Geometria - Jan Zydler

7/22/2019 Geometria - Jan Zydler

1/309

Jan Zydler

Geometria

Peny, prosty, wci aktualny i napisany piknym jzykiem wykad. Mona z niego nauczy si geometrii,mona te znale w nim potrzebne definicje, opisy wasnoci figur geometrycznych czy klarowne dowodynajwaniejszych twierdze (w szybkim ich odnalezieniu pomoe szukacz, obecny na lewej szpalcie strony).Poszczeglne dziay i poddziay zawieraj zestawy zada do rozwizania, dziki ktrym mona sprawdzistopie opanowania materiau.

Prezentowany wykad geometrii jest autorstwa Jan Zydlera (1867-1934), absolwenta matematyki naUniwersytecie Warszawskim, znanego i uznanego nauczyciela matematyki w szkoach rednich. Wykad wzosta opracowany i nieco uwspczeniony w 1997 roku przez zesp matematykw pracujcych pod egidPolskiego Towarzystwa Matematycznego (prof. Wojciech Guzicki, prof. Jerz y Mioduszewski,dr Adela witek, dr Mirosaw Uscki) oraz przez redakcj matematyki wydawnictwa Prszyski i S-ka.

Pojcia wstpne 1. Podstawowe figury geometryczne. Niektre wiadomoci oglne 2. Prosta. Pprosta. Odcinek 3. Paszczyzna 4. wiczenia 5. Kt 6. wiczenia 7. Wiadomoci wstpne o kole 8. Wiadomoci wstpne o trjkcie i wielokcie

9. wiczeniaPrzystawanie i symetria figur paskich 10. Przystawanie trjktw 11. Konstrukcje podstawowe 12. Zalenoci midzy elementami trjkta 13. Prostopada i pochya. Trjkty prostoktne 14. O miejscu geometrycznym punktw 15. Symetria figur paskich 16. wiczenia

Proste rwnolege 17. Kty przy rwnolegych. Postulat Euklidesa. Wnioski

18. wiczenia 19. Suma ktw trjkta i wielokta 20. wiczenia 21. Rwnolegoboki i ich wasnoci. Trapez 22. wiczenia 23. Punkty szczeglne w trjkcie

Koo 24. Pooenie prostej wzgldem koa 25. Wasnoci rednicy. Odlego punktu od okrgu 26. Wasnoci ukw i ciciw 27. Pooenie dwch k wzgldem siebie

28. O zadaniach konstrukcyjnych


2/309

29. wiczeniaKty w kole. Czworokty wpisane i opisane

30. Kty w kole 31. Czworokty wpisane i opisane 32. wiczenia

Rwnowano wieloktw 33. Okrelenie wieloktw rwnowanych. Zasadnicze wasnoci zwizku rwnowanoci. Postulat de

Zolta 34. Rwnowano rwnolegobokw, trjktw i trapezw 35. Zadania konstrukcyjne 36. Twierdzenie Pitagorasa i jego uoglnienie 37. wiczenia

Pooenie prostych i paszczyzn w przestrzeni 38. Prosta i paszczyzna do siebie prostopade 39. Prosta i paszczyzna do siebie rwnolege 40. Paszczyzny do siebie rwnolege 41. Paszczyzny do siebie prostopade 42. Pojcie rzutu rodkowego i rwnolegego ukonego. Twierdzenie Desarguesa 43. wiczenia

Geometryczna proporcjonalno odcinkw 44. Odcinki wspmierne i niewspmierne. Twierdzenie Talesa dla odcinkw wspmiernych 45. Geometryczna definicja odcinkw proporcjonalnych. Wasnoci proporcji midzy odcinkami 46. Zastosowania twierdzenia Talesa 47. wiczenia

Jednokadno i podobiestwo 48. Definicja i budowanie figur jednokadnych 49. Podobiestwo trjktw. Odcinki proporcjonalne w trjkcie i w kole 50. Metoda przeksztacenia jednokadnego w zadaniach konstrukcyjnych 51. wiczenia

Metryczna teoria odcinkw proporcjonalnych 52. O mierzeniu odcinkw 53. Mierzenie ktw i ukw 54. Metryczna definicja odcinkw proporcjonalnych 55. Zwizki metryczne midzy odcinkami w trjkcie i kole 56. O liniach poprzecznych w trjkcie 57. Potga punktu wzgldem koa 58. O algebraicznej metodzie konstrukcji geometrycznych 59. Wielokty foremne 60. wiczenia

Wiadomoci wstpne o rozwizywaniu trjktw

61. O funkcjach trygonometrycznych kta ostrego 62. Wasnoci zasadnicze funkcji trygonometrycznych kta ostrego 63. Zwizki midzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kta 64. Rozwizywanie trjktw prostoktnych 65. wiczenia

Obliczanie pl wieloktw 66. Pojcie pola. Pola wieloktw 67. Stosunek pl wieloktw podobnych 68. Zadania konstrukcyjne 69. wiczenia

Kty bryowe i wielociany


3/309

70. Kty bryowe 71. Rwno i symetria ktw trjciennych 72. Pojcie wielocianu wypukego. Graniastosup, pole jego powierzchni 73. Ostrosup, pole jego powierzchni 74. Wielociany foremne 75. Graniastosupy rwnowane. Objto graniastosupa 76. wiczenia

Zastosowanie pojcia granicy w geometrii

77. Pomiar dugoci okrgu i pola koa 78. O sposobach obliczania liczby . Kwadratura koa 79. Objto ostrosupa 80. wiczenia

Bryy obrotowe 81. Walec 82. Stoek 83. Kula 84. wiczenia

Pojcia wstpne

1. Podstawowe figury geometryczne.Niektre wiadomoci oglne

1. Przedmioty, czyli ciaa materialne, ktre nas otaczaj bd to w pokoju, bd na ulicach miasta, odznaczajsi najrnorodniejszymi cechami, wszystkie one jednak maj jedn cech wspln - zwanrozcigoci-mianowicie, kade z nich zajmuje pewn cz przestrzeni. T wanie cz przestrzeni, ktr zajmujeprzedmiot, nazywamybry geometryczn.

Rozrniamy trzy wymiary bryy:dugo,szerokoiwysoko. Widzimy je bez trudu w pokoju, atwospostrzegamy wymiary pudeka, skrzyni itp.

Wysoko nosi niekiedy nazwgbokoci, np. gboko studni; zamiast o szerokoci mwimy ogrubocimuru.

2. Brya jest oddzielona od innej bryy lub od otaczajcej je przestrzenipowierzchniami. Sala, w ktrej siznajdujemy, jest oddzielona od pozostaej czci gmachu czterema cianami, posadzk i sufitem. Budynekszkolny jest oddzielony, tj. ograniczony od otaczajcej go przestrzeni, powierzchniami cian zewntrznych,powierzchni ziemi oraz dachu.

Powierzchnia ma dwa wymiary: dugo i szeroko.

3. Powierzchni mona ograniczy lub oddzieli od innych powierzchniliniami.

Linia ma tylko jeden wymiar - dugo.

4. Lini mona ograniczypunktem, ktry adnego wymiaru nie posiada.

5. Bryy, powierzchnie, linie i punkty, nazywane sfigurami geometrycznymi.

6. Jakkolwiek powierzchni nie moemy w rzeczywistoci oderwa od bryy, linii od powierzchni, a punktu odlinii, to jednak dla dokadniejszego zbadania ich wasnoci bdziemy je traktowali w naszej nauce niezalenieod podstawowej figury geometrycznej, do ktrej nale.


4/309

Koniec ostrej igy daje wyobraenie punktu, bardzo cienka nitka, drucik lub wos - wyobraenie linii, a bardzocienka blaszka - powierzchni. S to jednak tylko wyobraenia podstawowych figur geometrycznych, ktreistniej jedynie w naszej myli.

7. Przedmiot, ktry znajduje si w naszym otoczeniu, np. pudeko lece na stole moemy przenie w innemiejsce pokoju; mwimy wwczas, e ten przedmiot wykona pewien ruch. Oczywicie, razem z pudekiemporuszaj si wszystkie jego elementy, wic ciany, dno i pokrywa, krawdzie i wierzchoki.

Odrywajc myl od ciaa materialnego, moemy traktowa ruch idealnej powierzchni, linii i punktuniezalenie od ciaa, do ktrego one nale.

Punktporuszajcy si w przestrzeni krelilini.

Tak np., jadc w nocy pocigiem, widzimy czerwone nitki powstae przez ruch rozarzonych drobnychodpadkw wgla i otrzymamy w ten sposb wyobraenie linii. Obserwujc niebo w pogodn noc sierpniow,widzimy czsto srebrnowietlne linie powstae przez spadajce gwiazdy.

Linia, kiedy porusza si w przestrzeni, zakrela powierzchni.

Koo szybko biegncego wozu robi wraenie pokrytego powierzchni, powsta przez ruch szprych koowych.

Wreszcie przez cigyruch powierzchnimoemy otrzyma ciao geometryczne, czylibry. Rozarzona doczerwonoci blacha elazna, spadajc w ciemnoci z gry na d, daje wyobraenie ciaa geometrycznego wpostaci czerwonego supa.

Mona wic powiedzie, e istnieje jeden zasadniczy twr geometryczny, mianowicie punkt(bezwymiarowy), przez ruch ktrego powstaje twr jednowymiarowy - zwany lini, przez ruch linii powstajetwr dwuwymiarowy - powierzchnia, wreszcie przez ruch powierzchni twr trjwymiarowy zwany bry.

8. Dla lepszego zrozumienia i uprzystpnienia sobie nauki posugiwa si bdziemy rysunkiem, naley jednakpamita, e rysunek, choby najstaranniej wykonany, nigdy nie bdzie figur geometryczn, o ktrejmwimy, ale tylko jej wyobraeniem.

Zaznaczajc na kartce punkt przez nakucie zaostrzonym owkiem lub na tablicy przez naciniciekawakiem kredy otrzymujemy wyobraenie punktu, mniej lub bardziej dokadne, zalenie od gruboci kocaowka lub kredy.

Dla odrnienia punktw na rysunku oznaczamy je literami (najczciej wielkimi), napisanymi obok punktu,np. punkty:A,B,C, E(rys. 1).

Rys. 1 Rys. 2

Niekiedy oznaczamy je t sam liter, zwaszcza jeeli mamy na myli punkty o pokrewnej wasnoci,odrniajc je wtedy numerami, np.A1,A2,A3itd.

9. Wrd linii wyrniamyproste, amane i krzywe.

Co to jest linia prosta (rys. 2a) nie bdziemy okrela - przyjmujemy, e jest to pojcie dla kadego


5/309

zrozumiae.

Linia, ktra nie jest prost, ale skada si z prostych czci, nazywa si aman (rys. 2b); kada za linia, ktranie jest prost i nie skada si z czci prostych, nazywa si krzyw (rys. 2c).

Do krelenia na kartce lub na tablicy prostej posugujemy si linijk (lub ekierk), pocigajc wzdu jejbrzegu owkiem lub kred. Ciela lub stolarz posuguje si w tym celu wycignitym sznurkiem, nacierajcgo wglem lub kred, ktre po wstrzniciu sznurka pozostawiaj na desce lad linii prostej.

Z linii krzywych najwiksze zastosowanie ma od dawna czowiekowi znana, linia zwanaokrgiem. Dopraktycznego wykrelenia tej linii suy przyrzd powszechnie znany, a dla geometry niezbdny -cyrkiel.

Cyrkiel i linijka s przyrzdami, bez ktrych geometra obej si nie moe, a przy ich pomocy rozwizuje siw praktyce najrnorodniejsze zagadnienia geometryczne.

10. Powierzchnie bywajpaskieikrzywe.

Kady z nas rozumie, co to jest powierzchnia paska, czylipaszczyzna. Wyobraeniem paszczyzny jest

powierzchnia dobrze wygadzonego lustra, powierzchnia wody lub jakiejkolwiek cieczy nalanej do naczynia ipozostawionej w spokoju, powierzchnia gadkiej posadzki itp.

11. Punkt, prosta i paszczyzna s to elementarne, czylipodstawowe figury geometryczne.

12. Wszelkie poczenie punktw, linii i powierzchni nazywamyfigur geometryczn.

Nauka, ktra bada wasnoci figur, oraz zwizki, jakie zachodz midzy nimi, nazywa sigeometri.

13. Prawdy, ktre wykrywa i ktrymi posuguje si nauka geometrii, s cile od siebie uzalenione, a dalszewynikaj z poprzednich.

W naszym wykadzie za podstaw obierzemy pewne prawdy, do ktrych dochodzimy przez dowiadczenielub intuicj, ktre uznajemy za oczywiste i przyjmujemy bez uzasadnienia jako prawdy podstawowe, a z nichwysnuwamy dalsze. Takie prawdy nazywaj sipewnikamilubaksjomatami. Niekiedy nosz one nazwpostulatw. Zapoznamy si z nimi w cigu dalszej nauki.

14. Prawd, ktra wynika z pewnikw, nazywamytwierdzeniem. Rozumowanie, ktre wykazujeprawdziwo twierdzenia, nazywamydowodem.

Poznalimy w arytmetyce niektre twierdzenia, np.:

a) Jeeli liczba jest podzielna przez 3 i przez 4, to jest podzielna przez 12.

b) Jeeli suma cyfr danej liczby dzieli si bez reszty przez 9, to i dana liczba dzieli si przez 9.

Najoglniejsz postaci twierdzenia jest:

c) "JeeliA, toB".

Twierdzenie skada si z dwch czci:zaoenia(jeeli...) itezy(to...).

Twierdzenie, ktre powstao z danego przez zamian zaoenia z tez, nazywamyodwrotnymwzgldemdanego. Np. mona wypowiedzie nastpujce twierdzenia odwrotne wzgldem poprzednio podanych:


6/309

a) Jeeli liczba jest podzielna przez 12, to jest take podzielna przez 3 i przez 4.

b) Jeeli liczba jest podzielna przez 9, to jej suma cyfr dzieli si przez 9.

c) "JeeliB, toA".

Nie kade jednak twierdzenie odwrotne jest prawdziwe*. Np. dla twierdzenia: "Jeeli liczba jest podzielnaprzez 12, to jest podzielna take przez 2 i przez 6", twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

15. Prawd, ktra wynika bezporednio z udowodnionego twierdzenia i nie wymaga odrbnego dowodu,nazywamy wnioskiem.

16. Obok pewnikw i twierdze wan rol w nauce geometrii odgrywajokrelenia(czyli definicje), ktresu do wyjanienia nowych poj, orazzadania, ktrych rozwizania polegaj na budowaniu, tj. konstrukcjifigur na mocy poznanych twierdze i pewnikw.

17. Wyraz "geometria" jest pochodzenia greckiego i oznacza dosownie "mierzenie ziemi" (geo= ziemia,metro= mierz), dlatego e pierwotnie takie zadanie miaa ta nauka.

18.Uwaga. Geometria narodzia si najprawdopodobniej w Egipcie, a znakomity historyk grecki Herodot z Vwieku przed Chrystusem tak tumaczy powstanie tej umiejtnoci:

"Krl Sezostrys nakaza podzia ziemi, przeznaczajc dla kadego Egipcjanina po kwadratowym kawakuziemi, ktry losowano, obowizujc si paci pewien czynsz roczny do skarbu krlewskiego. W raziewylewu rzeki Nilu posiadacz zalanego gruntu zwraca si do krla, ktry posya miernikw dla wymierzeniai sprawdzenia, ile gruntu uprawnego pozostao i o ile naleao zmniejszy opat czynszow. Oto, moimzdaniem, jest pocztek geometrii, ktra std ju przesza do Grecji".

W pierwszych pocztkach geometria uwzgldniaa tylko zagadnienia praktyczne i jakkolwiek Egipcjaniedoszli w bardzo odlegych czasach do wielkiej wprawy i biegoci w ich rozwizywaniu, to jednak jeszcze niemona twierdzi, eby oni byli twrcami geometrii rozumowej, czyli nauki geometrii, chocia pewneuoglnienia teoretyczne nie byy im obce.

Najdawniejszy zabytek matematyczny, egipski papirus Rhinda, pochodzcy z 2000-1700 roku przedChrystusem, napisany przez Ahmesa, a stosunkowo niedawno odczytany (1879 r.), dowodzi, e ju w owychtak odlegych czasach znano sposoby mierzenia powierzchni i objtoci niektrych figur.

Zasuga stworzenia teoretycznej geometrii naley si niewtpliwie Grekom.

Najdawniejsz ksik polsk traktujc o geometrii jest napisana przez Stanisawa Grzepskiego, profesoraAkademii Krakowskiej Geometria to jest Miernicka Nauka po polsku krtko napisana z greckich iaciskich ksig. Naydziesz te tu jako naszy miernicy zwykli mierzy imienie na woki albo any. Item

iugerum romanum, jako wiele ma w sobie. Item jako wie, albo co inszego wysokiego zmierzy, albodaleko iak etc.Teraz nowo wydana, roku 1566 w Krakowie.

Ksika ta ma ju dzisiaj tylko warto historycznego zabytku.

* W jzyku praktycznie uywanym dopuszcza si nazw "twierdzenie odwrotne" take wtedy, kiedy nie jestono (jeszcze lub w ogle) twierdzeniem w znaczeniu wczeniej przyjtym, tj. prawd wynikajc zaksjomatw (przyp. red.)


7/309

2. Prosta. Pprosta. Odcinek

19. Kada linia prosta, albo krcej kada prosta, ma pewne wasnoci, ktre j odrniaj od innych linii.Poznajemy je z dowiadczenia, a niektre z nich, jak to zaraz zobaczymy, wydadz si tak oczywiste, enikomu nawet na myl nie przyjdzie podawa je w wtpliwo. Wyszczeglnimy je tutaj ze wzgldu na to, ebdziemy si na nie powoywa. Przede wszystkim zauwamy, e od jednego punktu do jakiegokolwiekdrugiego, np. zAdoB(rys. 3), moe prowadzi wiele drg, ale prosta jest tylko jedna. T wasno prostejwyraamy w postaci nastpujcegopewnika:

Rys. 3

Przez dwa punkty mona zawsze poprowadzi prost, i to tylko jedn.

Inaczej ten pewnik mona wyrazi, mwic:dwa punkty wyznaczaj jednoznacznie prost.

Na rysunku prost oznaczamy zwykle dwiema literami oznaczajcymi punkty, przez ktre ona przechodzi.Piszemy np. prostaAB.

20. Na prostej moemy zawsze obra dowolne dwa punkty, a jakkolwiek daleko od siebie je obierzemy,zawsze moemy znale dalsze, poza nimi jeszcze dalsze itd., a zatem zawsze moemy prost przeduadowolnie. Tote kiedy mwimy o prostej, rozumiemy, eprosta jest lini nieograniczon.

21. Na prostejAB(rys. 4) obierzmy jakikolwiek punktO. Zawsze na tej prostej mona obra takie dwapunkty, np.CiD, e aby

Rys. 4

przej odCdoD(lub odDdoC), musimy przej przez punktO. Widzimy wic, e punktOdzieli prostABna dwie czci: na jednej z tych czci ley punktC, na drugiej punktD.

T wasno linii prostej wyraamypewnikiem:

Kady punkt pooony na prostej dzieli j na dwie czci.

Kada z tych czci zawiera bdzie, zgodnie z poprzedni wasnoci prostej, nieskoczon ilo punktw ikada z nich nazywa sipprostlubpromieniem. W omawianym przypadku s to pprosteOAiOB.PunktOnazywamypocztkiempprostej.

O dwch punktach prostej bdziemy mwili, e le zjednej stronypunktuOalbo poprzeciwnychjegostronach, zalenie od tego, czy obydwa le na tej samej pprostej, czy te jeden punkt ley na jednej, a drugina drugiej pprostej.

22. Z przytoczonych wyej wasnoci prostej wnioskujemy, e jeeli dwie proste maj dwa punkty wsplne,to wszystkie ich punkty s wsplne, tj. bd do siebie przystaway, tj. bd tworzyy jedn prost. A zatemdwie proste mog mie co najwyej jeden punkt wsplny.

Mwimy wwczas, e dane prosteprzecinaj size sob. Nasze rozwaania mona wic uj w nastpujcy


8/309

Wniosek.Dwie proste mog si przecina ze sob tylko w jednym punkcie.

23. Jak wiemy, jeden punkt nie wyznacza prostej i majc jaki punkt na paszczynie, moemy przez niegopoprowadzi dowoln ilo prostych, ktre tworz tak zwanypkprostych (rys. 5). Punkt, przez ktryprzechodz wszystkie proste, nazywa sipocztkiemlubwierzchokiem pku.

Rys. 5

24. Niech bdzie dana prostaKL(rys. 6) i dwa punkty na niej:AiB. CzABdanej prostej, ograniczondwoma punktami nazywamyodcinkiem prostejlub po prostu:odcinkiem.

Dwie pozostae czci prostej:AKiBLnazywamy przedueniami odcinkaAB.

Rys. 6

Odcinek oznaczamy dwiema literami, ktre wskazuj punkty ograniczajce go, czyli jegopunkty kocowelubkoce, piszc np. odcinekAB. Moemy uy maej litery, piszc np. odcineka.

O odcinku mwimy, eczydwa dane punkty. Odcinkiem wyznacza siodlegodwch danych punktw.

Punkty, pooone na odcinkuABnazywamywewntrznymi, pooone za na jego przedueniu -zewntrznymi.

25. Punkty danego odcinkaABmoemy uwaa za nastpujce po sobie poczwszy odAi koczc naB, albote odwrotnie - odBdoA. Moemy wic mwi o dwchzwrotachodcinka, niekiedy nawet wyranie je

rozrniamy. Jeeli jednak zwrot odcinka nie jest nam potrzebny, mamy za na myli tylko odlego jegokocowych punktw, to powiadamy, e odcinekABjestrwnyodcinkowiBAi piszemy

AB=BA.

W praktyce o rwnoci odcinkw przekonujemy si, mierzc cyrklem dany odcinek.

Rys. 7

26. Niech bdzie dany odcineka, prostaKLi lecy na niej pewien punktO(rys. 7). Rozwaajc kad zotrzymanych pprostych z osobna, na przykadOL, zauwaamy, e spord nieograniczonej liczby jejpunktw znajdziemy jeden taki, ktrego odlego odObdzie rwnaa(to samo powiemy o pprostejOK).

T wasno prostej uwaamy zapewnik, mwic:

Z kadej strony punktu O danego na prostej mona zawsze znale taki punkt A, i to tylko jeden, e odcinek

OA rwna si danemu odcinkowi.


9/309

W praktyce robimy to w ten sposb, e wziwszy w cyrkiel odcineka, odkadamy go na prostejKLod punktuOi otrzymujemy z kadej strony tego punktu odcinkiOAiOA' rwne odcinkowia. W ten sposb przenosimydany odcinek na prost, rozumiejc, e w istocie to przenoszenie jest rwnoznaczne ze znalezieniem odcinkarwnego danemu.

27. Odcinki mog byrwneinierwne.

O istnieniu* odcinkw rwnych lub nierwnych przekonujemy si z atwego dowiadczenia, zestawiajc ze

sob dwa wyprostowane prciki metalowe: jeeli obydwa ich koce do siebie przystaj, powiadamy, e teprty s rwne, w przeciwnym razie - s nierwne.

Rys. 8

Jeeli mamy dane dwa odcinki:ABiA'B' (rys. 8), to dla porwnania ich ze sob, przenosimy odcinekA'B' naABw taki sposb, aby punktA' pokry si z punktemA, a wtedy:

albo 1) drugi koniec odcinkaA'B', tj. punktB', bdzie punktem wewntrznym odcinkaABi wwczasmwimy, e pierwszy odcinek jestwikszyod drugiego:

AB>A'B';

albo 2) punktB' pokryje si zB, i wtedy mwimy, e odcinki do siebie przystaj, lub inaczej, e s sobierwne:

AB=A'B';

albo 3) punktB' znajdzie si na przedueniu odcinkaAB, wtedy mwimy, e pierwszy jest mniejszy oddrugiego:

AB


10/309

29. Jeeli mamy dwa kolejne odcinkiABiBC(rys. 9), to kady z nich nazywamyrnicpomidzyACapozostaym odcinkiem; piszemy wtedy

AB=AC-BC,

BC=AC-AB.

Znajdowanie rnicy dwch odcinkw nazywamy ichodejmowaniem.

W praktyce, aby odj od siebie dwa jakiekolwiek odcinkiaib, naley mniejszy odcinek przenie nawikszy w taki sposb, aby miay jeden punkt kocowy wsplny, wtedy pozostaa cz wikszego odcinka(a) bdzie rnic odcinkw danych, to znaczy bdzie odcinkiema-b.

30. Dodawanie mona rozcign na dowoln liczb skadnikw, dodajc do siebie najpierw pierwsze dwaodcinki, do otrzymanej sumy dodajc trzeci itd.

Mona atwo udowodni, e sumowanie odcinkw podlega oglnym prawom dodawania, a zatem prawu

przemiennociicznoci:

a+b+c=b+c+a=c+a+b,

(a+b) +c=a+ (b+c).

31. Dany odcinekamoemy przeduy, a odkadajc go jeszcze raz, dwa razy itd., moemy otrzymaodcinekl, bdcy sumnrwnych odcinkwa, czylin-t wielokrotno odcinkaa, ktr oznaczamysymbolem

l=na.

Odcinekanatomiast bdzie wtedyn-t czci caego odcinkal.

32. Widzimy zatem, e odcinki moemy ze sob porwnywa, moemy na nich wykonywa dziaania, jak naliczbach. Do odcinkw maj zastosowaniepewnikicharakteru oglnego:

1)Dwa odcinki, z ktrych kady z osobna rwna si trzeciemu, s sobie rwne:

jeelia=c

ib=c,

toa=b.

2)Jeeli do odcinkw rwnych dodamy rwne, albo od odcinkw rwnych odejmiemy rwne, to otrzymanesumy albo rnice bd rwne:

jeelia=b,


11/309

toa m=b m.

Przyjmujemy rwnie pewnik nastpujcy:

3)Jeeli mamy dwa odcinki nierwne np.: a>b, to zawsze moemy znale tak liczb n, e n x b a.

Pewnik ten naley rozumie w taki sposb, e chociaby odcinekbby bardzo may w porwnaniu za, tojednak przez kolejne odkadanie go naa, zawsze moemy doj do tego, e wprawdzie po (n- 1)-krotnym

odoeniu jeszcze bdzie (n- 1) b


12/309

tj. ma z ni wszystkie punkty wsplne.

Dlatego te w praktyce dla przekonania si, czy dana powierzchnia jest paska, przykadamy do niej wdowolnych kierunkach linijk i sprawdzamy, czy brzeg linijki przylega do niej cakowicie.

Poniewa, jak wiadomo, prosta jest wyznaczona przez dwa punkty, wic z tego i poprzedniego pewnikawynikaj nastpujce wnioski:

1)Prosta i punkt nie lecy na niej wyznaczaj paszczyzn.

2)Dwie przecinajce si proste wyznaczaj paszczyzn.

36. Paszczyzna jest powierzchni nieograniczon, na rysunku jednak inaczej jej przedstawi nie moemy, jaktylko ograniczajc j liniami (rys. 10) i oznaczamy j zwykle dwiema literami, pooonymi w przeciwnychkocach, piszc np. paszczyznaMN, lub najczciej jedn liter, piszc np. paszczyznaM.

Rys. 10

37. Niech bdzie dana paszczyznaPi na niej pewna prostaAB. Na tej paszczynie moemy obra takiepunktyCiD, e byprzejod punktuCdoD(lub odDdoC) musimy przej przez prostAB. Widzimywic, e ta prosta dzieli paszczyzn na dwie czci: na jednej z tych czci ley punkt C, na drugiej punktD.A zatem mamypewnik:

Kada prosta pooona na paszczynie dzieli j na dwie czci.

Kada z tych czci zawiera bdzie nieskoczon ilo punktw (i prostych) i kada z nich nazywa si

ppaszczyzn.O dwch punktach paszczyzny bdziemy mwili, e lez jednej stronyABalbo zprzeciwnych jej stron,zalenie od tego, czy obydwa le na tej samej ppaszczynie, czy te jeden punkt ley na jednej, a drugi nadrugiej ppaszczynie.

38. Jeeli dwie paszczyzny maj trzy punkty wsplne, ktre nie le na jednej prostej, to paszczyzny dosiebie przystaj.

Co bdzie jednak, jeeli dwie paszczyzny maj jeden albo dwa punkty wsplne?

Przyjmijmy zapewniknastpujc prawd:

Jeeli dwie paszczyzny maj jeden punkt wsplny, to musz mie przynajmniej jeszcze jeden punkt

wsplny,

a zatem (na mocy poprzedniego pewnika) maj wspln prost, ktr nazywamykrawdzi przeciciapaszczyzn.

Mona wic ten pewnik wyrazi krcej, mwic:

Jeeli dwie paszczyzny przecinaj si, to ich lini przecicia jest prosta.


13/309

39. O punkcie pooonym na prostej mwilimy, e dzieli prost, o prostej pooonej na paszczyniemwimy, e dzieli paszczyzn. Podobnie, powiemy, ekada paszczyzna dzieli przestrze na dwie czci,pamitajc, co naleaoby rozumie przez takie dzielenie.

40. O prostej powiedzielimy, e ley cakowicie na paszczynie, jeeli ma z ni dwa punkty wsplne.Jednak tej wasnoci dowolna inna linia moe nie posiada. Istniej krzywepaskie, ktrych wszystkie punktyle na paszczynie, np. okrg, i krzyweprzestrzenne, tj. takie, ktre tej cechy nie posiadaj, np. krzywa,ktr wyobraa spryna druciana.

Figury geometryczne, ktrych wszystkie elementy le na jednej paszczynie, nazywamypaskimi,wszystkie za inneprzestrzennymi.

Cz geometrii, ktra traktuje o figurach paskich, nosi nazwgeometrii paskiejczyliplanimetrii, ta za,ktra zajmuje si figurami trjwymiarowymi -geometrii przestrzennej, czylistereometrii.

* Autor ma na myli analiz matematyczn (przyp. red.)

4. wiczenia

1. Czy zawsze przez ruch prostej otrzymamy paszczyzn, a przez ruch paszczyzny - bry?

2. Ile rnych prostych mona poprowadzi, majc danych na paszczynie 3, 4, 5, i - oglnie - dowoln ilonpunktw, z ktrych adne trzy nie le na jednej prostej?

3. Jaka bdzie najwiksza liczba punktw przecicia 3, 4, 5, i - oglnie - dowolnej ilocinprostychpooonych na jednej paszczynie?

4. Na prostej dane s cztery punkty:A,B,C,D. Ile otrzymamy odcinkw? Ktry z nich jest sum dwchinnych? Ktry jest sum trzech innych? Ktry jest rnic dwch innych?

5. Na prostej dane s punkty:A,B,C,DiE(w podanej kolejnoci). Jakiemu odcinkowi bd rwne:

AB+BC+CD,

AC+CD+DE,

AD+DE,

AE-DE,

AD-AB,

AE- (AB+BC)?

6. Dane s trzy odcinki:a,b,c. Znale odcinki:a+ 2b, 2a-b,a+b-c,a+ 2b- 3c.

7. Majc trzy odcinki:a,b,c, udowodni, e:

(a+b) -c=a+ (b-c);a-b+c= (a+c) -b.


14/309

8. Na danej prostej obrano punktOi z obu stron odoono dwa rwne sobie odcinki:OAiOB.Na tej samejprostej wzito jeszcze punktC, taki, e punktBley midzyAiC. Udowodni, e odcinekOCjest rwnypoowie sumy odcinkwACiBC.

9. Na danej prostej obrano punktOi z obu stron odoono dwa odcinki:OA=OB. Oprcz tego na tej prostejwzito jeszcze punktC, pooony midzyAiB. Udowodni, e odcinekOCjest rwny poowie rnicyodcinkwACiBC.

10. Wyprostowa amanABCD, tj. znale odcinek rwny sumie odcinkw tworzcych aman.

5. Kt

41.Jeeli na paszczynie z danego punktu poprowadzimy dwie pproste, to utworzymy figur, ktra posuynam do okrelenia pojcia kta. PprosteOAiOB(rys. 11) nazywamyramionami, a ich wsplny punktOwierzchokiem.

Otrzyman figur oznaczmy symbolemOAB.

Rys. 11 Rys. 12

42. FiguraAOBdzieli paszczyzn na dwie czci, nazywaneobszarami ktowymi, lub wprostktami. Jeli

zaoymy, e pprosteOAiOBnie le na jednej prostej, to tylko jeden z obszarw ktowych - nazwiemy gowewntrznym- ma t wasno, e odcinek czcy dwa dowolne punkty na rnych ramionach figury (np.punktyDiEna rys. 12), zawiera si w tym obszarze. Wspomnian wyej wasno bdziemy nazywawypukoci ktw, a kt o tej wasnociktem wypukym. Jeli ramiona figury le na jednej prostej, to jejobszary ktowe nie maj tej wasnoci.

Dla oznaczenia ktw bdziemy uywa pojedynczych liter , itd., piszc np. . Jeli uyjemy symboluAOB, bdziemy mieli na myli ten spord dwch ktw, ktry jest wypuky (wykluczajc wtedy - z uwagi naniejednoznaczno symbolu przypadek leenia ramion na jednej prostej).

43. Kty mog byrwnelubnierwne.

Praktycznie o istnieniu ktw rwnych lub nierwnych przekona si moemy z dowiadczenia, jeeliwytniemy z kartonu dwa ktyABCiA'B'C' i przeniesiemy jeden na drugi w taki sposb, eby miaywierzchoek wsplny i jedno rami wsplne.

Jeeli si okae, e pozostae ich ramiona s do siebie przystajce, to mwimy, e dane kty s sobie rwnelub inaczej przystajce, co zaznaczamy, piszc

ABC= A'B'C'.

Jeeli za ramiA'B' pooone bdzie wewntrz lub na zewntrz ktaABC, to powiemy, e kty nie s rwne ipiszemy w pierwszym przypadku


15/309

ABC< A'B'C',

w drugim przypadku natomiast

A'B'C' < ABC.

Uwaga.Jeeli ramiOBktaAOB(rys. 11) bdziemy uwaa za ruchome i za pocztkowe jego pooeniewemiemyOA, za kocowe zaOB, to moemy powiedzie, e kt powstaje przez obrt ramienia ruchomego

dokoa danego punktu, czyli wierzchoka.

Mwimy wtedy, epprosta zakrelia kt.

Kt ten mg powsta take przez obrt drugiego ramienia, ktre wychodzi z pooenia pocztkowegoOBizajmuje pooenie kocoweOA. Mona by wic rozrni dwazwrotykta, jeeli jednak o zwrocie niemylimy, mwimy, e otrzymujemy ktAOBalboBOA- bez rnicy. Mwi si niekiedy, e prostaOBjestnachylona do prostejOApod ktemAOB.

Rys. 13

44. Niech bdzie dany kt (rys. 13), prostaKLi punktOlecy na niej. Z tego punktu mona wyprowadzinieograniczon ilo pprostych (z kadej strony prostejKL), ale tylko jedna z nich pprostaOMbdzietworzya z pprostOLkt , czyli bdzie nachylona doOLpod ktem .

Przyjmujemy wic jakopewnik:

Z kadej strony danej prostej z punktu pooonego na niej, zawsze mona wyprowadzi tak pprost, i to

tylko jedn, ktra z dan pprost tworzy kt, rwny danemu ktowi.

Ten pewnik rozumiemy jako moliwoprzenoszeniakta na dan prost, czyli budowania na niej ktarwnego danemu.

O sposobach tej konstrukcji bdziemy mwili pniej, tymczasem odnotujmy tylko t moliwo.

Rys. 14

45. Jeeli z wierzchoka ktaAOB(rys. 14) na danej paszczynie wyprowadzimy pprostOC(rys. 14)lec na zewntrz kta, to otrzymamy ktyAOBiBOC, ktre oprcz wsplnego wierzchokaOmajwsplne jedno rami. Takie kty nazywamykolejnymi. KtAOC, nazywamysumktwAOBiBOCipiszemy:

AOC= AOB+ BOC.


16/309

O kadym z tych ktw mwimy, e jest ktemmniejszymod ktaAOCi zapisujemy:

AOB< AOCi BOC< AOC.

Natomiast o kcieAOCmwimy, e jestwikszyodAOBiBOCi bdziemy pisa:

AOC> AOBi AOC> BOC.

Kady z ktwAOBiBOCnazywamyrnicpomidzy ktemAOCi pozostaym ktem; mamy

AOB= AOC- BOC,

BOC= AOC- AOB.

46. Zajmiemy si teraz przypadkiem wyjtkowym, kiedy pprosteOAiOBle na jednej prostej. Jeli tepproste s rne, to tworz one dwa kty (rys. 15), ktre nazywamyppenymi.

Przyjmujemy jakopewnik, ekty ppene s sobie rwne.

Jeli pprosteOAiOBpokrywaj si, to powstaje jeden obszar ktowy, ktry nazywamy ktempenym.

Przyjmujemy jakopewnik, ekty pene s sobie rwne.

Rys. 15

Stosownie do okrelenia sumy ktwkt peny jest sum dwch ktw ppenych, i - oglniej -kt peny jest,dla kadej figury AOB, sum dwch ktw, jakie ta figura wyznacza.

47. Z tego, co byo powiedziane, widzimy, e dwa kty moemy czy znakami rwnoci lub nierwnoci,dodawania i odejmowania, i chocia jeszcze nie znamy sposobw przenoszenia kta, zatem i znajdowaniasumy lub rnicy dwch dowolnych niekolejnych ktw, to jednak zasygnalizowalimy, e taka moliwoistnieje. Jeeli dalej rozszerzymy dodawanie ktw na kilka skadnikw, dojdziemy do pojcia kta, ktrybdzie rwny danemu, powtrzonemu pewn liczb razy (mnoenie kta przez liczb cakowit), a std ju,

jako dziaanie odwrotne, wynikniedzieleniekta na czci.

Moemy wic na ktach dokonywa dziaa takich, jak na odcinkach, a zatem kty, podobnie jak odcinki,zaliczamy dowielkocigeometrycznych i moemy do nich stosowa pewniki oglne, podane w punkcie 32.

Rys. 17

48. Jeeli z pewnego punktuOprostejAB(rys. 17) wyprowadzimy pprostOC, to utworz si dwa kty:

AOCiCOB, ktre nazywamy ktamiprzylegymi.


17/309

Stdokrelenie:

dwa kty, ktre maj wsplny wierzchoek, jedno rami wsplne i ktrych drugie rami tworzy jedna prosta,nazywaj siktami przylegymi.

Oczywicie, suma ktw przylegych jest ktem ppenym.

O ktach przylegych mwimy, e si nawzajemdopeniaj, a kady z nich nazywamydopenieniem

drugiego.

Widzimy wic, e dopenienie danego kta jest rwne rnicy midzy ktem ppenym i danym, a std juwynikawniosek:

Jeeli dwa kty s sobie rwne, to i ich dopenienia s ktami rwnymi.

Rys. 18

49. Jeeli wsplne ramiCD(rys. 18) ktw przylegych ma takie pooenie wzgldem prostejAB, e obakty s sobie rwne, to kady z nich nazywamyktem prostym, np. ACDi BCDna rysunku.

O istnieniu takich ktw przekonamy si nieco pniej.

Znakiem kta prostego bywa czsto literad(z francuskiego,droit= prosty), aby wic zaznaczy, e dany ktjest prosty, piszemy ACD=d.

Proste, ktre tworz ze sob kty przylege rwne, to znaczy przecinaj si pod ktem prostym, nazywaj siprostopadymi wzgldem siebie, np. prosteABiCD(rys. 18) s prostopade. Dla skrcenia piszemyABCD, alboCD AB, czytajc prostaABjest prostopada do prostejCDalboCDjest prostopada doAB.

PunktCnazywamyspodkiemprostopadej.

Rys. 19

Prost przecinajc dan prost pod ktem, ktry nie jest prostym, nazywamypochywzgldem niej, np.

prostaCEjestpochydo prostejAB(rys. 19).


18/309

Std, e suma ktw przylegych jest rwna ktowi ppenemu, wynika, e kt prosty, jako jeden z dwchrwnych sobie ktw przylegych, mona uwaa za poow ppenego, a zatem:wszystkie kty proste ssobie rwne.

Rys. 20

50. Z ktem prostym, jako wielkoci sta, porwnujemy inne kty. Kt mniejszy od kta prostego nazywasi ktemostrym, wikszy od kta prostego ktemrozwartym.

Jeeli dwa kty ostre tworz w sumie kt prosty, to mwimy, e te ktydopeniajsi do kta prostego.

Std wynikaj nastpujcewnioski:

1.Kt ppeny jest rwny sumie dwch ktw prostych.

2.Suma ktw przylegych jest rwna sumie dwch ktw prostych.

3.Jeeli dwa kty ostre s rwne, to i ich dopenienia do kta prostego te s rwne.

4.Jeeli jeden z ktw przylegych jest ostry, to drugi jest rozwarty.

Rys. 21

51. Jeeli mamy dwie prosteABiCD(rys. 21), przecinajce si w punkcieO, to otrzymamy cztery ktykolejne, ktre dla skrcenia oznaczamy numerami 1, 2, 3 i 4. Niektre z nich s przylege, np. kty 1 i 2, inneza nieprzylege, np. 1 i 3, albo 2 i 4.

Okrelenie. Dwa kty, utworzone przez dwie przecinajce si proste, nazywaj si ktami

wierzchokowymi, jeeli ramiona jednego z nich s przedueniami ramion drugiego.

Te kty maj pewn wasno, ktr wyraa nastpujce

Twierdzenie.Kty wierzchokowe s sobie rwne.

Mamy dwie prosteABiCD(rys. 21) przecinajce si w punkcieO. Utworz si kty wierzchokowe: 1 i 3(albo 2 i 4). Trzeba dowie, e 1 = 3.

Dowd.Poniewa kty 1 i 2 s przylege, wic kt 1 jest dopenieniem kta 2, dla takiej samej przyczyny kt


19/309

3 jest rwnie dopenieniem kta 2, a wic 1 = 3 (patrz punkt 48), co byo do udowodnienia.

Uwaga. Dopiero co przytoczone twierdzenie wypowiedzielimy w postaci skrconej, w ktrej zacieraj sidwie czci - zaoenie i teza - z jakich skada si kade twierdzenie (patrz punkt 14). Mona je wyrazi wnastpujcej formie: "Jeeli dwa kty maj wsplny wierzchoek i ramiona jednego z nich s przedueniamiramion drugiego, to te kty s sobie rwne". Zaoeniem jest zdanie: "Jeeli ..."., tez za "to...".

Rys. 22

52. Z wierzchoka ktaAOB(rys. 22) wyprowadmy pprostOCpooon wewntrz tego kta, wtedyotrzymamy dwa kty:AOCiCOB, ktre w sumie tworz kt danyAOB.

Jeeli pprostOCtak poprowadzimy, e:

AOC= COB,

to ktAOBbdzie podzielony na poowy i pprostOCnazwiemydwusieczndanego kta.

Jak tak prost wykreli, zobaczymy pniej.

6. wiczenia

1. Z punktuOwyprowadzono trzy pproste:OA,OBiOC. Ile utworzyo si ktw? Ktry z nich jest sumdwch innych, a ktry rnic?

2. Z punktuOwyprowadzono cztery pproste:OA,OB,OCiOD. Ktry kt jest sum dwch innych? Ktryjest sum trzech? Ktry jest rnic dwch innych?

3. Z punktuOwyprowadzono cztery pproste:OA,OB,OCiOD. Jakiemu ktowi bd rwne:

AOB+ BOC;

AOC+ COD;

AOB+ BOD;

AOD- AOB;

AOD- COD;


20/309

AOD- AOB- BOC?

4. Trzy proste:AB,CDiEFprzecinaj si w jednym punkcieO. Wymieni pary ktw przylegych iwierzchokowych. Ktre kty tworz w sumie kt ppeny?

5. Z punktuOwyprowadzono cztery pproste:OA,OB,OCiOD. Okazao si, e AOB= DOC. Czy towystarcza, aby twierdzi, e kty te s ktami wierzchokowymi? Jak sformuowa twierdzenie odwrotne dotwierdzenia o ktach wierzchokowych (punkt 51)?

6. Dowie, e dwusieczne ktw przylegych s do siebie prostopade.

7. Dowie, e suma ktw kolejnych, utworzonych przez pk prostych na paszczynie jest rwna sumieczterech ktw prostych.

8. Dowie, e suma wszystkich ktw kolejnych o wsplnym wierzchoku i pooonych z jednej strony danejprostej jest rwna sumie dwch ktw prostych.

9. Dwie proste przecinaj si w pewnym punkcie. Jeden z otrzymanych czterech ktw kolejnych wynosi 2/3d. Obliczy trzy pozostae.

10. Dany jest ktABC. Z wierzchokaBwyprowadzonoBE BAiBD BC . Dowie, e ktDBEjestrwny ktowiABCalbo jest jego dopenieniem.

7. Wiadomoci wstpne o kole

Rys. 23

53. Obierzmy na paszczynie pewien punktO(rys. 23), poprowadmy przez ten punkt dowoln iloprostych i na kadej z nich z obu stron od punktuOodmy dany odcineka. Wtedy na prostych otrzymamy

szereg punktw:AiA',BiB',CiC' itd. Wyobraajc sobie nieskoczon ilo prostych, przechodzcychprzez punktO, otrzymamy nieskoczenie wiele punktw, ktre utworz lini zwan okrgiem.

Okrelenia. Okrgiemnazywamy krzyw pask, ktrej wszystkie punkty le w tej samej odlegoci oddanego punktu.

Ten dany punkt nazywa sirodkiemokrgu.

Odcinek, ktry czy jakikolwiek punkt okrgu ze rodkiem, nazywamypromieniemokrgu.

Jeeli odcinkiOB,OC,ODitd. traktowa bdziemy jako kolejno nastpujce po sobie pooenia jednego z

nich, np.OA, obracajcego si dokoa punktuO, to mona powiedzie, e okrg jest to krzywa, ktr zakrela


21/309

koniec odcinka, obracajcego si dokoa danego punktu.

W ten wanie sposb wykrelamy okrg, posugujc si cyrklem, ktrego jedna nka jest utkwiona wdanym punkcie (rodku), a koniec drugiej, wyposaony w owek, obracany (bez zmiany rozwartoci cyrkla)dokoa rodka.

Rys. 24

54. Jeeli wyobrazimy sobie, e jakie ciao porusza si po okrgu, wychodzc np. z punktuA(rys. 24), toono zawsze moe, poruszajc si w tym samym kierunku (np. zgodnie z ruchem wskazwki zegarowej), dojdo swego pooenia pierwotnego. Dlatego mwimy, e okrg jestlini zamknit.

Tej wasnoci prosta nie posiada.

Rys. 25

55. Dowiadczenie pozwala nam zauway, eokrg dzieli pasz czyzn na dwie czci. Jedna z nich jestograniczona i nazywa siwewntrzn, inaczej koem, druga za jest nieograniczo na i nazywa si czcizewntrzn.

Jeeli wic z jakiegokolwiek punktuMjednej z tych czci (rys. 25) pragniemy przej do punktuN,pooonego w drugiej, musimy przeci okrg.

Punkty paszczyzny, pooone w pierwszej czci, nazywaj si punktamiwewntrznymikoa; odlegokadego z nich od rodka koa jest mniejsza od promienia. Do tej czci paszczyzny wczamy rwniepunkty pooone na okrgu, ktrych odlegoci od rodka s rwne promieniowi. Punkty drugiej czcinazywaj si punktamizewntrznymii ich odlego od rodka jest wiksza od promienia koa.

Uwaga.W mowie potocznej czsto mwi si "koo" zamiast "okrg". Widzimy jednak, e te dwa pojcia srne.


22/309

Rys. 26

56.Okrelenie.Cz okrgu ograniczon dwoma punktami, nazywamyukiem.

Znak jest symbolem uku. Piszemy ABi czytamy ukAB(rys. 26). Zauway tu naley, e mwic ukAB, nie mwimy, o ktry z dwch ukw, na ktre punktyAiBdziel okrg, chodzi. Dlatego, nie chccwprowadza nieporozumienia, zwykle piszemy trzeci liter, oznaczajc jakikolwiek punkt midzyAiB,pooony na uku, piszemy wic AKBlub AMB.

57. Jeeli przez rodek koa poprowadzimy jakkolwiek prost, to moemy atwo zauway, e przetnie ona

okrg z kadej strony rodka tylko w jednym punkcie (patrz pewnik z punktu 26), a wic jeeli na tej prostejobierzemy dwa punkty:MiN(rys. 27), pooone jeden wewntrz koa, a drugi na zewntrz niego, to odcinek

MN(jako cz poprowadzonej prostej) przetnie si z okrgiem tylko w jednym punkcie. Zachodzi terazpytanie: czy jakakolwiek inna prosta, nie przechodzca przez rodek koa, bdzie miaa rwnie takwasno?

Rys. 27

Twierdzimy, e tak bdzie, przyjmujc nastpujcypewnik:

Odcinek, czcy dwa punkty paszczyzny, z ktrych jeden ley wewntrz koa, a drugi na zewntrz niego,

przecina okrg, tylko w jednym punkcie(np.M'N').

Ten pewnik rozszerzamy na przypadek, kiedy omawiane punktyM' iN' poczymy ukiem koa,niekoniecznie odcinkiem.

PunktyM' iN' (rys. 27) mona rwnie poczy ukiem koa lecym po przeciwnej stronie odcinkaM'N';przetnie on dany okrg znowu w jednym punkcie*, widzimy wic, e okrg, ktry przechodzi przez dwapunktyM' iN', z ktrych jeden ley wewntrz danego koa, a drugi na zewntrz niego, przecina si z danymokrgiemw dwch punktach.

58.Okrelenia.Odcinek, ktry czy dwa punkty okrgu, tj. koce uku, nazywamyciciw.

Ciciw, ktra przechodzi przez rodek koa, nazywamyrednic.


23/309

Oczywicie, w kole wszystkie rednice s sobie rwne, bo wszystkie promienie s sobie rwne.

Dwa koa nazywamyrwnymi, albo inaczej przystajcymi, jeeli maj rwne promienie.

uk, ktrego koce s poczone rednic, nazywamypokrgiem, a cz paszczyzny ograniczonrednic i pokrgiem nazywamypkolem.

Z tego, co byo powiedziane wyej, wynika, e okrg jest wyznaczony, jeeli znamy pooenie jego rodka i

promie.

* Na mocy poszerzonej wersji pewnika (przyp. red.).

8. Wiadomoci wstpne o trjkcie i wielokcie

Rys. 28

59.Okrelenia.Jeeli trzy punkty:A,BiC, ktre nie le na jednej prostej (rys. 28), poczymy odcinkamiAB,BCiAC, to otrzymamy figur, ktr nazywamytrjktemi oznaczamy symbolem ABC. Odcinki,tworzce trjkt, nazywamy jegobokami, a punkty przeciciawierzchokami. Kty, utworzone przez kadedwa boki trjkta, nazywamyktamitrjkta. Boki i kty trjkta s jegoelementami. Sum bokwnazywamyobwodemtrjkta, a lini amanABCA-brzegiemtrjkta.

Brzeg trjkta dzieli paszczyzn na dwie czci, czyli na dwa obszary, z ktrych jeden ograniczonynazywany obszaremwewntrznym, stanowi trjkt; zawiera on wszystkie punkty paszczyzny, pooonewewntrz trjkta oraz punkty na brzegu. Drugi za obszar jest nieograniczony i nazywany jest obszaremzewntrznym*.

Rys. 29

Jeeli ktrykolwiek z bokw trjktaABC(rys. 29), np. bokABprzeduymy, to kt, utworzony przez bokBCi przeduenie bokuAB, nazywa si ktem zewntrznym trjkta, np.CBDjestktem zewntrznymwtrjkcieABC. Kty, utworzone przez boki trjkta, nazywamy wtedyktami wewntrznymitrjkta, albopo prostu ktami trjkta.

Bok trjkta oznacza si zwykle ma liter i tak literaoznaczamy zazwyczaj bokBCpooony naprzeciwwierzchokaA, literbbokAC, a litercbokAB.

Kty wewntrzne oznaczamy albo jedn liter, piszc np.A,B,C, jeeli nie prowadzi to do nieporozumienia,o ktry kt chodzi, albo trzema literami, piszc np. ABC, albo wreszcie jedn liter alfabetu greckiego,


24/309

oznaczajc ktAliter , ktBliter , a ktCliter .

Rys. 30

60. Jeli jeden z bokw trjkta nazwiemypodstaw, to wierzchoek przeciwlegy nazwiemywierzchokiemtrjkta.

Jeeli na ramionach dowolnego ktaA(rys. 30), poczwszy od jego wierzchoka, odoymy dwa rwne sobieodcinkiABiAC, to otrzymamy trjktABC, ktry ma dwa boki rwne,AB=AC. Taki trjkt nazywamytrjktemrwnoramiennym. BokiAB,ACnazywamyramionami, a bokBCpodstawtrjktarwnoramiennego.

Gdybymy ktAtak dobrali, e po dokonaniu poprzednich konstrukcji okazaoby si, e i trzeci bokBCjestrwny bokomABiAC, to otrzymalibymy trjkt o wszystkich trzech bokach rwnych. Taki trjktnazywamy trjktemrwnobocznym, a jak go zbudowa, wkrtce zobaczymy.

61. Jeeli dane na paszczynie punkty:A,B,C,DiEpoczymy odcinkamiAB,BC,CD,DEiEA, tootrzymamy cz paszczyzny ograniczon lini amanABCDEA, do ktrej nalee bd wszystkie punkty,wewntrz tej amanej oraz na niej pooone.

Rys. 31Tak figur nazywamywieloktem, a w szczeglnoci czworoktem, picioktem itd., stosownie do liczbydanych punktw (rys. 31).

Odcinki, tworzce wielokt, nazywamy jegobokami, a punkty ich przeciciawierzchokamiwielokta.

Kty utworzone przez dowolne dwa kolejne boki nazywamyktamiwielokta.

Sum wszystkich bokw nazywamyobwodemwielokta, lini amanABCDEAograniczajc wieloktbrzegiemwielokta.

Brzeg wielokta dzieli paszczyzn na dwie czci, tzn. na dwa obszary, z ktrych jeden jest ograniczony,nazywamy gowewntrznym, drugi za jest nieograniczony i nazywamy go obszaremzewntrznym*.


25/309

Rys. 32Jeeli ktrykolwiek z bokw wielokta, np.AE(rys. 32), przeduymy, to kt, utworzony przez bokEDiprzeduenie bokuAE, tj. ktDEF, nazywamy ktem zewntrznym wielokta.

Rys. 33

62. Wielokt nazywamywypukym(rys. 33), jeeli przeduenia jego bokw nie przecinaj brzegu; wprzeciwnym razie wielokt nazywa siwklsym(rys. 34).

Rys. 34

W dalszych rozwaaniach bdziemy zawsze mieli na myli wielokty wypuke, chyba e wyraniezaznaczymy, e jest inaczej.

Odcinek, ktry czy dwa wierzchoki wielokta, nie lece na tym samym boku, nazywmyprzektn, np.AC,AD(rys. 35).

Rys. 35

Kady wielokt wypuky mona podzieli na trjkty przektnymi, wyprowadzonymi z ktregokolwiekwierzchoka. Jeeli zauwaymy, e w skad kadego z tych trjktw wchodzi po jednym boku wielokta,

oprcz trjktw skrajnych, do wyznaczenia ktrych potrzebne s po dwa boki wielokta, to atwo


26/309

wywnioskowa, ewielokt mona podzieli przektnymi na tyle trjktw, ile ma bokw mniej dwa.

Co do liczby przektnych, ktre da si wyprowadzi z jednego wierzchoka wielokta, to bdzie ich tyle, ilewielokt ma bokw mniej trzy. Tak wic np. z jednego wierzchoka w czworokcie mona wyprowadzi

jedn przektn, w piciokcie dwie itd.

* To, e brzeg trjkta dzieli - podobnie jak okrg - paszczyzn na dwa obszary, przyjmujemy bez dowodu.

9. wiczenia

1. Wykreli okrgi majce a) ten sam rodek, b) ten sam promie, ale inny rodek.

2. Promieniem rwnym danemu odcinkowiawykreli okrg, przechodzcy przez dany punktA. Ile takichokrgw mona wykreli i gdzie bd leay ich rodki?

3. Wszystkie boki danego trjkta przeduono w obie strony. Ile powstao ktw przy kadym wierzchokutrjkta? Wymieni kty wewntrzne i zewntrzne tego trjkta. Ktre z otrzymanych ktw bd sobie

rwne, a ktre bd ktami przylegymi?

4. Co mona powiedzie o odcinku, ktry czy punkt wewntrzny trjkta z punktem zewntrznym, a co oodcinku, ktry czy dwa punkty zewntrzne trjkta?

5. Ile przektnych mona wyprowadzi z jednego wierzchoka w dziesiciokcie, a ile w pitnastokcie? Ilernych przektnych da si wyprowadzi ze wszystkich wierzchokw danego wielokta?

Przystawanie i symetria figur paskich

10. Przystawanie trjktw

63. Dwa trjkty nazywamyprzystajcymi, jeeli boki jednego trjkta s rwne odpowiednim bokomdrugiego trjkta, a kty odpowiednim ktom w drugim trjkcie; o odpowiednioci zakadamy, e naprzeciwodpowiadajcych sobie ktw le odpowiadajce sobie boki.

Znaczy to np. e jeeli mamy dwa trjktyABCiDEF(rys. 36), w ktrych:

Rys. 36

AB = DE;BC = EF;AC = DF

i A= D; B= E; C= F,


27/309

to mwimy, e te trjkty s przystajce i piszemy: ABC= DEF. Przekonamy si jednak wkrtce, e nato, aby trjkty byy przystajce wystarcza bd pewne trzy rwnoci spord tych szeciu. Okae si wtedy,e i pozostae elementy tych trjktw bd sobie odpowiednio rwne; mianowicie te boki bd rwne, ktrele naprzeciw ktw rwnych i odwrotnie.

Zalenie od tego, ktre trzy elementy kadego z danych trjktw wemiemy pod uwag, otrzymamy rneprzypadki,czylicechy przystawania trjktw.

64. Niech bd dane dwa trjktyABCiDEF, takie e (rys. 37):

AB = DF;AC = DE; A= D.

Rys. 37

Gdybymy takie trjkty wycili z kartonu i naoyli jeden na drugi w taki sposb, aby bokDFpokry si zABi wierzchoekDzA, to z atwoci spostrzeemy, e wierzchoekFpokryje si z wierzchokiemB, gdybokiABiDFs sobie rwne; bokDEnaoy si naAC, dlatego e D= A, wreszcie wierzchoekEpokryjesi zC, boDE=AC. A zatem wszystkie trzy wierzchoki nao si na siebie, a take wszystkie trzy boki.

Te spostrzeenia przemawiaj za tym by przyj nastpujcypewnik:

Dwa trjkty s przystajce, jeeli maj po dwa odpowiednie boki rwne i po kcie, midzy nimi zawartym,

rwnym.

Znaczy to, e dwa boki i kt midzy nimi zawarty wyznaczaj jednoznacznie trjkt.

Jest to I cecha przystawania trjktw.

65. Niech bdzie dany trjktABC(rys. 38) i odcinekA1B1=c, rwny ktremukolwiek bokowi tego trjkta,np. bokowiAB.

Na mocy pewnika (punkt 44) moemy powiedzie, e z kadej strony odcinkacistnieje jedna taka pprosta,ktra z tym odcinkiem utworzy kt o wierzchokuA1rwny ktowiA. Jeeli nastpnie na ramieniu tego ktaodmierzymy odcinekA1C1rwny odcinkowiACi poczymy jego koniecC1z punktemB1, to otrzymamytrjktA1B1C1przystajcy do trjktaABC.

Rys. 38

Wniosek.Z kadej strony danego odcinka rwnego jednemu z bokw danego trjkta istnieje trjktprzystajcy do danego.

Jak zbudowa taki trjkt, zobaczymy niebawem.


28/309

66.Twierdzenie(II cecha przystawania trjktw).

Dwa trjkty s przystajce, jeeli maj po jednym boku rwnym i po dwa odpowiednie kty do niegoprzylege, rwne.

Rys. 39

Niech bd dane dwa trjkty:ABCiDEF(rys. 39), takie, e

AB = DE;

A = D;

B= E.

Mamy dowie, e ABC= DEF, czyli e te trjkty maj wszystkie pozostae odpowiednie elementyrwne.

Dowd.Wystarczy dowie, e bokACjest rwny bokowiDF.

Gdyby bokACnie by rwnyDF, musiaby by od niego albo mniejszy, albo wikszy. Przypumy wic, ebokACjest mniejszy odDF, w takim razie, odkadajc naDFod punktuDodcinekAC, otrzymalibymykoniecCbokuACwewntrz odcinkaDF, np. w pewnym punkcieK, czyli otrzymalibymyDK = ACi dwatrjktyABCiDEKbyyby przystajce, co pocigaoby za sob rwno ktwABCiKED, a to jestniemoliwe, dlatego e KED, jako rny od DEF, nie mgby by rwny ktowiABC, jak tego wymagazaoenie.

W taki sam sposb atwo przekonujemy si, e bokACnie moe by wikszy odDF.

Jeeli zatem bokACnie moe by ani mniejszy od bokuDF, ani od niego wikszy, to musi by mu rwny, aw takim razie trjktyABCiDEFmaj po dwa odpowiednie boki rwne i po kcie midzy nimi zawartymrwnym, czyli s przystajce (I cecha przystawania trjktw), co byo do udowodnienia.

67.Wniosek.Podobnie jak w punkcie 64, powiemy, ebok i dwa kty do niego przylege wyznaczaj trjkt.

68.Uwaga.Sposb dowodzenia, ktrego uylimy w ostatnim twierdzeniu, znany jest pod nazwsprowadzenia do niedorzecznoci(reductio ad absurdum) i jest do czsto stosowany. Polega na tym, jakwidzielimy, e nie mogc dowie pewnej prawdy wprost, np. eA = B, dowodzimy, eAnie moe by aniwiksze, ani mniejsze odB. Zakadamy wic najpierw, eAjest wiksze odBi dochodzimy do wniosku, ezaoenie musi upa, gdy prowadzi do niedorzecznoci, czyli do sprzecznoci albo z przyjtym zaoeniem,albo z poprzednimi, ju uznanymi prawdami. Jeeli drugie przypuszczenie (AB,alboA


29/309

69.Twierdzenie.Jeeli w trjkcie dwa boki s sobie rwne, to i kty, naprzeciw nich pooone, s rwne.

Trjkt, ktry ma dwa boki rwne, nazywamy trjktem rwnoramiennym. Za jego podstaw obieramy boknierwny, twierdzenie mona wic wypowiedzie w nastpujcy sposb:

w trjkcie rwnoramiennym kty pooone przy podstawie s sobie rwne.

Niech bdzie dany trjkt rwnoramiennyABC(rys. 40), w ktrym

AC = CB;

naley dowie, e

A = B.

Rys. 40

Dowd.Wemy odcinekDErwny odcinkowiAB. Wiadomo, e istnieje pprostaDK, ktra z odcinkiemDEtworzy bdzie ktDrwny ktowiA. Jeeli na tej pprostej odoymyDF=ACi poczymy punktyFiE,to otrzymamy trjkty przystajce DEFi ABC(II cecha przystawania trjktw). A zatem bdziemymieli:

CB = FE, C= F, B= E.

Ale z zaoenia mielimyAC = CB, wic otrzymamy teraz

AC = CB = DF = FE,

skd wnosimy, e trjktyABCiDEFs przystajce z uwagi na to, e

AC = FE,CB = DFi C = F,

skd otrzymujemy

B= D.

Poniewa z konstrukcji mielimy

A= D,

wic bdzie

A= Bcbdd.*

Ten dowd mona przeprowadzi znacznie prociej, mianowicie trjkt ABC jest przystajcy do trjkta BAC(tzn. jest on przystajcy do samego siebie, z tym tylko, e wierzchokowi A trjkta ABC odpowiadawierzchoek B trjkta BAC, wierzchokowi B wierzchoek A, wierzchokowi C sam wierzchoek C, bokowi ACodpowiada zatem bok AB itd.). Wynika to z I cechy przystawania trjktw, bo AC = BC, BC = AC oraz C =


30/309

C. Autor prowadzi w zasadzie ten sam dowd. Konstrukcja trjkta DEF jest przeprowadzona tylko po to, bynie powiedzie, e trjkt moe by przystajcy do siebie samego, ale przy innej odpowiedniociwierzchokw i bokw. (tzn. wierzchoek A przystaje sam do siebie przy naturalnej odpowiedniociwierzchokw i bokw (tzn. wierzchoek A odpowiada wierzchokowi A itd.).

Inny dowd tego twierdzenia moemy otrzyma prowadzc dwusieczn CD kta C i zauwaajc, e trjktyDCA i DCB s przystajce.

Uwaga.Przytoczone twierdzenie, znane w dalekiej staroytnoci przypisane jest Talesowi z Miletu (627-547

p.n.e.). Jest to pierwszy znany geometra grecki, jemu przypisywane jest rwnie twierdzenie o ktachwierzchokowych. Podanie gosi, e Tales wprowadzi w podziw krla egipskiego, obliczywszy wysoko

jednej z piramid bez uycia jakichkolwiek przyrzdw.

70.Twierdzenie(III cecha przystawania trjktw).Dwa trjkty s przystajce, jeeli maj po trzyodpowiednie boki rwne.

Niech bd dane trjktyABCiDEF(rys. 41), w ktrych

AB = DE,

AC = DF,

iCB = FE;

naley dowie, e ABC= DEF.

Rys. 41

Dowd.Majc z zaoeniaDE = AB, korzystamy z tego, e z kadej stronyDEistnieje trjkt przystajcy dotrjktaABC. Takim trjktem, zbudowanym po przeciwnej stronie odcinkaDE, ni trjktDEF, niechbdzie trjktDEK, w ktrym

DK = ACiEK = CB.

Poniewa na mocy zaoenia,DF = ACiFE = CB, wic

DF = DKiFE = EK.

W takim razie, czc punktyFiK, otrzymamy trjkt rwnoramiennyKDF, w ktrym

1 = 2,

oraz trjkt rwnoramiennyFEK, w ktrym

3 = 4,


31/309

zatem

1 + 3 = 2 + 4,

czyli

DFE= DKE.

Std wynika, e DFE= DKE(I cecha przystawania trjktw), a e DKE= ABC, wic

ABC= DEFcbdd.

Jak poprzednio, moemy powiedzie, etrzy boki wyznaczaj trjkt.

11. Konstrukcje podstawowe

71. Poznalimy trzy zasadnicze cechy przystawania trjktw, ktre pozwol nam dokonywa niektrychkonstrukcji geometrycznych, niezbdnych do dalszej nauki.

Zadanie 1.Zbudowa trjkt, ktrego boki s rwne trzem danym odcinkom.

Rys. 42

Na prostejMN(rys. 42), poczynajc od dowolnego punktuA, odmierzamy trzy kolejne odcinki:AB=k,BC=liCD=m.

Obierajc punktBza rodek koa, a odcinekAB=kza jego promie, moemy zawsze wykreli okrg, ktryoznaczymy przez I; podobnie rodekCi promieCD=mwyznacz drugi okrg (II) (wystarczy wykrelipokrgi, pooone z jednej strony prostejMN).

Czy te dwa okrgi si ze sob przetn?

Powoujc si tu na pewnik (punkt 57), zadamy, eby uk okrgu II czy dwa punkty na paszczynie, zktrych jeden byby pooony wewntrz okrgu I, a drugi na zewntrz niego.

NiechDiD' bd punktami przecicia okrgu II z dan prost i rozstrzygnijmy, kiedy te punkty bd leayw rnych czciach paszczyzny, na ktr j podzieli okrg I.

PunktD' bdzie lea wewntrz okrgu I, jeeli jego odlego od punktuBbdzie mniejsza od promieniakoa I, czyli jeeliBD' l - m.


32/309

Nastpnie punktDbdzie lea na zewntrz okrgu I, jeeli jego odlego od rodkaBbdzie wiksza odpromienia tego okrgu, czyli jeeliBD>BA, aleBD=BC+CD=l+m, zaBA = k, a zatem

k


33/309

Zadanie 4.Na danym odcinku, jako na podstawie, zbudowa trjkt rwnoramienny o ramionach rwnychdanemu odcinkowi.

Niech bdzie dany odcinekc, ktry ma by podstaw, i odcinekb, ktry ma by ramieniem danego trjkta.Mamy wic zbudowa trjkt z trzech danych odcinkwc,bib.

Poniewa pierwszy odcinek jest oczywicie wikszy od rnicy dwch pozostaych, wic warunkiemmoliwoci rozwizania bdzie

c< 2b, czylib> c/2. Konstrukcja, jak w zadaniu 1.

Zadanie 5.Dany kt podzieli na poowy.

Niech bdzie dany ktBAC(rys. 44). Na jego ramionach odmy rwne odcinkiADiAE. Nastpnie naodcinkuDEzbudujmy trjkt rwnoramienny, pooony po przeciwnej stronie odcinkaDE, niDAE.PprostaAMjest dwusieczn danego kta, czyli BAM= MAC, co wynika z przystawania trjktwADMiAEM.

Rys. 44 Rys. 45

atwo dowie, e jakakolwiek inna pprosta, wyprowadzona z wierzchoka danego kta, podzieli ten kt naczci nierwne, dlatego e bdzie pooona albo wewntrz ktaDAM, albo na zewntrz niego. Std wynika

Wniosek.Dla kadego kta istnieje tylko jedna dwusieczna.

Zadanie 6.Z punktu pooonego na danej prostej poprowadzi do niej prost prostopad.

Niech bdzie dana prostaAB(rys. 45) i na niej punktO. UwaajcAOBza kt ppeny, moemy stosujcpoprzedni konstrukcj wykreli jego dwusieczn. W tym celu odkadamyOD = OEi na odcinkuDE, jakona podstawie, wykrelamy dowolny trjkt rwnoramienny. Jeeli przez wierzchoekCtego trjkta i przezdany punktOpoprowadzimy prost, to bdzie ona dwusieczn kta ppenegoAOB, a zatem AOC =

COB, wic te kty bd proste, czyliCO AB.

Wniosek.Rozumujc jak w przypadku poprzedniego zadania, moemy powiedzie, e:

z punktu pooonego na danej prostej zawsze mona wystawi do niej tylko jedn prost prostopad.

Zadanie 7.Przez punkt, pooony poza dan prost poprowadzi prost do niej prostopad.


34/309

Rys. 46 Rys. 47

Dana jest prostaABi punktC, pooony poza ni (rys. 46). Jeeli dowolny punktDtej prostej poczymy zpunktemC, to otrzymamy CDB= . Wykrelmy z drugiej strony prostejABkt rwny a. Jeeli teraz naramieniu tego kta odoymy odcinekDE = DCi poczymyEz punktemC, to prostaECprzetnie prostAB(patrz pewnik, punkt 36) w pewnym punkcieO. TrjktyDCOiDEOs przystajce (I cecha przystawania).Zatem ktyDOCiDOEs rwne, a e s to kty przylege, wic kady z nich jest prosty, a zatem prostaCE(tym samym iCO) jest prostopada doAB.

Wniosek.Z danego punktu zawsze mona poprowadzi tylko jedn prost prostopad do danej prostej.

Istotnie, przypumy, e z danego punktuC(rys. 47) mona poprowadzi jeszcze jedn prostopad do prostej

ABoprcz prostej prostopadejCD. Niech to bdzie prostaCE.

PrzedumyCDi odmy odcinekDFrwny odcinkowiCD, a punktEpoczmy zF. Wtedy z tego, etrjktyCDEiFDEs przystajce (I cecha przystawania) wynikaoby, e CED= FED.

Ale ktCEDpowinien by prosty z naszego zaoenia, a zatem i ktFEDmusiaby by prosty, czyli odcinekEFpowinien by przedueniemCE, inaczej mwic, liniaCEFmusiaaby by prosta. W takim razie dwierne prosteCDFiCEFmiayby dwa punkty wsplne, co jest niemoliwe.

Std wynika, e oprcz prostejCDnie ma innej prostej prostopadej do prostejAB, poprowadzonej z punktuC.

Zadanie 8.Dany odcinek podzieli na poowy.

Dany jest odcinekAB(rys. 48), wystawmy na nim, jako na podstawie po kadej jego stronie, trjktyrwnoramienne (zadanie 4). czc wierzchoki tych trjktw odcinkiemCD, otrzymamy w przeciciu zABpunktO, ktry bdzie rodkiem odcinkaAB, czyliAO = OB.

Rys. 48 Rys. 49

Istotnie, z konstrukcji wynika, e ktACBzosta przezCDpodzielony na poowy (patrz zadanie 5), mamyACO= OCB. Wwczas trjktyAOCiCOBs przystajce zgodnie z I cech przystawania trjktw, stdza wynika, eAO = OB.

W praktyce dokonujemy konstrukcji w sposb uproszczony, zakrelajc z kocwAiBdanego odcinkadowolnym promieniem, ale na oko wikszym od poowyAB(dlaczego?) uki. Punkty przecicia tych ukwbd wanie punktamiCiD. Wykrelamy wic dwa trjkty rwnoramienne przystajce.


35/309

72.Okrelenia.Niech bdzie dany jakikolwiek trjktABC(rys. 49). Z wierzchokaCpoprowadmyCDAB, nastpnie odcinekCE, czc wierzchoekCze rodkiemEbokuAC, i wreszcie odcinekCF, ktry dzieliktACBna poowy. OdcinkiCD,CEiCFmaj swoje nazwy i odgrywaj wan rol w nauce o trjkcie.

Odcinek, wyprowadzony z wierzchoka trjkta i prostopady do przeciwlegego boku, nazywamywysokocitrjkta (np.CD).

Odcinek, ktry czy wierzchoek trjkta ze rodkiem przeciwlegego boku, nazywamyrodkowtrjkta

(np.CE).

Odcinek dwusiecznej kta trjkta, ograniczony wierzchokiem trjkta i punktem przecicia z przeciwlegymbokiem, nazywamyodcinkiem dwusiecznejkta w trjkcie albo po prostu -dwusieczn(CF).

Rzecz jasna, e z kadego wierzchoka mona wyprowadzi wszystkie trzy okrelone wyej odcinki.

12. Zalenoci midzy elementami trjkta

73.Twierdzenie.Jeeli w trjkcie dwa kty s rwne, to i przeciwlege im boki s sobie rwne.

Krcej mona powiedzie:

Trjkt, ktry ma dwa kty rwne, jest rwnoramienny.

Rys. 50

Dany jest ABC(rys. 50), w ktrym A= B(albo 1 = 2), mamy dowie, e

AC = CB.

Dowd.Na bokuAB, po przeciwnej stronie ni trjktACB, zbudujmy trjktABDprzystajcy do trjktaABC(trjkt zbudowany z trzech bokw danego trjkta), wtedyAC = ADiCB = DB, a poniewa ktyprzeciwlege te bd rwne, czyli 2 = 4 i 1 = 3.

Na mocy zaoenia, e 1 = 2, wic rwnie bdzie

2 = 3.

Ta rwno za pociga za sob rwno przeciwlegych bokw,AC = BD. Poniewa z konstrukcji mielimyBD = CB,

wic


36/309

AC = CB, co byo do udowodnienia*.

Wniosek.Trjkt, ktry ma wszystkie kty rwne, jest trjktem rwnobocznym.

74.Twierdzenie.W trjkcie kt zewntrzny jest wikszy od kadego z ktw wewntrznych do niegonieprzylegych.

Dany jest ABC(rys. 51), przedumy jeden z jego bokw, np. bokAB. Wwczas utworzy si kt

zewntrznyCBD. Mamy dowie, e

CBD> A

i CBD> C.

Rys. 51

Dowd.Podzielmy bokCBna poowy w punkcieEi poczmyAzEodcinkiemAE. Odcinek AE przedumyna odlegoEF = AE, a nastpnie poczmy punktyFiB. Otrzymujemy dwa trjktyACEiEFB, w ktrych

CE = EB,

AE = EF,

AEC= BEF(jako kty wierzchokowe).

Zatem ACE= EFB, a std rwno ktw,

C= EBF,

le one bowiem naprzeciw rwnych bokwAEiEF.

Ale z drugiej strony widzimy, e

CBD> CBF, tj. CBD> EBF,

a wic

CBD> ACE=C.

W podobny sposb mona dowie, e

CBD> A.

75.Wniosek.Jeeli w danym trjkcie jeden z ktw jest prosty, to kt zewntrzny do niego przylegy jestrwnie prosty, a zatem pozostae kty wewntrzne bd od niego mniejsze, tj. bd ktami ostrymi (rys. 52).

Podobnie, jeeli jeden z ktw trjkta jest rozwarty, to kt zewntrzny trjkta do niego przylegy bdzie

ostry, tym bardziej wic bd ostre pozostae dwa kty wewntrzne trjkta (rys. 52).


37/309

Std mamy nastpujcy wniosek:

W trjkcie moe by tylko jeden kt nieostry.

Rys. 52

76.Okrelenia.Trjkt, ktrego jeden z ktw jest ktem prostym, nazywamy trjktemprostoktnym.Boki, ktre tworz kt prosty, nazywamyprzyprostoktnymi, a bok przeciwlegy ktowi prostemu,przeciwprostoktn.

Trjkt, ktrego jeden z ktw jest ktem rozwartym, nosi nazw trjktarozwartoktnego. Trjkt, ktrynie ma ani kta prostego, ani rozwartego, tj. ma wszystkie kty ostre, nazywany jest trjktemostroktnym.

77.Twierdzenie.W trjkcie naprzeciw wikszego boku ley wikszy kt.

Dany jest ABC(rys. 53), w ktrym

AB>AC,

naley dowie, e

C> B.

Rys. 53

Dowd.Jeeli bokABjest wikszy odAC, to zawsze moemy odoy naABodcinekADrwny odcinkowiAC. Otrzymamy wwczas trjkt rwnoramiennyADC, w ktrym (rys. 53)

1 = 2.

Ale kt 2 jest zewntrzny dla trjkta CDB, a zatem

2 > DBC,

wic rwnie

1 > DBC.

A e ktACB, wikszy od 1, wic tym bardziej


38/309

ACB> DBC, co naleao dowie.

78.Twierdzenie odwrotne.W trjkcie naprzeciw wikszego kta ley wikszy bok.

Dany jest trjktABC(rys. 53), w ktrym ACB> ABC.

Naley udowodni, eAB>AC.

Mona to udowodni sposobem sprowadzenia do niedorzecznoci, zakadajc najpierw, eAB = AC, potemza, eABAB.

Ale

AD = AC + CD = AC + CB,

wic

AC + CB > AB,

czyli

AB < AC + CB.

Podobnie

CB < AB + AC,


39/309

std

AB > CB - AC.

Dowiedlimy wic, e

BC - AC < AB < BC + AC.

80.Wniosek 1.Przypominajc sobie warunek wystarczajcy, ktry otrzymalimy dla rozwizania zadania okonstrukcji trjkta z trzech danych odcinkw (punkt 71, wniosek 1), moemy teraz powiedzie:

Aby z trzech danych odcinkw mona byo zbudowa trjkt, potrzeba i wystarcza, eby jeden z nich bymniejszy od sumy dwch pozostaych, ale wikszy od ich rnicy.

81.Wniosek 2.Odcinek prostej jest krtszy od dowolnej amanej, czcej te same punkty.

Rys. 55

Jeeli mamy dane dwa punktyAiB(rys. 55), poczone odcinkiemABi amanAEDCB, to czc punktAzCiAzD, otrzymujemy trjktABC, w ktrym

AB < AC + CB.

Nastpnie z trjktaACDdostajemy

AC < AD + DC,

a wreszcie

AD < AE + ED

z trjktaADE.

Zatem

AB < AE + ED + DC + CB.

82.Okrelenia.Linia amana nazywana jest amanwypuk(rys. 56), jeeli ley z jednej strony kadego zeswych odcinkw, w przeciwnym razie nazywana jest amanwkls(rys. 57).

Rys. 56 Rys. 57


40/309

Jeeli dwa punktyAiB(rys. 58) s poczone ze sob odcinkiemABi dwiema amanymiACDBiAEFGB,ktre le z jednej strony odcinkaABi nie przecinaj si ze sob, to jedna z tych amanych, nazywamy jaman zewntrzn (AEFGBna rys. 58) obejmuje aman wewntrzn (ACDBna rys. 58).

Rys. 58 Rys. 59

83.Twierdzenie.amana wypuka jest krtsza od dowolnej amanej, ktra j obejmuje.

Dowd.Dana jest amana wypukaACDB(rys. 59) i amana j obejmujcaAEFGB. Przedumy odcinkiACiCDdo prze cicia si z odcinkiemGBw punktachHiJ. Na podstawie wniosku z poprzedniego twierdzeniamoemy powiedzie, e

AH = AC + CH < AE + EF + FG + GH,

CJ = CD + DJ < CH + HJ,

DB < DJ + JB.

Dodajc te nierwnoci stronami, a nastpnie od obydwu stron odejmujc odcinkiCHiDJi zauwaajc, eGH + HJ + JB = GB,otrzymujemyAC + CD + DB < AE + EF + FG + GB, czyli:

AC + CD + DB < AE + EF + FG + GH + HJ + JB

cbdd.

84.Wniosek.Jeeli dwa wielokty s tak pooone, e wierzchoki jednego z nich albo le na bokachdrugiego, albo wewntrz tego wielokta, to powiemy, e wielokt zewntrzny obejmuje wewntrzny (rys. 60).O obwodach takich wieloktw, na mocy powyej udowodnionego twierdzenia, moemy powiedzie, e

Rys. 60

obwd wielokta wypukego jest mniejszy od obwodu kadego wielokta, ktry go obejmuje.

85.Twierdzenie.Jeeli dwa boki jednego trjkta s rwne odpowiednim dwm bokom drugiego, ale ktymidzy nimi zawarte s nierwne, to i trzecie boki s nierwne, a mianowicie ten bok jest wikszy, ktry leynaprzeciw wikszego kta.

Wiadomo, e trjktyABCiDEF(rys. 61) s takie, iAB=DE,BC = EFi ktBjest wikszy od ktaE.


41/309

Rys. 61

Mamy dowie, e bokACjest wikszy od bokuDF.

Dowd.Na bokuABprzy punkcieBzbudujmy ktABKrwny ktowiDEF, odmyBK = EFi poczmyKzA. Wtedy ABK= DEFiAK = DF.

Podzielmy teraz na poow ktKBCi niech dwusieczn bdzieBL. PoczmyKiL, wtedy trjktyKBLiLBCs przystajce, gdyBL = BL,BC = BK(=EF) i (rys. 61) 1 = 2. Std wynika, eKL = LC.

Poniewa w trjkcieALKmamy

AL + LK > AK,

wic

AL + LC > DF,

skdAC > DF, cbdd.

86.Twierdzenie odwrotne.Jeeli dwa trjkty maj po dwa boki odpowiednio rwne, a trzecie bokinierwne, to kty naprzeciw tych bokw pooone s nierwne, a mianowicie ten kt jest wikszy, ktry leynaprzeciw wikszego boku.

Dowd przeprowadza si metod sprowadzenia do niedorzecznoci.

87.Uwagi oglne o twierdzeniach*.Poznane dotychczas twierdzenia i ich dowody pozwalaj na wysnucieniektrych oglnych prawidowoci.

Wiadomo, e twierdzenie odwrotne tworzy si z danego przez odwrcenie w nim zaoenia i tezy.

Tak np. dla twierdzenia "jeeli dwa boki trjkta s rwne, to i kty im przeciwlege s rwne", odwrotnymjest twierdzenie "jeeli dwa kty w trjkcie s sobie rwne, to i boki im przeciwlege s rwne".

Zastanawiajc si bliej nad twierdzeniami, ktre dotd poznalimy, a wyraajcymi rne zalenoci midzyelementami trjkta, moemy zauway, e niektre z nich, nie mwic ju o twierdzeniach odwrotnychwzgldem siebie, s w pewnej wzajemnej zalenoci logicznej.

Mielimy twierdzenia:

I. Jeeli w trjkcie dwa boki s rwne, to i dwa kty do nich przeciwlege s rwne.

II. Jeeli w trjkcie dwa kty s rwne to i boki naprzeciw nich pooone s sobie rwne.

III. Jeeli w trjkcie dwa boki s nierwne, to i kty przeciwlege s nierwne.


42/309

IV Jeeli w trjkcie dwa kty s nierwne, to i boki przeciwlege s nierwne.

Widzimy, e twierdzenie drugie jest odwrotne wzgldem pierwszego, a czwarte wzgldem trzeciego.

Ogln postaci takiej "czwrki" twierdze, czyli tzw.ukadu zamknitegobdzie:

I. JeeliA, toB.

II. JeeliB, toA.

III. Jeeli nieA, to nieB.

IV. Jeeli nieB, to nieA.

atwo mona wywnioskowa metod sprowadzenia do niedorzecznoci, e prawdziwo twierdzenia pocigaza sob prawdziwo twierdzenia IV (i na odwrt), tak samo zachowuj si wzgldem siebie twierdzenia II iIII*.

Z tych rozwaa dochodzimy do nastpujcych wnioskw:

1)Jeeli s udowodnione dwa twierdzenia wzgldem siebie odwrotne, to pozostae dwa twierdzenia czwrkibd prawdziwe.

2)Jeeli s udowodnione dwa twierdzeniaIiIII(lubIIiIV), to pozostae dwa twierdzenia bd prawdziwe.

*Podobnie jak w punkcie 69 wystarczy zauway, e trjkt ABC jest przystajcy do trjkta BAC (przyp.red.).

W tym punkcie termin "twierdzenie odwrotne" znaczy zdanie powstae formalnie z danego twierdzenia przezzamian tezy z zaoeniem, nie przesdza to o prawdziwoci tak utworzonego "twierdzenia odwrotnego"(przyp. red.).

13. Prostopada i pochya. Trjkty prostoktne

88.Okrelenia. Rzutem prostoktnympunktu, albo krcejrzutem punktu,na dan prost nazywamyspodek prostopadej spuszczonej na t prost.

Np. rzutem punktuAna prostKL(rys. 62) jest punktA1, gdzieAA1 KL. ProstaKLnosi wtedy nazwosirzutw.

Jeeli mamy pewien odcinekAB(rys. 63), to dla otrzymania jego rzutu na oKLnaley mie rzutyposzczeglnych jego punktw, ale oczywicie, wystarczy znale rzuty kocw. I takrzutemodcinkaABnaoKLbdzie odcinekA1B1, ktry czy rzuty jego kocw.


43/309

Rys. 62 Rys. 63

Jeeli odcinekABma jeden z kocw na osi rzutw (rys. 64), to dla otrzymania jego rzutu wystarczypoprowadziBB1 KLi rzutem bdzie odcinekAB1.

Jak wiemy, z danego punktu mona poprowadzi tylko jedn prostopad do prostej danej, a zatem kady innyodcinek, np.BA(rys. 64), ju nie bdzie prostopady doKL, ale pochyy.

89.Twierdzenie.Jeeli z tego samego punktu wyprowadzono prostopad i pochye do danej prostej, toprostopada jest krtsza, ni kada pochya.

Jeeli mwimy, e prostopada jest krtsza ni pochya, to mamy na myli odcinekABprostopadej i odcinek

ACpochyej.

Rys. 64 Rys. 65

Niech bdzie dana prostaKLi punktA(rys. 65). PoprowadmyAB KLi poczmy dowolny punktCprostejKLz punktemApochyAC. Mamy dowie, eAB < AC.

Dowd.TrjktABCzawiera kt prostyABC, a wic ktACBjest ostry (patrz punkt 75), mamy wic

ACB< ABC,

std za (patrz punkt 78)

AB < AC, cbdd.

90.Twierdzenie odwrotne.Najkrtsz odlegoci punktu od prostej jest odcinek prostopady spuszczony ztego punktu na dan prost.

Zakadamy, eAB(rys. 65) jest najkrtsz odlegoci punktuAdo prostejKL, mamy dowie, eAB KL.

Dowd.Gdyby odcinekABnie by prostopady do prostejKL, to moglibymy poprowadzi prostopady iniech bdzie to odcinekAC. W takim razie musiaoby byAC < AB, co przeczyoby zaoeniu, a zatem

AB KL.


44/309

91. Zgodnie z powyszym twierdzeniemodlego punktu od prostejmierzy si odcinkiem prostopadej,spuszczonej z tego punktu na prost.

Rys. 66

92. Niech bdzie dana prostaKLi punktA(rys. 66). Wyprowadmy z tego punktu prostopadABi pochyeAC,ADiAE, ktrych rzutami naKLs odpowiednioCB,BDiBE.

Twierdzenie 1.Dwie pochye, wyprowadzone z tego samego punktu, s rwne, jeeli ich rzuty s rwne.

Dowd. Zakadamy, eCB = BD. Wtedy trjktyCABiBADs przystajce, bo maj bokABwsplny, bokCB = BDz zaoenia, a ktyCBAiABD, midzy tymi bokami zawarte s rwne jako kty proste.

Z przystawania tych trjktw wynika, eAC = AD.

93.Twierdzenie 2.Jeeli rzuty dwch pochyych, wyprowadzonych z tego samego punktu, s nierwne, to ipochye s nierwne, a w szczeglnoci ta pochya jest wiksza, ktrej rzut jest wikszy.

Dowd.Zamy, eBE > BC, wtedy moemy odoy na odcinkuBEodcinekBD = BCi poczyDzA.

Na mocy poprzedniego twierdzeniaAC = AD.

Zauwamy teraz, e w trjkcieDAEkt 2 jest rozwarty (dlaczego?), a wic kt 3 musi by ostry, czyli

3 < 2,

w takim razie bdzieAE > AD, czyliAE > AC, cbdd.

94.Twierdzenie 3(odwrotne wzgldem 1).Dwie rwne pochye, wyprowadzone z tego samego punktu, majrwne rzuty.

95.Twierdzenie 4(odwrotne wzgldem 2).Jeeli z tego samego punktu wyprowadzono dwie nierwnepochye do danej prostej, to i rzuty ich s nierwne, a w szczeglnoci wikszej pochyej bdzie odpowiadawikszy rzut.

96.Przystawanie trjktw prostoktnych.Niech dane bd dwa trjkty prostoktne:ABCiDEF(rys.67), w ktrych kty przy wierzchokuBiEs proste. Poniewa takie trjkty maj zawsze po jednymelemencie rwnym (kt prosty), wic na to, aby byy trjktami przystajcymi, wystarcza bdzie rwnodwch elementw.


45/309

.Rys. 67

Ze znanych ju oglnych cech przystawania trjktw wynika bdzie bezporednio:

1)dwa trjkty prostoktne s przystajce, jeeli maj odpowiednie przyprostoktne rwne;

2)dwa trjkty prostoktne s przystajce, jeeli maj po jednej przyprostoktnej rwnej i po kcie ostrym doniej przylegym rwnym.

.

Rys. 68

97.Trzecia cecha przystawania trjktw prostoktnych.Niech bd dane dwa trjkty prostoktneABCiDEF(rys. 68), ktre maj

AC = DF

BC = EF.

Na odcinkuEFrwnymBCzbudujmy trjktEFGprzystajcy do trjktaABC, pooony po przeciwnejstronie odcinka, ni trjktDEF(budujc EFG = ACB,FG = ACi czcEiG). Wtedy ktFEG, jakorwny ktowiB, jest prosty, a poniewa ktDEFjest rwnie prosty, wic wynika std, e odcinekEG, jakrwnie odcinekDE, jest prostopady do odcinkaEF, a wic, e odcinkiDEiEGle na jednej prostej(dlaczego?). TrjktDFGjest trjktem rwnoramiennym (DF = FG), w ktrym dwusiecznaFEkta przywierzchoku jest jednoczenie rodkow wzgldem podstawy,DE = EG. Zatem trjktyEFGiDEFsprzystajce, wic i trjktyABCiDEFs przystajce.

Otrzymalimy

Twierdzenie.Dwa trjkty prostoktne s przystajce, jeeli maj po jednej z przyprostoktnych iprzeciwprostoktne rwne.

98.Czwarta cecha przystawania trjktw prostoktnych.Niech bd znowu dane dwa trjktyprostoktne:ABCiDEF(rys. 68), w ktrych

AC = DF

A= D.


46/309

Jeeli na odcinkuDFrwnymACzbudujemy trjkt przystajcy do ABC, to tym trjktem bdzieDEF, azatem ABC= DEF.Mamy wic

Twierdzenie.Dwa trjkty prostoktne s przystajce, jeeli maj po przeciwprostoktnej rwnej i po kcieostrym rwnym.

99.Wniosek.W trjktach przystajcych odpowiednie wysokoci s sobie rwne.

Dowd oczywisty wobec ostatniego twierdzenia.

14. O miejscu geometrycznym punktw

100. O linii (lub w ogle o figurze) mwimy, e jestmiejscem geometrycznympunktw, posiadajcychpewn t sam wasno, jeeli posiada j kady punkt tej linii (lub figury) i poza ni nie ma punktwposiadajcych t wasno.

Tak np. okrg jest miejscem geometrycznym punktw na paszczynie, pooonych w tej samej odlegoci(czyli rwno oddalonych) od jednego punktu, dlatego e: 1) kady punkt okrgu ley w tej samej odlegociod rodka i 2) jakikolwiek punkt, nie lecy na okrgu, ma odlego od rodka inn.

Z podanego okrelenia widzimy, e dla udowodnienia, i pewna linia jest miejscem geometrycznym punktwo danej wsplnej wasnoci, musimy dowie dwu twierdze: 1) e kady punkt tej linii spenia danywarunek i 2) przeciwnie: punkt, nie lecy na linii, ju tego warunku spenia nie moe.

Czsto zamiast "miejsce geometryczne" punktw mwi si krtko "miejsce" punktw*.

101.Twierdzenie.Miejscem geometrycznym punktw na paszczynie, rwno oddalonych od dwch danychpunktw, jest prosta, ktra przechodzi przez rodek odcinka, czcego dane punkty i jest do niegoprostopada.

Dane punktyAiB(rys. 69) poczmy odcinkiemAB.

Dowdskada si bdzie z dwu czci:

1. Ze rodka odcinkaABwystawmy prostopadCDi udowodnijmy, e kady punkt, lecy naCD, bdzielea w jednakowej odlegoci odAi odB.

NiechMbdzie dowolnym punktem naCD, poczmy go zAi zB, wtedyMA = MBjako dwie pochye,

ktrych rzuty s rwne.

2. Obierzmy dowolny punkt na paszczynie, np.M, tak abyMA = MBi udowodnijmy, e musi on lee naprostopadej, wystawionej ze rodka odcinkaAB.


47/309

Rys. 69 Rys. 70

Istotnie, jeeli podzielimyABna poowy w punkcieOi poczymy punktMzO, to otrzymamy trjktrwnoramiennyAMB, w ktrym odcinekMOjest rodkow wzgldem podstawyAB, az zatem jestMO AB.

Udowodniwszy powysze dwa twierdzenia, moemy powiedzie, eCDjest danym miejscemgeometrycznym.

102.Twierdzenie.Miejscem geometrycznym punktw, rwno oddalonych od ramion danego kta, jestdwusieczna tego kta.

Niech bdzie dany ktAOB(rys. 70) i niechOCbdzie jego dwusieczn.

Dowd.Udowodnimy, e:

1. Kady punkt, pooony naOC, ley w jednakowej odlegoci od obu ramion kta. Wystarczy poprowadziMD OAiME OB(patrz punkt 90), wtedyMD = ME( ODM= OEM).

2. Odwrotnie: jakikolwiek punkt pooony na danej paszczynie w jednakowej odlegoci od ramion ktamusi lee na jego dwusiecznej.

NiechMbdzie punktem takim, eMD = ME. czc ten punkt z wierzchokiemO, otrzymamy dwa trjkty

prostoktne, ktre bd przystajce (patrz punkt 97), a zatem DOM= EOM, czyliOMjest dwusieczn, codowodzi 1.

Twierdzenie jest zatem udowodnione.

* W ujciu Euklidesa - za ktrym idzie Autor - figura jest miejscem, gdzie mog pojawi si punkty, nie jestzbiorem punktw, jak to jest w mnogociowym ujciu geometrii (przyp. red.).

15. Symetria figur paskich

103.Okrelenia.Istniej dwa rodzaje symetrii figur na paszczynie: symetria wzgldem prostej i wzgldempunktu. Prosta nazywana jest wtedyosisymetrii, a punktrodkiemsymetrii.

Dwa punkty nazywamysymetrycznymi wzgldem danej osi, jeeli le na odcinku prostopadym do osi i sod niej rwno oddalone.


48/309

Rys. 71

Aby wic otrzyma punkt symetryczny do punktuAlubBwzgldem osixy(rys. 71), naley z punktuAlubBpoprowadzi prostopad do tej osi i odoyOA1=OA, lubO'B1=BO'.

Oczywicie, istnieje tylko jeden punkt symetryczny do danego wzgldem danej osi (dlaczego?).

Dwie figury nazywamy symetrycznymi do siebie wzgldem danej osi, jeeli kademu punktowi jednej figuryodpowiada punkt drugiej figury, symetrycznie do niego wzgldem tej osi pooony.

Jeeli dana figura jest tego rodzaju, e wszystkie jej punkty s parami symetrycznie pooone wzgldempewnej prostej, to t figur nazywamy figur symetryczn. Skada si ona bdzie z dwch czci,symetrycznie do siebie wzgldem tej osi pooonych.

Figur symetryczn do danej nazywamy jejobrazemsymetrycznym.

Tak wic np. punktA1jest obrazem symetrycznym punktuA.

104.Twierdzenie.Obraz symetryczny danego odcinka wzgldem osi jest odcinkiem rwnym danemu.

Rys. 72

Wemy najpierw odcinekAC(rys. 72), ktry ma jeden punkt wsplnyCz osi symetriixy. Punktemsymetrycznym do punktuAbdzie punktA1, pooony na prostopadejAA1i bdcy w rwnej odlegoci odosi.

atwo moemy wywnioskowa, e punkty odcinkaAC, np. punktB, bd miay obrazy symetryczne,pooone na odcinkuA1C. Istotnie, poprowadmy przez punktBprostopad do osi symetrii, niech onaprzetnie odcinekA1Cw punkcieB1. TrjktAA1Cjest rwnoramienny, wic ktACA1zosta podzielony osi

xyna poowy, a zatem trjktBB1Cbdzie take rwnoramienny, dlatego e trjkty prostoktne, na ktre gopodzielia oxy, s przystajce (II cecha przystawania trjktw).

Poniewa punkt ma tylko jeden obraz do siebie symetryczny, widzimy, e i na odwrt: wszystkie punktysymetryczne do punktw odcinkaACbd leay na odcinkuA1C. Moemy wic powiedzie, e odcinekA1C

jest miejscem geometrycznym punktw symetrycznych do punktw odcinkaAC, tzn. jest obrazemsymetrycznym odcinkaAC.


49/309

OczywicieAC = A1C.

To samo da si powiedzie o odcinkachBCiB1C:

BC = B1C.

Std, po odjciu, dostajemy

AB = A1B1, cbdd.

Uwaga.Jak naleaoby poprowadzi rozumowanie, gdyby dany odcinekAB(ani jego przeduenie) nieprzecina osi, zobaczymy pniej.

105. Z tego, co powiedzielimy, wynika, e

1.Odcinek jest figur symetryczn, ktrej osi symetrii jest prosta prostopada, przechodzca przez rodekodcinka.

2.Kt jest figur symetryczn, ktrej osi jest dwusieczna kta.

3.Trjkt rwnoramienny jest figur symetryczn wzgldem wysokoci(za podstaw wzity jest boknierwny).

Trjkt rwnoboczny jest figur symetryczn wzgldem kadej ze swych wysokoci.

106.Twierdzenie.Obraz symetryczny trjkta wzgldem osi jest trjktem do przystajcym.

Dany jest trjktABCi oxy(rys. 73). Obraz symetryczny trjkta atwo otrzyma, znajdujc obrazywierzchokw i czc je odcinkami.

Z poprzedniego twierdzenia jest oczywiste, e trjktyABCiA1B

1C

1s przystajce. Twierdzenie atwo

mona uoglni na przypadek wielokta.

Rys. 73 Rys. 74

107.Symetria wzgldem punktu.Dwa punkty nazywamysymetrycznymi wzgldem danego punktu, jakorodka, jeeli le na prostej, przechodzcej przez ten punkt i s jednakowo od niego oddalone.

Aby otrzyma punkt symetryczny doAlub doBwzgldem danego rodkaO(rys. 74), naley przeduyodcinekAOlubBOi odoyOA1=OA, lubOB1=OB.

PunktA1alboB1nazywamy obrazem symetrycznym punktuAalboBwzgldem punktuO.

Oczywicie, istnieje tylko jeden punkt symetryczny do danego wzgldem obranego rodka (dlaczego?).


50/309

Dwie figury nazywamy symetrycznymi do siebie wzgldem pewnego rodka, jeeli kademu punktowi jednejfigury odpowiada punkt drugiej figury, symetrycznie do niego wzgldem tego rodka pooony.

Jeeli dana figura jest tego rodzaju, e wszystkie jej punkty s parami symetrycznie pooone wzgldempewnego punktu jako rodka, to nazywamy t figur rodkowosymetryczn.

Np. okrg jest figur symetryczn wzgldem swego rodka.

108.Twierdzenie.Obraz symetryczny odcinka wzgldem danego rodka jest odcinkiem rwnym danemu.

Niech bdzie dany odcinekAB(rys. 75). Znajdmy punktyA1iB1, symetrycznie pooone doAiBwzgldemdanego rodkaO. atwo mona dowie, eA1B1jest obrazem symetrycznym odcinkaAB, to znaczy, ewszystkie punkty symetryczne do odcinkaABle naA1B1i odwrotnie.

Wemy dowolny punkt naAB, np.C, poczmy go zOi prze duenieCOniech si przetnie zA1B1wpunkcieC1. Dowiedziemy, e punktC1jest obrazem symetrycznym punktuC. Zauwamy najpierw, e

AOB= A1OB1s przystajce (majc rwne dwa boki i kt midzy nimi), skdA = A1. Nastpnie AOC=A1OC1(rwny jeden bok i dwa przylege do niego kty), a zatemOC1=OC.

Rys. 75

Poniewa kady punkt danego odcinkaABbdzie mia tylko jeden obraz symetryczny, wic moemypowiedzie, e odcinekA1B1jestmiejscem geometrycznympunktw symetrycznych do punktw odcinka

ABwzgldem rodkaO, czyli jest obrazem symetrycznym tego odcinka.

Z przystawania trjktwAOBiA1OB1wynika oczywicie, e

AB = A1B1.

109.Twierdzenie.Obraz symetryczny trjkta wzgldem pewnego rodka jest trjktem do niegoprzystajcym.

Dowd jest oczywisty (rys. 76).

Poniewa wielokt mona podzieli przektnymi na trjkty, wic twierdzenie atwo rozszerzy na wielokty.

Rys. 76

110.Uwaga.Naley zauway, e kiedy mowa o symetrii rodkowej, to ukad elementw obrazu

symetrycznego jest taki sam, jak figury danej. Kiedy za chodzi o symetri osiow, elementy obrazu nastpuj


51/309

po sobie w porzdku przeciwnym, ni w figurze danej i dlatego przystawanie midzy figur a jej obrazem wsymetrii rodkowej niekiedy nazywa si prostym, a przystawanie symetrii osiowej przystawaniem przezodwrcenie.

Na rysunku 77 mamy przykad figur przystajcychprzez odwrcenie.

Rys. 77

111.Twierdzenie.Jeeli figura ma dwie prostopade do siebie osie symetrii, to punkt przecicia si tych osijest rodkiem symetrii figury.

Dowd. NiechAbdzie dowolnym punktem danej figury, ktra ma dwie wzajemnie prostopade osie symetriixx' iyy'. Obrazem punktuAwzgldem osixx' niech bdzie punktA1, a wzgldem osiyy' punktA2. PoczmypunktyA1iA2z punktemO. atwo zauway, eOA1=OA2(kady z tych odcinkw jest rwnyOA, gdytrjktyOAA2iOA1As trjktami rwnoramiennymi).

Dalej widzimy, z tych samych trjktw, e:

1 = 2 i 3 = 4.

Poniewa suma ktw 2 i 3 jest ktem prostym, wic suma ktw 1 i 4 jest ktem prostym, a zatem sumaktw 1, 2, 3 i 4 jest ktem ppenym, co dowodzi, e liniaA2OA1jest prost.

Stwierdzilimy wic, e punktyA1iA2s do siebie symetryczne wzgldem punktuO, a to dowodzitwierdzenia.

Rys. 78

16. wiczenia

1. Dane s trzy odcinki: 6 cm, 10 cm i 4 cm. Czy mona z nich zbudowa trjkt?

2. Czy trzy odcinki, 5 cm, 9 cm i 10 cm, mog utworzy trjkt?


52/309

3. Na jednym ramieniu ktaOodmierzono dwa kolejne dowolne odcinki:OAiAB, na drugim ramieniuodmierzonoOC=OAiCD = AB, poczonoAzDorazBzCodcinkamiADiBC, przecinajcymi si wpunkcieE. Dowie, e pprostaOEjest dwusieczn ktaO.

4. Dowie, e kady bok trjkta jest mniejszy od poowy jego obwodu.

5. Dowie, e wysoko trjkta jest mniejsza od poowy sumy bokw, wychodzcych z tego samegowierzchoka.

6. Wewntrz ABCobrano pewien punktOi poczono go z wierzchokamiAiC. Dowie, e1)AO + OC < AB + BC2) AOC > ABC.

7. Wewntrz ABCobrano pewien punktOi poczono go z wierzchokami trjkta. Dowie, e suma jegoodlegoci od wierzchokw trjkta jest mniejsza od obwodu trjkta, ale wiksza od poowy obwodu.

8. Dowie, e dwa trjkty s przystajce, jeeli maj po jednym boku rwnym i po dwa odpowiednie ktyrwne, z ktrych jeden jest do tego boku przylegy, a drugi przeciwlegy.

9. Dowie, e dwa trjkty s przystajce, jeeli maj po dwa boki odpowiednio rwne i po rwnym kcieprzeciwlegym do wikszego z bokw.

10. Dowie, e w trjkcie rodkowa wzgldem ktregokolwiek boku jest mniejsza od poowy sumy bokwpozostaych.

11. Dowie, e w trjkcie suma wszystkich trzech rodkowych jest mniejsza od obwodu trjkta.

(12-14). Dowie, e dwa trjkty rwnoramienne s przystajce, jeeli maj odpowiednio rwne:

12. Podstaw i kt do niej przylegy.

13. Podstaw i wysoko.

14. Wysoko i kt przy wierzchoku.

15. Zbudowa trjkt rwnoramienny, majc jego podstaw i wysoko.

16. Zbudowa trjkt prostoktny, majc jego przyprostoktne.

17. Zbudowa trjkt rwnoboczny, majc dany jeden bok.

18. Odcinek podzieli na 4 rwne czci .

19. Kt podzieli na 4 rwne czci .

20. Wykreli dwa odcinki, ktrych suma i rnica jest dana.

21. Wykreli dwa kty, ktrych suma i rnica jest dana.

22. Dowie, edwusieczne ktw przylegych s do siebie prostopade.

23. Dowie, edwusieczne ktw wierzchokowych tworz jedn prost.


53/309

24. Na bokach:AB,BCiACtrjkta rwnobocznegoABCodoono odcinki:AD = BE = CF. Dowie, epunktyD,EiFs wierzchokami trjkta rwnobocznego.

25. Dowie, ew trjkcie rwnobocznym wszystkie kty s sobie rwne.

26. Dowie, edwusieczna kta przy wierzchoku trjkta rwnoramiennego jest prostopada do podstawytrjkta oraz dzieli j na poowy.

27. Sformuowa i udowodni twierdzenia odwrotne wzgldem poprzedniego (zad. 26).

28. Dowie, e w trjkcie rwne boki maj rwne rodkowe.

Sformuowa i udowodni twierdzenie odwrotne.

29. Dowie, e dwusieczna kta w trjkcie rozcina bok przeciwlegy na dwa odcinki mniejsze odprzylegych bokw trjkta.

Wskazwka.Przeduy dwusieczn na rwn jej odlego, a potem zastosowa twierdzenia z punktw 74 i78.

30. Jakie jest miejsce geometryczne rodkw okrgw o danym promieniu, przechodzcych przez danypunkt?

31. Jakie jest miejsce geometryczne rodkw okrgw, ktre przechodz przez dwa dane punkty?

32. Wykreli miejsce geometryczne wierzchokw trjktw rwnoramiennych, zbudowanych na wsplnejpodstawie.

33. Dane s dwa punktyAiB, pooone z jednej strony prostejMNw rnych odlegociach od niej. Znalena prostejMNtaki punktC, eby ktyACMiBCNbyy sobie rwne.

Wskazwka.Skorzysta z punktu symetrycznego.

34. Dowie, e w poprzednim zadaniu suma odlegociCA + + CBbdzie najmniejsza jeeli ACM =BCN.

Proste rwnolege

17. Kty przy rwnolegych. Postulat Euklidesa. Wnioski

12.Okrelenia.Jeeli dwie proste pooone na paszczynie (rys. 79), przetniemy trzeci, ktr nazywamywwczas prostsieczn, to utworzy si osiem ktw, majcych nastpujce nazwy:


54/309

Rys. 79

1) kty 3 i 6 oraz 4 i 5 -kty naprzemianlege wewntrzne;

2) kty 1 i 8 oraz 2 i 7 -kty naprzemianlege zewntrzne;

3) kty 1 i 5, 3 i 7, 2 i 6, 4 i 8 - kty odpowiadajce;

4) kty 3 i 5, 4 i 6 -kty jednostronne wewntrzne;

5) kty 1 i 7, 2 i 8 -kty jednostronne zewntrzne.

Dwie proste, pooone na tej samej paszczynie, ktre nie przecinaj si nazywamy prostymirwnolegymi.

O istnieniu takich prostych oraz o sposobie ich wykrelania mwi nastpujce twierdzenie:

113.Twierdzenie.Jeeli dwie proste tworz z pewn prost sieczn kty naprzemianlege wewntrzne rwne,to s one do siebie rwnolege.

Niech bd dane na paszczynie dwie proste: prostaABi prostaCD(rys. 80).

Przetnijmy je prost siecznEFw punktachKiLi zamy, e 3 = 6. Mamy dowie, e prosteABiCDnie przecinaj si ze sob, tj., e s do siebie rwnolege, co bdziemy oznacza, piszcABII CD.

Rys. 80

Dowd.Zastosujemy tu metod sprowadzenia do niedorzecznoci. Przypumy, e prosteABiCDnie s dosiebie rwnolege. Przecinaj si wic w pewny

Geometria - Jan Zydler

Documents

Transcript of Geometria - Jan Zydler