fr_main

Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocawskiego

Grzegorz Plebanek

Miara i caka

skrypt do wykadu Funkcje rzeczywiste

cGrzegorz Plebanek (2009) wersja (2013)

Spis treci

0 Wiadomoci wstpne 10.1 O czym i dla kogo jest ten tekst? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Troch teorii mnogoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Odrobina topologii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.5 Problemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Rodziny zbiorw i miary 91.1 Rodziny zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Addytywne funkcje zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Miara Lebesguea I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Miary zewntrzne i zbiory mierzalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Przestrzenie miarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Jednoznaczno rozszerzenia miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Miara Lebesguea II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9 Problemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Funkcje mierzalne 322.1 Podstawowe wiadomoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Funkcje proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Prawie wszdzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Zbieno cigw funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6 Problemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.7 DODATEK: Granice dolne i grne

cigw liczbowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Caka 453.1 Caka z funkcji prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Caka z funkcji mierzalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Twierdzenia graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 Caka Lebesguea na prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

i

3.6 Problemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Miary produktowe i twierdzenie Fubiniego 574.1 Produktowanie -cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Produktowanie miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Twierdzenie Fubiniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Produkty skoczone i nieskoczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Miara na zbiorze Cantora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.7 Problemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Miary znakowanei twierdzenie Radona-Nikodyma 705.1 Miary znakowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2 Absolutna cigo i singularno miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3 Twierdzenie Radona-Nikodyma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4 Miary na prostej rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.6 Problemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Przestrzenie funkcji cakowalnych 836.1 Klasyczne nierwnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2 Przestrzenie Banacha funkcji cakowalnych . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3 Jednakowa cakowalno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 Miary na przestrzeniach euklidesowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.5 Zbiory gste w L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.6 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.7 Problemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

ii

Rozdzia 0

Wiadomoci wstpne

Young man, in mathematics you dont un-derstand things. You just get used to them.John von Neumann

0.1 O czym i dla kogo jest ten tekst?

Niniejszy skrypt zawiera podstawowy wykad z teorii miary i caki i obejmuje mate-ria, ktry w Instytucie Matematycznym UWr jest wykadany w trakcie semestralnegowykadu, noszcego tradycyjn (acz nieco mylc) nazw Funkcje rzeczywiste. Skryptwinien by dostpny dla kadego studenta II roku matematyki bd informatyki dozrozumienia wikszoci zagadnie wystarcza dobra znajomo rachunku rniczkowe-go i cakowego funkcji jednej zmiennej oraz teorii mnogoci w zakresie podstawowym.W miejscach, gdzie potrzebna jest gbsza znajomo zagadnie teoriomnogociowych,czytelnik zostanie kadorazowo ostrzeony. Skrypt pisany jest z myl o studentach,ktrzy nie suchali jeszcze wykadu z topologii niezbdne elementy topologii prze-strzeni metrycznych bd wprowadzane w miar potrzeb.

Jest wiele ksiek w jzyku angielskim i kilka po polsku, traktujcych o podstawachteorii miary i caki; poniej wymieniam jedynie te, do ktrych zagldaem w trakciepisania skryptu:

[1] P. Billingsley, Prawdopodobiestwo i miara, PWN, Warszawa (1987).

[2] P. Halmos, Measure theory, Springer, New York (1974).

[3] D.H. Fremlin, Measure theory vol. 1: The Irreducible minimum, Torres Fremlin,Colchester (2000).

[4] D.H. Fremlin, Measure theory vol. 2: Broad foundations, Torres Fremlin, Colche-ster (2000).

[5] S. ojasiewicz, Wstp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa (1976).

Prezentowane w skrypcie podejcie do wprowadzenia miary i caki jest jak najbar-dziej standardowe i unika eksperymentw formalnych. Dlatego wiele koncepcji zostao

G. Plebanek, MIARA I CAKA Rozdzia 0: Wiadomoci wstpne 2

wprost zaczerpnitych z klasycznej ksiki Halmosa, a wiele dowodw korzysta z ele-ganckiego podejcia, zaprezentowanego przez podrcznik Billingsleya. Mam jednaknadziej, e poniszy wykad, dziki stosownemu wyborowi zagadnie i sposobowiprezentacji bdzie przydatny i, do pewnego stopnia, oryginalny. W moim przewiad-czeniu skrypt zawiera zagadnienia, ktre winien dobrze opanowa kady dobry studentmatematyki, niezalenie od tego, jaka bdzie droga jego specjalizacji na wyszych la-tach studiw.

Kady rozdzia koczy lista zada oraz lista problemw. Zadania maj stanowiintegraln cz wykadu, komentowa twierdzenia, dostarcza przykadw, zachcado przeprowadzania samodzielnych rozumowa. Problemy to zagadnienia, ktre albo(czasami tylko chwilowym) stopniem trudnoci, albo te tematyk wykraczaj pozapoziom podstawowy wykadu; w kadym razie problemy mona pomin przy pierw-szej lekturze. Niektre problemy wymagaj znajomoci indukcji pozaskoczonej; w in-nych przypadkach rozrnienie pomidzy problemem a zadaniem jest czysto umowne.Wiele zada naley do klasyki przedmiotu i mona je znale w cytowanych podrcz-nikach. Inne powstay w wyniku moich wasnych dowiadcze z uczeniem studentwmatematyki we Wrocawiu bd zostay zaczerpnite z internetu, w szczeglnoci z fo-rum dyskusyjnego Ask an Analyst, prowadzonego na portalu Topology Atlas1

0.2 Troch teorii mnogoci

Bdziemy najczciej prowadzi rozwaania, dotyczce podzbiorw jakie ustalonejprzestrzeni X; rodzin wszystkich podzbiorw zbioru X nazywamy zbiorem potgo-wym i oznaczamy zazwyczaj przez P(X). Oprcz zwykych operacji AB, AB,A \B, okrelonych dla A,B X, moemy mwi o dopenieniu Ac = X \A zbioru A.Przypomnijmy, e operacja rnicy symetrycznej zbiorw jest okrelona jako

A4B = (A \B) (B \ A) = (A B) \ (A B).

Podstawowymi bd dla nas operacje mnogociowe wykonywane na cigach zbio-rw. Jeli dla kadej liczby naturalnej n N wybralimy pewien podzbir An prze-strzeni X to (An)n nazwiemy cigiem podzbiorw X i dla takiego cigu definiujemyprzekrj

n=1An i sum

n=1 An przez warunki

x n=1

An wtedy i tylko wtedy gdy x An dla kadego n N;

x n=1

An wtedy i tylko wtedy gdy istnieje n N takie e x An.

Przykad 0.2.1 Rozwaajc podzbiory postaci (a, b) = {x R : a < x < b} moemy1patrz http://at.yorku.ca/topology/


napisa

n=1

(0, 1/n) = ,n=1

(1/n, 1/n) = {0},n=1

(1/n, n) = (0,),

co jest oczywiste, nieprawda?2 Oczywicie umiejtno formalnego zapisania tego typu definicji za pomoc kwan-

tyfikatorw (oraz ich zrozumienia) jest jak najbardziej podana, ale warto zwrciuwag na to, e ciso i precyzja matematyczna nie kci si z uyciem jzyka po-tocznego.

Lemat 0.2.2 Dla dowolnego cigu zbiorw An w ustalonej przestrzeni X zachodzprawa de Morgana

(i)( n=1

An

)c=n=1

Acn, (ii)( n=1

An

)c=n=1

Acn.

Dowd. Aby udowodni wzr (i) zauwamy, e x (n=1 An)c wtedy i tylko wtedygdy x nie naley do zbioru

n=1An, co jest rwnowane temu, e x / Ak dla pewnego

k, a to jest tosame ze stwierdzeniem, e x n=1Acn.Wzr (ii) mona wyprowadzi z (i) i oczywistej zalenoci (Ac)c = A:

n=1

Acn =[(

n=1

Acn

)c]c=[ n=1

(Acn)c

]c=( n=1

An

)c.

Podamy teraz pewne definicje i oznaczenia, ktre bd bardzo przydatne w dal-

szym cigu. Niech (An)n bdzie cigiem zbiorw w ustalonej przestrzeni X. Taki cignazywamy rosncym jeli An An+1 dla kadego n; analogicznie cig jest malejcygdy An An+1 dla wszystkich n. Bdziemy pisa

An A aby zaznaczy, e cig (An)n jest rosncy i A =n=1

An,

An A aby zaznaczy, e cig (An)n jest malejcy i A =n=1

An.

Tego typu zbieno zbiorw moe by uoglniona w sposb nastpujcy.

Definicja 0.2.3 Dla cigu zbiorw (An)n zbiory

lim supn

An =n=1

k=n

Ak, lim infn An =

n=1

k=n

Ak,

2oczywisto jest kategori psychologiczn; w praktyce matematycznej umawiamy si, e kadyfakt oczywisty ma swj dowd i bdzie okazany na danie oponenta bd egzaminatora


nazywamy, odpowiednio, granic grn i granic doln cigu (An)n.Mwimy, e cig (An)n jest zbieny do zbioru A, piszc A = limnAn, gdy

A = lim supn

An = lim infn An.

Innym wanym pojciem jest przeliczalno zbiorw. Przypomnijmy, e dwa zbio-ry X i Y s rwnoliczne jeeli istnieje bijekcja f : X Y (czyli funkcja wzajemniejednoznaczna), odwzorowujca X na Y . Zbir X nazywamy przeliczalnym jeeli Xjest skoczony lub te X jest rwnoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N. Inaczejmwic zbir jest przeliczalny jeeli jest rwnoliczny z pewnym podzbiorem N. Naj-bardziej intuicyjnym wyraeniem przeliczalnoci bdzie nastpujca uwaga: niepustyzbir przeliczalny X mona zapisa w postaci X = {xn : n N} (wyliczy wszystkiejego elementy; tutaj nie zakadamy, e xn s parami rne). Przypomnijmy sobie na-stpujce wasnoci zbiorw przeliczalnych (dowd poniej jest ledwie naszkicowany).

Twierdzenie 0.2.4(i) Zbir N N jest przeliczalny.(ii) Jeli zbiory X i Y s przeliczalne to zbiory X Y i X Y te s przeliczalne.(iii) Jeli zbiory X1, X2, . . . s przeliczalne to zbir X =

n=1Xn jest przeliczalny.

(iv) Zbir liczb wymiernych Q jest przeliczalny.(v) Zbir {(p, q) : p < q, p, q Q} (wszystkich przedziaw na prostej o kocachwymiernych) jest przeliczalny.

(vi) Ani zbir liczb rzeczywistych R, ani te aden jego niepusty przedzia (a, b) Rnie jest przeliczalny.

Dowd. Dowd (i) wynika std, e cig

1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 1, . . .w ktrym wyliczamy wszystkie pary o sumie 2, nastpnie wszystkie pary o sumie 3itd., zawiera wszystkie elementy zbioru N N.

W czci (ii) dowd przeliczalnoci X Y zostawiamy czytelnikowi, natomiastprzeliczalno X Y wynika atwo z (i).

W (iii) na mocy zaoenia moemy napisa Xn = {xnk : k N} dla kadego n. Wten sposb otrzymamy zbir X = {xnk : n, k N} ponumerowany za pomoc N N,a to na mocy (i) uzasadnia jego przeliczalno.

Przeliczalno Q wynika atwo z (i) i pierwszej czci (ii). Z wielu rnych spo-sobw wykazania nieprzeliczalnoci R wspomnimy nastpujcy: niech xn bdzie do-wolnym cigiem liczb rzeczywistych; wykaemy, e R 6= {xn : n N}. Wybierzmydowolne liczby a1 < b1, takie e przedzia [a1, b1] nie zawiera liczby x1. Zauwamy,e istniej liczby a2, b2 takie e a1 < a2 < b2 < b1 i x2 / [a2, b2]. Postpujc analo-gicznie zdefiniujemy zstpujcy cig niezdegenerowanych przedziaw [an, bn] tak e


x1, x2, . . . , xn / [an, bn]. Rzecz w tym, e istnieje liczba y n=1[an, bn] na mocyaksjomatu Dedekinda mona przyj y = supn an. Ostatecznie y 6= xn dla kadego n ito koczy dowd. atwo ten argument zmodyfikowa, aby pokaza e aden niepustyprzedzia (a, b) na prostej nie jest przeliczalny.

Tradycyjnie moc zbioru R oznaczana jest przez c i nosi nazw continuum. W teoriimnogoci dowodzi si, e rodzina P (N) wszystkich podzbiorw N jest rwnoliczna zR, czyli e P (N) te jest mocy c.

0.3 Odrobina topologii

W tym miejscu wprowadzimy podstawowe pojcia topologiczne na prostej rzeczywi-stej. Przypomnijmy, e o zbiorze R, oprcz zwykych aksjomatw opisujcych wasno-ci dziaa + i oraz wasnoci porzdku, zakadamy nastpujcy aksjomat Dedekinda:Kady niepusty i ograniczony z gry zbir A R ma najmniejsze ograniczenie grne(ktre oznaczamy supA).

Definicja 0.3.1 Zbir U R jest otwarty jeeli dla kadego x U istnieje liczba ,taka e (x , x+ ) U .

Zbir F R nazywamy domknitym jeli zbir R \ F jest otwarty, to znaczy jelidla kadego x / F istnieje > 0, taka e (x , x+ ) F = .

Przykad 0.3.2 Jest rzecz oczywist, ale godn odnotowania, e zbiory i R sotwarte, a wic s take domknite. Dowolny przedzia postaci (a, b) jest otwartympodzbiorem prostej; istotnie, jeli x (a, b) to wystarczy przyj = min{xa, bx}.Z podobnych powodw otwartymi s pproste postaci (a,), (, b).

Przedzia postaci [a, b] jest domknitym zbiorem w sensie powyszej definicji, dla-tego e R \ [a, b] = (, a) (b,) jest zbiorem otwartym. Tym samym terminyotwarty i domknity rozszerzaj potoczne okrelenia stosowane dla przedziaw.

Przedzia postaci [a, b) dla a < b nie jest ani otwarty, jako e nie spenia definicjiotwartoci dla x = a, ani te domknity.

Nietrudno wywnioskowa z definicji, e zbir jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdyjest sum pewnej rodziny przedziaw. W istocie mamy nastpujce

Twierdzenie 0.3.3 Kady niepusty zbir otwarty U R jest postaci

U =n=1

(an, bn)

dla pewnych liczb wymiernych an, bn.


Dowd. Dla kadego x U istnieje > 0, taka e (x , x + ) U . Korzystajc zgstoci zbioru Q moemy znale ax, bx Q, takie e x < ax < x < bx < x+ , awtedy x (ax, bx) U . W ten sposb zdefiniowalimy rodzin przedziaw {(ax, bx) :x U} o kocach wymiernych. Rodzina ta jest przeliczalna na mocy Twierdzenia0.2.4(v); jeli (pn, qn) jest numeracj wszystkich elementw tej rodziny to otrzymamyU =

n=1(pn, qn), poniewa dla dowolnego x U mamy x (ax, bx) = (pn, qn) dla

pewnego n. Nieco inn metod mona wykaza nastpujc wersj Twierdzenia 0.3.3: kady

otwarty podzbir R jest przeliczaln sum przedziaw parami rozcznych, patrz Za-danie 0.4.11.

Na koniec wspomnimy jeszcze o specjalnej wasnoci odcinkw domknitych, ktraw topologii jest nazywana zwartoci.

Twierdzenie 0.3.4 Jeeli [a, b] n=1(an, bn) to istnieje n N, takie e [a, b] ni=1(ai, bi).

Dowd. Niech S bdzie zbiorem tych liczb s [a, b], dla ktrych odcinek [a, s] pokrywasi skoczon iloci przedziaw (an, bn). Wtedy S 6= poniewa a S. Zbir S jakoniepusty i ograniczony z gry podzbir prostej ma kres grny, niech t = supS. Wtedyt [a, b] wic t (ai, bi) dla pewnego i. Poniewa ai < t wic istnieje s S, taki e ai 0 w (x , x + ) znajdowao si nieskoczenie wiele wyrazw ciguxn. Przyj, e aden x F nie ma tej wasnoci i zastosowa Twierdzenie 0.3.5.

Rozdzia 1

Rodziny zbiorw i miary

pi pi

Czowiek jest miar wszechrzeczy (istniejcych,e istniej i nieistniejcych, e nie istniej).Protagoras z Abdery

W rozdziale tym wprowadzimy podstawowe pojcia teorii miary, a nastpnie udo-wodnimy twierdzenie, pozwalajce konstruowa miary z funkcji zbioru okrelonych napiercieniach. Konstrukcja ta bdzie zilustrowana wprowadzeniem miary Lebesgueana prostej rzeczywistej.

1.1 Rodziny zbiorw

W tym podrozdziale, jak i w wielu nastpnych, bdziemy rozwaa rodziny podzbiorwustalonej niepustej przestrzeni X; przypomnijmy, e P (X) oznacza rodzin wszystkichpodzbiorw X.

Definicja 1.1.1 Mwimy, e rodzina R P (X) jest piercieniem zbiorw jeeli(i) R;(ii) jeeli A,B R to A B, A \B R.

Rodzina R jest ciaem zbiorw jeeli R jest piercieniem zbiorw oraz X R.

Powysza terminologia nawizuje nieco do poj algebraicznych (piercienie i ciaaw algebrze to struktury, w ktrych wykonalne s pewne dziaania), ta analogia jestnieco powierzchowna (ale patrz Zadanie 1.8.1). Poniewa nie bdzie to prowadzi donieporozumie, w dalszym cigu bdziemy po prostu mwi, e dana rodzina R jestpiercieniem lub ciaem.

Zauwamy, e w piercieniuR moemy wykonywa operacje rnicy symetrycznej iprzekroju; istotnie, jeeli A,B R to A4B R, co wynika bezporednio z aksjomatu(ii) w Definicji 1.1.1; ponadto A B = A \ (A \ B) R. Zauwamy te, e na to,

G. Plebanek, MIARA I CAKA Rozdzia 1: Rodziny zbiorw i miary 10

aby rodzina R bya ciaem potrzeba i wystarcza eby R oraz A B,Ac R dladowolnych A,B R. Dostateczno tych warunkw wynika z tosamoci X = c oraz

A \B = A Bc = (Ac B)c.

Jeeli dana rodzina zbiorw R jest zamknita na sumy dwch swoich elementw toprosta indukcja pokae, e

ni=1 Ai R dla dowolnego n i Ai R. Moemy wic

powiedzie, e ciao zbiorw to rodzina zamknita na wszystkie skoczone operacjemnogociowe.

Definicja 1.1.2 Mwimy, e rodzina R P (X) jest piercieniem zbiorw jeeli Rjest piercieniem zamknitym na przeliczalne sumy, to znaczy speniajcym warunekn=1 An R dla dowolnego cigu An R.

Jeeli R jest piercieniem i X R to R nazywamy ciaem.

Zauwamy, e w ciele R wykonywalne s wszystkie przeliczalne operacje mno-gociowe, na przykad jeeli An R to n=1An R na mocy Lematu 0.2.2, oraz

lim supn

An, lim infn

An R,

jako e rodzina R jest zamknita na przeliczalne sumy i przekroje.

Przykad 1.1.3 RodzinaR = {} jest oczywicie piercieniem, a rodzinaA = {, X}jest najmniejszym ciaem podzbiorw X. Zauwamy, e zbir potgowy P (X) jest ciaem.

Jeli oznaczymy przez R rodzin wszystkich skoczonych podzbiorw nieskoczo-nej przestrzeni X to R jest piercieniem, ale nie jest ciaem. Zauwamy te, e takarodzina nie jest piercieniem bo, skoro X jest nieskoczonym zbiorem to w X monawyrni cig xn parami rnych jego elementw. Przyjmujc A = {xn : n N} orazAn = {xn} mamy An R ale A / R.

Analogicznie w nieprzeliczalnej przestrzeni X rodzina C wszystkich podzbiorwprzeliczalnych stanowi naturalny przykad piercienia, ktry nie jest ciaem.

Podamy teraz mniej banalny i wany przykad piercienia podzbiorw R.

Lemat 1.1.4 Rodzina R tych zbiorw A R, ktre mona, dla pewnych n N,ai, bi R, zapisa w postaci

() A =ni=1

[ai, bi),

jest piercieniem podzbiorw prostej rzeczywistej. Kady A R ma takie przedstawie-nie (*), w ktrym odcinki [ai, bi) s parami rozczne.


Dowd. Mamy = [0, 0) R; z samej postaci formuy (*) wynika, e rodzina Rjest zamknita na skoczone sumy. Zauwamy, e zbir [a, b) \ [c, d) jest albo pusty,albo odcinkiem postaci [x, y), albo te, w przypadku gdy a < c < d < b, jest zbiorem[a, c) [d, b) R. Korzystajc z tej uwagi atwo jest przez indukcj sprawdzi, e[a, b) \ A R dla zbioru A jak w (*). Std z kolei wynika, e R jest zamknita naodejmowanie zbiorw.

Sprawdzenie kocowego stwierdzenia pozostawiamy czytelnikowi (patrz te Zada-nie 1.8.6).

Na og trudno jest opisywa w konkretny sposb rodziny ktre s zamknite naprzeliczalne operacje zamiast tego wygodniej jest mwi o generowaniu danegopiercienia lub ciaa przez jak wyrnion rodzin zbiorw. Zauwamy, e dladowolnej rodziny F P (X) istnieje najmniejszy piercie R0 zawierajcy F ; R0 jestpo prostu przekrojem wszystkich moliwych piercieni R F (por. Zadanie 1.8.3).Ta uwaga odnosi si te do cia i cia.

Definicja 1.1.5 Dla dowolnej rodziny F P (X) przyjmiemy oznaczeniar(F) piercie generowany przez rodzin F (Ring);s(F) piercie generowany przez rodzin F (Sigma ring);a(F) ciao generowane przez rodzin F (Algebra);(F) ciao generowane przez rodzin F (algebra).

W nawiasach podano wyjanienie wybranych liter w terminologii angielskiejczsto ciao = field nazywa si te algebr = algebra. Oznaczenia te bd stosowanetylko w biecym rozdziale. Wyjtkiem jest oznaczenie (), ktre warto zapamitabo jego rola jest duo powaniejsza.

Zauwamy, e piercie przedziaw R z Lematu 1.1.4 jest generowany przez ro-dzin F = {[a, b) : a < b}, natomiast -piercie zbiorw przeliczalnych z Przykadu1.1 jest generowany przez rodzin wszystkich singletonw {x} dla x X (inne przy-kady generowania znajduj si w zadaniach). Generowanie piercieni czy cia mo-na porwna do sytuacji, gdy w danej przestrzeni liniowej mwimy o podprzestrzenigenerowanej przez wybrany ukad wektorw lub w ustalonej grupie o podgrupiegenerowanej przez pewien jej podzbir.

Definicja 1.1.6 Najmniejsze ciao zawierajce rodzin U wszystkich otwartych pod-zbiorw R oznaczamy Bor(R) = (U) i nazywamy -ciaem zbiorw borelowskich.

Powysza definicja ma posta, ktra posiada naturalne uoglnienia na inne prze-strzenie euklidesowe, czy metryczne. W przypadku prostej rzeczywistej warto odno-towa bardziej konkretne rodziny generatorw zbiorw borelowskich patrz lematponiej oraz Zadanie 1.8.13.

Lemat 1.1.7 Niech F bdzie rodzin przedziaw postaci [p, q) gdzie p, q Q. Wtedy(F) = Bor(R).


Dowd. Poniewa [p, q) =n=1(p 1/n, q) wic [p, q), jako przekrj przeliczalnie

wielu zbiorw otwartych, jest elementem Bor(R). Std F Bor(R) i tym samym(F) Bor(R).

Z drugiej strony dla dowolnych a < b moemy napisa (a, b) =n=1[pn, qn) (F),

gdzie pn, qn s odpowiednio dobranymi cigami liczb wymiernych. Std i z Twierdzenia0.3.3 wynika, e dowolny zbir otwarty U jest elementem (F), a zatem Bor(R) (F).

O zbiorze borelowskim B Bor(R) mona myle jako o takim zbiorze, ktrymona zapisa za pomoc przedziaw oraz przeliczalnych operacji mnogociowych.Mwic pogldowo kady zbir, ktry mona zapisa wzorem jest borelowski i wznacznej czci rozwaa matematycznych wystpuj tylko zbiory borelowskie. W isto-cie wskazanie zbioru spoza Bor(R), a raczej udowodnienie, e istniej nieborelowskiepodzbiory prostej, wymaga pewnego wysiku patrz Problem 1.9.C.

1.2 Addytywne funkcje zbioru

Dla ustalonej rodziny R funkcj f : R R nazywamy funkcj zbioru (aby wyra-nie zaznaczy, e argumenty tej funkcji maj inn natur ni zmienne rzeczywiste).Tradycyjnie funkcje zbioru oznaczane s literami alfabetu greckiego. Naturanym jestzakada, e funkcja zbioru moe take przyjmowa warto, czyli rozwaa funkcjezbioru

R R+ = R+ {} = [0,];o symbolu nieskoczonoci zakadamy na razie tylko tyle, e x


(c) Jeeli zbiory A1, . . . , An s parami rozczne to (ni=1Ai) =

ni=1 (Ai).

Dowd. Poniewa B = A (B \A) dla zbiorw A B, wic (B) = (A) +(B \A).Std wynika (a), jako e (B \ A) 0 oraz (b).

Cz (c) dowodzi si przez atw indukcj.

Definicja 1.2.3 Jeli jest addytywn funkcj na piercieniu R to mwimy e jest przeliczalnie addytywn funkcj zbioru, jeeli dla dowolnych R R i paramirozcznych An R, takich e R = n=1An zachodzi wzr

( n=1

An

)=n=1

(An).

W powyszej definicji musimy zaoy, e nieskoczona suma zbiorw jest elemen-temR, jako e rodzinaR jest z zaoenia jedynie piercieniem. Odnotujmy, e warunekprzeliczalnej addytywnoci z tej definicji moe oznacza zarwno e szereg

n=1 (An)

jest zbieny do wartoci po lewej stronie, jak i e szereg jest rozbieny i miara zbiorun=1 An jest nieskoczona.

Obecna definicja przeliczalnej addytywnoci jest dostosowana do potrzeb Twier-dzenia 1.4.6 poniej. Naszym docelowym obiektem bada bdzie miara, czyli przeli-czalnie addytywna funkcja zbioru okrelona na ciele.

Lemat 1.2.4 Jeli jest przeliczalnie addytywn funkcj na piercieniu R to dlaR R i dowolnego cigu An R, takich e R = n=1An, zachodzi nierwno

( n=1

An

)n=1

(An).

Dowd. Przyjmijmy B1 = A1 oraz

Bn = An \i 1. Wtedy zbiory Bn s parami rozczne, Bn An oraz nBn = nAn = Rwic na mocy Lematu 1.2.2(a)

(R) =n

(Bn) n

(An).

Zauwamy, e dla funkcji addytywnej na R i zbioru R R, ktry jest sum

parami rozcznego cigu zbiorw An R, dla kadego n zachodzi nierwno

(R) (ni=1

Ai) =ni=1

(Ai),

co implikuje (R) n=1 (An). Mwic obrazowo: funkcja addytywna jest przeli-czalnie nadaddytywna. Jak zobaczymy na przykadach przeliczalna addytywno jestwarunkiem istotnie mocniejszym. Najpierw jednak zobaczymy, e przeliczaln addy-tywno mona wyrazi na rne sposoby.


Twierdzenie 1.2.5 Addytywna funkcji zbioru na piercieniu R jest przeliczanieaddytywna wtedy i tylko wtedy gdy jest ciga z dou, to znaczy dla kadego A R icigu An R, takiego e An A, zachodzi wzr limn (An) = (A).

Dowd. Warunek cigoci z dou jest konieczny: Dla rosncego cigu zbiorw An Apomy B1 = A1 oraz Bn = An \ An1 gdy n > 1. Wtedy A = nBn, przy czymzbiory Bn s parami rozczne, a zatem

(A) = ( n=1

Bn

)=n=1

(Bn) = limN

Nn=1

(Bn) = limn(An).

Rozwamy teraz parami rozczne zbiory An i A =nAn R. Niech Sn =

ni=1Ai.

Wtedy Sn A i warunek cigoci pociga za sob

(A) = limN(SN) = lim

N((A1) + . . . (AN)) =

n

(An),

a wic przeliczaln addytywno.

Twierdzenie 1.2.6 Dla addytywnej funkcji zbioru na piercieniu R, przyjmujcejtylko wartoci skoczone nastpujce warunki s rwnowane (gdzie zawsze An, A R)

(i) jest przeliczalnie addytywna;

(ii) jest ciga z gry, to znaczy limn (An) = (A) jeeli An A;(iii) jest ciga z gry na zbiorze , czyli limn (An) = 0 jeeli An .

Dowd. (i) (ii) Tutaj przyjmujemy Bn = A1 \ An; wtedy Bn A1 \ A wic, namocy Twierdzenia 1.2.5,

limn

(A1 \ An) = limn(Bn) = (A1 \ A) = (A1) (A),

co implikuje limn (An) = (A) po odjciu (A1) stronami.Imlikacja (ii) (iii) jest oczywista po wstawieniu A = .(iii) (i) Rozwamy parami rozczne zbiory An i A = nAn. Niech Sn =n

i=1 Ai. Wtedy Sn A i

(A) = (A1) + . . . (An) + (A \ Sn).

Poniewa limn (A \ Sn) = 0, powysze pociga zbieno szeregu do (A).

Przykad 1.2.7 Niech A bdzie ciaem generowanym przez wszystkie skoczone pod-zbiory X, gdzie X jest nieskoczony. Wtedy A A wtedy i tylko wtedy gdy

() A jest skoczony lub X \ A jest skoczony.


Istotnie, kady zbir o wasnoci () naley do A, jako e taki zbir atwo zapisa zapomoc singletonw i operacji sumy i dopenienia. Z drugiej strony rodzina zbiorw owasnoci () jest zamknita na sumy skoczone i dopenienia, a wic rodzina ta jestciaem.

Zdefiniujmy funkcj na A, gdzie (A) = 0 gdy A jest skoczony i (A) = 1 wprzeciwnym przypadku. Wtedy jest skoczenie addytywna naA. Istotnie jeli A,B A s rozczne to (AB) = (A) + (B), poniewa albo oba zbiory sa skoczone (ipo obu stronach wzoru jest 0), albo dokadnie jeden zbir jest nieskoczony i mamyrwno 1=1; (zauwamy, e jeli obydwa zbiory A,B A s nieskoczone to AB 6=). Jeli X jest nieskoczonym zbiorem przeliczalnym to moemy napisa X = n{xn}dla pewnego cigu xn i dlatego nie jest przeliczalnie addytywna w tym przypadku.

Niech teraz bdzie ciaem generowanym przez wszystkie przeliczalne podzbio-ry X, gdzie sam X jest nieprzeliczalny. Moemy analogicznie sprawdzi, e A wtedy i tylko wtedy gdy albo zbir A, albo jego dopenienie X \ A jest przeliczalne.Kadc (A) = 0 gdy A jest przeliczalny i (A) = 1 w przeciwnym przypadku, okre-lamy miar na . Istotnie, jeli An s parami rozczne i wszystkie zbiory An saprzeliczalne to take zbir A =

mAn jest przeliczalny i dlatego

0 = (A) =n

(An) = 0.

Jeli Ak jest nieprzeliczalny dla pewnego k to zbiory An X \ Ak dla n 6= k sprzeliczalne i po obu stronach wzoru powyej mamy 1.

Na ciele P (X) mona zdefiniowa miar w nastpujcy prosty sposb: ustalmyx0 X i przyjmijmy (A) = 0 gdy x0 / A i (A) = 1 dla x0 A. Sprawdzenieprzeliczalnej addytywnoci nie powinno przedstawia trudnoci (por. Zadanie 1.8.19).Miar tak nazywamy delt Diraca i oznaczamy = x0 .

1.3 Miara Lebesguea I

Przykad 1.2.5 podaje proste, wrcz banalne, przykady miar. W tej czci zdefiniuje-my naturaln funkcj zbioru na piercieniuR, generowanym przez przedziay postaci[a, b), por. Przykad 1.1. Funkcja ma za zadanie mierzy dugo zbiorw na pro-stej rzeczywistej i dlatego przyjmujemy ([a, b)) = b a dla a < b. Dla zbioru R Rpostaci

() R =ni=1

[ai, bi), gdzie ai < bi, [ai, bi) [aj, bj) = dla i 6= j, definujemy

() (R) =ni=1

(bi ai).

W dalszym cigu sprawdzimy, e jest dobrze okrelon, przeliczalnie addytywnfunkcj zbioru na piercieniu R. Poniej przyjmiemy dla uproszczenia konwencj, e


dla kadego rozwaanego przedziau [a, b) milczco zakadamy, e [a, b) 6= , czyli ea < b.

Lemat 1.3.1 Jeeli [an, bn) jest skoczonym lub nieskoczonym cigiem parami roz-cznych przedziaw zawartych w [a, b) to

n

(bn an) b a.

Dowd. Dowd dla cigu skoczonego [a1, b1), . . . , [an, bn) mona przeprowadzi przezindukcj: przyjmijmy, e bn = max(b1, . . . , bn). Wtedy bi an dla i < n wic [ai, bi) [a, an) dla i < n i dlatego, na mocy zaoenia indukcyjnego,

i


Lemat 1.3.3 Definicja jest poprawna.

Dowd. Zauwamy najpierw, e z Lematw 1.3.1 i 1.3.2 wynika, e jeli [a, b) jestrozczn sum przedziaw [a1, b1), . . . , [an, bn) to b a = in(bi ai).

Kady R R ma przynajmniej jedno przedstawienie w postaci sumy paramirozcznych przedziaw jak w (*), patrz Lemat 1.1.4. Niech

R =in

[ai, bi) =jk

[ci, dj)

bed dwiema takimi reprezentacjami. Dla i n, j k oznaczmy przez Pi,j = [ai, bi)[cj, dj); wtedy Pi,j jest pusty lub jest przedziaem postaci [x, y).

Dla ustalonego i n mamy

[ai, bi) =jk

[ai, bi) [cj, dj),

co daje bi ai = jk (Pi,j) na mocy uwagi powyej. Ostateczniein

(bi ai) =i,j

(Pi,j) =jk

(di ci),

gdzie druga rwno wynika z analogicznego rozumowania.

Twierdzenie 1.3.4 Funkcja zdefinowana wzorem (**) jest przeliczalnie addytywnfunkcj zbioru na piercieniu przedziaw R.

Dowd. Addytywno wynika atwo z samej definicji w (**) (i jej poprawnoci).Jeeli [a, b) jest sum parami rozcznych zbiorw Rn R to, przedstawiajc kadyRn w postaci rozcznej sumy

Rn =ikn

[ani , bni ),

otrzymujemy

b a = n,ikn

(bni ani ) =n

ikn

(bni ani ) =n

(Rn).

Przypadej oglny, gdy R R jest sum zbiorw Rn R otrzymamy przez prostindukcj po iloci przedziaw wystpujcych w przedstawieniu R.


1.4 Miary zewntrzne i zbiory mierzalne

W poprzedniej czci pokazalimy, e miar mona zdefiniowa efektywnym wzorem narodzinie zbiorw zbudowanych w sposb elementarny. Aby tak funkcj rozszerzy domiary na -ciele Bor(R) potrzebna jest jednak pewna oglna procedura, ktra pozwolinam pokona trudnoci ze ledzeniem, jak z danego ukadu zbiorw generowane jest-ciao.

W dalszym cigu ustalmy dowolny piercie R pozbiorw przestrzeni X i addy-tywn funkcj na tym piercieniu.

Definicja 1.4.1 Dla dowolnego E X definujemy(E) = inf{

n

(Rn) : Rn R, E n

Rn}.

Tak okrelon funkcj : P (X) [0,] nazywamy miar zewntrzn pochodzcod .

W oglnym przypadku, gdy X nie pokrywa si cigiem elementw R, zbir wy-stpujcy po prawej stronie wzoru moe by pusty przypomnijmy, e inf =.Lemat 1.4.2 Funkcja zbioru zdefiniowana w 1.4.1 ma nastpujce wasnoci:

(a) () = 0.(b) Jeeli E1 E2 X to (E1) (E2).(c) Dla dowolnych En X (nEn) n (En).

Dowd. (a) wynika z faktu, e () = 0, natomiast (b) z uwagi, e inf A inf Bdla A B R. Nierwno w (c) jest oczywista gdy (En) = dla pewnego n.Zamy wobec tego, e (En) < dla wszystkich n. Wtedy dla ustalonego > 0istniej Rnk R, takie e

En k

Rnk orazk

(Rnk) (En) + /2n.

Wtedyn

En n,k

Rnk ,

(n

En

)

n,k

((En) + /2n) =n

(En) + ,

co dowodzi tezy. Warunek 1.4.2(b) nazywany jest monotonicznoci a warunek 1.4.2(c) to przeli-

czalna podaddytywno. Czasami dowoln funkcj P (X) [0,], niekoniecznie zde-finiowan wzorem 1.4.1, ktra jest monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna (oraz


znika na ) nazywa si miar zewntrzn; ta oglno nie bdzie nam potrzebna. Ideamiary zewntrznej polega na mierzeniu dowolnych zbiorw od zewntrz, przez po-krywanie ich cigami zbiorw z miar ju okrelon. Poniewa ta definicja daje funkcjprzeliczalnie podaddytywn wic jedynym problemem pozostaje sama addytywno,por. uwaga po Lemacie 1.2.4.

Definicja 1.4.3 Zbir A X jest mierzalny wzgldem miary zewntrznej jeeli

(Z) = (Z A) + (Z Ac),

dla dowolnego zbioru Z X. Rodzin wszystkich mierzalnych podzbiorw bdziemyoznacza przez M().

Zauwamy, e w warunku definiujcym mierzalno tylko nierwno jest istot-na nierwno przeciwna wynika z zalenoci Z = (ZA)(ZAc) i (przeliczalnej)podaddytywnoci miary zewntrznej.

Lemat 1.4.4 Rodzina M() jest ciaem zbiorw.

Dowd. Mamy M() poniewa wzr w 1.4.3 jest speniony dla A = . JeliA M() to Ac M() bo warunek 1.4.3 jest taki sam dla zbioru A, jak i dlajego dopenienia Ac. Rozwamy A,B M() i dowolny Z X. Wtedy, testujcmierzalno zbioru A zbiorem Z, a nastepnie mierzalno zbioru B zbiorem Z A,otrzymamy

(Z) = (Z A) +(Z Ac) = (Z AB) +(Z ABc) +(Z Ac)

(Z A B) + (Z (A B)c),gdzie w drugiej linii korzystamy z tego e

(Z A Bc) (Z Ac) Z (Ac Bc) = Z (A B)c,

oraz podaddytywnoci . W ten sposb dowiedlimy A B M(), jako e prze-ciwna nierwno jest zawsze prawdziwa. Tym samym M() jest rodzin zamknitna dopenienia i przekroje, a wic jest ciaem.

Lemat 1.4.5 Dla dowolnych parami rozcznych zbiorw A1, . . . , An M() i do-wolnego Z X zachodzi wzr

(Z in

Ai) =in

(Z Ai);

w szczeglnoci jest addytywn funkcj na M().


Dowd. Dla dwch rozcznych zbiorw A1, A2 otrzymujemy tez, testujc mierzalnozbioru A1 zbiorem Z = Z (A1 A2) bo Z A1 = Z A1 i Z Ac1 = Z A2;rozszerzenie wzoru na n skadnikw wymaga jedynie prostej indukcji. Addytywno otrzymujemy podstawiajc Z = X.

Twierdzenie 1.4.6 Rodzina M() jest -ciaem zwierajcym R, a jest przeliczal-nie addytywna na M(). Jeeli sama jest przeliczalnie addytywna na piercieniuR to (R) = (R) dla R R.Dowd. Poniewa M() jest ciaem (Lemat 1.4.4) wic wystarczy sprawdzi, eM() jest rodzin zamknit na rozczne przeliczalne sumy. Niech An M()bdzie cigiem parami rozcznych zbiorw i A =

nAn. Wtedy dla dowolnego Z i n

mamy na mocy 1.4.5

(Z) = (Z in

Ai) + Z

in

Ai

c in

(Z Ai) + (Z Ac).

Std, wykorzystujc przeliczaln podaddytywno ,

(Z) n

(Z An) + (Z Ac) (Z A) + (Z Ac).

To dowodzi, e A M(). Miara zewntrzna jest przeliczalnie addytywna naM() jako funkcja jednoczenie przeliczalnie podaddytywna i addytywna (por. Lemat1.4.5 i 1.4.2).

Niech R R. Aby pokaza, e R M() rozwamy dowolny Z. Jeeli (Z) =to automatycznie (Z) (ZR)+(ZRc). Jeeli (Z) 0 istnieje cig parami rozcznych zbiorw Rn R taki e Z nRn i (Z) n (Rn) + . Wtedy

(Z R) +(Z Rc) n

(RnR) +n

(RnRc) =n

(Rn) (Z) + ,

co dowodzi nierwnoci (Z R) + (Z Rc) (Z), a wic R M().Dla R R mamy (R) (R) z definicji . Jeli R nRn dla pewnego cigu

parami rozcznych zbiorw Rn R to(R) = (R

n

Rn) =n

(R Rn) (R),

gdzie stosujemy przeliczaln addytywno na R.

Wniosek 1.4.7 Dowolna przeliczalnie addytywna funkcja zbioru okrelona na pier-cieniu R rozszerza si do przeliczalnie addytywnej funkcji na (R).Dowd. Poniewa R M() z poprzedniego twierdzenia wic, jako e M() jest-ciaem, (R) M() i mona przyj (B) = (B) dla B (R).

Poniej wyjanimy rnic pomidzy -ciaami (R) i M() wystpujcymi weWniosku 1.4.7.


1.5 Przestrzenie miarowe

Terminem miara bdziemy okrela przeliczalnie addytywn funkcj zbioru okrelonna -ciele.

Definicja 1.5.1 Przestrzeni miarow nazywamy trjk (X,, ), gdzie P (X)jest -ciaem, a : [0,] jest miar.

Zauwamy, e dla danej przestrzeni miarowej (X,, ), jeeli jest mniej-szym -ciaem, to (X,, ) gdzie = | jest, formalnie rzecz biorc, inn prze-strzeni miarow. Czsto jednak dla wygody obcicia do podrodzin oznaczamyt sam liter.

Definicja 1.5.2 Przestrze miarow (X,, ) nazywamy skoczon jeeli (X)


Dowd. Rozwamy najpierw przypadek gdy X R i (X) < ; ustalmy zbirmierzalny A. Wtedy dla kadego p N istniej Rpn R, takie e

A n

Rpn, (A) + 1/p >

n

(Rpn).

Niech

B2 =p

n

Rpn.

Wtedy B2 (R), A B2 oraz dla kadego p(B2)

n

(Rpn) < (A) + 1/p,

a std (A) = (B2). Analogicznie znajdziemy C (R) taki e X \ A Ci (X \ A) = (C); teraz moemy przyj B1 = X \ C. Poniewa zbir A jestmierzalny wic (X) = (A) + (X \ A), co daje

(B2) = (A) = (X) (X \ A) = (X) (C) = (B1).Ostatecznie (B2 \B1) = 0, jako e jest addytywna na M() (R).

W oglnym przypadku mamy X =Rk i dla zbioru mierzalnego A mamy A =

k Ak, gdzie Ak = A Rk. Moemy teraz dla kadego k z osobna zastosowowapowysze rozumowanie do zbioru Ak (i piercienia Rk = {R R : R Rk}, por.Twierdzenie 1.5.3). Otrzymamy w ten sposb cigi zbiorw Bk1 Ak Bk2 Xk,gdzie (Bk2 \Bk1 ) = 0. Wystarczy teraz zauway, e zbiory B1 =

k B

k1 i B2 =

k Bk2maj dane wasnoci.

Jak wida M() powstaje z (R) przez dorzucenie zbiorw miary zero procesten, zwany uzupenianiem miary mona sformalizowa, jak nastpuje.

Twierdzenie 1.5.7 Dla kadej przestrzeni miarowej (X,, ) istnieje przestrze mia-rowa zupena (X, , ), gdzie i jest rozszerzeniem miary na .

Twierdzenie powysze mona formalnie wywnioskowa z konstrukcji miary przed-stawionej w poprzednim podrozdziale, ale znacznie prostsza jest bezporednia droga,patrz Zadanie 1.8.27.

Twierdzenie 1.5.8 Niech bdzie przeliczalnie addytywn funkcj na piercieniuR i niech oznacza obcicie do M(). Jeli A M() jest zbiorem miaryskoczonej to dla kadego > 0 istnieje R R taki e (A4R) < .Dowd. Skoro (A) (B) /2. Dla R = inRi R mamy(A4R) = (A \R) + (R \ A) (B \R) + (B \ A) < /2 + /2 = .


1.6 Jednoznaczno rozszerzenia miary

Jeeli R jest piercieniem zbiorw przeliczalnych w nieprzeliczalnym zbiorze X tofunkcj tosamociowo rwn zeru na R mona przeduy na (R) na wiele spo-sobw. Okazuje si jednak , e w typowej sytuacji rozszerzenie do miary jest jedyne.Dowd tego faktu opiera si na nastpujcym pomyle.

Definicja 1.6.1 Rodzin M P (X) nazywamy klas monotoniczn jeli dla dowol-nego cigu An M

(i) jeeli An A to A M;(ii) jeeli An A to A M.

Oczywicie kady -piercie jest automatycznie klas monotoniczn; zauwamy,e piercie bdcy klas monotoniczn jest -piercieniem, patrz Zadanie 1.8.12. Po-nisze, wcale nieoczywiste, twierdzenie bywa tradycyjnie nazywane lematem o klasiemonotonicznej.

Twierdzenie 1.6.2 Jeeli klasa monotonicznaM zawiera piercie R to zawiera te-piercie s(R) generowany przez R.

Dowd. Oznaczmy S = s(R); zauwamy, e wystarczy jeli sprawdzimy, e jeeli Mjest najmniejsz klas monotoniczn zawierajc R to M = S. Zauwamy przy tym,e M S, jako e kady -piercie jest klas monotoniczn.

Dla dowolnego A X rozwaymy rodzin k(A), gdziek(A) = {B : A \B,B \ A,A B M}.

Zauwamy, e B k(A) wtedy i tylko wtedy gdy A k(B), z uwagi na symetriwarunkw. Odnotujmy te, e rodzina k(A) jest klas monotoniczn dla dowolnego A;na przykad jeli Bn k(A) i Bn B to

A \Bn A \B, Bn \ A B \ A, Bn A B A,co dowodzi e B k(A).

Dla R R z definicji piercienia wynika natychmiast, e R k(R). Tym samym,jako e k(R) jest klas monotoniczn, M k(R) dla R R. Inaczej mwic, jeliM M i R R to M k(R), a wic take R k(M). Std otrzymujemy R k(M) dla M M, a zatem M k(M) dla M M. To ostatnie stwierdzenieoznacza po prostu e M jest piercieniem. Klasa monotoniczna bdca piercieniemjest automatycznie -piercieniem, co ostatecznie dowodzi, e M = S.

Twierdzenie 1.6.3 Niech bdzie przeliczalnie addytywn funkcj zbioru na pier-cieniu R P (X). Zamy, e X = k Sk dla pewnych Sk R, takich e (Sk)


Dowd. Istnienie rozszerzenia zostao wykazane patrz Wniosek 1.4.7. Zamy, e1, 2 s miarami na (R), takimi, e 1(R) = 2(R) = (R) dla R R. Bdziemyrozumowa podobnie jak w dowodzie Twierdzenia 1.5.6, rozwaajc wpierw przypadekmiary skoczonej.

Zamy, e X R i (X) < ; rozwamy rodzin M tych A (R), dlaktrych 1(A) = 2(A). WtedyM jest klas monotoniczn, co wynika natychmiast zTwierdzenia 1.2.5. Wobec tego M R i M = (R) na mocy Twierdzenia 1.6.2, cooznacza, e 1 = 2.

W przypadku oglnym moemy zaoy, e zbiory Sk s parami rozczne. Z pierw-szej czci dowodu, zastosowanej do kadego zbioru Sk z osobna, wynika, e jeliA (R) i A Sk dla pewnego k to 1(A) = 2(A). Ostatecznie dla dowolnegoA (R) otrzymujemy

1(A) =k

1(A Sk) =k

2(A Sk) = 2(A),

na mocy przeliczalnej addytywnoci 1 i 2.

1.7 Miara Lebesguea II

W podrozdziale 1.3 zdefiniowalimy funkcj zbioru na piercieniu R podzbiorwprostej, generowanym przez przedziay postaci [a, b). Poniewa jest przeliczalnieaddytywn funkcj zbioru naR wic z Twierdzenia 1.5.6 wynika, e jest miar na -ciele zbiorw mierzalnych M(). Ponadto Twierdzenie 1.6.3 orzeka w tym przypadku,e ma dokadnie jedno przeduenie do miary na -ciele Bor(R) = (R) (por.Lemat 1.1.7). Oczywicie oba te twierdzenia maj tu zastosowanie bo R = k[k, k)i ([k, k)) = 2k


Twierdzenie 1.7.1 (a) Kady zbir przeliczalny jest miary Lebesguea zero.

(b) Dla kadego zbioru mierzalnego A L i > 0 istnieje zbir otwarty V i zbirdomknity F , takie e F A V i (V \ F ) < .

(c) Dla kadego zbioru mierzalnego A L istniej zbiory borelowskie B1, B2, takiee B1 A B2 i (B2 \B1) = 0.

Z kolei stosujc Twierdzenie 1.5.8 otrzymujemy inny wany fakt.

Twierdzenie 1.7.2 Jeeli A L i (A) < to dla kadego > 0 istnieje zbir Jbdcy skoczon sum odcinkw i taki e (A4 J) < .

Odnotujmy jeszcze nastpujcy wniosek.

Wniosek 1.7.3 Jeeli A L i (A) < to dla kadego > 0 istnieje zbir zwarty(czyli domknity i ograniczony) K A, taki e (A \K) < .

Dowd. Dla An = A (n, n) mamy An A i dlatego (An) zbiega do (A).Wybierzmy n takie e (An) > (A)/2; z Twierdzenia 1.7.1 istnieje zbir domknityK An o wasnoci (An \K) < /2. Wtedy K jest zbiorem zwartym i (A \K) (A \ An) + (An \K) < .

Jak si okazuje dowolny zbir mierzalny mona na rzne sposoby aproksymowa zpunktu widzenia miary stosunkowo prostymi pozbiorami prostej.

Przykad 1.7.4 Niech C [0, 1] bdzie trjkowym zbiorem Cantora; przypomnij-my, e zbir C powstaje w ten sposb, e odcinek jednostkowy dzielimy na 3 czcipunktami 1/3 i 2/3 i usuwamy z niego rodkowy odcinek otwarty (1/3, 2/3). Nastepniew drugim kroku stosujemy analogiczn operacj w odcinkach [0, 1/3] i [2/3, 1], usuwa-jc odpowiednio odcinki (1/9, 2/9) i (7/9, 8/9). Itd. . . Nietrudno policzy, e cznadugo usuwanych odcinkw wynosi 1; tym samym (C) = 1 1 = 0. Zauwamy, eC jest zbiorem domknitym i nie zawiera adnego niepustego przedziau.

Inaczej mwic, zbir C skada si ze wszystkich liczb x [0, 1], ktre monazapisa w systemie trjkowym za pomoc cyfr 0 i 2. W ten sposb mona uzasadni, eC jest zbiorem nieprzeliczalnym, rwnolicznym ze zbiorem R. Istniej te wersje takiejkonstrukcji, prowadzce do zbioru typu Cantora miary dodatniej, patrz Zadanie1.8.32

Wykorzystujc wasnoci zbioru Cantora wspomniane powyej oraz Problem 1.9.Cmona wynioskowa, e L 6= Bor(R). Istotnie, kady zbir A C jest mierzalny, jakoe (C) = 0. W teorii mnogoci dowodzi si, e rodzina P (C) jest mocy 2c > c, a mocBor(R) wynosi jedynie c. Dlatego te C zawiera zbiory nieborelowskie mierzalne.

W tym miejcu warto wspomnie o wasnociach miary Lebesguea zwizanych zestruktur grupy addytywnej (R,+). Dla B R i x R piszemy x+B na oznaczenietranslacji zbioru B, czyli {x+ b : b B}.


Twierdzenie 1.7.5 Dla dowolnego B Bor(R) i x R mamy x + B Bor(R) i(x+B) = (B).

Dowd. Jeli oznaczymy przez A rodzin tych B Bor(R), dla ktrych wszyst-kie translacje s borelowskie to A zawiera wszystkie odcinki otwarte (a, b), jako ex + (a, b) = (a + x, b + x). Wystarczy teraz zauway, e rodzina A jest -ciaem,aby otrzyma A = Bor(R). Dla ustalonego x rozwamy miar na Bor(R), danprzez wzr (A) = (x + A) (sprawdzenie, e jest istotnie przeliczalnie addytywnapozostawiamy czytelnikowi). Dla a < b mamy

([a, b)) = ([x+ b, x+ b)) = b a = ([a, b));

wynika std e (R) = (R) dlaR z piercienia przedziaw i tym samym (B) = (B)dla B Bor(R) z jednoznacznoci rozszerzenia miary Lebesguea.

Nietrudno rozszerzy niezmienniczo opisan w Twierdzeniu 1.7.5 na -ciao zbio-rw mierzalnych L. Prowadzi to do klasycznej konstrukcji Vitalego, ktra pokazuje,e mona za pomoc pewnika wyboru udowodni istnienie podzbioru prostej rzeczy-wistej, ktry nie jest mierzalny, por. Problem 1.9.G.

G. Plebanek, MIARA I CAKA Zadania do rozdziau 1 27

1.8 Zadania

1.8.1 NiechR bdzie piercieniem zbiorw. Zauway, e jeli A,B R to A4B Ri AB R. Sprawdzi, e (R,4,) jest take piercieniem w sensie algebraicznym.1.8.2 Niech F bdzie tak rodzin podzbiorw X, e X F oraz A \ B F dlaA,B F . Sprawdzi, e F jest ciaem.1.8.3 Zauway, e przekrj dowolnej iloci piercieni, cia. . . jest piercieniem, ciaemitp.

1.8.4 Zauway, e jeli F G P (X) to (F) (G), gdzie oznacza jeden zsymboli generowania r, s, a, .

1.8.5 Niech G bdzie rodzin wszystkich skoczonych podzbiorw X. Opisa r(G),s(G), a(G) i (G).1.8.6 Niech R bdzie piercieniem na prostej rzeczywistej, generowanym przez prze-dziay postaci [a, b). Sprawdzi, e A R wtedy i tylko wtedy gdy A jest rozcznskoczon sum takich przedziaw.

1.8.7 Niech A P (X) bdzie ciaem zbiorw i niech Z X. Wykaza, e

a(A {Z}) = {(A Z) (B Zc) : A,B A}.

1.8.8 Niech A bedzie skoczonym ciaem zbiorw. Udowodni, e |A| = 2n dla pewnejliczby naturalnej n.

1.8.9 Niech F bdzie przeliczaln rodzin zbiorw. Udowodni, e ciao a(F) jestprzeliczalne.

1.8.10 Udowodni, e jeli A jest nieskoczonym ciaem to A ma przynajmniej celementw. Wskazwka: Wykaza, e w kadym nieskoczonym -ciele istnieje cigniepustych parami rozcznych zbiorw; skorzysta z tego, e c jest moc P (N).1.8.11 Zauway, e jeeli C jest tak rodzin podzbiorw X e X = n=1Cn dlapewnych Cn C to s(C) = (C).1.8.12 Zauway, e rodzina, ktra jest jednoczenie piercieniem i klas monotonicz-n jest -piercieniem.

1.8.13 Sprawdzi, e jeli A jest ciaem zbiorw i rodzina A jest zamknita na roz-czne przeliczalne sumy to A jest ciaem.1.8.14 Wykaza, e rodzina podzbiorw R postaci

(F1 V1) . . . (Fk Vk),

gdzie Fi s domknite, Vi s otwarte, k N, jest ciaem.1.8.15 Sprawdzi, e ciao Bor(R) jest generowane przez kad z rodzin


(i) odcinki otwarte o kocach wymiernych;(ii) odcinki domknite;

(iii) pproste postaci (, a];(iv) pproste postaci (a,);(v) odcinki domknite o kocach wymiernych.

1.8.16 Niech bdzie skoczon addytywn funkcj zbioru, okrelon na piercieniuR. Sprawdzi, e (dla dowolnych A,B,C R)(i) |(A) (B)| (A4B);

(ii) (A B) = (A) + (B) (A B);(iii) (ABC) = (A)+(B)+(C)(AB)(AC)(BC)+(ABC).Jak bdzie wyglda analogiczny wzr dla 4, 5. . . zbiorw?

1.8.17 Sprawdzi, e dla funkcji z poprzedniego zadania, warunek A B (A4B) = 0 okrela relacj rwnowanoci na R.1.8.18 Niech X bdzie zbiorem skoczonym. Sprawdzi, e wzr (A) = |A||X| okrelamiar probabilistyczn na P (X).

1.8.19 Niech (xn) X bdzie ustalonym cigiem i niech (cn) bdzie cigiem liczbnieujemnych. Wykaza, e wzr

(A) =

n:xnAcn

okrela miar na P (X) (w razie trudnoci rozway cig skoczony x1, . . . , xn). Kiedytaka miara jest skoczona?

1.8.20 Zauway, e P (N) jest ciaem generowanym przez singletony. Wykaza, ekada miara na P (N) jest postaci opisanej w poprzednim zadaniu.1.8.21 Niech bdzie miar na cieleA i niech An A. Zakadajc, e (AnAk) =0 dla n 6= k, wykaza e

(n=1

An) =n=1

(An).

1.8.22 Niepust rodzin J P (X) nazywamy ideaem jeli A B i B Jimplikuje A J oraz n=1An J jeli An J dla n = 1, 2, . . .. Podaj znane Ciprzykady ideaw na R i R2.1.8.23 Niech J bdzie ideaem na X. Opisa A = (J ) (rozway przypadki X J , X / J ). Zdefiniowa na A zerojedynkow miar , analogicznie jak w Przykadzie1.2.

1.8.24 Niech J P (X) bdzie ideaem nie zawierajcym X. Na a(J ) definiujemyaddytywn, zerojedynkow funkcj zbioru (por. zadanie poprzednie). Okreli miarzewntrzn za pomoc i scharakteryzowa rodzin zbiorw mierzalnych.


1.8.25 Niech {A1, A2, . . .} bdzie partycj przestrzeni X na zbiory niepuste.(i) Opisa ciao A generowane przez zbiory An, n N.

(ii) Na A okrelamy addytywn funkcj , tak aby (An) = 2n i (X) = 1. Jak mo-na opisa ciao zbiorw mierzalnych wzgldem miary zewntrznej pochodzcejod ?

1.8.26 Niech X = [0, 1) [0, 1] i niech R bdzie ciaem w X generowanym przezcylindry postaci [a, b)[0, 1]. NaR rozwaamy funkcj zbioru, tak e ([a, b)[0, 1]) =ba dla 0 a < b 1. Jak wygldaj (z grubsza. . . ) zbiory mierzalne? Zauway,e w X mona wskaza wiele parami rozcznych zbiorw E niemierzanych, takiche (E) = 1.

1.8.27 Uzupeni szczegy dowodu Twierdzenia 1.5.7 w nastpujcy sposb: Dlaprzestrzeni miarowej (X,, ) zdefiniujmy jako rodzin zbiorw postaci A 4 N ,gdzie A , N B dla pewnego B miary zero. Wtedy jest -ciaem, a wzr(A4N) = (A) definiuje poprawnie przeduenie miary z na .1.8.28 Niech R bdzie piercieniem podzbiorw Q generowanym przez zbiory postaciQ [a, b) (a, b R). Sprawdzi, e na R mona okreli addytywn funkcj , tak e(Q [a, b)) = b a dla a < b. Udowodni, e nie jest przeliczalnie addytywna naR i obliczy (Q).1.8.29 Zauway, e we wzorze na mona zastpi odcinki postaci [a, b) przezodcinki postaci (a, b) (lub [a, b]).

1.8.30 Sprawdzi, e

(i) (A) = 0 dla kadego zbioru skoczonego A;(ii) [a, b] = (a, b) = b a dla a < b;

(iii) (U) > 0 dla kadego zbioru otwartego U 6= ;(iv) (A) = 0 dla kadego zbioru przeliczalnego A.

1.8.31 Poda przykad zbioru mierzalnego A, takiego e

(i) (A) = 1 i A jest nieograniczonym zbiorem otwartym;(ii) (int(A)) = 1, (A) = 2, (A) = 3;

(iii) (A) = 0 i A [0, 1] jest zbiorem nieprzeliczalnym.Uwaga: int(A) oznacza wntrze zbioru, czyli najwikszy zbir otwarty zawarty w A.

1.8.32 Skonstruowa, dla ustalonego > 0, zbir domknity F [0, 1] o wntrzupustym, dla ktrego (F ) > 1 .I sposb: Zmodyfikowa konstrukcj zbioru Cantora.

II sposb: Niech (qn)n bdzie cigiem liczb wymiernych z [0, 1]. Rozway zbirotwarty V =

n=1(qn 2n, qn + 2n) przy odpowiednim doborze > 0.

1.8.33 Zauway, e dla kadego zbioru M L, jeli (M) 0istnieje ograniczony zbir mierzalny M0 M , taki e (M \M0) < .


1.8.34 Wykaza, e istnieje zbir domknity F [0, 1] miary dodatniej zoony zliczb niewymiernych.

1.8.35 Dla B R i x 6= 0, niech xB oznacza zbir {xb : b B} (czyli jednokadnozbioru B).

Sprawdzi, e takie przeskalowanie zbioru otwartego jest otwarte i e rodzina tychB Bor(R) dla ktrych xB Bor(R) dla kadego x 6= 0 jest -ciaem. Wycignstd wniosek, e dla kadego B Bor(R) i x mamy xB Bor(R) (tzn. e ciaoBor(R) jest niezmiennicze na jednokadno).1.8.36 Wykaza, e (xB) = x(B) dla kadego zbioru borelowskiego B i x > 0.Rozszerzy ten rezultat na zbiory mierzalne.

1.8.37 Udowodni, e dla dowolnego zbioru mierzalnego M miary skoczonej i > 0istnieje zbir postaci I =

in(ai, bi), taki e (M 4 I) < , przy czym ai, bi Q.

1.8.38 Niech (X,, ) bdzie przestrzeni miarow. Zbir T jest atomem miary jeli (T ) > 0 i dla kadego A jeli A T to (A) = 0 lub (A) = (T ).Mwimy, e miara jest bezatomowa jeli nie ma atomw.

Sprawdzi, e miara Lebesguea jest bezatomowa. Zauway, e inne miary rozwaanedo tej pory miay atomy.

1.8.39 Udowodni, e skoczona miara bezatomowa na ma nastpujc wasnoDarboux: dla kadego A i 0 r (A) istnieje B , taki e B A i (B) = r.Wskazwka: Niech (X) = 1; sprawdzi, e dla kadego > 0 i A jeli(A) > 0 to istnieje B , e B A i 0 < (B) < . Nastpnie sprawdzi, e X jestrozczn sum zbiorw An o wasnoci 0 < (An) < . To rozumowanie pokae, ezbir wartoci jest gsty w [0, 1]; potem ju blisko do celu.

1.8.40 Niech (X,, ) bdzie skoczon przestrzeni miarow. Wykaza, e jeeliAn i dla kadego n zachodzi nierwno (An) > 0, to istnieje x X, taki ex An dla nieskoczenie wielu n.1.8.41 Udowodni, e jeli (An) jest cigiem zbiorw z ciaa, na ktrym okrelonajest skoczona miara , to jeli (An) jest zbieny do A to (A) = limn (An). Czyskoczono miary jest istotna?

1.9 Problemy

1.9.A Udowodni, e suma dowolnej (nawet nieprzeliczalnej) rodziny przedziaw do-mknitych na prostej jest zbiorem borelowskim.

1.9.B Udowodni, e dla dowolnego zbioruX, |X| c wtedy i tylko wtedy gdy istniejew P (X) przeliczalna rodzina zbiorw F , taka e (F) zawiera wszystkie punkty.


1.9.C Niech F P (X) bdzie rodzin mocy c. Udowodni, e |(F)| c. Wy-wnioskowa std, e |Bor(R)| = c i e istniej nieborelowskie zbiory na prostej.Uwaga: tutaj potrzebna jest indukcja pozaskoczona.

1.9.D Udowodni, e funkcja zbioru zdefiniowana na piercieniu generowanym przezodcinki postaci [a, b) (przez warunek ([a, b)) = b a dla a < b) jest ciga z gryna zbiorze (a wic jest przeliczalnie addytywna). Wskazwka: Zbiory postacini=1[ci, di] s zwarte i (w pewnym sensie) przybliaj zbiory z R od rodka.

1.9.E Niech (X,, ) bdzie przestrzeni probabilistyczn i niech A1, . . . , A2009 bd zbiorami o wasnoci (Ai) 1/2. Wykaza, e istnieje x X, taki e x Aidla przynajmniej 1005 wartoci i.

1.9.F Przeprowadzi nastpujc konstrukcj zbioru Vitaliego: Dla x, y [0, 1), niechx y x y Q. Sprawdzi, e jest relacj rwnowanoci. Niech Z bdziezbiorem, ktry z kadej klasy abstrakcji tej relacji wybiera dokadnie jeden element.Sprawdzi, e

qQ(Z q) = [0, 1), gdzie oznacza dodawanie mod 1.

Wywnioskowa std i z niezmienniczoci miary Lebesguea na przesunicia, e powy-szy zbir Z nie jest mierzalny w sensie Lebesguea.

1.9.G Skonstruowa zbir borelowski B R, taki e (B I) > 0 i (Bc I) > 0dla kadego niepustego odcinka otwartego I.

1.9.H Udowodni twierdzenie Steinhausa: Jeli A R jest mierzalny i (A) > 0 tozbir AA (rnica kompleksowa) zawiera odcinek postaci (, ) dla pewnego > 0.Wskazwka: Mona zaoy, e (A)

Rozdzia 2

Funkcje mierzalne

Licz to, co policzalne, mierz to, co mierzalne,a to, co niemierzalne, uczy mierzalnym.Galileusz

2.1 Podstawowe wiadomoci

Przypomnijmy, e dla dowolnej funkcji f : X Y i dowolnych zbiorw A X orazB Y , zbiory f [A] i f1[B], zdefiniowane jako

f [A] = {f(x) Y : x A}, f1[B] = {x X : f(x) B},nazywamy, odpowiednio, obrazem zbioru A przez funkcj f oraz przeciwobrazem zbioruB przez funkcj f . Operacja przeciwobrazu zachowuje wszystkie dziaania mnogocio-we, na przykad

f1[n

Bn

]=n

f1[Bn],

dla dowolnego cigu zbiorw Bn Y ; por. Zadanie 2.5.1. W przypadku, gdy B ={b} piszemy raczej f1[b] ni f1[{b}], czego nie naley myli z obliczaniem wartoci(potencjalnie istniejcej) funkcji odwrotnej.

Przypomnijmy, e cigo funkcji f : R R mona wyrazi za pomoc prze-ciwobrazw zbiorw przez t funkcj zbir f1[V ] jest otwarty dla kadego zbioruotwartego V R. Istotnie, jeli x0 f1[V ] to y0 = f(x0) V , a skoro V jest otwartyto dla pewnego > 0 mamy (y0, y0 +) V . Dobierajc teraz > 0 jak w warunkuCauchyego cigoci funkcji f w x0, otrzymamy natychmiast (x0, x0 +) f1[V ].Nietrudno jest wykaza, e w istocie funkcja f jest ciga wtedy i tylko wtedy gdyprzeciwobrazy zbiorw otwartych przez t funkcj s otwarte; ten ostatni warunek zkolei jest rwnowany faktowi, e zbir f1[F ] jest domknity dla kadego domkni-tego zbioru F R wynika to tosamoci R \ f1[F ] = f1[R \ F ].

Rozwamy ustalon przestrze miarow (X,, ) (chwilowo sama miara nie bdzieodgrywaa adnej roli). Okazuje si, e odpowiednio dobre wzgldem wasnocifunkcji f : X R definiuje si nastpujco.

G. Plebanek, MIARA I CAKA Rozdzia 2: Funkcje mierzalne 33

Definicja 2.1.1 Mwimy, e funkcja f : X R jest mierzalna, albo po prostumierzalna jeli jest jasne jakie -ciao mamy na myli, gdy f1[B] dla kadegozbioru B Bor(R).

Poniszy fakt pozwoli wysowi mierzalno funkcji w prostszy sposb.

Lemat 2.1.2 Niech G Bor(R) bdzie dowoln rodzin zbiorw, tak e (G) =Bor(R), Wtedy dla mierzalnoci funkcji f : X R potrzeba i wystarcza, aby f1[G] dla kadego G G.

Dowd. Rozwamy rodzin A zoon z tych B Bor(R), dla ktrych f1[B] .Wtedy A jest -ciaem zbiorw: jeli An A i A = nAn to wtedy f1[An] dlakadego n i

f1[A] =n

f1[An] .

Jeli A A to take Ac A, poniewa

f1[Ac] = (f1[A])c .

Jako e A jest -ciaem, z inkluzji G A wynika Bor(R) = (G) A, czyli A =Bor(R), co dowodzi dostatecznoci warunku jego konieczno jest oczywista.

Wniosek 2.1.3 Kady z poniszych warunkw pociga mierzalno funkcji f : X R:

(i) {x : f(x) < t} dla kadego t R;(ii) {x : f(x) t} dla kadego t R;(iii) {x : f(x) > t} dla kadego t R;(iv) {x : f(x) t} dla kadego t R.

Dowd. Sprawdzimy dla przykadu dostateczno warunku (i). Niech G bdzie rodzinpprostych (, t) dla t R. Wtedy f1[G] dla G G wic f jest mierzalna,jako e G generuje Bor(R), patrz Zadanie 1.8.15

Wniosek 2.1.4 Jeli funkcja f : R R jest ciga to jest mierzalna wzgldemBor(R).

Przykad 2.1.5 Funkcj f : R R, ktra jest Bor(R)-mierzalna nazywamy poprostu funkcj borelowsk. Zauwamy, e dla X = [0, 1] lub innego borelowskiegopodzbioru prostej moemy rozway rodzin {B Bor(R) : B X}, ktra jest -ciaem podzbiorw X. Takie -ciao bdzie oznaczane Bor(X) przypomnijmy, e


w topologii za zbiory otwarte w X uwaa si zbiory postaci U X, gdzie U R jestotwarty.

Przykad 2.1.6 Dla dowolnego A z -ciaa podzbiorw dowolnej przestrzeni Xfunkcj A : X R, gdzie A(x) = 1 dla x A i A(x) = 0 dla x / A nazywamyfunkcj charakterystyczn zbioru A. Taka funkcja jest mierzalna, jako e 1A [U ] jestelementem rodziny {, A,Ac, X} .

Dla dowolnego B Bor(R) funkcja B jest wic borelowska. Zauwamy, e Qnie jest ciga w adnym punkcie prostej, co pokazuje, e mierzalno jest wasnociznacznie oglniejsz.

W dalszym cigu pokaemy, e wiele naturalnych operacji przeprowadzanych nafunkcjach mierzalnych prowadzi do funkcji mierzalnych.

Lemat 2.1.7 Jeeli funkcja f : X R jest -mierzalna, a funkcja g : R R jestciga to funkcja g f : X R jest -mierzalna.

Dowd. Dla dowolnego zbioru otwartego U R, zbir g1[U ] jest otwarty na mocycigoci g; std (g f)1[U ] = f1[g1[U ]] .

Wniosek 2.1.8 Jeeli funkcja f : X R jest -mierzalna to funkcje c f , f 2, |f |te s -mierzalne.

Lemat 2.1.9 Jeeli funkcje f, g : X R s -mierzalne to funkcja f + g jest -mierzalna.

Dowd. Wystarczy wykaza, e dla h = f + g i t R mamy h1[(, t)] . Ale{x X : f(x) + g(x) < t} =

p+q


Dodajmy e mierzalno iloczynu f g mona sprawdzi zapisujc zbir postaci

{x : f(x)g(x) < t}

analogicznie jak w dowodzie Lematu 2.1.9.Czasami wygodnie jest rozwaa funkcje postaci f : X R {,}. Natu-

ralnie jest wtedy przyj, e -mierzalno funkcji f oznacza dodatkowo, e zbioryf1() i f1() nale do . Przy takiej umowie moemy dla dowolnego cigufunkcji mierzalnych fn : X R zdefiniowa, na przykad supn fn, bez koniecznocizakadania, e zbir {fn(x) : n N} jest ograniczony dla kadego x X. Podobnie,rozwaamy funkcj f = lim supn fn, zadan oczywicie przez f(x) = lim supn fn(x).Wystpujce tu pojcie granicy grnej cigu liczbowego, a take wasnoci granicgrnych i dolnych przypomniane s w 2.7.

Lemat 2.1.11 Jeeli funkcje fn : X R s -mierzalne to mierzalne s rwniefunkcje

lim infn

fn, lim supn

fn, infnfn, sup

nfn.

Dowd. Pokaemy dla przykadu, e funkcja f = lim supn fn jest mierzalna wynikato bezporednio z tosamoci

{x : f(x) =} = k

m

nm{x : fn(x) > k},

{x : f(x) t} = k

m

nm{x : fn(x) < t+ 1/k},

i analogicznej formuy dla . Drugi ze wzorw powyej wynika z faktu, e na to abyf(x) t potrzeba i wystarcza, aby dla dowolnej maej liczby postaci = 1/k, prawiewszystkie wyrazy cigu fn(x) speniay fn(x) < t+ 1/k.

Wniosek 2.1.12 Granica punktowa zbienego cigu funkcji mierzalnych jest mierzal-na.

Intuicyjnie rzecz biorc, kada przeliczalna operacja wykonywana na funkcjachmierzalnych prowadzi do funkcji mierzalnych i na przykad kada funkcja R Rzapisana wzorem, w ktrym wystpuj przeliczalne kwantyfikatory jest borelowska.

Przykad 2.1.13 Niech fn : X R bdzie cigiem funkcji -mierzalnych; spraw-dzimy, e zbir

A = {x : lim supn

fn(x) > lim infn

fn(x)} .


W tym celu naley zapisa formalnie warunek definiujcy x A za pomoc przeliczal-nych kwantyfikatorw. Zauwamy, e x A wtedy i tylko wtedy gdy istniej liczbywymierne p, q, takie e

lim supn

fn(x) > p > q > lim infn

fn(x).

Warunek lim supn fn(x) > p oznacza e dla pewnej liczby postaci 1/m nierwnofn(x) > p + 1/m zachodzi dla nieskoczenie wielu n; analogiczna uwaga dotyczywarunku q > lim inf fn(x). Tym samym x A wtedy i tylko wtedy gdy

(p, q Q, p > q)(m)(k)(n1, n2 k)fn1(x) > p+ 1/m, fn2(x) < q 1/m,

co pozwala napisa

A =p>q

m

k

n1,n2>k

{x : fn1(x) > p+ 1/m} {x : fn2(x) < q 1/m} ,

(tutaj p, q Q, a wszyskie pozostae zmienne s naturalne). Powyszy przykad ilu-struje formaln drog sprawdzania mierzalnoci. Oczywicie w tym przykadzie trochprociej jest sprawdzi, e X \A : zauwamy, e x / A oznacza, e cig fn(x) jestzbieny, co pozwala zapisa

X \ A = m

k

n1,n2>k

{x : |fn1(x) fn2(x)| < 1/m},

poniewa zbieno cigu liczbowego jest rwnowana warunkowi Cauchyego.

Na koniec tej czci odnotujemy nastpujcy prosty, ale czsto wykorzystywanyfakt.

Lemat 2.1.14 Kada -mierzaln funkcj f : X R mona zapisa w postaci f =f+ f, rnicy funkcji mierzalnych i nieujemnych.

Dowd. Istotnie, niech f+ = max(f, 0), f = min(f, 0); wtedy oczywicie f =f+ f, a funkcje f+, f s mierzalne na mocy Wniosku 2.1.10.

2.2 Funkcje proste

Dla ustalonego -ciaa na X moemy zdefiniowa do bogat rodzin funkcji mie-rzalnych X R.

Definicja 2.2.1 Funkcj f : X R nazywamy funkcj prost jeli zbir wartocif [X] jest skoczony.


Funkcja charakterystyczna A dowolnego zbioru A X jest prosta. W istociewszystkie funkcje proste s skoczonymi kombinacjami liniowymi funkcji charaktery-stycznych.

Lemat 2.2.2 Funkcja f : X R jest prosta wtedy i tylko wtedy gdyf =

in

aiAi

dla pewnych liczb ai R i zbiorw Ai X. Funkcja prosta jest -mierzalna wtedy itylko wtedy gdy f jest kombinacj liniow funkcji charakterystycznych zbiorw z .

Dowd. Jeeli f [X] = {a1, . . . , an} to biorc Ai = f1[ai] mamy f = in aiAi . Naodwrt, dla funkcji postaci f =

in aiAi jej zbir wartoci zawiera si w skoczonym

zbiorze zoonym z 0 i wszystkich liczb bedcych sumami pewnych elementw zbioru{a1, . . . , an}. Drugie stwierdzenie wynika natychmiast z tych uwag.

Z punktu widzenia opisanego poniej rodzina funkcji prostych mierzalnych jestdo bogata.

Twierdzenie 2.2.3 Niech f : X R bdzie funkcj nieujemn, mierzaln wzgldempewnego -ciaa podzbiorw X. Wtedy istnieje cig mierzalnych funkcji prostychsn : X R, taki e

0 s1(x) s2(x) . . . , i limnsn(x) = f(x),

dla kadego x X. Jeli ponadto funkcja f jest ograniczona to cig sn mona dobratak, aby by jednostajnie zbieny do f .

Dowd. Ustalmy n i dla kadego 1 k n2n niech

An,k = {x : k 12n f(x) n. Niewtpliwie funkcje proste sn zdefiniowane w tensposb s mierzalne i nieujemne. Jeeli x An,k dla pewnego k to sn(x) = (k 1)/2n,natomiast

sn+1(x) = (k 1)/2n lub sn+1(x) = (2k 1)/2n+1,czyli sn(x) sn+1(x).

Dla ustalonego x i n > f(x) mamy f(x) sn(x) f(x) 1/2n, co pokazuje, elimn sn(x) = f(x). Jeli f jest ograniczona to 0 f(x) sn 1/2n jednostajnie pox X, o ile tylko n ogranicza f [X] z gry.


2.3 Prawie wszdzie

Dla ustalonej przestrzeni miarowej (X,, ) i funkcji mierzalnych f, g : X R mwi-my, e f = g -prawie wszdzie jeeli ({x : f(x) 6= g(x)}) = 0. W wielu rozwaaniachzmiana wartoci danej funkcji na zbiorze miary zero nie zmienia jej istotnych wasnocii dlatego funkcje rwne prawie wszdzie mona bdzie, do pewnego stopnia, utosa-mia. Ale warto pamita, e to zaley od punktu widzenia: Q = 0 -prawie wszdzie,ale Q nie jest ciga w adnym punkcie prostej.

Oglniej moemy o dowolnej (ale mierzalnej) wasnoci punktw x X po-wiedzie, e (x) zachodzi prawie wszdzie jeeli ({x : (x)}) = 0. Taki charakterma ponisza definicja.

Definicja 2.3.1 Cig funkcji mierzalnych fn : X R jest zbieny -prawie wszdzie(albo po prostu prawie wszdzie) do funkcji f jeeli limn fn(x) = f(x) dla wszystkichx spoza pewnego zbioru miary zero.

Przykad 2.3.2 Niech X = [0, 1]; rozwamy funkcje fn(x) = xn. Wtedy fn 0-prawie wszdzie oraz fn 1 -prawie wszdzie, gdzie = 1 jest delt Diraca.

Przypomnijmy, e dla funkcji okrelonych na prostej rzeczywistej lub jej podzbio-rach naturalne jest rozwaa ich mierzalno wzgldem -ciaa Bor(R), ale takewzgldem -ciaa L zbiorw mierzalnych wzgldem miary Lebesguea. Funkcje L-mierzalne bywaj te nazywane -mierzalnymi; funkcje Bor(R)-mierzalne nazywa sipo prostu funkcjami borelowskimi. Ponisze twierdzenie jest w pewnym sensie faktemanalogicznym do Twierdzenia 1.7.1.

Twierdzenie 2.3.3 Dla kadej funkcji -mierzalnej f istnieje funkcja borelowska g,taka e f = g -prawie wszdzie.

Dowd. Niech I1, I2, . . . bdzie cigiem zawierajcym wszystkie odcinki postaci (p, q),p, q Q (por. Twierdzenie 0.2.4). Dla kadego n zbir f1[In] jest mierzalny, a wicna mocy Twierdzenia 1.7.1 mamy An f1[In] Bn i (Bn \ An) = 0 dla pewnychzbiorw borelowskich An, Bn. Tym samym f1[In] = An Zn, gdzie Zn jest miaryzero. Niech Z =

n Zn; wtedy (Z) = 0 i istnieje zbir borelowski C, taki e Z C

i (C) = 0. Zdefiniujmy funkcj g tak e g(x) = f(x) dla x / C oraz g(x) = 0 dlax C. Wtedy g = f prawie wszdzie. Ponadto

g1[In] = An \ C gdy 0 / In;

g1[In] = An C gdy 0 / In;co w szczeglnoci oznacza, e g1[In] Bor(R). Std i z Lematu 2.1.2 wynika, e gjest funkcj borelowsk.


2.4 Zbieno cigw funkcyjnych

Jak wynika z Twierdzenia 2.2.3 kada funkcja mierzalna jest granic punktow cigufunkcji prostych, a kada funkcja mierzalna ograniczona jest jednostajn granic cigutakich funkcji (tutaj dla funkcji niekoniecznie nieujemnych naley zastosowa jeszczeLemat 2.1.14). Jak si za chwile przekonamy, za pomoc miary mona definiowa igebiej analizowa rne rodzaje zbienoci cigw funkcyjnych.

Cig funkcji fn : [0, 1] R, fn(x) = xn jest dobrze znanym przykadem punk-towo zbienego cigu funkcji, ktry nie jest zbieny jednostajnie. Zauwamy, e dladowolnego > 0 cig fn zbiega jednostajnie do zera na odcinku [0, 1 ]. Mona wicpowiedzie, e usunicie zbioru maej miary poprawia zbieno cigu. To zjawisko macharakter bardzo oglny, o czym mwi tak zwane twierdzenie Jegorowa.

Twierdzenie 2.4.1 Jeeli (X,, ) jest skoczon przestrzeni miarow, a fn : X R jest cigiem funkcji mierzalnych zbienym prawie wszdzie do funkcji f to dla ka-dego > 0 istnieje A , taki e (A) i cig fn jest jednostajnie zbieny do fna zbiorze X \ A.

Dowd. Zamy po prostu, e f(x) = limn fn(x) dla kadego x X w oglnymprzypadku zbir punktw, w ktrych cig nie jest zbieny jest miary zero i mona gousun z dalszych rozwaa. Dla dowolnych m,n N rozwaamy zbiory

E(m,n) =i=n

{x : |fi(x) f(x)| < 1/m}.

Wtedy E(m, 1) E(m, 2) . . . dla kadego m orazn

E(m,n) = X,

co wynika z tego, e fn(x) f(x), czyli e dla kadego x istnieje n, e |fi(x)f(x)| 0; poniewa E(m,n) X wic X \ E(m,n) i, korzystajc zcigoci miary skoczonej na zbiorze pustym, dla kadego m istnieje nm, takie e

(X \ E(m,nm)) < /2m.Wtedy, kadc

A =m

(X \ E(m,nm)), mamy;

(A) m

(X \ E(m,nm)) m

/2m = .

Ponadto |fn(x) f(x)| < 1/m dla n > nm i x / A, co oznacza jednostajn zbienofn na X \ A.


Zaoenie (X) < w twierdzeniu Jegorowa jest istotne: cig funkcji fn(x) =x/n na prostej zbiega punktowo do zera i nie jest zbieny jednostajnie na adnymnieograniczonym podzbiorze prostej. Dla potrzeb licznych zastosowa Twierdzenia2.4.1 wprowadza si nastpujc definicj.

Definicja 2.4.2 Mwimy, e cig funkcji mierzalnych jest niemal jednostajnie zbie-ny jeeli dla kadego > 0 cig fn zbiega jednostajnie na dopenieniu pewnego zbiorumiary < .

Wprowadzimy teraz inne wane pojcie zbienoci cigw funkcyjnych: zbienowedug miary.

Definicja 2.4.3 Cig fn : X R funkcji mierzalnych jest zbieny do funkcji fwedug miary jeeli dla kadego > 0

limn({x : |fn(x) f(x)| }) = 0.

Piszemy fn f , aby odnotowa zbieno wedug miary .

Wniosek 2.4.4 Cig funkcyjny zbieny niemal jednostajnie jest zbieny wedug mia-ry. W szczeglnoci, cig funkcyjny zbieny prawie wszdzie na przestrzeni o mierzeskoczonej jest zbieny wedug miary.

Dowd. Jeeli funkcje fn zbiegaj do f niemal jednostajnie to (w szczeglnoci) dladowolnego istnieje zbir A, taki e (A) < i |fn(x) f(x)| < dla duych n iwszystkich x / A. Wtedy {x : |fn(x) f(x)| } A wic

({x : |fn(x) f(x)| }) (A) < dla dostatecznie duych n. Drugie stwierdzenie wynika z Twierdzenia 2.4.1.

Zbieno wedug miary jest jednak wasnoci istotnie sabsz ni zbieno pra-wie wszdzie, nawet przy zaoeniu skoczonoci miary. Poniszy przykad nosi nazwwdrujcego garbu.

Przykad 2.4.5 Niech fn : [0, 1] R bdzie cigiem[0,1], [0,1/2], [1/2,1], [0,1/4], [1/4,1/2], . . .

gdzie w oglnoci garb ma dugo 1/2n i przemierza cay odcinek [0, 1]. Bez trudusprawdzamy, e fn zbiega do zera wedug miary Lebesguea, ale lim infn fn(x) = 0 ilim supn fn(x) = 1 dla kadego x [0, 1].

W powyszym przykadzie mona bez trudu wskaza podcigi cigu fn zbie-ne prawie wszdzie do zera. To jest oglna prawidowo, wysowiona w poniszymtwierdzeniu Riesza.


Twierdzenie 2.4.6 Niech (X,, ) bdzie skoczon przestrzeni miarow i niechfn : X R bdzie cigiem funkcji mierzalnych, speniajcym warunek Cauchyegowedug miary, to znaczy

limn,k

({x : |fn(x) fk(x)| }) = 0,

dla kadego > 0. Wtedy(a) istnieje podcig n(k) liczb naturalnych, taki e cig funkcji fn(k) jest zbienyprawie wszdzie;

(b) cig fn jest zbieny wedug miary do pewnej funkcji f .

Dowd. Zauwamy, e wspomniany w zaoeniu warunek Cauchyego implikuje, edla kadego k istnieje n(k), takie e dla dowolnych n,m n(k) zachodzi

({x : |fn(x) fm(x)| 1/2k}) 1/2k,

przy czym moemy dodatkowo zada, aby n(1) < n(2) < . . .. Niech

Ek = {x : |fn(k)(x) fn(k+1)(x)| 1/2k}, Ak =nk

Ek;

wtedy (Ak) 1/2k1 i dlatego zbir A = k Ak jest miary zero. Jeeli x / A to dlakadego k i x / Ak mamy

|fn(i) fn(i+1)| 1/2i

dla wszystkich i k. Z nierwnoci trjkta otrzymujemy, e dla j > i k zachodzi

|fn(i) fn(j)| 1/2i1.

Tym samym, dla x / A cig liczbowy fn(i)(x) spenia warunek Cauchyego i dlategojest zbieny do liczby, ktr oczywicie oznaczymy f(x). W ten sposb otrzymujemy,e fn(k) zbiega prawie wszdzie do funkcji f i to dowodzi czci (a).

Dla sprawdzenia (b) wystarczy zauway, e fn f , co wynika z zalenoci

{x : |fn(x)f(x)| } {x : |fn(x)fn(k)(x)| /2}{x : |fn(k)(x)f(x)| /2},

i warunku Cauchyego dla zbienoci wedug miary. Warto podkreli, e badanie wasnoci cigw zbienych wedug miary wymaga

czsto sporego wysiku, por. Zadania 2.5.1618.


2.5 Zadania

2.5.1 Sprawdzi, e operacja przeciwobrazu zbioru przez funkcj zachowuje podsta-wowe operacje mnogociowe. Zauway, e

f

[n

An

]=n

f [An],

dla dowolnych zbiorw An z dziedziny funkcji f . Sprawdzi, e inkluzja

f [A1 A2] f [A1] f [A2]

moe by waciwa.

2.5.2 Niech fn : X R bdzie cigiem funkcji mierzalnych wzgldem ciaa .Sprawdzi, e nastpujce zbiory nale do :

(i) zbir x, dla ktrych cig fn(x) jest rosncy;(ii) zbir x, dla ktrych fn(x) < 2 dla wszystkich n;

(iii) zbir x, dla ktrych fn(x) < 2 dla prawie wszystkich n;(iv) zbir x, dla ktrych fn(x) < 2 dla nieskoczenie wielu n;(v) zbir x, dla ktrych supn fn(x) < 2;

(vi) zbir x, dla ktrych supn fn(x) 2;(vii) zbir x, dla ktrych fn(x) jest zbieny;(viii) zbir x, dla ktrych lim sup fn(x) > lim inf fn(x).

2.5.3 Wykaza, e suma zbienego szeregu funkcji mierzalnych jest mierzalna.

2.5.4 Niech f : R R bdzie dowoln funkcj. Niech F = {x R : oscx(f) },gdzie oscx(f) oznacza, e dla kadego > 0 istniej x, x (x , x+ ) takie e|f(x) f(x)| .Sprawdzi, e zbir F jest domknity. Wywnioskowa std, e zbir punktw cigocifunkcji jest borelowski.

2.5.5 Niech dla kadego t z pewnego zbioru T dana bdzie funkcja ciga ft : R R.Rozwamy funkcj h = suptT ft. Wykaza, e h jest funkcj borelowsk (nawet jeliT jest nieprzeliczalny). W tym celu rozway zbir postaci {x : h(x) > a}.2.5.6 Sprawdzi, e kad funkcj prost, mierzaln wzgldem ciaa P (X)mona zapisa w postaci

(i)in aiAi , gdzie Ai , A1 A2 . . . An, oraz

(ii)in biBi , gdzie Bi , a B1, . . . , Bn s parami rozczne.

Jakie warunki trzeba dopisa, aby takie przedstawienia byy jednoznaczne?


2.5.7 Sprawdzi, e rodzina funkcji prostych jest zamknita na kombinacje liniowe,branie moduu i mnoenie.

2.5.8 Niech f : R R spenia warunek Lipschitza, tzn. |f(x) f(y)| L|x y|dla pewnej staej L. Pokaza, e f [A] jest miary Lebesguea zero dla kadego A miaryzero.

2.5.9 Wywnioskowa z poprzedniego zadania, e obraz zbioru mierzalnego przez funk-cj speniajc warunek Lipschitza jest mierzalny.

Wskazwka: f [F ] jest zwarty gdy f jest ciga i F R jest zwarty; zastosowaWniosek 1.7.3.

2.5.10 Wykaza, e w zadaniach 8 i 9 wystarczy zakada, e funkcja f spenia wa-runek Lipschitza lokalnie, na kadym odcinku postaci [n, n], a wic w szczeglnocigdy f ma cig pochodn.

2.5.11 Zauway, e dowolna funkcja niemalejca f : R R jest borelowska.2.5.12 Skonstruowa niemalejc funkcj cig g : [0, 1] [0, 1], tak e g[C] =[0, 1], gdzie C [0, 1] jest zbiorem Cantora.Wkazwka: niech g(x) = 1/2 dla x (1/3, 2/3); g(x) = 1/4 dla x (1/9, 2/9) itd.2.5.13 Stosujc funkcj g z poprzedniego zadania zauway, e obraz zbioru mie-rzalnego przez funkcj cig nie musi by mierzalny oraz e przeciwobraz zbiorumierzalnego przez funkcj cig nie musi by mierzalny.

2.5.14 Zauway, e jeli (X) < , a f : X R jest funkcj mierzaln, to dlakadego > 0 istnieje zbir A, taki e (A) < i f jest ograniczona na X \ A.2.5.15 Niech |fn| M , gdzie fn f . Sprawdzi, e |f | M prawie wszdzie.2.5.16 Niech fn bdzie niemalejcym cigiem funkcji mierzalnych, zbienych do fwedug miary. Udowodni, e wtedy fn f prawie wszdzie.2.5.17 Sprawdzi, e jeli fn

f i gn g to fn + gn f + g. Pokaza, efngn

fg przy dodatkowym zaoeniu, e fn i gn s wsplnie ograniczone przezsta.

2.5.18 Niech bdzie miar skoczon. Wykaza, e jeli fn f oraz f(x) 6= 0 dla

kadego x, to 1/fn 1/f .

2.5.19 Niech (X) < . Udowodni, e jeli fn f i gn g to fngn fg(por. Zadanie 15). Pokaza, e zaoenie skoczonoci miary jest istotne.

2.6 Problemy

2.6.A Niech A R bdzie zbiorem mierzalnym miary Lebesguea skoczonej. Zbada,czy funkcja

g : R R, g(x) = (A (x+ A)),


jest ciga (tutaj oznacza miar Lebesguea, x+ A oznacza przesunicie zbioru).

2.6.B Wykaza, e kada mierzalna w sensie Lebesguea funkcja f : R R jestgranic prawie wszdzie cigu funkcji cigych (fn). W istocie mona takie fn wybraklasy C.

Wskazwka: Zacz od przypadku f = A, gdzie A jest skoczon sum przedzia-w.

2.6.C Wykaza, e nie istnieje cig funkcji cigych fn : R R, zbieny punktowodo funkcji Q (czyli funkcji charakterystycznej zbioru Q).Wskazwka: I sposb: mona przeprowadzi dowd nie wprost, wykorzystujc je-dynie wasno Darboux. II sposb: udowodni, e granica cigu funkcji cigych musimie punkt cigoci.

2.6.D Niech f : R R bdzie dowoln funkcj, speniajc warunek f(x + y) =f(x) + f(y). Sprawdzi, e wtedy f(x) = ax dla wszystkich x Q (a = f(1)).Udowodni, e jeli funkcja f jest mierzalna to f(x) = ax dla wszystkich x R.

2.7 DODATEK: Granice dolne i grnecigw liczbowych

Niech (an) bdzie cigiem liczb rzeczywistych. Liczb a nazywamy punktem skupieniacigu jeli istnieje podcig cigu (an) zbieny do a. Podobnie definiujemy fakt, e lub jest punktem skupienia cigu.

2.7.1 Pokaza, e zawsze istnieje najmniejszy punkt skupienia danego cigu (bdcyliczb bd ,). T wielko oznaczamy lim infn an.2.7.2 Zauway, e lim infn an = wtedy i tylko wtedy gdy cig (an) jestnieograniczony z dou.

2.7.3 Udowodni, e a = lim infn an (gdzie a jest liczb) wtedy i tylko wtedy gdydla kadego > 0 mamy an > a dla prawie wszystkich n i an < a + dlanieskoczenie wielu n.

2.7.4 Udowodni, e lim infn an = limn infkn ak.

2.7.5 Sprawdzi, e lim infn(an + bn) lim infn an + lim infn bn.2.7.6 Zdefiniowa analogiczne pojcie lim sup i zapisa jego podstawowe wasnoci.

2.7.7 Zauway, e cig jest zbieny wtedy i tylko wtedy gdy jego granica grna jestrwna dolnej i jest liczb rzeczywist.

2.7.8 lim infn(an bn) = a lim supn bn gdy lim an = a.

Rozdzia 3

Caka

Does anyone believe that the difference between the Le-besgue and Riemann integrals can have physical signi-ficance, and that whether say, an airplane would orwould not fly could depend on this difference? If suchwere claimed, I should not care to fly in that planeRichard W. Hamming

W niniejszym rozdziale wprowadzimy i zbadamy centralne pojcie skryptu, czylicak typu Lebesguea, zdefiniowan na dowolnej przestrzeni miarowej -skoczonej.Zaoenie -skoczonoci nie jest tak naprawd istotne, ale pozwala omin kilka kom-plikacji, por. Problemy 3.6.AB. Jak si okae w przypadku prostej rzeczywistej, cakaLebesguea ma zastosowanie do znacznie szerszej rodziny funkcji ni klasyczna cakaRiemanna.

3.1 Caka z funkcji prostych

W tej czci bdziemy rozwaa ustalon przestrze miarow (X,, ). Cakowaniejest operacj liniow, przypisujc funkcjom wartoci liczbowe. Poniewa caka z funk-cji nieujemnej ma wyraa pole pod wykresem funkcji wic jasne, e powinnimyprzyj

X A d = (A) dla A , oraz ponisz definicj. Dla symboli i ,

oprcz konwencji x+ =, x = dla x R, przyjmujemy dodatkowo0 = 0 () = 0.

Przypomnijmy, e wyraeniu nie mona nada sensu liczbowego.Definicja 3.1.1 Jeli f =

in aiAi dla Ai to definiujemy

Xf d =

in

ai(Ai),

jeli tylko wyraenie po prawej stronie wzoru ma sens liczbowy. Mwimy, e funkcja fjest cakowalna jeeli

X f d ma warto skoczon.

G. Plebanek, MIARA I CAKA Rozdzia 3: Caka 46

Tym samym dla f = 2[0,1] + c[3,] mamyR f d = 2 gdy c = 0; warto tej

caki jest dla c > 0 i dla c < 0. Dla funkcji g = [,0) [1,) wyraenieR g d nie ma sensu liczbowego.

Lemat 3.1.2 Definicja caki z funkcji prostej jest poprawna, to znaczy

jeeli f =in

aiAi =jk

bjBj toin

ai(Ai) =jk

bj(Bj).

Dowd. Patrz Zadanie 3.5.1. Oprcz caki po caej przestrzeni moemy rozwaa cak na dowolnym zbiorze

A ; przyjmujemy po prostu za definicj wzrAf d =

Xf A d.

Twierdzenie 3.1.3 Dla funkcji prostej mierzalnej h i funkcji prostych cakowalnychf i g zachodz nastepujce zalenoci

(i)X(af + bg) d = a

X f d+ b

X g d;

(ii) jeeli h = 0 prawie wszdzie toX h d = 0;

(iii) jeeli f g prawie wszdzie to X f d X g d;(iv) |X(f + g) d| X |f | d+ X |g| d;(v) jeeli a f b prawie wszdzie to a(X) X f d b(X);(vi) dla A,B , jeeli A B = to

ABf d =

Af d+

Bf d.

Dowd. Wzr (i) dla a = b = 1, wynika natychmiast z poprawnoci definicji caki zfunkcji prostych; rozszerzenie tego wzoru na dowolne a, b R to po prostu rozdzielnomnoenia wzgldem dodawania.

Jeeli h = 0 prawie wszdzie to moemy przedstawi h jakoi aiAi , gdzie (Ai) =

0 i dlategoX h d = 0.

Zauwamy, e jeli f 0 prawie wszdzie to f = h +i aiAi dla pewnej funkcjih rwnej zero prawie wszdzie i ai 0; std i z (ii) otrzymamy X f d 0. Abysprawdzi (iii) piszemy g = f + (g f) i stosujc te uwag, otrzymujemy na mocy (i)

Xf d

Xf d+

X

(g f) d =Xg d.

(iv) wynika z (iii) i nierwnoci |f + g| f + g |f + g|. Podobnie sprawdzamy (v).Wzr w (vi) wynika std, e AB = A + B, o ile A B = i dlatego

ABf d =

XfAB d =

XfA d+

XfB d =

Af d+

Bf d.


3.2 Caka z funkcji mierzalnych

W dalszym cigu rozwaamy funkcje na ustalonej -skoczonej przestrzeni (X,, ) zakadamy milczco, e wszystkie omawiane funkcje s -mierzalne. Zdefinujemywpierw cak z funkcji mierzalnej nieujemnej f : X R. Zauwamy, e jeli s jestnieujemn funkcj prost, przedstawion w postaci s =

in aiAi , gdzie Ai s parami

rozczne i ai 0 to warunek 0 s f oznacza, geometrycznie rzecz biorc, eprostokty postaci Ai [0, ai] znajduj si pod wykresem funkcji f i dlatego powinnoby tak, e

X f d

X s d. Istotnie, przyjmujemy nastpujc definicj.

Definicja 3.2.1 Dla funkcji nieujemnej mierzalnej f definiujemyXf d = sup{

Xs d : 0 s f},

gdzie supremum jest liczone po funkcjach s prostych mierzalnych. Funkcj f nazywamycakowaln, jeeli caka z f jest skoczona.

Zauwamy, e w istocie caka z funkcji nieujemnej f moe by zdefiniowana jakosupremum wartoci

X s d, brane po funkcjach prostych cakowalnych, por. Problem

3.6.AB. W wielu przypadkach wygodniej jest operowa raczej poniszym twierdze-niem ni wzorem podanym w Definicji 3.2.1.

Twierdzenie 3.2.2 Jeli f jest nieujemn funkcj mierzaln, a sn cigiem funkcjiprostych, takim e s1 s2 . . . i limn sn = f prawie wszdzie to

Xf d = lim

n

Xsn d.

Dowd. Poniewa cig caekX sn d jest niemalejcy na mocy Twierdzenia 3.1.3(iii)

wic faktycznie granica limnX sn d, waciwa lub niewaciwa, zawsze istnieje oraz

na mocy definicji caki zachodzi nierwnoX f d limn

X sn d.

Rozwamy funkcj prost g, tak e 0 g f i g = ik aiAi , gdzie Ai s paramirozcznymi zbiorami miary skoczonej. Wtedy X0 =

ik Ai ma miar skoczon;

niech M = maxi ai (w tym momencie wielkoci (X0) i M s ustalone!).Z twierdzenia Jegorowa 2.4.1 sn zbiega do f niemal jednostajnie na zbiorze X0.

Dla ustalonego > 0 istnieje A X0, taki e (A) < /M i zbieno na X0 \ A jestjednostajna. Tym samym dla duych n mamy nierwno

g(x) sn(x) f(x) sn(x) < /(X0),dla x X0 \ A i dlatego

Xg d =

X0g d =

X0\A

g d+Ag d

X0\A

(sn + /(X0)) d+M(A) X0sn d+ + ,


co dowodzi, e limX sn d

X g d.

Wreszcie cak z funkcji mierzalnych niekoniecznie nieujemnych definiujemy zapomoc rozkadu opisanego w Lemacie 2.1.14.

Definicja 3.2.3 Mwimy, e funkcja mierzalna f : X R jest cakowalna jeeliX|f | d


Teraz rozszerzenie wzoru na przypadek dowolny wynika natychmiast z Definicji 3.2.3.Ad (ii). W przypadku 0 f g nierwno X f d X g d wynika natych-

miast z Definicji 3.2.1. W oglnym przypadku, piszc f = f+ f i g = g+ g,mamy f+ g+ i f g, czyli

Xf+ d

Xg+ d i

Xg d

Xf d;

odejmujc te nierwnoci stronami otrzymujemy dan zaleno.Ad (iii). Przyjmujc g = bX mamy

X f d

X g d = b(X) z (ii). Drug

nierwno sprawdzamy analogicznie.Ad (iv). Jeeli h = 0 prawie wszdzie to s = 0 prawie wszdzie dla kadej funkcji

prostej s, takiej e 0 s h i dlatego w tym przypadku X h d = 0 na mocyTwierdzenia 3.1.3. W przypadku oglnym, przedstawiajc h w postaci h = h+ hmamy h+ = h = 0 prawie wszdzie i dlatego

X h d = 0.

Ad (v). Zamy, e h nie jest prawie wszdzie rwna zeru. Wtedy dla zbioruA = {x : h(x) > 0} mamy (A) > 0; oznaczajc An = {x : h(x) > 1/n}, spenionajest zaleno A =

nAn, a zatem istnieje n0, takie e (An0) > 0. Std, na mocy

(iii), Xh d

An0

h d (1/n0)(An0) > 0.

Czci (vi) i (vii) sprawdzamy tak samo jak dla funkcji prostych, por. Twierdzenie3.1.3.

Uwzgldniajc wasnoci caki opisane w Twierdzeniu 3.2.4 nietrudno wywniosko-wa nastpujc wasno monotonicznoci caki.

Wniosek 3.2.5 Jeeli f g prawie wszdzie toXf d

Xg d.

o ile tylko caki wystpujce we wzorze maj sens liczbowy.

3.3 Twierdzenia graniczne

Przedstawimy teraz klasyczne twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiemcaki jak si okae moliwoci wykonania takiej operacji wymagaj do sabychzaoe. Niezmiennie rozwaamy ustalon przestrze -skoczon (X,, ) i milczcozakadamy, e wszystkie omawiane funkcje s mierzalne wzgldem -ciaa .

Twierdzenie 3.3.1 (o zbienoci monotonicznej) Niech funkcje fn bd nieujem-ne oraz f1 f2 . . . prawie wszdzie to funkcja graniczna f = limn fn spenia wzr

Xf d = lim

n

Xfn d.


Odnotujmy przed dowodem, e funkcje fn nie musz by cakowalne. Funkcja gra-niczna jest dobrze okrelona prawie wszdzie, przy czym f moe przyjmowa wartocinieskoczone.

Dowd. Jak wynika z Wniosku 3.2.5 cig caekX fn d jest niemalejcy i dlatego

istnieje jego granica limnX fn d

X f d. Wystarczy wic uzasadni nierwno

przeciwn. W tym celu rozwaymy funkcj prost s, tak e 0 s f i pokaemy, elimn

X fn d

X s d.

Przypumy, e s =ik aiAi , gdzie ai > 0, a zbiory Ai s parami rozczne i

(Ai) < . Wtedy X0 = ik Ai jest zbiorem miary skoczonej i bez zmniejszeniaoglnoci mona zakada,e (X0) > 0. Niech M = maxi ai; dla ustalonego > 0 zTwierdzenia Jegorowa istnieje zbir mierzalny B X0, taki e (B) < /M oraz

fn(x) s(x) /(X0)dla wszystkich x X0 \B i dostatecznie duych n. Dla takich n

Xfn d

X0\B

fn d X0\B

(s /(X0)) d

X0s d

Bs d (X0 \B)

(X0)X0s d 2,

poniewaB s d M(B) . W ten sposb dowd zosta zakoczony.

Twierdzenie 3.3.2 (Lemat Fatou) Dla dowolnego cigu funkcji nieujemnych fnzachodzi nierwno

Xlim inf

nfn d lim inf

n

Xfndx.

Dowd. Oznaczajc

gn = infkn

fk, f = lim infn

fn,

otrzymujemy 0 g1 g2 . . . oraz limn = f (patrz Zadanie 2.7.4). Dlatego zTwierdzenia 3.3.1

Xfn d

Xgn d

Xf d,

a to daje natychmiast tez twierdzenia. Jeeli

fn = [0,1/2] lub fn = [1/2,1]

w zalenoci od tego, czy n jest parzyste, czy nieparzyste, to lim infn fn = 0, podczasgdy

[0,1] fn d = 1/2 dla kadego n. Ten prosty przykad pokazuje, e w lemacie

Fatou nie musi by rwnoci; jednoczenie przykad ten pozwala atwo zapamita,ktra nierwno jest zawsze prawdziwa. Nietrudno te pokaza ma przykadzie, ezaoenie fn 0 w Twierdzeniu 3.3.2 jest istotne, por. Zadanie 3.5.17.


Twierdzenie 3.3.3 (Twierdzenie Lebesguea o zbienoci ograniczonej) Niechfn i g bd takimi fukcjami mierzalnymi, e dla kadego n nierwno |fn| g za-chodzi prawie wszdzie, przy czym

X g d < . Jeeli f = limn fn pr

fr_main

Documents

Transcript of fr_main