor manera las posibilidades de aprendizajes y desarrollo de habilidades en losalumnos es necesario preparar cuidadosamente las sesiones de resolución de problemas. Para crear lascondiciones propicias para el logro de aprendizajes y desarrollo de habilidades en los alumnosnecesitamos planear, instrumentar y evaluar las actividades llevadas a cabo en el curso. La importanciade esto en una sesión de resolución de problemas se manifiesta cuando nos enfrentamos ante lanecesidad de improvisar durante la instrumentación. Si tenemos claro cuáles son los objetivos de lasesión y la manera de lograrlo, además de anticipar dificultades en los alumnos, es más fácil improvisarsin que se pierdan los objetivos de la actividad, es decir, sin que perdamos el control de la sesión.

Una sesión completa de resolución de problemas consta de tres momentos: la resolución de laactividad, la presentación y discusión de las soluciones, y, los anexos y la retroalimentación.

En la resolución de la actividad los alumnos trabajan en equipo y escriben al mismo tiempo el reportede su trabajo. Al trabajar en equipo es más fácil que los alumnos comenten sus dudas, proponganprocedimientos para resolver la situación propuesta, lo lleven a cabo y lleguen a resultados. Nosotroshacemos recomendaciones para la organización del trabajo de los equipos, planteamos preguntas ydamos sugerencias a los equipos de acuerdo al trabajo desarrollado por cada uno. Debemos evitarexpresiones como “Están bien, ese es el resultado”, “Están mal en su resultado. Empiecen de nuevo”. Yes que más adelante, en la presentación y discusión de las soluciones, todo el grupo, no nosotros, debevalidar las soluciones discutidas.

El trabajo en equipo no deja de tener riesgos, que en lugar de impulsar el aprendizaje, lo dificulte. Hayfichas sobre esto en los MAPOA. Hay que pedirles a los equipos que las utilicen cuando seapertinente.

En la presentación y discusiones de las soluciones elegimos a dos o tres equipos para que presenten ydiscutan ante los demás sus soluciones. En cada momento el equipo que se encuentra al frente es quiendirige la discusión. Nuestra participación es como la de los alumnos, es decir, debemos solicitar lapalabra al equipo que dirige la discusión. Unos minutos antes de que pase un equipo les avisamos paraque se organicen. Debemos estar al pendiente de que la discusión que se tenga corresponda a losobjetivos de aprendizaje identificados en la planeación.


Los momentos de una sesión de trabajo

El profesor

• Selecciona la actividad de aprendizajepropicia a resolver en esasesión

• Propone y organiza la actividad deaprendizaje

• Hace preguntas y sugerencias alestudiante de acuerdo a lineamientos

preestablecidos

• Atiende el trabajo de todos losequipos

• Decide el orden de presentación delas soluciones.

Los estudiantes

• Trabajan por equipo o individualmentesobre la actividad propuesta por el profesor

• Elaboran un reporte por escrito endonde se registre el proceso desolución

• Organiza la presentación oral de sussoluciones a todo el grupo deestudiantes

El profesor

• Selecciona a los equipos y el orden depresentación

• Dirige la discusión de las solucionessegún el objetivo de la actividad

.

Los estudiantes

• Presentan, si se les solicita, su soluciónal resto del grupo

• Intervienen en la presentación de lassoluciones de los otros estudiantescon el propósito de validarlas comogrupo

Tercer momentoLos anexos y la retroalimentación

El profesor

• Comenta con los estudiantes susreportes de sesiones anteriores

• Define, de acuerdo a los resultados,obtenidos, la próxima actividad propicia de resolver

Los estudiantes

• Retoman, individualmente, el trabajorealizado en el primer momento y lovinculan con la discusión general

• Evalúan su trabajo y el otros equipos

Segundo momentoLa presentación y discusión de soluciones

Primer momento

La resolución de la actividad


En los anexos y la retroalimentación los alumnos evalúan su trabajo y el de otros equipos,además de que se les solicita que de manera individual entreguen de un anexo del problematratado y discutido.

En la introducción de este Libro del Profesor se tienen comentarios más amplios sobre laplaneación, instrumentación y evaluación. Aquí sólo destacamos la importancia delcontraste entre el análisis previo que se concreta en los documentos de la planeación (loslineamientos para la interacción con los equipos, el guión de discusión, la solución dereferencia y el precepto de evaluación) y el análisis posterior de la situación. Estacomparación entre lo esperado y lo obtenido proporciona los elementos para la elaboraciónde la historia del problema que nos permitirá hacer un registro cada vez más robusto de lasinteracciones posibles, las formas de comprensión y el uso de las matemáticas que hacenlos alumnos. Aún cuando un primer análisis puede ser muy rudimentario, el manejosucesivo de la actividad dentro del salón de clases hará que esta historia del problema seconstituya en un saber propio de nosotros los profesores.

Problemas, problemas con guía y proyectosEn las actividades de aprendizaje se habla de problemas, problemas con guía y proyectos.En realidad las tres actividades son problemas. Todas ellas comparten la misma idea deproblema que mencionamos en los párrafos anteriores. Expliquemos la diferencia que hayentre ellas.

I. Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo quese quiere que haga y responda el alumno. El tiempo estimado para discutirloprovechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado.

II. Problema con guía: Además del enunciado, contiene un cuestionario o unasecuencia de pasos que le permiten al estudiante seguir avanzando en elproblema, usualmente de situaciones sencillas a otras más complejas. Tambiénel tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una a doshoras de haberlo trabajado.

III. Proyecto: Es un problema, o problema con guía, que requiere más de doshoras de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que elestudiante tenga que generar él mismo los datos y una parte importante deltrabajo la tenga que hacer fuera del salón de clases.

Mencionamos algo más sobre los problemas con guía. Como en los problemas y proyectos,este tipo de actividades se trabaja en equipo y es recomendable al introducir de maneradeliberada alguna herramienta matemática en particular, debido a que preparan alestudiante en herramientas heurísticas importantes y generan confianza al trabajar enequipo. La resolución de problemas con guía permite que se pueda llegar a resolver elproblema planteado siguiendo una serie de pasos establecidos, aun cuando el problema ylas instrucciones requieran una interpretación. Debemos vigilar el progreso de los equiposdurante su tiempo de trabajo y destacar la importancia de los pasos que se sugieren dentrodel contexto del problema; hay que evitar que los estudiantes trivialicen la actividad,


resumiéndola a una serie de procedimientos matemáticos o a contestar exclusivamente lospuntos que el cuestionario está estableciendo. Hay que recordar que la experiencia deaprendizaje puntualiza cuestiones en las que el estudiante debe profundizar.

En el curso de Geometría y Trigonometría hemos considerado un tipo especial deproblemas: las Construcciones y las Demostraciones, que se le sugiere a los estudiantesincorporar a su portafolios en una sección de ‘Conjeturas y Teoremas’. Estas actividades deaprendizaje, según lo ha descrito Chazan, permiten el desarrollo de algunas habilidadesparticulares y requieren de un cambio de creencias.

Catálogo de Habilidades• La habilidad de verificación. Los estudiantes deben aprender a

usar los datos para verificar proposiciones o aportar contraejemplos;decidir qué mediciones u operaciones son importantes para convencernos yconvencer a los demás (aquí hay una oportunidad de contribuir a lacomprensión de la expresión condiciones suficientes);desarrollar y organizar formas de presentar los datos.

• La habilidad de formular conjeturas. Los estudiantes deben aprender ausar sus conocimientos anteriores y sus observaciones para formularconjeturas;distinguir entre las conjeturas interesantes y aquéllas que carecen de interés,planteándose preguntas como:¿Se ha establecido esta conjetura anteriormente?¿Es la conjetura una consecuencia directa de algún resultado conocido?¿Es generalizable esta conjetura?

• La habilidad de generalización. Los estudiantes deben aprender areconocer cuando una conjetura está subgeneralizada y se puede generalizar;cambiar el tipo de datos o condiciones en un problema para plantear nuevaspreguntas y al cabo desarrollar conjeturas más generales.

• La habilidad de demostración. Los estudiantes deben aprender adecidir cuando una proposición requiere una prueba o demostración;extraer «lo que está dado» de un dibujo o construcción y «lo que se quiereprobar» de una conjetura para construir proposiciones de la forma si-entonces;construir pruebas informales de proposiciones por medio de marcas en losdibujos que denoten las condiciones necesarias o por medio de algún códigofuncional;hacer secuencias de conjeturas para facilitar la redacción de las pruebas.

• La habilidad de comunicación. Los estudiantes deben aprender atrabajar en equipo, lo que requiereque respeten las opiniones ajenas pero que estimulen explícitamente elpensamiento de los otros.

• Escribir reportes que resuman su trabajo, individualmente y por equipos, lo queimplica las habilidades de:

Hacer secuencias de conjeturas;traducir las ideas que ellos creen verdaderas en conjeturas escritas que seaninteligibles para el lector;


escribir pruebas tanto formales como informales.

Creencias sobre la GEOMETRÍALas habilidades anteriores pueden contribuir a que los estudiantes comprendan ylleguen a creer algunas ideas importantes para la formación de una actitud quepropicie un verdadero quehacer matemático.• No se ha creado o descubierto toda la matemática.• Los estudiantes pueden crear, descubrir o hacer matemáticas —otros pueden haber

encontrado anteriormente los resultados, pero esto no debe menguar el gozo de lainvención.

• Las mediciones jamás pueden demostrar una proposición matemática, en particulargeométrica. Las mediciones tienen una precisión limitada: dos cantidades puedentener medidas iguales pero su relación geométrica puede no ser de igualdad, lomismo que dos cantidades pueden tener medidas distintas pero su relacióngeométrica puede ser de igualdad. En contraste con las mediciones, una buenademostración nos asegura que, dentro del sistema aceptado de definiciones,postulados y teoremas, una relación geométrica particular puede ser de igualdadexacta.

• Hay semejanzas y diferencias relativas a los significados de las palabrasdefinición, postulado, axioma, conjetura, observación y teorema.

• La formulación de definiciones y postulados implica una elección. Losmatemáticos toman estas decisiones. En la geometría euclidiana, estas eleccionesdeterminan cuáles proposiciones son teoremas y el orden en que se puedendemostrar. Cuando una clase se torna en una «comunidad de discentes» estacomunidad puede crear sus propias definiciones y tomar sus propias decisiones.

• Una demostración de una proposición, que una vez demostrada se convierte enteorema, prueba que «lo que se quería demostrar» o la conclusión es verdaderopara todos los dibujos que satisfagan «lo que está dado» o la hipótesis de laproposición; las mediciones que se realicen sólo pueden proporcionar laverificación en un ejemplo particular. Una buena demostración te asegura que nohas sobregeneralizado.

• En la geometría de bachillerato, una buena demostración explica por qué esverdadera una proposición, no sólo que es verdadera, relacionándola con elmaterial previamente conocido.

Una buena herramienta para la comprensión es un paquete de geometría dinámica, hayvarios, tanto comerciales como de uso gratuito, que pueden utilizar. Vale la pena quebusquemos incorporar estos paquetes en nuestro trabajo con los alumnos haciendo unesfuerzo para que por lo menos una sesión de dos horas semanales la realicemos en el aulade cómputo.

A continuación presentamos varios ejemplos de problemas, problemas con guía yconstrucciones. La intención es mostrarte cómo podemos explotar la riqueza como mediode aprendizaje que tiene un problema, a partir de un análisis cuidadoso del mismo.


Ejemplo de problema: “El progreso del peregrino”EnunciadoLa posición inicial del triángulo equilátero ABP, de lado a, se muestra en la figura. Eltriángulo se mueve, girando con respecto a uno de sus vértices, en el sentido positivoconvencional, dentro del cuadrado ACDE, de lado 2a.

Calcula la longitud del recorrido que hace el punto P desde su posición inicial hasta que elmismo punto P vuelve a ocupar exactamente su posición original.

SoluciónEl sentido positivo convencional es el contrario al de las manecillas del reloj. Así que el

primer giro será de 30°, o de 6π radianes, con respecto al punto A.

Rotación 1: 30 ° con respecto a A. Elvértice peregrino pasa de P0 a P1.

Rotación 2: 120° con respecto a P. Elvértice peregrino pasa de P1 a P1.

En la figura se ilustran los dos primeros giros. Se requieren ocho giros para que el triánguloocupe la posición que tenía al principio, pero el vértice peregrino P no regresa a su posiciónoriginal. Registramos en una tabla los giros y los desplazamientos del vértice peregrino.


Rotación 1: 30 ° con respecto a A P0 a P1Rotación 2: 120° con respecto a P P1 a P1Rotación 3: 30° con respecto a B P1 a P2Rotación 4: 120° con respecto a A P2 a P3Rotación 5: 30° con respecto a P P3 a P3Rotación 6: 120° con respecto a B P3 a P4Rotación 7: 30° con respecto a A P4 a P5Rotación 8: 120° con respecto a P P5 a P5

Al cabo de esta vuelta, que comprende ocho giros, P ocupa la posición que tenía B, B la deA y A la de P. Advertimos entonces que después de dar una segunda vuelta P ocupará laposición que tenía originalmente A y será al concluir la tercera vuelta que P regresará a laposición que ocupaba originalmente.

En los ocho giros que ha realizado eltriángulo, el vértice peregrino P harecorrido cinco arcos y en tres no se hadesplazado porque ha sido el centro de larotación. De los cinco arcos, tres son de30° y dos de 120°, que equivale a un arco

de 330°, es decir )2(1211 aπ , o bien aπ

611 .

Registramos de la misma manera que la primera, la segunda y la tercera vueltas:

Rotación 9: 30° con respecto a B P5 a P6Rotación 10: 120° con respecto a A P6 a P7Rotación 11: 30° con respecto a P P7 a P7Rotación 12: 120° con respecto a B P7 a P8Rotación 13: 30° con respecto a A P8 a P9Rotación 14: 120° con respecto a P P9 a P9Rotación 15: 30° con respecto a B P9 a P10Rotación 16: 120° con respecto a A P10 a P11

Al realizar la Rotación 16, el triángulo ocupa la posición original pero el vértice peregrinoP, no. Como habíamos anticipado P ocupa la posición de A, B la de P y A la de B.


En los ocho giros que ha realizado el triángulo, el vértice peregrino P ha recorrido seisarcos y en dos no se ha desplazado porque ha sido el centro de la rotación. De los seis

arcos, tres son de 30° y tres de 120°, que equivale a un arco de 450°, es decir )2(45 aπ , o

bien aπ25 .

Rotación 17:30° con respecto a P. P11 a P11.Rotación 18: 120° con respecto a B. P11 a P12.Rotación 19: 30° con respecto a A. P12 a P13.Rotación 20: 120° con respecto a P. P13 a P13.Rotación 21: 30° con respecto a B. P13 a P14.Rotación 22: 120° con respecto a A. P14 a P15.Rotación 23: 30° con respecto a P. P15 a P15.Rotación 24: 120° con respecto a B. P15 a P16.


Al realizar la Rotación 24, el triángulo ocupa la posición original con el vértice peregrino Pen su posición original.En los ocho giros que ha realizado el triángulo, el vértice peregrino P ha recorrido cincoarcos y en tres no se ha desplazado porque ha sido el centro de la rotación. De los cinco

arcos, dos son de 30° y tres de 120°, que equivale a un arco de 420°, es decir )2(67 aπ , o

bien aπ37 .

El progreso del peregrino en sus tres vueltas:

Puesto que un arco de 30° es la doceava parte de la circunferencia de radio a y 120° es latercera parte de la misma circunferencia, sumamos los arcos:Hay 3 de 30° y 2 de 120| en la primera vuelta.Hay 3 de 30° y 3 de 120° en la segunda vuelta.Hay 2 de 30° y 3 de 120° en la tercera vuelta.

La suma de 128 y

38 es

310 de circunferencia. Así el progreso total del peregrino es

)2(3

10 aπ , o bien aπ320 . Que en grados corresponde a un arco de 330° + 450° + 420° =

1200°, es decir, tres vueltas de 360° cada una, más 120°.


Formato para la clasificación de problemas

Título El progreso del peregrino1. Experiencia de aprendizaje 1.1 Resolución de problemas2. Modalidad de trabajo 2.1 Individual

2.2 Equipo (parejas)Parejas con reporte individual

3. Lugar de realización 3.1 Salón de clases o3.2 aula de cómputo

4. Herramientas tecnológicas 4.1 Juego de geometría4.2 Ambientes computacionales (Paquete de geometría dinámica)

5. Tiempo 50 minutos6. Producto 6.1 Reporte de RP7. Referencias curriculares 7.1 Contenidos

7.1.1 Conceptuales2.4 Propiedades del triángulo,2.6 Polígonos,2.7 Circunferencia y círculo.

7.1.2 ProcedimentalesP2, P3, P4, P9.

7.1.3 ActitudinalesA3, A9, A13.

CBEBC1, C2, C3, C7.

Estándares NCTME1.3E2.1E3.1, E3,3, E3.4E4.1E6E7E8E9E10

8. Representaciones 8.1 Textual→ 8.5 Geométrica→ 8.2 Tabular9. Estrategias Organiza la información en una tabla

Busca el patrón de cada elemento10. Evaluación Evaluación del reporte individual incluyendo las construcciones

realizadas pulcramente con juego de geometría o con algúnpaquete de computadora.Evaluación de la presentación.

Observaciones En la discusión es importante aplicar la estrategia de formulaciónde problemas ¿Qué pasaría si ...? para dar lugar a la identificaciónde los patrones y a la formulación de conjeturas.


Ejemplo de problema Dédalo y CalipsoEnunciadoEn una ciudad chica hay dos misceláneas, La gruta de Calipso y El laberinto de Dédaloque compiten por 1000 clientes potenciales. Cada mes, 80% de los clientes de La gruta deCalipso queda satisfecho y regresa a comprar ahí mismo, mientras que el 20% restanteprefiere irse al El laberinto de Dédalo. En cambio, de los clientes de El laberinto deDédalo, sólo 70% queda satisfecho, el otro 30% se va a La gruta de Calipso. El número declientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar enuna miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra, ¿cuántos clientes habrá encada tienda en ese momento?Resuelve el mismo problema suponiendo que al principio hay 500 clientes en cada tienda yobservando cómo evoluciona la situación mes por mes. ¿Qué ocurre si se suponen otrosdatos iniciales, por ejemplo, 700 clientes en una miscelánea y 300 en la otra, etcétera?

Solución 1 de la primera parte:«El número de clientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejande comprar en una miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra»

El número de clientes que dejan de comprar en La gruta de Calipso es 0.2c y el número declientes que dejan de comprar en El laberinto de Dédalo es 0.3d (0.2c = 0.3d), pero,además, sabemos que c + d = 1000, así que, c = 600 y d = 400.

Solución 2 de la primera parte:El número de clientes se estabiliza cuando de un mes a otro ya no cambian. Así, según elenunciado,

La gruta de Calipso c El laberinto deDédalo d

penúltimo mes 0.8c + 0.3d 0.7d + 0.2cúltimo mes c = 0.8c + 0.3d

0.2c = 0.3dd = 0.7d + 0.2c0.3d = 0.2c

pero c + d = 1000c = 600 y d = 400


Hay otras soluciones posibles, como la aplicación aritmética de las relaciones o laidentificación de la progresión geométrica sin llegar a considerar el caso de cualquierdistribución de la clientela inicial, que pueden sugerir el límite.

En este problema hay, en principio, dos formas de enfrentarlo, después de hacerse una ideade la situación:

(1) Traducir la condición de estabilidad a una expresión algebraica y encontrar larespuesta.(2) Poner a funcionar la situación y explorar las tendencias.

Si bien se puede pensar en otros tipos de representaciones, las soluciones previstas transitanentre los registros textual, numérico, algebraico y gráfico. La gráfica puede dar indicios delmodelo exponencial.

Las sugerencias se concentran entonces en:


hacer explícitas las interpretaciones durante la lectura,la situación y su funcionamiento,la organización eficaz de la información que resulta,la identificación de las estructuras de las operaciones que se realizan.

Lineamientos para la actuación de los profesores durante el trabajo en equipoContribuir mediante preguntas (acerca de la interpretación que hacen) y sugerencias(consulta las fichas y la tabla de heurísticas, dale sentido a la situación, ponla afuncionar) a que se supere la primera fase de comprensión del texto, hasta quetengan una representación más o menos clara de la situación (una parte se queda yotra parte se va). Una vez superada esta fase (recomendar la validación explícita dela interpretación de la situación y de los resultados obtenidos al ponerla a funcionar,verificar los cálculos para evitar errores de ejecución), insistir en la necesidad dehacer un plan para obtener los elementos necesarios para formular una explicaciónmatemática global de la situación.

Una vez comprendido el funcionamiento de la situación, se les puede sugerir queexploren la tendencia de cada clientela y traten de identificar el patrón (unaestrategia pertinente puede ser la de indicar las operaciones aritméticas querealizaron y que organicen la información de una forma que les ayude a revelar suestructura). Si ya encontraron la situación estable, hay que insistir en que se vinculecon el funcionamiento de la situación y se formule una explicación matemáticaglobal (ya sea la relación recursiva o la progresión geométrica).

Si algún equipo permanece en las exploraciones aritméticas, se le puede sugerir queconsideren los casos extremos y que hagan algunas conjeturas explícitas sobre lastendencias en cada caso.

Algunos callejones sin salida que se pueden evitar con preguntas adecuadas son: loserrores de interpretación en los porcentajes, la asociación con una hipérbola alidentificar el comportamiento asintótico de las clientelas.

Guión de la discusiónExplotar la evolución de la situación y su estabilización.Necesidad de vincular matemáticamente la evolución de la situación y suestabilización.Las ideas de tendencia, de aproximación, de límite.Interacción modelo–situación.La progresión geométrica, el papel de los recursos.Lo discreto y lo continuo.La representación gráfica para dar una idea global: creciente, decreciente, asíntota.Indagar el comportamiento a partir de valores distintos, sacar conclusiones.(La matriz como un objeto adecuado para representar el proceso)Las estrategias que se aplicaron.La discusión grupal como un espacio de aprendizaje con características propias:el trabajo en los equipos prepara a todos

- para incorporar las distintas soluciones,


- para contrastarlas, para evaluarlas como más elegantes,- para avanzar en las generalizaciones,- para plantearse preguntas nuevas sobre la situación,- para formular problemas nuevos.

Para explotar estas posibilidades es necesario adoptar una actitud adecuada.Sugerencias:Valorar su propio trabajo aun cuando la solución sea parcial.La aceptación de los argumentos de sus compañeros en el equipo sin necesidad de un avalexterno.Atención activa durante la presentación de las soluciones de otros equipos.Intervenciones para solicitar la justificación de los resultados, procedimientos yargumentaciones expuestos.Atención en los anexos individuales a las distintas soluciones que puede tener un problema.Atención explícita en los anexos individuales a los aspectos relacionados con lacomprensión, la planeación, las conclusiones y la idea del problema como generador deproblemas.

Uso flexible del esquema básico de comunicación (emisor-mensaje-receptor).Uso de estrategias que fortalezcan la comprensión, como tratar de comprobar losresultados, hacer esquemas de los planes y de los argumentos, explicar con otras palabrasun razonamiento ajeno.Cuestionamientos más precisos, que enriquezcan la discusión.Calidad de la verbalización.Uso de diversos registros de representación en sus intervenciones.

Uso de estrategias de formulación de problemas nuevos: ¿Qué pasaría si . . .?, ¿qué pasaríasi no . . .?Apropiación de términos, resultados, procedimientos, soluciones de otros equipos.Soluciones más consistentes en los anexos individuales comparados con los reportes delequipo.Soluciones en las que se transite por varios registros de representación.

Destacar los aprendizajes logrados en esta fase de discusión y contrastarlos con los de lasfases anteriores. Aprendizajes matemáticos y aprendizaje de la resolución de problemas.


Construcciones 6• Inscripción y Circunscripción.

• Dada una circunferencia de 4 cm de radio, construye un triángulo equiláterocircunscrito a ella. Llámalos C1 y T1, respectivamente.

Se construyen tres puntos, P1, P2, P3, en la circunferencia C1 de tal manera quedeterminen arcos de 120°.

Se construye una tangente a la circunferencia por cada uno de estos puntos,P1, P2, P3, que se llaman l1, l2, l3.El punto de intersección de cada par de tangentes es un vértice del triánguloequilátero T1 circunscrito a la circunferencia C1.

l1

l2l3

A

P1

P2P3

V 2V 1

V 3

• Formula algunas conjeturas sobre las relaciones de los perímetros y lasáreas de ambas figuras y verifícalas.

Las relaciones se basan en que la apotema del triángulo T1 es el radio de lacircunferencia C1.

43

23 2llr

= , de donde, rl 32= .

Si comparamos los perímetros y las áreas de ambas figuras, encontramos que:


1

1

C

TP P

Pr = , dado que )32(31 rPT = y que rPC π21 = ,

π33

=Pr

1

1

C

TA A

Ar = , dado que ( )2

1 3243 rAT = y que 2

1 rAC π= , π

33=Ar

C1

A

P1

P2P3

V 2V 1

V 3

Radio p1 4.000

Circunferencia 25.133

Área p1 50.265 2

Perímetro1V 2V 3 =41.569

Área 1V 2V 3 =83.138 2

Perímetro V1V 2V 3)(Circunferencia p1)(

=1.65Área V 1V 2V 3)(

Área p1)( = 1.65

T1

• Inscribe un triángulo equilátero T2 en la circunferencia C1.• Inscribe una circunferencia C2 en el triángulo T2.• Inscribe un triángulo equilátero T3 en la circunferencia C2.• Inscribe una circunferencia C3 en el triángulo T3.• Inscribe un triángulo equilátero T4 en la circunferencia C3.• Calcula las razones de las áreas y los perímetros de T4 a T1.


A

P1

P2P3

V 2

V 3

V 1

P' 2

P' 3 P'' 3

S

T

U V

W

X Y

Z

Área 1V 2V 3 =83.138 2

Perímetro1V 2V 3 =41.569

T1

T2

T3

T4

C1

C2

C3

Perímetro XYZ5.196

Área XYZ 1.299 2

Perímetro V1V 2V 3)(Perímetro XYZ)(

=8.00

Área V 1V 2V 3)(Área XYZ)(

=64.00

• Formula otras conjeturas de carácter más general sobre las relaciones delos perímetros y las áreas de las figuras que trazaste.

Las conjeturas se formulan a partir de tres relaciones:Un triángulo equilátero dado y el triángulo equilátero inscrito en lacircunferencia inscrita en el triángulo dado tienen una razón desemejanza 2:1.El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo es la apotema deltriángulo.El radio de una circunferencia circunscrita a un triángulo es dos terciosde la altura del triángulo.Algunas conjeturas:♦ Si el triángulo T2 está inscrito en la circunferencia C1 que a su vez

está inscrita en el triángulo T1, entonces la razón del área de T1 alárea de T2 es 2.

♦ Si el triángulo T1 está circunscrito a la circunferencia C1 que a su vezestá circunscrita al triángulo T2, entonces la razón del perímetro de T1al perímetro de T2 es 2.


♦ La sucesión de las razones de los perímetros de los triángulosinscritos al perímetro del triángulo T1 es una sucesión geométrica de

razón 21 , es decir,

1

2

T

T

PP ,

1

3

T

T

PP

, 1

4

T

T

PP , ...

♦ La sucesión de las áreas de los triángulos inscritos es una sucesión

geométrica cuyo primer término es AT1 y cuya razón es 41 .

• Demuestra o refuta tus conjeturas y haz un reporte que incluya todo elproceso, tanto el correspondiente a las conjeturas que demostraste comoa las que refutaste.

Hay algunas proposiciones que se pueden usar, y si se juzga pertinente justificar, alrealizar la construcción.

A

P1

P2P3

V 1 V 2

V 3

Un argumento razonable para esta etapa de la construcción.La construcción:Se determinan tres arcos de 120° en la circunferencia y porellos se trazan tangentes a la circunferencia. Los puntos deintersección de cada par de tangentes son los vértices deltriángulo equilátero T1.La justificación:Dado que las tangentes son perpendiculares al radio en elpunto de tangencia y que la suma de los ángulos interioresde un cuadrilátero convexo es 360°, los ángulos P2AP3 yP3V3P2 son suplementarios, por lo que P3V3P2 mide 60°. Lomismo vale para los vértices V1 y V2, por lo que el triánguloT1 es equilátero.

A

P1

P2P3

V 1 V 2

V 3

Si un triángulo es equilátero, el baricentro, el ortocentro, elincentro y el circuncentro son el mismo punto.Si un triángulo es equilátero la razón de su lado a su altura

es 23 .

El baricentro determina en cada mediana dos segmentoscuya razón es 2:1.Si en un triángulo equilátero T1 se consideran los puntosmedios de sus lados como vértices de otro triángulo T2,entonces T1 y T2 son semejantes con razón entre sus lados2:1. Además, el círculo circunscrito a T2 es el círculoinscrito en T1.


P1

P2P3

V 1 V 2

V 3Los perímetros (los elementos lineales) de los triángulosque se construyen considerando los vértices en los puntosmedios de un triángulo dado, y así sucesivamente, formanuna progresión geométrica con razón ½.3, 3/2, 3/4, 3/8, ...Las áreas de los triángulos que se construyen considerandolos vértices en los puntos medios de un triángulo dado, y asísucesivamente, forman una progresión geométrica conrazón ¼.


Construcciones 8• Un lugar geométrico.• Traza un segmento PQ de 5 cm de longitud.• Traza varias circunferencias que pasen por P y por Q y marca con tinta los

centros de estas circunferencias.Se requiere un tercer punto para construir un círculo. Se escoge uno cualquiera. Unavez que se tienen los tres puntos se trazan las mediatrices de los segmentos que losunen. El punto de intersección de las mediatrices es el centro del círculo.

P Q

R1

S1

M

O1

R3

S3O3

R2

S2O2

R4

S4

O4

R5

S5

O5

• Formula conjeturas en la forma «si-entonces» y trata de probarlas.Si una cuerda es común a varios círculos, entonces la mediatriz de la cuerda pasa por elcentro de todos los círculos que la tienen como cuerda.


El lugar geométrico de los centros de los círculos que pasan por los extremos de unsegmento dado es la mediatriz del segmento.

• Otro lugar geométrico.• Traza un segmento PQ de 5 cm de longitud.• Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQR que tengan un

ángulo opuesto al segmento PQ de 30° y marca el vértice R de cada uno de estostriángulos.

P Q

R9

R1

R2

R3

R4

R5

R6R7

R8 R10 R11R12

R13

R14

R15

R16

R17

R18

R19

R'19

R'18

R'17

R'16

R'15

R'14

R'13

R'12

R'11R'10R'9R'8R'7

R'6

R'5

R'4

R'3

R'2

R'1


• Usa tu escuadra 45-45-90 para trazar muchos triángulos PQS que tengan unángulo opuesto al segmento PQ de 45° y marca el vértice S de cada uno de estostriángulos.

P Q

R9

R1

R2

R3

R4

R5

R6R7 R8 R10R11

R12R13

R14

R15

R16

R17

R18

R19

R'19R'18

R'17

R'16

R'15

R'14R'13

R'12R'11R'10R'9R'8R'7

R'6

R'5

R'4

R'3

R'2

R'1

P Q

R9

R1

R2

R3

R4R5

R6R7R8 R10R11

R12R13R14R15

R16

R17

R18R19

R'19

R'18

R'17

R'16R'15

R'14R'13

R'12R'11R'10R'9R'8R'7R'6R'5

R'4

R'3

R'2

R'1

• Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQT que tengan unángulo opuesto al segmento PQ de 60° y marca el vértice T de cada uno de estostriángulos.

• Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQU que tengan unángulo opuesto al segmento PQ de 90° y marca el vértice U de cada uno de estostriángulos.


P Q

R9

R1

R2R3R4R5R6

R7R8 R10R11R12R13

R14R15R16R17R18R19

R'19R'18R'17

R'16R'15R'14R'13R'12R'11R'10R'9R'8R'7R'6R'5

R'4R'3

R'2

R'1

• Formula conjeturas en la forma «si-entonces» y trata de probarlas.

• Otra de triángulos.• Traza un triángulo de lados 6, 9 y 12.• Localiza los puntos medios de dos de sus lados y traza un segmento que los

una.• El triángulo queda dividido en dos regiones, descríbelas, calcula sus

perímetros y áreas y compáralos, ¿en qué razón están? Conjetura y explica.

A D B

C

E


• Haz una indagación parecida a la anterior pero ahora parte de la trisección de losdos lados. Conjetura y argumenta.

A BF G

C

I

H


• Dado el triángulo de lados 6, 9 y 12.• ¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que el triángulo quede

dividido en dos regiones de áreas iguales?

A B

C

K J

L

M

• ¿A qué alturas se deben trazar paralelas a la base para que el triángulo quededividido en cinco regiones de áreas iguales?

• ¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que los perímetros de lasdos regiones sean iguales?

A B

C

K J

L

M

• ¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que las áreas de las dosregiones que resultan estén en razón 1:2, 1:3, 1:4, 2:3, m:n?

• Incluye el reporte, con PER, en tu portafolios.


Las cometas y sus propiedades

(Traducción de "Investigating Properties of Kites". "Explorations for theMathematics Classroom II")

Using TI-92 GEOMETRY, Texas Instruments.

Charles Vonder Embse (Central Michigan University)

Arne Engebretsen (Grendale High School)

Se dice que una cometa es un cuadrilátero que cumple las siguientes condiciones:

• Sus lados son iguales dos a dos

• Los lados iguales son consecutivos

1. Construye de varias formas diferentes una cometa.Comprueba que la construcción es correcta. Para ello, mueve los puntoslibres del dibujo y observa que la figura sigue siendo una cometa.

2. En función del tipo de construcción elegida, ¿qué tienen que cumplir las

cometas para que sean convexas ó cóncavas? 3. Si se unen los puntos medios de los cuatro lados de una cometa, ¿qué

cuadrilátero se forma? 4. Dibuja las diagonales de una cometa y observa propiedades que tienen.

Comprueba si estas propiedades lo son también para las cometas cóncavas 5. Dibuja casos particulares de cometas como el cuadrado o el rombo.

Comprueba si cumplen las propiedades mencionadas anteriormente ybusca propiedades que tengan estas figuras y no las cometas.

6. Dibuja una cometa y calcula el valor de su área. ¿Existe alguna relación

entre el área y las diagonales de una cometa? Comprueba tu conjetura


haciendo modificaciones en la cometa y observa que se mantienen laspropiedades.

7. Inscribe en un rectángulo ABCD una cometa EFGH de manera que H y F

sean los puntos medios de los lados AD y BC.

a) ¿Qué relación hay entre el área de la cometa y el área del

rectángulo?b) ¿Cómo cambia esta relación a medida que los puntos E y G se

mueven?c) ¿Cuál es el valor máximo del área?d) ¿Cuánto vale el perímetro de la cometa cuando ésta cambia bajo

las mismas condiciones?e) Si el perímetro cambia, ¿cuál es su valor mínimo?

Solución 1. Construir CometasEsta actividad debe hacerse en grupos para dar más ideasa) Construir dos círculos que se corten. El cuadrilátero que se forma uniendo

los centros de los círculos y los puntos de intersección es una cometa

b) Construir un segmento y su mediatriz. Marcar dos puntos diferentes sobrela mediatriz y unir estos puntos con los extremos del segmento. Se formauna cometa.


c) Construir dos triángulos isósceles que tengan en común la base. Los

pares de lados iguales de los dos triángulos forman una cometa.

d) Dibuja dos segmentos que tengan en común un extremo. Dibuja la rectaque pasa por los otros dos extremos de los segmentos. Construye lossegmentos simétricos de los iniciales respecto de la recta. Los cuatrosegmentos dibujados forman una cometa.

e) Haz un rectángulo. Marca los puntos medios de dos de sus lados. Dibuja

una recta paralela a dichos lados que corte a los otros dos o susprolongaciones en otros dos puntos. Marca estos puntos de intersección. Elpolígono formado al unir estos cuatro es una cometa.


f) Dibuja un triángulo. Haz el triángulo simétrico respecto uno de sus lados.Los otros dos lados junto con sus simétricos forman una cometa.

2. En función de los métodos empleados en la actividad anterior, para dibujar una

cometa, ésta será cóncava si:a) Los centros de los círculos están en el mismo lado del segmento

que los puntos de intersección.b) Los dos puntos de la mediatriz están a un mismo lado del

segmento.c) Cuando los dos terceros vértices de los triángulos están a un

mismo lado de la base.d) Cuando los extremos no comunes de los segmentos están en el

mismo lado con respecto a la perpendicular trazada desde elextremo común a la recta de simetría.

e) Cuando la recta paralela corta, no a los lados, sino a lasextensiones de los mismos.

f) Cuando la altura sobre el lado que hace de eje de simetría no cortaa dicho lado sino a una extensión del mismo.

3. El cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de los lados de una cometa

es para cualquier caso un rectángulo.


Dibuja cada diagonal de la cometa. Los segmentos medios de los triángulosformados por la diagonal de la cometa son paralelos a la base (diagonal) ypor tanto paralelos a cada lado. Esta propiedad se cumple para las dosdiagonales y los dos pares de segmentos paralelos.Una de las formas con que hemos definido la cometa es como los lados dedos triángulos isósceles, que tienen en común la base. Si se utiliza estadefinición, la diagonal que une el tercer vértice de uno de los triángulos conel del otro, es la mediatriz de la base, es decir, la otra diagonal.En consecuencia, las diagonales son perpendiculares, y el paralelogramoformado por los puntos medios es un rectángulo.

4. Las diagonales de una cometa son siempre perpendiculares, por lo explicado

anteriormente. 5. Todas las propiedades de las cometas son también propiedades del rombo y del

cuadrado, ya que estas figuras son casos particulares de las cometas. Buscapropiedades de estas figuras que no sean propiedades de las cometas.

Explorar6. El área de una cometa es igual al semiproducto de las longitudes de sus

diagonales. Observa el siguiente dibujo:


En el caso particular del rombo y del cuadrado como cometas, el áreade estas figuras es la mitad del cuadrado de la diagonal.

7. El área de la cometa es la mitad del área del rectángulo, sea cualesquiera laubicación del vértice de la cometa que se mueve a lo largo del lado del rectángulo.

8. El perímetro cambiará a medida que E y G se muevan. Se hará mínimo cuando

estos vértices se encuentren en los puntos medios del rectángulo, es decir, cuandola figura sea un rombo.

Una nube de puntos de los diferentes perímetros de EFGH en función de lalongitud AE describirán una curva elíptica con el máximo cuando E coincida conA y D, es decir, cuando la cometa se convierte en un triángulo.


En el curso de Geometría y Trigonometría se busca que el alumno valore y conozca el significado eimportancia de lo que es una construcción y una demostración. Pero, difícilmente en el tiempodisponible es posible presentar la Geometría como un sistema axiomático completo y coherente endonde cada afirmación (teorema) sea demostrado. Sin embargo, esto no significa que se deba olvidaresto y que permanezca la idea de que en la geometría se tienen varias propiedades, unas interesantes yotras no tanto, en donde sólo algunas están relacionadas entre sí. A continuación te presentamos unasecuencia que podría seguirse (y completarse) para presentar a la geometría como un cuerpo coherentede conocimientos, en los cuales se aprecia la relación y dependencia de unos con otros.

Secuencia para abordar los Teoremas de Geometría

Términos no definidos:

1. Punto2. Recta3. Plano4. Relaciones de Incidencia:

“El punto A está en, o pertenece a la recta l ”Equivalencias: El punto está sobre la recta; el punto es de la recta; la recta pasa porel punto; la recta contiene al punto.

“El punto A está contenido en, o está en, el plano Ω ”Equivalencias: El punto está sobre el plano; el punto es del plano. el plano pasapor el punto; el plano contiene al punto.

“El plano Ω contiene a la recta l , o la recta l está contenida en el plano ,Ωo la recta está en el plano”

5. La relación “estar entre...” para puntos sobre una recta. Notación: BCA −− significa queC está entre ByA

Definiciones, Postulados y Teoremas Iniciales:

Definición. Espacio es …

Definición. Figura geométrica plana es cualquier colección de puntos en el plano.

Postulado de la Recta: Dados dos puntos distintos ByA cualesquiera, existe sólo una

recta que los contiene, representada por BA , o por BA , o por ,,, ntl etc.

Definición. Puntos colineales …; puntos coplanares …

Postulado del Plano: Para cada tres puntos no colineales, existe un plano único que los contiene.


Postulado. Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está contenida en elplano.

Teorema. Una recta y un punto que no esté sobre ella determinan un único plano (demostracióndirecta).

Definición. Dos figuras geométricas se intersectan si…

Teorema. Si dos rectas distintas se intersectan, lo hacen en un solo punto (demostraciónindirecta).

Definición: Rectas concurrentes….

Teorema. Si dos rectas distintas se intersectan, entonces determinan un plano que las contiene(demostración directa).

Teorema. Si una recta y un plano se intersectan y la recta no está contenida en el plano,entonces su intersecciòn es un solo punto (demostración indirecta).

Postulado. De tres puntos colineales, exactamente uno de ellos está entre los otros dos.

Postulado. Dados dos puntos distintos ByA , existe siempre otro punto C situado entreByA .

Definición. El segmento con extremos QP, es... Notación: PQ o QP

Postulado de la Regla: A cada par de puntos distintos QP, le corresponde un número realpositivo llamado la medida o longitud del segmento QP y representado por ( )PQm .

Postulado. Dados dos puntos ByA , siempre existe otro punto D tal que B está entreDyA .

Definición. Si QP, son puntos distintos, el rayo o semirrecta de P a Q es... ; el extremo

del rayo es P . Notación: PQ

Definición: Rayos opuestos son aquellos que...

Postulado de la Construcción de Segmentos: Para cada número real positivo λ y para todorayo PQ , existe un único punto R de PQ tal que ( ) λ=PRm

Postulado de Adición de Segmentos: Si el punto L está entre ByA , entonces se cumpleque ( ) ( ) ( )ABmLBmALm =+


Definición. Segmentos congruentes son aquellos que... Notación: PQAB ≅

Definición. Punto medio de un segmento...

Definición. Una recta, o rayo, o segmento PQ biseca al segmento AB si...

Postulado de la Separación del Plano: Si l es una recta contenida en el plano Γ , el conjuntode puntos del plano que no pertenecen a l consiste de dos figuras o regiones geométricas queno tienen puntos comunes y que satisfacen las siguientes condiciones:

a) Si dos puntos pertenecen a la misma región, el segmento que determinan nointersecta a l .

b) Si dos puntos pertenecen a regiones distintas, el segmento que definen intersecta al .

Definición. Cada una de las dos regiones citadas en el postulado de separación del plano sellaman semiplanos; la recta l es el borde o arista de cada semiplano.

Definición. Dados los rayos distintos OByOA , el ángulo con vértice O y lados OByOAes la figura geométrica que consiste de todos los puntos sobre los dos rayos. Notación:

,AOB∠ ò ,BOA∠ ò BOA ˆ ò AOB ˆ .

Definición. Ángulo llano o de lados colineales...

Definición. El interior de un ángulo no llano es...; el exterior del ángulo es...

Postulado del Transportador: A cada ángulo no llano BAC∠ le corresponde un único númeroreal positivo entre 0 y 180, llamado la medida del ángulo en grados, lo que se representa por

)( BACm ∠ . Todo ángulo llano mide, por definición, 180 grados.

Postulado de la Construcción de Ángulos: Sea OA un rayo contenido en el borde del semiplanoΣ y µ un número entre 0 y 180, existe un único rayo OP , contenido en Σ , para el cual

µ=∠ )( POAm .

Postulado de la Adición de Ángulos: Si P es punto interior del ángulo CBA ˆ , entonces severifica que ( ) ( ) ( )CBAmCBPmPBAm ˆˆˆ =+ .

Definición. Ángulos congruentes... Notación: PBQLAM ∠≅∠

Definición. Bisectriz de un ángulo no llano...

Definición. Una recta biseca al ángulo ABC si...


Definición. Ángulos adyacentes...; ángulos opuestos por el vértice...;ánguloscomplementarios…; ángulos suplementarios...; ángulo agudo..., recto...y obtuso...

Propiedad: La congruencia entre segmentos y entre ángulos es reflexiva, simétrica y transitiva.

Definición. Dos ángulos forman un par lineal si...

Postulado del Par Lineal: Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.

Teorema. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (demostración directa)

Definición. Dos rectas son perpendiculares si...

Definición. Dos rectas son paralelas si están contenidas en el mismo plano y...

Congruencia de Triángulos. Propiedades del Triángulo I

Definición. Triángulo…, vértices…, lados…, ángulos interiores…, ángulos exteriores…, elinterior y el exterior de un triángulo…

Definición. Triángulo isósceles…, equilátero…, escaleno…, acutángulo…, obtusángulo…,rectángulo…, base y ángulos de la base…, ángulo vertical…, catetos…, hipotenusa…

Definición. Correspondencia biunívoca entre los vértices de dos triángulos…, ladoshomólogos…, ángulos homólogos …

Definición. Triángulos congruentes…

Propiedad. La congruencia entre triángulos es reflexiva, simétrica y transitiva.

Postulado de Congruencia LAL (Lado-Ángulo-Lado).

Postulado de Congruencia ALA (Ángulo-Lado-Ángulo).

Postulado de Congruencia LLL (Lado-Lado-Lado)

Definición. Mediatriz de un segmento…

Teorema (de la Mediatriz): Si un punto cualquiera pertenece a la mediatriz de un segmento,entonces es equidistante de los extremos del segmento (demostración directa).

Definición. Mediana…, altura…, mediatriz…y bisectriz de un triángulo.


Teorema (del Triángulo Isósceles): Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces losángulos opuestos también son congruentes (demostración directa).

Corolario. En todo triángulo isósceles, la bisectriz del triángulo correspondiente al ángulovertical es también mediana y altura correspondiente a la base.

Definición. Ángulo exterior de un triángulo…

Teorema (del Ángulo Exterior): La medida de cualquier ángulo exterior de un triángulo esmayor que la medida de cada ángulo interior no adyacente a él (demostración indirecta).

Paralelismo y Perpendicularidad.

Teorema. En un plano dado, si se considera una recta y un punto que le pertenezca, entoncesexiste en ese plano una única recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a la recta dada(demostración directa).

Teorema (Recíproco del Teorema de la Mediatriz): Si un punto equidista de los extremos de unsegmento, entonces el punto pertenece a la mediatriz del segmento (demostración directa).

Teorema. Por un punto que no está en una recta dada, pasa al menos una perpendicular a esarecta (demostración directa).

Teorema. Por un punto dado fuera de una recta, pasa solamente una perpendicular a dicha recta(demostración indirecta).

Teorema. Dos rectas contenidas en un plano son paralelas si éstas son perpendiculares a otrarecta incluida en el mismo plano (demostración indirecta).

Teorema. Por un punto que no pertenezca a la recta l , pasa al menos una recta n que esparalela a l (demostración directa).

Postulado (de Playfair): Por un punto que no pertenezca a una recta dada. pasa una y sólo unarecta paralela a la dada.

Teorema. Si t||l y tm || , entonces m||l (demostración indirecta).

Definición. Una transversal o secante a dos recta es…

Definición. Ángulos alternos internos…

Teorema (AIP): En un sistema de dos rectas cortadas por una transversal, si dos ángulosalternos internos son iguales entonces las dos rectas son paralelas (demostración indirecta).


Teorema (PAI): Si dos rectas son paralelas y son cortadas por una transversal, entonces losángulos alternos internos son congruentes (demostración indirecta).

Definición. Ángulos correspondientes..., ángulos alternos externos…,

Teorema. Si dos rectas intersectadas por una secante determinan ángulos correspondientescongruentes, entonces tales rectas son paralelas (demostración directa).

Teorema. Si en un sistema de dos rectas y una secante de ellas, dos ángulos correspondientes dela misma pareja son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas (demostración directa).

Teorema. Si los lados de un ángulo agudo son perpendiculares respectivamente a los lados deotro ángulo agudo, entonces los dos ángulos son congruentes (demostración directa).

Propiedades del Triángulo II

Teorema. En todo triángulo, la suma de las medidas de los tres ángulos de cualquier triángulo esigual a 180 °.

Teorema. En todo triángulo, la medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de lasmedidas de los dos ángulos interiores que no le son adyacentes (demostración directa).

Teorema (Recíproco del Teorema del Triángulo Isósceles): Si dos ángulos de un triángulo soncongruentes, entonces los lados opuestos son congruentes (demostración indirecta).

Definición. La distancia de un punto a una recta es…

Teorema (de la Bisectriz). Todo punto sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados delángulo (demostración directa).

Teorema. Si dos lados de un ángulo no son congruentes, al lado con mayor longitud se opone elángulo con mayor medida (demostración indirecta).

Teorema. Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, al ángulo con medida mayor seopone el lado con mayor medida (demostración indirecta).

Corolario. El segmento de menor longitud que une un punto con una recta es aquel que se trazaperpendicular del punto a la recta.

Teorema (de la Desigualdad del Triángulo): En cada triángulo, todo lado tiene una medidamenor que la suma de las medidas de los otros dos lados (demostración directa).

Paralelogramos

Definición. Paralelogramo…, vértices contiguos y opuestos…, lados contiguos y opuestos…,ángulos contiguos y opuestos…, diagonales…


Definición. Rectángulo…, cuadrado…, rombo…

Teorema. Cada diagonal de un paralelogramo descompone a éste en dos triángulos congruentes(demostración directa).

Corolario. Los lados opuestos y los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo soncongruentes.

Teorema. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan (demostración directa).

Teorema. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero esun paralelogramo (demostración directa).

Teorema. Si dos lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes y paralelos, el cuadriláteroes paralelogramo (demostración directa).

Semejanza de Triángulos.

Definición. Triángulos semejantes son aquellos que…

Teorema. La semejanza de triángulos es reflexiva, simétrica y transitiva.

Postulado de Semejanza LAL (Lado-Ángulo-Lado)…

Postulado de Semejanza AAA (Ángulo-Ángulo-Ángulo)

Postulado de Semejanza LLL (Lado-Lado-Lado)

Teorema (de Proporcionalidad): Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo e intersecta alos otros dos en puntos distintos, entonces separa a estos lados en segmentos proporcionales(demostración directa).

Teorema (Recíproco del Teorema de Proporcionalidad): Si una recta corta a dos lados de un triánguloen segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado (demostración directa).

Teorema (de Tales): … (demostración directa).

Teorema. La altura correspondiente a la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo divide a éste endos triángulos semejantes al original (demostración directa).

Teorema (de Pitágoras): … (demostración directa).


Teorema (Recíproco del Teorema de Pitágoras). Si en un triángulo sucede que el cuadrado de lalongitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros doslados, entonces se trata de un triángulo rectángulo (demostración directa).

Teorema (Recíproco del Teorema de la Bisectriz): dado un punto en el interior de un ángulo, si dichopunto es equidistante de los lados del ángulo, entonces pertenece a la bisectriz del ángulo citado(demostración directa).

Circunferencia.

Definición. Circunferencia con centro en C y radio λ es…

Definición. Cuerda…, diámetro…, secante…, tangente…, punto de tangencia…, puntointerior…, punto exterior de una circunferencia…

Definición. Circunferencias tangentes interiormente…, circunferencias tangentesexteriormente…

Teorema. En el mismo plano, si una recta es perpendicular a un radio de circunferencia en unpunto de ésta, entonces la recta es tangente a la circunferencia. (demostración indirecta)

Teorema. Si una recta es tangente a una circunferencia, entonces es perpendicular al radio quese trace al punto de tangencia (demostración indirecta).

Teorema. Si dos circunferencias son tangentes, los centros y el punto de tangencia soncolineales (demostración directa).

Teorema. La mediatriz de cualquier cuerda de circunferencia pasa por el centro de ella(demostración directa).

Definición: Circunferencia circunscrita a un triángulo…, circunferencia inscrita a untriángulo…

Teorema. Las mediatrices de un triángulo son concurrentes (demostración directa).

Teorema. Las bisectrices de un triángulo son concurrentes (demostración directa).

Definición. Ángulo central…, ángulo inscrito…, arco interceptado…, arco menor…, arcomayor…

Definición. La medida de un arco menor es…

Postulado de la Adición de Arcos: Si P es un punto de QR y no coincide con los extremos,entonces )()()( QRmPRmQPm =+


Definición. Un ángulo mide un radián si…

Teorema. Si θ es la medida en radianes de un ángulo central, R el radio de la

circunferencia y L es la longitud del arco interceptado, entonces RL

=θ

Teorema (del Ángulo Inscrito): La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual ala mitad de la medida del arco interceptado (demostración directa).

Corolario. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es ángulo recto.


4 . EjerciciosEl libro Álgebra con aplicaciones de Phillips, Butts y Shaughnessy, para la primera unidady de Geometría y Experiencias de Bertrán y García para la segunda unidad y deTrigonometría de Selby para al tercera unidad, se toman como textos en el Libro delestudiante. Para cada unidad se señalan pares de bloques de páginas. En el primer bloque setienen explicaciones de temas y ejercicios y en el segundo bloque ejercicios para que losalumnos los resuelvan. Este trabajo es para que lo haga cada estudiante de tarea.

"Lo que hace el profesor en la clase es repetir lo que viene en el libro" es un comentarioque no se aplica para este Libro. Una de las competencias básicas del estudiante debachillerato es aprender por sí mismo. Un libro de texto sirve para este propósito. Cuandoun estudiante aprende cómo organizar su aprendizaje, se hace independiente y responsablede sus aprendizajes.

Ante la actitud de un estudiante de no esforzarse ni comprometerse con lo que lee en unlibro, hay que señalarle que cuando se lee un libro de matemáticas usualmente es con papel,lápiz y calculadora a la mano, además de que no basta con una lectura para quecomprendamos lo que ahí se dice. En la clase se pueden hacer comentarios yrecomendaciones sobre lo que se lee, pero no explicar lo que debieron leer los alumnos.

A partir del trabajo con el libro de texto el alumno aprende y ejercita procedimientos,además de caracterizar cierto tipo de situaciones que le permiten resolver ejercicios singrandes dificultades. Además, esto le permite enriquecer sus recursos y que esté en mejorescondiciones para enfrentar problemas.

Vale la pena recordar algunas características de un ejercicio. Un ejercicio está fuertementerelacionado con un algoritmo o rutina, no necesariamente sencillos. Los más complejospueden requerir la combinación de varios procedimientos con destrezas específicas. En unejercicio puede requerirse una articulación de registros de representación, pero estaarticulación suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina o en el esquema. Laadministración de los conocimientos y procedimientos no es compleja, se reduce aorganizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmente hace pocotiempo. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino la frecuentación deuna vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Su esquema metafórico es la suma no laintegración. Puede ser laborioso, raramente difícil.

Es conveniente señalarles a los alumnos que este trabajo con el libro de texto no esaactividad menor o muy sencilla. Simplemente es una actividad que tienen que hacer fueradel salón de clases. En el Libro se señalan páginas que deben trabajar, pero esto no significaque el resto de libro de texto no sirva y que está de más. El alumno debe conocerlo yestudiar otros temas de acuerdo a sus necesidades. La actividad, incluida en los MAPOA,‘Conozcamos mejor nuestros libros de texto’ fue diseñada con este propósito. Esimportante realizarla en las primeras semanas del curso. Hay que mencionarles que nosomos los profesores los que debemos decirles cada una de las cosas que deben aprender,


sino que ellos mismos, de acuerdo a sus necesidades y gustos, deben agregar otros temas delo indicado por nosotros.

Los ejercicios complementarios aparecen organizados de tal manera que se pueden utilizarcomo un medio de monitoreo, individual o por equipo, de los avances de los alumnos.


Ejercicios Complementarios

Nombre Grupo Fecha

Escribe la expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica dada. Escribe losnúmeros que aparecen en las expresiones como potencias de primos y aplica las leyes delos exponentes para encontrar lo que se pide.

log13(169)=L;

L=

log6(N)=3;

N=

logb(125)=3;

b=

log10(10000)=L;

L=

log2(N)=8;

N=

logb(9)=21 ;

b=

log625(5)=L;

L=

4)(log52 =N ;

N=

Resuelve las ecuaciones siguientes.

3x=60; x= log(x2)=3; x= e-x=6; x=

2(x+2) =7(x-2); x= log(x2+2x)=1; x= ; x=

Despeja t en cada una de las ecuaciones siguientes.

)1(t

LR

eRVI

−−=

t=

rrS

t

−−

=11

t=

El radio tiene una vida media de 1620 años. ¿Cuánto tardará el 75 % de una muestra endecaer?

Se requiere un cuarto de acre de tierra para proporcionar alimento a una persona. El mundocontiene 10 mil millones de acres de tierra cultivable. Si suponemos que la poblacióncontinúa creciendo a una tasa de 1.6% al año, la población t años después de 2000 está dadapor P(t)=6e(0.016t) miles de millones de personas. ¿Cuándo dejaría de ser suficiente la tierracultivable para alimentar a la población del mundo?Justifica tu respuesta.


Nombre Grupo FechaSe acordó que las tarifas de energía eléctrica, para no aumentarlas súbitamente, se incrementarán 12%cada mes.En una hoja de papel milimétrico o cuadriculado haz una tabla, con su gráfica correspondiente, de lo quepagará una empresa chica durante los próximos dos años si tiene un consumo mensual aproximadamenteconstante. Al principio del año pagó 5500 pesos.Escribe la función que da sus pagos (y) en función del tiempo (x).

¿En cuánto tiempo se duplicarán sus pagos? ¿En cuánto tiempo se triplicarán sus pagos?

Escribe la expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica dada. Escribe losnúmeros que aparecen en las expresiones como potencias de primos y aplica las leyes delos exponentes para encontrar lo que se pide.

log17(289)=L;

L=

Log5(N)=3;

N=

logb(64)=3;

b=

log10(1000000)=L;

L=

log2(N)=10;

N=

logb(9)=21 ;

b=

Log343(7)=L;

L=

4)(log52 =N ;

N=

Resuelve las ecuaciones siguientes.

5x=1650; x= log(x+15)+log(x)=2; x= e-x=6; x=

3(x+1) =5(x-1); x= 22x+32=12*2x; x= ; x=

Despeja lo que se pide en cada una de las ecuaciones siguientes.

( )

+−−= 9.1100302.32

1001log100 37.0WHN

H=

rraS

t

−−

=11

t=

¿Cuánto debe aumentar la potencia de un sonido para que la intensidad del sonido se duplique? Ilústralocon una gráfica en la que se precisen las escalas de los ejes (I, la potencia del sonido como variableindependiente, y N, la intensidad del sonido en decibeles, como variable dependiente).


Nombre Grupo Fecha

Si el radio de un círculo se incrementa en un 100 %, el área queda aumentada en

[A] 66.67% [B] 100% [C] 150% [D] 200% [E] 300% [F] 400% [G] ningunaEn un triángulo rectángulo a y b son catetos. La altura correspondiente a la hipotenusa divide a ésta en dos

segmentos p y q, adyacentes a a y a b, respectivamente. Si 41

=ba , entonces la razón

qp es:

[A] 41 [B]

61 [C]

81 [D]

161 [E]

21 [F]

21 [G]

61

Si el radio de un círculo se incrementa en dos unidades, entonces la razón de la nueva circunferencia al nuevodiámetro es:

[A] 2+π [B] 21

+π [C] 21

−π [D] 4−π [E] π [F] 4+π [G] ( )22 +π

La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo regular es 1080°. Entonces este polígono

tiene vértices y diagonales. Cada ángulo central, formado uniendo dos vértices

consecutivos con el centro, mide

En la parte posterior, o en una hoja aparte, construye cuatro triángulos de lados 5, 6 y 7 cm. En el primeroconstruye el circuncentro. En el segundo, el incentro. En el tercero, el ortocentro. En el cuarto, el baricentro.Debajo de cada construcción escribe los pasos que seguiste para localizar el punto correspondiente y suspropiedades. Las instrucciones deben ser lo suficientemente precisas para que una máquina pueda seguirlas.


Nombre Grupo Fecha

La base de un triángulo es cuatro veces el lado de un cuadrado y las áreas de ambas figuras son iguales.Según esto, la razón de la altura del triángulo al lado del cuadrado es:

[A] 41 [B]

21 [C]

32

[D] 1 [E] 23

[F] 2 [G] 4Un terreno rectangular tiene el triple de largo que de ancho y está completamente cercado con ‘p’ metros debarda. El área del terreno en términos de ‘p’ es:

[A] 64

3 2p [B] 9

2p[C] 26 p [D]

329 2p [E]

18

2p [F] 9

4 2p[G] 23p

El lado mayor de un triángulo es 8/5 del lado menor y éste es 5/6 del lado mediano. Sabiendo que elperímetro es 38 dm, determina la longitud de los tres lados.

El baricentro de un triángulo se encuentra a 48 cm de uno de sus vértices. La longitud de lamediana correspondiente a dicho vértice es:

A un incendio producido en un hospital acude la unidad de bomberos con una escalera de 48 m de longitud,que consta de 120 peldaños distribuidos uniformemente. Al apoyar la escalera sobre la fachada del edificio seobserva que el primer peldaño se encuentra a 30 cm del suelo.La altura del edificioque alcanzará laescalera es:

Si el fuego se halla en el sexto piso y cadapiso tiene 6 m de altura, ¿se podrá rescatar alos enfermos que allí se encuentran?Explica.

Si inclinan la escalera hasta que elprimer peldaño se encuentre a 36 cmdel suelo, la altura que alcanzará laescalera es:


Nombre Grupo Fecha

Sabemos que una circunferencia de 4 cm de radio se ajusta a dos rectas concurrentes a 15 cm del punto dondelas rectas se cortan.¿A qué distancia del punto donde las rectas se cortanse ajustará una circunferencia de 9 cm de radio?

¿Qué distancia separa los centros de las doscircunferencias?

Si los catetosmiden

La hipotenusamide

En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12.

9 y 1221 y 7216 y 307.2 y 8.956 y 105

La altura conrespecto a lahipotenusa

mide:

La proyeccióndel cateto mayor

sobre lahipotenusa

mide:

El ánguloopuesto al cateto

mayor mide:

El área delcírculo

circunscrito altriángulo es:

Una joven quiere cambiar el foco de un farol situado en una pared a 5.4 m de altura, con la ayuda de unaescalera de 3.5 m de longitud. Si la joven puede alcanzar una altura de 2.25 m con el brazo extendido, ¿a quédistancia máxima de la pared ha de colocar el pie de la escalera para lograr su objetivo?

El triángulo PQR está inscrito en una circunferencia. Se sabe que el arco PQ mide 80° y el arco QR mide160°. Los ángulos interiores del triángulo miden:

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 21 y 63 cm,respectivamente.La hipotenusa mide: El cateto menor

mide:El perímetro del

triángulo es:El ángulo opuesto alcateto menor mide:

El área del triánguloes:


Nombre Grupo Fecha

En un triángulo equilátero de 10 unidades de lado se inscribe una circunferencia y se circunscribe otracircunferencia.¿Cuál es el área de la coronacircular determinada por ambascircunferencias?

¿Cuál es la razón del área de lacircunferencia circunscrita alárea de la circunferenciainscrita?

Llena la tabla siguiente si cada renglón se refiere almismo arco de una circunferencia dada.Arco engrados

Radio Ángulocentral

Longituddel arco

Ánguloinscrito

Un cuadrilátero está inscrito en unacircunferencia. Uno de sus ángulosinteriores mide 38°, ¿cuánto mide elángulo opuesto a este ángulo?

108 15

32 120

Un ángulo interior a una circunferenciamide 53.2° y el arco comprendido porsus lados 38.25° ¿Cuánto mide el arcoque abarcan las prolongaciones de suslados?

Un parque de forma rectangular mide 1200 m de longitud y 900 m de anchura. Al parque loatraviesan dos paseos de igual anchura que son perpendiculares. Calcula la anchura de lospaseos si el área total de estos paseos es 151875 m2.

Las diagonales de un rombo miden 15 y36 cm, respectivamente.¿Cuál es el área del círculo inscrito en elrombo?

Las diagonales de un trapeciorectángulo miden 39 y 45 cm,respectivamente y su altura, 36.¿Cuál es el área del trapecio?


Nombre Grupo Fecha

Cada lado del cuadrado ABCD mide 1 metro. El área del cuadrado PQRS es 1 metro cuadrado. Lospuntos U y W dividen la diagonal QS en tres partesiguales. El segmento UW es una diagonal delcuadrado TUVW.

El área delcuadradoBEFD es:

ElperímetrodelcuadradoBEFD es

El área delcuadradoTUVW es

ElperímetrodelcuadradoTUVW es

Llena la tabla siguiente para comprobar el teorema deEuler con los poliedros que se señalan.

Poliedro V C A Comprobación

Las dimensiones del rectángulo ABCDson AB=20 m y AD=12 m. Encuentrasobre AB un punto P cuya distancia x=PAsea tal que el área del trapecio PBCD seacuatro veces el área del triángulo APD. Elvalor de x es:

Hexaedro

Dodecaedro

En una mesa circular caben 24personas y a cada persona lecorresponde un arco de 1 metro.¿Cuál es el diámetro de esta mesa?

Un pastizal en forma de triángulo equilátero está cercado. En un punto de la cerca se va aamarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área delpastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro?

Cada lado de un rectángulo se divide en tressegmentos de la misma longitud. Los puntosresultantes se unen mediante segmentos queconcurren en el centro como se indica en la figura.¿En qué razón se encuentran el área de la regiónblanca y el área de la región gris?

La base de un rectángulo áureohorizontal mide 25 metros, ¿cuántomide su altura?

La altura de un rectángulo áureohorizontal mide 25 metros, ¿cuántomide su base?


Nombre Grupo Fecha

El rectángulo ABCD está inscrito en la circunferencia. En la figura se muestran las tres primeras etapas delárbol pitagórico. Cada etapa consta de un triángulorectángulo isósceles y los cuadrados de sus lados. Ellado del cuadrado mayor mide 80 unidades.

La longituddel segmentoEF es:

El área delrectánguloABCD es:

El área delas dosprimerasetapas delárbol es:

El área delas cuatroprimerasetapas delárbol es:

En un cubo de arista 80 se inscribe una esfera y secircunscribe otra esfera.

Esfera Radio Superficie Volumen

¿Qué distancia recorre un cochecuyas ruedas miden 90 cm dediámetro y giran sin patinar 3000vueltas?

Inscrita

Circunscrita

Construye un octógono regular y trazados diagonales que partiendo de unmismo vértice vayan a vérticesconsecutivos. El ángulo que formanmide:

Un pastizal en forma de cuadrado está cercado. En un punto de la cerca se va a amarrar a unburro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área del pastizal. ¿Cuántodebe medir la cuerda con que se ata al burro?

En el triángulo rectángulo aparecen las medidas de sus catetos.El área de la lúnula

menor esEl área de la lúnula

mayor esEl área del triángulo

es

Calcula el área de un trapecio circularcuyas bases abarcan 45° si se sabe quela suma y la diferencia de los radiosde las circunferencias que lodeterminan son 27 y 9 m,respectivamente.

Calcula el volumen del sólidoengendrado al girar un triánguloequilátero de altura 5 con respecto auno de sus lados.


Nombre Grupo Fecha

PQ= ST= PU= VZ=El ánguloPQS mide:

El ángulo PRSmide:

=PQQR

=PSST

=PUUV tg(WPZ)=

=PRQR

=PTST

=PVUV sen(UPV)=

=PRPQ

=PTPS

=PVPU cos(QPR)=

Un depósito de agua tienecomo sección un trapeciorectángulo de bases 20m y16m, y una altura de 10m. Sitiene 3 m de profundidad,¿cuántos litrospuedealmacenar?

Se engendra un sólido al hacer girar el triángulo PWZ conrespecto a su cateto menor. El volumen de este sólido es:

Un pastizal en forma de hexágono regular de lado l está cercado. En un punto de la cerca seva a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área delpastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro?


Nombre Grupo Fecha

Protesilao construyó una resbaladilla de 3metros de altura y 6 metros de base.Ahora quiere aumentar 1.5 metros dealtura sin modificar la base.

Los segmentos que miden 31 y 14 son perpendiculares al quemide x.La longitud de x es: La longitud de y es:El ángulo x mide: El ángulo y mide:

t sen(t) cos(t) tg(t)

3π

4π

Un pedestal tiene forma triangular conlados 5, 7 y 7 metros, tiene alrededor unjardín circular.¿cuál es el área del jardín?

π

Un pastizal en forma de octógono regular de lado l está cercado. En un punto de la cerca seva a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área delpastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro?


Nombre: Grupo: Fecha:El seno de un ángulo es 1/3.Construye un triángulo que ilustre esta situación.

La longituddel segmentoLK es:

La longituddelsegmentoRK es:

Mide elángulo en eltriánguloqueconstruiste:

Calcula elvalor delángulo contucalculadora:

El ángulo KHJmide

El ángulo KJHmide

El ángulo JKHmide

Dos automóviles parten de la intersección de doscarreteras rectas y viajan a lo largo de ellas convelocidades de 90 y 110 km/h, respectivamente. Elángulo que forman las carreteras es de 72°.¿Qué distancia separa a los automóviles

El área deltriángulo JKH es

El perímetro deltriángulo JKH es

El área deltriángulo PRK es

después de 30 minutos? después de 1 hora y 15minutos?

Una cafetera de base circular se reduce uniformemente hasta la tapa que tiene un radio quemide la mitad del de la base. A la mitad de la altura de la cafetera hay una marca que dice«dos tazas». Si la cafetera se pudiera llenar hasta el borde ¿cuántas tazas de café contendría?Un árbol proyecta una sombrade 48 m cuando el sol está auna elevación de 20° sobre elhorizonte.

¿Cuál es laaltura del árbol?

¿Cuál será la longitud de lasombra cuando el sol se

encuentre a una altura de 35°sobre el horizonte?

¿Cuál será la elevación delsol sobre el horizonte cuandoel árbol proyecte una sombra

de 20 m?

150

100

El área de laregiónsombreadaclara deltriángulorectángulomide:

60 cm

30

10

0

L

θθ

espejo xEn la figura, un rayo de luzde la lámpara L se reflejaen un espejo al punto 0.¿Cuánto mide θ ?


5. LecturasLa lectura primero, y discusión después, de un artículo (o el ver y escuchar una película) no tiene comofinalidad presentarles a los alumnos un lado amable de las matemáticas y combatir con ello la llamadamatematifobia de los alumnos. Como las demás actividades de aprendizaje para los alumnos, laslecturas son importantes.

Ahora se tiene información por todas partes: radio, televisión, periódicos, revistas e Internet. Sinembargo para que resulte útil esta información es necesario desarrollar una actitud crítica y reflexiva dequien la recibe, especialmente nuestros alumnos. Esto también se aplica en la escuela. Para nuestrosalumnos es natural, porque así se los hemos presentado, suponer que cada materia que estudian esindependiente de las demás y que en matemáticas no se lee, sino se aprenden y aplican procedimientos.No es así. Nuestros alumnos requieren desarrollar habilidades más complejas que lo anterior. Y una deellas es que sean lectores críticos y reflexivos, que comprendan conceptos y sean capaces defundamentar sus opiniones o conclusiones a partir de la elaboración de argumentos claros, coherentes ylógicamente estructurados. También que donde aparezca una dimensión matemática, la identifiquen yhagan uso de las matemáticas para comprender la lectura.

Estas habilidades no se desarrollan simplemente solicitándole a nuestros alumnos que lean y veanciertos artículos y películas. Es necesario que en las discusiones durante o posteriores a ellas se lesseñale la importancia de una revisión cuidadosa de su contenido y de los nuevos temas que surgen parauna investigación posterior y que depende de cada uno de nosotros si lo hacemos o no.

Nuestros alumnos deben aprender a ser buenos lectores y para ello la ficha o guía que se tiene en losMAPOA sobre la lectura resulta especialmente útil.

Como en las demás actividades de aprendizaje, debes planear cada lectura antes de solicitarlas a losalumnos. Elabora preguntas que puedes entregarlas a los alumnos antes de la lectura para que lasrespondan en su reporte o para que te sirvan como guía de la discusión. Mediante estas preguntasdestacas los objetivos de aprendizaje que buscas lograr con la actividad. También puedes anticipar lasinquietudes y preguntas de los alumnos. Ante las palabras que no conozcan sus significados, hay queacostumbrarlos a consultar diccionarios.

Los artículos y películas que se señalan en el Libro deliberadamente no están muy cercanos a los temasdel programa de álgebra, pues se pretende que en ellas los alumnos identifiquen la dimensiónmatemática que contiene y que buena parte de análisis se centre en ella. Debes ser cuidadoso deexigirles que cuando acepten una conclusión u otra, sea por la argumentación que la acompañe.

En cada una de las escuelas se ha distribuido una serie de cinco videos con varios episodios dealrededor de 10 minutos cada uno. En el portal de la AIM encontrarás las fichas de estos videos conalgunas sugerencias para la elaboración del guión de la discusión que se puede generar para convertir‘ver la televisión’ en una experiencia de aprendizaje efectiva de las matemáticas.

A continuación, se presenta en forma de tabla el contenido de cada video.


Videos de El Mundo de las Matemáticas1. Para una buena medida. Datos en gráficas. Una gota en el océano. Si el zapato

aprieta. ¿Creería usted esto? ¿Cuál es la relación? Costo de los discos compactos.Rescate.

2. Un área de interés. En general. Necesidad de datos. ¡Qué suerte! ¿Qué se puedeesperar? ¿El mismo de nuevo? Reducir a escala. Encontrando el camino.

3. Detrás de la puerta principal. En el interior de un estudio de grabación. Campos deabundancia. Un mesurado estilo de vida. Un gran salto. Altas esperanzas. Arriba yadelante. El valor de la limpieza.

4. Una medida de belleza. Embotellamientos de tránsito. El valor del rostro. Unaincansable búsqueda. Panorama de cálculos. Un argumento circular. Picos gemelos.Un suelo tembloroso.

5. Lectura medida. Encuesta aparte. Algo confuso. Carrera nivelada. Aguacontaminada con petróleo. La tragedia de los comunes. Una cuestión dedistribución. Robots trabajando.

Lecturas para los profesoresDesde luego no sólo a los alumnos le son provechosas las lecturas de diversos artículos. También anosotros los profesores. Su lectura y discusión entre colegas enriquece la vida académica tan necesitadade consolidarse en nuestras escuelas. Aprovechemos la guía para el control de la lectura que viene enlos MAPOA. A continuación te presentamos varios artículos de mediana extensión. Con tuscompañeros elige otros que juzgues pertinentes para su discusión.


PatronesLynn Arthur Steen

Del libro ‘On the shoulders of giants. New approaches to numeracy.’ Editor: Lynn Arthur Steen,National Academy Press, Washington, D.C., 1990. Traducción del Club de Matemáticas del CECyTWilfrido Massieu.

«Vio más que el resto de nosotros». El sujeto de esta observación, el cibernético NorbertWiener, es uno de los muchos científicos excepcionales que rompieron las cadenas de la tradición paracrear campos enteramente nuevos para la exploración de los matemáticos. Ver y revelar patronesocultos son las cosas que los matemáticos hacen mejor. Cada gran descubrimiento abre nuevas áreas,ricas en potencial para exploraciones ulteriores. En el último siglo, el número de disciplinasmatemáticas ha crecido exponencialmente; entre los ejemplos se incluyen las ideas de Georg Cantorsobre conjuntos transfinitos, de Sonia Kovalevsky sobre ecuaciones diferenciales, de Alan Turing sobrela computabilidad, de Emmy Noether sobre álgebra abstracta y, más recientemente, de BenoitMandelbrot sobre fractales.

Para el público estos campos nuevos de las matemáticas son tierra incógnita. La matemática,desde la perspectiva común, es una disciplina estática basada en las fórmulas que nos enseñaron en lasmaterias escolares de aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Pero fuera de la vista del público, lasmatemáticas continúan creciendo a gran velocidad, expandiéndose en campos nuevos y generandonuevas aplicaciones. Las líneas que guían este crecimiento no son los cálculos y las fórmulas sino unabúsqueda, de final abierto, de patrones.

La matemática se ha descrito tradicionalmente como la ciencia del número y la forma. Elénfasis escolar en la aritmética y la geometría está profundamente enraizado en esta perspectiva devarios siglos de antigüedad. Pero, a medida que el territorio explorado por los matemáticos se haexpandido –en teoría de grupos y estadística, en teoría del control y optimación–, las fronterashistóricas de las matemáticas han ido desapareciendo. Y lo mismo ha ocurrido con los límites de susaplicaciones: ya no es sólo el lenguaje de la física y la ingeniería, la matemática es hoy una herramientaesencial del comercio bancario, la manufactura, las ciencias sociales y la medicina. Cuando seconsideran en este contexto más amplio, las matemáticas ya no sólo tratan de la forma y el número sinoacerca de todo tipo de órdenes y patrones. El número y la forma –aritmética y geometría– son sólo dosde los muchos medios en que los matemáticos trabajan. La matemática activa busca patrones dondequiera que aparecen.

Gracias a las gráficas de computadora, una parte importante de la búsqueda de patrones delmatemático está guiada por lo que uno realmente puede ver con los ojos, mientras que los gigantesmatemáticos del siglo XIX como Gauss y Poincaré tuvieron que depender más de lo que veían con losojos de la mente. «Veo» tiene siempre dos significados distintos: percibir con el ojo y entender con lamente.

Durante siglos la mente ha predominado sobre el ojo en la jerarquía de la práctica matemática,hoy el equilibrio se ha restaurado a medida que los matemáticos hallan formas nuevas de ver patrones,tanto con los ojos como con la mente.


El cambio en la práctica de las matemáticas impone un reexamen de la educación matemática.No sólo las computadoras, sino también las aplicaciones y teorías nuevas han expandidosignificativamente el papel de las matemáticas en la ciencia, los negocios y la tecnología. Losestudiantes que vivirán y trabajarán usando las computadoras como herramienta cotidiana, necesitanaprender unas matemáticas distintas de las de sus antepasados. Las prácticas escolares típicas,enraizadas en tradiciones de varios siglos de antigüedad, sencillamente no pueden prepararadecuadamente a los estudiantes para las necesidades matemáticas del siglo XXI.

Las deficiencias señaladas en los informes actuales de la educación matemática también aportanrazones de peso para el cambio. Claro está que, ya que los nuevos desarrollos se construyen sobre losprincipios elementales, es verosímil, como muchos observadores a menudo señalan, que uno seconcentre primero en restaurar la fuerza de los fundamentos tradicionales antes de embarcarse enreformas basadas en los cambios que se han dado en las prácticas contemporáneas de las matemáticas.El apoyo público para los currículos básicos fuertes refuerza la sabiduría del pasado –que lasmatemáticas escolares tradicionales, si se enseñan cuidadosamente y se aprenden bien, proporcionanuna preparación sólida tanto para el mundo del trabajo como para los estudios avanzados en camposque se basan en las matemáticas.

La cuestión clave de la educación matemática no es si enseñar los fundamentos sino cuálesfundamentos enseñar y cómo enseñarlos. Los cambios en la práctica de las matemáticas alteran elorden de las prioridades entre los muchos temas que son importantes para la cultura matemática(numerismo o alfabetismo matemático). Los cambios en la sociedad, la tecnología, las escuelas –entreotros– tendrán un gran impacto en lo que será posible hacer en las matemáticas escolares del siglopróximo. Todos estos cambios afectarán los fundamentos de las matemáticas escolares.

Para desarrollar nuevos currículos de matemáticas efectivos, se debe hacer un intento por preverlas necesidades matemáticas de los estudiantes del futuro. Son las prácticas presentes y futuras de lasmatemáticas-en el trabajo, la ciencia, la investigación- las que deben moldear la educación enmatemáticas. Para preparar currículos de matemáticas efectivos para el futuro, debemos observar lospatrones de las matemáticas de hoy para proyectar, de la mejor manera que podamos, precisamente loque es y lo que no es verdaderamente fundamental.

Las matemáticas elementales

En la tradición escolar se ha considerado que la aritmética, la medición, el álgebra y unaespolvoreada de geometría son los fundamentos de las matemáticas. Sin embargo, hay muchos otrosaspectos en el sistema de fundamentos de las matemáticas-ideas profundas que nutren las ramas endesarrollo de las matemáticas. Se puede pensar en:

1.estructuras matemáticas específicas• números• algoritmos• razones

• formas• funciones• datos


2. atributos

• lineal

• periódico

• simétrico

• continuo

• aleatorio

• máximo

• aproximado

• liso o suave

3. acciones• representar• controlar• probar• descubrir• aplicar

• modelar• experimentar• clasificar• visualizar• calcular

4. abstracciones• símbolos• infinito• optimación• lógica

• equivalencia• cambio• semejanza• recursión

5. actitudes• desear saber

• significar

• apreciar la belleza

• sentido de realidad

6. comportamientos• movimiento

• caos

• resonancia

• iteración

• estabilidad

• convergencia

• bifurcación

• oscilación

7. dicotomías• discreto vs continuo• finito vs infinito• algorítmico vs existencial• estocástico vs determinista• exacto vs aproximado

Estas distintas perspectivas ilustran la complejidad de las estructuras que sustentan lasmatemáticas. Desde cada una de estas perspectivas se pueden identificar varias líneas que tienen elpoder de desarrollar una idea matemática significativa desde las intuiciones informales de la primerainfancia a lo largo de toda la escuela y la universidad hasta la investigación científica y matemática.


Para lograr una educación sólida en las ciencias matemáticas es necesario que la persona tengaexperiencias con prácticamente todas estas perspectivas e ideas diferentes.Las matemáticas escolares tradicionales recoge muy pocas líneas (e.g. aritmética, geometría, álgebra) ylas acomoda horizontalmente para formar el currículo: aritmética primero, luego álgebra sencilla, luegogeometría, luego más álgebra y por último -como si fuera el epítome del conocimiento matemático-cálculo. Este enfoque de la educación matemática tipo pastel de capas impide el desarrollo informal dela intuición a través de las múltiples raíces de las matemáticas. Además refuerza la tendencia a diseñarcada curso principalmente con la idea de cubrir los prerrequisitos del curso siguiente, convirtiendo elestudio de las matemáticas en su mayor parte en un ejercicio de satisfacción retardada. Para ayudar alos alumnos a ver claramente en sus propios futuros matemáticos, es necesario construir currículos conuna mayor continuidad vertical, para conectar las raíces de las matemáticas con las ramas de lasmatemáticas en la experiencia educativa del alumno.

La matemática escolar se suele concebir como un conducto para los recursos humanos que fluyedesde las experiencias infantiles hasta las carreras científicas. Los estratos del currículo matemáticocorresponden a secciones cada vez más restringidos de tubería a través de la cual todos los estudiantesdeben pasar si quieren progresar en su educación matemática y científica. Cualquier obstáculo delaprendizaje, de los cuales hay muchos, limita el flujo en toda la tubería. Como el colesterol en lasangre, las matemáticas pueden tapar las arterias educativas de la nación.

En contraste, si los currículos de matemáticas desarrollan múltiples líneas paralelas, cada unabasada en experiencias infantiles adecuadas, el flujo de los recursos humanos parecerá más elmovimiento de nutrientes en las raíces de un árbol poderoso -o un torrente de agua de una cuencaamplia- que el confín cada vez más limitado de una arteria o conducto que se estrecha. Los distintosaspectos de la experiencia matemática atraerán a los alumnos de intereses y talentos diferentes, cadauno nutrido de ideas excitantes que estimulan la imaginación y promuevan la exploración. El efecto deconjunto será desarrollar entre los alumnos intuiciones, discernimientos y entendimientos matemáticosen distintas raíces de las matemáticas.

Cinco muestras

Aquí se dan cinco ejemplos del poder de desarrollo de algunas ideas matemáticas profundas:dimensión, cantidad, incertidumbre, forma y cambio. En cada caso se explora una rica variedad depatrones a los que se pueden introducir en diversas etapas de la escuela. Los encargados de desarrollarcurrículos encontrarán muchas opciones valiosas para las matemáticas escolares en estos ensayos.Quienes contribuyen a la planeación de las políticas educativas verán en estos ensayos ejemplos denuevos estándares de excelencia. Los padres hallarán un gran número de ejemplos de matemáticasefectivas e importantes que pueden estimular la imaginación de sus hijos.

Cada capítulo fue escrito por un distinguido estudioso que explica, en un lenguaje cotidiano,cómo pueden florecer las ideas elementales con raíces profundas en las ciencias matemáticas en lasescuelas del futuro. Aunque no se restringe a los detalles particulares de los currículos actuales, cadaensayo se apega al desarrollo de las ideas matemáticas de la niñez a la edad adulta. Al expresar estasmuy diferentes líneas del pensamiento matemático, los autores ilustran ideales de cómo las ideasmatemáticas se deben desarrollar en los alumnos.


En contraste con gran parte de las matemáticas escolares, estas líneas están llenas de acción:vaciar agua para comparar volúmenes, jugar con péndulos para explorar la dinámica, contar dulces decolores para entender la variación, construir calidoscopios para explorar la simetría. Gran parte de lasmatemáticas se pueden aprender informalmente mediante estas actividades mucho tiempo antes de quelos alumnos lleguen al punto de entender las fórmulas algebraicas. Las experiencias tempranas conpatrones tales como volumen, semejanza, tamaño y aleatoriedad preparan a los estudiantes para lasinvestigaciones científicas y para las matemáticas más formales y lógicamente precisas. Así cuando unacuidadosa demostración surge en clase años después, el alumno que se ha beneficiado de lasexperiencias matemáticas informales tempranas y sustanciales podrá decir con honesta satisfacción«Ahora veo por qué esto es verdadero».

Conexiones

Los ensayos de este libro fueron escritos por cinco autores diferentes sobre cinco temasdistintos. A pesar de las diferencias de tema, estilo y enfoque, estos ensayos tienen en común el linajede las matemáticas: cada uno está conectado en múltiples formas con la familia de las cienciasmatemáticas. Así no debe sorprender que los ensayos mismos estén repletos de interconexiones, tantoen la estructura profunda como en las ilustraciones particulares.Veamos algunos ejemplos:

LA MEDIDA es una idea que se trata repetidamente en estos ensayos. Las experiencias concantidades geométricas (longitud, área, volumen), con cantidades aritméticas (tamaño, orden, rótulos),con variación aleatoria (agujas giratorias, volados, puntuaciones SAT) y con variables dinámicas(discretas, continuas, caóticas) plantean todas ellas retos especiales para responder una pregunta muyinfantil: «¿Cuán grande es esto?». Uno ve, a partir de muchos ejemplos, que esta pregunta esfundamental: es a la vez simple y sutil, elemental y difícil. Los estudiantes que crecen reconociendo lacomplejidad de la medición pueden estar menos dispuestos aceptar, sin cuestionarlos, muchos de losusos incorrectos de los números y las estadísticas.

LA SIMETRÍA es otra idea profunda de las matemáticas que aparece una y otra vez, tanto enestos ensayos como en todas las partes de las matemáticas. Algunas veces es la simetría de la totalidad,como en el hipercubo (un cubo tetradimensional), cuyas simetrías son tan numerosas que es difícilcontarlas. (Pero con una guía adecuada, los niños chicos pueden hacerlo, usando un sencillo modelo depalillos) En otras ocasiones es la simetría de las partes, como en el crecimiento de los objetos naturalesa partir de patrones repetitivos de moléculas o células. En otros casos es la simetría rota, como en laflexión de un barra cilíndrica o el crecimiento de un huevo fertilizado a un animal adulto (ligeramente)asimétrico. A diferencia de la medición, la simetría raramente se estudia en algún nivel de la escuela,aunque es igualmente fundamental como un modelo para explicar aspectos de fenómenos tan diversoscomo las fuerzas básicas de la naturaleza, la estructura de los cristales y el crecimiento de losorganismos. Aprender a reconocer la simetría entrena el ojo matemático.

LA VISUALIZACIÓN aparece recurrentemente en muchos ejemplos de este volumen y es unade las áreas de la investigación científica y matemática de crecimiento más rápido. El primer paso delanálisis de datos es la presentación visual de los datos para la búsqueda de patrones ocultos. Lasgráficas de diversos tipos proporcionan presentaciones visuales de las relaciones y las funciones; seusan ampliamente en la ciencia y la industria para retratar el comportamiento de una variable (e.g.,


ventas) que está en función de otra (e.g., publicidad). Durante siglos los artistas y los hacedores demapas han usado artificios geométricos tales como la proyección para representar escenas y sitiostridimensionales sobre un lienzo u hoja de papel bidimensional. En la actualidad las gráficas decomputadora han automatizado estos procesos y nos permiten explorar también las proyecciones deformas en espacios de más dimensiones. El aprendizaje de la visualización de los patrones matemáticosincorpora el don de la vista como un invaluable aliado en la educación matemática.

LOS ALGORITMOS son recetas para efectuar cálculos que aparecen en todos los rincones delas matemáticas. Un procedimiento iterativo común para la planeación del crecimiento poblacionalrevela cómo aun sucesos ordenados de manera simple pueden conducir a una diversidad decomportamientos –explosión, decaimiento, repetición, caos. La exploración de patrones combinatoriosen formas geométricas permite a los estudiantes proyectar las estructuras geométricas en dimensionessuperiores donde no pueden construir modelos reales. Incluso los algoritmos comunes de la escuelaelemental para la aritmética adquieren una nueva dimensión cuando se consideran desde la perspectivade las matemáticas contemporáneas: más bien que destacar el dominio de algoritmos específicos –queahora realizan principalmente las calculadoras y las computadoras-las matemáticas escolares puedenenfatizar atributos más fundamentales de los algoritmos (e.g., velocidad, eficiencia, sensibilidad) queson esenciales para el uso inteligente de las matemáticas en la era de las computadoras. Aprender apensar algorítmicamente constituye una parte importante de la cultura matemática básica (alfabetismomatemático) contemporánea.

Muchos otros temas relacionados aparecen recurrentemente en este volumen, incluyendo losvínculos de las matemáticas con la ciencia, la clasificación como una herramienta para la comprensión,la inferencia a partir de axiomas y –más importantemente– el papel de la exploración en el proceso deaprendizaje de las matemáticas. Las conexiones dan a las matemáticas potencia y contribuyen adeterminar lo que es fundamental. Desde el punto de vista pedagógico, las conexiones permiten que eldiscernimiento logrado en una corriente se vierta en otras. Las corrientes múltiples vinculadas pormedio de interconexiones fuertes pueden desarrollar la potencia matemática en estudiantes que tienenuna amplia variedad de entusiasmos y capacidades.

La ampliación de la perspectiva

Newton acreditó su extraordinaria previsión en el desarrollo del cálculo al trabajo acumuladopor sus predecesores: «Si he visto más lejos que otros, se debe a que me apoyé en los hombros degigantes». Quienes elaboren los currículos matemáticos para el siglo XXI necesitarán una previsiónparecida.

Desde los tiempos de Newton las matemáticas no habían cambiado tanto como lo hicieron enlos años recientes. En gran parte motivados por la introducción de las computadoras, la naturaleza y lapráctica de las matemáticas se han transformado fundamentalmente por nuevos conceptos,herramientas, aplicaciones y métodos. Como el telescopio de la era de Galileo (que hizo posible larevolución newtoniana) las computadoras de hoy desafían las visiones tradicionales y obligan a realizarun nuevo examen de los valores profundamente enraizados. Como lo hicieron hace tres siglos en latransición de las demostraciones euclidianas al análisis newtoniano, las matemáticas están siendosometidas a una reorientación fundamental de sus paradigmas de procedimientos.


Abundan los ejemplos del cambio fundamental en las publicaciones de investigación de lasmatemáticas y en las aplicaciones prácticas de métodos matemáticos. Muchos de estos ejemplos se danen los ensayos de este volumen.

• La incertidumbre no es azar, puesto que la regularidad acaba por surgir.• Los fenómenos deterministas a menudo presentan comportamientos aleatorios.• La dimensionalidad no es sólo una propiedad del espacio sino también un medio de ordenar el

conocimiento.• La repetición puede ser el origen de la precisión, la simetría o el caos.• La representación visual produce entendimientos que a menudo permanecen ocultos para los enfoques

estrictamente analíticos.• Algunos patrones de cambio presentan una regularidad subyacente significativa.

Al examinar muchas líneas distintas de las matemáticas, ganamos perspectiva acerca de losaspectos comunes y las ideas dominantes. Los conceptos recurrentes (e.g., número, función, algoritmo)nos señalan lo que uno debe saber para comprender las matemáticas; las acciones comunes (e.g.,representar, descubrir, probar) revelan las habilidades que uno debe desarrollar para hacer matemáticas.Juntos, conceptos y acciones son los sustantivos y verbos del lenguaje de las matemáticas.

Lo que los humanos hacen con el lenguaje de las matemáticas es describir patrones. Lasmatemáticas son una ciencia exploratoria que busca comprender cada tipo de patrón –los patrones queocurren en la naturaleza, los patrones inventados por la mente humana e incluso los patrones creadospor otros patrones. Para crecer matemáticamente los alumnos se deben exponer a una abundantevariedad de patrones adecuados a sus propias vidas, a través de los cuales puedan ver la diversidad, laregularidad y las interconexiones.

Los ensayos de este volumen proporcionan cinco amplios estudios de caso que ejemplificancómo se puede hacer esto. Otros autores podrían haber descrito fácilmente cinco o diez ejemplosdiferentes. Los libros y artículos que se mencionan más adelante están repletos de ejemplos adicionalesde ideas matemáticas fecundas. Lo que importa en el estudio de las matemáticas no es tanto que líneasparticulares se exploran, sino la presencia de ejemplos significativos de variedad y profundidadsuficientes para revelar patrones. Al animar a los estudiantes para que exploren patrones que handemostrado su potencia y su significación, les ofrecemos unos hombros amplios para que puedan vermás lejos de lo que nosotros podemos ver.


¿Por que debe considerarse la Geometría desde perspectivas múltiples?Arthur F. Coxford, Jr.Capítulo 1 del libro ‘Geometry from multiple perspectives’ (1991), NCTM. Traducción al español porJosé Luis Torres Guerrero del CECyT Cuauhtémoc.

En el mundo que nos rodea, vemos objetos manufacturados. Muchos están hechos de partes que en suforma son rectilíneos o circulares. Estas partes se apoyan en la geometría de Euclides; es decir, estáhecha a partir de segmentos, ángulos, triángulos, cuadriláteros, poliedros, círculos, esferas, etc. Esta esla geometría del conjunto de puntos, de la línea recta y de otras herramientas euclidianas deconstrucción. La geometría euclidiana sintética sirve para describir bastante bien muchos aspectos denuestro mundo. En la línea de ensamblaje hacemos copias congruentes de dispositivos mecánicos, deaparatos electrodomésticos y de vehículos. En las oficinas y tiendas hacemos modelos a escala yheliográficas de acuerdo a esta geometría. Construimos caminos que se cortan perpendicularmente paraque los conductores puedan ver con la misma claridad en ambas direcciones. Localizamos la posiciónpara colocar un foco en el centro del techo rectangular al dibujar las diagonales de ese modelorectangular del techo. Estos ejemplos son sólo una muestra pequeña de los usos prácticos y el poderexplicativo de la geometría euclideana, la cual ha sidos aclamada como uno de los principales logros dela actividad intelectual humana y por ello ha mantenido una posición de alta estima en la currícula delas matemáticas escolares por muchos años.

Pero en la medida de que avanzamos como civilización, surgen nuevas ideas del uso de la geometríatanto dentro como fuera de las matemáticas. Estas aplicaciones no encajan con las viejasrepresentaciones de las entidades geométricas. Cabe recordar que René Descartes reconoció elpotencial de usar las coordenadas para representar puntos y el poder del uso de las expresionesalgebraicas para representar otras figuras geométricas. Aunque se tienen evidencias de que egipcios ygriegos usaron la idea de las coordenadas bastante antes de 1637, cuando se publicó La Géométrie, lacontribución de Descartes es innegable. Marca el comienzo de la integración poderosa y útil de laálgebra y la geometría: la geometría analítica.

En nuestros días, la interacción entre la álgebra y la geometría es aún mayor. Por un lado, enmatemáticas usamos el lenguaje de la geometría para describir conceptos en espacios "abstractos" talescomo los hiperplanos y las esferas n-dimensionales. Por otro, en las plantas, fábricas y laboratorios, eldiseño por computadora usa coordenadas y representaciones algebraicas para describir formasgeométricas que no son rectilíneas, ni circulares. Por ejemplo, la sección transversal de la defensa de unautomóvil puede describirse como una función de dos variables, luego de establecer un sistema decoordenadas adecuado. Con esta función se pueden modificar los contornos de la defensa, y losdiseñadores pueden someter a prueba sus ideas al hacer cambios sutiles, sin construir modelos físicosreales de la defensa. Tal capacidad le permite al usuario hacer cosas que antes sólo era posible en laimaginación de los ingenieros y arquitectos. La idea es simple, aunque poderosa: podemos usarnúmeros para identificar lugares y podemos cambiar estos lugares de acuerdo a cierta fórmula. Eltrabajador del mañana necesitará comprender esta idea simple.

Pero no todo está muy bien en la "ciudad geométrica". Los conceptos que se comprenden fácilmentecuando se describen mediante las técnicas de la geometría sintética llegan a ser engorrosos y menosentendibles cuando se describen a partir de coordenadas. En la geometría sintética, un triángulo es launión de segmentos de recta que se intersectan sólo en sus puntos extremos. En la representación con


coordenadas, necesitamos definir tres ecuaciones lineales en sendos intervalos con el fin de describirese mismo triángulo. Algunas veces la descripción algebraica es más útil, pero en otras ocasiones ladescripción sintética es más conveniente. Esto sugiere que las dos perspectivas son complementarias yno conflictivas entre sí. Deben reconocerse y entenderse para mejorar la capacidad y calidad en laresolución de problemas de los estudiantes.

El desarrollo de la tecnología computacional ha incrementado la importancia de ser capaz derepresentar formas en cualquiera de estas perspectivas y ha añadido otra: geometría vectorial. Porejemplo, un triángulo puede definirse por mandatos de graficación como los siguientes de ApplesoftBASIC:

10 PLOT 23,45 TO 49,45 20 PLOT TO 30,8 30 PLOT TO 23,45

Aquí, el triángulo está formado por tres vectores.

En Logo se puede definir un triángulo como un procedure: TO TRIANGULO

TO TRIANGULO RT 90 FD 40 LT 135 FD 50 LT 135 FD 40 END

Para dibujar un triángulo u otro polígono en la computadora se puede necesitar que los discentes usencoordenadas, vectores o algunos aspectos sintéticos inusuales de la figura. En el procedimiento en Logoanterior, el estudiante debe notar que los ángulos de 135 grados son ángulos exteriores del triángulo. EnKennedy (1987) se tiene información de usos posibles de Logo.

Ver la geometría desde las perspectivas sintética y coordenada no es los suficientemente rica como paraincluir los diferentes usos múltiples de la geometría en nuestros días. Antes se mencionó como unejemplo de la importancia de la geometría sintética a la línea de ensamblaje, donde se elaboran copiascongruentes. Pero la congruencia euclideana se aplica sólo a círculos y a las formas rectilíneasincluidas en la currícula escolar. Es decir, la noción de congruencia es esencialmente de ángulos,segmentos y triángulos. Afortunadamente, los objetos elaborados en una línea de ensamblaje no estánlimitados a ser objetos rectilíneos o sus uniones. Necesitamos que dos defensas que salgan de la líneade ensamblaje sean congruentes para que puedan servirnos en la construcción de un automóvil.

Esto nos lleva a ampliar la noción de congruencia para incluir otras formas geométricas además desegmentos, ángulos, triángulos y círculos. Así, también pueden ser congruentes las curvas, lassuperficies, e incluso los sólidos en el espacio tridimensional.

Un argumento similar se tiene para la noción de semejanza. No es suficiente que la semejanza sólo seaplique a segmentos, ángulos, triángulos y círculos. Los modelos a escala de un Corvette son


semejantes a él, y las "líneas" del auto no son los "segmentos rectilíneos" de la geometría sintéticaeuclideana. Así pues, necesitamos ser capaces de ampliar las nociones de congruencia y semejanza aformas más complejas que las figuras euclidianas usuales. Pero, incluso podemos desear ampliar lasideas de congruencia y semejanza a conjuntos de puntos que son menos complejos, como los conjuntosfinitos de puntos. Pensemos, por ejemplo, en los conjuntos de puntos de la figura 1.1.

A

B

CD

G

E

FH

T

E

PI

C

AL

S Z

O

Figura 1.1

La idea que necesitamos aquí es la de transformación geométrica. Las transformaciones geométricasaplicables son las isometrías (la reflexión, la rotación, la traslación y la reflexión con deslizamiento) ylas semejanzas. Estas transformaciones son funciones cuyos dominios son el conjunto de puntos en elplano o en el espacio tridimensional, y cuyos rangos son el mismo conjunto de puntos en el plano o enel espacio, respectivamente. Sin embargo, en la práctica sólo importa la forma y su imagen, y no elplano o espacio completo.

Fácilmente pueden enumerarse las ventajas del uso de las transformaciones: 1) Dado que el dominio esun conjunto de puntos, no existen restricciones sobre la naturaleza de ese conjunto de puntos; puede serun conjunto infinito como el ya ilustrado, o puede ser una forma euclideana tal como un cuadrado o untriángulo, o una figura "compleja" o una curva que describe la sección transversal de una defensa paraun Corvette. 2) Dado que las transformaciones son funciones, el estudio de la geometría estárelacionada más estrechamente al estudio de otras ramas de las matemáticas donde la función juega unpapel central y más explícito. 3) Dado que las transformaciones pueden considerarse modelos demanipulaciones mentales o físicas que usamos en las formas para determinar si las figuras soncongruentes o semejantes, las ideas matemáticas están más estrechamente relacionadas a la experienciadel discente. La mayoría de nosotros hemos visto a un niño tomar el modelo de una figura, manipularlapara ver si se ajusta exactamente en otra figura, y al hacerlo así, determinar que las dos figuras soncongruentes. 4) Podemos representar sintéticamente a las transformaciones mismas al usar los métodosde coordenadas o las matrices. Al usar la notación matricial para representar las coordenadas, losestudiantes pueden experimentar el extraordinario poder de las calculadoras gráficas con capacidadesmatriciales. Esto destaca más las relaciones entre las ramas de las matemáticas y ayuda a losestudiantes a lograr los objetivos asociados con la norma de "relaciones matemáticas" de losEstándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. (NCTM 1989).

¿Es [A,B,C,D]≅[E,F,G,H]? ¿Es *TEPIC*∼*SOLAZ*?


La disponibilidad de los métodos de transformación aumenta el espectro de los problemas accesibles alos resolvedores de problemas noveles. Con las perspectivas de coordenadas y sintética, algunassituaciones son más fácilmente representadas y analizadas al usar transformaciones de lo que serían conotras herramientas.

Por ejemplo, en la figura 1.2 considera la pregunta ¿dónde deberá localizarse un transformadorpotencial sobre AB de manera que la longitud del cable necesario para correr a C y a D desde AB seamínima?. Notemos primero que si C y D estuviesen en los lados opuestos de AB, el segmento que uneC con D cortaría AB en el lugar adecuado para la transformación. Pero en el ejemplo ilustrado, lasposiciones de C y D están en el mismo lado de AB. La solución es reflejar C o D sobre AB y unir laimagen al punto no reflejado restante. Puesto que el camino más corto es un segmento rectilíneo y ladistancia se conserva bajo la reflexión, la intersección de AB y la línea trazada es el lugar buscado.

A B

DC

¿Dónde deberá localizarse unf dsobre AB de tal manera que la distancia de D

ltransformador a C seaí i ?

Figura 1.2

Hasta este momento hemos dado argumentos para tratar la geometría escolar desde perspectivasmúltiples que destaca las necesidades actuales. Se tiene también un argumento que se refiere a lasnecesidades del futuro. Este data de 1975 y se encuentra en el desarrollo de la geometría fractal. Lageometría de Euclides, la introducción de las representaciones por coordenadas y algebraica, y el usodel enfoque de transformaciones, modela sólo una pequeña fracción de los objetos que se presentan enla naturaleza. Hasta el descubrimiento de los fractales, en 1975 por Benoit B. Mandelbrot, objetos talescomo las costas de Noruega, las hojas de un helecho o una cordillera montañosa de Alaska, desafiabanla descripción geométrica. Simplemente eran demasiado irregulares para modelarse con lasherramientas geométricas/algebraicas usuales. Pero con el desarrollo de las computadoras, de lasgráficas por computadora y los fractales, estos objetos naturales, con todas sus irregularidades, ahorapueden modelarse geométricamente. Muchos de estos modelos están basados en la noción de conjuntossimilares a sí mismos. Esto significa que desde dondequiera que miremos un conjunto, bajo cualquieramplificación, lo que observamos parece ser el conjunto original antes de la amplificación.

Tal es la paradoja de la irregularidad. Algunas figuras son, al mismo tiempo, tan irregulares quedesafían una descripción exacta, y tan regulares como para ser llamadas similares a sí mismas. En unsentido real, el problema es que son auténticamente demasiado regulares para una descripción exactacon las herramientas tradicionales de la geometría. Es en el área de la geometría fractal donde ellenguaje y la notación algebraica de funciones son más poderosas. El proceso de descripción y creación


de objetos similares a sí mismos está descrito matemáticamente a través de la iteración de funcionesque pueden pensarse, de una manera simple, como las composiciones repetidas de una función consigomisma. La geometría y el álgebra se encuentran de nuevo, pero en un contexto bastante diferente delque anticipó Descartes.

La geometría, ahora y mañana, debe enfocarse desde perspectivas múltiples para permitir al usuariohacer lo más que pueda con el contenido, mientras sus usos se amplían y extienden hacia regionesdesconocidas de la ciencia y la naturaleza. Los fractales, que se encuentran en el concepto de lasemejanza, que están representados gráficamente (visualmente), y que son una creación al menosparcialmente dependiente de computadoras poderosas para su existencia, son la nueva herramientageométrica en el futuro cercano. Pero, ¿qué hay en un futuro más distante? ¿Cuáles serán las nuevasherramientas? ¿Cuál será el contenido geométrico que la constituya? Nadie lo sabe, pero es seguro quedemandará un conocimiento de la geometría desde perspectivas múltiples para su entendimiento ycomprensión.

En la justificación que acabamos de dar, hemos indicado que las ideas geométricas deben, como serecomienda en Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática (NCTM 1989),ser enfocadas desde una variedad de perspectivas: sintética, de coordenadas, de transformación yvectorial. En los capítulos que siguen ilustraremos cómo pueden incorporarse estos temas en los cursosde geometría como se enseña ahora, al relacionar cada tema a los contenidos enseñadostradicionalmente, tales como triángulos, cuadriláteros, congruencia y semejanza. Además, haremossugerencias para la implementación de otras normas de la currícula. Con el fin de llevar a cabo estaagenda, comenzaremos con una breve revisión de algunas ideas fundamentales necesarias y luegoabordaremos, ya en forma, las perspectivas múltiples de la geometría.

Cuestiones de Enseñanza: El trabajo de grupo cooperativo proporciona una oportunidad paradesarrollar las habilidades de comunicación y para conducir evaluaciones informales e individualesque no se obtienen fácilmente en la instrucción directa y en el trabajo individual. Mientras los grupostrabajan problemas como el del transformador presentado aquí, circule por el salón, observediscretamente el nivel de participación de los estudiantes en lo individual y qué tan bien aplican losconceptos clave y las estrategias para resolver problemas. Haga que un miembro de cada grupocomparta sus avances o soluciones con el resto de la clase. Al mostrar respeto por las ideas de losestudiantes se fortalece el desarrollo de su potencial matemático.


Si Pitágoras hubiera tenido un geoplano . . .Bishnu NarainePublicado en la sección ‘Activities’ de la revista The Mathematics Teacher Vol. 86, N° 2, en febrero de1993. El título original es “If Pythagoras Had a Geoboard ...”. Traducción del Club de Matemáticas delCECyT Wilfrido Massieu.

♦ Creemos que el aprendizaje debe venir guiado por la búsqueda de respuestas a problemas–primero en un nivel intuitivo y empírico; más tarde generalizando; y finalmente justificando(demostrando). (Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, NCTM 1989, 10)

♦ El profesor de matemáticas debe promover un discurso en el aula en el que los estudiantes tratende convencerse ellos mismos y unos a otros de la validez de las representaciones, soluciones,conjeturas y respuestas particulares. (Professional Standards for Teaching Mathematics, NCTM1991, 45)

Guía del profesorLos Estándares de Currículo y Evaluación para las Matemáticas Escolares del NCTM (1989)recomiendan que los estudiantes trabajen en exploraciones informales planeadas para desarrollar unacomprensión de los conceptos geométricos. Esta actividad guía a los estudiantes, de grado 7 enadelante, a través de una exploración que se ocupa de los triángulos determinados por los cuadradosque se construyen sobre los lados de un triángulo cualquiera. El teorema de Pitágoras relaciona el áreadel cuadrado que se construye sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo con las áreas de loscuadrados que se construyen sobre los otros dos lados del triángulo. En esta actividad, los estudiantestienen oportunidad de desarrollar sus propios teoremas relativos a las áreas de los dos conjuntos decuatro triángulos de la figura 1.

Figura 1 Establece una relación entre las áreas de los cuatro triángulo de cada dibujo

Esta actividad da a los estudiantes una oportunidad de ver cómo exploran los matemáticos muchosejemplos diferentes antes de hacer una generalización. Además, al animar a los estudiantes a usarcualquier método adecuado para calcular las áreas, esta actividad incorpora ambos métodos, sintético yalgebraico en la geometría y ayuda a los estudiantes a darse cuenta de que se pueden usar distintosmétodos para resolver problemas parecidos. El desarrollo de esta actividad también puede contribuir a


que los estudiantes tengan más confianza en su capacidad de hacer matemáticas, se vean ellos mismoscomo resolvedores de problemas matemáticos, aprendan a comunicarse matemáticamente y aprendan arazonar matemáticamente.

Niveles: 7-12

Materiales: Un conjunto de hojas de trabajo 1-4 para cada estudiante y un conjunto detransparencias de las hojas para la discusión en clase, papel de puntos, geoplanos (optativo).

Prerrequisitos: Comprensión del teorema de Pitágoras.

Objetivos: Descubrir la relación entre las áreas de los cuatro triángulos determinados por loscuadrados construidos sobre los lados de un triángulo dado.

Instrucciones: Todas las actividades de las hojas de trabajo 1, 2, 3 y la parte inferior de la hoja4 pueden ser realizadas por todos los estudiantes. La parte superior de la hoja 4 pide que los estudiantesprueben sus conjeturas y es optativa. Aunque algunas de las figuras se pueden hacer en el geoplano, loscuadrados pueden no resultar en algunos geoplanos.

Hoja 1: Distribuye copias de la hoja 1 a todos los estudiantes. Haz que completen esta hojacomo tarea antes de trabajar en las hojas 2-5. Pide que calculen las áreas de los triángulos aplicando losmétodos que ellos mismos escojan.Después de que hayan terminado la hoja 1, discute los distintos métodos que se usaron para calcular lasáreas de los triángulos. Algunos pueden haber escogido contar los cuadrados y medios cuadrados, otrospueden calcular el área del rectángulo que contiene el triángulo y restar las áreas de figuras conocidas.Otros pueden aplicar la fórmula típica: área del triángulo = 1/2 (base por altura). Cómo procedimientoalternativo, pueden disfrutar aplicando la fórmula de Pick para calcular el área de una figura poligonalcuyos vértices están en los puntos de intersección de una cuadrícula. Si B es el número de puntos delreticulado en el perímetro e I es el número de puntos del reticulado en el interior de la figura, entoncesla fórmula de Pick establece que el área = (1/2)B + I - 1. (Consultar Hirsch (1974) para una actividadque lleva al descubrimiento de este resultado). Propón a los estudiantes que exploren esta actividadaplicando la fórmula para calcular las áreas de algunos de los triángulos de la hoja 1. El uso de estafórmula puede reducir el esfuerzo necesario para calcular las áreas de algunos triángulos. La mayoríade los estudiantes puede encontrar dificultades para responder la pregunta de desafío de la hoja 1: paracomenzar, indicales que tracen la figura en el papel de puntos.

Hoja 2: Distribuye copias de la hoja 2 a todos los estudiantes. El triángulo ABC es rectángulosólo en los ejercicios de esta hoja. Encontrarán útil el reticulado en la determinación de las áreas de lostriángulos. Anímalos para que apliquen cualquier método que quieran en el cálculo de las áreas. En elpunto 3 se les pide a los estudiantes que diseñen sus propios ejemplos. Una ventaja de este enfoque esque los estudiantes tienen que crear sus propias matemáticas. Además deben quedar más convencidosde sus conjeturas basadas en los resultados de la tabla, puesto que se aplica también a sus diagramas.

Hojas 3: Distribuye copias de la hoja 3 a los estudiantes después de que hayan terminado lahoja 2 y hayas discutido sus respuestas con ellos. Las instrucciones de la hoja 2 se siguen aquí también.La mayoría de los estudiantes encuentran útil la fórmula de Pick para calcular las áreas de algunos de


los triángulos. Otros pueden optar por escoger un origen adecuado y usar coordenadas para calcular lasáreas. Recuérdales que en estos ejemplos, el triángulo inicial ABC no es un triángulo rectángulo. Elpropósito es ver si la conjetura de la hoja 2 se puede generalizar a todos los triángulos.

Actividad complementaria- hojas 4 y 5: La prueba de las conjeturas de la hoja 4 es optativa. Sipides a los estudiantes que prueben las conjeturas, distribuye copias de la hoja 4 y haz que realicen laspruebas de manera progresiva. Anímalos para que usen métodos algebraicos, geométricos ytrigonométricos en la prueba de las conjeturas. Una prueba que use el geoplano o un paquete decomputadora como el Geometer’s Sketchpad (Jackiw 1991) también es aceptable. Prepárate paraaceptar «pruebas» de diversos niveles de sofisticación. Estimúlalos para que mejoren sus pruebas.Recuérdales que cuando una conjetura se prueba, ésta se convierte en un teorema.

Ya sea que uses la hoja 4 o no, tras discutir los descubrimientos de los estudiantes en las hojas 2y 3, distribuye una copia de la hoja 5 y deja que hagan el ejercicio de tarea para la casa. Deben aplicarsus descubrimientos de las hojas 2 y 3, y en la hoja 5 deben transferir sus conocimientos de la recíprocadel teorema de Pitágoras para encontrar las áreas de los triángulos.

Discusión posterior a la actividad: Los teoremas que se discuten en esta actividad no sonampliamente conocidos. Las discusiones con matemáticos investigadores nos sugieren que el teoremapuede ser original. Señala a tus estudiantes que el diagrama del teorema 1 de la hoja 4 está relacionadocon el diagrama que se usa para discutir el teorema de Pitágoras y que el completar los tres triángulosexteriores dio como resultado el descubrimiento de matemáticas «nuevas».

Respuestas

Hoja 1: 1.

Triángulo I II III IV V VI VII

Área 6 14 10 8 9 18 15

2. 6

Hoja 2:

Pregunta ABC HCJ GBF DAE

1 4.5 4.5 4.5 4.5

2 4 4 4 4

3 * * * *

Área del triángulo

* En la pregunta 3, las respuestas dependen del diagrama de los estudiantes. Las cuatro áreas deben seriguales.4. Son todas iguales.5. Sí.6. Sí.7. Sí.


8. Si se trazan cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo y se completan los trestriángulos, como se muestra en el punto 1, entonces el área de cada uno de los tres triángulos esigual al área del triángulo rectángulo original.

Hoja 3:


1 6 6 6 6

2 5 5 5 5

3 * * * *

Área del triángulo

* En la pregunta 3, las respuestas dependen del diagrama de los estudiantes. Las cuatro áreas deben seriguales.4. Son todas iguales.5. Sí.6. Sí.7. Sí.8. Si se trazan cuadrados sobre los lados de un triángulo y se completan los tres triángulos como se

muestra en el punto 1, entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área deltriángulo original.

Hoja 4:Conjetura 1: La figura 2 ilustra una «prueba» algebraica de la conjetura 1. El cuadrado que se muestraen líneas punteadas gruesas tiene lados de longitud a+b. Así que cada uno de los cuatro triángulos tieneun área de (1/2)ab.

b

a

b

a

c

b

b

a

c

c

c

C

B

A

J D

G

H

E

F

Figura 2Prueba algebraica

Algunos estudiantes pueden preferir una prueba trigonométrica como la siguiente: Sea m∠ABC=θ en lafigura 3. Entonces los ángulos CAB, DAE y GBF tiene las medidas que se indican en la figura. Aplica

‘Geometría y Trigonometría’ Libro pa

la fórmula el área de un triángulo es un medio del producto de dos lados cualesquiera y el seno delángulo que forman. Se obtienen las áreas siguientes:∆ABC = (1/2)ab, o (1/2)(base x altura)∆HCJ = (1/2)ab, o (1/2)(base x altura)∆GBF = (1/2)ac sen (180 - θ ) = (1/2)ac sen θ = (1/2)ab(b = c sen θ en ∆ABC )∆DAE = (1/2)bc sen (90 + θ ) = (1/2)bc cos θ =(1/2)ba(a = c cos θ en ∆ABC)Esta investigación muestra que cada uno de los cuatro triángulos tiene un área de (1/2)ab

b

c

a

c

a

a

b

C

B

E

F

H

G

J

θ

FiguPrueba trigo

Conjetura 2: Algunos estudiantes pueden preferir unm∠ABC= θ y m∠ACB=α en la figura 4. Entonces lomedidas que se muestran en la figura. Aplica la fórmproducto de dos lados cualesquiera y el seno del áng

∆ABC = (1/2)ab sen α∆HCJ = (1/2)ab sen (180 - α ) = (1/2)ab sen α∆GBF = (1/2)ac sen (180 - θ ) = (1/2)ac sen θ = (1/2)(en ∆ABC, b/sen θ = c/sen α => c sen θ = b sen α )∆DAE = (1/2)bc sen (α + θ ) = (1/2)b .a sen α (en ∆ABC, a/sen (180 - (α + θ)) = c/sen α

=> a/sen (α + θ) = c / sen α=> c sen (α + θ) = a / sen α )

Esta investigación muestra que cada uno de los cuatrforma alternativa se puede mostrar que las áreas son

180-θ

90-θ

ra el Profesor

b

A

D

ra 3nométrica

a prueba trigs ángulos CAula el área dulo que form

ab sen α

o triángulos (1/2)ac sen θ

90+θ

Hoja 122

onométrica como la siguiente: SeanB, HCJ, DAE y GBF tienen lase un triángulo es un medio delan. Se obtienen las áreas siguientes:

tiene un área de (1/2)ab sen α. En.


b

a c

c

c

b b

a

a

C A

B

F

E

J D

G

Hθ

α

Figura 4. Prueba trigonométrica

Hoja 5:1. (a) Cada triángulo tiene 6 unidades cuadradas.1. (b) Cada triángulo tiene un área de 24 unidades cuadradas.1. (c) Cada triángulo tiene un área de 48 unidades cuadradas.2. Cada triángulo tiene un área de 40 unidades cuadradas.3. Cada triángulo tiene un área de 49 unidades cuadradas.

REFERENCIAS

Hirsch, Christian R. “Pick’s Rule.” Mathematics Teacher 67 (May 1974): 431-34.Jackiw, Nicholas. The Geometer’s Sketchpad. Berkeley, Calif.: Key Curriculum Press, 1991. Software.National Council of Teachers of Mathematics, Commission on Standards for School Mathematics.Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va: The Council, 1989.National Council of Teachers of Mathematics, Commission on Teaching Standards for SchoolMathematics. Professional Standards for School Mathematics. Reston, Va: The Council, 1991.


CÁLCULO DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS HOJA 1

1. Encuentra el área de cada triángulo y registra tu respuesta en la tabla.

VII

IV

III

V

III

VI

Registra tus respuestas aquí:

Triángulo I II III IV V VI VII

Área

2. Desafío: Se trazan cuadrados sobre los lados AB y AC del triángulo rectángulo ABC. ¿Cuál es elárea del triángulo ADE? ___________

4

3

CA

B

E

D

‘Geometría y Trigono

FORMULA UNA CONJETURA SOBRE EL TRIÁNGULO HOJA 2

C A

B

J

F

E

H

G

D

B

C A

3. Traza tu propio ejemplo en el cuadrado sobre cada uno de sus laden los puntos anteriores. Calcula lrenglón correspondiente de la tabla

Pre

2. El triángulo ABC que aparece a la izquierda es untriángulo escaleno. Traza un cuadrado sobre cada uno delos lados y completa los otros tres triángulos como en elpunto 1. Asegúrate de nombrar los vértices de la mismamanera. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribetus resultados en la tabla de abajo.

1. Comienza con el triángulo rectánguloisósceles ABC que aparece a la derecha, alque se le han trazado cuadrados sobrecada uno de sus lados. Se trazan lostriángulos HCJ, GBF y DAE como semuestra en la figura. Calcula las áreas delos cuatro triángulos y llena el renglóncorrespondiente de la tabla de abajo contus resultados.

metría’ Libro para el Profesor Hoja 125

espacio punteado. Comienza con un triángulo ABC, traza unos y completa los otros tres triángulos de la misma manera queas áreas de los cuatro triángulos y escribe tus resultados en elde abajo.

gunta ABC HCJ GBF DAE

1 6

2 5

3

Área del triangulo


Haz referencia a la tabla al responder estas preguntas:4. ¿Cuál es la relación que adviertes entre las áreas de los cuatro triángulos del punto 1.5. ¿Se conserva la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 2?6. ¿Se cumple la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 3?7. ¿Se cumplirá la misma relación si comienzas con cualquier triángulo?

Nota: Si no estás seguro de tu conclusión, traza algunos otros triángulos en papel de puntos, con suscuadrados y triángulos, como en el punto 1, y calcula las áreas de los cuatro triángulos.

8. Completa la conjetura siguiente basada en los resultados de la tabla. Si se traza un cuadrado sobrecada lado de un triángulo y se completan los tres triángulos como se muestra en el punto 1, entoncesel área de cada uno de los tres triángulos es igual a


2. El triángulo ABC que aparece a la izquierda es untriángulo escaleno. Traza un cuadrado sobre cada uno delos lados y completa los otros tres triángulos como en elpunto 1. Asegúrate de nombrar los vértices de la mismamanera. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribetus resultados en la tabla de abajo.

FORMULA UNA CONJETURA SOBRE EL TRIÁNGULO (CONTINUACIÓN)HOJA 3

C

B

A

F

E

J

D

G

H

A

B

C

3. Traza tu propio ejemplo en el espacio punteado. Comienza con un triángulo ABC, trazaun cuadrado sobre cada uno de sus lados y completa los otros tres triángulos de la mismamanera que en los puntos anteriores. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribetus resultados en el renglón correspondiente de la tabla de abajo.


1 6

2 5

3

Área del triangulo

Haz referencia a la tabla al responder estas preguntas:4. ¿Cuál es la relación que adviertes entre las áreas de los cuatro triángulos del punto 1.5. ¿Se conserva la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 2?6. ¿Se cumple la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 3?7. ¿Se cumplirá la misma relación si comienzas con cualquier triángulo?

Nota: Si no estás seguro de tu conclusión, traza algunos otros triángulos en papel depuntos, con sus cuadrados y triángulos, como en el punto 1, y calcula las áreas delos cuatro triángulos.

8. Completa la conjetura siguiente basada en los resultados de la tabla. Si se traza uncuadrado sobre cada lado de un triángulo y se completan los tres triángulos como semuestra en el punto 1, entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual a

1. En estas figuras vas a comenzar con un triánguloque no es rectángulo. Comienza con el triánguloisósceles ABC que aparece a la derecha, al que sele han trazado cuadrados sobre cada uno de suslados. Se trazan los triángulos HCJ, GBF y DAEcomo se muestra en la figura. Calcula las áreas delos cuatro triángulos y llena el renglóncorrespondiente de la tabla de abajo con tusresultados.

‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el

DEMUESTRA LAS CONJETURAS SOBRE EL TRIÁNGULO HOJA 4

Conjetura1.Si se traza un cuadrado sobrecadalado de un triángulo rectángulo ABC y secompletanlos tres triángulos como se muestra, entoncesel área de cada uno de los tres triángulos esigual al área del triángulo ABC.

Demostración. Formula por escrito tudemostración (o describe tu método dedemostración).

Ahora que has probado tu conjetura, lapuedesvolver a escribir, pero como teorema:

TEOREMA 1: Si se traza un cuadrado sobrecada lado de un triángulo rectángulo ABC yse completan los tres triángulos como semuestra, entonces el área de cada uno de lostres triángulos es igual al área del triánguloABC.

Conjetura 2. Si se traza un cuadrado sobre cadalado de un triángulo cualquiera ABC y secompletan los tres triángulos como se muestra,entonces el área de cada uno de los trestriángulos es igual al área del triángulo ABC.

Demostración. Formula por escrito tudemostración (o describe tu método dedemostración).

Ahora que has probado tu conjetura, lapuedes volver a escribir, pero como teorema:

TEOREMA 2 : Si se traza un cuadradosobre cada lado de un triángulo cualquieraABC y se completan los tres triánguloscomo se muestra, entonces el área de cadauno de los tres triángulos es igual al áreadel triángulo ABC.

F

Profe

c

ba

B A

C

E

H

G

DJ

F

sor Hoja 128

c

a b

B A

C E

J D

H

G


APLICA LOS TEOREMAS HOJA 5

1. Se traza un cuadrado sobre cada lado de cualquier triángulo como se muestra. Calcula elárea de cada triángulo de la siguiente figura.

4

3

C A

B

8

10

C A

B

1010

12

B

AC

2. Se trazan cuadrados sobre los lados AB y AC del triángulo rectángulo ABC, como semuestra. Calcula el área de cada triángulo de la siguiente figura.

10

8

B A

C

3. Se trazan cuadrados sobre los lados AC y BC del triángulo rectángulo ABC, como semuestra. Calcula el área de cada triángulo de la figura.

14

7B

C

A


Haz tus propios problemas -y después resuélvelosRobert L. Kimball

Publicado en la sección ‘Activities’ de la revista The Mathematics Teacher Vol. 84, ennoviembre de 1991. El título original es “Make your own problems-and then solve them”.Traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu.

El currículo de matemáticas debe incluir el refinamiento y ampliación de los métodos de laresolución de problemas matemáticos para que todos los estudiantes puedan identificar yformular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas. (Curriculumand Evaluation Standards for School Mathematics, NCTM 1989, 137)

El currículo de matemáticas debe incluir el desarrollo continuo del lenguaje y delsimbolismo para comunicar ideas matemáticas de tal forma que todos los estudiantespuedan expresar ideas matemáticas verbalmente y por escrito. (Curriculum and EvaluationStandards for School Mathematics, NCTM 1989, 140)

El profesor de matemáticas debe plantear tareas que . . . requieran la formulación deproblemas, la resolución de problemas y el razonamiento matemático [y] fomentar lacomunicación acerca de las matemáticas. (Professional Standards for TeachingMathematics, NCTM 1991, 25)

Guía del profesorIntroducción: Si queremos enseñar a nuestros estudiantes para que se conviertan enresolvedores de problemas, debemos meterlos en problemas que no se resuelvansencillamente aplicando las técnicas y los conceptos que se acaban de estudiar. Debemosexigirnos para exigirles, estimularnos para estimularlos. Debemos explorar ideas más alláde lo obvio si queremos que exploren las matemáticas. Debemos preguntarnos «¿Quépasaría si . . .?» para lograr que se pregunten «¿Qué pasaría si . . .?». Debemos ser curiosose ingeniosos si queremos que sean curiosos e ingeniosos con respecto a las matemáticas.Debemos ser perseverantes si esperamos que sean perseverantes. En otras palabras,debemos modelar las mismas conductas de resolución de problemas que queremos quedesarrollen.La actividad siguiente es un ejemplo de lo que puede ocurrir cuando un grupo, un profesoro un estudiante va más allá del problema matemático típico y se plantea la pregunta «¿Quépasaría si . . .?». Muchos son los conceptos y problemas, en todas las áreas de lasmatemáticas y en todos los niveles, que se pueden ampliar y explorar llevando a cabo estetipo de investigación.Todos conocemos el problema siguiente:

Comienza con un pedazo de metal rectangular de dimensiones m y n. Corta uncuadrado de cada esquina para construir la caja (sin tapa) que tiene volumen máximo.¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo?

Por supuesto, este no es sólo un problema de cálculo; podemos encontrar el volumenmáximo sin la derivada. (Véase La hoja de actividad 1 de Pleacher [1991]).Pero, ¿qué pasaría si no se nos pide construir una caja? ¿Qué pasaría si queremos construirun cilindro circular recto (con base y tapa) de volumen máximo? La actividad siguiente


explora las posibilidades cuando los pedazos se cortan a partir de una forma rectangular fija-una hoja de papel de tamaño legal, de ocho y media pulgadas por catorce pulgadas.Después los estudiantes exploran los resultados posibles cuando se usa un rectángulo deocho y media pulgadas por once pulgadas (una hoja de tamaño carta).

Niveles: 8-12Materiales: Una provisión de hojas de tamaños legal y carta, las hojas de trabajo

preparadas, reglas, cinta adhesiva, compás y tijeras para cada estudiante. Esta actividadsupone que los estudiantes tienen sus calculadoras siempre a la mano.

Objetivos: Estas actividades animarán a los estudiantes para que explorenconceptos matemáticos importantes fabricando modelos tridimensionales y aplicando elmétodo de ensayo y error para examinar cómo influyen diversos factores en el volumen deun sólido. Los estudiantes realizarán actividades manuales y aplicarán técnicas algebraicaspara encontrar las dimensiones que producen el volumen máximo. Los estudiantesresumirán e interpretarán sus resultados.

Requisitos previos: Los estudiantes deben saber las fórmulas del área, lacircunferencia y el volumen, ser capaces de manipular expresiones algebraicas y resolverecuaciones. (Los estudiantes que no tengan los antecedentes algebraicos necesarios puedencompletar las hojas 1 y 2).

Instrucciones: Esta actividad requiere tres o cuatro períodos de clase paracompletarse. Las tareas para la casa se dan en las hojas 1, 2 y 5.

Hoja 1: Discutir el problema original de encontrar las dimensiones de una caja devolumen máximo que se obtiene de una hoja de papel rectangular. Explica la pregunta«¿Qué pasaría si . . .?»:

¿Cuáles son las dimensiones de un cilindro circular recto con base y tapa que se cortade una hoja de papel rectangular?

Conducir una discusión en el grupo en relación a las respuestas de la pregunta 1.Asegurarse de que los estudiantes comprendan cómo responder la pregunta 3b. Distribuirlas hojas de tamaño legal, las tijeras, la cinta adhesiva, las reglas y los compases. Recordara los estudiantes que sus mediciones serán aproximadas.

Hoja 2: Reunir a los estudiantes en grupos de tres a cinco integrantes. Escoger a unestudiante en cada grupo para que lleve el registro. Animarlos para que discutan laspreguntas de sus hojas en los grupos.

Hojas 3 y 4: Repartir las hojas 3 y 4 a los estudiantes. Pedirles que discutan losreportes que escribieron en sus tareas para la casa de la hoja 2. Examinar el caso 1A contoda la clase. Dejar que trabajen individualmente, o en sus grupos, hasta completar lashojas. Antes de que comiencen el caso 3, hacer notar que sólo se consideran los círculoscortados en el extremo más largo, ya que es evidente que si se colocan los círculos en losextremos opuestos del lado corto no se obtendrá el volumen máximo. Aunque nosotros,


como buenos resolvedores de problemas, debemos tener mucho cuidado al considerar yexplorar todas las posibilidades, tampoco queremos esforzarnos sin buenas razones. Estecomentario puede generar una animada discusión de la clase acerca del sentido común y lasmatemáticas.

Hoja 5: Distribuir la hoja 5, las hojas tamaño carta, las tijeras, la cinta adhesiva, lasreglas y los compases. Conducir una discusión acerca de los cilindros y los argumentos delos estudiantes. Pedirles que piensen en otras preguntas de «¿Qué pasaría si . . .?».Animarlos para que formulen otros problemas y preguntas que vayan más allá deltratamiento usual de los temas.

Respuestas

Hoja 1: 1.Ejemplos: Envases de aceite de motor, envases de bebidas, envases de atún,envases de pelotas de tenis. Propiedades: La tapa y la base son regiones circulares delmismo tamaño. Los lados forman con la base y con la tapa ángulos rectos. Si se quitan labase y la tapa y se desenrolla el cilindro se forma un rectángulo. Las dimensiones delrectángulo son la altura del cilindro y la circunferencia de la tapa y la base. 3. Variarán lasrespuestas.

Hoja 2: Las respuestas variarán.

Hoja 3: (Las respuestas se redondean al centésimo más próximo).

Caso 1A: Caso 1B: 5.8=+ dx C=14

πd+d = 8.5 23.27214

≈==ππ

r

05.21

5.8≈

+=π

d 46.414≈=

πd

45.61

5.85.8 ≈+

−=π

x 5.8=+ dh

03.11

25.4≈

+=π

r 04.4145.8 ≈−=π

h

( )141

25.4 2

+=

ππV

−

=

πππ 145.87 2

V

331.46 in≈ 307.63 in≈

Hoja 4:

Caso 2A: Caso 2B :14=+ dx 5.8=c


14=+ ddπ 35.125.4≈=

πr

69.11

7≈

+=π

r 71.25.8≈=

πd

62.101

1414 ≈+

−=π

x 14=+ dh

( )5.81

7 2

+=

ππV 29.115.814 ≈−=

πh

328.76 in≈

−

=

πππ 5.81425.4 2

V

394.64 in≈Caso 3A: Caso:3B

5.8=h C=8.5

dxC π== 35.125.42

5.8≈==

ππr

142 =+ dx 71.25.8≈=

πd

72.22

14≈

+=π

d 59.81714214 ≈−=−=π

dh

55.82

2814 ≈+

−=π

x

−

=

πππ 171425.4 2

V

36.12

7≈

+=π

r 338.49 in≈

( )5.82

7 2

+=

ππV

350.49 in≈

Hoja 5:1. a) 8 ½” * 11 “

b) d C

11=+ cdd+πd = 11d ≈ 2.66r ≈ 1.33C ≈ 8.34

d) 8.5 in.

e) ( )5.81

5.5

+=

ππV

309.47 in≈h=8.5


2. El mismo método de las hojas 3 y 4 que produjeron el cilindro de volumen máximo,producirá el cilindro de volumen máximo usando una hoja de tamaño carta. Este hechose advierte fácilmente si se resuelven los casos 1 a 3 con once pulgadas en lugar de lascatorce de la hoja original.

REFERENCIASNational Council of Teachers of Mathematics, Commission on Standards for SchoolMathematics. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va:The Council, 1989.

National Council of Teachers of Mathematics, Commission on Teaching Standards forSchool Mathematics. Professional Standards for School Mathematics. Reston, Va: TheCouncil, 1991.

Pleacher, David. “Activities: Activities to Introduce Maxima-Minima Problems.”Mathematics Teacher 84 (May 1991): 379-86.


CONSTRUYE TU PROPIO CILINDRO HOJA 1

1. Discusión del grupo: Piensa en varios ejemplos de cilindros circulares rectos que tenganbase y tapa. ¿Qué propiedades tienen todos estos objetos en común?

2. Construye un cilindro circular recto con base y tapa, usando el papel que se te entregó.Todo (la base, la tapa y la superficie lateral) se debe cortar de la misma hoja de papel.

3. Registra la información siguiente relativa a tu cilindro.

a) Las dimensiones de la hoja de papel antes de cortarla:____________

b) Haz un bosquejo de las posiciones de la tapa, la base y la superficie lateral quecortaste de la hoja de papel.

c) Diámetro de la base y la tapa:_______________________________Radio de la base y la tapa:__________________________________Circunferencia de la base y la tapa:___________________________

d) Dimensiones del papel que se usó en la superficie lateral:__________

e) ¿Cómo se relacionan el tamaño de la base y la tapa con las dimensiones del papelque usaste para la superficie lateral? Explica tu respuesta_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tarea para la casa

Lleva a la casa por lo menos tres hojas de papel del mismo tamaño. Trata de construir uncilindro cuyo volumen sea el más grande posible. Registra la información acerca de tuscilindros en el cuadro siguiente._________________________________________________________________________Bosquejo de las posiciones Radio de la Altura del Volumen delde los círculos y rectángulo base y la tapa cilindro cilindro_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________


CILINDROS DE VOLUMEN MÁXIMO HOJA 2

Trabaja en grupos chicos para recopilar la información acerca de los cilindros queconstruyeron con el volumen máximo. Llena el cuadro siguiente.

_________________________________________________________________________Bosquejo de las posiciones Radio de la Altura del Volumen delde los círculos y rectángulo base y la tapa cilindro cilindro_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Discusión del grupo

1. ¿Usaron en tu grupo métodos distintos para construir los cilindros? En otras palabras,¿se cortaron los círculos para la base y la tapa de lugares diferentes de la hoja? Si no sehizo, considera otros métodos y construye unos cuantos cilindros más.

2. ¿Cuánto papel se desperdició en cada método? ¿Hubo algún método en que se usara máspapel que en otros?

3. ¿El volumen es mayor cuando el cilindro es bajo o alto, ancho o estrecho?

4. ¿Cómo influyen los cambio del diámetro de los círculos en el volumen del cilindro?

5. ¿Cuál es el mayor diámetro que los círculos pueden tener? ¿Cuál sería la altura de esecilindro?

6. Después de su discusión, usen otra hoja de papel del mismo tamaño para construir, conbase y tapa, un volumen circular recto cuyo volumen sea el más grande posible.

Tarea para la casa

Escribe un reporte de lo que decidió tu grupo acerca de cómo construir el cilindro devolumen máximo.


LA APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA PARA RESOLVER EL PROBLEMA HOJA 3

Hemos usado varios métodos distintos para construir los cilindros. Consideraremos ahoraalgebraicamente el más eficiente de estos métodos.

Caso 1Considera el caso en que el rectángulo que se usa para formar la superficie lateral delcilindro se corta del lado más largo de la hoja de papel y los círculos se cortan del pedazode papel que queda. Para construir el cilindro debemos determinar qué lado del rectángulose usará como altura, h, del cilindro. El otro lado del rectángulo será igual a lacircunferencia, C, de la base y la tapa del cilindro. Estos dos casos se consideraránseparadamente como casos 1A y 1B.Caso 1A

Sea el lado más largo de la hoja depapel la altura del cilindro.Necesitamos encontrar la otradimensión, x, del rectángulo queformará la superficie lateral delcilindro. Sea d el diámetro de los doscírculos que se cortan del resto de lahoja de papel original.Puesto que x es también igual a lacircunferencia de los círculos,encuentra estos valores.

x = C

h = 14 pulgadas

x = πd x + d = _______________ π d + d = _______________ d = _______________ x = _______________ r = _______________

Aplica la fórmula V = π r2 h para encontrar el volumen de este cilindro. V = ______________

Caso 1BAhora sea el lado más largo de la hojade papel la circunferencia de loscírculos.C = _________________________r = _________________________d = _________________________¿Cuál es la relación entre h y d?____________________________h = _________________________V = _________________________


LA APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA PARA RESOLVER EL PROBLEMA HOJA 4

Caso 2A continuación considera el caso en el que el rectángulo que se usa para la superficie lateraldel cilindro se corta del lado más corto de la hoja de papel y los círculos se cortan del papelque queda. De nuevo, considera dos casos.Caso 2 A. Sea la altura del cilindro 8.5 pulgadas. Necesitamos encontrar la otra dimensión,x, del rectángulo que formará la superficie lateral del cilindro y es igual a la circunferenciade nuestros círculos.

x = π d x + d = _______________ π d + d = _______________ d = _______________ r = _______________ x = _______________ V = _______________

Caso 2B. Sea la circunferencia de los círculos 8.5 pulgadas. Necesitamos encontrar la otradimensión, h, del rectángulo que formará la superficie lateral del cilindro y que será laaltura de los círculos.

C = ______________________r = ______________________d = ______________________¿Cuál es la relación entre h y d?_________________________h = ______________________V = ______________________

Caso 3. Considera el caso en que los círculos se cortan de cada extremo de la hoja.Proporciona tus propios argumentos para los casos 3A y 3B.


LA MAXIMIZACIÓN DEL VOLUMEN DE LOS CILINDROS HOJA 5

1. Usa una hoja de papel tamaño carta para construir el cilindro de volumen máximo.Proporciona la información siguiente acerca de tu cilindro.

a) Las dimensiones del papel antes de cortarlo: _______________________b) Haz un bosquejo de las posiciones de la base, la tapa y la superficie lateral del cilindroque construiste con el papel.

c) El diámetro de la base y la tapa: _______________________________ El radio de la base y la tapa: __________________________________ La circunferencia de la base y la tapa: ____________________________d) Las dimensiones del rectángulo que se usa para la superficie lateral del cilindro:e) El volumen del cilindro:

2. Presenta un argumento convincente que sostenga que has construido el cilindro devolumen máximo.

Tarea para la casa

Escribe un párrafo explicando donde esta resolución sería útil y por qué.


Mapas Conceptuales para la creación de Ambientes Virtuales de Aprendizaje

Alberto Fernández Beltrán

La utilización de las tecnologías de información y comunicación para la creación demodelos educativos innovadores ha constituido un tema de investigación durante más deveinte años.

La aparición y popularización de Internet y las herramientas asociadas como: correoelectrónico, foros de discusión, videoconferencias de escritorio, charla en línea, hanenriquecido el entorno para desarrollar Ambientes Virtuales de Aprendizaje.

Sin embargo, muchos de los intentos de crear sistemas innovadores se han visto frenadospor una falta de visión integradora de los elementos involucrados. Esto se refleja en eldesarrollo de materiales en forma lineal a imagen de los impresos tradicionales.

El acceso a los recursos de información no es una condición suficiente para el aprendizaje,aunque esto es indispensable para los estudiantes de educación a distancia. El aprendizajees el proceso por el cual la información se convierte en conocimiento. Y conocimiento nosignifica memoria.

Los estudiantes al aprender construyen representaciones internas de conocimientoconocidas como "modelos mentales". En otras palabras, un modelo mental es nuestramanera de conocer el mundo. Es nuestro punto de vista de cómo explicamos un fenómeno oconcepto. Cada estudiante pone en esta acción un agregado de acuerdo a sus propiasexperiencias y entendimiento en el proceso de aprendizaje.

Los "expertos" que interiorizan y automatizan este conocimiento para poder utilizarlo sinreflexión; adquieren sabiduría.

La mayor parte del uso educacional de la Web se ha caracterizado como un medio depublicación más que una actividad educativa propia. Los docentes publican sus apuntespara que los alumnos los bajen y los lean, y éstos, a su vez, ponen en línea sus trabajos.Aún se siguen los modelos educativos del siglo XIX más que la creación de nuevosambientes de aprendizaje.

Existe la necesidad de que los docentes reconceptúen y transformen la Web de un ambientepara publicar información hacia uno especialmente adecuado para una educación efectivabasada en nuevos principios tales como la interacción y el aprendizaje colaborativo.

Sin embargo, la creación de un ambiente donde se puedan explotar las cualidades de cadauna de las herramientas disponibles en Internet no es cosa sencilla.

La utilización de Mapas Conceptuales, puede ser de gran utilidad para la construcción deambientes y materiales más adecuados para la explotación de los recursos tecnológicosdisponibles.

Los mapas conceptuales son un medio que permite la representación de conceptos oconocimiento. Se utilizan para expresar relaciones entre ideas o conceptos y paraestructurar argumentos.


Se ha promovido su uso en el campo educativo para investigar el entendimiento de un temaen particular por parte de los estudiantes para construir conocimiento y para evaluarlo. Enadministración se utilizan como medios para representarlas estructuras conceptuales queforman la base de una toma de decisión. En inteligencia artificial se desarrollaron lasllamadas redes semánticas usadas en forma extensiva para la representación formal delconocimiento.

En relación a los AVA, los mapas conceptuales tienen un potencial importante para eldiseño y navegación de sitios Web (por su propia representación gráfica) y como unaherramienta de interacción grupal.

Mapa Conceptual sobre Mapas Conceptuales

(Joseph D. Novak, Cornell University)

Los Mapas conceptuales constituyen una técnica para la representación del conocimientoen forma gráfica. Las gráficas de conocimiento forman redes de conceptos consistentes ennodos y ligas. Los nodos representan los conceptos y las ligas representan la relación entredos nodos conectados.

Los conceptos generalmente son expresados por medio de sustantivos y la relación entredos conceptos por medio de verbos o preposiciones. Las ligas pueden ser unidireccionales,


bidireccionales o simplemente asociativas. Los conceptos pueden categorizarse de acuerdoa características causales o temporales.

Otra característica de los mapas conceptuales es que los conceptos se representan en formajerárquica con los más generales en la parte superior y más particulares en la inferior.

Pueden existir referencias cruzadas entre conceptos pertenecientes a regiones distantesdentro del mapa conceptual, lo que enriquece las relaciones de los propios conceptos.

Los mapas conceptuales pueden emplearse para:

• Generar ideas,

• representar estructuras complejas,

• comunicar ideas elaboradas,

• integrar conocimientos a partir de una base común,

• evaluar el conocimiento de un tema específico,

• desarrollo curricular

Está técnica fue desarrollada inicialmente por el profesor Joseph D. Novak de laUniversidad de Cornell durante lo años 1960. Su trabajo se basa en las ideas de Ausubel,quien estableció la gran importancia del conocimiento previo para aprendizaje de nuevosconceptos. Novak concluyó que el aprendizaje valioso incluye la asimilación de nuevosconceptos y proposiciones dentro de las estructuras cognoscitivas existentes.

Para aprender a construir mapas conceptuales es recomendable comenzar con temas queuno mismo domine y saber el contexto en que se utilizará. Para establecer la estructurajerárquica también debe limitarse la extensión del dominio.

Una vez determinado el concepto principal, el siguiente paso consiste en identificar otrosconceptos importantes relacionados al original. Esto puede llevarse a cabo como una lluviade ideas, tratando de jerarquizar los conceptos.

Con estos elementos se puede construir un mapa conceptual primitivo que iráevolucionando con nuevos conceptos, nuevas relaciones, relaciones cruzadas y nuevasestructuras. Es importante mencionar que un mapa conceptual jamás se termina. Cada vezque se revise puede ser enriquecido.

Existen diversos programas de cómputo para la construcción de mapas conceptuales (seincluyen algunas ligas de Internet al final).

El Instituto para el Conocimiento Humano y de Máquinas de la Universidad de WestFlorida ha desarrollado una herramienta para tal fin llamada Cmap. El software es libre ypuede obtenerse en el sitio del Instituto, así como información relacionada con los mapasconceptuales.


Mapa Conceptual sobre Ambientes Virtuales de Aprendizaje

Bibliografía

Novak, J.D., & D.B.Gowin (1984). Learning How to Learn. New York And Cambridge,UK: Cambridge University Press

Buzan, Tony. (1993). The Mind Map Book.London, UK. BBC Books

Ligas en Internet

Sitio del Instituto de conocimiento de la Universidad de West Florida, sobre mapasconceptuales contiene una herramienta para su creación http://cmap.coginst.uwf.edu/

Otras herramienta para crear mapas conceptuales

http://www.coco.co.uk/

http://trochim.human.cornell.edu/kb/conmap.htm


http://world.std.com/~emagic/mindmap.html

Herramienta para crear mapas mentales http://mindman.com/

afb- 31/7/2000


El valor permanente de la demostraciónGila HannaTexto de la conferencia plenaria presentada en el Congreso PME 20, y se publicó tituladocomo: "The ongoing value of proof". Gutiérrez, A. y L. Puig (editores). Proceedings ofPME 20. España (Valencia). Vol. 1, pp. 21-34. 1996. Traducción al español por VíctorLarios Osorio (Depto. de Matemáticas del CICFM, Fac. de Ingeniería, UAQ, 1999).

IntroducciónEn los últimos treinta años la demostración ha asumido un papel cada vez menosimportante en el curriculum de la escuela secundaria estadunidense. Esto que ha sucedidopuede ser explicado en parte por el hecho de que muchos docentes de matemáticas han sidoinducidos a creer, por algunos desarrollos de las matemáticas y de la investigación en laeducación matemática, que la demostración no tenía un papel fundamental en la teoría y enla práctica matemática y que su uso en la práctica didáctica no favorece, por sí mismo, elaprendizaje. Parece además que muchos piensan haber resuelto los añejos problemas de laenseñanza de la demostración limitándose simplemente a no tomarla en consideración.

En la investigación misma el uso de las demostraciones asistidas por la computadora, lacreciente consideración en la cual se considera la experimentación en matemáticas y lainvención de nuevos tipos de demostración que se separan de los criterios tradicionales, hanllevado a hipotizar que los matemáticos aceptarán tales formas de validación en lugar de lasdemostraciones. La influencia de estos desarrollos ha sido reforzada por las proclamas dealgunos investigadores en didáctica de las matemáticas, inspirados en parte por el trabajo deLakatos, indicando que la demostración no es central para la actividad de descubrimientoen matemáticas, que las matemáticas son en cada caso falibles y que la demostración es unaclase de afrenta autoritaria a los valores sociales modernos y que puede tambiénobstaculizar la actividad de aprendizaje a determinadas personas.

Esta situación ha provocado una gran preocupación entre otros investigadores en didácticade la matemática. Greeno (1994), por ejemplo, ha centrado la atención sobre losmalentendidos ligados a la naturaleza de la demostración:

«Relativamente a la práctica didáctica, estoy alarmado por la tendencia dehacer desaparecer la demostración de las matemáticas preuniversitarias ycreo que a esto se podría poner remedio mediante una mayor toma deconciencia del significado epistemológico de la demostración enmatemática» (p.270).

También Schoenfeld (1994), contestando a la pregunta «¿Tenemos necesidad de lademostración en la didáctica de las matemáticas?», da una respuesta inequívoca:«Absolutamente. ¿Debo decir más? Absolutamente».

En este trabajo se afirma que ninguna de las posiciones tomadas en consideración debilitala importancia del valor de la demostración y que muchas de las afirmaciones basadas enaquellas posiciones están simplemente equivocadas o son debidas a malentendidos (sobretodo de parte de quien se ocupa de didáctica de las matemáticas). Se sostiene que lademostración debe jugar un papel de importancia primaria en el currículum, ya sea porquecontinúa siendo una característica central de la misma práctica matemática, como método


privilegiado de validación, ya sea porque es un instrumento válido para favorecer lacomprensión.

La Influencia de los desarrollos en la Investigación en MatemáticasDesarrollos recientes en la investigación matemática (la mayor parte de los cuales reflejanen algún modo el creciente uso de las computadoras) han provocado, por parte de losmatemáticos de profesión, la toma de posiciones diametralmente opuestas: quienescontinúan creyendo importante la demostración en la actividad matemática y quienesanuncian, en cambio, su muerte inminente. John Horgan (1993), un colaborador de larevista Scientific American, hace propia esta predicción en un artículo titulado "The deathof proof", aparecido en el número de octubre de 1993.

Demostraciones en la computadora y una cultura potencialmente semi-rigurosaUno de los desarrollos que ha empujado el anuncio de Horgan es el uso de la computadorapara construir o validar demostraciones muy largas, como la demostración recientementepublicada del teorema de los cuatro colores (Apper y Haken) o la solución del "problema dela recepción" [1] (Radziszowski y McKay). Estas demostraciones requieren cálculos tanlargos que no podrían ser realizados o incluso verificados por un ser humano. Ya quetambién las computadoras y los programas pueden equivocarse, ahora los matemáticosdeberían aceptar que las proposiciones demostradas de esta manera podrían ser sóloprovisionalmente verdaderas.

Esta es una limitación de tipo teórico, pero el cálculo automático tiene también limitacionesde orden práctico, no obstante el continuo aumento de la capacidad de cálculo de lascomputadoras. Habrán siempre problemas cuya resolución requiere demasiado tiempo oexcesivos recursos económicos. Las demostraciones con computadoras no son laexcepción, y así los matemáticos han explorado las consecuencias que estas limitacionespodrían tener para la investigación. Una previsión es que los matemáticos, frente a tiemposimpracticables o a costos prohibitivos, optarán por unas matemáticas "semi-rigurosas".

En un artículo publicado en 1993, en las Notices of the American Mathematical Societytitulado "Theorems for a price: Tomorrow’s semi-rigorous mathematical culture", elmatemático Doron Zeilberger pronostica que con el advenimiento de las demostracionescon computadora un «nuevo testamento deberá ser escrito». Ya que «las demostracionesabsolutas se hacen cada vez más costosas», afirma, los matemáticos harán uso dedemostraciones que serán menos completas, pero más a buen precio. Presenta el ejemplo dela teoría algorítmica de la demostración para las identidades hipergeométricas, donde nohay escasez de algoritmos bien notados. El problema es que cualquier caso presentacálculos que aun con las computadoras actuales requieren demasiado tiempo para serejecutados que agotarían los recursos económicos que tiene a disposición el investigador, sino es que hasta el tiempo que tiene de vida. Concluye que los matemáticos elegirán limitarel monto de los recursos de cálculo aun para aquellos teoremas que, en la parte teórica, sondemostrables fácilmente, optando por la menos costosa "quasi certeza". Además prevé quetodos los matemáticos aceptarán tal "semi-rigor" como una forma legítima de validaciónmatemática.


Una conjetura en matemáticas está siempre considerada no más que una conjetura hasta queno sea demostrada, así que no es sorprendente que las afirmaciones de Zeilberger hayansido rápidamente puestas a discusión por otro matemático. En un artículo publicado en elMathematical intelligencer (1994) con el título perentorio "La morte de la dimostrazione?Matematica semi-rigorosa? Ma chi volete prendere in giro?" [2] George Andrews sostieneque el testimonio de Zeilberger simplemente no es convincente. El que ciertos algoritmosse presenten demasiado costosos para ser ejecutados, no significa que los matemáticosahora abandonarán la idea de la demostración con su «gran intuición y, puedo atreverme adecir, belleza» (p.17).

Otras ya han subrayado que demostraciones no-rigurosas, generalmente a buen precio, a lalarga podrían revelarse costosas. Saunders MacLane (1996) relataba que en Italia entre losaños 1880-1920 fueron publicados varios resultados de geometría algebraica nodemostrados rigurosamente. La situación se deterioró finalmente al grado que «parece quehabían voces no controladas sobre el hecho de que un verdadero triunfo para un geómetraalgebraico italiano estaría constituido por el demostrar un nuevo teorema ycontemporáneamente proponer un contraejemplo» (p.2). Como efecto los resultadositalianos en geometría algebraica fueron considerados no creíbles hasta que diversosmatemáticos, entre ellos Emmy Nöther, no aclararon los puntos críticos aplicando criteriosde demostración mucho más rigurosos.

Nuevos tipos de demostracionesDudas de fondo se han levantado por nuevos tipos de demostración que tienen poco encomún con la forma tradicional. Un desarrollo particularmente interesante es el conceptorecientemente introducido de demostración a conocimiento cero [3] (Blum,1986),originalmente definido por Goldwasser, Micali y Rackoff (1985). Se trata de un protocolointeractivo que involucra dos interlocutores, el demostrador y el revisor. Pone la condicióna quien demuestra de proveer al otro un testimonio evidente de que la demostración existe,sin dar ninguna información sobre la demostración misma. Como resultado de talinteracción el revisor se convence que el teorema en cuestión es verdadero y que suinterlocutor conoce una demostración; él mismo sin embargo tiene conocimiento cero de lademostración misma y por lo tanto no está en la posición de convencer a otros.

En teoría la demostración a conocimiento cero puede ser conducida con o sin computadora.Para lo que nos interesa, sin embargo, la característica más significativa del método aconocimiento cero es que está completamente en contraste con la idea tradicional dedemostración como producto abierto a una inspección. Esto contrasta claramente con elmétodo tradicional en el cual una demostración es aceptada, basada en el intercambio deopiniones entre matemáticos.

Otra interesante innovación es aquella de la demostración holográfica (Babai,1994;Cipra,1993). Como la demostración a conocimiento cero, este concepto ha sido introducidopor los informáticos en colaboración con los matemáticos. Consiste en transformar unademostración en, por decirlo así, una forma transparente que es verificada por revisores a"vuelo de pájaro", [4] más que controlando cada paso. Los autores de este concepto hanmostrado que es posible reescribir una demostración (en cada detalle, usando un lenguajeformal) de manera tal que si hay un error en un punto de la demostración original éste se


expandirá más o menos regularmente en esa reescritura (la forma transparente). Así paradeterminar si una demostración está exenta de errores se necesita sólo controlar acaso pasosseleccionados en la forma transparente.

Usando una computadora para aumentar el número de las partes controladas, laprobabilidad de que una demostración errónea sea aceptada como correcta puede serexpresada tan pequeña a placer (sería obviamente no infinitamente pequeña). Entonces unademostración holográfica puede dar una casi-certeza, y es más el grado de casi-certezapuede ser precisamente cuantificado. No obstante, una demostración holográfica, como unaa conocimiento cero, contrasta completamente con la idea tradicional de demostración enmatemáticas, porque no satisface el requisito de que cada uno de las pasos esté abierta alcontrol.

Matemáticas experimentalesLas demostraciones a conocimiento cero, las demostraciones holográficas y la producción yverificación de demostraciones extremadamente largas como aquella del teorema de loscuatro colores son factibles sólo gracias a las computadoras. Sin embargo también estostipos innovadores de demostración son tradicionales, en el sentido de que permanecencomo demostraciones analíticas. Un número cada vez mayor de matemáticos, sin embargo,parecen trabajar fuera de los confines de la demostración deductiva, confirmandoexperimentalmente propiedades matemáticas. Un ejemplo adecuado es el centro deGeometría de la Universidad de Minnesota, donde los matemáticos usan la computadoragráfica [5] para examinar las propiedades de los hipercubos en cuatro dimensiones y deotras figuras, o para ver qué sucede desmenuzando, torciendo, estirado y dándole la vuelta auna esfera.

Aún hoy usualmente no se asocian las matemáticas con la investigación empírica, sinembargo los matemáticos han conducido experimentos para formular y probar [6]conjeturas (bien conscientes que tales pruebas no constituyen una demostración). Losprimeros matemáticos, obligados a probar pocos casos, indudablemente habrían usado aúnmás la experimentación si hubieran tenido los medios. Entonces las actuales matemáticasexperimentales no parecerían diferir en teoría de aquéllas que se han hecho desde el inicio.Lo que parece ser nuevo es que un número cada vez mayor de matemáticos empleaprecisamente el tiempo casi exclusivamente en la experimentación, reivindicando en estemodo la importancia que le pertenece por derecho.

Horgan cita varios matemáticos que sostienen que los métodos experimentales hanadquirido una nueva respetabilidad. Ciertamente han recibido mayor atención y recursoscomo consecuencia del crecimiento de sectores orientados a lo gráfico como la teoría delcaos y la dinámica no lineal. Como consecuencia un número cada vez mayor dematemáticos ha llegado a apreciar la potencia de la computadora para comunicar conceptosmatemáticos.

Existe quien está de acuerdo además de lo de la comunicación. Destacándose claramente dela práctica anterior, algunos ahora lo ven como legitimación de un compromiso en lasmatemáticas experimentales, visto como una forma de justificación matemática. Horganafirma que:


[...] algunos matemáticos están desafiando la noción de que la demostraciónformal sería el estándar supremo de la verdad. Aunque ninguno aboga pordeshacerse de las demostraciones completamente, algunos expertos piensanque la validez de ciertas proposiciones puede ser mejor establecidacomparándolas con experimentos realizados en computadoras o confenómenos del mundo real (p.76).

La consecuencia de esta opinión es que la experimentación está haciéndose no sólo unaactividad matemática competente, sino también una alternativa a la demostración, unaforma igualmente válida de confirmación matemática. Esto parecería redefinir la"matemática experimental" como una nueva disciplina que se auto-administra, por decirloasí, no sujeta más a los criterios según por los cuales la verdad matemática estátradicionalmente juzgada.

La fundación en 1991 de la revista Experimental Mathematics puede ser vista como unpresagio de una disciplina nueva e independiente. Esta nueva publicación [7] difierenotablemente de las revistas tradicionales por el hecho de que publica los resultados deexploraciones en la computadora más que teoremas y demostraciones. ¿Pero eso significaque sus directores piensen que la demostración está muerta? No parece que sea así. En suartículo "Experimentation and proof in mathematics" los directores de Experimentalmathematics Epstein y Levy, en un primer momento subrayaron el aumento potencial de laexperimentación en la era de la computadora: «el uso de la computadora da a losmatemáticos otra idea de la realidad y otro instrumento para investigar la corrección de unargumento matemático a través de ejemplos exploratorios» (1995,p.674). Sin embargo másadelante explican claro cómo opinan que la experimentación concuerda con el esquemamatemático:

«Se advierte que nosotros apreciamos las demostraciones: resultadossugeridos experimentalmente y que pueden ser demostrados son másesperados que aquellos conjeturales. [...] El objetivo de Experimentalmathematics es jugar un papel en el descubrimiento de demostracionesformales, no de eliminarlas. (p.671)[...] Creemos que, lejos de minar el rigor, el uso de la computadora en lainvestigación matemática lo acrecentará en muchos modos» (p.674).

Una nueva división de las tareas en las matemáticasA pesar de que muchos matemáticos están muy preocupados que el reconocimiento de laexperimentación como una actividad matemática válida en todos los aspectos puedaoscurecer el hecho de que sus resultados no pueden satisfacer los criterios de lademostración. No están de acuerdo sobre lo que se debería hacer al respecto, si cualquiercosa debe ser hecha. Algunos proponen una separación: que los resultados heurísticos seanaislados como una categoría en sí. Jaffe y Quinn (1993), por ejemplo, en su artículo"Theoretical mathematics: Towards a cultural synthesis of mathematics and theoreticalphysics", subrayan cuán importante es distinguir inequívocamente entre resultados basadosen la demostración rigurosa y aquellos basados en argumentos heurísticos. Sugierentambién denominaciones para los dos tipos de actividad, proponiendo que el primero sea


llamado "matemáticas rigurosas" y el segundo "matemáticas especulativas", con lo cualentienden heurísticas o conjeturales.

Jaffe y Quinn están motivados por una preocupación de los criterios del rigor, queproponen preservar aislando las matemáticas rigurosas de las no rigurosas (o "matemáticasespeculativas", como las llaman) a través de una nueva subdivisión de las tareas. Sugierenque las matemáticas no rigurosas sean consideradas por derecho una rama válida de lasmatemáticas y que los matemáticos sean valorados con los criterios de la rama a la cualdecidieron pertenecer.

La propuesta de que los matemáticos sean divididos en dos campos ha traído inmediatas yvarias reacciones, dieciséis de las cuales en el Bulletin of the American MathematicalSociety (1994). William Thurston, por ejemplo, ha respondido con un ensayo de dieciochopáginas titulado "On proof and progress in mathematics", en el cual se opone a la divisiónsugerida por Jaffe y Quinn. Opina que la pregunta importante no es «¿cómo demuestran losmatemáticos los teoremas?» o «¿cómo los matemáticos hacen progresos en matemáticas?»,sino como ellos «hacen progresar la comprensión de las matemáticas en el hombre», y, enconsecuencia, juzga erróneo dividir las matemáticas sobre la base de criterios basados en elrigor. Aunque no objeta sobre el papel de la demostración en la validación, lo determinacomo el principal valor por la posibilidad que ofrece para comunicar ideas y generarcomprensión. En consecuencia, propone a los matemáticos, que se han ganado la estima desus colegas sobre todo demostrando teoremas, que se empeñen todos en reconocer y envalorizar la entera gama de las actividades que mejoran la comprensión de la disciplina.

Los otros quince matemáticos importantes han dado respuestas más breves. La mayoría harehusado la propuesta anticipada por Jaffe y Quinn de reconocer dos brazos separados de laactividad matemática (Atiyah et al., 1994). James Glimm ha escrito que si las matemáticasdeben hacer frente a la «fuerte expansión de la actividad conjetural» será necesarioadherirse al «criterio absoluto de un razonamiento lógicamente correcto que se hadesarrollado y probado en la prueba de fuego de la historia» (p.184).

Si bien fuese empujado, como lo eran Jaffe y Quinn, por la crecida de las matemáticasexperimentales y por una preocupación por el rigor, es evidente que Glimm había llegado ala conclusión opuesta. Mientras Jaffe y Quinn parecen opinar que, para impedir laafirmación de las matemáticas experimentales como método digno a la par de lademostración rigurosa, sería suficiente identificar y acoger las matemáticas heurísticascomo una disciplina separada (si bien quizá inferior), Glimm parece temer que talaislamiento tendría el efecto opuesto de permitir a la heurística avanzar hacia unapretensión análoga.

Pero las respuestas también han revelado diferentes ideas sobre el papel de la demostraciónrigurosa. Saunders MacLane ha afirmado que «[...] las matemáticas no tienen necesidad decopiar el estilo de la física experimental. Las matemáticas se fundan en la demostración —yla demostración es eterna» (p.193), mientras Atiyah concede que «Quizá ahora tenemoscriterios severos de demostración a los cuales aspirar, pero en las primeras fases de nuevosdesarrollos, debemos estar preparados para actuar con un estilo más piratesco» (p.178). Y,no sorprendentemente, Mandelbrot afirmó que el rigor es «no pertinente (sic) y usualmentedistrae, aun cuando es posible».


Se debería agregar que Mandelbrot en la respuesta mueve objeciones a la costumbredifundida de dar crédito sólo a aquellos que demuestran conjeturas, menospreciando aaquellos que sobre todo las produjeron. En verdad no se puede ignorar que las recientescontroversias sobre el papel de la experimentación y de otras aproximaciones heurísticaspueden ser motivadas ya sea por un interés en el reconocimiento profesional, ya sea pordesacuerdo sobre la naturaleza de la verdad en matemáticas.

Cierto es que en estas controversias la cuestión de la importancia y del prestigio de laheurística está enredada, a menudo confusamente, con la cuestión del papel de lademostración como árbitro de la verdad en matemáticas. En todo caso en la recientediscusión alimentada por Jaffe y Quinn, existe un notable grado de acuerdo. Todos losparticipantes parecen estar de acuerdo con Albert Schwartz que las matemáticas heurísticases una parte importante y legítima de su disciplina (p.198). Pero ninguno ha insinuado quelos matemáticos hacen su trabajo sin presentar el objetivo del control final de lademostración. Aquellos que estaban de acuerdo, como era la mayoría, de que losmatemáticos deberían dar un mayor reconocimiento a aquél que alcanzara resultadosheurísticos interesantes y constructivos, eran todavía de la opinión de que tales resultadosse queden como conjeturas hasta que no sean validadas con la demostración.

La influencia de LakatosLas ideas de Imre Lakatos, publicadas inicialmente en una disertación en 1961 y seguidaspor Proof and refutations en 1976, provocaron un debate cerrado entre filósofos y, enparticular, entre los filósofos de las matemáticas (Agassi,1981; Feyerabend,1975;Lehman,1980; Hacking,1979; Steiner,1983). Cualquier cosa que fuesen sus estimacionessobre el pensamiento de Lakatos considerado en su totalidad, eran llevados a aceptar laprincipal intuición de Lakatos y ésta es que la crítica y el control sobre los resultadosconseguidos en la investigación matemática han sido la fuerza motriz del crecimiento delconocimiento de la disciplina. También los matemáticos profesionistas fueron atacados ensu trabajo, particularmente en el estudio detallado de cómo ha evolucionado en el tiempo lademostración del teorema de Euler. Este estudio dio luz sobre muchos aspectos de laactividad matemática que anteriormente no habían sido apreciados, y por muchosmatemáticos la explicación de Lakatos sobre las dinámicas del descubrimiento matemáticosonaba bien.

Las ideas de Lakatos fueron llevadas a la atención de quienes se ocupan de didáctica de lasmatemáticas principalmente por Davis y Hersh (1981) en su libro The Mathematicalexperience. Su entusiasta exposición hizo que la aproximación de Lakatos obtuviese granconsideración en el ambiente de la educación matemática, tanto que se opinó de poderloaplicar en matemáticas más allá de cuanto en efecto pudo ser aplicado.

No es sorprendente que un nuevo modo, así de fascinante, de mirar al descubrimientomatemático enmascarara sus lados débiles. El método del análisis de la demostración es sinfalta seductor, pero el hecho de que pudiera ser considerado un método general válido sefunda en un solo ejemplo, el estudio de los poliedros, un campo en el cual es relativamentefácil proponer los contraejemplos necesarios. De todos modos, este método no consigue nisiquiera explicar algunos eventos importantes del descubrimiento matemático. No dicenada acerca de la investigación en la teoría de conjuntos y sobre la aceptación de la


axiomática de Zermelo-Fränkel, o lo relativo a la aparición del análisis no estándar, o, demodo específico, relativamente a los tantos descubrimientos matemáticos que no hanpartido de una conjetura.

No es difícil, efectivamente, citar casos en los cuales se ha encontrado una demostración ose ha hecho un descubrimiento matemático de manera radicalmente diferente al proceso derefutación heurística descrito en Proofs and refutations . También en la demostración delteorema de Euler tomada en consideración por Lakatos, por ejemplo, la refutación esredundante; no apenas haya sido formulada una definición adecuada, el teorema puede serdemostrado en cada caso posible sin discusiones posteriores. Cada vez que un matemáticotrabaje con definiciones adecuadas (o en un adecuado "escenario conceptual", para usar eltérmino de Bourbaki) efectivamente, el proceso de demostración no es del tipo derefutación heurística. Al contrario, en "A renaissance of empiricism in the recentphilosophy of mathematics" (1978,p.38), Lakatos mismo dice:

No todas las teorías matemáticas formales se encuentran en el mismo peligrode refutación heurística. Por ejemplo, la teoría elemental de grupos correpocos riesgos; en su caso la teoría original informal ha sido así deradicalmente reemplazada por la axiomática que las refutaciones heurísticasparecen ser inconcebibles

En Proofs and refutations Lakatos define la demostración como un «experimento mental[...] una descomposición de la conjetura original en subconjeturas o lemas» (p.9). En suinterpretación de la historia del teorema de Euler para un poliedro, V-A+C=2 (donde V es elnúmero de vértices, A el número de aristas y C el número de caras), por ejemplo, Lakatosdescribe un experimento mental en el cual se imagina estirar un poliedro de gomaobservando los resultados de esta manipulación. Continúa, sin embargo, describiendo unproceso más general que lleva a demostraciones y refutaciones a interactuar, generacontraejemplos y "falsificadores informales", hace nacer buenas conjeturas y termina conun resultado bien formulado.

Esta aproximación puede ser vista como una tentativa de analizar las matemáticas desde elpunto de vista de Popper, de llevar una crítica al deductivismo en matemáticas paralela a lacrítica de Popper al intuicionismo de las ciencias físicas. Considerando "la inducción" en elsentido de verificar las leyes generales sobre la base de datos observados, Popper esperómostrar que «la ciencia empírica no se basa en realidad sobre un principio de inducción»(Putnam,1987). Análogamente, Lakatos esperó hacer ver que la verificación enmatemáticas no se funda, en realidad, sobre el "deductivismo euclídeo". Describiendo elproceso heurístico, Lakatos ataca constantemente esto que él llama "el programa euclídeo",que, en su opinión, aspira a hacer las matemáticas "ciertas e infalibles".

En primer lugar, sin embargo, la verdad es que cuando un matemático emprende el métodoheurístico que Lakatos describe, o uno similar, lo hace casi siempre con el propósito dellegar a la certeza. En el caso del teorema de Euler, por ejemplo, el largo proceso heurísticoha llevado, en efecto, a una demostración que satisface los criterios aceptados por la certezamatemática. Como Ian Hacking (1979) escribe: «La discusión crítica puede hacerse enmodo que una conjetura evolucione en una verdad lógica. Inicialmente el teorema de Eulerera falso; al final es verdadero... El teorema ha sido "analitizado" [8]».


En segundo lugar, el concepto de falsacionismo [9] podría verse como irrelevante. MarkSteiner ha mostrado que a los ojos de los topólogos contemporáneos, al teorema de Euler«no le atañe un poliedro, sino más bien el espacio que el poliedro divide» (p.514). (Indicatambién que la demostración moderna despliega más respeto que aquella del siglo XIX queLakatos ha estudiado.) Steiner llega a la conclusión de que la historia del teorema de Euleren el siglo XX no sólo suministra un ejemplo en el cual el modelo de Lakatos no funciona,sino, más significativamente, demuestra que «se puede tener progreso sin falsacionismo»(p.521). Afirma también que «no obstante el título de su libro, el realismo matemático deLakatos puede ser convenientemente liberado, no sólo de su falsacionismo, sino del mismométodo de demostraciones y refutaciones! (p.510).

John Conway ha confirmado recientemente que Proofs and refutations de Lakatos «es unlibro muy interesante, pero temo sea del todo engañoso para aquel que le atañen lasmatemáticas en general» (septiembre 1995, solicitud de opinión,www.forum.swarthmore.edu). Y, en palabras que parecen poder resumir esta discusión,Conway añade:

Es contraproducente tomar este ejemplo (el de Euler) como típico deldesarrollo de las matemáticas. La mayor parte de los teoremas de lasmatemáticas inicia con la demostración y se detiene con la demostración; lademostración inicial podría no completamente satisfacer los requisitosactualmente pedidos a una demostración, pero ésta es una cuestión del todoinsignificante. En muchos casos han habido errores u omisiones en el primerintento de demostración, que en seguida han sido corregidos; pero hanhabido bien pocos casos en los cuales, como en el teorema de Euler, ladiscusión ha sido llevada adelante por varios siglos.

Pasemos ahora a considerar las dificultades que pueden surgir aplicando las ideas deLakatos en la práctica didáctica. Mientras Lakatos pueda ser elegido, quizás con buenosmotivos, de mostrar algunas de sus ideas en modo excesivamente dramático, algunoseducadores en matemáticas han tomado a la letra muchas de ellas y han buscadotransferirlas directamente a la práctica didáctica. Él mismo, por ejemplo, despidió la certezay la infalibilidad con la expresión bastante dramática: «no es posible conocer, se puede sóloconjeturar» y esto ha llevado a muchos de quienes se ocupan de didáctica de lasmatemáticas a presentar como provisional todo el conocimiento matemático. (No nosdebería extrañar si ellos hubiesen estado dispuestos a fundar un proyecto de investigacióncon el objetivo de encontrar el número primo más grande o un contraejemplo al teorema dePitágoras.) Asimismo los conceptos de "falsificadores informales" y de "falibilidad" de lasmatemáticas parecen haber llevado a muchos que se interesan en didáctica de lasmatemáticas a creer que se debería eliminar cada referencia a las matemáticas "formales"en el curriculum y, en particular, que se debería renunciar a las demostraciones formales(Dossey,1992; Ernest,1991).

Esta actitud es seguramente contraproducente. En primer lugar, la demostración formalnace como una respuesta a una demanda continua de justificación, una demanda que seremonta a Aristóteles y Euclides, a través de Frege y Leibniz. Ha habido siempre unanecesidad de justificar nuevos resultados (y a menudo, del mismo modo, resultadosprecedentes), no siempre en el sentido limitado de definir su verdad, sino más bien en la


más amplia acepción de suministrar razones para su plausibilidad. La demostración formalha sido y es una respuesta suficientemente útil a esta preocupación por la justificación.

En segundo lugar, es un error pensar que el currículum reflejaría mayormente lainvestigación matemática si se limitase al uso informal de los contraejemplos. La historiade las matemáticas muestra claramente que no es verdad, como Lakatos parece haberinsinuado, que sólo la heurística y otros aspectos "informales" de las matemáticas soncapaces de ofrecer contraejemplos. Al contrario, las mismas demostraciones formales han amenudo suministrado contraejemplos a definiciones o a teorías anteriormente aceptadas.Por ejemplo, como Mark Steiner (1983) puntualiza, Peano encontró un contraejemplo a ladefinición de curva como «el camino de un punto que se mueve con continuidad»mostrando formalmente que un punto móvil puede cubrir una región bidimensional.

Las famosas demostraciones de incompletez de Gödel son otro ejemplo, con unainteresante y divertida trama. En este caso, las demostraciones formales han sido utilizadaspara demostrar que el método axiomático mismo tiene limitaciones intrínsecas. Gödel nohabría podido producir estas demostraciones sin utilizar un sistema notacional que consisteen expresar los enunciados de la aritmética y proveer una codificación sistemática de lalógica formal, como estaba hecho en los Principia con la intención de demostrar la tesis deFrege-Russell de que las matemáticas pueden ser reconducidas a la lógica. Su demostraciónno habría podido, ciertamente, ser producida en unas matemáticas informales o reducida auna inspección directa.

No parece ni siquiera razonable asumir que las conclusiones de Gödel se habrían podidoobtener gracias a un descubrimiento de un contraejemplo («eliminación de lamonstruosidad») seguido por una negativa («arreglo de la monstruosidad»), o por eldescubrimiento de excepciones inexplicables («eliminación de excepciones») osuposiciones no declaradas («lemas escondidos»). Bastante curioso, no obstante, es cuandoalguien que se ocupa de didáctica sostiene que la demostración formal y el rigor deberíanser eliminados del currículum, y se basa en la demostración más formal de Gödel.

La influencia de los aspectos socialesMuchos de aquellos que se ocupan de didáctica de las matemáticas han indicado el estatutode la demostración llevando adelante la afirmación, ya propuesta por otros educadores, deque la demostración es un elemento clave para una imagen autoritaria de las matemáticas(Confrey,1994; Ernest,1991; Nickson,1994). Esta afirmación debe mucho a Lakatos (1976),que, como ya dije, no sólo desafió el «programa euclídeo» en cuanto «matemáticasautoritarias, infalibles, irrefutables», pero escribió también de los peligros de unasmatemáticas de élite.

Lo que los defensores de esta posición quisieran agregar es que el punto de vista "euclídeo"está en conflicto con los actuales valores de la sociedad, que imponen no someterse a laautoridad y de no considerar cada conocimiento como si fuese infalible o irrefutable.Parecen opinar que la demostración en general, y la rigurosa en particular, es un mecanismode control empuñado por un sistema autoritario para ayudar a imponer a los estudiantes uncuerpo de conocimientos infalibles e irrefutables.


Ahora, puede ser verdad que las matemáticas hayan sido a veces presentadas comoinfalibles y hayan sido pensadas de modo autoritario, pero sería difícil afirmar querecientemente haya existido un consenso entre los educadores sobre aquéllo que lasmatemáticas deberían ser. En cada caso es por lo menos singular que la demostración seahecha el principal blanco de lo que en definitiva debería ser nada más que un deseo maldirigido de imponer toda clase de correctitud política en la educación matemática.

No es fácil de entender, en primer lugar, qué cosa quiere decir que las matemáticas o lademostración matemática es "autoritaria". Ciertamente, una demostración suministrada porun matemático de conocida reputación debería ser tomada inicialmente con el beneficio dela duda, y en ese sentido, el hecho de que este matemático sea considerado una autoridadpor los otros matemáticos, podría jugar algún papel en la eventual aceptación de lademostración. Pero la proclama parece ser que el verdadero uso de la demostración es quesea autoritaria, lo que es difícil de entender hasta el fondo.

De hecho es verdad lo opuesto. Una demostración es un razonamiento transparente, en elcual todas las afirmaciones usadas y todas las reglas de razonamiento son claramenteexpuestas y abiertas a las críticas. La misma naturaleza de la demostración impone que lavalidez de las conclusiones deriva de la demostración misma, no de una autoridad externa.La demostración lleva a los estudiantes el mensaje de que pueden razonar con su propiacabeza, que no tienen necesidad de remitirse a una autoridad. Por lo tanto el uso de lademostración en la práctica didáctica es realmente "anti-autoritario".

Naturalmente se podría afirmar que el uso de la demostración requiere que el estudianteacepte ciertas reglas de deducción "autoritarias" y así llevar el argumento sobre un nuevoplano metamatemático. Pero se debería esperar que aquellos que impugnan el papel de lademostración no impugnen hasta la noción de regla de razonamiento. Sería desconcertantever a los docentes de matemáticas alinearse en posiciones como son aquellas de unarevolución contra la racionalidad misma.

Asimismo es difícil entender cómo el uso de la demostración refuerza la idea de que lasmatemáticas sean infalibles. Examinando el argumento de discusión desde el punto de vistateórico, es claro que cada verdad matemática obtenida mediante una demostración o unaserie de demostraciones es una verdad relativa, más que absoluta, en el sentido de que suvalidez se fundamenta sobre otras verdades matemáticas y sus reglas de razonamiento queestán supuestas. Ni siquiera la infalibilidad parece ser una asunción de la prácticamatemática. Los matemáticos se inclinan a hacer errores como casi ningún otro, en lasdemostraciones y otras partes. La historia de las matemáticas puede ofrecer muchosejemplos de resultados errados que son después corregidos. Así es difícil ver precisamentecómo la demostración refuerza la infalibilidad, y el concepto debería aparecer irrelevantepara la enseñanza de las matemáticas en general y para aquello de la demostración enparticular.

El uso de la demostración en la práctica didáctica ha sido también llamado a causa delhecho que alienta la idea de las matemáticas como ciencia a priori . Los defensores de estaafirmación ven un conflicto entre esta idea y precisamente el punto de vista de que lasmatemáticas son una «construcción social» (Ernest,1991). Si bien el uso que hacen deltérmino a priori no es del todo claro, parecería que lo que rechazan no es el hecho de que


las matemáticas sean a priori , en el sentido de ser analítica, no empírica, en cuanto alhecho de que sean a priori en el sentido de dadas, pre-existentes, en espera de serdescubiertas. Naturalmente éste es un punto de vista sobre las matemáticas que podríanbien ver como opuesto a aquello de la «construcción social».

Sobre este punto, todavía, Kitcher (1984) tiene seguramente razón cuando dice queperseguir demostraciones y rigor en matemáticas no implica un compromiso de mirar a lasmatemáticas como un cuerpo de conocimientos a priori . No es ni siquiera necesariohacerle así en la didáctica de las matemáticas. Como Kitcher escribe: «Exigir rigor enmatemáticas es requerir un conjunto de razonamientos que están en una relación particularcon el conjunto de los razonamientos que son generalmente aceptados» (p.213). De todosmodos, el hecho de que el conjunto de los razonamientos generalmente aceptados seapensado como dado a priori o como construido socialmente no tiene relación con el valorde la demostración en la práctica didáctica.

Los que impugnan el uso de la demostración en general, deberían todavía más duramenteimpugnar el uso de la demostración rigurosa en particular. Todavía en la actividadmatemática el nivel del rigor es a menudo una elección pragmática. Kitcher afirma que esbastante razonable aceptar un razonamiento no riguroso cuando se revela válido pararesolver problemas, como sucede en física. Agrega que los matemáticos se preocupan de lacarencia de rigor sólo cuando «entienden que su actual comprensión [...] es así deinadecuada que les impide afrontar los problemas urgentes que se encuentran en lainvestigación» (p.217). ¿Cuándo es razonable sustituir el razonamiento no riguroso con elriguroso? La respuesta de Kitcher es: «cuando las ventajas de la rigorización conducen, entérminos de ganancia cognitiva, a contrapesar el costo que implica el sacrificio de habilidaden la resolución de problemas [10]». Se debería sugerir de adoptar esta línea decomportamiento a aquellos que se ocupan de didáctica de las matemáticas, dado que suobjetivo es seguramente aquel de favorecer la comprensión.

En cada caso es una cuestión de grado de rigor. En la práctica didáctica no es necesarioperseguir formas de rigor absoluto, sino suficiente rigor para favorecer la compresión opara convencer. Un razonamiento presentado en forma suficientemente rigurosa iluminaráy convencerá un mayor número de estudiantes, que podrían después convencer a suscompañeros. Es el docente quien debe juzgar cuándo vale la pena insistir en darle mayoratención a la demostración para promover el huidizo, pero importantísimo objetivodidáctico que es la comprensión.

Epilogo: la demostración en claseCon el actual énfasis en la enseñanza "significativa" de las matemáticas, los docentes sonalentados a dedicar atención a la explicación de los conceptos matemáticos y a losestudiantes es pedido justificar los resultados propios y las afirmaciones propias. Esteparecería ser el clima justo para hacer de la mayor parte de las demostraciones uninstrumento de explicación y para ejercitarlas como una forma definitiva de justificaciónmatemática. Pero para que esto suceda, los estudiantes deben familiarizarse con los criteriosdel razonamiento matemático: en otras palabras, se debe enseñarles la demostración.


Enseñar a los estudiantes a reconocer y a producir razonamientos matemáticos correctos esciertamente un reto. Todos sabemos bien que muchos estudiantes tienen dificultades paraseguir cada clase de razonamiento lógico, aun más una demostración matemática. En todocaso no podemos evitar este reto. Debemos encontrar los modos, por medio de lainvestigación y la experiencia en clase, de ayudar a los estudiantes a adquirir la habilidad yla comprensión de las que tienen necesidad. Fallar en esto nos privaría de un instrumentodidáctico válido y a nuestros estudiantes de un elemento crucial de las matemáticas.

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Notas.* Il valore permanente della dimostrazione. Revista La matematica e la suadidattica, 1997(3), pp. 236-252. Originalmente es la conferencia plenaria presentadaen el Congreso PME 20 (Valencia, España, 9-11 julio 1996), y se publicó tituladocomo: "The ongoing value of proof". Contenido en: Gutiérrez, A. y L. Puig(editores). Proceedings of PME 20. España (Valencia). Vol. 1, pp. 21-34. 1996.Traducción al español por Víctor Larios Osorio (Depto. de Matemáticas delCICFM, Fac. de Ingeniería, UAQ, 1999).** The Ontario Institute for Studies in Education. University of Toronto.

[1] En el original: il "problema del ricevimento". N. del T.

[2] "¿La muerte de la demostración? ¿Matemáticas semi-rigurosas? ¿Pero a quiénquieren tomarle el pelo?". N. del T.

[3] En el original: dimostrazione a conoscenza zero. N. del T.

[4] En el original: "pelle di leopardo", que se traduce textualmente como "piel deleopardo". N. del T.

[5] En el original: Computer graphic. N.del T.

[6] El autor utiliza el verbo collaudare, que se refiere a la acción de probar sifunciona algo (un auto, una máquina, en este caso si se cumple una conjetura), adiferencia del verbo provare, más relacionado con el verbo dimostrare (demostrar).N. del T.

[7] La publicación parece ser que es trimestral. N. del T.

[8] En el original: "analiticizzato". N. del T.

[9] En el original: fallibilismo. N. del T.

[10] En el original: problem-solving. N. del T.


6 . Evaluaciones y AutoevaluacionesLa enseñanza de las matemáticas en el nivel medio superior del IPN tiene entre suspropósitos fomentar el trabajo en equipo y desarrollar la capacidad de los alumnos paraproducir, comunicar y validar conjeturas, así como desarrollar habilidades paracomprender, interpretar y valorar ideas matemáticas presentadas en diversas formas. Enconsecuencia, la evaluación del curso toma en cuenta algo más que exámenes escritosindividuales, que si bien ayudan a evaluar algunos desempeños, no permiten observaraspectos como los mencionados.

Pero para recoger información sobre determinadas adquisiciones, algunas veces será útiltanto para el alumno cómo para el docente recurrir a la aplicación de exámenes escritosindividuales. Es pues, el propósito de las autoevaluaciones que el alumno puedaautomedirse en algunos aspectos, como son: la resolución de problemas, las habilidadesoperativas de algoritmos etc. En cada examen de autoevaluación se retoman temas de lasanteriores unidades con la idea fundamental de que no se olviden de ese conocimiento ypara profundizar cada vez más en ellos.

Como parte del trabajo sistemático que el profesor debe realizar es muy importante queaplique una evaluación de los antecedentes indispensables del curso. Muchos son losautores que han destacado el papel de lo que un estudiante sabe cuando va a emprender unaexperiencia de aprendizaje escolar.

En el año 2000, la AIM-NMS-IPN diseñó una nueva versión del examen de antecedentespara los alumnos de nuevo ingreso con la intención de aplicar el mismo tipo de examen alprincipio de cada semestre, incorporando una parte especialmente diseñada para losaspectos más pertinentes al curso que comienza. Así se podrá hacer un seguimiento de laspartes que va superando un estudiante en cada semestre.

En el diseño del examen de antecedentes 2000 se empleó el cuadro de referencias delCeneval aunque las preguntas no son de opción múltiple sino de respuesta breve con elregistro del procedimiento en un formato especialmente diseñado.


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Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001Hoja 1

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Efectúa las operaciones siguientes y escribe elresultado en forma simplificada.1. 3+4·5=2. 3·4+5=3. 7+7·23=4. (7+7·2)3=5. 32÷(4-5)=6. 32÷4-5=

Una mercancía cuesta $200, se hacen dos descuentos sucesivos de 10% y20%.7. ¿Cuánto se paga por la mercancía?8. ¿Cuál es el porcentaje de descuento total?

Escribe el número que en el denominadorhace que cada proposición sea verdadera.

9. [ ] 35

9253

=⋅

10. [ ] 54

1291=+

11. Se tiene una habitación de 4.50 metrospor 6 metros y se cuenta con losetascuadradas de 30 centímetros por 30centímetros. ¿Cuántas losetas serequieren para cubrir la totalidad de lahabitación?

Encuentra el área de cada uno de los rectángulos siguientes.

12. Área=_____________

13. Área=_____________14. Si AB y CD son paralelas y el ángulo x mide 45° Encuentra la medida de y.

15. Las diagonales de un rombo miden 18 y 24 unidades, ¿cuánto mide cada lado del rombo?



Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001Hoja 2

No escribas en esta hoja

16. El perímetro del cuadrado dela figura es de 8 metros,determina el área de laregión sombreada.

17. La suma de las soluciones de las ecuaciones 3x-13=8x+2, 2z+11=1 es:

18. El costo de “x+3” cuadernos es 75 pesos, ¿cuántocuesta cada cuaderno?

Una persona pasa frente al televisor cuatro horasdiarias.19. En un año pasará __________ horas frente al

televisor.20. En “t” años pasará __________ horas frente al

televisor.

La fórmula para convertir grados Celsius (°C) agrados Fahrenheit (°F) es:

3259

+°=° CF

21. ¿Qué cantidad de grados Celsius corresponde a70°F?

22. Un cuaderno cuesta $28 más que un lápiz. y cinco lápices y dos cuadernos cuestan $91. ¿Cuánto cuestacada artículo?

23. Traza la gráfica de y=2x-3

24. Obtén la expresión algebraica de lafunción que tiene la gráfica siguiente:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5



Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001

Nombre Boleta Grupo

Hoja de Procedimientos 11 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12




Hoja de Procedimientos 213 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24




Hoja de RespuestasNombre: Boleta: Grupo:CECyT:¿En qué número de opción escogiste este CECyT:¿Cuántos aciertos obtuviste en el examen de admisión (EXANI-1):Secundaria de procedencia: Pública ٱ Particular ٱInstrucciones:Escribe sólo la respuesta en el espacio correspondiente.1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

23.

Resumen:Aritmética Álgebra Geometría Conceptos y

OperacionesResolución de

ProblemasGlobal

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

x

y



Plantilla de Resultados del Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001CECyT _______________________________________ Grupo ____________ Hoja _______ de _______.

Datos Áritmética Geometría ÁlgebraBoleta NombreExani

Opción

Pública

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Aritmética

Geometría

Álgebra

CyO

RP

Total

Nota: En escuela de procedencia 0 (cero) si es particular y 1 (uno) si es pública.En cada reactivo 0 (cero) si la respuesta es errónea y 1 (uno) si es correcta.


Observaciones sobre el examen de antecedentes.o Se aplicará a los grupos formados.o La duración del examen será de 90 minutos.o La hoja de procedimientos tiene como objeto

brindar al profesor del grupo información local para que puedaidentificar mejor cuáles son las dificultades que el alumno no hasuperado y cómo puede hacerlo,

además de permitir el análisis de las vías de solución y proporcionarinformación para la elaboración de reactivos de opción múltiple.

o Se generarán informes: Por estudiante para el grupo, para ellos y sus padres. Por grupo para la Academia. Por Academia para la Escuela (Pedagogía, Orientación, Básicas,

Subdirecciones y Dirección). Por CECyT para la DEMS. (Estadística Ceneval)

o Se tendrá en la BSCW un archivo de Excel que contenga las fórmulas parahacer los reportes.

o Es indispensable que consigamos los resultados específicos de HabilidadMatemática y Conocimientos Matemáticos de los estudiantes que optaronpor el IPN. Así podemos diseñar un examen que nos permita averiguarcuestiones mejor definidas y usar los resultados del Ceneval comocomplemento.

o En este examen hay algunos reactivos que proporcionan informaciónespecialmente importante. Por ejemplo, los reactivos 12 y 13, 19 y 20, y 18,permitirán identificar a los alumnos que tienen ya un manejo (capacidad derepresentar y operar) de los números indeterminados.

El resumen que se entregará a cada alumno contendrá:

Nombre Aritmética Álgebra Geometría Conceptos yOperaciones

Resolución deProblemas

Global

Los reportes para la Academia, el CECyT y la DEMS incluirán las distribuciones defrecuencia correspondientes a cada columna, una interpretación y un plan para superar lasdeficiencias detectadas.


Referencias del Examen de antecedentes para los estudiantes de nuevo ingreso 2001Estructura:Aritmética10 reactivos (8 CP, 2 RP)Álgebra8 reactivos (7 CP, 1 RP)Geometría6 reactivos (5 CP, 1 RP)Conceptos y Operaciones (CP-0)20 reactivosResolución de problemas (RP-1)4 reactivos

Temas considerados en el plan de estudios de la Secundaria, según el Ceneval.

HABILIDAD MATEMÁTICA1 Sucesiones numéricas2 Patrones numéricos3 Series espaciales4 Patrones espaciales5 Problemas aritméticos6 Problemas de razonamiento

MATEMÁTICAS1 Aritmética

1.1 Números naturales1.1.1 Suma, resta, multiplicación y división1.1.2 Relaciones de orden1.1.3 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

1.2 Números enteros1.2.1 Suma, resta, multiplicación y división1.2.2 Relaciones de orden

1.3 Fracciones1.3.1 Suma, resta, multiplicación y división1.3.2 Relaciones de orden y equivalencia

1.4 Decimales1.4.1 Suma, resta, multiplicación y división1.4.2 Relaciones de orden y equivalencia1.4.3 Potencias de 10 y notación científica y/o exponencial

1.5 Proporcionalidad1.5.1 Proporcionalidad directa1.5.2 Porcentaje

2 Álgebra2.1 Monomios y polinomios

2.1.1 Suma, resta y multiplicación2.1.2 Cálculo del valor numérico de polinomios con una variable


2.1.3 Productos notables y factorización2.2 Ecuaciones

2.2.1 Solución de ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas2.2.2 Solución de ecuaciones de segundo grado

2.3 Plano cartesiano y funciones2.3.1 Regiones: semiplanos y franjas2.3.2 Gráfica de funciones: lineales y cuadráticas

3 Geometría3.1 Ángulos entre paralelas y una secante3.2 Triángulos

3.2.1 Clasificación3.2.2 Ángulos interior y exterior3.2.3 Teorema de Pitágoras

3.3 Semejanza3.3.1 Cálculo de distancias inaccesibles3.3.2 Transformación a escala sobre dimensiones lineales, de área y volumenen una figura o cuerpo geométrico

3.4 Polígonos3.4.1 Clasificación3.4.2 Perímetros y áreas

3.5 Sólidos3.5.1 Características de los poliedros3.5.2 Volumen

3.6 Círculos3.6.1 Rectas, segmentos y ángulos

3.7 Trigonometría3.7.1 Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente

4 Presentación y tratamiento de la información4.1 Lectura, elaboración e interpretación de tablas y gráficas construidas a partir defenómenos de las ciencias naturales y sociales

4.2 Medidas descriptivas4.2.1 Uso de porcentajes como índices o indicadores4.2.2 Cálculo de media, mediana y moda

5 Probabilidad5.1 Cálculo y expresión de la probabilidad de un evento como una fracción, un decimaly un porcentaje

Efectúa las operaciones siguientes y escribe el resultado en forma simplificada.

1. 3+4·5=2. 3·4+5=3. 7+7·23=4. (7+7·2)3=5. 32÷(4-5)=


6. 32÷4-5=(Ar, CP) (1,0) (1.2,0)

Una mercancía cuesta $200, se hacen dos descuentos sucesivos de 10% y 20%.7. ¿Cuánto se paga por la mercancía?8. ¿Cuál es el porcentaje de descuento total?(Ar,RP) (1,1) (1.5,1)

Escribe el número que en el denominador hace que cada proposición sea verdadera.

9. 35

9253

=⋅

10. 54

1291=+

(Ar,CP) (1,0) (1.3,0)

11. Se tiene una habitación de 4.50 metros por 6 metros y se cuenta con losetas cuadradasde 30 centímetros por 30 centímetros. ¿Cuántas losetas se requieren para cubrir latotalidad de la habitación?

(Ge, RP) (3,1) (3.4,1)

Encuentra el área de cada uno de los rectángulos siguientes.

12. Área=_____________

13. Área=_____________

(Ge, CP) (3,0) (3.4,0)

14. Si AB y CD son paralelas y el ángulo x mide 45° Encuentra la medida de y.


(Ge, CP) (3,0) (3.1,0)

15. Las diagonales de un rombo miden 18 y 24 ¿cuánto mide cada lado del rombo?(Ge, CP) (3,0) (3.2,0)

16. El perímetro del cuadrado de la figura es de 8 metros, determina el área de la regiónsombreada.

(Ge, CP) (3,0) (3.6,0)

17. La suma de las soluciones de las ecuaciones 3x-13=8x+2, 2z+11=1 es:(Al, CP) (2,0) (2.2,0)

18. El costo de x+3 cuadernos es 75 pesos, ¿cuánto cuesta cada cuaderno?(Al, CP) (2,0) (2.1,0)

Una persona pasa frente al televisor cuatro horas diarias.19. En un año pasará __________ horas frente al televisor.20. En un t años pasará __________ horas frente al televisor.(Al, CP) (2,0) (2.1,0)

La fórmula para convertir grados Celsius (°C) a grados Fahrenheit (°F) es:

3259

+°=° CF

21. ¿Qué cantidad de grados Celsius corresponde a 70°F?(Al, CP) (2,0) (2.1,0)


22. Un cuaderno cuesta $28 más que un lápiz y cinco lápices y dos cuadernos cuestan $91.¿Cuánto cuesta cada artículo?

(Al, RP) (2,1) (2.2,1)

23. Traza la gráfica de y=2x-3

(Al, CP) (2,0) (2.3,0)

24. Obtén la expresión algebraica de la función que tiene la siguiente gráfica:

(Al, CP) (2,0) (2.3,0)

Como complemento al examen de antecedentes anterior se pueden incluir algunaspreguntas sobre números relativos.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

x

y


Nombre: Grupo: Fecha:

El propietario de un departamento incrementa larenta a su inquilino 20% un año y 15% el añosiguiente. El incremento porcentual total en losdos años fue:

Un país vive una crisis económica. Sus tasas deinflación trimestrales fueron de 54%, 38%, 27%y 41%. La tasa de inflación de este año fue:

El 71% de la superficie de la Tierra está cubiertapor agua y el resto es tierra firme. De la tierrafirme, el 40% es desierto o está cubierto de hielo,33% son pantanos, bosques y montañas y el 27%es tierra cultivable. El porcentaje de la superficietotal cultivable de la Tierra es:

El 8% de los habitantes de una ciudad fueronafectados por una cruel epidemia. De losafectados el 4% falleció a causa de laenfermedad. El porcentaje de habitantes de laciudad que falleció fue:

En una tienda de computadoras ofrecen un 15% de descuento en cualquier modelo. Pero lascomputadoras tienen un 15% de IVA. ¿Qué porcentaje del precio nominal debe desembolsar uncliente en esta tienda por una computadora?

Calificación:


7 . Bibliografía

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Geometria y Trigonometria Libro Para El Profesor

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