Geometria ró·zniczkowa

Jan KubarskiInstytut Matematyki Politechniki ×ódzkiej

June 3, 2012

1 Przestrzen kartezjanska Rn oraz jej strukturywa·zne w elementarnej geometrii ró·zniczkowej

Na ogó÷struktury w R2 i R3 (wyst¾epuj ¾ace dalej w elementarnej geometriiró·zniczkowej krzywych i powierzchni) daj ¾a si¾e okreslic jako szczególne przypadkiodpowiednich struktur w Rn:

1.1 Metryka kartezjanska i iloczyn skalarny

W geometrii (analitycznej i ró·zniczkowej) w Rn rozwa·zamy tzw. metryk¾e kartez-jansk ¾a okreslona wzorem Pitagorasa

�n : Rn � Rn �! R+;

�n(x; y) =

vuut nXi=1

(xi � yi)2; x = (x1; : : : ; xn); y = (y1; : : : ; yn):

Norm ¾a punktu x 2 Rn nazywamy liczb¾e kxk równ ¾a odleg÷osci x od wektorazerowego � (oznaczanego te·z przez 0)

kxk = �n (�; x) =

vuut nXi=1

x2i :

Oczywiscie jjx� yjj = �n (x; y) : Odleg÷osc �n(x; y) i norma kxk spe÷nia znaneaksjomaty metryki i normy (znane z analizy):

(M1) �n (x; y) = �n (y; x) [symetria],

(M2) �n (x; y) � 0 i �n (x; y) = 0() x = y;

(M3) �n (x; z) � �n (x; y) = �n (y; z) [nier.trójk ¾ata]

(N1) kxk � 0 i kxk = � wtedy i tylko wtedy, gdy x =;

(N2) kt � xk = jtj � kxk; t 2 R;(N3) kx+ yk � kxk+ kyk:

1

De�nition 1 Standardowym iloczynem skalarnym w Rn nazywamy funkcj ¾e

� : Rn � Rn �! R

zde�niowan ¾a wzorem: (x1; : : : ; xn) � (y1; : : : ; yn) =Pn

i=1 xi � yi:

Oczywiscie

x � x = kxk2;kxk =

px � x:

Standardowy iloczyn skalarny ona w÷asnosci (÷atwe do pokazania)

Theorem 2 W÷asnosci iloczynu skalarnego:

(1) symetria:x � y = y � x dla dowolnych x; y 2 Rn;

(2) liniowosc ze wzgl ¾edu na ka·zd ¾a zmienn ¾a (czyli R-dwuliniowosc):

(r � x+ s � y) � z = r � (x � z) + s � (y � z) ;x � (r � y + s � z) = r � (x � y) + s � (x � z) ;

dla dowolnych x; y; z 2 Rn, r; s 2 R;

(3) nieujemnosc:

x � x � 0 dla wszystkich x 2 Rn;

(4) niezdegenerowanie: dla dowolnego x 2 Rn

x � x = 0, x = �:

Remark 3 W dowolnej przestrzeni wektorowej rzeczywistej V przez (abstrak-cyjny) iloczyn skalarny rozumiemy dowolne odwzorowanie dwuliniowe � : V �V ! R spe÷niaj ¾ace powy·zsze 4 warunki (1)-(4). W dowolnym abstrakcyjnymprzypadku cz ¾esciej iloczyn skalarny x � y oznacza si ¾e przez hx; yi : Pokazujesi ¾e [CWICZENIE] (korzystaj ¾ac z ortogonalizacji Gramma-Schmidta) ·ze je·zelih�; �i : V � V ! R jest iloczynem skalarnym i dimV = n to istnieje taka bazav1; :::; vn przestrzeni V dla której hvi; vji = �ij (tzw. baza ortogonalna). Wynikast ¾ad ·ze liniowy izomor�zm f : Rn ! V; f (x1; :::; xn) = �ixi � vi zachowujeiloczyn skalarny hf (x) ; f (y)i = x � y; tzn. je·zeli v = �ixi � vi i w = �iyi � vito hv; wi = �ixi � yi (jest to banalne cwiczenie). Pokazuje to, ·ze w przestrzeniskonczenie wymiarowej uogólnienie klasycznego iloczynu skalarnego na dowolnyabstrakcyjny iloczyn skalarny nie jest istotne.Jako przyk÷adowa literatura do powy·zszego twierdzenia:� Michael Spivak, Analiza na rozmaitosciach. Nowoczesne podejscie. PWN,

2005.

2

Remark 4 W przestrzeniach funkcyjnych (nieskonczenie wymiarowych) iloczynyskalarne cz ¾esto okreslone s ¾a ca÷kami: Niech C b ¾edzie przestrzeni ¾a wektorow ¾awszystkich funkcji rzeczywistych ci ¾ag÷ych na przedziale [0; 1]. Odwzorowanie

h�; �i : C � C �! R; hf; gi =1Z0

f (t) g (t) dt

jest iloczynem skalarnym w C. Ma to podstawowe znaczenie w teorii przestrzeniHilberta.

Z analizy znana jest nierównosc C-S:

Theorem 5 (Nierównosc Cauchy�ego-Schwarza) Dla x; y 2 Rn zachodzinierównosc

jx � yj � kxk � kyk:

W dowodzie [CWICZENIE] wykorzystuje si¾e wyró·znik niedodatni trójmianukwadratowego (t � x+ y) � (t � x+ y) � 0: Równosc ma miejsce wtedy i tylkowtedy gdy wektory x i y s ¾a równoleg÷e, czyli gdy jeden z nich jest iloczynemdrugiego przez sta÷¾a (gdy x 6= � to istnieje t taka, ·ze y = tx) [Cwiczenie].

De�nition 6 Dla niezerowych wektorów x; y 2 E z nierównosci Cauchy�ego-Schwarza wynika, ·ze

�1 � x � ykxk � kyk � 1:

Zatem istnieje dok÷adnie jedna liczba rzeczywista � = ] (x; y) 2 [0;�], ·ze

cos� =x � ykxk � kyk :

Liczb ¾e t ¾e nazywamy k ¾atem (lub bardziej precyzyjniej miar ¾a k ¾ata) mi ¾edzy wek-torami x i y.Wektory niezerowe x, y nazywamy prostopad÷ymi (ortogonalnymi) je·zeli � =

] (x; y) = �2 czyli gdy cos� = 0 co jest równowa·zne z zerowaniem si ¾e iloczynu

skalarnego x�y = 0: Gdy jeden z wektorów x lub y jest zerowy to tak·ze x�y = 0i w zwi ¾azku z tym uznajemy na mocy de�nicji, ·ze wektor zerowy jest prostopad÷ydo ka·zdego wektora. Fakt prostopad÷osci wektorów x; y oznaczamy

x?y:

Remark 7 Niech x b ¾edzie niezerowym wektorem przestrzeni wektorowej E ziloczynem skalarnym h�; �i oraz y = tx dla pewnego t 2 R n f0g. Wektory x; ys ¾a równoleg÷e, sk ¾ad k ¾at mi ¾edzy nimi jest 0 lub �: Dok÷adniej: kosinus k ¾ata �

mi ¾edzy wektorami x i y równa si ¾e cos� =t

jtj = sign (t), sk ¾ad wynika, ·ze � = 0je·zeli t > 0 oraz � = � je·zeli t < 0.

3

Theorem 8 (Twierdzenie Pitagorasa) Dla dowolnych ortogonalnych wektorówx; y 2 Rn zachodzi równosc

kx+ yk2 = kxk2 + kyk2:

Proof. Niech x; y 2 Rn oraz x � y = 0. Wówczas

kx+ yk2 = (x+ y) � (x+ y)= x � x+ x � y + y � x+ y � y= x � x+ y � y= kxk2 + kyk2:

Wprost z w÷asnosci iloczynu skalarnego w Rn i normy wynika tzw. Twierdzeniakosinusów b¾ed ¾ace uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa.

Theorem 9 (Twierdzenie kosinusów) (Uogónienie twierdzenia Pitagorasa)Dla dowolnych niezerowych wektorów x; y w Rn zachodzi równosc

jjx� yjj2 = jjxjj2 + jjyjj2 � 2kxk � kyk � cos�;

gdzie � 2 [0;�] jest miar ¾a k ¾ata wektorów x; y.

Proof. Wezmy dowolne x; y 2 Rnnf�g. Z w÷asnosci normy i iloczynu skalarnegooraz de�nicji miary k ¾ata niezerowych wektorów wynika, ·ze

jjx� yjj2 = (x� y) � (x� y)= x � x+ y � y � 2 � (x � y)= jjxjj2 + jjyjj2 � 2kxk � kyk � cos�:

Exercise 10 (O ortogonalnym rozk÷adzie) Niech u; v 2 Rn oraz v 6= �. Wów-czas istniej ¾a taki skalar t 2 R oraz wektor w 2 Rn, ·ze

u = tv + w oraz v � w = 0.

������

������

������

r0

u

rtvCCCCCCCCC

�������������

r

rv

w

Rys. 1

4

(t =v � ujjvjj 2 R oraz w = u� v � u

jjvjj v 2 Rn)

Corollary 11 Z powy·zszego cwiczenia i jego dowodu wynika, ·ze jesli u 2 Rnoraz v 2 Rn n f�g, to istnieje wektor w 2 Rn ortogonalny do v, dla którego

u =v � ujjvjj v + w:

Exercise 12 Udowodnic nierównosc C-S w oparciu o powy·zsze zadanie i Tw.Pitagorasa.

Exercise 13 Pokazac warunek równowa·zny z równosci ¾a jx � yj � kxk � kyk woparciu o cwiczenie o ortogonalnym rozk÷adzie (z dowodu zauwa·zyc, ·ze ma tomiejsce gddy wektor w = �).

Exercise 14 Korzystaj ¾ac z nierównosci Cauchy�ego-Schwarza wykazac tzw. nierównosctrójk ¾ata kx + yk � kxk + kyk oraz znalezc warunek konieczny i dostateczny nato aby w nierównosci trójk ¾ata zachodzi÷a równosc?

Exercise 15 Pokazac, z w÷asnosci normy (N3) nierównosc trójk ¾ata dla me-tryki.

Wiemy z geometrii analitycznej, ·ze je·zeli odwzorowanie f : Rk ! Rn jestizometri ¾a (zachowuje odleg÷osc), to na wektorach swobodnych zachowuje iloczynskalarny. Jesli wi¾ec f (0) = 0 to f zachowuje iloczyn skalarny. Odwrotnie jest÷atwiej pokazac: je·zeli f : Rk ! Rn zachowuje iloczyn skalarny to f (0) = 0 i fjest izometri ¾a czyli zachowuje odleg÷osc:a) niech f (0) = a; wtedy a�a = f (0)�f (0) = 0�0 = 0 z niezdegenerowania

il. skalarnego a = 0:b) niech a; b 2 Rk: Rownosc � (a; b) = � (f (a) ; f (b)) jest równowa·zna kb� ak2 =

kf (b)� f (a)k2 czyli (b� a) � (b� a) = (f (b)� f (a)) � (f (b)� f (a)) którawynika z dwuliniowosci iloczynu skalarnego i zachowywania il. skalarnego przezf:

1.2 Orientacja i iloczyn wektorowy

1.2.1 Orientacja

Dla lepszej widocznosci przymijmy nast¾epuj ¾ace oznaczenia zmiennychx; y; z; :::a ; b �wektory z przestrzeni Rn;e1; :::; en; �baza wersorów osi wspó÷rz¾ednych, e1 = (1; 0; :::), e2 = (0; 1; 0; :::),

en = (:::; 0; 1).a1; :::; an i b1; :::; bn �dowolne bazy uporz ¾adkowane wektorów w Rn:

De�nition 16 Dwie uporz ¾adkowane bazy f = (a1; :::; an) i g = (b1; :::; bn)dowolnej n-wymiarowej przestrzeni wektorowej nazywamy zgodnie zorientowanymi,je·zeli macierz przejscia z jednej bazy do drugiej ma wyznacznik dodatni. Tzn.gdy bi =

Pj xijaj dla xij 2 R to bazy s ¾a zgodnie zorientowane gdy det [xij ] > 0:

W przeciwnym wypadku bazy te nazywamy przeciwnie zorientowanymi.

5

Oznaczmy relacj¾e zgodnego zorientowania przez f � g. Z podstawowychw÷asnosci wyznaczników macierzy wynia, ·ze relacja� jest relacj ¾a równowa·znosci:

1. f � g

2. f � g ) g � f

3. f � g ^ g � h) f � h.

Relacja rozbija rodzin¾e wszystkich baz tej przestrzeni na klasy abstrakcji.Poniewa·z wyznacznik macierzy nieosobliwej mo·ze byc tylko dodatni lub ujemnyto istniej ¾a dwie takie klasy i nazywane s ¾a orientacjami tej przestrzeni. PrzestrzenRn wraz z wybran ¾a orientacj ¾a nazywamy przestrzeni ¾a kartezjansk ¾a n-wym zori-entowan ¾a. Dowolna baza f wyznacza orientacj¾e [f ] - klas¾e abstrakcji zawieraj ¾ac ¾af:Wprzestrzeni Rn istnieje naturalna uporz ¾adkowana baza wersorów osi wspó÷rz¾ed-

nych (e1; :::; en). Dla przestrzeni kartezjanskiej Rn za dodatni ¾a orientacj ¾e uzna-jemy wyznaczon ¾a przez wersory osi wspó÷rz¾ednych w normalnej kolejnosci

(e1; :::; en) :

Je·zeli bi = [bi1; :::; bjn] 2 Rn to bi =P

j bijej ; zatem baza (b1; :::; bn) z÷o·zona zwektorów bi = [bi1; :::; bjn] ; jest dodatnia gdy wyznacznik macierzy wspó÷rz¾ed-nych tych wektorów jest dodatni�������

b11 � � � b1n...

...bn1 � � � bnn

������� > 0:Przestawienie dwu wektorów w danej bazie zmienia orientacj¾e przestrzeni.

Tak·ze, zmiana jednego z wektorów bazy na przeciwny zmienia orientacj¾e przestrzeni.(Cwiczenie: Zobaczyc to dla n = 2 i n = 3 ).

1.2.2 Iloczyn wektorowy w R3

Iloczyn wektorowy wektorów opiszemy najpierw w przestrzeni R3: Potem krótkow Rn: Dla n = 2 b¾edzie to po·zyteczne w teorii krzywych p÷askich. Iloczynwektorowy w 3 b¾edzie to iloczyn dwu wektorów i w wyniku jest równie·z wektor.Iloczyn wektorowy wektorów a i b zapisujemy symbolem

a� b:

De�nition 17 Iloczynem wektorowym wektorów a = [a1; a2; a3] ; b = [b1; b2; b3]w przestrzeni kartezjanskiej R3 nazywamy wektor oznaczany symbolem a� bspe÷niaj ¾acy warunki

Proposition 18 W÷asnosci iloczynu wektorowego wektorów:

(1) a ? a� b; b ? a� b;

6

(2) d÷ugosc wektora jja� bjj jest równa polu równoleg÷oboku rozpi ¾etego na wek-torach a i b; (w szczególnosci a� b = 0 gdy wektory a i b s ¾a liniowo-zale·zne),

(3) jesli wektory a; b s ¾a liniowo-niezale·zne to trójka wektorów (a; b; a� b) jestbaz ¾a dodatni ¾a w R3:

Warunki (1)-(3) wyznaczaj ¾a wektor a� b jednoznacznie.

Theorem 19 Dla dowolnych wektorów a i b zachodzi równosc

a� b =

������e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3

������ ; (1)

(rozwijamy wyznacznik formalnie wed÷ug pierwszego wiersza), inaczej

a� b = e1 ����� a2 a3b2 b3

����� e2 � ���� a1 a3b1 b3

����+ e3 � ���� a1 a2b1 b2

���� (2)

=

����� a2 a3b2 b3

���� ;� ���� a1 a3b1 b3

���� ; ���� a1 a2b1 b2

����� :Proof. Poka·zemy, ·ze wektor z prawej strony równosci (1)

c :=

������e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3

������spe÷nia warunki (1)-(3) z de�nicji iloczynu wektorowego.(1): a ? c; b ? c;

a � c = a1 ����� a2 a3b2 b3

����� a2 � ���� a1 a3b1 b3

����+ a3 � ���� a1 a2b1 b2

����=

������a1 a2 a3a1 a2 a3b1 b2 b3

������ = 0analogicznie b � c = 0; tzn. a i b s ¾a prostopad÷e do c:(2) Jesli jeden z wektorów a lub b jest zerowy to teza zachodzi, bo c = 0

i pole równoleg÷oboku jest tek·ze 0: Za÷ó·zmy teraz, ze oba wektory a i b s ¾aniezerowe. Oznaczmy wyznaczniki (wspó÷rz¾edne wektora c )

c1 =

���� a2 a3b2 b3

���� ; c2 = ����� a1 a3b1 b3

���� ; c3 =

���� a1 a2b1 b2

���� :

7

jjcjj2 = c21 + c22 + c

23

=

���� a2 a3b2 b3

����2 + ���� a1 a3b1 b3

����2 + ���� a1 a2b1 b2

����2= (a2b3 � a3b2)2 + (a1b3 � a3b1)2 + (a1b2 � a2b1)2

=�a21 + a

22 + a

23

� �b21 + b

22 + b

23

�� (a1b1 + a2b2 + a3b3)2

= a2 � b2 � (a � b)2

= a2 � b2 1� (a � b)

2

a2 � b2

!= a2 � b2

�1� cos2 ] (a; b)

�= a2 � b2 sin2 ] (a; b) =

�jjajj2 � jjbjj2 sin2 ] (a; b)

�= (jjajj � jjbjj � sin] (a; b))2

równa si¾e kwadratowi pola równoleg÷oboku rozpi¾etego na wektorach a i b:(3): uk÷ad (a; b; c) jest dodatni (gdy a i b s ¾a liniowo-niezale·zne). W tym

celu wystarcza obliczyc wyznacznik macierzy wspó÷czynników (rozwijamy w/gtrzeciego wiersza) ������

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

������= c1 �

���� a2 a3b2 b3

����� c2 � ���� a1 a3b1 b3

����+ c3 � ���� a1 a2b1 b2

����= c21 + c

22 + c

23 > 0:

Z dowodu widzimy (k÷ad ¾ac c = a� b ), ·ze

jja� bjj2 = a2 � b2 � (a � b)2 :

Theorem 20 W÷asnosci iloczynu wektorowego

(1) skosna symetriaa� b = �b� a;

(2) dwuliniowosc

a� (r � b+ s � c) = r � (a� b) + s � (a� c) ;(r � a+ s � b)�c = r � (a� c) + s � (b� c) ;

(3) to·zsamosc Jacobiego

a� (b� c) + b� (c� a) + c� (a� b) = 0

(zatem R3 z iloczynem wektorowym tworzy tzw. algebr¾e Liego),

8

(4) ilooczyn mieszany i jego wartosc (iloczyn mieszany trzech wektorów a; b; cto z def. liczba (a; b; c) := (a� b) � c )

([a1; a2; a3]� [b1; b2; b3]) � [c1; c2; c3] =

������a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

������ ;w konsekwencji iloczyn mieszany (a; b; c) jako funkcja trzech wektorów jestskosnie symetryczna, w szczególnosci

(a� b) � c =(a; b; c) = � (a; c; b) = � (a� c) � b:

(5) (a1 � a2)� b = a2 � (a1 � b)� a1 � (a2 � b) :

(6) (a1 � a2) � (a3 � a4) = (a1 � a3) � (a2 � a4)� (a1 � a4) � (a2 � a3) ;

(7) jesli i, j, k oznaczaj ¾a wersory osi wspó÷rz ¾ednych to w ci ¾agu i; j;k; i; j;k; :::iloczyn wektorowy dwu s ¾asiednich wektorów jest wektorem nast ¾epnym wtym ci ¾agu, tzn.

i� j = k; j� k = i; k� i = j; itd.

Proof. Cwiczenie samodzielne.

Lemma 21 Jesli a i b s ¾a niezerowe i prostopad÷e do siebie, to w ci ¾agu

a; b; a� b; a; b; :::

iloczyn wektorowy dwu s ¾asiednich wektorowów jest równy wektorowi nast ¾epnemuz dok÷adnosci ¾a do dodatniego czynnika.

Proof. Np.

(a� b)� a(5)= (a � a) � b�

0@b � a|{z}=0

1A � a = jjajj2 � b:Dla b� (a� b) zrobic samemu.

1.2.3 Iloczyn wektorowy w Rn

De�nition 22 Iloczyn wektorowy uk÷adu wektorów (a1; :::;an�1) w Rn (n � 2)jest to wektor a1 � :::� an�1 2 Rn taki, ·ze

(a) a1 � :::� an�1? ai;

(b) ka1 � :::� an�1k jest równa obj ¾etosci równoleg÷oscianu rozpi ¾etego na wek-torach a1; :::;an�1; (w szczególnosci a1 � ::: � an�1 = 0 gddy wektorya1; :::;an�1 s ¾a liniowo zale·zne),

9

(c) uk÷ad wektorów (a1; :::;an�1;a1 � :::� an�1) jest dodatnio zorientowany(gdy a1; :::;an�1 s ¾a liniowo niezale·zne).

Warunki te okreslaj ¾a wektor jednoznacznie.

Remark 23 (1) gdy n = 2 dostajemy operacj ¾e która jednemu wektorowi aprzypisuje wektor a� taki, ·ze a� = 0 gddy a = 0 a gdy a 6= 0 to wektor a�? azas para wektorów (a;a�) jest dodatnio zorientowana oraz kak = ka�k. Oper-acja ta jest fundamentalna w geometrii ró·zniczkowej krzywych p÷askich. Geom-etrycznie, wektor a� powstaje przez obrót wektora a o 900 przeciw wskazówkomzegara.(2) gdy n = 3 dostajemy znan ¾a powy·zej operacj ¾e iloczynu wektorowego a1�a2

dwu wektorów.

Obj¾etosc równoleg÷oscianu rozpi¾etego na k wektorach w Rn opisuje poni·zszetwierdzenie

Theorem 24 Niech a1 = [a1;1; :::; a1;n] ; :::; ak = [ak;1; ::; ak;n] b ¾ed ¾a liniowo-niezale·znymi wektorami w Rn:Wtedy obj ¾etosc k-wymiarowa równoleg÷oboku rozpi ¾etegona wektorach a1; :::;ak jest równavuuut X

i1<:::<ik

������a1;i1 ::: a1;ik:::: :::

ak;i1 ::: ak;ik

������2

:

(Wzór ten uogólnia przypadek dwu wektorów w R3).

Exercise. Cwiczenie teoretyczne�: udowodnic ten wzór induk-cyjnie. Przy pomocy ca÷ek powierzchniowych dowód jest bardzo ÷atwy (Cwicze-nie).Podamy teraz wzór obliczaj ¾acy iloczyn wektorowy w terminach wspó÷rz¾ed-

nych.

Theorem 25 Niech ai = [a1i ; :::; ani ] 2 Rn: Wówczas

a1 � :::� an�1 = det

26664e1 e2 � � � ena11 a21 an1...

......

a1n�1 a2n�1 � � � ann�1

37775rozwijaj ¾ac wyznacznik w/g pierwszego wiersza, gdzie e1; :::; en sa wersorami osiwspó÷rz ¾ednych.

Proof. Trzeba si¾e upewnic o s÷usznosci trzech w÷asnosci prawej strony powy·zszegowzoru, okreslaj ¾acych iloczyn wektorowy. (a) a1 � ::: � an�1? ai: Otó·z iloczynskalarny ai�(a1 � :::� an�1) jest akurat równy wyznacznikowi (dlaczego?) takiemujak wy·zej po wstawieniu w miejsce wersorów wiersza ai = [a1i ; :::; a

ni ]: Oczywiscie

wyznacznik ten jest równy zeru (dwa wiersze jednakowe).

10

(c) Po napisaniu wyznacznika wspó÷rz¾ednych wektorów (a1; :::;an�1;a1 � :::� an�1)26664a11 a21 an1...

......

a1n�1 a2n�1 � � � ann�1(a1 � :::� an�1)1 (a1 � :::� an�1)2 � � � (a1 � :::� an�1)n

37775i rozwini¾eciu w/g ostatniego wiersza widzimy (pokazac), ·ze jest równy

ka1 � :::� an�1k2 =Xi

(a1 � :::� an�1)i � (a1 � :::� an�1)i > 0:

Pozostaje porównac d÷ugosc ka1 � :::� an�1k z obj¾etosci ¾a równoleg÷oscianu rozpi¾etegona wektorach a1; :::;an�1 : patrz Tw. poprzednie.UWAGA: W÷asnosci odwzorowania

� : Rn � ::::� Rn| {z }n�1 czyników

! Rn; (a1; :::;an�1) 7! a1 � :::� an�1

jest to odwzorowanie n� 1-liniowe skosnie symetryczne.Innym wa·znym przyk÷adem odwzorowania skosnie symetrycznego jest wyz-

nacznik jako funkcja wierszy:

Rn � ::::� Rn| {z }n czyników

! R; (v1; :::;vn) 7! det [vi;j ] :

2 ×uki (drogi, przebiegi) w Rn

2.1 D÷ugosc ÷uku

De�nition 26 Krzyw ¾a sparametryzowan ¾a (drog ¾a, ÷ukiem) w Rn nazywamy ci ¾ag÷eodwzorowanie c : I ! Rn, I = [a; b] ; a < b; (okreslone na przedziale domkni ¾e-tym). Gdy dziedzina odwzorowania jest przedzia÷em otwartym to cz ¾esto nazy-wane jest ono w elementarnej geometrii ró·zniczkowej przebiegiem i oznaczaneraczej bywa liter ¾a p

p : (a; b)! Rn; �1 � a < b � +1:

Obraz L drogi c (przebiegu p) nazywa si ¾e jej sladem (a cz ¾esto po prostu krótkokrzyw ¾a). Punkty c (a) i c (b) nazywamy koncami ÷uku c. ×uk c (t) ; t 2 [a; b] ;nazywany jest te·z parametryzacja krzywej L: Argumenty (elementy dziedziny)t 2 I ÷uku (przebiegu) c; nazywamy miejscami. Przebieg jest klasy Ck gdywspó÷rz ¾edne s ¾a klasy Ck; przy czym klasa Ck na przedziale domkni ¾etym oznacza,·ze mo·zna go rozszerzyc na nieco wi ¾ekszy przedzia÷otwarty do przebiegu klasy Ck:

W tym paragra�e rozwa·zamy ÷uki okreslone na przedzia÷ach domkni¾etych,de�niujemy jego d÷ugosc, charakteryzujemy drogi posiadaj ¾ace d÷ugosc i obliczamy

11

d÷ugosc w przypadku drogi ró·zniczkowalnej. Za÷o·zenie domkni¾etosci dziedzinyjest tu potrzebne.Tak okreslone pojecie ÷uku jest dosc ogólne. Zawiera np. ÷uki sta÷e c (t) =

(xo; yo; zo) ; ÷uki posiadajace samoprzeciecia, ÷uki mogace przebiegac krzywa Lwielokrotnie. Istnieja te·z p÷askie ÷uki ciag÷e nigdzie nieró·zniczkowalne którewype÷niaja ca÷y kwadrat (tzw. krzywa Peano). W niektórych dalszych za-gadnieniach takie zjawiska beda niepo·zadane, konieczne beda wtedy dodatkoweza÷o·zenia o ÷ukach które je wyeliminuja.

Example 27 Prostymi przyk÷adami ÷uków (przebiegów) sa:

(a) Prosta. Parametryzacja prostej L w Rn przechodzacej �dla parametru t0�przez punkt (x10; x20; :::; xn0) i równoleg÷ej do wektora v = [v1; v2; :::; vn] :

c (t) = (x10; x20; :::; xn0) + (t� t0) � v; t 2 R;

tzn. 8><>:x1 (t) = x10 + t � v1...

......

xn (t) = xn0 + t � vn

(b) Okr ¾ag w R2: Parametryzacja okregu x2 + y2 = 1

c : R �! R2; c (t) = (cos (t) ; sin (t)) :

×uk ten przebiega okrag nieskonczenie wiele razy; ka·zdy przedzia÷para-metrów o d÷ugosci 2� odwzorowuje sie na ca÷y okrag.

(c) Cykloidac (t) = (t� sin (t) ; 1� cos (t)) ; t 2 R:

0 2 4 6 8 10 12 140

1

2

x

y

Krzywa która opisuje ten ÷uk jest torem punktu na okregu toczacego sie poprostej. Widzimy na rysunku, ·ze w miejscach t = 2k� wystepuja ostrza.Pochodna w tych miejscach

c0 (2k�) = [1� cos (2k�) ;� cos (2k�)] = [0; 0]

jest wektorem zerowym.

(d) Slimak Pascala

c (t) =�2 cos2 (t) + cos (t) ; 2 sin (t) cos (t) + sin (t)

�; t 2 [0; 2�] :

12

1 2 3

­1.5­1.0­0.50.00.51.01.5

x

y

×uk ten posiada samoprzeciecia w punkcie (0; 0) odpowiadajace para-metrom 2

3� oraz43�:

� patrz Ksi ¾a·zka Eugeniusz Niczyporowicz, Krzywe p÷askie, wybrane zagad-nienia z geometrii analitycznej i ró·zniczkowej, PWN, 1991.

Przypomnijmy norm¾e Euklidesow ¾a wektora v = [v1; :::; vn]2Rn; kvk =qPn

i=1 (vi)2:

De�nition 28 D÷ugosci ¾a ÷uku c : [a; b] �! Rn, c (t) = (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t)),nazywamy liczb ¾e

L (c) = supa=t0<:::<tm=b

m2N

mXi=1

q[x1 (ti)� x1 (ti�1)]2 + :::+ [xn (ti)� xn (ti�1)]2

= supa=t0<:::<tm=b

m2N

mXi=1

kc (ti)� c (ti�1)k :

Geometrycznie oznacza to d÷ugosc ÷amanej wpisanej w wykres ÷uku, tzn. ÷amanejrozpoczynaj ¾acej si ¾e w c (a) i koncz ¾acej si ¾e w c (b) o wierzcho÷kach znajduj ¾acychsi ¾e na wykresie ÷uku. ×uk nazywamy prostowalny je·zeli ma skonczon ¾a d÷ugosc.

Remark 29 Jest jasne, ·ze je·zeli wezmiemy dwa podzia÷y, �t oraz t0; takie, ·zet0 jest drobniejszy od �t (czyli �t � t0; czyli zawiera wi ¾ecej punktów) to suma popunktach z t0 b ¾edzie niemniejsza od sumy po punktach z �t (tzn. ÷amana g ¾esciejszadok÷adniej aproksymuje d÷ugosc ÷uku i d÷ugosc tej g ¾esciejszej jest wi ¾eksza).

Theorem 30 Na to aby ÷uk c : [a; b] �! Rn, c (t) = (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t)) ;by÷prostowalny potrzeba i wystarcza aby funkcje x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t) ; t 2[a; b] ; by÷y funkcjami o wahaniu skonczonym.

Przypomnienie. Wahaniem funkcji f : [a; b] ! R nazywamy liczb¾e(skonczon ¾a lub nie)

W ba (f) = sup

a=t0<:::<tm=bm2N

mXi=1

jf (ti)� f (ti�1)j :

13

Mówimy, ·ze f jest funkcj ¾a o wahaniu skonczonym w [a; b] ; je·zeli W ba (f) < 1:

Wa·zn ¾a klas ¾a funkcji o wahaniu skonczon ¾a tworz ¾a funkcje spe÷niaj ¾ace warunekLipschitza w przedziale [a; b] ; tzn. takie funkcje dla których istnieje sta÷a Mtaka, ·ze jf (y)� f (x)j �M � jy � xj ; bowiem

supa=t0<:::<tm=b

m2N

mXi=1

jf (ti)� f (ti�1)j � supa=t0<:::<tm=b

m2N

mXi=1

M �jti � ti�1j =M �(b� a) :

Klasa ta zawiera funkcje maj ¾ace ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a (wówczasM = supt2[a;b] jf 0 (t)j) gdy·z z Tw Lagrange�a mamy

f (ti)� f (ti�1)ti � ti�1

= f 0 (ci)

dla pewnego ci 2 (ti�1; ti) sk ¾ad

jf (ti)� f (ti�1)jjti � ti�1j

= jf 0 (ci)j �M

jf (ti)� f (ti�1)j �M � jti � ti�1j :

Dowód twierdzenia. Z oczywistej w÷asnosci jaj �qjaj2 + jbj2 � jaj + jbj

otrzymujemy

mXi=1

jxs (ti)� xs (ti�1)j �mXi=1

q[x1 (ti)� x1 (ti�1)]2 + :::+ [xn (ti)� xn (ti�1)]2 �

�mXi=1

jx1 (ti)� x1 (ti�1)j+ :::+mXi=1

jxn (ti)� xn (ti�1)j :

Przechodz ¾ac do kresów górnych otrzymujemy

W ba (xs) � L �W b

a (x1) + :::+Wba (xn) :

St ¾ad je·zeli wszystkie wspó÷rz¾edne xs s ¾a funkcjami o wahaniu skonczonym, toL �W b

a (x1)+:::+Wba (xn) <1: Odwrotnie, je·zeli L <1 toW b

a (xs) � L <1:

De�nition 31 Wektorem predkosci ró·zniczkowalnego ÷uku c : [a; b] �! Rn,c (t) = (x1 (t) ; x2 (t) ; : : : ; xn (t)) ; w miejscu t nazywamy wektor

v (t) := c0 (t) =dc

dt= lim

h!0

c (t+ h)� c (t)h

= [x01 (t) ; :::; xn (t)] :

Przyspieszeniem ÷uku c (t) ; t 2 [a; b] ; kl C2 nazywamy wektor

a (t) := v0 (t) =dv

dt=d2c

dt2= c00 (t) :

14

Wektor pr¾edkosci c0 (t) mo·zemy uwa·zac za wektor zaczepiony w punkcie c (t)i rysowac w postaci strza÷ki o pocz ¾atku w c (t) : Jego d÷ugosc (norm¾e Euklides-ow ¾a)

kc0 (t)k =sX

i

(x0i (t))2

nazywamy predkoscia (skalarn ¾a) ÷uku c w miejscu t.

Theorem 32 Je·zeli wspó÷rz ¾edne xs ÷uku c maj ¾a ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a na [a; b], to

L (c) =

Z b

a

q(x01 (t))

2+ :::+ (x0n (t))

2dt =

Z b

a

kc0 (t)k dt:

Proof. 1) Poka·zemy, ·ze

L (c) �Z b

a

kc0 (t)k dt:

Z de�nicji d÷ugosci ÷uku L (c) = supa=t0<:::<tm=bm2N

Pmi=1 kc (ti)� c (ti�1)k :Wezmy

dowolny podzia÷a = t0 < ::: < tm = b przedzia÷u [a; b] :Wtedy c (ti)�c (ti�1) =R titi�1

c0 (t) dt - co wynika dla ka·zdej wspó÷rz¾ednej z podstawowego Tw. rachunkuró·zniczkowego i ca÷kowego - sk ¾ad

mXi=1

kc (ti)� c (ti�1)k =mXi=1

Z ti

ti�1

c0 (t) dt

/patrz Ko÷odziej, Analiza matem. VI.§46.3 Tw.3, str 312/

Z b

a

f

�Z b

a

kfk dla funkcji o wartosci w prz. Banacha

�mXi=1

Z ti

ti�1

kc0 (t)k dt =Z b

a

kc0 (t)k dt:

Z dowolnosci podzia÷u wynika teza.2) Poka·zemy, ·ze

L (c) �Z b

a

kc0 (t)k dt:

Z za÷o·zenia c0 (t) jest jest ci ¾ag÷a na przedziale zwartym, jest wi¾ec na mocy Tw.Heinego (Ko÷odziej, I.§17.3, str. 90) jest ci ¾ag÷a jednostajnie. Wezmy " > 0: Zjednostajnej ci ¾ag÷osci

9�>08s;t2[a;b]�js� tj < � =) kc0 (s)� c0 (t)k < "

2 (b� a)

�: (3)

15

Wezmy m 2 N i podzia÷a = t0 < ::: < tm = b taki, ·ze max1�i�m (ti � ti�1) < �:Wówczas dla dowolnego i oraz t 2 [ti�1; ti]

kc0 (t)k = kc0 (t)� c0 (ti) + c0 (ti)k� kc0 (t)� c0 (ti)k+ kc0 (ti)k(*)� "

2 (b� a) + kc0 (ti)k :

Z ti

ti�1

kc0 (t)k dt �Z ti

ti�1

�"

2 (b� a) + kc0 (ti)k

�dt

="

2 (b� a) (ti � ti�1) + kc0 (ti)k (ti � ti�1)

="

2 (b� a) (ti � ti�1) + kc0 (ti) � (ti � ti�1)k

="

2 (b� a) (ti � ti�1) + Z ti

ti�1

c0 (ti) dt

=

"

2 (b� a) (ti � ti�1) + Z ti

ti�1

(c0 (ti)� c0 (t) + c0 (t)) dt

="

2 (b� a) (ti � ti�1) + Z ti

ti�1

(c0 (ti)� c0 (t)) dt+Z ti

ti�1

c0 (t) dt

� "

2 (b� a) (ti � ti�1) + Z ti

ti�1

(c0 (ti)� c0 (t)) dt +

Z ti

ti�1

c0 (t) dt

� "

2 (b� a) (ti � ti�1) +Z ti

ti�1

kc0 (ti)� c0 (t)k dt+ kc (ti)� c (ti�1)k

(*)� "

2 (b� a) (ti � ti�1) +Z ti

ti�1

"

2 (b� a)dt+ kc (ti)� c (ti�1)k

="

2 (b� a) (ti � ti�1) +"

2 (b� a) (ti � ti�1) + kc (ti)� c (ti�1)k

="

(b� a) (ti � ti�1) + kc (ti)� c (ti�1)k

Dodaj ¾ac stronami dla wszystkich i otrzymujemy

mXi=1

Z ti

ti�1

kc0 (t)k dt �mXi=1

�"

(b� a) (ti � ti�1) + kc (ti)� c (ti�1)k�

="

(b� a) (b� a) +mXi=1

kc (ti)� c (ti�1)k

=mXi=1

kc (ti)� c (ti�1)k+ ":

16

St ¾ad z de�nicji d÷ugosci ÷ukuZ b

a

kc0 (t)k dt �mXi=1

kc (ti)� c (ti�1)k+ " � L (c) + ";

a st ¾ad z dowolnosci " wnosimy o tezie.

De�nition 33 Dwa ÷uki c1 : [a; b]! Rn i c2 : [c; d]! Rn nazywamy równowa·znymi(ró·zni ¾acymi si ¾e o zmian ¾e parametryzacji, inaczej o zmian ¾e zmiennych) je·zeli ist-nieje dyfeomor�zm q : [c; d]! [a; b] (tzn. bijekcja kl. C1 dla której q�1 : [a; b]![c; d] jest te·z kl. C1 ) taki, ·ze

c2 = c1 � q:(Analogicznie okreslamy równowa·znosc przebiegów okreslonych na przedzia÷achotwartych).

Theorem 34 ×uki równowa·zne klasy C1 maj ¾a tak ¾a sam ¾a d÷ugosc.

Proof. Niech c1 : [a; b] ! Rn i c2 : [c; d] ! Rn b¾ed ¾a ÷ukami równowa·znymiró·zni ¾acymi si¾e o zmian¾e parametryzacj¾e q : [c; d] ! [a; b] : Z równosci c2 (t) =c1�q (t)mamy c02 (t) = c01 (q (t))�q0 (t) : Zastosujemy wzór na zamiane zmiennychw ca÷ce oznaczonej pojedynczejZ b

a

g (t) dt =

Z d

c

g (q (t)) � jq0 (t)j dt

do funkcji g (u) = kc01 (u)k :Zachodz ¾a dwie mo·zliwosci: q0 > 0; lub q0 < 0; ale udowodnimy równosc

jednoczesnie dla obu.Otrzymujemy

L (c1) =

Z b

a

kc01 (t)k dt

=

Z d

c

kc01 (q (t))k � jq0 (t)j dt

=

Z d

c

kc01 (q (t)) � jq0 (t)jk dt j jq0 (t)j = �q0 (t) ; kvk = k�vk

=

Z d

c

kc01 (q (t)) � q0 (t)k dt

=

Z d

c

kc02 (u)k du

= L (c2) :

Wiadomo z przyk÷adu wy·zej (a), ·ze równaniem parametrycznym prostejprzechodzacej przez punkt c (t0) i równoleg÷ej do wektora c0 (t0) jest

l (t) = c (to) + (t� to) � c0 (to) :

17

Prosta te nazywamy prosta styczna do ÷uku c (klasy C1) w miejscu t0:Wspólna podstawa wzorów: ró·zniczkowania iloczynu skalarnego i wektorowego

÷uków jest nast¾epuj ¾aca:

Exercise 35 Teoretyczne. Niech f : Rn� :::�Rn ! R b ¾edzie odwzorowaniemwieloliniowym. Dla dowolnych ÷uków kl. C1 ci : [a; b]! Rn zachodzi wzór

@

@t(f (c1(t) ; :::; ck (t)) =

kXi=1

f ((c1(t) ; :::; c0i (t) ; :::; ck (t)) :

Lemma 36 (1) Dane s ¾a ró·zniczkowalne funkcje u, v : [a; b] ! R3. Funkcjau� v : [a; b]! R3 jest równie·z ró·zniczkowalna oraz

(u(t)� v(t))0 = u0(t)� v(t) + u(t)� v0(t), t 2 (a; b):

(2) Prawo ró·zniczkowania iloczynu wektorowego dla n � 2

d

dt[a1 (t)� :::� an�1 (t)] =

Xi

a1 (t)� ::::� a0i (t)� :::� an�1;

(3) Niech b (t) i c (t) beda ÷ukami w Rn oraz niech p (t) i q (t) beda funkcjamiskalarnymi (dziedzina taka sama, t 2 [a; b]). Wówczas� prawo ró·zniczkowania sumy:

d

dt[b (t) + c (t)] = b0 (t) + c0 (t) ;

� prawo ró·zniczkowania mno·zenia przez skalary:

d

dt[p (t) � c (t)] = p0 (t) � c (t) + p (t) � c0 (t) ;

� prawo ró·zniczkowania iloczynu skalarnego:

d

dt[b (t) � c (t)] = b0 (t) � c (t) + b (t) � c0 (t) ;

Exercise 37 Wykazac powy·zsze twierdzenie w oparciu o poprzednie cwiczenieteoretyczne.

2.2 ×uki regularne (imersyjne), parametr naturalny

De�nition 38 Ka·zdy punkt t 2 I dla którego c0(t) = 0 nazywamy punktemosobliwym ÷uku c klasy C1 (dotyczy to oczywiscie przebiegów równie·z).

De�nition 39 ×uk (przebieg) c nazywamy regularnym (lub imersyjnym) jesliw ka·zdym miejscu t wektor pr ¾edkosci jest niezerowy

c0(t) 6= 0. (4)

18

De�nition 40 Dwa ÷uki imersyjne c i d przechodz ¾ace przez ten sam punkt a =c (t1) = d (t2) w miejscach t1 i t2 odpowiednio, nazywamy stycznymi w tychmiejscach, je·zeli ich wektory pr ¾edkosci w tych miejscach s ¾a równe, c0 (t1) =d0 (t2) :

De�nition 41 Niech t 2 I, funkcj ¾a d÷ugosci ÷uku regularnego ÷uku c : I ! Rnz punktu t0 de�niujemy wzorem:

s(t) =

tZt0

kc0 (t)k ds. (5)

De�nition 42 Mówimy, ·ze ÷uk c : I ! Rn jest naturalny (inaczej ma parame-tryzacj ¾e naturaln ¾a lub ÷ukow ¾a) o ile:

s(t) = t� t0, t 2 I, (6)

tzn. gdy parametr t mierzy d÷ugosc ÷uku mi ¾edzy dwoma miejscami: d÷ugosccz ¾esci ÷uku od miejsca c (t1) do c (t2) jest równa jt1 � t2j : Parametr naturalnyzwykle oznaczamy zmienn ¾a s:

Theorem 43 ×uk c : I ! R3 ma parametryzacj ¾e naturalna (÷ukow ¾a) wtedy itylko wtedy,

8t2Ikc0 (t)k = 1. (7)

Proof. Za÷ó·zmy, ·ze parametr ÷uku c : I ! R3 jest naturalny. Wówczas

kc0 (t)k = d

dt

tZt0

kc0 (t)k ds (5)= d

dts(t)

(6)=

d

dt(t� t0) = 1,

co nale·za÷o pokazac. Za÷ó·zmy teraz, ·ze dla wszystkich t 2 I zachodzi równosc:

kc0 (t)k = 1:

Sprawdzimy, czy c (t) jest parametryzacj ¾a ÷ukow ¾a:

s(t) =

tZt0

kc0 (t)k ds (7)=tZt0

1ds = t� t0.

Zatem z de�nicji c jest parametryzacj ¾a ÷ukow ¾a.

Theorem 44 Ka·zdy regularny ÷uk jest równowa·zny z ÷ukiem naturalnym (mówimyte·z, ·ze posiada parametryzacj ¾e ÷ukow ¾a).

19

Proof. Niech c : I ! Rn b¾edzie ÷ukiem regularnym. Zde�niujmy funkcj¾ed÷ugosci ÷uku (lc) (t) = s (t) ; t 2 I:

s(t) =

tZt0

kc0 (�)k d� , t 2 I:

Funkcja s jest ró·zniczkowalna oraz

ds

dt=

d

dt

0@ tZt0

kc0 (�)k d�

1A = kc0 (t)k = dcdt

> 0. (8)

Poniewa·z c (t) jest parametryzacj ¾a regularn ¾a to :

ds

dt=

dcdt (4)6= 0.

Pochodna funkcji s nie zeruje si¾e i jest dodatnia, wi¾ec s jest monotoniczna(rosn ¾aca) na ca÷ym przedziale I. Istnieje zatem funkcja odwrotna do niej:

t = s�1;

czyli funkcja zadana wzorem

t(s) = s�1(t), s 2 s(I); o ile s (t) = s (9)

Niech ÷uk d : J = s(I)! Rn, b ¾edzie okreslony wzorem

d(s) = c(t(s)).

Poka·zemy, ·ze d (s) jest parametryzacj ¾a ÷ukow ¾a: ddds = dcdt

� ���� dtds���� (8)= ����dsdt

���� � ���� dtds���� (9)= ����dsdt

���� � ����ds�1dt

���� .Z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej otrzymujemy:����dsdt

���� � ����ds�1dt

���� = 1.Pokazalismy, ·ze istnieje parametryzacja ÷ukowa d (s) ÷uku c (t) (sk ¾ad d madok÷adnie ten sam obraz co c).Cz¾esto dla skrótu b¾edziemy pisac parametryzacj¾e naturaln ¾a ÷uku c (t) po

prostu zamieniaj ¾ac zmienn ¾a t na zmienn ¾a "naturaln ¾a" s; czyli c (s) :

3 Geometria ró·zniczkowa p÷askich przebiegów

Literatura podstawowaM. Do Carmo, Di¤erential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall

Inc., Englewood Cli¤s, New Jersey 1976.Michael Spivak, A comprehensive Introduction to Di¤erential Geometry.

Vol.II, Houston, Texas, 1999.

20

3.1 Krzywizna przebiegu p÷askiego

Krzywizna jest jednym z fundamentalnych i najwa·zniejszych poj¾ec geometriiró·zniczkowej. W najprostszym przypadku krzywych (przebiegów) p÷askich [czyliobiektów 1-wymiarowych w R2] krzywizna powinna spe÷niac intuicyjnie-oczywistewarunki:�1) linia prosta nie ma krzywizny,�2) dla okr¾egów o promieniach R > r okr ¾ag o wi¾ekszym promieniu R ma

krzywizn¾e mniejsz ¾a od okr¾egu o mniejszym promieniu r.Numerycznie, krzywizna w tych dwu przypadkach powinna byc okreslona

nast¾epuj ¾aco:�a) krzywizna � linii postej jest równa � = 0;�b) krzywizna � okr¾egu o promieniu r jest równa � = 1

r :Takie okreslenie numeryczne spe÷nia warunki 1) i 2) wy·zej.Rozwa·zaj ¾ac parametryzacje linii prostej c (t) = x0 + (t� t0) � v; t 2 R;

v 6= 0; widzimy, ·ze c0 (t) = v; c00 (t) = 0, kc00 (t)k = 0; zmiana na parametrnaturalny nie zmienia ostatniej równosci: c (s) = x0 +

skvk � v; c

00 (s) = 0:

Dla równania okr¾egu c (t) = (r cos t; r sin t)mamy parametr naturalny c (s) =�r cos sr ; r sin

sr

�i wtedy

c0 (s) =h� sin s

r; cos

s

r

i;

c00 (s) =

��1rcos

s

r;�1

rsin

s

r

�kc00 (s)k =

1

r:

Zaobserwujmy, ·ze wektor c00 (s) jest prostopad÷y do c0 (s) czyli do okr¾egu ijest skierowany do srodka okr¾egu, co sprawdzamy rysunkowo lub analitycznie

0 = c (s) + c � c00 (s) ; dla c =1

kc00 (s)k > 0:

Naszym celem b¾edzie wykrycie de�nicji krzywizny w miejscu t przebieguimersyjnego c (t) która b¾edzie pracowac dla ka·zdej krzywej klasy C2 i b ¾edziezgadzac si¾e z powy·zszymi postulatami a) i b). Koncepcja jes nast¾epuj ¾aca:b ¾edziemy liczyc krzywizn¾e jako odwrotnosc promienia granicznego okr¾egu prze-chodz ¾acego przez trzy miejsca t1; t2; t3 [gdy c (ti) nie s ¾a wspó÷liniowe dla ti zotoczenia t] dla ti ! t: Oka·ze si¾e, ·ze taki okr ¾ag graniczny [gdy punkty c (ti)dla miejsc ti bliskich t nie s ¾a wspó÷liniowe] zawsze istnieje i odwrotnosc jegopromienia jest równa kc00 (s)k dla parametru naturalnego s na naszym ÷uku c:Zatem za krzywizn¾e ÷uku c (s) nale·zy przyj ¾ac zawsze liczb ¾e

� (s) := kc00 (s)k :

Wiadomo, ·ze przez 3 niewspó÷liniowe punkty na p÷aszczyznie przechodzidok÷adnie jeden okr ¾ag. Standardowy iloczyn skalarny w przestrzeni kartez-janskiej wygodniej b ¾edzie oznaczac symbolem h�; �i:

21

Lemma 45 (Lemat 1) Je·zeli dla p÷askiego (lub przestrzennego) przebiegu imer-syjnego c (t) klasy C2 w pewnym otoczeniu miejsca t ·zadne trzy ró·zne punktyc (t1) ; c (t2) ; c (t3) nie s ¾a wspó÷liniowe oraz C (t1; t2:t3) jest srodkiem okr¾eguprzechodz ¾acego przez te trzy punkty i okr ¾ag graniczny przy ti ! t istnieje, tzn.istnieje graniczny srodek tych okr ¾egów C; tzn.

C (t1; t2:t3)! C; gdy ti ! t;

wówczas

(1) hc0 (t) ; c (t)� Ci = 0;

(2) hc00 (t) ; c (t)� Ci = �hc0 (t) ; c0 (t)i:

Proof. Niech t1 < t2 < t3 b¾ed ¾a ró·znymi miejscami z pewnego ma÷ego otoczeniaustalonego miejsca t: Rozwa·zmy funkcj¾e rzeczywist ¾a

t 7�! hc (t)� C (t1; t2:t3) ; c (t)� C (t1; t2:t3)i = kc (t)� C (t1; t2:t3)k2 :

Wartosci tej funkcji s ¾a takie same w miejscach t1; t2; t3 - s ¾a to kwadraty promieniaokr¾egu. Z Tw. Fermata istniej ¾a �1 2 (t1; t2) i �2 2 (t2; t3) ; takie, ·ze pochodnetej funkcji w �1 i �2 s ¾a równe zeru. Z prawo ró·zniczkowania iloczynu skalarnegootrzymujemy

(1�) hc0 (�i) ; c (�i)� C (t1; t2:t3)i = 0:

Analogicznie funkcja rzeczywista

t 7�! hc0 (t) ; c (t)� C (t1; t2:t3)i

musi miec wartosc 0 w pewnym punkcie � 2 (�1; �2) : Poniewa·z pochodna tejfunkcji jest równa

hc00 (t) ; c (t)� C (t1; t2:t3)i+ hc0 (t) ; c0 (t)i

to dla t = � otrzymujemy

(2�) hc00 (�) ; c (�)� C (t1; t2:t3)i = �hc0 (�) ; c0 (�)i:

Niech ti ! t; wtedy �i ! t oraz � ! t: Skoro z za÷o·zenia C (t1; t2:t3) !C; gdy ti ! t; to z (1�) i (2�) w procesie granicznym dostajemy tezy (1) i (2).

Poniewa·z promien granicznego okr¾egu (jako wektor zaczepiony) jest równy����!C c (t) i ma wspólrz¾edne c (t)� C to z (1) otrzymujemy

Conclusion 46 Okr ¾ag graniczny przechodz ¾acy przez c (t) o srodku w C jeststyczny do ÷uku c (t) (czego nale·za÷o si ¾e spodziewac). Istotnie, poniewa·z wektorstyczny do okr ¾egu w danym miejscu jest prostopad÷y do promienia a z (1) c0 (t)te·z jest prostopad÷y do promienia to okr ¾ag i ÷uk s ¾a w tym miejscu styczne.

22

Z (1) otrzymujemy tak·ze

Conclusion 47 Wektory c0 (t) oraz c00 (t) nie s ¾a wspó÷liniowe. Istotnie, gdybyc00 (t) = k � c0 (t) dla pewnego k 2 R to z (2) i (1) otrzymalibysmy sprzecznosc

0 6= hc0 (t) ; c0 (t)i = �hc00 (t) ; c (t)� Ci = �hk � c0 (t) ; c (t)� Ci= �k � hc0 (t) ; c (t)� Ci = 0:

Exercise 48 Równosci (1) (2) wyznaczaj ¾a punkt C jednoznacznie.Istotnie, Niech v b ¾edzie dowolnym niezerowym wektorem prostopad÷ym do

c0 (t) ; v ? c0 (t) : Z (1) c (t)� C = kv dla pewnego k 2 R: St ¾ad z (2)

hc00 (t) ; kvi = �hc0 (t) ; c0 (t)i;k � hc00 (t) ; vi = �hc0 (t) ; c0 (t)i 6= 0:

St ¾ad (co jest zgodne z ostatni ¾a konkluzj ¾a) hc00 (t) ; vi 6= 0 (bo poniewa·z c0 (t)nie jest wspó÷liniowy z c00 (t) to c00 (t) nie jest prostopad÷y do v co znaczy, ·zehc00 (t) ; vi 6= 0). Tak·ze k 6= 0 oraz

k = �hc0 (t) ; c0 (t)ihc00 (t) ; vi :

St ¾ad

c (t)� C = kv

C = c (t)� kv = c (t) + hc0 (t) ; c0 (t)ihc00 (t) ; vi v:

Obliczymy teraz srodek C granicznego okr¾egu pos÷uguj ¾ac si¾e parametryzacj ¾anaturaln ¾a c (s) rozwa·zanego przebiegu.

Lemma 49 (Lemat 2) Za÷ó·zmy, ·ze przebieg naturalny c (s) klasy C2 spe÷nia wotoczeniu miejsca s za÷o·zenia poprzedniego lematu oraz, ·ze c00 (s) 6= 0: Wówczasokr ¾ag graniczny ma promien r = 1

kc00(s)k i srodek C spe÷nia równanie c (s)�C =� 1kc00(s)k2 c

00 (s) ; tzn.

C = c (s) +1

kc00 (s)k2c00 (s) :

Proof. Dla parametru naturalnego c (s) mamy kc0 (s)k = 1; tzn. c0 (s) 2 S1 �R2: Ró·zniczkuj ¾ac równosc hc0 (s) ; c0 (s)i = 1 otrzymujemy

(*) hc00 (s) ; c0 (s)i = 0;

co oznacza, ·zec00 (s) ? c0 (s) :

Z (1) hc0 (s) ; c (s) � Ci = 0 i (*) wektory c00 (s) i c (s) � C s ¾a prostopad÷e doc0 (s) ; zatem s ¾a równoleg÷e. Z za÷o·zenia c00 (s) 6= 0 istnieje sta÷a a taka, ·ze

c (s)� C = a � c00 (s) : (10)

23

Podstawiaj ¾ac do (2) hc00 (s) ; c (s)� Ci = �1 otrzymujemy

hc00 (s) ; a � c00 (s)i = �1a � kc00 (s)k2 = �1

a = � 1

kc00 (s)k2:

Z (10) mamy

kc (s)� Ck = jaj � kc00 (s)k = 1

kc00 (s)k2� kc00 (s)k = 1

kc00 (s)k :

Pokazalismy, ·ze je·zeli C jest srodkiem granicznego okr¾egu to C spe÷nia równaniec (s)�C = � 1

kc00(s)k2 c00 (s) i promien tego okr¾egu jest równy r = kc (t)� Ck =

1kc00(s)k : Nale·zy zauwa·zyc odwrotnie, ·ze punkt C spe÷niaj ¾acy to równanie jestsrodkiem granicznego okr¾egu. Poniewa·z srodek C jest jedynym rozwi ¾azanem(1) i (2) to wystarczy sprawdzic, ·ze C = c (s) + 1

kc00(s)k2 c00 (s) spe÷nia te oba

równania hc0 (s) ; c (s) � Ci = 0; hc00 (s) ; c (s) � Ci = �hc0 (s) ; c0 (s)i = �1 cojest banalnym cwiczeniem.Okazuje si¾e, ·ze za÷o·zenie c00 (s) 6= 0 gwarantuje istnienie granicznego okr¾egu,

w szczególnosci ·ze w otoczeniu miejsca s ·zadne trzy punkty przebiegu nie s ¾awspó÷liniowe.

Theorem 50 Niech c : (a; b)! R2 b ¾edzie p÷askim przebiegiem naturalnym klasyC2:(A) Jesli w miejscu s 2 (a; b) wektor przyspieszenia c00 (s) jest niezerowy,

c00 (s) 6= 0; wówczas

(I) dla miejsc s1; s2; s3 bliskich s punkty c (s1) ; c (s2) ; c (s3) nie le·z ¾a na jednejprostej,

(II) gdy si ! s to okr ¾ag przechodz ¾acy przez punkty c (si) zbiega do pewnegookr ¾egu granicznego stycznego do przebiegu w miejscu s ktorego promienjest równy 1

kc00(s)k a srodek C (s) le·zy na linii przechodz ¾acej przez c (s) i

prostopad÷ej do c0 (s) i jest równy punktowi C (s) = c (s) + 1kc00(s)k2 c

00 (s) ;

(B) Jesli w miejscu s 2 (a; b) wektor przyspieszenia c00 (s) jest zerowy,c00 (s) = 0; wówczas nawet gdy istniej ¾a ci ¾agi miejsc si ! s takie, ·ze punktyc (si) nie le·z ¾a na jednej prostej (a wi ¾ec przechodz ¾a przez nie okr ¾agi) to okr ¾egi tenie zbiegaj ¾a do ·zadnego okr ¾egu granicznego.

Proof. (A) Niech c00 (s) 6= 0 i sk ¾ad w ma÷ym otoczeniu s tak·ze c00 (�) 6= 0 dla� z tego otoczenia.

24

(I) Przypuscmy, ·ze w tym ma÷ym otoczeniu s istniej ¾a miejsca s1 < s2 < s3takie, ·ze punkty c (si) le·z ¾a na pewnej prostej L

Istniej ¾a wtedy punkty �1 2 (s1; s2) i �2 2 (s2; s3) takie, ·ze styczne do przebieguc w tych miejsach s ¾a równoleg÷e do L: Oznacza, to, ·ze krzywa c0 : (a; b) ! S1

o wartosciach na okr¾egu S1 ma jednakowe wartosci w �1 i �2; c0 (�1) = c

0 (�2) :Dla miejsc bliskich s obraz c0 [�1; �2] nie mo·ze byc ca÷ym okr¾egiem, wi¾ec istnieje� 2 (�1; �2) takie, ·ze c

0 (�) jest najdalej odsuni¾ete (licz ¾ac w jednym z dwumo·zliwych kierunków obiegania po okr¾egu) od punktu c0 (�1) = c

0 (�2) : Oznaczato, ·ze c00 (�) = 0: Ale z ci ¾ag÷osci drugiej pochodnej takie miejsce � nie mo·ze bycbliskie s: Sprzecznosc.(II) Poka·zemy, ·ze okr¾egi przechodz ¾ace przez punkty c (si) dla miejsc si blis-

kich s zbiegaj ¾a do pewnego okr¾egu granicznego, tzn. srodki C (s1; s2; s3) tychokr¾egów zbiegaj ¾a do pewnego punktu granicznego. W tym celu wezmy (jedyny- patrz Cwiczenie 48) punkt C - rozwi ¾azanie uk÷adu równan (1) i (2)

hc0 (s) ; c (s)� Ci = 0;

hc00 (s) ; c (s)� Ci = �hc0 (s) ; c0 (s)i = �1:

Poka·zemy, ·ze w÷asnie C (s1; s2; s3) ! C gdy si ! s: Pokazalismy w dowodzieLematu 1, ·ze stniej ¾a � 2 (s1; s2) i � 2 (s1; s3) ; takie, ·ze zachodzi (1�) i (2�)

(*) hc0 (�) ; c (�)� C (s1; s2:s3)i = 0;

(**) hc00 (�) ; c (�)� C (s1; s2:s3)i = �hc0 (�) ; c0 (�)i = �1

Poka·zemy, ·ze dla si bliskich s normy srodków okr¾egów C (s1; s2:s3) s ¾a ogranic-zone, co równowa·zne jest z ograniczonosci ¾a normy c (�) � C (s1; s2:s3) dla �bliskich s (a wi¾ec i z ograniczonosci ¾a promieni tych okr¾egów. Z (*) c (�) �C (s1; s2:s3) ? c0 (�) : Z naturalnosci parametru s wiemy, ·ze c00 (s) ? c0 (s) ;zatem c00 (�) ? c0 (�) : Poniewa·z w rozwa·zanym ma÷ym otoczeniu s mamyc00 (�) 6= 0 to c (�)�C (si) = a� � c00 (�) dla pewnej liczby a�: Zatem ograniczoscpromieni okr¾egów jest rónowa·zna z ograniczonosci ¾a liczb ja�j : Rozwa·zmy drugie

25

równanie (**)

hc00 (�) ; c (�)� C (si)i = �1hc00 (�) ; c (�)� c (�) + c (�)� C (si)i = �1hc00 (�) ; c (�)� c (�) + a� � c00 (�)i = �1

hc00 (�) ; c (�)� c (�)| {z }ma÷e

i+ a� � hc00 (�) ; �c00 (�)i| {z }ograniczone z do÷u dodatnie

= �1

st ¾ad ja�j nie mo·ze miec podci ¾agu uciekaj ¾acego do nieskonczonosci a tym samympromienie okr¾egów dla miejsc si bliskich s s ¾a z góry ograniczone. Nie mo·ze bycdwu ró·znych granic srodków dla podci ¾agów si ! s gdy·z

c0 (�)! c0 (s) ; c00 (�)! c00 (s) ; gdy si ! s;

sk ¾ad z jednoanacznosci rozwi ¾azania (1) i (2) porównuj ¾ac z (*) i (**) widzimy,·ze granice te musz ¾a byc równe w÷asnie temu jedynemu rozwi ¾azaniu C: Zatemgraniczny okrag istnieje. Z Lematu 2 okr ¾ag graniczny ma promien r = 1

kc00(s)ki srodek C (s) równy

C (s) = c (s) +1

kc00 (s)k2c00 (s) :

(B) Niech c00 (s) = 0. Za÷ó·zmy, ·ze dane s ¾a ci ¾agi miejsc si ! s dla którychpunkty c (si) nie s ¾a wspó÷liniowe i niech C (si) b¾ed ¾a srodkami okr¾egów przez tepunkty przechodz ¾acych i przypuscmy, ·ze te srodki zbiegaj ¾a do pewnego punktuC; C (si) ! C: Jak w dowodzie Lematu 1 dla takich miejsc si znajdziemy� 2 (s1; s3) taki, ·ze hc00 (�) ; c (�) � C (si)i = �1; ale skoro dla si ! s mamy� ! s to c (�) ! c (s), c00 (�) ! c00 (s) = 0; C (si) ! C: St ¾ad w granicydostajemy sprzecznosc

0 = h0; c (s)� Ci = �1:

WYK×AD 4-6

Miejscem wyprostowania przebiegu c klasy C2 nazywamy miejsce w krórymc00 (s) = 0; inaczej, gdy � (s) = kc00 (s)k = 0: Z ci ¾aglosci funkcji � (s) ; dla punktus nie b¾ed ¾acego miejscem wyprostowania istnieje jego otoczenie nie zawieraj ¾acemiejsc wyprostowania.

Remark 51 Cz ¾esc A ostatniego twierdzenia sugeruje, ·ze w otoczeniu miejscaniewyprostowania przebieg le·zy z jednej strony stycznej, mianowicie z tej w któr ¾ajest skierowany wektor c00 (s) (srodek okr ¾egu granicznego jest skierowany w t ¾estron ¾e). Dok÷adniej to mo·zna pokazac w oparciu o wzór Taylora dla funkcjiwektorowej (Ko÷odziej, §40, Tw 15, str 258)

c (s+�s) = c (s) + c0 (s) ��s+ 12c00 (s) � (�s)2 + " (�s) � (�s)2

26

gdzie" (�s) �!

�s!90:

Po÷o·zenie ÷uku c (s+�s) wzgl ¾edem stycznej c (s) + c0 (s) � �s mierzy wektorró·znicy

c (s+�s)� c (s) + c0 (s) ��s

= � (�s) � c0 (s) + � (�s) � c00 (s) =�1

2c00 (s) + " (�s)

�� (�s)2

=

�1

2c00 (s) + "� (�s) � c0 (s) + "� (�s) � c00 (s)

�� (�s)2

=

�"� (�s) � c0 (s) +

�1

2+ "� (�s)

�� c00 (s)

�� (�s)2

Jesli �s jest ma÷e to � (�s) =�12 + "� (�s)

�� (�s)2 > 0 co oznacza, ·ze w

rozk÷adzie wektora ró·znicy wspó÷rz ¾edna przy c00 (s) jest dodatni ¾a, zatem przebiegblisko punktu niewyprostowania le·zy po stronie stycznej w któr ¾a jest skierowanywektor c00 (s) = t0 (s) - patrz poni·zsza de�nicja.

De�nition 52 Jesli s nie jest miejscem wyprostowania przebiegu naturalnegoc : I ! R2 klasy C2 to uk÷ad wektorów

t (s) = c0 (s)

n (s) =c00 (s)

kc00 (s)ktworzy baz ¾e ortonormaln ¾a [bo s ¾a to wersory i c0 (s) ? c00 (s)] (niekonieczniedodatni ¾a) p÷aszczyzny R2, zwan ¾a baz ¾a (reperem) Freneta przebiegu p÷askiego c:W punktach, gdzie k(s) 6= 0, wektor jednostkowy n(s) skierowany jest zgodnie zwektorem c00(s) i jest dobrze okreslony przez równanie:

c00(s) = � (s) � n(s). (11)

Theorem 53 Wzory Freneta przebiegu naturalnego p÷askiego:

t0 (s) = � (s) � n(s)n0(s) = �� (s) � t (s) :

Proof. Pierwszy wzór jest oczywisty. Do dowodu drugiego przedstawmy n0(s) =� � t (s)+� �n(s):Wspó÷czynniki �; � wyliczamy mno·z ¾ac skalarnie przez wektoryz reperu Freneta:

� = hn0(s); t (s)i = �hn(s); t0 (s)i /bo ht (s) ; n (s)i = 0 sk ¾ad ht0; ni+ hn; t0i = 0= �hn(s); � (s) � n(s)i = �� (s) ;

� = hn0(s); n (s)i = 0 /bo hn; ni = 1 sk ¾ad hn0; ni+ hn; n0i = 2hn0; ni = 0:

Zauwa·zmy (cwiczenie), ·ze zmieniaj ¾ac przebieg c na przebieg przebiegaj ¾acyod konca do pocz ¾atku, np. d (s) = c (�s) ; obserwujemy, ·ze krzywizna �d (s) wtych samych punktach przebiegów d i c nie zmienia si¾e.

27

3.2 Krzywizna ze znakiem przebiegu p÷askiego

Krzywiznie p÷askiego przebiegu naturalnego c : I ! R2; I = (a; b) � R; mo·znanadac znak, w tym celu wezmiemy inny reper w miejscu s (bez zak÷adania

·ze nie jest to miejsce wyprostowania). De�niujemy wektor�n (s) równy (patrz

iloczyn wektorowy w R2)�n (s) = t (s)

� czyli przez ·z ¾adanie, aby mia÷d÷ugosc

tak ¾a, jak t (s) czyli, by÷to to wersor i aby baza�t (s) ;

�n (s)

�by÷a dodatnia

(czyli orientowa÷a R2 tak samo jak baza wersorów osi wspó÷rz¾ednych (e1; e2)). W ten sposób, w odró·znieniu od pola wektorowego n (s) ; pole

�n (s) jest

okreslone w ka·zdym miejscu bez wzgl¾edu na to, czy krzywizna � (s) jest równazeru czy nie i przedstawia sob ¾a pole klasy C1:We wspó÷rz¾ednych kartezjanskichc (s) = (x (s) ; y (s)) otrzymujemy t (s) = [x0 (s) ; y0 (s)] ; i (proste cwiczenie)

�n (s) = [�y0 (s) ; x0 (s)] :

W punktach nie b ¾ed ¾acych miejscem wyprostowania wektory n (s) i�n (s) s ¾a

wspó÷liniowe i albo�n (s) = n (s) albo

�n (s) = �n (s) :

De�nition 54 Dla przebiegu naturalnego p÷askiego c : I ! R2; I = (a; b) � R;de�niujemy krzywizn ¾e ze znakiem ~� (s) za pomoc ¾a wzoru

t0 (s) = ~� (s) � �n(s):

Mo·ze ona byc dodatnia, ujemna lub zero. Funkcja ~� (s) jest klasy C1:

Drugi wzór Freneta dla bazy�t (s) ;

�n (s)

�ma postac (trywialne cwiczenie)

�n0(s) = �~� (s) � t (s) :

Gdy s nie jest miejscem wyprostowania, tzn. c00 (s) = t0 (s) 6= 0; wówczast0(s)kt0(s)k = n (s) = ��n (s) ; przy czym jesli baza (t (s) ; n (s)) jest dodatnia, tomamy + i wówczas ~� (s) = � (s) ; zas gdy baza jest ujemna, to mamy � iwówczas ~� (s) = �� (s) ; patrz rysunek i uwaga (51):

Exercise 55 Zauwa·zmy (cwiczenie), ·ze zmieniaj ¾ac przebieg c na przebieg dprzebiegaj ¾acy od konca do pocz ¾atku, np. d (s) = c (�s) ; obserwujemy, ·ze krzy-wizna ze znakiem ~�d (s) w tych samych punktach przebiegów d i c ma przeciwneznaki ~�d (s) = �~� (�s) :

28

Istotnie, td (s) = d0 (s) = �c0 (�s) = �t (�s) ; sk ¾ad�nd (s) = �

�n (�s) - aby

baza�td (s) ;

�nd (s)

�by÷a dodatnia. Dalej mamy

t0d (s) = �� t0 (�s) = t0 (�s) = ~� (�s) � �n(�s) = �~� (�s) � �nd (s) = ~�d (s) ��nd (s) ;

�~� (�s) = ~�d (s) :

De�niujemy dla ka·zdego miejsca s k ¾at � (s) jaki tworzy z osi ¾a X-ów wektorstyczny t (s) : Nie jest on wyznaczony jednoznacznie, dwa takie k ¾aty ró·zni ¾a si¾eo wielokrotnosc 2�: Czy mo·zna w sposób ci ¾ag÷y okreslic funkcje � (s) w ca÷ejdziedzinie przebiegu c (s) ? Rozwa·zmy t jako funkcje o wartosciach w okreguS1 � R2;

t : (a; b)! S1:

Punkt z okr¾egu jest postaci (cos �; sin �) dla pewnego k ¾ata jaki punkt tworzyz osi ¾a OX; dwa takie k ¾aty ró·zni ¾a si¾e o wielokrotnosc 2�; ale dana liczba �(interpretowana tutaj k ¾atem) de�niuje punkt z okr¾egu (cos �; sin �) : Oznacza,to ·ze okreslona jest pomocnicza wa·zna funkcja

� : R! S; � (�) = (cos �; sin �)

Szukamy zatem funkcji ci ¾ag÷ej � : (a; b)! R takiej, ·ze

t (s) = (cos � (s) ; sin � (s)) ;

czyli takiej, ·ze t = � � �R

� % # �(a; b)

t�! S1

Przede wszystkim zaobserwujemy niezwykle wa·zn ¾a w÷asnosc odwzorowania� : R ! S; mianowicie jest to tzw. nakrycie, tzn. ka·zdy punkt q 2 S1 maotwarte w S1 otoczenie Uq które jest "prawid÷owo nakryte", tzn. takie, ·ze

29

��1 [Uq] rozk÷ada si¾e na sum¾e roz÷¾acznych spójnych otwartych sk÷adowych i �obci¾ete do ka·zdej takiej sk÷adowej jest homeomor�zmem na Uq

Aby si¾e przekonac o ci ¾ag÷osci odwracania � na takiej sk÷adowej mo·zemy j ¾alokalnie wyrazic wzorem. Gdy q = (x0; y0) i x0 6= 0 oraz na danej sk÷ad-owej � (2k� + �0) = a dla pewnego ca÷kowitego k oraz (1) �0 2

���2 ;

�2

�lub (2)

�0 2��2 ;

3�2

�to funkcja odwrotna musi byc dana wzorem (1) arctan y

x + 2k�;(2) arctan y

x + � + 2k� [cwiczenie]. Gdy zas x0 = 0 to wykorzystujemy funkcjearccot xy : Wzory te okreslaj ¾a funkcje ci ¾ag÷e.

Proposition 56 Dla dowolnej ci ¾ag÷ej funkcji t : (a; b)! S1 [niekoniecznie pochodz ¾acejod przebiegu] istnieje ci ¾ag÷a funkcja � : (a; b) ! R [podniesienie t] taka, ·zet = � � �; dwie takie funkcje ró·zni ¾a si ¾e o wielokrotnosc 2�: Mo·zna tak·ze za÷o·zyc,·ze dziedzina funkcji t jest przedzia÷em domkni ¾etym [a; b] :

Proof. Najpierw zauwa·zymy jednoznacznosc z dok÷adnosci ¾a do wielokrotnosci2� "podniesienia" funkcji t do funkcji �: Niech �1 i �2 b¾ed ¾a dwiema takimifunkcjami. Dla danego argumentu s0 2 (a; b) wartosci tych funkcji ró·zni ¾a si¾eo konkretn ¾a wielokrotnosc 2�; �1 (s0) = �2 (s0) + 2k0�: Odejmuj ¾ac 2k0� od�1 dostajemy dwa podniesienia równe sobie w s0: Jesli wyka·zemy, ·ze takie dwapodniesienia s ¾a identyczne w ca÷ej dziedzinie, to poka·zemy w ten sposób, ·ze dwadowolne podniesienia ró·zni ¾a si¾e globalnie o t¾e sam ¾a wielokrotnosc 2�: Niechzatem �1 (s0) = �2 (s0) : Niech A � (a; b) b¾edzie zbiorem tych s dla których�1 (s) = �2 (s) : Jasne, ·ze A jest podzbiorem domkni¾etym w (a; b) (dwie funkcjeci ¾ag÷e s ¾a zawsze równe na zbiorze domkni¾etym). Poniewa·z � jest lokalnymhomeomor�zmem, to zbiór A musi tak·ze byc otwartym, istotnie, gdy �1 (s1) =�2 (s1) to obraz pewnego ma÷ego spójnego otoczenia Is1 miejsca s1 za pomoc ¾a tzawarty jest Uq dla q = t (s1) : Z drugiej strony, obrazy tego ma÷ego otoczenia zapomoc ¾a �1 i �2 s ¾a spójne, wi¾ec musza byc zawarte w tej samej spójnej sk÷adowejprzeciwobrazu ��1 [Uq] : Ale na tej sk÷adowej � jest homeomor�zmem, wi¾ec gdy�1 (s1) = �2 (s1) to musz ¾a te·z pokrywac si¾e na tym ma÷ym otoczeniu miejsca s;tym samym A jest otwarty. Poniewa·z (a; b) jest spójny, wi¾ec A = (a; b) :

30

Teraz poka·zemy istnienie podniesienia. Ustalmy s0 2 (a; b) [gdyby rozpa-trywac ÷uk na przedziale domkni¾etym wzielibysmy jego lewy koniec]. Niech Jb¾edzie zbiorem tym miejsc s; s0 < s � b; ·ze istnieje podniesienie � na [s0; s):Niech �s b¾edzie kresem górnym tych miejsc s i przypuscmy, ·ze �s < b: Istniejemiejsce s1 < �s takie, ·ze s1 2 I�s (I�s to takie otwarte otoczenie miejsca �s ·zejego obraz za pomoc ¾a t zawarty jest Uq dla q = t (s1) zas Uq jest prawid÷owonakryty). Niech �� b¾edzie podniesieniem na I�s równym w s1 wartosci � (s1) :St ¾ad skoro dwa podniesienia na zbiorze spójnym ró·zni ¾a si¾e o wielokrotnosc 2�i s ¾a równe w jednym punkcie to pokrywaj ¾a si¾e na tym zbiorze. Oznacza to, ·zepodniesienie � mo·zna zde�niowac dalej ni·z na [s0; �s); mianowicie na [s0; �s)[ I�s;wbrew de�nicji �s: Analogicznie pokazujemy w lew ¾a stron¾e od s0:

Lemma 57 Jesli c : I ! R2; I = (a; b) � R; jest naturalnym przebiegiem klasyC2 i � : I ! R jest podniesieniem funkcji t : I ! S1 to w ka·zdym miejscu s(a) � (s) jest k ¾atem zorientowanym jaki z osi ¾a OX tworzy wektor styczny

t (s) ;(b) �0 (s) = ~� (s) :

Proof. (a) Poniewa·z t = � � � to

c0 (s) = t (s) = [cos � (s) ; sin � (s)]

co z de�nicji k ¾ata zorientowanego pokazuje (a).(b) Ró·zniczkuj ¾ac powy·zsz ¾a równosc dostajemy

c00 (s) = t0 (s) =���0 (s) sin � (s) ; �0 (s) cos � (s)

�;

a wraz z równosci ¾a�n(s) = [� sin � (s) ; cos � (s)]

i zwi ¾azkiem t0 (s) = ~� (s) � �n(s) wnosimy, ·ze

~� (s) = ht0 (s) ;�n(s)i= h

���0 (s) sin � (s) ; �0 (s) cos � (s)

�; [� sin � (s) ; cos � (s)]i

= �0 (s) sin2 � (s) + �0 (s) cos2 � (s)

= �0 (s) :

Proposition 58 Mo·zna zrekonstruowac przebieg naturalny c maj ¾ac jego krzy-wizn ¾e zorientowan ¾a (oznakowan ¾a) ~� : I ! R, jeden z punktów przebiegu c (s0)oraz k ¾at � (s0) jaki ma tworzyc wektor styczny c0 (s0) z osi ¾a OX:

Proof. Z równosci ~� (s) = �0 (s) otrzymujemy poprzez ca÷kowanie

� (s) =

Z s

s0

~� (�) d� + � (s0) :

31

St ¾ad

t (s) = � (� (s)) ;

c (s) =

Z s

s0

t (�) d� + c (s0) :

De�nition 59 Niech p÷aski przebieg naturalny kl. C2; c : [a; b] ! R2; b ¾edzieokreslony na przedziale domkni ¾etym [a; b] i niech ~� : [a; b] ! R b ¾edzie jegooznakowan ¾a krzywizn ¾a. Krzywizn ¾a ca÷kowit ¾a przebiegu c nazywamy liczb ¾e

K =

Z b

a

~� (s) ds:

3.3 W÷asnosc globalna krzywizny przebiegu zamkni¾etego

Dalej b ¾edziemy badac przebiegi zamkni¾ete, tzn. takie, ·ze c (a) = c (b) i spe÷nia-j ¾ace warunki t (a) = c0 (a) = c0 (b) = t (b) i c00 (a) = c00 (b) : Przebiegi zamkni¾etemog ¾a miec samoprzeci¾ecia.

Theorem 60 Je·zeli przebieg naturalny kl. C2; c : [a; b] ! R2; jest zamkni ¾etyoraz

t (a) = c0 (a) = c0 (b) = t (b)

wówczas krzywizna ca÷kowita K jest wielokrotnosci ¾a 2�:

Proof. Niech � : [a; b]! R b¾edzie funkcj ¾a "k ¾at" czyli równowa·znie, podniesie-niem t0 : [a; b] ! S1 do nakrycia � : R ! S1: Wówczas k ¾aty z osi ¾a OX wpocz ¾atku i koncu ró·zni ¾a si¾e o wielokrotnosc 2�; sk ¾ad

K =

Z b

a

~� (s) ds =

Z b

a

�0 (s) ds = � (b)� � (a) = 2k�

dla pewnej liczby ca÷kowitej k:

De�nition 61 Dla przebiegu naturalnego zamkni ¾etego c kl. C2 liczb ¾e ca÷kowit ¾aK2� nazywamy indeksem obrotu.

�) Trudniejszy tekst. Przedzia÷[a; b] zwijamy do okr¾egu o promieniu r = b�a2�

a przebieg zamkni¾ety (nie zak÷adamy naturalnosci) o jednakowych wektorachstycznych mo·zna wtedy rozpatrywac jako g÷adkie odwzorowanie c : S1 (r)! R2:Jego jednostkowe pole wektorowe styczne t jest odwzorowaniem w S1: Zak÷ada-j ¾ac tak·ze równosc c00 (a) = c00 (b) dostaniemy g÷adkie odwzorowanie t :S1 (r)!S1: Na okr¾egu S1 rozwa·zamy lokalnie mapy "k ¾at" i oznaczamy je �; ró·zne takiemapy ró·zni ¾a si¾e o 2k�; wi¾ec forma ró·zniczkowa d� jest dobrze okreslona na S1

i jest generatorem H1�S1�:

32

Proposition 62 Krzywizna ca÷kowita przebiegu c jest równa

K =

ZS1(r)

t� (d�) :

Proof. Oznaczmy podniesienie t : [a; b]! S1 do nakrycia � : R! S1 przez ~�

R~� % � #

[a; b] �!t

S1

Wtedy

K =

Z b

a

~�0(t) dt =

Z b

a

~��(dt) =

Z b

a

~��(dt) :

Z drugiej stronyZS1(r)

t� (d�) =

Z b

a

t� (d�) =

Z b

a

�� � ~�

��d�

=

Z b

a

~����d� =

Poniewa·z � i mapa � s ¾a odwrotne z dok÷¾adnoscia do 2k� to ich ró·zniczki s ¾aodwrotne, sk ¾ad ��d� = dt; zatem

=

Z b

a

~��dt = K:

Theorem 63 Dwa regularne przebiegi c1 (t) i c2 (t) na [a; b] g÷adko homotopijneza pomoc ¾a homotopii H przebiegów regularnych cs (t) ; s 2 [0; 1] ; o jednakowychwektorach stycznych w pocz ¾atku i koncu c0s (a) = c

0s (b) ; c

00s (a) = c

00s (b) posiadaj ¾a

jenakowe krzywizny ca÷kowite.

Proof. Homotopia H : [a; b] � [0; 1] ! R2 indukuje homotopie jednostkowychpól stycznych

~H : S1 (r)� [0; 1]! S1

~H (t; s) = ts (t) :

Skoro

Ks =

ZS1(r)

t�s (d�)

a t0 i t1 s ¾a homotopijne to indukuj ¾a identyczne odwzorowanie na kohomologiit#0 = t#1 : H

�S1�! H

�S1 (r)

�: W szczególnosci dla zamkni¾etej formy d�

33

formy t�0 (d�) i t�1 (d�) s ¾a homologiczne, czyli istnieje 0-forma � na S

1 (r) taka,·ze t�0 (d�) = t

�1 (d�) + d�: Stad

K0 =

ZS1(r)

t�0 (d�) =

ZS1(r)

(t�1 (d�) + d�)

=

ZS1(r)

t�1 (d�) +

ZS1(r)

d� =

ZS1(r)

t�1 (d�) + 0

=

ZS1(r)

t�1 (d�) = K1

poniewa·z ca÷ka po rozmaitosci zwartej zorientowanej n wymiarowej z ró·zniczkin� 1 formy jest zero.

Theorem 64 (Hopf) O indkesie krzywej zamkni ¾etej zwyk÷ej. Indeks krzywejzamkni ¾etej zwyk÷ej czyli bez samoprzeci ¾ec jest równy �1:

Proof. Niech c : [0; L]! R2 b¾edzie krzyw ¾a zwyk÷¾a naturaln ¾a klasy C2 i niech

� = f(s1; s2) ; 0 � s1 � s2 � Lg � R2:

De�niujemy odwzorowanie

� : �! S1

wzorem

� (s1; s2) =c (s2)� c (s1)kc (s2)� c (s1)k

dla s1 < s2 i (s1; s2) 6= (0; L) ;

� (s; s) = c0 (s) = t (s) ;

� (0; L) = �c0 (0) = �t (0) :

Mianownik funkcji � (s1; s2) dla s1 < s2 nie jest zerowy z braku saporzeci¾ecprzebiegu c: Odwzorowanie � jest ciag÷e. Nale·zy to sprawdzic na przek ¾atnej iw lewym górnym rogu.(a) niech s1 < s2 i si ! s: Wtedy po wspó÷rz¾ednych odwzorowania �

�k (s1; s2) =ck (s2)� ck (s1)kc (s2)� c (s1)k

=ck (s2)� ck (s1)

s2 � s1� s2 � s1kc (s2)� c (s1)k

:

Istnieje �s 2 (s1; s2) ; ·ze ck(s2)�ck(s1)s2�s1 =

�ck�0(�s) !

�ck�0(s) : Drugi czynnnik

zatem d ¾azy do 1.(b) niech s1 ! 0 s2 ! L: Zwijamy przebieg do okr¾egu, a wtedy ró·znica od

s1 do s2 wynosi L� s2 + s1 = L� (s2 � s1) < 0: St ¾ad

� (s1; s2) =c (s2)� c (s1)kc (s2)� c (s1)k

=c (s2)� c (s1)L� (s2 � s1)

� L� (s2 � s1)kc (s2)� c (s1)k! c0 (0)�(�1) = �c0 (0) :

34

Poniewa·z indeks jest równy 12�

RS1(r)

t� (d�) i nie zale·zy od wyboru homo-topijnej krzywej z t to mo·zemy isc po krzywej homotopijnej z lewa 1 i góry 2 po brzegu �: Poza tym, przesuniemy parametr s i obrócimy krzyw ¾a tak, abyc (0) = 0 oraz t (0) = e1 by÷wersorem osi OX a ca÷y przebieg le·za÷nad osi ¾a OX(obraz przebiegu jest zwarty wi¾ec od do÷u jest ograniczony i do tego miejscaprzesuwamy parametr s aby startowa÷od 0). 1 (s) = � (0; s) = c(s)

kc(s)k 2 S1

dla s 2 (0; L]; � (0; 0) = c0 (0) = e1; � (0; L) = �c0 (0) = �e1; zatem 1 (s)idzie wzd÷u·z pó÷okr¾egu od e1 do �e1 le·z ¾acego w górnym pó÷okr¾egu, wi¾ec funkcjak ¾at nie mo·ze zakreslic ko÷a a zmieni si¾e tylko od 0 do �: Zas 2 (s) = � (s; L)wzd÷u·z dolnego pólokr¾egu i funkcja k ¾at zmieni si¾e od � do 2�;×¾acznie zakres jest2� czyli indeks krzywej zwyk÷ej zorientowanej dodatnio jest +1 (zorientowanejprzeciwnie �1).

3.4 Dwa twierdzenia ekstremalne o krzywych zwyk÷ych

3.4.1 Nierównosc izoperymetryczna

Na pocz ¾atek przypomnimy twierdzenie Greena, które b¾edzie nam potrzebne doudowodnienia prawdziwosci nierównosci izoperymetrycznej. Obraz przebiegurózniczkowalnego bez samoprzeci¾ecia b¾edziemy nazywac krzyw ¾a zwyk÷¾a. Jesliid ¾ac zgodnie z obiegiem parametru mamy obszar ograniczony krzyw ¾a z lwejstrony, wówczas mówimy o orientacji dodatniej przebiegu.

Theorem 65 (Greena) Niech c(t) = (x(t); y(t)), t 2 [a; b] b ¾edzie przedzi-a÷ami ró·zniczkowaln ¾a parametryzacj ¾a zamkni ¾etej krzywej zwyk÷ej C, dodatniozorientowanej. Niech A oznacza obszar ograniczony przez c (jego brzegiem jest

35

krzywa zwyk÷a C o parametryzacji c (t)) oraz p = p(x; y), q = q(x; y) b ¾ed ¾a funkc-jami rzeczywistymi, okreslonymi na ca÷ym obszarze A i na krzywej C o ci ¾ag÷ychpochodnych cz ¾astkowych, wówczas:ZA

�dq

dx� dp

dy

�dxdy =

Z@A

(pdx+ qdy) =

Z b

a

�p (x (t) ; y (t)) � dx

dt+ q (x (t) ; y (t)) � dy

dt

�dt.

(12)

Example 66 Po÷ó·zmy w (12) funkcje p = �y oraz q = x, wówczas

2 � jAj =ZA

(1 + 1)dxdy =

Z@A

(�ydx+ xdy) =Z b

a

�x(t) � dy

dt� y(t) � dx

dt

�dt

sk ¾ad

jAj =ZA

dxdy =1

2�ZA

(1 + 1)dxdy =1

2�Z b

a

(x � y0 � x0 � y) dt. (13)

K÷ad ¾ac p = �y oraz q = 0 otrzymujemy

jAj =ZA

(0� (�1)) dxdy =Z@A

(�ydx) =Z b

a

�y (t) � x0 (t) dt =Z b

a

(�y � x0) dt:

K÷ad ¾ac p = 0; q = x otrzymujemy

jAj =ZA

dxdy =

ZA

(1 + 0) dxdy =

Z@A

xdy =

Z b

a

x (t) � y0 (t) dt =Z b

a

x � y0dt:

St ¾ad

jAj = �Z b

a

x0 � ydt =Z b

a

x � y0dt = 1

2�Z b

a

(x � y0 � y � x0) dt. (14)

Theorem 67 (nierównosc izoperymetryczna) [do Carmo, str. 33] NiechC b ¾edzie zamkni ¾et ¾a krzyw ¾a zwyk÷¾a, l oznacza d÷ugosc tej krzywej, zas jAj polepowierzchni obszaru ograniczonego t ¾a krzyw ¾a, wówczas:

l2 � 4 � � � jAj > 0

tzn.

jAj � l2

4�( = pole ko÷a o obwodzie l ),

przy czym równosc zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy C jest okr ¾egiem.

Proof. Niech C b¾edzie zamkni¾eta krzyw ¾a zwyk÷¾a o d÷ugosci l i parametryzacji÷ukowej c(s) = (x(s); y(s)), s 2 [0; l] takiej, ·ze krzywa C jest dodatnio zori-entowana. Wezmy dwie równoleg÷e proste E i E0, niespotykaj ¾ace si¾e z krzyw ¾a

36

C. Przesunmy je w stron¾e krzywej C, do momentu a·z po raz pierwszy przetn ¾asi¾e z C. W ten sposób otrzymalismy dwie równoleg÷e styczne do C, L i L0.Punkty stycznosci z L i L0 oznaczmy odpowiednio przez c(0) i c(s0), gdzie c(0)jest pocz ¾atkiem krzywej C. Poniewa·z krzywa C jest zamkni¾eta, to c(0) = c(l).Zauwa·zmy, ·ze krzywa C jest ca÷kowicie zawarta w pasie ograniczonym przez Li L0. Stwórzmy okr ¾ag S o srodku O styczny do obu prostych, ale nie przecina-j ¾acy si¾e z krzyw ¾a C. Przyjmijmy uk÷ad wspó÷rz¾ednych o pocz ¾atku w punkcie Otaki, ·ze os OX jest prostopad÷a do prostych L i L0. Sparametryzujmy okr ¾ag Su·zywaj ¾ac wspó÷rz¾ednych x parametryzacji c i wyznaczaj ¾ac drug ¾a wspó÷rz¾edn ¾az równania okr¾egu:

��(s) = (�x(s); �y(s)) =

�(x(s);�

pr2 � x2(s)), 0 6 s 6 s0

(x(s);+pr2 � x2(s)), s0 6 s 6 l,

(15)

gdzie r jest promieniem okr¾egu S.

37

Oznaczmy przez jAj pole obszaru ograniczonego krzyw ¾a C, zas przez�� �A�� pole

ko÷a S. Ze wzoru (14) otrzymujemy:

jAj =Z l

0

x � y0ds,

38

�� �A�� = � � r2 = �lZ0

�y � x0ds.

W ten sposób:

jAj+ �r2 =

Z l

0

(xy0 � �yx0) ds 6Z l

0

jxy0 � �yx0j ds =Z l

0

p(xy0 � �yx0)2ds(16)

=

Z l

0

qx2(y0)2 � 2xy0�yx0 + (�y)2 (x0)2ds.

Zauwa·zmy, ·ze

0 6 (xx0 + �yy0)2 = x2(x0)2 + 2xx0�yy0 + (�y)2(y0)2

�2xx0�yy0 6 x2(x0)2 + (�y)2(y0)2, (17)

zatem

jAj+ �r2 =

Z l

0

qx2(y0)2 � 2xy0�yx0 + (�y)2 (x0)2ds (18)

(17)6

Z l

0

qx2(y0)2 + x2(x0)2 + (�y)2(y0)2 + (�y)

2(x0)2ds

6Z l

0

q(x2 + (�y)

2) � ((x0)2 + (y0)2)ds (15)=

Z l

0

q(�x)

2+ (�y)

2 � jc0j ds.

Z równania okr¾egu i za÷o·zenia, ·ze parametryzacja c jest ÷ukowa (jc0(s)j = 1,s 2 s 2 [0; l]) otrzymujemy:

jAj+ �r2 6Z l

0

r � 1ds = lr: (19)

Z faktu, ·ze srednia geometryczna dwóch dodatnich liczb jest mniejsza lub równaich sredniej arytmetycznej, mamy:p

jAj �p�r2 6 1

2� (jAj+ �r2)

(19)6 1

2� lr, (20)

a st ¾ad:4 � jAj�r2 6 l2r2

l2 � 4 � � jAj > 0: (21)

Zauwa·zmy, ·ze równosc w (21) otrzymamy, gdy wsz¾edzie w (16), (18), (19) oraz(20) b¾edzie znak równosci.Z pierwszej nierównosci (20) otrzymujemy wzór na pole powierzchni obszaru

A oraz d÷ugosc krzywej C:

4 � jAj � �r2 = jAj2 + 2 � jAj � �r2 + �2r4 , jAj2 � 2 � jAj � �r2 + �2r4 = 0, (jAj � �r2)2 = 0 , jAj = �r2,

39

2 � �r2 = lr , l = 2 � �r. //

Za÷ó·zmy, ·ze w nierównosci (21) mamy równosc, wówczas powy·zej mamy znakirównosci oraz jAj = �r2 i l = 2 � �r: Poniewa·z w tym ci ¾agu nierównosci kolejnefunkcje sa niemalej ¾ace, to z równosci ca÷ek wynika równosc funkcji, zatem popodniesieniu do kwadratu

(xy0 � �yx0)2 = (x2 + �y2) � (x02 + y02);x2y02 � 2xy0�yx0 + �y2x02 ��� = x2x02 + �y2x02 ���+ x

2y02 + �y2y02

(xx0 + �yy0)2= 0

xx0 + �yy0 = 0x

y0= � �y

x0:

Poniewa·z x02+y02 = 1 i x2

y02 =�y2

x02 to u÷amek ten jest równy x2+ �y2 [rachunkowe

cwiczenie]:�x2 + �y2

�x02 =

�x2 + �y2

� �1� y02

�= x2 + �y2 � x2y02 � �y2y02

= �y2 + x2�1� y02

�� �y2y02 = �y2 + x2x02 � �y2y02

= �y2

St ¾adx

y0= � �y

x0= �

px2 + �y2 = �

p�x2 + �y2 = �r;

zatemx = �ry0:

Poniewa·z r nie zale·zy od kierunku prostej L mo·zemy zamienic x i y w tej relacjii otrzymac y = �rx0: Zatem

x2 + y2 = r2�x02 + y02

�= r2;

co oznacza, ·ze C jest okr¾egiem.

3.4.2 Twierdzenie o czterach wierzcho÷kach

De�nition 68 Wierzcho÷kiem przebiegu c nazywamy punkt c (s)w którym krzy-wizna znakowana jest zerowa ~� (s) = 0:

Theorem 69 Ka·zda krzywa zamkni ¾eta zwyk÷a posiada conajmniej 4 wierzcho÷ki.

Przyk÷adem jest elipsa maj ¾aca dok÷adnie 4 wierzcho÷ki.Proof. Niech c : [0; L]! R2 b¾edzie przebiegiem naturalnym zwyk÷ym zamkni¾e-tym. Krzywizna ~� (s) ma conajmniej 2 punkty ró·zne ekstremalne, maksimum iminimum i w nich s ¾a wierzcho÷ki. Wybierzmy system wspó÷rz¾ednych taki, aby

40

aby os OX przechodzi÷a przez te dwa wierzcho÷ki. Przypomnijmy wzory Frenetadla tego przebiegu

t0 (s) = ~� (s) � �n(s)�n0(s) = �~� (s) � t (s) :

Ca÷kuj ¾ac przez cz¾esci dostajemyZ L

0

~�0 (s) c (s) ds = �Z L

0

~� (s) c0 (s) ds = �Z L

0

~� (s) t0 (s) ds

=

Z L

0

�n0(s)ds =

�n (L)� �

n (0) = 0:

Analogicznie, stosuj ¾ac ró·zniczkowanie iloczynu skalarnego i dwuliniowosc (cwicze-nie) pokazujemy, ·ze Z L

0

~�0 (s) hc (s) ; e2ids = 0: (**)

Powy·zej osi OX wyra·zenie hc (s) ; e2i jest dodatnie, zas poni·zej ujemne. Gdybynie by÷o trzeciego wierzcho÷ka to w jednej pó÷p÷aszczyznie ~�0 (s) > 0 a w drugiej~�0 (s) < 0: Ale wtedy ~�0 (s) hc (s) ; e2i by÷oby w oby pó÷p÷aszczyznach tegosamego znaku, wbrew powy·zszej równosci (**). Zatem musi istniec conajm-niej jeszcze jeden wierzcho÷ek. Argument powy·zszy tak·ze pokazuje, ·ze przebiegc nie mo·ze byc utworzony z dwu ÷uków z ~�0 (s) > 0 na jednym i ~�0 (s) < 0 nadrugim z nich. Tak·ze, poniewa·z gdzies krzywizna jest zerowa, przebieg c niemo·ze byc utworzony z dwu ÷uków z ~�0 (s) � 0 na jednym i ~�0 (s) � 0 na drugim znich. Gdyby nie by÷o czwartego wierzcho÷ka, wówczas pewna para z tych trzechwierzcho÷ków dzieli÷a by przebieg na dwa ÷uki z ~�0 (s) � 0 na jednym i ~�0 (s) � 0wbrew takiej mo·zliwosci.

WYK×AD 7-9

4 Geometria ró·zniczkowa przebiegów w R3

4.1 P÷aszczyzna scisle styczna i krzywizna

Uzasadnimy, ·ze za krzywizn¾e ÷uku c (s) w R3 nale·zy przyj ¾ac zawsze liczb ¾e

� (s) := kc00 (s)k :

Po pierwsze je·zeli okr ¾ag graniczny przy si ! s rodziny okregów przechodz ¾acychprzez trzy bliskie punkty c (s1) ; c (s2) ; c (s3) istnieje to jego srodek C spe÷niate same równania (1) i (2) z Lematu 1, jednak·ze warunki te nie wyznaczaj ¾apunktu C jednoznacznie. Zbadamy najpierw, czy istnieje graniczna p÷aszczyznaprzechodz ¾aca przez rzy bliskie punkty c (s1) ; c (s2) ; c (s3) ; gdy si ! s:

41

Proposition 70 Jesli c : (a; b) ! R3 jest przebiegiem naturalnym klasy C2

takim,·ze w miejscu s wektor c00 (s) jest niezerowy, c00 (s) 6= 0; to dla miejscsi bliskich s punkty c (s1) ; c (s2) ; c (s3) nie s ¾a wspó÷liniowe. Gdy si ! s toistnieje graniczne po÷o·zenie p÷aszczyzn �(si) przechodz ¾acych przez c (si) i jestto p÷aszczyzna �1 (s) rozpi ¾eta przez wektory c0 (s) i c00 (s) :

Proof. a) za÷ó·zmy, na razie ·ze punkty c (s1) ; c (s2) ; c (s3) s1 < s2 < s3 nies ¾a wspó÷liniowe i niech � (si) b¾edzie jednostkowym wektorem prostopad÷ym do

�(si) zale·znym ci ¾agle od si (np. iloczyn wektorowy��������!c (s1) c (s2) �

��������!c (s1) c (s3)

podzielony przez d÷ugosc). Wtedy funkcja

(*) s 7�! hc (s)� c (s2) ; � (si)i

jest równa 0 w punktach si: St ¾ad jej pochodna w pewnych punktach posred-nich �1 2 (s1; s2) i �2 2 (s2; s3) jest zerowa

(1a) hc0 (�i) ; � (si)i = 0;

a dalej w pewnym punkcie posrednim � 2 (�1; �2) pochodna funkcji s 7�!hc0 (s) ; � (si)i te·z b¾edzie zerowa

(2a) hc00 (�) ; � (si)i = 0:

Gdy si ! s to �i ! s oraz � ! s a poniewa·z � (si) s ¾a jednostkowe, tozbiegaj ¾a do jednostkowego wektora prostopad÷ego do c0 (s) i c00 (s) : Zatem �(si)zbiegaj ¾a do �:b) gdyby punkty c (si) dla miejsc bliskich s by÷y wspó÷liniowe, to, do tej

linii istnia÷by ca÷y okr ¾ag wektorów jednostkowych, a wi¾ec okr ¾ag wektorów dlaktórych funkcja (*) zeruje si¾e w si: Powtarzaj ¾ac rozumowanie, wnosimy, ·ze gdyjest ci ¾ag miejsc sni ! s dla których punkty c (sni ) i = 1; 2; 3 s ¾a wspó÷liniowe,to istniej ¾a okr¾egi Sn wektorów jednostkowych prostopad÷e do bliskich miejcu spunktów c0 (�ni ) i c

00 (�n) : Ale c0 (�ni )! c0 (s) i c00 (�n)! c00 (s) : Wybie·zmy wSn dwa wektory prostopad÷e vn i wn; Skoro s ¾a to wektory jednostkowe, to s ¾azawarte w sferze S2 która jest zwarta. Mo·zna zatem wybrac podci ¾agi zbie·znei za÷ó·zmy, ·ze vn ! v oraz wn ! w: St ¾ad tak·ze v i w s ¾a prostopad÷e, a wi¾ecliniowo niezale·zne oraz z procesu granicznego v i w s ¾a prostopad÷e do c0 (s) ic00 (s) co jest niemo·zliwe z liniowej niezale·znosci tych ostatnich.

De�nition 71 P÷aszczyzna �1 (s) otrzymana w powy·zszym Stwierdzeniu nazywasi ¾e p÷aszczyzn ¾a scisle styczn ¾a do przebiegu w miejscu niewyprostowania s: Jestto p÷aszczyzna rozpi ¾eta przez wektory c0 (s) i c00 (s) :

Jest jasne, ·ze graniczny okr ¾ag le·zy na tej p÷aszczyznie. Powtarzaj ¾ac rozu-mowania jak w lematach 1 i 2 i uwzgl¾edniaj ¾ac, ·ze graniczny okr ¾ag le·zy na tejp÷aszczyznie, wniskujemy, ·ze okr ¾ag graniczny ma promien r = 1

kc00(s)k i jego

srodek C (s) le·z ¾acy na �1 (s) spe÷nia równanie c (s)� C (s) = � 1kc00(s)k2 c

00 (s) ;

tzn.C (s) = c (s) +

1

kc00 (s)k2c00 (s) :

42

Zatem za krzywizn¾e przebiegu w R3 nale·zy tak·ze przyj ¾ac

� (s) = kc00 (s)k = kt0 (s)k

i to nawet gdy c00 (s) = 0:

4.2 Reper Freneta-Serreta

De�nition 72 W punkcie niewyprostowania (c00 (s) 6= 0; czyli � (s) 6= 0) prze-biegu naturalnego c klasy C2 de�niujemy baz ¾e (reper) dodatni ¾a Freneta-Serretawersorów

t (s) = c0 (s) wektor stycznyn (s) = t0(s)

kt0(s)k =t0(s)�(s) wektor normalny g÷ówny

b (s) = t (s)� n (s) wektor binormalny

P÷aszczyzny rozpi ¾ete przez ka·zde dwa z nich i przesuni ¾ete do c (s) tworz ¾a tzw.trójscian Freneta, przy czym p÷aszczyzny te nazywamy

�1 = Lin (t (s) ; n (s)) - p÷aszczyzna scisle styczna,

�2 = Lin (n (s) ; b (s)) - p÷aszczyzna normalna

�3 = Lin (t (s) ; b (s)) - p÷aszczyzna prostuj ¾aca

Lemma 73 Wektory n (s) i b0 (s) s ¾a wspó÷liniowe.

Proof. Poniewa·z hb (s) ; b (s)i = 1 to po zró·zniczkowaniu hb0 (s) ; b (s)i = 0co oznacza, ·ze b0 (s) jest kombinacj ¾a t (s) i n (s) : Ale tak·ze hb (s) ; t (s)i = 0i hb (s) ; n (s)i = 0 to

hb0 (s) ; t (s)i = �hb (s) ; t0 (s)i = �hb (s) ; kt0 (s)k � n (s)i = 0

co oznacza, ·ze b0 (s) jest prostopad÷y do t (s) zatem, musi byc wspó÷liniowy zn (s) :

4.3 Skr¾ecenie i jego interpretacja

Conclusion 74 W miejscu niewyprostowania istnieje liczba � (s) taka, ·ze

b0 (s) = �� (s) � n (s)

i nazywa si ¾e skr¾eceniem przebiegu c w miejscu s:

Lemma 75 Przy braku punktów wyprostowania funkcja skr ¾ecenie � = 0 gddyprzebieg jest p÷aski.

Proof. Istotnie, gdy c jest p÷aski, to wektor b (s) = t (s)�n (s) jest prostopad÷ydo p÷aszczyzny przebiegu, sk ¾ad jest sta÷y i b0 (s) = 0: Odwrotnie, gdy � = 0 tob0 (s) = 0 i ca÷kuj ¾ac dostajemy, ·ze b (s) = const = b0: Pociaga to za sob ¾arównosc

hc (s) ; b0i0 = hc0 (s) ; b0i = ht (s) ; b0i = 0

43

sk ¾adhc (s) ; b0i = const:

Zatem dla dowolnego s0

hc (s)� c (s0) ; b0i = 0

co daje prostopad÷osc wektora zaczepionego�������!c (s0) c (s) z wektorem b0; i w

konsekwencji le·zenie ca÷ego przebiegu c (s) w p÷aszczy·znie przechodz ¾acej przezc (s0) i prostopad÷ej do wektora b0:Skr¾ecenie jest zatem miar ¾a odst¾epstwa przebiegu c od p÷askosci. Obraz

funkcji (÷uku) b : (a; b) ! S2 jest jednym punktem gdy przebieg c jest sta÷y.Zinterpretujemy wartosc bezwzgl¾edn ¾a skr¾ecenia w terminach pr¾edkosci zmiand÷ugosci ÷uku b: D÷ugosc ÷uku b od miejsca s0 jest wyra·zona ca÷k ¾a

l (b) (s) =

Z s

s0

kb0 (u)k du =Z s

s0

j� (u)j du

zatem j� (s)j jest pochodn ¾a d÷ugosci ÷uku b :

j� (s)j = (l (b))0 (s) :

W pewnym sensie, j� (s)j jest miar ¾a szybkosci opuszczania p÷aszczyzny scislestycznej przez przebieg c:Wy·zej pokazano, ·ze krzywizna znakowana ~� (s) krzywej p÷askiej jest pochodn ¾a

funkcji k ¾at zorientowany �0 (s) : Krzywizna zwyk÷a � (s) = kt0 (s)k winna bycpochodn ¾a k ¾ata niezorientowanego dla t (s) :

Proposition 76 � (s) = limh!0+^(t(s+h);t(s))

h :

Analogicznie wartosc bezwgl¾edna skr¾ecenia

j� (s)j = kb0 (s)k = limh!0

b (s+ h)� b (s)h

= lim

h!0

b (s+ h)� b (s)h

= limh!0+

kb (s+ h)� b (s)kh

winna byc pochodn ¾a k ¾ata niezorientowanego dla b (s) :

Proposition 77 j� (s)j = limh!0^(b(s+h);b(s))

h+ :

Proof. (Dowody obu granic przebiegaj ¾a identycznie).Wezmy

! (h) = ^ (b (s+ h) ; b (s)) :Skoro trójk ¾at o wierzcho÷kach 0; b (s+ h) ; b (s) jest równoramienny, to

sin1

2! (h) =

12 kb (s+ h)� b (s)k

kb (s)k =1

2kb (s+ h)� b (s)k :

44

Poó·zmy

f (h) =

(sin 1

2!(h)12!(h)

; ! (h) 6= 01; ! (h) = 0

Poniewa·z ! (h) = ^ (b (s+ h) ; b (s)) = arccos (b (s+ h) ; b (s)) /bo s ¾a to wer-sory/ jest ci ¾ag÷a, to f (h) jest te·z ci ¾ag÷a i f (0) = 1: Z powy·zszego

! (h) =2 sin 12! (h)

f (h)

tak·ze gdy ! (h) = 0: St ¾ad

limh!0+

^ (b (s+ h) ; b (s))h

= limh!0+

! (h)

h= lim

h!0+

2 sin 12! (h)

f (h) � h = limh!0

1

f (h)� limh!0+

2 sin 12! (h)

h

= 1 � limh!0+

2 12 kb (s+ h)� b (s)kh

= j� (s)j :

4.4 Interpretacja znaku skr¾ecenia

Przejdziemy do zinterpretowania znaku skr¾ecenia.

Lemma 78 Dla przebiegu naturalnego c klasy C3 bez punktów wyprostowania

� =1

�2(c0; c00; c000) /iloczyn mieszany.

Proof.

� = h�n; b0i = h�n; (t� n)0i = h�n; t0�n+ t� n0i= h�n; t� n0i /bo t0�n = 0 - wektory t0 i n s ¾a równoleg÷e

= h�c00

�; c0�

�c00

�

�0i = h�c

00

�; c0�c

000�� �0c00�2

i

= h�c00

�; c0�c

000

�i /bo c0 � c00?c00

= � 1�2hc0�c000; c00i

=1

�2hc0�c00; c000i = 1

�2(c0; c00; c000) :

Ostatnia równosc wynika z postaci wyznacznikowej iloczynu mieszanego (skosnasymetria).

45

Conclusion 79 � > 0 gdy wektory (c0; c00c000) tworz ¾a baz ¾e dodatni ¾a R3; corównowa·znie oznacza, ·ze wektor c000 le·zy po tej stronie p÷aszczyzny scisle sty-cznej, co wektor binormalny b: Gdy � < 0 - odwrotnie.

Theorem 80 (Interpretacja znaku skr¾ecenia) Gdy � (s) 6= 0 to przebiegprzebija p÷aszczyzn ¾e scisle styczn ¾a.a) Gdy � (s) > 0 wtedy przebieg przechodzi w otoczeniu s spod p÷aszczyzny

scisle stycznej nad ni ¾a (tzn. punkty c (s+ h) dla ma÷ych h > 0 le·z ¾a po tej samejstronie p÷. scisle st. co wektor binormalny b (s) ; a dla ma÷ych h < 0 - poprzeciwnej),b) gdy � (s) < 0 to odwrotnie, z nad p÷. scisle st. pod ni ¾a.

Proof. W formule Taylora

c (s+ h) = c (s) + h � c0 (s) + h2

2� c00 (s) + h3

2� c000 (s) + o

�h3�

sk÷adnik c (s) + h � c0 (s) + h2

2 � c00 (s) le·zy na p÷aszczyznie scisle stycznej w

s; zatem c (s+ h) ��c (s) + h � c0 (s) + h2

2 � c00 (s)

�wskazuje punkty spoza tej

p÷aszczyzny. Gdy c000 (s) 6= 0; to pokazuje to, ·ze przebieg przebija t¾e p÷aszczyzn¾ei punkty c (s+ h) dla ma÷ych h > 0 le·z ¾a po stronie c000 (s) ; a dla h < 0 - poprzeciwnej. W swietle poprzedzaj ¾acego wniosku dostajemy tez¾e.

4.5 Wzory Freneta-Serreta

Theorem 81 (Wzory Freneta-Serreta) Dla przebiegu naturalnego c klasyC3 w punkcie niewyprostowania zachodz ¾a równosci

t0 (s) = � (s) � n (s)n0 (s) = �� (s) � t (s) + � (s) � b (s)b0 (s) = �� (s) � n (s)

Proof. Przypomnijmy relacje de�niuj ¾ace krzywizn¾e i skr¾ecenie (pierwszy itrzeci wzór Freneta)

t0 (s) = � (s) � n (s)b0 (s) = �� (s) � n (s)

Poniewa·z hn; ni = 1 to hn0; ni = 0: sk ¾ad n0 jest prostopad÷y do n a to znaczy, zejest kombinacj ¾a t i b: niech n0 (s) = ��t (s)+��b (s) :Wówczas /hn; ti = 0 = hn; bi;

� = hn0 (s) ; t (s) i = �hn (s) ; t0 (s) i = �hn (s) ;� (s) � n (s) i =� � (s) ;� = hn0 (s) ; b (s) i = �hn (s) ; b0 (s) i = �hn (s) ;� � (s) � n (s) i =� (s) :

Dalsza teoria przebiegów z u·zyciem grup Liego, g÷ównie, GL (3;R) ; S0 (3) ;SL (2) oraz teoria w wymiarze dowolnym n - ksi ¾a·zka Spivaka.

46

5 Powierzchnie klasy C1 w R3

5.1 Ró·zniczka odwzorowania, odwzorowania regularne iTw. o dyfeomor�zmie

Pewne przypomnienie z analizy funkcji wielu zmiennych. Umówmy si¾e, ·ze napisRm � [z inkluzj ¾a w t¾e tylko stron¾e] oznacza÷b¾edzie, ·ze jest zbiorem ot-wartym w Rm: Rózniczk ¾a odwzorowania f : Rm � ! Rn klasy C1 w punkciex0 2 nazywamy odwzorowanie liniowe

f�x0 : Rm ! Rn

okreslone wzorem poni·zszym z u·zyciem pochodnej kierunkowej oznaczanej zwycza-jowo przez f 0jh (x0) [czasem

@f@h (x0)} oraz pochodnych cz ¾astkowych f

0jei (x0) oz-

naczanych przez @f@xi

(x0) lub (za R.Sikorskim fji (x0) aby uniezale·znic si¾e odnazwy zmiennej a tylko jej numeru)

f�x0 (h) = limt!0

f (x0 + th)� f (x0)t

=Xm

i=1hi � fji (x0)

(gdy f =�f1; :::; fn

�to fji (x0) =

hf1ji (x0) ; :::; f

nji (x0)

i). Macierz

(Jf)x0 :=hf jji (x0)

ii�mj�n

nazywa si¾e macierz ¾a Jacobiego odwzorowania f w x0: Niech e1; :::; em b¾edziebaz ¾a wersorów osi wspó÷rz¾ednych w Rm zas ~e1; :::;~en - w Rn: Wtedy

f�x0 (ei) =Xm

k=1�ki �fjk (x0) = fji (x0) =

hf1ji (x0) ; :::; f

nji (x0)

i=

nXj=1

f jji (x0) �~ej

sk ¾ad macierzhaji

ii�mj�n

taka, ·ze

f�x0 (ei) =nXj=1

aji~ej

jest po prostu macierz ¾a Jacobiego odwzorowania f:Z elementarnej algebry liniowej wiemy, ·ze dim Im f�x0 = rank (Jf)x0 : Rz¾e-

dem odwzorowania f w x0 nazywa si¾e wymiar obrazu ró·zniczki dim Im f�x0 ;czyli rank (Jf)x0 : Odwzorowanie f nazywamy regularnym w x0 jesli jego rz ¾adjest maksymalny mo·zliwie, tzn. równy min (m;n) : Gdy m � n to rz ¾ad odw-zorowania regularnego jest n; równowa·znie ró·zniczka jest epimor�zmem. Norm ¾amacierzy Jacobiego (Jf)x0 nazywamy pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratówwszystkich podwyznaczników kwadratowych maksymalnego wymiarumin (m;n) :

47

Gdym = n jest to tzw. modu÷Jacobianu - t.j. modu÷wyznacznika det (Jf) (x0) =

dethf jji (x0)

i: Obserwujemy

det (Jf)x0 = dethf jji (x0)

ii�mj�n

= dethaji

ii�mj�n

; gdzie f�x0 (ei) =nXj=1

aji ej :

Gdy m = 1 t.j. f = c jest przebiegiem, wówczas macierz Jacobiego (Jc) (t) =h�c1�0(t) ; :::; (cn)

0(t)ijest po prostu wektorem stycznym do przebiegu c:

Jednym z podstawowych twierdzen z analizy jest

Theorem 82 (a) Gdy m � n i odwzorowanie f : Rm � ! Rn klasy C1jest regularne w x0 to istnieje otoczenie U [otwarte z def] punktu x0; x0 2U � takie, ·ze f jU : Rm � U ! f [U ] � Rn jest homeomor�zmem (tzn. jestró·znowartosciowe i odwrotne do niego f�1 : f [U ]! U jest ci ¾ag÷e, gdzie na f [U ]rozwa·zamy topologi ¾e indukowan ¾a z Rn:(b) (Twierdzenie o dyfeomor�zmie) Gdy m = n j f jest klasy Ck;

k = 1; 2; :::;1; to istnieje otoczenie U punktu x0 takie, ·ze f [U ] jest zbioremotwartym w Rn oraz f jU : Rn � U ! f [U ] � Rn jest dyfeomor�zmem klasyCk: Je·zeli f jest te·z globalnie ró·znowartosciowe to f [U ] jest zbiorem otwartymw Rn i f : Rm � ! f [] � Rn jest dyfeomor�zmem.

Remark 83 Dla m < n z tego, ·ze f jest regularne w ka·zdym punkcie i globalnieró·znowartosciowe nie wynika, ·ze jest homeomor�zmem ! (przyk÷ad: p ¾etelka).

5.2 Powierzchnie i przyk÷ady

De�nition 84 Powierzchni ¾a klasy C1 (tzn. g÷adk ¾a) w R3 nazywamy ka·zdyniepusty podzbiór S � R3 wraz z topologi ¾a indukowan ¾a z R3 o tej w÷asnosci, ·zedla dowolnego punktu x 2 S istnieje jego otoczenieW w S (a wi ¾ec otwarte w S) iodwzorowanie regularne klasy C1 ' : R2 � U ! R3 takie, ·ze Im' = ' [U ] =Wi ' : U ! W jest homeomor�zmem. Ka·zde takie odwzorowanie ' : U ! Wnazywa si ¾e parametryzacj ¾a [lokaln ¾a] powierzchni S: Odwzorowania odwrotne do' : U ! W czyli '�1 : W ! U nazywane s ¾a mapami lub systemami lokalnychwspó÷rz ¾ednych. Mapy cz ¾esto oznaczane s ¾a stylizowan ¾a liter ¾a x =

�x1; x2

�- na

powierzchni 2 wymiarowej s ¾a dwie wspó÷rz ¾edne dla danej mapy. Atlasem nazywasi ¾e zbiór map których dziedziny pokrywaj ¾a ca÷¾a powierzchni ¾e.

×atwo uogólnic t ¾a de�nicj¾e na hiperpowierzchnie klasy Ck wymiaru m wRn: Zwykle 1-wymiarowe hiperpowierzchnie nazywane s ¾a krzywymi i dlategounikamy tego terminu dla ÷uku czy przebiegu.Ci ¾ag÷osc odwzorowania odwrotnego '�1 : W ! U do parametryzacji nie

wynika z pozosta÷ych za÷o·zen (przyk÷ad p¾etelka mno·zona kartezjansko przezodcinek). Ale je·zeli ju·z sk ¾adin ¾ad wiemy, ·ze S jest powierzchnia to wynika:

Theorem 85 Je·zeli S jest powierzchni ¾a j/w to ka·zde ró·znowartosciowe odw-zorowanie regularne ' : U ! Im' =W � S klasy C1 jest parametryzacj ¾a, tzn.' : U ! Im' jest homeomor�zmem (odwrotne jest ci ¾ag÷e).

48

Dowód na wyk÷adzie analizy na rozmiatosciach na st. dokt.Pokazuje si¾e (dowód na analizie), ·ze ka·zdy punkt hiperpowierzchni k-wymiarowej

M � Rn ma parametryzacj¾e ', dla której odwrotna mapa x ='�1 jest rzu-towaniem na pewne k osi. U÷atwia to szereg obserwacji.

De�nition 86 Niech S b ¾edzie pow. j.w oraz '1 : U1 ! S i '2 : U1 ! S dwiemaparametryzacjami otoczen punktu x0 2 S; tzn. x0 2 W = Im'1 \ Im'2 � S:Funkcj ¾a przejscia od '1 do '2 (zmiana zmiennych) nazywamy odwzorowanie

'�12 � '1 : '�11 [W ]! '�12 [W ] :

Theorem 87 Funkcje przejscia s ¾a C1-dyfeomor�zmami.

Dowód na wyk÷adzie analizy na rozmaitosciach na st. dokt.

Theorem 88 Je·zeli F : R3 � ! R jest C1-odwzorowaniem oraz dla a 2ImF ka·zdy z punktów x 2 F�1 [fag] jest punktem regularnosci, tzn. F�x :R3 ! R jest epimor�zmem (równowa·znie jest niezerowe) to S = F�1 [fag] jestpowierzchni ¾a klasy C1:

Dowód na wyk÷adzie analizy na rozmaitosciach na st. dokt. Twierdzenieuogólnia si¾e na dowolne odwzorowanie F : Rm � ! Rn; m > n i wartoscregularn ¾a y 2 ImF; tzn. tak ¾a, ·ze w ka·zdym punkcie x 2 F�1 [fyg] ró·zniczka F�xjest epimor�zmem. Podzbiór F�1 [fyg] jest wtedy hiperpowierzchni ¾a wymiarum� n:

Example 89 (1) sfera S2 =�x2 + y2 + z2 = 1

jest powierzchni ¾a. Przyk÷adami

parametryzacji s ¾a np: 'i : K ((0; 0) ; 1) ! S2 dane wzorami poni·zszymi, któreparametryzuj ¾a pó÷sfery, znalezc przyk÷adowo funkcje przejscia

'1 (x; y) =�x; y;

p1� x2 � y2

�'2 (x; y) =

�x; y;�

p1� x2 � y2

�'3 (x; z) =

�x;p1� x2 � z2; z

�'4 (x; z) =

�x;�

p1� x2 � z2; z

�itd

(regularnosc, ró·znowartosciowosc i ci ¾ag÷osc odwrotnego - proste cwiczenie). Zostatniego twierdzenia ÷atwo zobaczyc, ·ze jest to powierzchnia. Rozwa·zamyfunkcje

F : R3 ! R; (x; y; z) 7�! x2 + y2 + z2;

S2 = F�1 [f1g] :

Poka·zemy, ·ze ka·zdy punkt x 2 S2 jest regularny. W tym celu liczymy macierzJacobiego w (x; y; z) 2 R3

(JF )x = [2x; 2y; 2z] :

49

Macierz ta ma rz ¾ad � 1 i równy niemaksymalnemu tylko gdy rz ¾ad= 0; a tak jesttylko dla x = y = z = 0 ale ten punkt nie le·zy w S2: Zatem S2 sk÷ada si ¾e tylkoz punktów regularnych sk ¾ad jest to powierzchnia.

Exercise 90 Pokazac, ·ze powierzchnia obrotowa S powsta÷a z obrotu wykresuC1-funkcji f (x) ; x 2 (a; b) ; f (x) > 0; dooko÷a osi OX; jest powierzchni ¾a.Znalezc jej parametryzacje. Hint: S =

�(x; y; z) ; x 2 (a; b) ; y2 + z2 = f2 (x)

:

Exercise 91 Pokazac, ·ze powierzchnia obrotowa S powsta÷a z obrotu przebieguy = ' (v) > 0; z = (v) ; wokó÷osi OZ jest powierzchni ¾a. Typowe parametryza-cje: do Carmo str 161.

Exercise 92 Przyk÷ady konkretne, narysowac: (a) katenoida: obrót linii ÷ancu-chowej wokó÷osi OX

y = a � cosh�xa

�; x 2 R;

(b) psedosfera, narysowac: obrót traktrysy (krzywej pogoni) wokó÷osi OY�x = a sin (u)y = a ln

�tan u2 + cosu

�; u 2

��2 ; �

�

50

(c) helikoida, narysowac: obrót odcinka wokó÷srodka z przesuwaniem od-cinka po linii prostopad÷ej do odcinka w jego srodku S = Im'; dla

' (u; t) = (u � cos t; u � sin t; v � t) ; u 2 R; t 2 (a; b) ; v > 0 jest ustalonym parametrem

Na rysunku zwrócmy uwag ¾e na porz ¾adek osi OX i OY (jest odwrotnie ni·z nor-malnie - za to zgodnie z plikiem animowanym)

(d) torus, narysowac: obrót okr ¾egu zawartego w p÷aszczyznie OXZ nie przeci-naj ¾acego osi OZ; np. okr ¾egu (x� 2)2 + z2 = 1; wokó÷osi OZ: Hint: dojsc do

51

równania torusa�p

x2 + y2 � 2�2+ z2 = 1: Podac parametryzacje.

(e) �wst ¾ega Möbiusa: rozwa·zamy okr ¾ag x2 + y2 = 4 i otwarty odcinek ABw p÷aszczyznie OY Z zadany równaniem y = 2; jzj < 1: Poruszamy srodek tegoodcinka po okr ¾egu obracaj ¾ac ten odcinek dwa razy wolniej, tzn. gdy srodek prz-sunie si ¾e po okr ¾egu o k ¾at u wówczas odcinek obrócimy o k ¾at u2 : Dojsc do równanparametrycznych

' (u; v) =

8<: x (u; v) =�2� v � sin u2

�sinu

y (u; v) =�2� v � sin u2

�cosu

z (u; v) = v � cos u2 ;;

u 2 (0; 2�) ; v 2 (�1; 1)u 2 (��; �) ; v 2 (�1; 1)

(problem z pokazaniem ci ¾ag÷osci odwrotnych odwzorowan). Na rysunku trzeba

52

zwrócic uwag ¾e na oznaczenia osi.

WYK×AD 10-12

De�nition 93 Niech S b ¾edzie j/w. Funkcj ¾e f : S ! R nazywamy klasy C1

(g÷adk ¾a) je·zeli dla ka·zdego punktu x0 2 S i pewnej [ka·zdej] parametryzacji ' :U ! S pewnego otoczenia punktu x0 zachodzi

f � ' : U ! R

jest klasy C1: Wszystkie funkcje g÷adkie na S oznaczamy C1 (S) ; jest to piers-cien, a nawet R-algebra. De�nicje mo·zna stosowac do dowolnych hiperpowierzchniM klasy Ck: Funkcje klasy Ck na M tworz ¾a j/w pierscien (R-algebr ¾e).

� Cwiczenie. Pokazuje si¾e, ·ze gdy f :M ! R; M � Rm; jest klasy Ck to dlaka·zdego punktu x0 2M istnieje jego otwarte otoczenie � Rm i funkcja g÷adka(w zwyk÷ym sensie t.j. o ci ¾ag÷ych pochodnych cz ¾astkowych ka·zdego rz¾edu) g :! R taka, ·ze f jS \ = gjS \ ; czyli inaczej mówi ¾ac, gdy f mo·zna lokalnierozszerzyc do funkcji g÷adkiej w zwyk÷ym sensie na zbiór otwarty w Rm:

De�nition 94 NiechM i N b ¾ed ¾a dwiema hiperpowierzchniami klasy Ck (wymi-ary mog ¾a byc ró·zne i mog ¾a byc zanurzone w ró·znych przestrzeniach Euklides-owych). Odwzorowanie

F :M ! N

nazywamy klasy Ck je·zeli dla ka·zdego punktu x0 2 M i pewnych [dowolnych]parametryzacji ' : U !M i : V ! N otoczen punktów x0 i F (x0) odpowied-nio, takich, ·ze F [Im'] � Im z÷o·zenie

�1 � F � '

jest klasy Ck: Je·zeli N = Rn to F =�F 1; :::; Fn

�jest klasy Ck gdy jego

wspó÷rz ¾edne F i s ¾a funkcjami klasy C� na M:

53

×atwo zobaczyc, ·ze z÷o·zenie odwzorowan klasy Ck mi¾edzy hiperpowierzch-niami jest te·z klasy Ck i, ·ze dla F :M ! N klasy Ck odwzorowanie

F � : Ck (N)! Ck (M) ; f 7�! f � F;

jest homomor�zmem pierscieni (R-algebr). Je·zeli F : M ! Rn jest g÷adkie ijego wartosci le·z ¾a na hiperp÷aszczyznie N � Rn to indukowane odwzorowanieF :M ! N jest te·z g÷adkie.

5.3 Wektory i przestrzenie styczne do powierzchni

Niech S � R3 b¾edzie j/w. Oznaczmy wspó÷rz¾edne w R3 przez (x; y; z) zas w R2przez (u; v) lub (u0; v0) :

De�nition 95 Wektorem stycznym do powierzchni S w punkcie p 2 S nazy-wamy wektor styczny c0 (0) 2 R3 do przebiegu c : (�"; ")! S klasy C1 takiego,·ze c (0) = p: (Analogiczna de�nicja obowi ¾azuje dla dowolnej hiperpowierzchni).

Theorem 96 Niech ' : U ! S b ¾edzie parametryzacj ¾a S w otoczeniu punktu p =' (q) ; q 2 U: Wówczas 2-wymiarowa przestrzen wektorowa Im'�q = '�q

�R2��

R3 pokrywa si ¾e ze zbiorem wszystkich wektorów stycznych do S w p:

Proof. Niech w = c0 (0) dla c jak w def. Wezmy �c ='�1 � c : (�"; ") ! U:Wówczas c =' � �c;�c (0) = q i

w = c0 (0) = (' � �c)0 (0) = '�q (�c0 (0)) 2 Im'�q:

Odwrotnie, niech w = '�q (v) ; v 2 R2: Wektor v jest styczny np. do przebiegu� : (�"; ")! U danego wzorem � (t) = q + t � v: St ¾ad

w = '�q (v) = '�q��0 (0)

�= (' � �)0 (0)

jest styczny do przebiegu ' � �:

Conclusion 97 Przestrzen wektorowa Im'�q nie zale·zy od wyboru parame-tryzacji ' i punktu q takiego, ·ze ' (q) = p:

Baz ¾a przestrzeni Im'�q; q = (u; v) ; jest uk÷ad wektorów

'�q

�@

@u jq

�; '�q

�@

@v jq

�oznaczany krócej przez

'ju (q) ; 'jv (q) :

Ró·zniczka'�(u;v) : R2 ! R3

okreslona jest wi¾ec wzorem

'�(u;v) (u0; v0) = u0 � 'ju (u; v) + v0 � 'jv (u; v) :

(Niech x ='�1 b¾edzie map ¾a odwrotn ¾a do '; wtedy wektory te [ogólnie na dowol-nej hiperpowierzchni M ] oznaczamy cz¾esto przez @

@xi jp).

54

De�nition 98 Przestrzen wektorow ¾a Im'�q � R3 nazywamy przestrzeni ¾a sty-czn ¾a do powierzchni S i oznaczamy przez TpS; gdzie p = ' (q) : tak wi ¾ec dlaustalonej parametryzacji ' : U ! S ró·zniczka '�q ustala izomor�zm liniowy

'�q : R2�=�! TpS; p = ' (q) :

Remark 99 Przestrzen styczna w x do hiperpowierzchni F�1 [fyg] (F (x) = y)dla wartosci regularnej y odwzorowania F : Rm � ! Rn; y 2 ImF; jest równa

Tx�F�1 [fyg]

�= kerF�x:

Istotnie, poniewa·z przestrzenie wektorowe Tx�F�1 [fyg]

�i kerF�x s ¾a tego samego

wymiaru wystarcza pokazac zawieranie w jedn ¾a stron ¾e. Niech v 2 Tx�F�1 [fyg]

�b ¾edzie wektorem stycznym do przebiegu c : (�"; ")! F�1 [fyg] : Wówczas

F�x (v) = F�x (c0 (0)) = (F � c)0 (0) = 0

bo F � c jest sta÷y, F � c (t) = y: St ¾ad v 2 kerF�x:

Zde�niujemy ró·zniczk¾e (df)p : TpM ! Tf(p)N odwzorowania mi¾edzy hiper-powierzchniami f :M ! N:

Lemma 100 Je·zeli v 2 TpM jest wektorem stycznym do przebiegu c : (�"; ")!M; v = c0 (0), wówczas wektor (f � c)0 (0) 2 Tf(p)N nie zale·zy od wyboru prze-biegu c: Oznaczamy go przez (df)p (v) : Odwzorowanie

(df)p : TpM ! Tf(p)N; v 7�! (df)p (v) ;

jest liniowe.

Proof. Wezmy dowoln ¾a parametryzacj¾e ' : U ! M w otoczeniu punktu p iprzebieg �c : (�"; ")! U taki, ·ze c = ' � �c: Oczywiscie c0 (0) = '�q (�c0 (0)) gdzieq = '�1 (p) : Je·zeli d jest innym przebiegiem naM takim, ·ze d0 (0) = v wówczas

v = c0 (0) = d0 (0) = '�q (�c0 (0)) = '�q

��d0 (0)

�i z monotonicznosci '�q wynika, ·ze �c

0 (0) = �d0 (0) : St ¾ad

(f � c)0 (0) = (f �' � �c)0 (0) = (f �')�q (�c0 (0)) = (f �')�q

��d0 (0)

�=

�f �' � �d

�0(0) = (f � d)0 (0) :

Poka·zemy teraz (wygl ¾adaj ¾acy na oczywisty) wzór

(df)p�'�q (w)

�= (f �')�q (w) ; w 2 Rm: ((*))

Wektor w jest styczny np. do przebiegu d : (�"; ")! U; d (t) = q + t � w: St ¾ad

(df)p�'�q (w)

�= (df)p

�'�q (d

0 (0))�= (df)p

�(' � d)0 (w)

�def= (f �' � d)0 (w) = (f �')�q (d

0 (0)) = (f �')�q (w) :

55

Poniewa·z (f �')�q : Rm ! Tf(p)N jest odwzorowaniem liniowym i '�q : Rm !TpM jest izomor�zmem, zas z (*) wynika, ·ze

(df)p = (f �')�q ��'�q

��1;

to (df)p jest odwzorowaniem liniowym jako superpozycja odwzorowan liniowych.

Odwzorowanie (df)p : TpM ! Tf(p)N nazywamy ró·zniczk ¾a odwzorowania fw punkcie p; albo odwzorowaniem stycznym do f w punkcie p: Jasne, ·ze je·zeliM = U jest otwartym podzbiorem przestrzeni Euklidesowej Rn to TpM = Rnoraz dla odwzorowania f : U ! N obie ró·zniczki (df)p i f�p s ¾a identyczne.Wykorzystuj ¾ac parametryzacje wokó÷danych punktów na hiperpowierzchni

jest jasne, ·ze zachodzi tw. o dyfeomor�zmie na hiperpowierzchniach tego samegowymiaru::

Theorem 101 Jesli f : M ! N jest g÷adkim odwzorowaniem mi ¾edzy hiper-powierzchniami tego samego wymiaru, p 2M; takim, ·ze (df)p : TpM ! Tf(p)Njest izomor�zmem. Wówczas istnieje otoczenie U �M punktu p takie, ·ze f [U ]jest otwartym podzbiorem N i

f jU : U ! f [U ]

jest dyfeomor�zmem.

6 Odwzorowanie Gaussa na powierzchni

6.1 Pola wektorowe na powierzchni

De�nition 102 Polem wektorowym (g÷adkim) na powierzchni S � R3 nazy-wamy odwzorowanie klasy C1

V : S ! R3

(pole jest g÷adkie gddy wspó÷rz ¾edne V i pola V =�V 1; V 2; V 3

�s ¾a funkcjami g÷ad-

kimi).Pole wektorowe V nazywamy styczne do S je·zeli

V (p) 2 TpS; dla ka·zdego p 2 S:

Notation 103 Dowolna parametryzacja ' : U ! S wyznacza 3 pola g÷adkie(g÷adkosc - proste cwiczenie) 'u; 'v; N okreslone na otwartym w S podzbiorze' [U ] :

� 'u (p) = 'ju�'�1 (p)

�; - pole styczne do S;

� 'v (p) = 'jv�'�1 (p)

�; - pole styczne do S;

56

� N' (p) = 'u (p)�'v (p) ; p 2 ' [U ] ; jest to pole prostopad÷e [normalne]do S: G÷adkosc pola N wynika z tego, ·ze jego wspó÷rz ¾edne s ¾a kombinacjamiiloczynów wspó÷rz ¾ednych pól 'u; 'v (2).

Poniewa·z dla ka·zdego p 2 ' [U ] wektory 'u (p) ; 'v (p) ; N' (p) stanowi ¾abaz¾e [dodatni ¾a] przestrzeni R3 to dla ka·zdego pola V na ' [U ] � S istniej ¾ajednoznacznie wyznczone funkcje �; �; : ' [U ]! R takie, ·ze

V = � � 'u + � � 'v + �N':

Proposition 104 Pole V jest g÷adkie gddy funkcje �; �; s ¾a g÷adkie.

Proof. "(= " oczywiste bo wspó÷rz¾edne pól 'u; 'v; N' s ¾a g÷adkie, to iwspó÷rz¾edne V i = � � 'iu + � � 'iv + �N i

' s ¾a g÷adkie."=) " CWICZENIE.{[�; �; ] (p) �A (p) =

�V 1; V 2; V 3

�(p) dla macierzy o wierszach 'u; 'v; N':

Jest to macierz nieosobliwa, wspó÷rz¾edne macierzy odwrotnej s ¾a g÷adkie sk ¾ad[�; �; ] (p) =

�V 1; V 2; V 3

�(p) �A�1 (p) s ¾a g÷adkie.}

6.2 Orientacja powierzchni

Przypomijmy, ·ze orientacj ¾a skonczenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wek-torowej V nazywamy klas¾e abstrakcji relacji równowa·znosci zgodnego zorien-towania baz tej przestrzeni. Przestrzen V wraz z wyborem jednej z dwu orien-tacji nazywamy przestrzeni ¾a wektorow ¾a zorientowan ¾a. Przyk÷adowo orientacj¾e(klas¾e abstrakcji) zorientowanej n-wym. przestrzeni wektorowej V oznaczmyprzez OV : Dla danej bazy (a1; :::; an) albo (a1; :::; an) 2 OV i wtedy mówimy obazie dodatniej albo (a1; :::; an) =2 OV i wtedy mówimy o bazie ujemnej.Aby zorientowac powierzchni¾e S � R3 nale·zy zorientowac ka·zd ¾a jej przestrzen

styczn ¾a TpS ale tak aby w pewien sposób orientacja zale·za÷a "w sposób ci ¾ag÷y"od punktu. Sposobem tym jest aby wybrac tak baz¾e dodatni ¾a w punkcie pi w otoczeniu U , (Vp0 ;Wp0) ; p

0 2 U; aby utworzone pola V i W by÷y ci ¾ag÷e.Przyk÷adem takich ci ¾ag÷ych pól mog ¾a byc 'u; 'v; dlatego przyjmiemy nast¾epu-j ¾ac ¾a d�nicj¾e.

De�nition 105 Powierzchni ¾e S nazywamy orientowaln ¾a [dwustronn ¾a] je·zelimo·zna tak wybrac orientacj ¾e ka·zdej przestrzeni wektorowej TpS; p 2 S; abyw otoczeniu ka·zdego punktu istnia÷a parametryzcja ' : U ! S taka, ·ze wektory('u (p) ; 'v (p)) tworzy÷y baz ¾e dodatni ¾a TpS dla p 2 U: Jesli S jest orientowalnai spójna to ma dwie mo·zliwe orientacje, S wraz z wyborem jednej z orientacjinazywamy powierzchni ¾a zorientowan ¾a. Ka·zd ¾a parametryzacj ¾e ' : U ! S taka,·ze wektory ('u (p) ; 'v (p)) tworz ¾a baz ¾e dodatni ¾a TpS dla p 2 U nazywamyparametryzacj ¾a zgodn ¾a z zadan ¾a orientacj ¾a. Dla dwu zgodnych parametryzacji' i macierz przejscia od bazy ('u (p) ; 'v (p)) do bazy ( u (p) ; v (p)) jestdodatnia (bo obie bazy s ¾a z tej samej orientacji przestrzeni TpS).

Przyk÷adem powierzchni nieorientowalnej (jednostronnej) jest tzw. wst¾egaMöbiusa

57

Figure 1: Wstega Mobiusa

Remark 106 Obserwacja: jesli ' i s ¾a dwiema parametryzacjami zorien-towanej powierzchni S z otoczenia punktu p 2 S; zgodnymi z zadan ¾a orientacj ¾a,to Jacobian funkcji przejscia '�12 � '1 od ' do ; czyli modu÷wyznacznika dlaq = ('1)

�1(p) ��J �'�12 � '1� (q)�� = ����'�12 � '1�jji (q)���i;j�2

jest dodatni. istotnie, poniewa·z baza wersorów (e1; e2) w R2 przechodzi przezró·zniczk ¾e parametryzcji na baz ¾e ('u (p) ; 'v (p)) [analogicznie dla ] to Ja-cobian ten (patrz ¾ac na pocz ¾atek wyk÷adu) jest dok÷adnie równy wyznacznikowimacierzy przejscia od bazy ('u (p) ; 'v (p)) do bazy ( u (p) ; v (p)) a wi ¾ec jestdodatni. Dla powierzchni zorientowanej wybieramy podatlas f'�g parametryza-cji zgodnych z zadan ¾a orientacj ¾a i atlas tem charakteryzuje si ¾e tym, ·ze funkcjeprzejscia maj ¾a dodatni Jacobian. Odwrotnie, maj ¾ac taki atlas mo·zemy jednoz-nacznie zorientowac powierzchni ¾e orientuj ¾ac TpS dla dowolnego p 2 S poprzezwybór orientacji wyznaczonej przez baz ¾e ('u (p) ; 'v (p)) dla dowolnej parame-tryzacji ' z tego atlasu (taka obserwacja pozwala uogólnic orientowalnosc nadowolne hiperpowierzchnie i rozmaitosci ró·zniczkowe).

Powierzchni¾e mo·zna tak·ze zorientowac równowa·znie (ogólniej ka·zd ¾a hiper-powierzchni¾e kowymiaru 1 czyli wymiaru n� 1 w Rn) za pomoc ¾a ci ¾ag÷ego polawektorowego jednostkowego i prostopadlego do S: Zaczniemy od pomocniczegolematu.

58

Lemma 107 Niech A =haji

ib ¾edzie macierz ¾a przejscia od bazy ('u (p) ; 'v (p))

do bazy ( u (p) ; v (p)) : Wówczas

u (p)� v (p) = detA � 'u (p)� 'v (p) :

Proof. Ze skosnej symetrii iloczynu wektorowego

u (p)� v (p) =�a11'u (p) + a

21'v (p)

���a12'u (p) + a

22'v (p)

�= 0 + a11a

22 � 'u (p)� 'v (p) + a

21a12 � 'v (p)� 'u (p) + 0

=�a11a

22 � a21a12

�� 'u (p)� 'v (p)

= detA � 'u (p)� 'v (p) :

Theorem 108 Powierzchnia S � R3 jest orientowalna gddy istnieje na niejci ¾ag÷e pole wektorowe niezeruj ¾ace si ¾e i prostopad÷e do S:

Proof. "=)" Niech S b¾edzie powierzchni ¾a zorientowan ¾a. W otoczeniu ka·zdegopunktu p 2 S wybieramy dowolnie parametryzacj¾e ' : U ! S zgodn ¾a z zadan ¾aorientacj ¾a. Wówczas pole wektorowe na Im'

N (p0) ='u (p

0)� 'v (p0)

k'u (p0)� 'v (p0)k

jest nie tylko ci ¾ag÷e, prostopad÷e do S ale jeszcze jednostkowe. W otoczeniu p niezale·zy ono od wyboru parametryzacji dzi¾eki poprzedniemu lematowi i dlategode�niuje globalnie okreslone pole wektorowe na S o szukanych w÷asnosciach."(=" Niech N : S ! R3 b¾edzie dowolnym ci ¾ag÷ym polem wektorowym na

S niezerowym i prostopad÷ym do S: Orientujemy ka·zd ¾a przestrzen TpS poprzezzadanie bazy (a; b) takiej, ·ze uk÷ad (a; b;N (p)) jest baz ¾a doatni ¾a R3: Dla dowol-nego punktu p 2 S wybierzmy dowolnie parametryzacj¾e ' z otoczenia spójnegopunktu p tak ¾a, aby w p wektory ('u (p) ; 'v (p)) tworzy÷y baz¾e dodati ¾a. Istniejewtedy dodatnia liczba r > 0 taka, ·ze 'u (p)� 'v (p) = � (p) �N (p) : Tak·ze jestfunkcja � niezerowa taka, ·ze 'u � 'v = � � N i równa r w p; � (p) = r: Zci ¾ag÷osci pól funkcja � jest ciag÷a, wi¾ec funkcja � > 0 co dowodzi, ·ze N zale·zyw sposób ci ¾ag÷y od punktu a tym samym, ·ze S jest orientowalna.Oczywiscie powierzchnia posiadaj ¾aca parametryzacj¾e globaln ¾a S = ' [U ] jest

orientowalna.

6.3 Odswzorowanie Gaussa

De�nition 109 Niech S b ¾edzie powierzchni ¾a zorientowan ¾a przez pole ci ¾ag÷eniezerowe prostopad÷e N : S ! R3: Skoro

kN (p)k = 1; p 2 S;

59

to wartosci pola N le·z ¾a na sferze 2-wymiarowej S2 � R3; pole N wyznacza wi ¾ecodwzorowanie (oznaczane t ¾a sam ¾a liter ¾a)

N : S ! S2

które nazywa si ¾e odwzorowaniem Gaussa powierzchni zorientowanej S: Jest onog÷adkie [CWICZENIE].

Remark 110 Wa·zna obserwacja. Poniewa·z N (p) 2 S2 to wektor wodz ¾acyN (p) (

����!0 N (p)) jest prostopad÷y do sfery S2 a sk ¾ad i do przestrzeni stycznej do

sfery w N (p) ;N (p) ? TN(p)S2:

Tak·ze przestrzen styczna TpS jest prostopad÷a do wektora N (p) ;

N (p) ? TpS;

zatem obie jako 2-wymiarowe przestrzenie wektorowe TN(p)S2 i TpS w R3 prostopad÷edo tego samego wektora N (p) s ¾a identyczne

TpS = TN(p)S2:

W konsekwencji ró·zniczka odwzorowania N w punkcie p 2 S jest liniowym en-domor�zmem przestrzeni wektorowej TpS

(dN)p : TpS ! TpS:

Remark 111 Je·zeli S = S2 jest sfer ¾a zorientowan ¾a na zewn ¾atrz przez pole �Nwówczas �N (p) =

�!0p = p (równosc wspó÷rz ¾ednych) i

�d �N�p= IdTpS ; zas gdy do

wewn ¾atrz przez pole=

N = � �N , to=

N (p) = ��!0p = �p i wtedy�d=

N

�p

= � IdTpS :

Poniewa·z dla dowolnej powierzchni S � R3 przestrzen styczna TpS jest pod-przestrzeni ¾a wektorow ¾a R3; mo·zna do niej obci ¾ac standardowy iloczyn skalarnyh�; �i : R3�R3 ! R; h(x; y; z) ; (x0; y0; z0)i =

P3i=1 xi �x0i otrzymuj ¾ac tak·ze iloczyn

skalarnyh�; �ip : TpS � TpS ! R

(czyli odwzorowanie dwuliniowe symetryczne i niezdegenerowane).

Exercise 112 Otrzymane pole iloczynów skalarnych h�; �ip; p 2 S; g÷adko zale·zyod p w tym sensie, ·ze dla dowolnych g÷adkich pól wektorowych stycznych doS; V1 i V2; ich iloczyn skalarny liczony punkt po punkcie jest funkcj ¾a g÷adk ¾ahV1; V2i : S ! R; hV1; V2i (p) = hV1 (p) ; V2 (p)ip: Pole tych iloczynów skalarnychnazywamy polem Riemanna powierzchni S:

Poni·zsza dedinicja jest ogólna dla dowolnej przestrzeni wektorowej z iloczynemskalarnym.

60

WYK×AD 13-15

De�nition 113 Niech W b ¾edzie skonczenie wymiarow ¾a przestrzeni ¾a wektorow ¾az iloczynem skalarnym h�; �i :W�W ! R: Endomor�zm A :W !W nazywamysamosprz ¾e·zonym je·zeli

hAv;wi = hv;Awi; dla v; w 2W:

Theorem 114 Dla powierzchni zorientowanej S ró·zniczka (dN)p : TpS ! TpSodwzorowania Gaussa w dowolnym punkcie p 2 S jest endomor�zmem samo-sprz ¾e·zonym h(dN)p (v) ; wip = hv; (dN)p (w)ip; dla v; w 2 TpS:

Proof. Z powodu dwuliniowosci iloczynu skalarnego wystarczy równosc sprawdzicdla wektorów (w1; w2) stanowi ¾acych dowoln ¾a ustalon ¾a baz¾e TpS:Wezmy parametryzacj¾e ' z otoczenia U punktu p = ' (u; v) i baz¾e ('u (p) ; 'v (p)) :

Poka·zemy równosc

h(dN)p ('u (p)) ; 'v (p)ip = h'u (p) ; (dN)p ('v (p))ip:

Poniewa·z

(dN)p ('u (p)) = (dN)p ('u (' (u; v))) = (dN)p

�'ju (u; v)

�(N � ')ju (u; v)

to wystarcza pokazac równosc funkcji na

h(N � ')ju ; 'jvi = h'ju;�N � 'jv

�:

Poniewa·z pole N jest prostopad÷e do S a pola 'u; 'v s ¾a styczne to

hN � ';'jui = hN � ';'jvi = 0: (22)

St ¾ad ró·zniczki tych funkcji po v i u s ¾a równe te·z zeru, s ¾a wi¾ec jednakowe.Ró·zniczkuj ¾ac je po v i u dostajemy

hN � ';'juijv = 0 = hN � ';'jvijuh(N � ')jv ; 'jui+ hN � ';'juvi = h(N � ')ju ; 'jvi+ hN � ';'jvui:

Skoro pochodne mieszane s ¾a równe to h(N � ')jv ; 'jui = h(N � ')ju ; 'jvi:

6.4 Teoria endomor�zmu samosprz¾e·zonego w wymiarze 2

Celem pragrafu jest pokazanie twierdzenia mówi ¾acego, ·ze dla endomor�zmusamosprz¾e·zonego istnieje baza ortonormalna w której macierz tego endomor-�zmu jest diagonalna.

Lemma 115 Niech W b ¾edzie dowoln ¾a skonczenie wymiarow ¾a przestrzeni ¾a wek-torow ¾a z iloczynem skalarnym h�; �i: Endomor�zm A : W ! W jest samo-sprz ¾e·zony gddy jego macierz w pewnej bazie ortonormalnej jest symetryczna.

61

Proof. Niech (a1; :::; an) b¾edzie baz ¾a ON przestrzeniW i niech A =haji

ib¾edzie

macierz ¾a endomor�zmu A w tej bazie. Skoro

hAai; aji = hXk

aki � ak; aji =Xk

aki � hak; aji =Xk

aki � �kj = aji

hai; Aaji = hai;Xk

akj aki = ::: = aij

tohAai; aji = hai; Aaji () aji = aij :

Dowód w stron¾e(= otrzymamay korzystaj ¾ac z dwuliniowosci iloczynu skalarnego.

Odwzorowanie liniowe A :W !W de�niuje odwzorowanie dwuliniowe

B : W �W ! RB (v; w) = hAv;wi:

Wprost z de�nicji widzimy, ·ze A jest samosprz¾e·zony gddy B jest symetryczne.

De�nition 116 Funkcj ¾e Q :W ! R nazywamy form ¾a kwadratow ¾a gdy istniejeodwzorowanie dwuliniowe symetryczne B :W �W ! R takie, ·ze

Q (v) = B (v; v) :

Exercise 117 ! Znajomosc formy kwadratowej Q wystarcza do odtworzenia en-domor�zmu A z uwagi na niezdegenerowanie iloczynu skalarnego h�; �i i równosc

hAv;wi = B (v; w) =1

2(Q (v + w)�Q (v)�Q (w)) : (23)

Exercise 118 Wykazac, ·ze dowolna forma kwadratowa Q na przestrzeni R2 zestandardowym iloczynem skalarnym jest postaci

Q (x; y) = a � x2 + 2b � x � y + c � y2: (24)

Pomocniczy Lemat:

Lemma 119 Je·zeli forma kwadratowa (24) na R2 po obci ¾eciu do okr ¾egu S1 :x2 + y2 = 1 ma maksimum w punkcie (1; 0) to b = 0:

Proof. Parametryzujemy okr ¾ag k ¾atem x = cos t; y = sin t i obliczamy

~Q (t) = Q (x (t) ; y (t)) = a � cos2 t+ 2b � cos t � sin t+ c � sin2 t= a � cos2 t+ b � sin 2t+ c � sin2 t:

Maksimum w punkcie (1; 0) = (cos 0; sin 0) formyQ na okr¾egu S1 jest równowa·znamaksimum funkcji ~Q (t) w punkcie t = 0 a to pociaga znikanie pochodnej tejfunkcji w tym punkcie ~Q0 (0) = 0. Skoro

~Q0 (t) = 2a � cos t � sin t+ 2b � cos 2t+ 2c � sin t � cos t

62

to~Q0 (0) = 2b = 0

daje równosc b = 0:

Proposition 120 Niech Q b ¾edzie form ¾a kwadratow ¾a na 2-wymiarowej przestrzeniwektorowejW z iloczynem skalarnym, wówczas istnieje baz ON (e1; e2) przestrzeniW taka, ·ze

Q (x � e1 + y � e2) = �1 � x2 + �2 � y2

dla pewnych liczb rzeczywistych �1 i �2; przy czym liczby te s ¾a równe odpowiedniomaksimum i minimum formy Q na okr ¾egu jednostkowym kvk = 1:

Proof. Niech �1 b¾edzie równe maksimum formy Q na ok¾egu kvk = 1 i oz-naczmy przez e1 wektor jednostkowy (ke1k = 1) dla którego �1 = Q (e1) :Wezmy dowolny drugi wektor jednostkowy e2 prostopad÷y do e1 i po÷ó·zmy �2 =Q (e2) : Uk÷ad wektorów (e1; e2) stanowi baz¾e ON przestrzeni W: Obliczamy dlav = x � e1+ y � e2 i odwzorowania dwuliniowego symetrycznego B :W �W ! Rwyznaczaj ¾acego Q

Q (v) = B (v; v) = B (x � e1 + y � e2; x � e1 + y � e2)= x2 �Q (e1) + x � y �B (e1; e2) + y � x �B (e2; e1) + y2 �Q (e2)= �1 � x2 + 2b � x � y + �2 � y2

dlab = B (e1; e2) :

Z za÷o·zenia Q ma maksimum w punkcie e1 = 1 � e1 + 0 � e2 co oznacza, ·ze

~Q (x; y) := �1 � x2 + 2b � x � y + �2 � y2

ma maksimum w punkcie (1; 0) : Z lematu pomocniczego b = 0 co daje równosc

Q (v) = �1 � x2 + �2 � y2

dla v = x � e1 + y � e2: Pozostaje sprawdzic, ·ze �2 jest równe minimum formyQ na okr¾egu kvk = 1: Okr ¾ag ten w bazie ON (e1; e2) sk÷ada si¾e z wektorówv = x � e1 + y � e2 dla których x2 + y2 = 1: Przede wszystkim �1 � �2 bo �1 jestwartosci ¾a maksymaln ¾a. Dla dowolnego wektora v jednostkowego

Q (v) = �1 � x2 + �2 � y2 � �2 � x2 + �2 � y2 = �2 ��x2 + y2

�= �2:

Theorem 121 Niech A : W ! W b ¾edzie odwzorowaniem samosprz ¾e·zonym nana 2-wymiarowej przestrzeni wektorowej W z iloczynem skalarnym h�; �i: Wów-czas istnieje baza ON (e1; e2) przestrzeni W dla której

A (e1) = �1 � e1 i A (e2) = �2 � e2

63

dla pewnych jednoznacznie wyznaczonych liczb rzeczywistych takich, ·ze �1 � �2:W takiej bazie macierz przekszta÷cenia A jest diagonalna i równa si ¾e�

�1 00 �2

�:

Liczby �1 i �2 s ¾a odpowiednio wartosci ¾a maksymaln ¾a i minimaln ¾a formy kwadra-towej Q (v) = hAv; vi na okr ¾egu jednostkowym fv : kvk = 1g :Wektory e1 i e2 s ¾a wektorami w÷asnymi przekszta÷cenia A zas �1 i �2 wartos-

ciami w÷asnymi przynale·znymi tym wektorom w÷asnym.Je·zeli �1 6= �2 to wektory e1 i e2 s ¾a wyznaczone jednoznacznie z dok÷adnosci ¾a

do sta÷ej �1 (tzn. kierunki wyznaczone przez wektory w÷asne s ¾a wyznaczonejednoznacznie).

Proof. Rozwa·zmy form¾e kwadratow ¾a Q (v) = hAv; vi: Na mocy Stwierdzeniaistnieje baza ON (e1; e2) w przestrzeni W taka, ·ze Q (x � e1 + y � e2) = �1 � x2 +�2 � y2; przy czym �1 i �2 s ¾a odpowiednio maximum i minimum wartosci formyQ na okr¾egu fv; kvk = 1g : Oczywiscie Q (e1) = �1 � �2 = Q (e2) : Pozostajesprawdzic równosci A (e1) = �1 � e1 i A (e2) = �2 � e2: Otó·z

hAe1; e1i = Q (e1) = �1 = h�1e1; e1i

zas z (23) hAv;wi = 12 (Q (v + w)�Q (v)�Q (w))

hAe1; e2i =1

2(Q (1 � e1 + 1 � e2)�Q (e1)�Q (e2)) =

1

2

��1 � 12 + �2 � 12 � �1 � �2

�= 0 = h�1e1; e2i:

Zatem z dwuliniowosci iloczynu skalarnego dla dowolnego wektora v

hAe1; vi = h�1e1; vi:

Z niezdegenerowania iloczynu skalarnego Ae1 = �1e1; analogicznie pokazujemydrug ¾a równosc A (e2) = �2 � e2:

6.5 Pierwsza i druga podstawowa forma kwadratowa powierzchni

Iloczyn skalarny h�; �ip : TpS � TpS ! R jako odwzorowanie dwuliniowe sym-etryczne indukuje form¾e kwadratow ¾a

Ip : TpS ! RIp (v) = hv; vip = kvk2 � 0:

De�nition 122 Forma kwadratowa Ip na przestrzeni TpS okreslona powy·zejjest nazywana pierwsz ¾a podstawow ¾a form ¾a kwadratow ¾a powierzchni S w punkciep:

Wyrazimy teraz pierwsz ¾a form¾e kwadratow ¾a I powierzchni S w termiachdowolnej parametryzacji ' : U ! S we wspó÷rz¾ednych (u; v) 2 U i bazie 'ju;'jv ('ju (u; v) = 'u (' (u; v)) ...): Wprost z de�nicji otrzymujemy:

64

Lemma 123 Dla wektora v = u0 �'ju (u; v)+v0 �'jv (u; v) i p = ' (u; v) zachodzi

Ip (v) = E (u; v) � (u0)2 + 2 � F (u; v) � u0 � v0 +G (u; v) � (v0)2

dla

E (u; v) = h'ju (u; v) ; 'ju (u; v)ip = 'ju (u; v) 2 ; (25)

F (u; v) = h'ju (u; v) ; 'jv (u; v)ip;

G (u; v) = h'jv (u; v) ; 'jv (u; v)ip = 'jv (u; v) 2 :

Na otoczeniu U mamy pole form kwadratowych

I (v) = E � (u0)2 + 2 � F � u0 � v0 +G � (v0)2 :

WspólczynnikiE;F;G nazywaj ¾a si¾e wspó÷czynnikami pierwszej formy kwadra-towej I w bazie 'ju; 'jv (t.j. dla parametryzacji ').

Exercise 124 Znalezc pierwsz ¾a form ¾e kwadratow ¾a dla (a) p÷aszczyzny P oparametryzacji ' (u; v) = p0 + u � w1 + v � w2 dla bazy ON (w1; w2) ; (b) dlahelikoidy ' (u; v) = (cosu; sinu; v) :

Exercise 125 Znalezc pierwsz ¾a form ¾e kwadratow ¾a powierzchni obrotowej ogól-nej z przyk÷adu (91) o prametryzacji ' (u; v) = (f (v) cosu; f (v) sinu; g (v)) ;a � v � b; 0 < u < 2�; f (v) > 0: W szczególnosci zastosowac dla katenoidyx = a cosh v; z = av; v 2 R:

Liniowy endomor�zm (dN)p : TpS ! TpS (z racji, ·ze jest samosprz¾e·zony)i iloczyn skalarny okreslaj ¾a odwzorowanie dwuliniowe symetryczne B (v; w) =h� (dN)p (v) ; wi a to z kolei wyznacza form¾e kwadratow ¾a.

De�nition 126 Niech S b ¾edzie powierzchni ¾a zorientowan ¾a zas N : S ! S2 jejodwzorowaniem Gaussa. Dla punktu p 2 S forma kwadratowa

IIp : TpS ! RIIp (v) = h� (dN)p (v) ; vi

wyznaczona przez samosprz ¾e·zone odwzorowanie � (dN)p : TpS ! TpS nazywasi ¾e drug ¾a podstawow ¾a form ¾a kwadratow ¾a powierzchni zorientowanej S:

Example 127 Dla sfery S2 zorientowanej przez pole skierowane na zewn ¾atrz�N; to IIp (v) = �hv; vi i w dowolnej bazie ON (e1; e2) mamy IIp (x � e1 + y � e2) =�x2�y2: Dla orientacji przeciwnej przez pole do wewn ¾atrz N; IIp (x � e1 + y � e2) =x2 + y2:

Exercise 128 Rozwa·zmy powierzchni ¾e obrotow ¾a S powsta÷¾a przez obrót krzywejz = y4 dooko÷a osi OZ: Napisac (standardow ¾a) parametryzacj ¾e globaln ¾a ' (u; v)i znalezc (z de�nicji) IIp (v) dla p = ' (u; v) : Zauwa·zyc, ·ze dla p = (0; 0; 0)IIp = 0:

65

Wyrazimy teraz drug ¾a form¾e kwadratow ¾a II powierzchni S w termiachdowolnej parametryzacji ' : U ! S we wspó÷rz¾ednych (u; v) 2 U i bazie 'ju;'jv:

Proposition 129 Dla wektora v = u0 � 'ju (u; v) + v0 � 'jv (u; v) i p = ' (u; v)zachodzi

IIp (v) = e (u; v) � (u0)2 + 2 � f (u; v) � u0 � v0 + g (u; v) � (v0)2

dla

e = hN � ';'juui; (26)

f = hN � ';'juvi;g = hN � ';'jvvi:

Wspólczynniki e; f; g nazywaj ¾a si¾e wspó÷czynnikami drugiej formy kwadra-towej II w bazie 'ju; 'jv (t.j. dla parametryzacji ').Proof.

IIp

�u0 � 'ju + v0 � 'jv

�= h� (dN)p

�u0 � 'ju + v0 � 'jv

�; u0 � 'ju + v0 � 'jvi

= �h(dN)p�'ju

�; 'jui � (u0)

2 ��h(dN)p

�'ju

�; 'jvi+ h(dN)p

�'jv

�; 'jui

�� u0 � v0 �

�h(dN)p�'jv

�; 'jvi � (v0)

2

= �h(N � ')ju 'jui � (u0)2 �

�h(N � ')ju 'jvi+ h(N � ')jv 'jui

�� u0 � v0 � h(N � ')jv 'jvi � (v

0)2:

Poniewa·z N i 'ju ('jv) s ¾a ON to hN � ';'jui = 0 = hN � ';'jvi sk ¾ad pozró·zniczkowaniu

h(N � ')ju ; 'jui+ hN � ';'juui = 0 (i)

h(N � ')jv ; 'jvi+ hN � ';'jvvi = 0 (ii)

h(N � ')jv ; 'jui+ hN � ';'juvi = 0 (iii)

h(N � ')ju ; 'jvi+ hN � ';'jvui = 0 (iv)

Z (iii) i (iv) wobec równosci pochodnych mieszanych

h(N � ')jv ; 'jui = h(N � ')ju ; 'jvi = �hN � ';'juvi = �hN � ';'jvui; (27)

co z (i) i (ii) daje tez¾e.

Exercise 130 Sprawdzic raz jeszcze z tych wzorów poprzednie cwiczenie.

66

7 Geometria zewn¾etrzna powierzchni

7.1 Krzywe na powierzchni

Niech S b¾edzie powierzchni ¾a zorientowan ¾a z odwzorowaniem Gaussa N : S !S2: Wezmy punkt p 2 S i przebieg naturalny c (s) 2 S; s 2 (�"; ") ; le·z ¾acy naS taki, ·ze c (0) = p którego moejsce s = 0 nie jest miejscem wyprostowania.Pole t =c0 jest polem wektorów stycznych jednostkowych i liczba � (p) = kt0 (0)kto krzywizna przebiegu c [nie zale·zy ona od orientacji c; tzn. dla przebiegu wprzeciwn ¾a stron¾e jest taka sama].Wektor t0 (0) nie jest na ogó÷styczny do S i rozk÷adamy go na cz¾esc styczn ¾a

t0s (0) i prostopad÷¾a [czyli tzw. normaln ¾a] t0n (0)

t0 (0) = t0s (0) + t0n (0) 2 TpS � Lin (N (p)) :

De�nition 131 Liczb ¾e �n (p) taka, ·ze

t0n (0) = �n (p) �N (p)

nazywamy krzywizn ¾a normalna przebiegu c na powierzchni S:

Krzywizna normalna oczywiscie zmienia znak przy zmianie orientacji powierzchniS (z pola N na �N) ale nie zmienia znaku przy zmiaanie orientacji przebieguc..

Lemma 132 �n = � � cos � dla � = ^ (N; t0) :

Proof.ht0; Ni = ht0s + t0n; Ni = ht0n; Ni = h�n �N;Ni = �n (28)

sk ¾ad

�n = ht0; Ni = kt0k �ht0; Nikt0k � kNk = � � cos �:

Theorem 133 �n (p) = IIp (c0 (0)) :

Proof. Oczywist ¾a równoschN � c; c0i = 0

ró·zniczkujemyh(N � c)0 ; c0i+ hN � c; c00i = 0

sk ¾ad

IIp (c0 (0)) = �h(dN)p (c

0 (0)) ; c0 (0)i = �h(N � c)0 (0) ; c0 (0)i

= hN � c (0) ; c00 (0)i = hN (p) ; t0 (0)i (28)= �n (p) :

67

Conclusion 134 (Meusnier) Krzywizna normalna �n (p) zale·zy jedynie od wek-tora stycznego do przebiegu c; tzn. wszystkie przebiegi c na zorientowanej powierzchniS maj ¾ace w punkcie p dany wektor styczny maj ¾a w tym punkcie takie same kzy-wizny normalne.

Exercise 135 Rozwa·zmy powierzchni ¾e obrotow ¾a z cwiczenia (128) z =�x2 + y2

�2:

Znalezc krzywizn ¾e normaln ¾a ze wzoru (28) przebiegu c (s) =�s � cos t; s � sin t; s4

�w miejscu s = 0 czyli punkcie (0; 0; 0) :

7.2 Krzywizny g÷ówne

Z wczesniejszych twierdzen: dla powierzchni zorientowanej S i punktu p 2 Sistnieje baza ON (e1; e2) przestrzeni stycznej TpS z÷o·zona z wektorów w÷asnychodwzorowania (dN)p : TpS ! TpS: Przy czym, je·zeli przyj ¾ac, ·ze

(dN)p (e1) = �k1 � e1; (29)

(dN)p (e2) = �k2 � e2

(czyli �k1; �k2 s ¾a wartosciami w÷asnymi odpowiadaj ¾acymi wektorom w÷asnyme1 i e2) i k1 � k2 to

IIp (e1) = k1 i IIp (e2) = k2

oraz, ·ze k1 i k2 realizuj ¾a maximum i minimum wartosci drugiej formy kwadra-towej IIp na okr¾egu jednostkowym S1 � TpS: Równowa·znie (z ostatniegotwierdzenia) k1 i k2 realizuj ¾a maximum i minimum krzywizny normalnej powierzchniS w p: W bazie (e1; e2) druga forma kwadratowa IIp ma postac

IIp (x � e1 + y � e2) = �h(dN)p (x � e1 + y � e2) ; x � e1 + y � e2i = x2 � k1 + y2 � k2:

Z tej postaci (i z wczesniejszych interpretacji) widac, ·ze�gdy k1 = k2 to wszystkie to wszystkie krzywizny normalne s ¾a jednakowe.

De�nition 136 Liczby k1 i k2 tj. max. i min. krzywizny normalnej powierzchnizorientowanej S w punkcie p nazywamy krzywiznami g÷ównymi pow. S w p:Kierunki wyznaczone przez wektory w÷asne odwzorowania (dN)p nazywami kierunk-ami g÷ównymi.

Gdy k1 6= k2 to istniej ¾a dok÷adnie dwa kierunki g÷ówne. Gdy k1 = k2 toka·zdy kierunek jest g÷ówny. Punkt p w którym k1 = k2 nazywa si¾e umbilikalny.

Exercise 137 Pokazac, ·ze na p÷aszczyznie i na sferze wszystkie kierunki s ¾ag÷ówne.

De�nition 138 Lini ¾a krzywiznow ¾a powierzchni S nazywamy przebieg regularnyc (t) le·z ¾acy na S taki, ·ze proste styczne do dowolnego jej punktu s ¾a kierunkamig÷ównymi.

68

Proposition 139 (Olinde Rodriques) Niech c (t) b ¾edzie przebiegiem regularnymklasy C1 na pow. zorientowanej S przez pole normalne N: Na to aby c by÷alini ¾a krzywiznow ¾a potrzeba i wystarcza aby istnia÷a funkcja klasy C1 taka, ·ze

(N � c)0 (t) = � (t) � c0 (t) :

Gdy � (t) jest tak ¾a funkcj ¾a, to � (t) jest krzywizn ¾a g÷ówn ¾a w kerunku c0 (t) :

Proof. Gdy c jest lini ¾a krzywiznow ¾a to (z def.) wektor c0 (t) jest wektoremw÷asnym odwzorowania (dN)p ; dla p = c (t) : St ¾ad, istnieje liczba � (t) taka,

·ze (dN)p (c0 (t)) = � (t) � c0 (t) czyli (N � c)0 (t) = � (t) � c0 (t) : G÷adkosc funkcji

� (t) wynika z równosci

� (t) =h(N � c)0 (t) ; c0 (t)i

kc0 (t)k :

Odwrotnie, gdy (N � c)0 (t) = � (t) � c0 (t) to (dN)p (c0 (t)) = � (t) � c0 (t) cooznacza, ·ze c0 (t) jest wektorem w÷asnym odwzorowania (dN)p czyli, ·ze kierunekwyznaczony przez wektor c0 (t) jest g÷ówny.

Theorem 140 (Formu÷a Eulera) Gdy k1 i k2 s ¾a krzywiznami g÷ównymi, (e1; e2)jest baz ¾a ON wektorów w÷asnych i zachodz ¾a zwi ¾azki (29) (dN)p (ei) = �ki � ei tokrzywizna normalna �n w kierunku jednostkowego wektora v = cos � �e1+sin � �e2wynosi

�n = k1 � cos2 � + k2 � sin2 �:

Proof.

�n = IIp (v) = �h(dN)p (v) ; vi= �h(dN)p (cos � � e1 + sin � � e2) ; cos � � e1 + sin � � e2i= hcos � � k1 � e1 + sin � � k2 � e2; cos � � e1 + sin � � e2i= k1 � cos2 � + k2 � sin2 �:

7.3 Krzywizna Gaussa, krzywizna srednia, klasy�kacja punk-tów powierzchni

Lemma 141 Je·zeli A : W ! W jest liniowym endomor�zmem n-wymiarowejrzeczywistej przestrzeni wektorowej W , (v1; :::vn) jest baz ¾a przestrzeni W i a =haji

ijest macierz ¾a przekszta÷cenia A a tej bazie, tzn. Avi = �ja

ji � vj ; to liczby

(a) det a;(b) tr a := a11 + :::+ a

nn /tzw. slad macierzy a;

nie zale·z ¾a od bazy (v1; :::; vn) :

69

Proof. Standard (algebra liniowa).(a) Dla bazy (w1; :::; wn) o macierzy przejscia x =

hxji

i; tj. wi = �jx

ji � vj

sk ¾ad vr = �j�x�1

�jrwj ; macierz b przekszta÷cenia A w bazie (wi) jest równa

b = x � a � x�1

Awi = A

Xk

xki � vk

!=Xk

xki �Avk =Xk;r

xki � ark � vr =Xk;r;j

xki � ark ��x�1

�jrwj :

Dlatego

bji =Xk;r

xki � ark ��x�1

�jr=�x � a � x�1

�ji;

b = x � a � x�1

det b = det�x � a � x�1

�= detx � det a � detx�1 = det a:

(b) Zauwa·zymy najpierw równosc

tr a =Xi

v�i (Avi) ;

gdzie (v�i ) jest baz ¾a dualn ¾a do bazy (vi) przestrzeni dualnej W� :

Xi

v�i (Avi) =Xi

v�i

0@Xj

aji � vj

1A =Xi;j

aji �v�i (vj) =Xi;j

aji ��ij =Xi

aii = tr a:

Dla innej bazy (wi) o macierzy przejscia x j/w macierz ¾a przejscia od bazydualnej (v�i ) do bazy dualnej (w

�i ) jest macierz transponowana

�x�1

�T: gdy

w�i = �yji � v�j to

yji = w�i (vj) = w�i

Xk

�x�1

�kjwk

!=Xk

�x�1

�kj� �ik =

�x�1

�ij=��x�1

�T�ji:

St ¾ad

Xi

w�i (Awi) =Xi

0@Xj

��x�1

�T�ji� v�j

1A A Xk

xki � vk

!!

=Xj;k

Xi

��x�1

�T�ji� xki � v�j (Avk) =

Xj;k

Xi

�x�1

�ij� xki � v�j (Avk)

=Xj;k

�x�1 � x

�kjv�j (Avk) =

Xj;k

�kj v�j (Avk) =

Xj

v�j (Avj) :

70

W/g powy·zszego twierdzenia mo·zna mówic o wyznaczniku i sladzie liniowegoendomor�zmu A :W !W:W dalszym ci ¾agu badania powierzchni S zorientowanej przez odwzorowanie

Gaussa N : S ! S2 wykorzystamy liczbowe charakterystyki endomor�zmu(dN)p : TpS ! TpS; jego wyznacznik i slad

det (dNp) ; tr (dNp) :

De�nition 142 (a) Liczb ¾e K = det (dNp) nazywamy krzywizn ¾a Gaussa powierzchniS w punkcie p;(b) liczb ¾e H = � 12 � tr (dNp) nazywamy krzywizn ¾a sredni ¾a powierzchni S w

punkcie p:

W bazie ON (e1; e2) dla której zachodz ¾a równosci (29) (dN)p (ei) = �ki � eimacierz przekszta÷cenia (dN)p jest postaci�

�k1 00 �k2

�sk ¾ad

K = k1 � k2 - iloczyn krzywizn g÷ównych,

H =1

2(k1 + k2) - srednia arytmetyczna krzywizn g÷ównych.

Lemma 143 Krzywizny g÷ówne k1; k2 spe÷niaj ¾a równanie kwadratowe

k2 � 2H � k +K = 0;

w szczególnosci wyró·znik tego równania 4H2 � 4K � 0; t.j.

H2 �K � 0;

iki = H �

pH2 �K:

Proof.

2H = k1 + k2;

ki = 2H � kj ; i 6= j:

Zatem dla i 6= j

K = kj � ki = kj � (2H � kj) = �k2j + 2H � kj

co oznacza, ·ze obie krzywizny spe÷niaj ¾a równanie k2 � 2H � k + K = 0: Jegowyró·znik jest wi¾ec nieujemny 4H2 � 4K � 0; t.j. H2 � K � 0 i ki = H �pH2 �K:

71

Z powy·zszego wynika, ·ze liczby K i H determinuj ¾a jednoznacznie krzywiznyg÷ówne k1 i k2 (o ile przyj ¾ac k1 � k2)Uzmienniaj ¾ac punkt p 2 S otrzymujemy dwie funkcje rzeczywiste

k1; k2 : S ! R:

Poniewa·z det (dN)p i tr (dNp) s ¾a funkcjami klasy C1 punktu p [wybieramy

dowolnie baz¾e stycznych pól g÷adkich w otoczeniu p i dla tych wektorów liczymymacierz (dN)p i te dwie liczby] to funkcje H i K s ¾a klasy C1: Wzory ki =

H �pH2 �K pokazuj ¾a, ·ze krzywizny g÷ówne k1 i k2 s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi na

S i co wi¾ecej wsz¾edzie oprócz byc mo·ze punktów umbilikalnych (gdy k1 = k2) -równowa·znie gdy H2 �K = 0 - s ¾a funkcjami klasy C1:

De�nition 144 (Klasy�kacja punktów powierzchni zorientowanej). Punkt p 2S nazywa si ¾e1) eliptyczny gdy K > 0;2) hieperboliczny gdy K < 0;3) paraboliczny gdy K = 0 i (dN)p 6= 0;4) p÷aski gdy (dN)p = 0; wówczas k1 = k2 = 0 sk ¾ad K = 0 i

IIp = 0:

Remark 145 Klasy�kacja punktów powierzchni jest niezale·zna od wyboru ori-entacji tej powierzchni bowiem po zmianie orientacji N na �N mamy (d (�N))p =� (dN)p ; co wobec parzystosci wymiaru przestrzeni TpS daje równosc wyznacznikówdet (d (�N))p = det (dN)p czyli krzywizn Gaussa. Powy·zsz ¾a klasy�kacj ¾e mo·znarównie·z przeprowadzic dla powierzchni nieorientowalnej S; mianowicie, wystar-czy w tym celu zorientowac pewne otoczenie punktu i sprawdzic która z powy·zszychewentualnosci zachodzi dla tego kawa÷ka zorientowanej powierzchni.

Remark 146 (1) W punkcie eliptycznym krzywizna Gaussa jest dodatnia, wi ¾ecobie krzywizny g÷ówne s ¾a tego samego znaku. Zgodnie z formu÷¾a Eulera (�n =k1 � cos2 � + k2 � sin2 � w kierunku v = cos � � e1 + sin � � e2) krzywizny normalnew dowolnym kierunku s ¾a niezerowe i s ¾a tego samego znaku. Zatem, wszystkieprzebiegi przechodz ¾ace przez ten punkt maj ¾a wektor normalny t0n skierowany wt ¾e sam ¾a stron ¾e p÷aszczyzny stycznej (t0n = �n �N).W poni·zszych de�nicjach wykorzystac tylko de�nicje krzywiznyCWICZENIE. Np. na sferze ka·zdy punkt jest eliptyczny. Sfera ma sta÷¾a

dodatni ¾a krzywizn ¾e Gaussa.CWICZENIE. Na paraboloidzie z = x2 + ky2; k > 0; krzywizny g÷ówne w

punkcie (0; 0; 0) s ¾a równe �2; �2k; s ¾a wi ¾ec obie ujemne.(2) W punkcie hiperbolicznym krzywizna Gaussa jest ujemna, wi ¾ec krzywizny

g÷ówne s ¾a ró·znych znaków.CWICZENIE ! Pokazac, ·ze krzywzina Gaussa pseudosfery jest sta÷a

ujemna.(3) W punkcie parabolicznym krzywizna Gaussa jest równa 0; st ¾ad jedna z

krzywizn g÷ównych jest 0 a druga jest 6= 0:Np. wszystkie punkty na cylindrze s ¾a paraboliczne (cwiczenie).

72

(4) W punkcie sp÷aszcznia obie krzywizny g÷ówne s ¾a równe 0:P÷aszczyzna ma krzywizn ¾e Gaussa sta÷¾a równa 0:Np. na powierzchni obrotowej z = x4+ y4 punkt (0; 0; 0) jest takim punktem

(cwiczenie).

Example 147 Sklasy�kowac punkty powierzchni obrotowej powsta÷ej z obrotukrzywej z = y3 dooko÷a osi OY (narysowac najpierw powierzchni ¾e i przewidziecrezultat)/

Remark 148 W punkcie umbilikalnym (k1 = k2 = k) (dN)p (ei) = �k �ei sk ¾ad(dN)p = �k � Id: Zatem

IIp (v) = h� (dN)p (v) ; vi = hk � v; vi = k � Ip (v)

co znaczy, ·ze pierwsza i druga forma kwadratowa Ip i IIp s ¾a proporcjonalne.Odwrotnie, gdy IIp (v) = k �Ip (v) dla pewnej liczby k wówczas krzywizny g÷ówneki musza byc obie równe k (niech ei b ¾edzie baz ¾a ON dla której (dN)p (ei) =�ki � ei; wtedy dla v = vi mamy k � hei; eii = IIp (ei) = h� (dN)p (ei) ; eii = ki).

Theorem 149 Je·zeli wszystkie punkty spójnej powierzchni S s ¾a umbilikalne toalbo S � S2r (p0) albo S �p÷aszczyzna.

Dowód pomijamy. do Carmo str 155.

WYK×AD 16-18

7.4 Odwzorowanie Gaussa i jego rózniczka w dowolnychwspó÷rz¾ednych

Niech ' b¾edzie dowoln ¾a parametryzacj ¾a zorientowanej przez pole N powierzchniS zgodn ¾a z zadan ¾a orientacj ¾a (tzn. 'u � 'v = C � N dla C > 0). Wtedyodwzorowanie Gaussa N = 'u�'v

k'u�'vk: Przypomnijmy, ·ze w bazie 'ju; 'jv formy

Ip i IIp maj ¾a postac

Ip (v) = E � (u0)2 + 2 � F � u0 � v0 +G � (v0)2

IIp = e � (u0)2 + 2 � f � u0 � v0 + g � (v0)2

dla pierwszej formy (25)

E = h'ju; 'juip = 'ju 2 ;

F = h'ju; 'jvip;

G = h'jv; 'jvip = 'jv 2 ;

i dla drugiej (26)

e = hN � ';'juui;f = hN � ';'juvi;g = hN � ';'jvvi:

73

De�nition 150 Liczby

E �G� F 2 oraz e � g � f2

nazywaj ¾a si ¾e odpowiednio wyró·znikiem pierwszej i drugiej formy kwadratowejpodstawowej powierzchni S w punkcie p:

Poniewa·z liczba

E �G� F 2 = 'ju 2 � 'jv 2 � h'ju; 'jvi2 = 'ju � 'jv 2

jest (geometria analityczna - proste cwiczenie) kwadratem pola równoleg÷obokurozpi¾etego na wektorach liniowo niezale·znych 'ju i 'jv to jest dodatnia, zatemwyró·znik pierwszej formy kwadratowej jest dodatni

E �G� F 2 > 0:

Proposition 151 Wspó÷czyniki macierzy przekszta÷cenia (dN)p : TpS ! TpSw bazie ('u; 'v)

(dN)p ('u) = a11 � 'u + a21 � 'v(dN)p ('v) = a12 � 'u + a22 � 'v

równowa·znie

(N � ')ju = a11 � 'ju + a21 � 'jv (30)

(N � ')jv = a12 � 'ju + a22 � 'jv

okreslone s ¾a poprzez zwi ¾azek macierzowy��e �f�f �g

�=

�a11 a21a12 a22

���E FF G

�: (31)

Natomiast bezposrednio przez równosci

a11 =fF � eGEG� F 2 ; a21 =

eF � fEEG� F 2 ; a12 =

gF � fGEG� F 2 ; a22 =

fF � gEEG� F 2 : (32)

Proof. Wczesniej wykazlismy równosci (27)

h(N � ')jv ; 'jui = h(N � ')ju ; 'jvi = �hN � ';'juvi = �hN � ';'jvui

oraz (i) - (iv)

h(N � ')ju ; 'jui+ hN � ';'juui = 0 (i)

h(N � ')jv ; 'jvi+ hN � ';'jvvi = 0 (ii)

h(N � ')jv ; 'jui+ hN � ';'juvi = 0 (iii)

h(N � ')ju ; 'jvi+ hN � ';'jvui = 0 (iv)

74

Z postaci wspólczynników e; f; g otrzymujemy

�e = �hN � ';'juui = h(N � ')ju ; 'jui = ha11 � 'ju + a21 � 'jv; 'jui = a11 � E + a21 � F;

�f = �hN � ';'juvi = h(N � ')jv ; 'jui = ha12 � 'ju + a22 � 'jv; 'jui = a12 � E + a22 � F;

= �hN � ';'jvui = h(N � ')ju ; 'jvi = ha11 � 'ju + a21 � 'jv; 'jvi = a11 � F + a21 �G

�g = �hN � ';'jvvi = h(N � ')jv ; 'jvi = ha12 � 'ju + a22 � 'jv; 'jvi = a12 � F + a22 �G:

czyli macierzowo (31). St ¾ad te·z�a11 a21a12 a22

�=

��e �f�f �g

���E FF G

��1=

��e �f�f �g

��� G

EG�F 2 � FEG�F 2

� FEG�F 2

EEG�F 2

�=

"�eG+fFEG�F 2

eF�fEEG�F 2

�fG+gFEG�F 2

fF�gEEG�F 2

#:

De�nition 152 Równania (30) w których wspó÷czynniki aji okreslone s ¾a wzo-rami (32) nazywaj ¾a si ¾e wzorami Weingartena.

Theorem 153 (a) Krzywizna Gaussa K jest równa ilorazowi wyró·zników drugieji pierwszej formy kwadratowej

K =eg � f2EG� F 2 :

(b) Krzywizna srednia H wyra·za si ¾e wzorem

H =1

2� eG� 2fF + gE

EG� F 2 :

Proof. (a)

K = dethaji

i= det

���e �f�f �g

��� G

EG�F 2 � FEG�F 2

� FEG�F 2

EEG�F 2

��= (�1)2

�eg � f2

� EG� F 2

(EG� F 2)2

=eg � f2EG� F 2 :

(b)

H = �12� tr (dNp) = �

1

2��a11 + a

22

�= �1

2���eG+ fFEG� F 2 +

fF � gEEG� F 2

�=

1

2� eG� 2fF + gE

EG� F 2 :

75

Conclusion 154 Poniewa·z EG�F 2 > 0 to o charakterze punktu decyduje znakwyró·znika drugiej formy kwadratowej eg � f2:

Mo·zna dowiesc (pominiemy dowody), ·ze jesli p 2 S jest punktem elipty-cznym to istnieje otoczenie tego punktu le·z ¾ace ca÷kowicie po jednej stroniep÷aszczyzny stycznej. Jesli p 2 S jest punktem hiperbolicznym to dowolnieblisko p le·z ¾a punkty po obu stronach p÷aszczyzny stycznej.

Exercise 155 Obliczyc krzywizn ¾e Gaussa ró·znych punktów na torusie (zobaczycrysunkowo).

Exercise 156 Obliczyc krzywizn ¾e Gaussa ró·znych punktów powierzchni obro-towej (zobaczyc rysunkowo) z Przyk÷adu ogólnego (91) a nast ¾epnie uszczegó÷owicwynik gdy przebieg y = ' (v) > 0; z = (v) jest naturalny (wyczuc klasy�kacjerysunkowo) do Carmo 261-162.

Exercise 157 Obliczyc krzywizn ¾e Gaussa powierzchni S która jest wykresemfunkcji ró·zniczkowalnej z = h (x; y) ; (x; y) 2 U:Zastosowac rezultat dla kwadryg niezdegenerowanych (wspólczynniki a; b; c

> 0 ): - (zrobic rysunki)

Example 158 � � elipsoida, x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 � 1 = 0; rozwa·zyc po÷ow ¾e

z = c

r�1� x2

a2 +y2

b2

�� hiperboloida jednopow÷okowa, x

2

a2 +y2

b2 �z2

c2 � 1 = 0; rozwa·zyc po÷ow ¾ez = c

qx2

a2 +y2

b2 � 1

� hiperboloida dwupow÷okowa, x2

a2 +y2

b2 �z2

c2 + 1 = 0; rozwa·zyc po÷ow ¾e

z = cq

x2

a2 +y2

b2 + 1

� paraboloida eliptyczna, z = x2

a2 +y2

b2 ;

� paraboloida hiperboliczna, z = x2

a2 �y2

b2 ; lub gdy a = b to tak·ze z = axy

� sto·zek, x2

a2 +y2

b2 �z2

c2 = 0; rozwa·zyc po÷ow ¾e z = cq

x2

a2 +y2

b2 :

Example 159 Powierzchnie obrotowe o sta÷ej krzywiznie. Rozwa·zmyparametryzacje �' (u; v) = (' (v) cosu; ' (v) sinu; (v)) ; ' (v) > 0, o naturalnejparametryzacji tworz ¾acej (' (v) ; (v)) ; t.j. ('0 (v))2+

� 0 (v)

�2= 1; (Zad 7 a-e

do Carmo str 169-170(a) K = �'

00

' ;

(b) Klasy�kacja powierzchni o krzywiznie sta÷ej +1, przecinaj ¾acych prostopa-dle os OXY :

' (v) = C cos v; (v) =

Z v

o

p1� C2 sin2 vdv; C > 0

76

(zakres zmiennosci taki, aby ca÷ka mia÷a sens), tylko gdy C = 1 mamy sfer ¾e[zatem: krzywizn ¾e sta÷¾a +1 maj ¾a nie tylko sfery!](c) Klasy�kacja powierzchni o krzywiznie sta÷ej K = �11)

' (v) = C cosh v; (v) =

Z v

0

p1� C2 sinh2 vdv;

2)

' (v) = C sinh v; (v) =

Z v

0

p1� C2 cosh2 vdv;

3)

' (v) = ev; (v) =

Z v

0

p1� e2vdv;

znalezc zakresy na v i rzuty na p÷aszczyzn ¾e OXZ.Hint (ca÷kujemy równanie z (a)(d) tylko 3) jest pseudosfer ¾a [zatem krzywizn ¾e sta÷¾a -1ma nie tylko pseudos-

fera ma !](e) jedyne obrotowe o krzywiznie K = 0 sa(1) cylindry(2) sto·zki obrotowe(3) oraz p÷aszczyzna (jak sobie wyobrazic p÷aszczyzn ¾e jako powierzchni ¾e obro-

tow ¾a?)

8 Geometria wewn¾etrzna powierzchni

8.1 Izometrie

De�nition 160 Niech S i �S b ¾ed ¾a dowolnymi powiwrzchniami. Dyfeomor�zmf : S ! �S nazywamy izometri ¾a je·zeli dla dowolnego p 2 S i w1:w2 2 TpS

hw1; w2ip = h(df)p w1; (df)p w2if(p):

Lemma 161 Dyfeomor�zm f : S ! �S jest izometri ¾a gddy zachowuje pierwsze

formy kwadratowe, tzn. Ip (w) = If(p)

�(df)p w

�; p 2 S; w 2 TpS:

Proof. "=)" Jesli f : S ! �S jest izometri ¾a to

Ip (w) = hw;wip = h(df)p w; (df)p wif(p) = If(p)

�(df)p w

�:

"(=" Jesli f zachowuje pierwsze formy kwadratowe to na mocy (23) -wyra·zanie formy dwuliniowej przez stowarzyszon ¾a form¾e kwadratow ¾a -

hw1; w2ip =1

2� (Ip (w1 + w2)� Ip (w1)� Ip (w2))

=1

2��If(p)

�(df)p (w1) + (df)p (w2)

�� If(p)

�(df)p (w1)

�� II(p)

�(df)p (w2)

��= h(df)p (w1) ; (df)p (w2)ip:

77

Proposition 162 Niech ' : U ! S i �' : U ! �S b ¾ed ¾a parametryzacjamipowierzchni S i �S takimi, ·ze wspó÷czynniki pierwszych form kwadratowych E;F;Gi �E; �F ; �G (s ¾a to funkcje na przestrzeni parametrów U) s ¾a odpowiednio sobierówne

E = �E; F = �F ; G = �G:

Wtedy dyfeomor�zmf := �' � '�1 : ' [U ]! �' [U ]

jest izometri ¾a.

Proof. Wezmy p 2 ' [U ] ; p = ' (u; v) i w 2 TpS;

w = '�(u;v) (u0; v0) = u0 � 'ju + v0 � 'jv;

Wtedy

(df)p (w) = d��' � '�1

�p

�'�(u;v) (u

0; v0)�=��' � '�1 � '

��(u;v) (u

0; v0)

= �'�(u;v) (u0; v0) = u0 � �'ju + v0 � �'jv

Poka·zemy ·ze f zachowuje pierwsze formy kwadratowe

Ip (w) = Ip

�u0 � 'ju + v0 � 'jv

�= E (u; v) � (u0)2 + 2F (u; v) � u0 � v0 +G (u; v) � (v0)2

= �E (u; v) � (u0)2 + 2 �F (u; v) � u0 � v0 + �G (u; v) � (v0)2

= If(p)

�u0 � �'ju + v0 � �'jv

�= If(p)

�(df)p (w)

�:

Example 163 Cylinder i p÷aszczyzna s ¾a lokalnie izometryczne. Rozwa·zmy cylin-der S = S1�R i p÷aszczyzn ¾e � = p+Lin (w1; w2) gdzie (w1; w2) jest baz ¾a ON.Parametryzacjami s ¾a

' (u; v) = (cosu; sinu; v) ; u 2 (0; 2�) ; v 2 R; /druga u 2 (��; �)�' (u; v) = p+ u � w1 + v � w2; u; v 2 R:

Obliczamy trywialnie wspó÷czynniki (cwiczonko) pierwszych form kwadratowychE = �E = 1; F = �F = 0; G = �G = 1 co dowodzi, ·ze f = �'�'�1 jest izometri ¾acylindra S pozbawionego jednego po÷udnika i otwartego podzbioru p÷aszczyzny �:

Exercise 164 Katenoida i helikoida s ¾a lokalnie izometryczne. HINT: zmienicparametryzacje helikoidy �' (�u; �v) = (�v � cos �u; �v � sin �u; �u) na now ¾a sk÷adaj ¾ac zdyfeomor�zmem �v = a � sinh v; �u = u: Zobaczyc plik ruchomy Helicatenoid.gif.

78

Lemma 165 Gdy f : S ! �S jest izometri ¾a, to d÷ugosc ÷uku c na S równa si ¾ed÷ugosci jego obrazu f � c na �S:

Proof.

dl (c) =

Z b

a

kc0 (t)k dt =Z b

a

qIc(t) (c0 (t))dt =

Z b

a

qIf�c(t)

�dfc(t)c0 (t)

�dt

=

Z b

a

qIf�c(t)

�(f � c)0 (t)

�dt =

Z b

a

(f � c)0 (t) dt = dl (f � c) :

Remark 166 Na spójnej powierzchni S mo·zna wprowadzic odleg÷osc punktówwzorem

d (p; q) = inf dl (c) ;

gdzie c przebiega zbiór wszystkich przebiegów ÷¾acz ¾acych p i q: Wtedy d jestmetryk ¾a i topologia wyznaczona przez t ¾e metryk ¾e jest identyczna z topologi ¾apowierzchni S indukowan ¾a z R3: Dyfeomor�zm f : S ! �S jest izometri ¾a gddyzachowuje odleg÷osc.

8.2 Twierdzenie Egregium Gaussa (Remarkable theorem;twierdzenie wyj ¾atkowe)

Niech S b¾edzie powierzchni ¾a zorientowan ¾a i ' : U ! S jej parametryzacj ¾a. Dlap 2 ' [U ] ; p = ' (u; v) ; trójka wktorów

('u (p) ; 'v (p) ; N (p))

to jest �'ju (u; v) ; 'jv (u; v) ; �N (u; v)

�gdzie �N (u; v) = N � ' (u; v) ; stanowi baz¾e przestrzeni R3: Mo·zna wi¾ec przed-stawic wektory 'juu; 'juv; 'jvv; w tej bazie:

'juu = �111 � 'ju + �211 � 'jv + L1 � �N (33)

'juv = �112 � 'ju + �212 � 'jv + L2 � �N= 'jvu = �

121 � 'ju + �221 � 'jv + L2 � �N

'jvv = �122 � 'ju + �222 � 'jv + L3 � �N

De�nition 167 �kij nazywamy symbolami Christo¤ela parametryzacji ': S ¾a tofunkcje klasy C1 na U:

Example 168 Dla plaszczyzny � = p+Lin (w1; w2) o parametryzacji ' (u; v) =p+ u � w1 + v � w2; u; v 2 R; mamy

'ju = w1; 'jv = w2; 'juu = 'juv = 'jvv = 0

wi ¾ec�kij = 0:

79

Example 169 Obliczyc wspólczynniki Christo¤ela dla powierzchni obrotowej(91) - podane s ¾a do Carmo 255.

E;F;G; e; f; g to wspólczynniki form I i II dla parametryzacji.

Theorem 170 Zachodz ¾a zwi ¾azki:(a) �112 = �

121; �

212 = �

221; - symetria w dolnych wskaznikach,

(b) L1 = e; L2 = f; L3 = g;(c)

�111 � E + �211 � F =1

2� Eju (34)

�111 � F + �211 �G = Fju �1

2� Ejv

�112 � E + �212 � F =1

2� Ejv (35)

�112F + �212 �G =

1

2�Gju

�122 � E + �222 � F = Fjv �1

2�Gju (36)

�122 � F + �222 �G =1

2�Gjv

Proof. (a) oczywiste.(b) dostajemy po wykorzystaniu wzorów (26) e = hN � ';'juui; f = hN �

';'juvi; g = hN � ';'jvvi i pomno·zeniu równan (33) skalarnie przez �N:(c) Pierwsze z równan (33 mno·zymy skalarnie przez 'ju

h'juu; 'jui = h�111 � 'ju + �211 � 'jv + L1 � �N;'jui = �111 � E + �211 � F + 0:

Z drugiej strony

Eju = h'ju; 'juiju = h'juu; 'jui+ h'ju; 'juui = 2 � h'juu; 'jui

sk ¾ad otrzymujemy pierwszy ze wzorów (34)

�111 � E + �211 � F = h'juu; 'jui =1

2Eju:

Aby dostac drugi mno·zymy skalarnie przez 'jv

h'juu; 'jvi = h�111 � 'ju + �211 � 'jv + L1 � �N;'jvi = �111 � F + �211 �G+ 0:

Z drugiej strony

Ejv = h'ju; 'juijv = h'juv; 'jui+ h'ju; 'juvi = 2 � h'ju; 'juvi;

80

Fju = h'ju; 'jviju = h'juu; 'jvi+ h'ju; 'jvui = h'juu; 'jvi+1

2Ejv

sk ¾ad

�111 � F + �211 �G = h'juu; 'jvi = Fju �1

2Ejv:

Analogicznie pokazujemy (cwiczonko) (35) i (36). Np. pierwszy ze wzorów (35)

h'juv; 'jui = h�112 � 'ju + �212 � 'jv + L2 � �N;'jui = �112 � E + �212 � F + 0

Ejv = 2 � h'juv; 'jui

�112 � E + �212 � F =1

2Ejv:

Conclusion 171 Ka·zdy z trzech uk÷adów (34), (35) i (36) ma wyznacznik g÷ównyEG�F 2 > 0 jest wi ¾ec uk÷adem Cramerowskim. Po ich rozwi ¾azaniu widzimy, ·ze�kij wyra·zaj ¾a si ¾e w terminach pierwszej formy kwadratowej powierzchni S : za po-moc ¾a jej wspó÷czynników i ich pochodnych. Tym samym, w÷asnosci powierzchniwyra·zone w terminach �kij s ¾a niezmiennikami izometrii (t.j. nale·z ¾a do geometriiwewn ¾etrznej powierzchni S).

Theorem 172 (Twierdzenie Egregium Gaussa) Krzywizna Gaussa wyra·zasi ¾e wzorem

K � ' = � 1E

��212ju � �211jv + �112 � �211 + �212 � �212 � �111 � �212 � �211 � �222

�;

(37)(z którego wynika fakt fundamentalny: krzywizna Gaussa jest poj ¾eciem geometriiwewn ¾etrznej - da si ¾e wyrazic za pomoc ¾a pierwszej formy kwadratowej !!)

Proof. Korzystaj ¾ac z wzorów Weingartena

(N � ')ju = a11 � 'ju + a21 � 'jv(N � ')jv = a12 � 'ju + a22 � 'jv

i postaci aji danych wzorami (32) oraz ze wzorów (33)

a21 =eF � fEEG� F 2 ; a22 =

fF � gEEG� F 2

przekszta÷camy równosc'juuv = 'juvu�

�111 � 'ju + �211 � 'jv + e � �N�jv=��112 � 'ju + �212 � 'jv + f � �N

�ju

�111jv � 'ju + �111 � 'juv + �211jv � 'jv + �211 � 'jvv + ejv � �N + e � �Njv= �112ju � 'ju + �112 � 'juu + �212ju � 'jv + �212 � 'jvu + fju � �N + f � �Nju

81

�111jv � 'ju + �111 ���112 � 'ju + �212 � 'jv + f � �N

�+ �211jv � 'jv + �211 �

��122 � 'ju + �222 � 'jv + g � �N

�+

+ejv � �N + e ��a12 � 'ju + a22 � 'jv

�= �112ju � 'ju + �112 �

��111 � 'ju + �211 � 'jv + e � �N

�+ �212ju � 'jv + �212 �

��112 � 'ju + �212 � 'jv + f � �N

�+

+fju � �N + f ��a11 � 'ju + a21 � 'jv

�:

Poniewa·z wektory 'ju; 'jv; �N s ¾a liniowo niezale·zne mo·zna zatem porównacwspólczynniki w ostatniej równosci przy 'jv :

�111 � �212 + �211jv + �211 � �222 + e � a22 = �112 � �211 + �212ju + �212 � �212 + f � a21

sk ¾ad

e � a22 � f � a21 = �112 � �211 +�212ju +�212 � �212 � �111 � �212 � �211jv � �211 � �222 (38)

Wykorzystuj ¾ac wy·zej przypomniane wzory Weingartena a21 =eF�fEEG�F 2 ; a22 =

fF�gEEG�F 2

e � a22 � f � a21 = e � fF � gEEG� F 2 � f �

eF � fEEG� F 2

=efF � egE � feF + f2E

EG� F 2 =�egE + f2EEG� F 2

= E � �eg + f2

EG� F 2 = �E �eg � f2EG� F 2

= �E �K

K = � 1E

�e � a22 � f � a21

�:

i wstawiaj ¾ac (38) otrzymujemy tez¾e.

Remark 173 [Cwiczonko] (a) Porównuj ¾ac wspó÷czynniki przy 'ju dostaniemyinny wzór

F �K � ' = �112ju � �111jv + �212 � �112 � �211 � �122 (39)

(b) Porównuj ¾ac wspó÷czynniki przy �N dostaniemy

ejv � fju = e � �112 + f ���212 � �111

�� g � �211 (40)

Remark 174 [Cwiczenie] Stosuj ¾ac wy·zej stosowany proces do równosci 'jvvu ='jvuv otrzymamy wzór

fjv � gju = e � �122 + f ���222 � �112

�� g � �212: (41)

Rownania (40) i (41) nazywaj ¾a si¾e równaniami Mainardiego-Codazziegoa wraz z równaniem Gaussa (37) s ¾a znane w teorii powierzchni pod nazw ¾a rów-nan zgodnosci. Naturalne jest pytanie: Czy s ¾a jakies jeszcze inne relacje

82

mi¾edzy pierwsz ¾a a drug ¾a form ¾a kwadratow ¾a które by si¾e nie wyra·za÷y za po-moc ¾a równan zgodnosci?Twierdzenie Bonneta pokazuje, ·ze nie ma. Zadanie wspó÷czynników -

funkcji - E;F;G; e; f; g na otwartym zbiorze U 0 � R2 spe÷niaj ¾acych warunkiE > 0; G > 0; EG � F 2 i warunki zgodnosci w których �kij s ¾a rozwi ¾azaniamirównan (34), (35), (36) s ¾a lokalnie (w pewnym otoczeniu U zadanego punktu p 2U 0) wspó÷czynnikami pierwszej i drugiej formy kwadratowej pewnej powierzchnijednoznacznie wyznaczonej z dok÷adnosci ¾a do obrotu i przesuni¾ecia [czyli tzw.ruchu sztywnego, albo inaczej izometrii].

8.3 Pochodna kowariantna i przeniesienie równoleg÷e

De�niujemy bardzo wa·zny obiekt geometrii ró·zniczkowej: pochodn ¾a kowari-antn ¾a pola wektorowego stycznego do powierzchni w kierunku wektora tak·zestycznego do powierzchni.Niech S b¾edzie dowoln ¾a powierzchni ¾a, p 2 S jej punktem,W dowolnym g÷ad-

kim polem wektorowym na S stycznym do S okreslonym w otwartym otoczeniupunktu p: Dla wektora v 2 TpS wybierzmy dowolnie przebieg c : (�"; ") ! Staki, ·ze c (0) = p oraz c0 (0) = v: De�niujemy pole wektorowe wzd÷u·z przebieguc wyznaczone przez W wzorem

~W (t) =W (c (t)) 2 Tc(t)S; t 2 (�"; ") :

Pole to traktujemy jak funkcj¾e ~W : (�"; ") ! R3: Jest ona klasy C1: Jegopochodna ~W 0 (t) 2 R3 nie musi byc wektorem stycznym do powierzchni S:

De�nition 175 Pochodn ¾a kowariantn ¾a pola W w kierunku wektora v nazy-wamy wektor oznaczany symbolem

rvW 2 TpS

okreslony jako rzut ortogonalny na p÷aszczyzn ¾e styczna TpS wektora d ~Wdt jt=0 (=

~W 0 (0))

rvW = rzut

d ~W

dt jt=0

!:

Poka·zemy, ·ze rvW nie zale·zy od wyboru pomocniczego przebiegu c a pozatym, ·ze jest to poj¾ecie geometrii wewn¾etrznej (wyra·za si¾e za pomoc ¾a wspó÷czyn-ników Christo¤ela a st ¾ad za pomoc ¾a wspó÷czynników pierwszej formy kwadra-towej.

Theorem 176 Niech ' b ¾edzie parametryzacj ¾a S wokó÷p zas c (t) = ' (u (t) ; v (t)) ;t 2 (�"; ") : Za÷ó·zmy, ·ze pole ~W ma w bazie 'ju; 'jv wspó÷rz ¾edne a i b; t.j.

~W (t) = a (t) � 'ju (u (t) ; v (t)) + b (t) � 'jv (u (t) ; v (t)) ; t 2 (�"; ") :

83

Wtedy

rvW =�a0 + a �

��111 � u0 + �112 � v0

�+ b �

��112 � u0 + �122 � v0

��� 'ju +(42)

+�b0 + a �

��211 � u0 + �212 � v0

�+ b �

��212 � u0 + �222 � v0

��� 'jv

gdzie a; b; pochodne a0; b0; u0; v0 s ¾a obliczone w punkcie t = 0 zas �kij w punkcie(u (0) ; v (0)) :

Proof.

d ~W

dt= a0 � 'ju + a �

�'juu � u0 + 'juv � v0

�+ b0 � 'jv + b �

�'jvu � u0 + 'jvv � v0

�:

Stojemy wzory (33) z pomini¾eciem sk÷adników normalnych

'juu = �111 � 'ju + �211 � 'jv + :::'juv = 'jvu = �

112 � 'ju + �212 � 'jv + :::

'jvv = �122 � 'ju + �222 � 'jv + :::

i dostajemy (proste rachunki) tez¾e

rvW = a0 � 'ju + a ����111 � 'ju + �211 � 'jv

�� u0 +

��112 � 'ju + �212 � 'jv

�� v0�+

+b0 � 'jv + b ����112 � 'ju + �212 � 'jv

�� u0 +

��122 � 'ju + �222 � 'jv

�� v0�

=�a0 + a �

��111 � u0 + �112 � v0

�+ b �

��112 � u0 + �122 � v0

�)�� 'ju +

+�b0 + a �

��211 � u0 + �212 � v0

�+ b �

��212 � u0 + �222 � v0

��� 'jv:

Conclusion 177 Pochodna kowariantna rvW nie zale·zy od wyboru pomoc-niczego przebiegu c i lokalnej orientacji powierzchni S wokó÷punktu p: Do-datkowo widac ze wzoru (42), ·ze pochodna kowariantna jest poj ¾eciem geometriiwewn ¾etrznej powierzchni.

Example 178 W szczególnosci wybieraj ¾ac jako przebiegi c ÷uki linii wspó÷rz ¾ed-nych (np. dla v = 'u (' (u0; v0)) bierzemy c (t) = ' (t+ u0; v0) ; u (t) = t+ u0;v (t) = v0) mamy dla pól 'u i 'v (np. dla W = 'u mamy ~W (t) = 1 �'ju (t+ u0; v0) + 0 � 'jv (t+ u0; v0) ; t 2 (�"; ") ) otrzymujemy

r'u'u = �111 � '�1 � 'u + �211 � '�1 � 'v;r'u'v = �112 � '�1 � 'u + �212 � '�1 � 'v;r'v'v = �122 � '�1 � 'u + �222 � '�1 � 'v;

(sk÷adanie �kij �'�1 jest dlatego, ·ze pola 'u; 'v s ¾a na powierzchni zas wspó÷czyn-niki Christo¤ela s ¾a tutaj na przestrzeni parametrów).

84

(Uwaga: gdyby zmienic oznaczenia zmiennych (u; v) po których okreslamypola po wspó÷rz ¾ednych na liczby (1; 2) wówczas by÷oby po prostu

r'i'j =Xk

�kij � '�1 � 'k )

Example 179 Na p÷aszczyznie � = p0+Lin (w1; w2) dla pola wektorowego sty-cznego W = a�w1+b�w2 (a; b - funkcje g÷adkie na S) i wektora v 2 Tp� zachodziwzór (wprost na mocy (42) lub bezposrednio z de�nicji /proste cwiczonko)

rvW = a0jv � w1 + b0jv � w2:

WYK×AD 19-21

Spójrzmy na operator rXW , wzgl¾edem X zale·zy w danym punkcie p odwartosci pola X (p) ; (rXW ) (p) = rX(p)W; zatem jest to tensor wzgl¾edem X

rfXW = f � rXW; f 2 C1 (S) :

A co wzgl¾edem W? czyli jak wyrazic rX (fW ) za pomoc ¾a rXW oraz f ?Ustalamy punkt p 2 S i niech v = X (p) : Bierzemy dowolny przebieg c stycznyw 0 do wektora v; Wtedy gfW (t) = f � c (t) � a (t) � 'ju (u (t) ; v (t)) + f � c (t) �b (t) � 'jv (u (t) ; v (t)) i stosujemy wzór na rvW z poprzedniego twierdzenia

rvW =�a0 + a �

��111 � u0 + �112 � v0

�+ b �

��112 � u0 + �122 � v0

��� 'ju +

+�b0 + a �

��211 � u0 + �212 � v0

�+ b �

��212 � u0 + �222 � v0

��� 'jv

i otrzymujemy

rv (fW ) =

�d

dt j0(f � c (t) � a (t)) + f � c (0) � a (0) � (:::) + f � c (0) � b (0) � (:::)

�� 'ju +

+

�d

dt j0(f � c (t) � b (t)) + f � c (0) � a (0) � (:::) + f � c (0) � b (0) � (:::)

�� 'jv

=d

dt j0(f � c (t)) � a (0) � 'ju + f (p) � a0 (0) � 'ju +

d

dt j0(f � c (t)) � b (0) � 'jv + f (p) � b0 (0) � 'jv

+f (p) � a (0) � (:::) + f (p) � b (0) � (:::) � 'ju ++f (p) � a (0) � (:::) + f (p) � b (0) � (:::) � 'jv

=d

dt j0(f � c (t)) �

ha (0) � 'ju + b (0) � 'jv

i+ f (p) � rvW

= dfp (c0 (0)) �W (p) + f (p) � rvW

= v (f) �W (p) + f (p) � rvW

rv (fW ) = v (f) �W (p) + f (p) � rvW:Reasumuj ¾ac operatorrXW na polach stycznych do powierzchni ma nast¾epuj ¾acew÷asnosci

rfXW = f � rXW;rX (fW ) = X (f) �W + f � rXW

85

Ka·zdy taki operator nazywa si¾e pochodn ¾a kowariantn ¾a w wi ¾azce stycznej TS:Uogólnia si¾e go nan pochodn ¾a kowariantn ¾a w dowolnej wi ¾azce wektorowej nadpowierzchni ¾a S (czy dowoln ¾a rozmaitosci ¾a M).W dalszym ci ¾agu paragrafu przebiegi b ¾ed ¾a okreslone na domkni¾etych przedzi-

a÷ach.

De�nition 180 Polem wektorowym na powierzchni S wzd÷u·z przebiegu c : [a; b]!S nazywamy przyporz ¾adkowanie

W =�[a; b] 3 t 7�!W (t) 2 Tc(t)S � R3

�:

Pole W nazywamy klasy C1 je·zeli jako odwzorowanie W : [a; b]! R3 jest klasyC1 co jest równowa·zne temu, ·ze jego wspó÷rz ¾edne w dowolnej parametryzacjipowierzchni S s ¾a klasy C1:

Przyk÷adem pola g÷adkiego na S wzd÷u·z przebiegu c jest pole styczneW = c0

(a tak·ze - dla przebiegu regularnego - trzy pola z trójscianu Frenata t; n; b).

De�nition 181 Pochodn ¾a kowariantn ¾a polaW wzd÷u·z przebiegu c na powierzchniS nazywamy rzut ortogonalny pola dW

dt na p÷aszczyzn ¾e styczn ¾a,

rWdt

= rzut

�dW

dt

�:

Jesli W (t) = a (t) � 'ju + b (t) � 'jv; to rWdt wyra·za si¾e oczywiscie wzorem

(42).W geometrii analitycznej wa·zn ¾a rol¾e odgrywa przesuwanie wektora zaczepi-

onego w danym punkcie do innego punktu. Otrzymany wektor nazywa÷si¾erówny (równowa·zny) do wyjsciowego. Klasa abstracji tej relacji to wektor swo-bodny. Jak jednak "przesun ¾ac" równolegle wektor styczny do powierzchni takaby dalej by÷styczny do powierzchni i aby to nowe poj¾ecie uogólnia÷o przy-padek p÷aski "zwyczajnego przesuwania wektora po linijce". Zobaczmy, ·ze nap÷aszczyznie � = p0 + Lin (w1; w2) pole wektorowe styczne do powierzchniW (p) = a (p) � w1 + b (p) � w2; p 2 �; ma wartosci rownoleg÷e w ró·znych punk-tach w zwyk÷ym sensie [czyli równe wspó÷rz¾edne] gdy funkcje a i b s ¾a sta÷e,tzn. gdy ich pochodne s ¾a zerowe, czyli gdy dW

dt = 0. Poza tym pole dWdt dalej

jest styczne do powierzchni, czego nie mo·zna powiedziec o polu na dowolnejpowierzchni, ale rzut ortogonalny i pochodna kowariantna rW

dt sprowadzaj ¾a polez powrotem do pola stycznego. W zwi ¾azku z tym w÷asnie wykorzystanie pochod-nej kowariantnej prowadzi do nowego fundamentalnego poj¾ecia geometrycznegona powierzchni: do równoleg÷ego przesuwania wektora wzd÷u·z przebiegu w/gponi·zszej de�nicji.

De�nition 182 Pole wektoroweW wzd÷u·z przebiegu c na powierzchni S nazywasi ¾e polem wektorów równoleg÷ych (lub polem r-sta÷ym wzd÷u·z przebiegu) je·zeli

rWdt

= 0

(co oznacza, ·ze wektory dWdt jt s ¾a prostopad÷e do powierzchni).

86

Jak zauwa·zylismy, na p÷aszczyznie � = p0+Lin (w1; w2) pole W (t) = a (t) �w1 + b (t) � w2 wzd÷u·z dowolnego przebiegu c (t) jest r-sta÷e gddy funkcje a i bs ¾a sta÷e.Okazuje si¾e jednak, ·ze przesuwanie równoleg÷e z jednego punktu do drugiego

wzd÷u·z przebiegu ÷¾acz ¾acego te punkty zale·zy na ogó÷od wyboru przebiegu(przyk÷ady pózniej). [Na p÷aszczyznie oczywiscie nie zale·zy].

Proposition 183 Je·zeli V iW s ¾a polami r-sta÷ymi wzd÷u·z przebiegu c : [a; b]!S to

hV (t) ;W (t)i = const:

W szczególnosci, (bior ¾ac W = V ) pole V r-sta÷e ma sta÷¾a d÷ugosc kV (t)k =const: Jesli pola V i W s ¾a niezerowe i r-sta÷e to ^ (V (t) ;W (t)) = const:

Proof. Niech pola V i W b¾eda r-sta÷e. Skoro rzut ortogonalny dWdt jt na

p÷aszczyzn¾e Tc(t)S jest równy zeru to poledWdt jest prostopad÷e do S: St ¾ad dla

pól V i W mamy rownosc hV (t) ; dWdt jti = 0: Analogicznie hdVdt jt;W (t)i = 0:

Otrzymujemy st ¾ad

d

dthV;W i = hdV

dt;W i+ hV; dW

dti = 0

co implikuje sta÷osc funkcji hV;W i; hV (t) ;W (t)i = const: Rozpatruj ¾ac W = V

widzimy, ·ze hV (t) ; V (t)i = kV (t)k2 = const co oznacza, ·ze wektory pola r-sta÷ego maj ¾a sta÷¾a d÷ugosc. Poza tym gdy pola sa niezerowe, to

cos^ (V (t) ;W (t)) =hV (t) ;W (t)ikV (t)k � kW (t)k = const:

Example 184 (pola r-sta÷e na sferze). Pole jednostkowe W styczne do ko÷awielkiego na sferze jest r-sta÷e.Istotnie: niech c b ¾edzie parametryzacj ¾a naturalna ko÷a wielkiego, wówczas

W = c0 = t (po uzgodnieniu orientacji). Poniewa·z kWk = 1 to W?W 0: Zdrugiej strony ko÷o wielkie jest krzyw ¾a p÷ask ¾a wi ¾ecW 0 = t0 le·zy w jej p÷aszczyznie,co wi ¾ecej, jest skierowany do srodka ko÷a a tym samym jest prostopad÷y do sfery.Jej rzut ortogonalny na p÷aszczyzn ¾e styczn ¾a jest wi ¾ec wektorem zerowym co im-plikuje relacje rW

dt = 0; czyli, ·ze wektory jednostkowe styczne do ko÷a wielkiegos ¾a równoleg÷e (na sferze).

De�nition 185 Przesuni ¾eciem równoleg÷ym wektora v 2 TpS wzd÷u·z przebieguc : [a; b]! S takiego, ·ze c (t0) = p nazywamy pole wektorowe W wzd÷u·z c którejest r-sta÷e.

Poni·zsze twierdzenie jest wnioskiem z rownosci (42).

Theorem 186 Przesuni ¾ecie równoleg÷e wektora v 2 TpS wzd÷u·z przebiegu c :[a; b] ! S takiego, ·ze c (t0) = p i le·zacego w otoczeniu wspó÷rz ¾ednosciowymjednej parametryzacji istnieje i jest wyznaczone jednoznacznie.

87

Proof. Je·zeli przebieg c le·zy w otoczeniu wspó÷rz¾ednosciowym jednej parame-tryzacji to wspó÷rz¾edne pola r-sta÷ego spe÷niaj ¾a uk÷ad równan ró·zniczkowychzwyczajnych

a0 = ��a ���111 � u0 + �112 � v0

�+ b �

��112 � u0 + �122 � v0

��(43)

b0 = ��a ���211 � u0 + �212 � v0

�+ b �

��212 � u0 + �222 � v0

��wraz z odpowiednim warunkiem pocz ¾atkowym. Istnienie i jednoznacznosc prze-niesienia równoleg÷ego wynika z odpowiedniego twierdzenia z teorii równanró·zniczkowych.

Remark 187 Przesuni ¾ecie rownoleg÷e wzd÷u·z przebiegu c : [a; b] ! S de�niujeodwzorowanie przestrzeni stycznych (które jest izometri ¾a)

Pc : Tc(a)S ! Tc(b)S

okreslone nast ¾epuj ¾aco: bierzemy v 2 Tc(a)S i pole Wv równe v w a które jestr-sta÷e. Jest jednoznacznie okreslone, wi ¾ec wartosc Wv (b) 2 Tc(b)S jest do-brze okreslona, k÷adziemy Pc (v) = Wv (b) : Z wczesniejszego Stwierdzenia �czachowuje iloczyn skalarny, zatem jest izometri ¾a.

Lemma 188 Je·zeli c : [a; b] ! S jest przebiegiem na powierzchni S to prze-niesienie równoleg÷e dowolnego wektora v 2 Tc(a)S wzd÷u·z c nie zale·zy od wyboruparametryzacji przebiegu ró·zni ¾acej si ¾e o dyfeomor�zm.

Proof. Wezmy inn ¾a parametryzacj¾e d : [c; d]! S tego przebiegu ró·zni ¾ac ¾a si¾e odyfeomor�zm q : [c; d] ! [a; b] ; tzn. c � q = d: Niech W b¾edzie przeniesieniemrównoleg÷ym wektora v 2 Tc(a)S wzd÷u·z c; tzn. rWdt =rzut

�dWdt

�= 0: Poka·zemy,

·ze W � q jest przesuni¾eciem równoleg÷ym wzd÷u·z d :

r (W � q)dt

= rzut�d (W � q)

dt

�= rzut

�dW

dt� q � dq

dt

�= rzut

�dW

dt� q��dqdt= 0:

8.4 Geodezyjne

Linia prosta na p÷aszczyznie charakteryzuje si¾e tym, ·ze wektor styczny do niejw jednym punkcie po przesuni¾eciu równoleg÷ym pozostaje nadal stycznym dotej prostej. Ta idea ma zastosowanie do powierzchni w kwestii zde�niowania"linii prostej" na dowolnej powierzchni: wektor styczny do linii któr ¾a chcemyuznac za "prost ¾a" w geometrii powierzchni powinien po równoleg÷ym przesuni¾e-ciu wzd÷u·z tej "linii prostej" pozostac stycznym. Takie linie proste nazywacb¾edziemy geodezyjnymi na powierzchni.

De�nition 189 Geodezyjn ¾a na powierzchni S nazywamy przebieg regularny :(a; b) ! S (jest wi ¾ec ró·zny od sta÷ego) dla którego pole styczne 0 jest polemr-sta÷ym, t.j. r 0

dt = 0:

88

Example 190 Na p÷aszczyznie jedynymi geodezyjnymi s ¾a linie proste w zwyk÷ymsensie x = a1 + t � v1; y = a2 + t � v2:Na sferze ko÷a wielkie s ¾a geodezyjnymi (i innych nie ma) - ni·zej b ¾edzie

pokazana jednoznacznosc geodezyjnej przechodz ¾acej przez dany punkt i stycznejdo danego wektora, co w÷asnie pokazuje brak innych geodezyjnych na sferze.Przez dwa antypodyczne punkty przechodzi nieskonczenie wiele geodezyjnych.

Remark 191 Poniewa·z pochodna kowariantna pola jest poj ¾eciem geometrii wewn ¾etrznejto dla izometrii f : S ! �S przebieg c : (a; b)! S jest geodezyjn ¾a na S gddy f �cjest geodezyjn ¾a na �S:

Exercise 192 Na cylindrze x2 + y2 = 1; z 2 R; geodezyjnymi (jedynymi) s ¾a(a) okr ¾egi x2 + y2 = 1; z = z0 (prostopad÷e do osi obrotu),(b) linie srubowe x = cos (a � u+ a0) ; y = sin (a � u+ a0) ; z = b � u+ b0:Hint: rozwin ¾ac izometrycznie cylinder na p÷aszczyzn ¾e (do Carmo 247-248)Zauwa·zyc, ·ze przez dowolne dwa punkty cylindra nie le·z ¾ace na kole prostopad÷ym

do osi OZ przechodzi nieskonczenie wiele geodezyjnych.

Remark 193 Na powierzchni S geodezyjna mo·ze miec samoprzecicia i to wnieskonczenie wielu miejscach.

Remark 194 Udowadnia si ¾e, choc nie jest to trywialne, ·ze geodezyjna lokalnie(a wi ¾ec dla punktów blisko le·z ¾acych) ma najmniejsz ¾a d÷ugosc z wszystkich liniina S ÷¾acz ¾acych te dane punkty. Udowadnia si ¾e równie·z (ogólniej w geometriiRiemannowskiej) ·ze ka·zdy punkt ma otoczenie takie, ·ze ka·zde dwa punkty ztego otoczenia mo·zna po÷¾aczyc jedyn ¾a geodezyjn ¾a zawart ¾a w tym otoczeniu irealizuje ta geodezyjna odleg÷osc punktów, t.j. jest najkrutsz ¾a z krzywych ÷¾acz ¾a-cych na powierzchni te dwa punkty. W szczególnosci ka·zde trzy punkty z tegootoczenia nie le·z ¾ace na jednej geodezyjnej de�niuj ¾a trójk ¾at (geodezyjny) o bokachgeodezyjnych. K ¾aty wewn ¾etrzne takiego trójk ¾ata s ¾a mniejsze ni·z � i suma d÷u-gosci dwu boków jest wi ¾eksza od boku trzeciego. Takie trójkaty b ¾edziemy nazywacma÷ymi. Istniej ¾a na powierzchniach trójk ¾aty geodezyjne "nie ma÷e" w którychk ¾aty wewn ¾etrzne mog ¾a byc wi ¾eksze ni·z � i suma d÷ugosci dwu boków mo·ze bycmniejsza ni·z trzeci bok. Np na sferze: bierzemy dwa krótkie odcinki kó÷wielkichwychodz ¾ace z jednego punktu a nast ¾epnie konce tych odcinków ÷¾aczymy d÷u·zszymz odcinków ko÷a wielkiego przechodz ¾acego przez te konce.

Przedstawimy teraz równanie ró·zniczkowe geodezyjnej w danej parametryza-cji ' : U ! S powierzchni S: Niech c : (�"; ") ! S b¾edzie geodezyjn ¾a za-wart ¾a w Im' i niech c ma równania w uk÷adzie (u; v) postaci (u (t) ; v (t)) , tzn.c (t) = ' (u (t) ; v (t)) : Wówczas

c0 (t) = 'ju (u (t) ; v (t)) �u0 (t)+'jv (u (t) ; v (t)) � v0 (t) = 'ju �u0 (t)+'jv � v0 (t) :

Wstawiaj ¾ac a = u0 i b = v0 do równan (43) ró·zniczkowych pola r-sta÷ego

a0 = ��a ���111 � u0 + �112 � v0

�+ b �

��112 � u0 + �122 � v0

��b0 = �

�a ���211 � u0 + �212 � v0

�+ b �

��212 � u0 + �222 � v0

��89

otrzymujemy uk÷ad równan rózniczkowych

u00 = ��111 � (u0)2 � 2�112 � u0 � v0 � �122 � (v0)

2

v00 = ��211 � (u0)2 � 2�212 � u0 � v0 � �222 � (v0)

2:

Z teorii równan rózniczkowych (Tw. o istnieniu i jednoznacznosci) otrzymu-jemy wa·zny wniosek (rozwa·zamy warunki pocz ¾atkowe (u (0) ; v (0)) = (u0; v0) i(u0 (0) ; v0 (0)) = (u00; v

00) - równowa·znie punkt p = c (0) = ' (u0; v0) ; i wektor

styczny w0 = c0 (0) = 'ju � u00 + 'jv � v00)

Theorem 195 Dla danego punktu p 2 S i wektora w0 2 TpS, w 6= 0, istnieje" > 0 i jedyna sparametryzowana geodezyjna c : (�"; ")! S taka, ·ze c (0) = p ic0 (0) = w:

Example 196 Korzystaj ¾ac z obliczonych wspó÷czynników Christo¤ela powierzchniobrotowej znalezc równanie ró·zniczkowe geodezyjnej na powierzchni obrotowej -do Carmo 255 - a nast ¾epnie znalezc geodezyjne zak÷adaj ¾ac ·ze tworz ¾aca powierzchniobrotowej ma parametr naturalny: Najpier pokazac, ·ze po÷udniki s ¾a geodezyjnymi,b) znalezc równole·zniki które s ¾a geodezyjnymi (narysowac), c) [ciut trudniejsze]znalezc równanie pozosta÷ych geodezyjnych [nie po÷udników i nie równole·zników]- równanie (6) do Carmo strona 258. Czy równanie Clairaut�s dzia÷a w dwiestrony? (jesli opisuje równole·znik to nie, je·zeli nierównole·znik to tak)

Example 197 Znalezc geodezyjne na paraboloidzie z = x2 + y2 - do Carmo258.

Example 198 ?? A jak na pseudosferze wygl ¾adaj ¾a geodezyjne, nawet do Carmonie zrobi÷tego.

Example 199 �) Zadanie 18 strona 262 do Carmo (geodezyjna d ¾a·zy do równole·znika).

WYK×AD 22-23

8.5 Krzywizna geodezyjna

Krzywizna geodezyjna jest analogonem krzywizny zorientowanej krzywej p÷ask-iej.

Lemma 200 Je·zeli W jest jednostkowym polem wzd÷u·z przebiegu c na zorien-towanej pzez pole normalne N powierzchni S; to

rWdtkN �W:

Proof. Rozk÷adamy dWdt na cz¾esc normaln ¾a i styczn ¾a

dW

dt= A �N +

rWdt

:

90

Skoro kWk = 1 to W ? dWdt ; zatem

0 = hdWdt

;W i = hA �N +rWdt

;W i = A � hN;W i+ hrWdt

;W i = hrWdt

;W i

co oznacza, ·ze rWdt ? W: Jednoczesnie, rWdt ? N sk ¾ad teza rW

dt kN �W:

De�nition 201 Dla pola jednostkowegoW wzd÷u·z przebiegu c na zorientowanejpowierzchni S liczb ¾e

�rWdt

�tak ¾a, ·ze

rWdt

=

�rWdt

�� (N �W )

nazywamy algebraiczn ¾a wartosci ¾a pochodnej kowariantnej pola W:

Oczywiscie rWdt = 0 gddy

�rWdt

�= 0:

Lemma 202 �rWdt

�= hdW

dt;N �W i:

Proof. Skoro kNk = 1 i kWk = 1 oraz N ? W to kN �Wk = 1; zatem

hdWdt

;N�W i = hA�N+rWdt

;N�W i = A�hN;N�W i+h�rWdt

��(N �W ) ; N�W i =

�rWdt

��1:

Liczba�rWdt

�zmienia znak przy zmianie orientacji powierzchni S:

De�nition 203 Krzywizn ¾a geodezyjn ¾a �g przebiegu naturalnego c na na zorien-towanej powierzchni S nazywamy algebraiczn ¾a wartosc pochodnej kowariantnejpola jednostkowego W = c0; t.j.

�g =

�rc0ds

�:

Lemma 204 Niech t0 = t0s + t0n b ¾edzie rozk÷adem wektora t0 na cz ¾esc styczn ¾a i

normaln ¾a, gdzie t =c0 dla przebiegu naturalnego. Wtedy(a) rc0

ds = t0s;

(b) j�gj = kt0sk :

Proof. (a)

rc0ds

= rzut�dc0

ds

�= rzut (t0) = rzut (t0s + t

0n) = t

0s;

(b)

t0s =rc0ds

=

�rc0ds

�� (N � c0) = �g � (N � t)

kt0sk = j�gj � kN � tk = j�gj

91

Exercise 205 Krzywizna geodezyjna przebiegu zmienia znak si ¾e po zmianie ori-entacji przebiegu (lub orientacji powierzchni).

Remark 206 Krzywizna geodezyjna przebiegu jest uogólnieniem krzywizny zori-entowanej przebiegu p÷askiego. Istotnie, jesli

�n jest polem wzd÷u·z p÷askiego prze-

biegu naturalnego c (s) normalnym do t =c0 i takim, ·ze�t;�n�jest baz ¾a ON

dodatni ¾a to liczba � taka, ·ze t0 = � � �n nazywana by÷a krzywizn ¾a zorientowan ¾aprzebiegu c: Trójka wektorów

�t;�n; e3

�jest baz ¾a ON dodatni ¾a w R3 i

�n = e3� t;

zatem dla W = c0 i N = e3 mamy

�g =

�rc0ds

�= hdW

ds;N �W i = hdc

0

ds;N � c0i

= hc00; e3 � ti = ht0;�ni = �:

Lemma 207 Zwi ¾azek mi ¾edzy krzywizn ¾a, krzywizn ¾a normaln ¾a i krzywizn ¾a geo-dezyjn ¾a wyra·zony jest w równosci

�2 = �2n + �2g:

Proof. Przypomnijmy de�nicje krzywizny normalnej: rozk÷adamy wektor t0 nacz¾esc styczn ¾a i normaln ¾a t0 = t0s + t

0n i krzywizna normalna zde�niowana jest

równosci ¾a t0n = �n �N: St ¾ad skoro t0s i t0n s ¾a prostopad÷e to z Tw Pitagorasa

�2 = kt0k2 = kt0nk2+ kt0sk

2= �2n + �

2g:

Exercise 208 Obliczyc krzywizn ¾e goedezyjn ¾a równole·znika na sferze. (Odp.�g = cot').

De�nition 209 (K ¾at zorientowany mi ¾edzy polami wektorowymi wzd÷u·z prze-biegów). Niech V;W : [c; d] ! R3 b ¾ed ¾a jednostkowymi polami wektorowymiwzd÷u·z przebiegu c na zorientowanej powierzchni S (tzn. stycznymi do S):Okreslamy pole ~V : [c; d] ! S wzorem ~V = N � c � V (jest to pole takie,

·ze uk÷ad wektorów�V (t) ; ~V (t)

�nale·zy do orientacji Tc(t)S - bowiem zgodnie

z lematem o iloczynach wektorowych w ci ¾agu jednostkowych pól prostopad÷ych�V (t) ; ~V (t) ; N (c (t)) ; V (t) ; ~V (t) ; :::

�iloczyn dwu sasi ¾ednich daje pole nast ¾epne).

K ¾atem zorientowanym od V (t) do W (t) nazywamy liczb ¾e (t) taka, ·ze gdy

W (t) = a (t) � V (t) + b (t) � ~V (t) (44)

to cos (t) = a (t) i sin (t) = b (t) : Liczba (t) dla danego parametru tjest wyznaczona jednoznacznie z dok÷adnosci ¾a do wielokrotnosci 2�: Oczywisciea2 (t) + b2 (t) = 1:

92

Dla danych pól V i W szukamy funkcji ci ¾ag÷ej : [c; d] ! R takiej, ·ze dlaka·zdego t 2 [c; d] (t) jest k ¾atem zorientowanym od V (t) do W (t) : Funkcjetak ¾a oznaczamy ^ (V;W ) : Jej istnienie stwierdza i podaje konstrukcje poni·zszyLemat.

Lemma 210 Niech dane b¾ed ¾a dwie funkcje a; b : [c; d] ! R klasy C1 takie, ·zea2 (t) + b2 (t) = 1: Ustalmy t0 2 [c; d] i 0 niech b¾edzie liczb ¾a tak ¾a, ·ze a (t0) =cos 0 i b (t0) = sin 0: Wówczas funkcja

(t) =

Z t

t0

(a (u) � b0 (u)� b (u) � a0 (u)) du + 0; t 2 [c; d] ;

jest klasy C1 i spe÷nia równosci

cos (t) = a (t) i sin (t) = b (t) ; (t0) = 0: (45)

Gdy a i b spe÷niaj ¾a (44) to = ^ (V;W ) :

Proof. Funkcja spe÷nia (45) gddy

(a (t)� cos (t))2 + (b (t)� sin (t))2 = 0:

Ale lewa strona tej równosci jest równa

a2 � 2a cos + cos2 + b2 � 2b sin + sin2 = 2 (1� a cos � b sin )

wi¾ec zachodzi gddy

A (t) := a (t) � cos (t) + b (t) � sin (t) = 1:

Wobec faktu, ·ze pochodna górnej granicy ca÷kowania jest funkcj ¾a podca÷kow ¾aoraz ró·zniczkuj ¾ac równosc a2 (t) + b2 (t) = 1 otrzymujemy zwi ¾azki

0 = a � b0 � b � a0 oraz a � a0 + b � b0 = 0

z których dostajemy

A0 (t) = a0 � cos � a � sin � 0 + b0 � sin + b � cos � 0

= a0 � cos + b0 � sin � (a � sin ) � (a � b0 � b � a0) + b � cos � (a � b0 � b � a0)= a0 � cos + b0 � sin � a2 � b0 � sin + ab � a0 � sin + ba � b0 � cos � b2 � a0 � cos = a0 � cos + b0 � sin � a2 � b0 � sin � b2 � b0 � sin � a2 � a0 � cos � b2 � a0 � cos = a0 � cos + b0 � sin � b0 � sin �

�a2 + b2

�� a0 � cos �

�a2 + b2

�= 0:

Zatem A (t) = const a poniewa·z w miejscu t0 jest równa 1

A (t0) = a (t0) � cos (t0) + b (t0) � sin (t0) = cos2 (t0) + sin2 (t0) = 1

to A (t) = 1:

93

Proposition 211 Niech V;W : [c; d] ! S b ¾eda dwoma jednostkowymi polamiwektorowymi wzd÷u·z naturalnego przebiegu c na zorientowanej powierzchni S:Wówczas ró·znica wartosci algebraicznych pochodnych kowariantnych pól W i Vwynosi �

rWdt

���rVdt

�=d

dt

gdzie = ^ (V;W ) jest k ¾atem zorientowanym od pola V do W:

Proof. Wezmy ~V = N � c� V i ~W = N � c�W: WówczasW = cos � V + sin � ~V

zas (skoro w ci ¾agu�V (t) ; ~V (t) :N (c (t)) ; V (t) ; ~V (t) ; :::

�iloczyn dwu sasi¾ed-

nich daje pole nast¾epne to N � c� V = ~V i N � c� ~V = �V )

~W = N � c�W = N � c��cos � V + sin � ~V

�= cos � ~V � sin � V:

W konsekwencji

dW

dt= � sin � 0 � V + cos � V 0 + cos � 0 � ~V + sin � ~V 0

i�rWdt

�= hdW

dt;N � c�W i = hdW

dt; ~W i

= h� sin � 0 � V + cos � V 0 + cos � 0 � ~V + sin � ~V 0; cos � ~V � sin � V i= sin2 � 0 � hV; V i+ cos2 � hV 0; ~V i � cos � sin � hV 0; V i| {z }

0

+ cos2 � 0 � h ~V ; ~V i

+sin � cos � h ~V 0; ~V i � sin2 � h ~V 0; V i= sin2 � 0 + cos2 � hV 0; ~V i+ cos2 � 0 � sin2 � h ~V 0; V i= 0 + cos2 � hV 0; ~V i � sin2 � h ~V 0; V i:

Po zró·zniczkowaniu równosci hV; ~V i = 0 dostajemy hV 0; ~V i + hV; ~V 0i = 0sk ¾ad h ~V 0; V i = �hV 0; ~V i i�rWdt

�= 0 +

�cos2 + sin2

�� hV 0; ~V i = 0 + hV 0; ~V i = 0 + hdV

dt;N � c� V i

=d

dt+

�rVdt

�:

Conclusion 212 Je·zeli c jest przebiegiem naturalnym i V jest polem wektorówrównoleg÷ych wzd÷u·z c (czyli r-sta÷ym) to k÷ad ¾acW = c0 dostajemy wzór wyra·za-j ¾acy krzywizn ¾e geodezyjn ¾a przebiegu c

�g =

�rc0ds

�=d

dt+

�rVdt

�=d

dt

gdzie = ^ (V; c0) :

94

8.6 Parameryzacja ortogonalna

Ogromnie upraszczaj ¾acymi rachunki okazuje si¾e byc istnienie wokó÷dowolnegopunktu powierzchni tzw. parametryzacji ortogonalnej to jest takiej parame-tryzacji ' dla której linie wspó÷rz¾ednych ' (�; v) i ' (u; �) s ¾a wzajemnie prostopad÷e,inaczej mówi ¾ac dla której

F = h'ju; 'jvi = 0:

Do wykazania tego faktu potrzebne s ¾a pewne uzupe÷niaj ¾ace wiadomoscidotycz ¾ace pól wektorowych na powierzchniach (i na p÷aszczyznie).

De�nition 213 Niech X b ¾edzie polem wektorowym okreslonym na powierzchniS. Trajektori ¾a pola X nazywamy przebieg c w dziedzinie pola X taki, ·ze

Xc(t) = c0 (t) :

Wiadomo z teorii pól wektorowych, ·ze przez ka·zdy punkt przechodzi dok÷ad-nie jedna o maksymalnej dziedzinie trajektoria pola. Np gdy Xp = 0 trajektori ¾ajest przebieg sta÷y.

De�nition 214 Ca÷k ¾a pierwsz ¾a pola X w otoczeniu punktu p nazywamy ka·zd ¾afunkcj ¾e rzeczywist ¾a f okreslon ¾a w otoczeniu punktu p tak ¾a, ·ze

10) (df)q 6= 0 z tego otoczenia,

20) f jest sta÷a na ka·zdej spójnej trajektorii pola X zawartej w tym otoczeniu.

Remark 215 ×atwo spostrzec, ·ze je·zeli f jest ca÷k ¾a pierwsz ¾a pola X to spójnesk÷adowe zbioru L := fq; f (q) = constg s ¾a trejktoriami pola. Istotnie z twierdzeniao przeciwobrazie wartosci regularnej wynika, ·ze L jest 1-jednowymiarow ¾a hiper-powierzchni ¾a, czyli krzyw ¾a. Z drugiej strony skoro na trajektorii przechodz ¾acejprzez q0 2 L funkcja f jest sta÷a to trajektoria jest zawarta w L: Zatem wektorX (q0) jest styczny do L co z dowolnosci q0 dowodzi, ·ze ka·zda spójna sk÷adowaL jest trajektori ¾a pola X:

Theorem 216 W otoczeniu dowolnego punktu p 2 S dla którego X (p) 6= 0istnieje ca÷ka pierwsza pola X okreslona w pewnym otoczeniu tego punktu.

Przy pomocy parametryzacji wokó÷p sprowadzamy zagadnienie do pola naobszarze p÷askim i stosujemy klasyczne twierdzenie do pola na tym obszarze.W dowodzie wykorzystuje si¾e strumien (potok) pola wektorowego.Powy·zsze twierdzenie teraz wykorzystamy.

Proposition 217 Niech X1; X2 b ¾ed ¾a polami wektorowymi na otwartym podzbiorzeU 0 powierzchni S liniowo niezale·znymi w pewnym punkcie p 2 U 0 (a wi ¾ec i wotoczeniu). Wtedy w pewnym otoczeniu tego punktu istnieje parametryzacja 'taka, ·ze linie wspó÷rz ¾ednosciowe ' (�; v) oraz ' (u; �) s ¾a styczne do pól X1 i X2

odpowiednion (tzn. 'ukX1 i 'vkX2).

95

Proof. Niech W b¾edzie otoczeniem punktu p na którym s ¾a okreslone ca÷kipierwsze f1 i f2 pól X1 i X2 odpowiednio. De�niujemy odwzorowanie

x :W ! R2

wzoremx (q) = (f1 (q) ; f2 (q)) ; q 2W:

Poniewa·z f1 jest sta÷a na trajektoriach pola X1 to (df1)p (X1 (p)) = 0 (istotnie,bierzemy trajektorie c pola X1 przechodz ¾ac ¾a przez p; czyli c (0) = p i c0 (t) =X1 (c (t)) ; i mamy (df1)p (X1 (p)) = (df1)p (c

0 (0)) = ddt j0 (f1 � c (t)) = 0 bo

f1 � c = const ). Analogicznie (df2)p (X2 (p)) = 0. Zatem

(dx)p (X1 (p)) =�(df1)p (X1 (p)) ; (df2)p (X1 (p))

�=�0; (df2)p (X1 (p))

�;

(dx)p (X2 (p)) =�(df1)p (X2 (p)) ; (df2)p (X2 (p))

�=�(df1)p (X2 (p)) ; 0

�:

Skoro wektory X1 (p) i X2 (p) s ¾a baz ¾a TpS oraz (df2)p 6= 0 i (df2)p (X2 (p)) = 0to a := (df2)p (X1 (p)) 6= 0; analogicznie b := (df1)p (X2 (p)) 6= 0: Wynika st ¾ad,·ze macierz przekszta÷cenia (dx)p w bazie (X1 (p) ; X2 (p)) równa�

0 ab 0

�jest nieosobliwa. Z twierdzenia o dyfeomor�zmie x jest dyfeomor�zmem pewnegootoczenia W 0 �W punktu p na pewne otwarte otoczenie U punktu x (p) 2 R2:Odwzorowanie

' = (xjW 0)�1

jest szukan ¾a parametryzacj ¾a poniewa·z linie wspó÷rz¾ednosciowe ' (c1; �) i ' (�; c2)sa wobec równosci x�' = (f1; f2) �' = id postaci f1 (q) = const i f2 (q) = const[(f1; f2) �' (c1; �) = (c1; �) ; f1 (' (c1; �)) = c1; wi¾ec ' (c1; �) sk÷ada si¾e z punktówq dla których f1 (q) = c1 = const] a te s ¾a w mysl poprzedzaj ¾acej uwagi stycznedo pól X1 i X2 odpowiednio tzn. 'ukX1 i 'vkX2:

Theorem 218 W otoczeniu dowolnego punktu powierzchni S istnieje parame-tryzacja ortogonalna.

Proof. Wystarcza wzi ¾ac dwa pola niezerowe wzajemnie prostopad÷e i wyko-rzystac ostatnie stwierdzenie. Do wykazania istnienia takich pól wezmy dowoln ¾aparametryzacj¾e ' wokó÷punktu p i niech E;F;G b¾eda wspó÷czynnikami pier-wszej formy kwadratowej dla parametryzacji ': Wówczas pola

X1 = 'u; :::X2 = �F

E� 'u + 'v

s ¾a prostopad÷e, istotnie

hX1; X2i = h'u;�F

E� 'u + 'vi = �

F

E� h'u; 'ui+ h'u; 'vi = �

F

E�E + F = 0:

96

Wykorzystamy teraz istnienie parameryzacji ortogonalnych.Pierwsze zastosowanie:

Theorem 219 Niech ' b ¾edzie parametryzacj ¾a ortogonaln ¾a powierzchni S zgodn ¾az zadana orientacj ¾a zasW polem klasy C1 wektorów jednostkowych wzd÷u·z prze-biegu c (t) = ' (u (t) ; v (t)) ; t 2 (a; b) : Wtedy algebraiczna wartosc pochodnejkowariantnej pola W jest równa�

rWdt

�=

1

2 �pEG

�Gju �

dv

dt� Ejv �

du

dt

�+d

dt

gdzie jest k ¾atem zorientowanym mi ¾edzy polami 'ju (u (�) ; v (�)) i W (�) :

Proof. Wezmy pola jednostkoweX1 iX2 okreslone wzd÷u·z przebiegu c wzorami

X1 (t) ='jupE(u (t) ; v (t)) ; X2 (t) =

'jvpG(u (t) ; v (t)) : (46)

Skoro parametryzacja ' jest zgodna z zadan ¾a orientacj ¾a to pole orientuj ¾ace Njest równe

N = X1 �X2:

Ze Stwierdzenia (211) �rWdt

�=

�rX1

dt

�+d

dt

gdzie = ^ (X1;W ) jest k ¾atem zorientowanym od pola X1 do W: Z lematu(202) mamy

�rX1

dt

�= hdX1

dt;N �X1i = h

d�'jupE(u (t) ; v (t))

�dt

;X2i

= h�'jupE

�ju� u0 +

�'jupE

�jv� v0;

'jvpGi

= h�'jupE

�ju;'jvpGi � u0 + h

�'jupE

�jv;'jvpGi � v0

= h'juu �

pE � 'ju �

�pE�ju

E;'jvpGi � u0 + h

'juv �pE � 'ju �

�pE�jv

E;'jvpGi � v0 =

Poniewa·z F = h'ju; 'jvi = 0 to dostajemy

= h'juu �

pE

E;'jvpGi � u0 + h

'juv �pE

E;'jvpGi � v0

=h'juu; 'jvip

EG� u0 +

h'juv; 'jvipEG

� v0 (*)=

97

Obliczymy h'juu; 'jvi i h'juv; 'jvi wykorzystuj ¾ac dalej F = 0

0 = Fju = h'ju; 'jviju = h'juu; 'jvi+ h'ju; 'jvui

orazEjv = h'ju; 'juijv = h'juv; 'jui+ h'ju; 'juvi = 2 � h'juv; 'jui:

Dostajemy st ¾ad

h'juu; 'jvi = �h'ju; 'jvui = �1

2� Ejv:

AnalogicznieGju = h'jv; 'jviu = 2 � h'jvu; 'jvi

sk ¾ad

h'juv; 'jvi = h'jvu; 'jvi =1

2�Gju:

Tak wi¾ec �rX1

dt

�(*)=� 12 � Ejvp

EG� u0 +

12 �GjupEG

� v0

=1

2 �pEG

�Gju � v0 � Ejv � u0

:

Ostatecznie�rWdt

�=

�rX1

dt

�+d

dt=

1

2 �pEG

�Gju � v0 � Ejv � u0

+d

dt:

Podamy teraz inny dowód istnienia i jednoznacznosci przeniesienia równoleg÷egowektora wzd÷u·z przebiegu.

Theorem 220 Dla dowolnego przebiegu c : [a; b] ! S na powierzchni S (niezak÷adamy orientowalnosci) i wektora v 2 Tc(a)S istnieje dok÷adnie jedno g÷adkiepole wektorowe W wektorów równoleg÷ych wzd÷u·z c takie, ·ze X (a) = v:

Proof. 1 krok. Za÷ó·zmy, ·ze obraz/slad Im c = c [[a; b]] jest zawarty w jed-nym otoczeniu wspó÷rz¾ednosciowym odpowiadaj ¾acym jednej parametryzacji '(t.j. Im c � Im'). Otoczenie to orientujemy za pomoc ¾a ': Jesli v = 0 tooczywiscie W = 0: Gdy v 6= 0 to wystarczy twierdzenie pokazac dla wektorajednostkowego (gdy·z pole r-sta÷e pomno·zone przez sta÷¾a pozostaje r-sta÷e).Warunkiem równoleg÷osci pola W jest zerowanie si¾e pochodnej kowariantnejrWdt tego pola lub co na jedno wychodzi zerowanie si¾e jej algebraicznej wartosci�rWdt

�: Za÷ó·zmy, ·ze kvk = 1: Z Twierdzenia ostatniego zerowanie si¾e

�rWdt

�= 0

jest równowa·zne

d

dt= B (t) : � 1

2 �pEG

�Gju �

dv

dt� Ejv �

du

dt

�

98

gdzie jest k ¾atem zorientowanym mi¾edzy polami 'ju (u (�) ; v (�)) i W (�) : Jesli 0 oznacza dowolny k ¾at mi¾edzy wektorami 'ju (u (a) ; v (a)) = 'u (c (a)) i vwówczas funkcja k ¾at jest dok÷adnie równa

(t) = 0 +

Z t

a

B (�) d� :

Tym samym pole W wynosi

W (t) = cos (t) �X1 + sin (t) �X2

gdzieX1 iX2 s ¾a to pola (46)X1 (t) ='jupE(u (t) ; v (t)) ; X2 (t) =

'jvpG(u (t) ; v (t))

Jest ono klasy C1:2 krok. Gdy Im c nie le·zy w jednym otoczeniu wspó÷rz¾ednosciowym to pokry-

wamy Im c skonczon ¾a ilosci ¾a otoczen i w ka·zdym kolejno przed÷u·zamy.

WYK×AD 24-26

Drugie zastosowanie parametryzacji ortogonalnej.

Theorem 221 Je·zeli ' jest parametryzacj ¾a ortogonaln ¾a powierzchni S to krzy-wizna Gaussa wyra·za si ¾e wzorem

K � ' = � 1

2 �pEG

(�EjvpEG

�jv+

�GjupEG

�ju

):

Proof. Przypomnijmy wzór Gaussa wyra·zaj ¾acy krzywizn¾e w terminch wspó÷czyn-ników Christo¤ela

K � ' = � 1E

��212ju � �211jv + �112 � �211 + �212 � �212 � �111 � �212 � �211 � �222

�Na podstawie wzorów (34), (35), (36)

�111 � E + �211 � F =1

2� Eju

�111 � F + �211 �G = Fju �1

2� Ejv

�112 � E + �212 � F =1

2� Ejv

�112F + �212 �G =

1

2�Gju

�122 � E + �222 � F = Fjv �1

2�Gju

�122 � F + �222 �G =1

2�Gjv

99

uwzgl¾edniaj ¾ac F = 0 dostajemy

�111 =1

2�Eju

E; �211 = �

1

2�Ejv

G; �112 =

1

2�Ejv

E; �212 =

1

2�Gju

G; �122 = �

1

2�Gju

E; �222 =

1

2�Gjv

G:

Wstawiamy te wartosci do wzoru Gaussa i wykonujemy stosowne przekszta÷ceniaotrzymuj ¾ac tez¾e �212ju � �211jv + �112 � �211 + �212 � �212 � �111 � �212 � �211 � �222

K � ' = � 1E(1

2��Gju

G

�ju+1

2��Ejv

G

�jv� 14�Ejv � EjvE �G +

1

4�Gju �GjuG �G +

�14�Eju �GjuE �G +

1

4�Ejv �GjvG �G )

= � 1E(1

2�Gjuu �G�Gju �Gju

G �G +1

2�Ejvv �G� Ejv �Gjv

G �G � 14�Ejv � EjvE �G +

1

4�Gju �GjuG �G +

�14�Eju �GjuE �G +

1

4�Ejv �GjvG �G )

= � 1E(Gjuu

2 �G �1

2�Gju �GjuG �G +

Ejvv

2 �G �1

2�Ejv �GjvG �G � 1

4�Ejv � EjvE �G +

1

4�Gju �GjuG �G +

�14�Eju �GjuE �G +

1

4�Ejv �GjvG �G )

= � 1

2E(Gjuu

G� 12�Gju �GjuG �G � 1

2�Eju �GjuE �G +

Ejvv

G� 12�Ejv �GjvG �G � 1

2�Ejv � EjvE �G

Z drugiej strony

� 1

2 �pEG

(�EjvpEG

�jv+

�GjupEG

�ju

)

= � 1

2 �pEG

8<:Ejvv �pEG� Ejv �

Ejv�G+E�Gjv

2pEG

EG+Gjuu �

pEG�Gju �

Eju�G+E�Gju

2pEG

EG

9=;= � 1

2

�Ejvv

EG�Ejv � Ejv �G+ Ejv � E �Gjv

2EGEG+Gjuu

EG�Gju � Eju �G+Gju � E �Gju

2EGEG

�= � 1

2E

�Ejvv

G�Ejv � Ejv2 � E �G �

Ejv �Gjv2 �G �G +

Gjuu

EG�Gju � Eju2 � E �G �

Gju �Gju2 �G �G

�otrzymujemy to samo wyra·zenie.

9 Twierdzenie Gaussa-Bonneta i jego zastosowa-nia

9.1 Lokalne Twierdzenie Gaussa-Bonneta

B¾edzie potrzebna wersja Tw. Greena dla obszarów p÷askich o brzegu kawa÷kamig÷adkim ([Ko÷odziej, str. 442-443]. Jest to szczególny przyk÷ad Twierdzenia

100

Stokesa dla regularnych podzbiorów hiperpowierzchni o brzegu "nie ca÷kiemg÷adkim". (A.Birkholc, "Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych" PWN-jedyna ksi ¾a·zka po polsku zw wzorem Stokesa dla brzegów z osobliwosciami).Niech A b¾edzie zwartym podzbiorem k wymiarowej hiperpowierzchni M �

Rm (bez brzegu). Niech IntA oznacza wn¾etrze zbioru A w przestrzeni topolog-icznej M i rozwa·zmy brzeg zbioru A

@A = AnIntA:

Punkt p 2 @A nazywamy regularnym jesli cz¾esc wspólna zbioru @A i pewnegootoczenia punktu p w M jest podhiperpowierzchni ¾a g÷adk ¾a k � 1-wymiarow ¾a.Pozosta÷e punkty z brzegu @A nazywamy punktami osobliwymi. Oznaczmypodzbiór punktów regularnych przez @rA a osobliwych przez @sA (osobliwy =singularny, st ¾ad indeks s ).Podzbiór A � M nazywamy regularny je·zeli ka·zdy punkt p 2 @rA nale·zy

do domkni¾ecia wn¾etrza IntA; @rA � IntA: (Rysunek c) ze str 424 w Birkholcujest przyk÷adem zbioru nieregularnego, na plaszczyznie przyk÷adem jest ko÷o zwysuni¾etym odcinkiem).

Theorem 222 Ogólne Tw Stokesa dla podzbiorów regularnych w hiperpowierzch-niach. (Birkholc, Tw 8.1 + uwaga 3)Niech M � Rm b ¾edzie g÷adk ¾a k wymiarow ¾a hiperpowierzchni ¾a zorientowan ¾a

i A � M regularnym zwartym podzbiorem M , oraz ! - g÷adk ¾a k � 1-form ¾aró·zniczkow ¾a na M: Zak÷admy, ·ze� brzeg osobliwy @sA zbioru A zawiera si ¾e w przeliczalnej rodzinie podhiper-

powierzchni o wymiarach mniejszych od k � 1;� podhiperpowierzchnie k � 1 wymiarowe wchodz ¾ace w sk÷ad brzegu regu-

larnego @rA s ¾a zorientowane dodatnio wzgl ¾edem A i ca÷kaR@rA

! istnieje.Wtedy zachodzi wzór StokesaZ

A

d! =

Z@rA

!:

Dla 1-formy na p÷aszczyznie ! = Pdx+Qdy jej ró·zniczka wynosi

d! = d (Pdx+Qdy) = dP ^ dx+ (�1)stP P � ddx|{z}=0

+ dQ ^ dy + (�1)stQQ � ddy

=

�@P

@x� dx+ @P

@y� dy�^ dx+

�@Q

@x� dx+ @Q

@y� dy�^ dy

=@P

@x� dx ^ dx| {z }

=0

+@P

@y� dy ^ dx| {z }=�dx^dy

+@Q

@x� dx ^ dy + @Q

@y� dy ^ dy

= �@P@y� dx ^ dy + @Q

@x� dx ^ dy

=

�@Q

@x� @P

@y

�� dx ^ dy

101

Ca÷ka z dwu formy�@Q@x �

@P@y

�� dx ^ dy po obszarze p÷askim A jest ca÷k ¾a

Lebesqu�a (Riemanna) z funkckji�@Q@x �

@P@y

�.

Remark 223 Wyjasnijmy jeszcze dodatni ¾a orientacj ¾e podhiperpowierzchni k�1wymiarowych zawartych w brzegu regularnym @rA (@rA jest sum ¾a roz÷¾acznychspójnych k � 1 wymiarowych podhiperpowierzchni, wi ¾ec jest sam rownie·z k � 1wymiarow ¾a podhiperpowierzchni ¾a. Orientacja w Tp (@rA) dana reperem (v1; :::; vn�1)jest dodatnia je·zeli, dla wektora w 2 TpM skierowanego do wewn ¾atrz zbioru A[tzn. w = �0 (0) dla ÷uku � : [0; a) ! M takiego, ·ze � [(0; a)] � AnFrrA;� (0) = p] baza (�w; v1; :::; vn�1) jest dodatnia.

Dla obszaru p÷askiego M � R2 o brzegu kawa÷kami g÷adkim dodatnia ori-entacja brzegu jest nast¾epuj ¾aca: Niech M � R2 b¾edzie obszarem domkni¾etym[domkni¾ecie zbioru otwartego U , M = �U ] którego brzeg @M sk÷ada si¾e z krzy-wych przedzia÷¾ami klasy Ck. Orientacja brzegu @M jest dodatnia gdy: id ¾acwzd÷u·z brzegu mamy obszar U po lewej r¾ece. Uzasadnienie. W punkcie g÷ad-kosci brzegu p 2 @M wektor v styczny do brzegu, v 2 Tp@M nale·zy do dodatniejorientacji krzywej @M gdy dla wektora w skierowanego do wewn ¾atrz U para(�w; v) jest dodatnia, czyli para (v; w) jest dodatnia, czyli zgodna z wersoramiosi wspó÷rz¾ednych, czyli id ¾ac w stron¾e v mamy wektor w (t.j. obszar M) polewej stronie.W przypadku gdy zbiór regularny A nie ma punktów osobliwych, @A = @rA

wówczas A jest po prostu hiperpowierzchni ¾a z brzegiem @A i mamy klasycznywzór Stokesa na hiperpowierzchni zorientowanej z brzegiem. Niech M b¾edzietak ¾a hiperpowierzchni ¾a n wymiarow ¾a z brzegiem @M dodatnio zorientowanym,wtedy dla n � 1 formy ró·zniczkowej ! jest wzór Stokesa

RMd! =

R@M

!: Wszczególnosci gdy M nie ma brzegu, @M = ? to

RMd! = 0: Ten wniosek ju·z

dawno wykorzystalismy przy dowodzie homotopijnej niezmienniczosci krzywiznyzorientowanej krzywej p÷askiej.Przejdzmy do szczegolnego przypadku Tw. Stokesa jakim jest Twierdzenie

Greena dla obszaru (domkni¾ecie zbioru otwartego) p÷askiego o brzegu kawa÷kamiklasy C1. { k = 2; brzeg osobliwy @sA zbioru A zawiera si¾e w przeliczalnejrodzinie podhiperpowierzchni o wymiarach mniejszych od 2�1 czyli mniejszychni·z 1 a wi¾ec 0; czyli jest dyskretny - sk÷ada si¾e z izolowanych poszczególnychpunktów, zatem brzeg regularny @rA jest sum ¾a przeliczalnej ilosci przebiegów,a·zeby zabezpieczyc istnienie ca÷ki bo brzegu regularnym wystarczy ·z ¾adac, abybrzeg @A by÷sum ¾a przebiegów przedzia÷ami ró·zniczkowalnych regularnych}.B¾edzie nam potrzebna nast¾epuj ¾aca wersja:

Theorem 224 (Tw. Greena dla obszarów o brzegu kawa÷kami g÷ad-kim regularnym) Je·zeli obszar domkni ¾ety p÷aski A � R2 jest ograniczonyprzebiegiem zamkni ¾etym przedzia÷ami klasy C1 c (t) = (u (t) ; v (t)) ; t 2 [a; b] ;regularnym o wierzcho÷kach (u (ti) ; v (ti)), i = 0; :::; k + 1; a = t0 < t1 < ::: <tk < tk+1 = b (tzn. cj [ti; ti+1] jest klasy C1 i regularny) wówczas dla funkcji Pi Q klasy C1 okreslonych na pewnym zbiorze otwartym zawieraj ¾acym A zachodzi

102

wzór Z@rA

(Pdu+Qdv) =

ZA

d (Pdu+Qdv) =

ZA

�@Q

@u� @P

@v

�dudv;

czyli szczegó÷owiej pisz ¾ac

kXi=0

Z ti+1

ti

�P (u (t) ; v (t)) � du

dt+Q (u (t) ; v (t)) � dv

dt

�dt =

ZZA

�@Q

@u(u; v)� @P

@v(u; v)

�dudv:

Zde�niujemy teraz zorientowane k ¾aty zewn¾etrzne w wierzcho÷kach (u (ti) ; v (ti)),czyli punktach w których pochodne lewostronne s ¾a inne od prawostronnychc0�t�i�6= c0

�t+i�: Wierzcho÷ki s ¾a dwojakiego rodzaju: albo jest to ostrze i

c0�t�i�= �c0

�t+i�(czyli k ¾at niezorientowany jest �) albo nie jest to ostrze

c0�t�i�6= �c0

�t+i�i k ¾at niezorientowany jest z przedzia÷u (0; �) : Nadamy k ¾a-

towi znak. Wyjasniaj ¾a to rysunki pogl ¾adowo.

103

Formalnie tak: dla nieostrza znak jest dodatni gdy para�c0�t�i�; c0�t+i��do-

datnio orientuje przestrzen styczn ¾a Tc(ti)S a znak jest ujemny gdy orientujeujemnie, równowa·znie bez u·zywania przestrzeni stycznych, gdy trzy wektory wR3�c0�t�i�; c0�t+i�; Nc(t)

�orientuj ¾a R3 dodatnio lub odpowiednio ujemnie.

Dla ostrza trzeba wzi ¾ac bliskie punkty w stosunku do ostrza i rozwa·zycorientacj¾e R3 przez te trójki

�c0�t�"i�; c0�t+"i�; Nc(t)

�:

B¾edzie te·z potrzebne inne Tw Hopfa te·z z pracy Hopfa, Compositio Math-ematica 2 (1935), 50-62 (z przebiegu naturalnego g÷adkiego na przedzia÷amiregularny maj ¾acy wierzcho÷ki i k ¾aty zewn¾etrzne. Nawet do Carmo nie podajedowodu !

Theorem 225 (O obrocie stycznej) Niech ' : U ! S b ¾edzie dodatniaparametryzacj ¾a zorientowanej powierzchni S tak ¾a, ·ze U jest homeomor�cznyz otwartym ko÷em. Niech c : [a; b] ! ' [U ] � S b ¾edzie przebiegiem zamkni ¾e-tym bez samoprzeci ¾ec przedzia÷ami regularnym o wierzchokach c (ti) ; k ¾atachzewn ¾etrznych �i i niech i : [ti; ti+1] ! R b ¾edzie k ¾atem zorientowanym mi ¾edzypolami 'u i c

0i; i = ^ ('u; c0i) (gdzie ci = cj [ti; ti+1] ). Wówczas

kXi=0

( i (ti+1)� i (ti)) +kXi=0

�i = 2�:

Gdy c jest g÷adki, nie ma k ¾atów t0 = a; t1 = b wtedy (b) � (a) = 2�co jest widoczne rysunkowo i uogólnia p÷aski przypadek Tw. Hopfa o indeksie.Gdy powierzchnia S jest p÷aska i kawa÷ki ci s ¾a odcinkami wówczas funkcje k ¾at s ¾asta÷e sk ¾ad i (ti+1) = i (ti) i pierwsza suma jest zero. Otrzymujemy równoscPk

i=0 �i = 2�:

104

Theorem 226 (Lokalne twierdzenie Gaussa-Bonneta) Niech ' : U ! Sb ¾edzie ortogonaln ¾a dodatni ¾a parametryzacj ¾a zorientowanej powierzchni S tak ¾a,·ze U jest homeomor�czny z otwartym ko÷em. Je·zeli R � Im' jest obszaremdomkni ¾etym którego brzegiem jest jeden przebieg zamkni ¾ety c : [a; b] ! S do-datnio zorientowany przedzia÷ami naturalny bez samoprzeci ¾ec o wierzcho÷kachc (ti) i k ¾atach zewn ¾etrznych �i wówczas

kXi=0

Z ti+1

ti

�g (s) ds+

ZZR

KdS +kXi=0

�i = 2�

gdzie �g oznacza krzywizn ¾e geodezyjn ¾a regularnych cz ¾esci przebiegu c zas K jestkrzywizn ¾a Gaussa powierzchni S:

Remark 227 Przed dowodem zwrócmy uwag ¾e na pewien bardzo szczegolny przy-padek ju·z zbadany: mianowicie gdy powierzchnia jest p÷aszczyzn ¾a to krzywiznageodezyjna �g jest krzywizn ¾a zorientowan ¾a � (Uwaga 206), krzywizna Gaussap÷aszczyzny jest równa 0 i dla przebiegu naturalnego g÷adkiego (bez wierzcho÷ków,brak k ¾atów zewn ¾etrznych ) zamkni ¾etego bez samoprzeci ¾ec dodatnio zorientowanegotwierdzenie Hopfa orzeka, ·ze krzywizna ca÷kowita przebiegu jest rowna 2�: Jestto szczególny przypadek powy·zszego wzoru

R ba� (s) ds +

RRR0dS + 0 = 2�. Dla

przebiegu p÷askiego który jest ÷aman ¾a - tam krzywizny zorientowane s ¾a 0 - mamyPki=0 �i = 2�, tzn. za krzywizne globaln ¾a odpowiadaj ¾a k ¾aty zewn ¾etrzne. Np. dla

prostok ¾ata k ¾aty zewn ¾etrzne to �2 ; jest ich 4 i w sumie daj ¾a tyle co trzeba 2�:

Dla n-k ¾ata foremnego ÷atwo policzyc k ¾aty zewn ¾etrzne: � 2n -cwiczonko - sk ¾ad wsumie n takich k ¾atów wychodzi te·z 2�.

Proof. lokalnego tw G-B.Przypomnijmy: (Def. (203) krzywizn ¾a geodezyjn ¾a �g przebiegu naturalnego

c na na zorientowanej powierzchni S nazywamy algebraiczn ¾a wartosc pochodnejkowariantnej pola jednostkowego W = c0; t.j.

�g =

�rc0ds

�:

Na mocy Tw. (219) w parametryzacji ortogonalnej jest równa

�g =1

2 �pEG

�Gju �

dv

ds� Ejv �

du

ds

�+d ids

gdzie i jest k ¾atem zorientowanymmi¾edzy polami 'ju (u (�) ; v (�)) i c0 (�) ; ^�'ju; c

0�

dla odpowiedneij cz¾esci przebiegu c: Calkuj ¾ac w granicach od ti do ti+1 i sumu-

105

j ¾ac otrzymujemy

kXi=0

Z ti+1

ti

�g (s) ds

=kXi=0

Z ti+1

ti

1

2 �pEG

�Gju �

dv

ds� Ejv �

du

ds

�ds+

kXi=0

Z ti+1

ti

d ids

ds

=kXi=0

Z ti+1

ti

�1

2�GjupEG� dvds� 12�EjvpEG� duds

�ds+

kXi=0

( i (ti+1)� i (ti))

Z twierdzenia Greena zastosowanego do obszaru p÷askiego domkni¾etego A ='�1 [R] ograniczonego zamkni¾etym dodatnio zorientowanym przedzia÷ami reg-ularnym przebiegiem (u (s) ; v (s)) = '�1 (c (s)) ; s 2 [a; b] ; mamy dla P =

� 12 �EjvpEG

; Q = 12 �

GjupEG

oraz z Twierdzenia o obrocie stycznej

=

ZZA

"�1

2�GjupEG

�ju���12�EjvpEG

�jv

#dudv +

2� �

kXi=0

�i

!:

Z Tw (221) mamy zatem K � ' = � 12�pEG

=

ZZA

��pEG �K � ' dudv

�+ 2� �

kXi=0

�i

Cwiczenie zamiana ca÷ki powierzchniowej na podwojn ¾a

=

ZZR

�K dS + 2� �kXi=0

�i:

Obliczymy przyrost k ¾ata po przesuni¾eciu wektora v 2 Tc(0)S po przebieguc bez samoprzeci¾ecia zawartego w dziedzinie parametryzacji ortogonalnej ' :U ! S o dziedzinie U homeomor�cznej z ko÷em.

Theorem 228 (O przyroscie k ¾ata wektorów równoleg÷ych) Niech b¾ed ¾aspe÷nione za÷o·zenia poprzedniego twierdzenia. Wezmy wektor jednostkowy v 2Tc(0)S styczny do S w punkcie startu przebiegu c : [a; b] ! ' [U ] � S i prze-niesmy go równolegle wzd÷u·z c otrzymuj ¾ac pole jednostkowe wektorów równoleg÷ychW: Oznaczmy przez : [a; b] ! R k ¾at zorientowany mi ¾edzy 'ju i W: Wówczasprzyrost k ¾ata � jest niezale·zny od wyboru v i równa si ¾e

� =

ZZR

KdS:

gdzie R � Im' jest obszarem domkni ¾etym którego brzegiem jest c:

106

Proof. Równoleg÷osc pola W oznacza znikanie pochodnej kowariantnej rWd =0: W/g Tw. (219) dostajemy równosc

0 =1

2 �pEG

�Gju �

dv

ds� Ejv �

du

ds

�+d

ds

któr ¾a ca÷kujemy w przedziale [a; b]

0 =kXi=0

Z ti+1

ti

�1

2 �pEG

�Gju �

dv

ds� Ejv �

du

ds

��+

kXi=0

Z ti+1

ti

d

ds

=kXi=0

Z ti+1

ti

�1

2�GjupEG� dvds� 12�EjvpEG� duds

�+

kXi=0

( (ti+1)� (ti))

=kXi=0

Z ti+1

ti

�1

2�GjupEG� dvds� 12�EjvpEG� duds

�+ (b)� (a)

= �ZZ

R

KdS +� :

Ostatnia równosc otrzymalismy tak samo jak w dowodzie lokalnego Tw G-Bkorzystaj ¾ac z Twierdzenia Greena i wzoru na krzywizn¾e (Tw. 221).Zastosujemy lokalne Twierdzenie Gaussa-Bonneta do ma÷ych trójk ¾atów

geodezyjnych, tzn. trójk ¾atów zawartych w dziedzinie parametryzacji ortogo-nalnej o dziedzinie homeomor�cznej z ko÷em i którego brzeg sk÷ada si¾e z trzechgeodezyjnych ÷¾acznie daj ¾acych przebieg przedzia÷ami naturalny i którego k ¾atywewn¾etrzne s ¾a mniejsze ni·z � a nast¾epnie obliczymy sum¾e jego k ¾atów wewn¾etrznych.Zwrócmy uwag¾e, ·ze na sferze (prawy rysunek) zewn¾etrze zakreskowanego trójk ¾atate·z jest trójk ¾atem o tych samych bokach homeomor�cznym z ko÷em a jego k ¾atywewn¾etrzne s ¾a wi¾eksze od �:

107

Zauwa·zmy, ·ze w ka·zdym wierzcho÷ku suma k ¾ata wewn¾etrzenego �j i zewn¾etrznego�j jest równa �; �j + �j = �; sk ¾ad

�j = � � �j

Kat zewnetrzny i wewnetrzny dla trojkatadodatnio zorientowanrgo

Theorem 229 Suma k ¾atów wewn ¾etrznych �3i=1�i ma÷ego trójk ¾ata geodezyjnegoT na powierzchi S o krzywiznie K (p) ; p 2 S; wynosi

�3i=1�i = � +

ZZT

KdS:

Proof. Geodezyjna ma krzywizn¾e geodezyjn ¾a zerow ¾a, �g (s) = 0, st ¾ad z lokalnegoTwierdzenia Gaussa otrzymujemy

0 +

ZZT

KdS +

3Xi=1

�i = 2�

gdzie �i s ¾a k ¾atami zewn¾etrznymi trójk ¾ata T: Sk ¾ad z równosci �j = � � �jotrzymujemy ZZ

T

KdS +3Xi=1

(� � �i) = 2�

ZZT

KdS + 3� �3Xi=1

�i = 2�

3Xi=1

�i = � +

ZZT

KdS:

Dlatego na powierzchni o krzywiznie dodatniej suma k ¾atów wewn¾etrznychtrójk ¾ata jest wi¾eksza od �; zas na powierzchni o krzywiznie ujemnej jest mniejszaod �:

108

Z Twierdzenia o przyroscie miary k ¾ata po równoleg÷ym przesuni¾eciu wzd÷u·zboków ma÷ego geodezyjnego trójk ¾ata otrzymujemy

� =

ZZR

KdS =3Xi=1

�i � �:

LiczbaP3

i=1 �i � � nazywa si¾e nadmiarem lub defektam trójk ¾ata geodezyjnegoT i jest równa

RRRKdS oraz przyrostowi miary k ¾ata po jego równoleg÷ym prze-

suni¾eciu wzd÷u·z boków.

WYK×AD 27-30

9.2 Globalne Twierdzenie Gaussa-Bonneta

Przebieg zamkni¾ety, przedzia÷ami regularny bez samoprzeci¾ec nazywac b¾edziemyprzebiegiem prostym. Jego obraz nazywac b¾edziemy krzyw ¾a zamkni¾et ¾aprzedzia÷ami regularn ¾a.

De�nition 230 Obszar domkni ¾ety (czyli domkni ¾ecie zbioru otwartego) R � Snazywamy regularnym je·zeli jest zwarty i jego brzeg @R (w przestrzeni topolog-icznej S) jest sum ¾a krzywych zamkni ¾etych przedzia÷ami regularnych nieprzeci-naj ¾acych si ¾e ze sob ¾a.Na powierzchni zorientowanej S ka·zda z tych krzywych zawartych w @R mo·ze

byc dodatnio zorientowana wzgl ¾edem R (patrz uwaga (223).Powierzchni ¾e zwart ¾a S uwa·zamy za obszar domkni ¾ety regularny z pustym

brzegiem. Ka·zda zwarta powierzchnia S � R3 jest orientowalna. W R4 ju·z nie,mo·zna wyci ¾ac na sferze ko÷o i w brzeg tego ko÷a wkleic brzeg wst ¾egi Möbiusa.Otrzymana powierzchnia nie daje si ¾e zanurzyc w R3 bez samoprzecinania si ¾e(jest to topologicznie to samo co butelka Kleina) ale daje si ¾e zanurzyc homeo-mor�cznie w R4:

De�nition 231 Trójk ¾atem na powierzchni S nazywamy obszar domkni ¾ety reg-ularny ktorego brzeg jest jedn ¾a krzyw ¾a zamkni ¾et ¾a przedzia÷ami regularn ¾a o trzechwierzcho÷kach.

Proposition 232 Triangulacj ¾a regularnego obszaru R � S nazywamy skonc-zon ¾a rodzin ¾e F trojk ¾atów Ti � S; i = 1; :::; n; tak ¾a, ·ze1)STi = R;

2) gdy Ti \ Tj 6= ? to Ti \ Tj jest albo wspóln ¾a kraw ¾edzi ¾a ca÷¾a obu trójk ¾atówalbo wspólnym wierzcho÷kiem,3) ka·zdy wierzcho÷ek nale·z ¾acy do którejs z krzywych ograniczaj ¾acych obszar

R jest wierzcho÷kiem któregos z trojk ¾atów Ti:

Wprowadzmy dla danej triangulacji F obszaruR � S nast¾epuj ¾ace oznaczenia:F = ilosc scian (t.j. trójk ¾atów),E = ilosc boków (t.j. kraw¾edzi),V = ilosc wierzcho÷ków.

109

De�nition 233 Liczba� = F � E + V

nazywa si ¾e charakterystyk ¾a Eulera-Poincarégo triangulacji F :

Podamy bez dowodu podstawowe fakty dotycz ¾ace triangulacji i jej charak-terystyki Eulera-Poincarégo.

Theorem 234 1) Ka·zdy obszar regularny R � S dopuszcza triangulacj ¾e.2) Je·zeli S jest powierzchni ¾a zorientowan ¾a i f'�g jest skonczon ¾a rodzin ¾a

parametryzacji ortogonalnych zgodnych z zadan ¾a orientacj ¾a to istnieje triangu-lacja F obszaru R taka, ·ze ka·zdy trójk ¾at T 2 F jest zawarty w pewnym otoczeniuwspó÷rz ¾ednosciowym Im'� i je·zeli brzeg ka·zdego trójk ¾ata zorientowac dodatnio(patrz Uwaga (223) ) to granicz ¾ace trójk ¾aty maj ¾a przeciwne orientacje na wspól-nej kraw ¾edzi.3) Charakterystyka Eulera-Poincarégo obszaru regularnego R nie zale·zy od

wyboru triangulacji tego obszaru. Oznaczamy j ¾a

� (R) :

Dwa regularne obszary homeomor�czne maj ¾a jednakowe charakterystyki Eulera-Poincarégo.4) Je·zeli S i S0 s ¾a dwiema zwartymi powierzchniami w R3 o jednakowych

charakterystykach Eulera-Poincarégo � (S1) = � (S2) to S jest homeomor�czna zS0: Jedynymi liczbami b ¾ed ¾acymi charakterystykami Eulera-Poincarégo zwartychpowierzchni w R3 s ¾a

2; 0; �2; �4; :::; �2n; :::Powierzchniami o takich charakterystykach s ¾a- sfera, � = 2;- sfera z jedn ¾a r ¾aczk ¾a (torus), � = 0;- sfera z n-r ¾aczkami (n-torus), � = 2� 2n:W konsekwencji ka·zda zwarta powierzchnia S w R3 jest homeomor�czna ze

sfer ¾a z pewn ¾a ilosci ¾a r ¾aczek. Liczba r ¾aczek

2� � (S)2

nosi nazw ¾e genusu powierzchni S:

Theorem 235 (Globalne twierdzenie Gaussa-Bonneta) Niech R � Sb ¾edzie obszarem regularnym na zorientowanej powierzchni S którego brzeg sk÷adasi ¾e z krzywych zamkni ¾etych przedzia÷ami regularnych C1; :::; Cn: Za÷ó·zmy, ·zeka·zda krzywa Ci jest naturalnie sparametryzowana, dodatnio zorientowana wzgl ¾e-dem R i �1; :::; �k jest zbiorem wszystkich k ¾atów zewn ¾etrznych zorientowanychwszystkich tych krzywych. Wówczas

nXi=0

Z ti+1

ti

�g (s) ds+

ZZR

KdS +

kXj=0

�j = 2� � � (R) :

110

W szczególnosci gdy R = S t.j. gdy brzeg @R jest pusty, wówczas brak jestkrzywych Ci i k ¾atów i wówczasZZ

S

KdS = 2� � � (R) :

Proof. Wezmy triangulacj¾e F obszaru R tak ¾a, ·ze ka·zdy trójk ¾at Tj z tej tri-angulacji jest ma÷y i jest zawarty w otoczeniu wspó÷rz¾ednosciowym 'j [Uj ] dlapewnej ortogonalnej parametryzacji zgodnej z zadan ¾a orientacj ¾a 'j takiej, ·zeUj jest homeomor�czny z otwartym ko÷em. Brzeg ka·zdego trójk ¾ata Tj ; @Tj ; zF orientujemy dodatnio i stosujemy lokalne Twierdzenie Gaussa-Bonneta dlaka·zdego trójk ¾ata TjZ

@Tj

�g (s) ds+

ZZTj

KdS +3Xi=1

�j;i = 2� (47)

gdzie �j;1; �j;2; �j;3 oznaczaj ¾a trzy k ¾aty zorientowane zewn¾etrzne trójk ¾ata Tj :Na wspólnym brzegu dwu trójk ¾atów mamy orientacje przeciwne, krzywizna geo-dezyjna przebiegu zmienia znak przy zmianie orientacji (Cwiczenie (205)) wi¾ecdwie ca÷ki skalarne po takich bokach znosz ¾a si¾e. Po dodaniu równosci (47) dlawszystkich j = 1; 2; :::; F (F - ilosc trójk ¾atów w triangulacji F) dostajemy

nXi=0

Z ti+1

ti

�g (s) ds+

ZZR

KdS +FXj=1

3Xi=1

�j;i = 2� � F: (48)

[Gdy gdy R = S t.j. gdy brzeg @R jest pusty, wówczas brak jest krzywych Ci ik ¾atów i wszystkie ca÷ki po kraw¾edziach trójk ¾atów Tj znosz ¾a si¾e i otrzymujemywniosek

RRSKdS +

PFj=1

P3i=1 �j;i = 2� � F ].

Poniewa·z trójkaty Tj s ¾a dodatnio zorientowane to k ¾aty zewn¾etrzne zorien-towane s ¾a dodatnie z zakresu (0; �) : Po÷ó·zmy

�j;i = � � �j;i:

Jest to k ¾at wewn¾etrzny trójk ¾ata Tj przy i-tym wierzcho÷ku.(patrz rysunek wy·zej).Par indeksów (j; i) jest oczywiscie 3F sk ¾ad

FXj=1

3Xi=1

�j;i =FXj=1

3Xi=1

(� � �j;i) = 3F � � �FXj=1

3Xi=1

�j;i: (49)

Wprowadzmy pomocnicze oznaczenia:Ee - liczba zewn¾etrznych boków triangulacji F (t.j. takich, które nale·z ¾a do

którejs z krzywych Ci),Ei - liczba wewn¾etrznych boków triangulacji F (t.j. takich, które nie nale·z ¾a

do ·zadnej z krzywych Ci),Ve - liczba zewn¾etrznych wierzcho÷ków triangulacji F ((t.j. takich, które

nale·z ¾a do którejs z krzywych Ci),

111

Vec = k - liczba zewn¾etrznych wierzcho÷ków triangulacji F które s ¾ajednoczesnie wierzcho÷kami krzywych Ci (tyle co k ¾atów zewn¾etrznych),

Vet - liczba zewn¾etrznych wierzcho÷ków triangulacji F które nie s ¾a jed-noczesnie wierzcho÷kami krzywych Ci;

Vi - liczba wewn¾etrznych wierzcho÷ków triangulacji F (t.j. takich, które nienale·z ¾a do ·zadnej z krzywych Ci).Oczywiscie

E = Ee + Ei

Ee = Ve

V = Ve + Vi

Ve = Vec + Vet:

Ka·zdy trójk ¾at ma 3 boki, przy czym boki wewn¾etrzne s ¾a w dwu trójk ¾atach,zewn¾etrzne zas w jednym, zatem

3F = 2Ei + Ee:

Pozwala to dalej ci ¾agn ¾ac równosc (49):Xj;i

�j;i = 3F � � �Xj;i

�j;i

= � � (2Ei + Ee)�Xj;i

�j;i

= 2� � E1 + 2� � Ee � � � Ee �Xj;i

�j;i

= 2� � (E1 + Ee)� � � Ee �Xj;i

�j;i

= 2� � E � � � Ee �Xj;i

�j;i:

K ¾aty �j;i dzielimy na trzy grupy:- a) wewn¾etrzne - suma tych k ¾atów przy jednym wierzcho÷ku wynosi 2�,

÷¾acznie przy wszystkich tych wierzcho÷kach suma wynosi 2� � Vi;- b) zewn¾etrzne o wierzcho÷ku nale·z ¾acym do którejs z krzywych Ci ogranicza-

j ¾acych obszar R; suma tych k ¾atów przy jednym wierzcho÷ku wraz z zorien-towanym k ¾atem zewn¾etrznym przy tym wierzcho÷ku wynosi � [zobaczyc ry-sunkowo w ró·znych sytuacjach] st ¾ad suma tych k ¾atów przy jednym wierzcho÷kuodpowiadaj ¾acym k ¾atowi zewn¾etrznemu �j wynosi �� �j ; skoro ilosc tych wierz-cho÷ków jest równa Vec to ÷¾acznie przy wszystkich tych wierzcho÷kach sumawynosi

kXj=1

(� � �j) = � � Vec �kXj=1

�j ;

112

- c) zewn¾etrzne pozosta÷e - suma k ¾atów przy jednym takim wierzcho÷kuwynosi � a ilosc tych wierzcho÷ków jest Vet wi¾ec ÷¾acznie suma tych k ¾atów równasi¾e � � Vet:Tak wi¾ecX

j;i

�j;i = 2� � E � � � Ee �Xj;i

�j;i

= 2� � E � � � Ee �

0@2� � Vi + � � Vec � kXj=1

�j + � � Vet

1A= 2� � E � � � Ee � � � (Vec + Vet)� 2� � Vi +

kXj=1

�j

= 2� � E � � � Ee � � � Ve � 2� � Vi +kXj=1

�j

= 2� � E � 2� � (Ve + Vi) +kXj=1

�j

= 2� � E � 2� � V +kXj=1

�j

St ¾ad wynika równosc

kXj=1

�j =Xj;i

�j;i � 2� � E + 2� � V:

Z (49)P

j;i �j;i = 3F ���P

j;i �j;i i równosci powy·zszej oraz (48) otrzymujemy

nXi=0

Z ti+1

ti

�g (s) ds+

ZZR

KdS +kXj=0

�j

=nXi=0

Z ti+1

ti

�g (s) ds+

ZZR

KdS +Xj;i

�j;i � 2� � E + 2� � V

= 2� � F � 2� � E + 2� � V= 2� � (F � E + V )= 2� � � (R) :

Example 236 Sprawdzic niezale·znosc charakterystyki Eulera-Poincarégo od tri-angulacji na przyk÷adzie ró·znych triangulacji trójk ¾ata (� (R) = 1).

Example 237 Obliczyc charakterystyk ¾e Eulera-Poincarégo obszaru ograniczonyjedn ¾a krzyw ¾a przedzia÷ami regularn ¾a bez samoprzeci ¾ec (na kilku przyk÷adach)(� (R) = 1).

113

Example 238 Obliczyc charakterystyk ¾e Eulera-Poincarégo pierscienia (z wi ¾eci homeomor�cznego z nim cylindra) (� (R) = 0).

Example 239 Obliczyc charakterystyk ¾e Eulera-Poincarégo podwójnego piers-cienia.

Example 240 Obliczyc charakterystyk ¾e Eulera-Poincarégoa) sfery, �S2 = 2; oto przyk÷adowa triangulacja sfery (aby to zobaczyc

zwijamy odcinek 1 � 2 � 3 � 1 do okr ¾egu uto·zsamiaj ¾ac konce [st ¾ad konce s ¾atym samym punktem na sferze], kraw ¾edzie 1� 4 oraz 1� 5 ÷¾acznie s ¾a na sferzepo÷udnikiem ÷¾acz ¾acym biegun pó÷nocny N = 4 z biegunem po÷udniowym S = 5:

sfery

19:pdf

ilosc wierzcho÷ków - 5

ilosc kraw ¾edzi - 9

ilosc trójk ¾atów - 6

�S2 = 5� 9 + 6 = 2

genus g =2� 22

= 0 - sfera bez r ¾aczek

b) torusa, �T = 0; przyk÷adowa triangulacja (zwijamy pasek papieru do rurkisklejaj ¾ac górny odcinek z dolnym w tym samym kierunku, potem zwijamy "do

114

srodka" lewy i prawy odcinek sklejaj ¾ac w tym samym kierunku)

torus

20:pdf

ilosc wierzcho÷ków - 9

ilosc kraw ¾edzi - 27

ilosc trójk ¾atów - 18

�T = 9� 27 + 18 = 0

genus g =2� 02

= 1 sfera z 1 r ¾aczk ¾a

c) wst ¾egi Möbiusa,d) torusa z wyci ¾etym ko÷em,e) sfery z wyci ¾etymi trzema ko÷ami.f) powierzchni powsta÷ej ze sfery po wyci ¾eciu ko÷a i wklejeniu tam wst ¾egi

Möbiusa (� (R) = 1 ). Dla nieorientowalnej powierzchni zwartej - butelki Kleina= przestrzen rzutowa = wycinamy w sferze ko÷o i zaklejamy wst ¾eg ¾a Möbiusa(równowa·znie sklejamy punkty antypodyczne). Na rysunku zewn ¾etrzny okr ¾agobrazuje wyci ¾ete ko÷o i uto·zsamiamy punkty antypodyczne ponumerowane tymi

115

samymi cyframi i kraw ¾edzie ÷¾acz ¾ace wierzcho÷ki o takich samych wierzcho÷kach

klein

21:pdf

ilosc wierzcho÷ków - 6

ilosc kraw ¾edzi - 15

ilosc trójk ¾atów - 10

�K = 6� 15 + 10 = 1

Z globalnego Twierdzenia Gaussa-Bonneta wynikaj ¾a wnioski:

Conclusion 241 Je·zeli R � S jest obszarem regularnym prostym, tzn. ogranic-zonym jedn ¾a krzyw ¾a bez samoprzeci ¾ec i homeor�cznym z ko÷em to

nXi=0

Z ti+1

ti

�g (s) ds+

ZZR

KdS +

kXj=0

�j = 2�:

Napisac i porównac ze sob ¾a dwa takie wzory dla sfery S = S2 oraz R1 = T -ma÷ego trójk ¾ata i R2 dla jego dope÷nienia R2 = S2�T:

Conclusion 242 Gdy R = S t.j. gdy brzeg @R jest pusty, wówczas brak jestkrzywych Ci i k ¾atów i wówczas �j toZZ

S

KdS = 2� � � (S) :

Znaczy to, ·ze ca÷ka z krzywizny Gaussa powierzchni zwartej orientowalnej jestniezmiennikiem topologicznym.

116

Conclusion 243 Je·zeli obszar regularny R � S jest ograniczony zamkni ¾etymigeodezyjnymi (np. dowolnym trójk ¾atem geodezyjnym) toZZ

R

KdS = 2� � � (R) :

9.3 Zastosowania globalnego Twierdzenia Gaussa-Bonneta

Theorem 244 Zwarta orientowalna powierzchnia o nieujemnej lecz nie wsz ¾edzierównej zeru krzywiznie Gaussa jest homeomor�czna ze sfer ¾a.

Proof. Poniewa·z 2� � � (S) =RRSKdS > 0 to z Tw. (234(4)) wynika, ·ze

jedyn ¾a mo·zliw ¾a wartosci ¾a charakterystyki E-P jest liczba 2 a dalej, ·ze S jesthomeomor�czna ze sfar ¾a.

Theorem 245 Na powierzchni S o krzywiznie � 0 nie istnieje zamkni ¾eta geo-dezyjna ograniczaj ¾aca obszar prosty.

Proof. Niech R � S b¾edzie obszarem prostym ograniczonym geodezyjn ¾a.Poniewa·z charakterystyka E-P obszaru postego jest 1 to ostatniej konkluzjimielibysmy sprzecznosc.

2� =

ZZR

KdS � 0:

Znane jest choc ma trudny dowód Tw. Jordana o rozcinaniu: krzywazamkni¾eta przedzia÷ami regularna bez samoprzeci¾ec na p÷aszczyznie lub na sferzejest brzegiem obszaru prostego (tzn. homeomor�cznego z ko÷em) [krzywa rozcinap÷aszczyzn¾e /sfer¾e/ na dwa obszary których jest brzegiem].

Theorem 246 Je·zeli �1 i �2 s ¾a dwiema zamkni ¾etymi geodezyjnymi na zwartejpowierzchni orientowalnej o dodatniej krzywiznie to geodezyjne te przecinaj ¾a si ¾e�1 \ �2 6= ?:

Proof. Przypuscmy, ·ze si¾e nie przecinaj ¾a. Z pierwszego Twierdzenia tego para-grafu powierzchnia jest homeomor�czna ze sfer ¾a. Twierdzenie Jordana orzeka,·ze �1 i �2 s ¾a brzegami obszarów prostych, przy czym mo·zna je wybrac aby by÷yroz÷¾aczne. Po ich wyci¾eciu ze sferydostajemy obszar R homeomor�czny z cylin-drem ~R = S1 � [0; 1] którego charakterystyka E-P jest równan 0: Z globalnegoTw. Gaussa-Bonneta zastosowanego do cylindra R (oba denka na cylindrze s ¾ana nim geodzyjnymi) dostajemy sprzecznosc

0 = 2� � ��~R�= 2� � � (R) =

ZZR

KdS > 0:

Zastosujemy Tw. globalne do dowolnego trójk ¾ata geodezyjnego, niekonieczniema÷ego. Mo·ze to byc np. zewn¾etrze ma÷ego trójk ¾ata, którego k ¾aty wewn¾etrzne sa2� minus k ¾aty wewn¾etrzne tego ma÷ego trójk ¾ata. Nale·zy zauwa·zyc, ·ze w wierz-cho÷ku dowolnego trójk ¾ata suma k ¾ata wewn¾etrznego � 2 (0; 2�) i zewnetrzenegozorientowanego � 2 (��; �) zawsze jest �; �+ � = �; sk ¾ad � = � � �:

117

Theorem 247 Suma k ¾atów wewn ¾etrznych doowolnego obszaru zwartego T � Sograniczonego trzema odcinkami geodezyjnych (czyli dowolnego trójk ¾ata geo-dezyjnego niekoniecznie ma÷ego) wynosi

3Xj=1

�j =

ZZT

KdS + 3� � 2� � � (T ) :

Je·zeli T jest prosty (homeomor�czny z ko÷em, czy jak kto woli z p÷askim trójk ¾atem)to (� (T ) = 1)

3Xj=1

�j =

ZZT

KdS + �:

Proof. Z Tw. globalnego Gaussa-Bonneta dla obszaru T ograniczonego geo-dezyjnymi dostajemy ZZ

R

KdS +3Xj=1

�j = 2� � � (T ) :

Poniewa·z �j = � � �j toZZR

KdS +3Xj=1

(� � �j) = 2� � � (T )

ZZR

KdS + 3� �3Xj=1

�j = 2� � � (T ) :

Sk ¾ad dostajemy tezeP3

j=1 �j =RRTKdS + 3� � 2� � � (T ) :

Mo·zna powy·zszy rezultat zastosowac do zewn¾etrza ma÷ego trójk ¾ata na sferze,który to obszar tak·ze jest prosty i

P3j=1 �j =

RRTKdS + � co jest zgodne z

wnioskiem z tw Jordana: ka·zdy trójk ¾at na sferze jest prosty. Poniewa·z na sferzeo promieniu r = 1 krzywizn jest 1 to

RRTKdS = jT j : Zatem

3Xj=1

�j = � + jT j :

Dla dowolnych trójkatów prostych T na powierzchniach zorientowanych Smamy zatema)P3

j=1 �j = � gdy K = 0;

b)P3

j=1 �j > � gdy K > 0 (np. na sferze),

c)P3

j=1 �j < � gdy K < 0 (np. na pseudosferze).

118

9.4 UZUPE×NIENIE: Kompleks de Rhama, grupy ko-homologii, charakterystyka Eulera-Poincarégo i genuspowierzchni

Podamy tu de�nicj¾e charakterystyki Eulera-Poincarégo w terminach wymiarówgrup kohomologii oraz wprowadzimy genus (rodzaj) powierzchni [2 wymiarowej].Kompleksem de Rhama hiperpowierzchniM nazywamy ci ¾ag przestrzeni form

ró·zniczkowych k (M) i operatorów dk ró·zniczkowania form

0! 0 (M)d0! 1 (M)

d1! :::dn�2! n�1 (M)

dn�1! n (M)dn=0! 0:

W kompleksie tym z÷o·zenie dwu s ¾asiednich odwzorowan dd daje 0; dd = 0: St ¾adIm dk�1 � ker dk: Iloraz

HkdR (M) := ker d

k= Im dk�1

jest przestrzeni ¾a wektorow ¾a zwan ¾a k-t ¾a grup ¾a kohomologii de Rhama hiper-powierzchni M: Ka·zdy element przestrzeni Hk

dR (M) nazywa si¾e klas ¾a koho-mologii.

De�nition 248 Forma ró·zniczkowa ! nazywa si ¾e zamkni ¾eta gdy d! = 0; tzn.gdy ! 2 ker d:

ker d = f! 2 (M) ; d! = 0g =: Z (M) :

Forma ró·zniczkowa ! nazywa si ¾e dok÷adna (lub zupe÷na) gdy jest ró·zniczk ¾apewnej formy, t.j. gdy ! = d� dla pewnej formy �; tzn. gdy ! 2 Im d.

Im d = f�; 9!� = d!g =: B (M) :

Klas ¾e kohomologii formy zamkni ¾etej ! oznaczamy [!] : Klasa ta jest zerowawtedy i tylko wtedy gdy forma ! jest dok÷adna.

Hk (M) = 0 gddy gdy ka·zda k-forma zamkni¾eta jest dok÷adna. Np. LematPoincarégo mówi, ·ze na otwartym obszarze gwiazdzistym U � Rn ka·zda k-forma(k � 1) zamkni¾eta jest dok÷adna, a tym samym Hk (U) = 0 dla k � 1:Gdy M jest spójna to H0 (M) = R: Istotnie, gdy df = 0 to f = const;

sk ¾ad ker d0 = R i H0 (M) = R=f0g = R: Gdy M jest zwarta i zorientowanan-wymiarowa to Hk (M) �= Hn�k (M) - dualnosc Poincarégo. W szczególnoscigdy M jest spójna, zwarta i zorientowana to Hn (M) = R: Gdy M nie jestzwarta lub jest nieorientowalna to Hn (M) = 0:

Theorem 249 Niech n = dimM: a) Je·zeli M jest spójna to H0 (M) = R; b)je·zeli M jest zwarta i orientowalna to Hn (M) = R; w pozosta÷ych przypadkach(niezwarta lub nieorientowalna) Hn (M) = 0:

Theorem 250 Je·zeli M jest zwart ¾a hiperpowierzchni ¾a to wszystkie grupy ko-homologii Hk (M) s ¾a skonczenie wymiarowe.

119

De�nition 251 Je·zeli Hk (M) jest przestrzeni ¾a skonczenie wymiarow ¾a, to jejwymiar dimHk (M) oznaczamy przez bk;

bk = dimHk (M) ;

i nazywamy k-t ¾a liczb ¾a Bettiego hiperpowierzchni M: Wielomian PM (t) =Pnk=0 bkt

k nazywamy wielomianem Poincarégo hiperpowierzchni M:

Gdy M jest zwarta i zorientowana to bk = bn�k: W szczególnosci b0 = bn:Np. dla okr¾egu S1 mamy H0

�S1�= R =H1

�S1�czyli b0 = b1 = 1: Zatem

wielomian Poincarégo okr¾egu to 1+t: Jest twierdzenie o wielomianie Poincarégodla iloczynu kartezjanskiego M � N; mianowicie PM�N (t) = PM (t) � PN (t) :Rozwa·zmy dla prostego przyk÷adu torus T =S1�S1; jego wielomian Poincarégoto iloczyn wielomianów (1 + t) � (1 + t) = 1 + 2t+ t2 sk ¾ad mamy b1 = 2:

De�nition 252 Je·zeli wszystkie grupy kohomologii Hk (M) s ¾a skonczenie wymi-arowe [np. tak jest dla zwartych hiperpowierzchni] i bk = dimHk (M) s ¾aliczbami Bettiego to liczba

�M =nXk=0

(�1)k bk

nazywa si ¾e charakterystyk ¾a Eulera-Poincarégo hiperpowierzchni M:

Dalej ograniczmy si¾e do n = 2; t.j. powierzchni 2-wymiarowych oznaczanychraczej przez S. Wsród nich s ¾a tzw. powierzchnie Riemanna. Aby je lep-iej zobaczyc, uto·zsamiamy p÷aszczyzn¾e z liczbami zespolonymi R2 = C: Je·zelifunkcje przejscia dla takiej S s ¾a holomor�czne, to S nazywamy powierzchni ¾aRiemanna - s ¾a to rozmaitosci zespolone wymiaru zespolonego 1. Dla powierzchni2-wymairowych

�S = b0 � b1 + b2:Jesli S jest zwarta i zorientowana to b0 = 1 = b2 zatem wtedy �S = 2� b1:

Theorem 253 (Dowód np. u Rotmana): Dla danej powierzchni zwartej S za-chodzi równosc

�S = �F ;

w szczególnosci �F nie zale·zy od wyboru triangulacji.

Teraz dojdziemy do genusu i zwi ¾a·zemy go z �S oraz wyjasnimy jego znacze-nie.Formalnie�dla zwartej orientowalnej powierzchni S genus to liczba

g =2� �S2

ale dalej nie widac co ona oznacza. Za pomoc ¾a liczb Bettiego mamy

g =2� (2� b1)

2=b12:

120

Przyk÷adowo dla sfery S2 mamy H1�S2�= 0 sk ¾ad b1 = 0 i �S1 = b0 � b1 =

0 oraz g = 0: Dla torusa T = S1 � S1 ÷atwo obliczylismy wy·zej b1 = 2 sk ¾ad�T = 2� b1 = 0 i g = 1:

Theorem 254 Ka·zda zwarta powierzchnia S w R3 jest homeomor�czna ze sfer ¾az pewn ¾a ilosci ¾a r ¾aczek (jest wi ¾ec te·z orientowalna) . Sfera z n-r ¾aczkami (n-torus) ma charakterystyk ¾e Eulera-Poincarégo � = 2 � 2n: St ¾ad liczba r ¾aczek ndla powierzchni S o charakterystyce Eulera-Poincarégo �S wynosi

2� �S2

i jest to w÷asnie genus powierzchni S:

121