Dzielenie wielomianów

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

DZIELENIE WIELOMIANWDzielenie wielomianw to motyw przewodni wielu szkolnych zadan. Zacznijmy od przy-pomnienia co to jest dzielenie liczb. Co to znaczy podzielic 15 przez 7? To znaczy sprawdzicile razy 7 miesci sie w 15 (to jest iloraz), oraz ile zostanie jak te wszystkie mozliwe sidemkiodejmiemy (to jest reszta). Mozemy to dziaanie zapisac w postaci

15 = 7 2 + 1.W powyzszym rachunku 2 jest ilorazem, a 1 reszta z dzielenia. To co jest bardzo wazne, toze reszta jest zawsze mniejsza od liczby, przez ktra dzielimy (gdyby reszta bya wieksza od7 to by znaczyo, ze w danej liczbie miesci sie jeszcze jedna sidemka, czyli jest cos nie tak znaszym dzieleniem).

Dokadnie tak samo dzieli sie wielomiany i jezeli bedziemy musieli sobie kiedys szybkoprzypomniec o co chodzi w dzieleniu wielomianw, najpierw napiszmy sobie przykad zliczbami podobny do tego wyzej.

Podzielenie wielomianu W(x) przez wielomian P(x) polega na znalezieniu dwch wie-lomianw Q(x) i R(x) tak, aby bya speniona rwnosc:

W(x) = P(x)Q(x) + R(x),

gdzie stopien wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x). Wielomian Q(x)nazywamy ilorazem, a R(x) reszta z dzielenia. Warunek deg R(x) < deg P(x) nalezy trak-towac jako dokadny odpowiednik analogicznego warunku dla reszty przy dzieleniu liczb(gdyby stopien nie by mniejszy, to by znaczyo, ze reszte wciaz mozna podzielic przez P(x),co byoby sprzeczne z idea reszty).

Powiedzmy, ze chcemy podzielic wielomian W(x) = x7 5x3 + x przez wielomianx2 1. Jakie beda stopnie ilorazu i reszty?Stopien ilorazu atwo przewidziec. Poniewaz stopnie sie dodaja gdy mnozymy wie-lomiany, iloraz musi miec stopien 5 (inaczej mwiac, zeby wyszo x7 musimy x2

przemnozyc przez x5). Co do reszty, to wiemy, ze maksymalnie moze miec stopien1 (bo dzielimy przez wielomian stopnia 2). Czy ma dokadnie stopien 1? Tego juznie wiadomo, trzeba podzielic, zeby sie przekonac.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Wyznaczmy reszte z dzielenia wielomianu W(x) = x5 4x3 + 2x+ 1 przez wielo-mian (x 2)(x+ 1).Poniewaz dzielimy przez wielomian stopnia 2, reszta bedzie miaa stopien 1, czyliszukamy wielomianu R(x) = ax+ b takiego, ze

x5 4x3 + 2x+ 1 = (x 2)(x+ 1)Q(x) + ax+ b,gdzie Q(x) jest pewnym wielomianem, ktry nas specjalnie nie interesuje (bo ma-my tylko wyznaczyc reszte). Podstawiajac w tej rwnosci x = 2 i x = 1 (zebyskadnik z Q(x) sie wyzerowa), otrzymujemy ukad rwnan{

5 = 2a+ b2 = a+ b.

Odejmujac od pierwszego rwnania drugie otrzymamy a = 1, skad b = 3 i R(x) =x+ 3.

W przypadku gdy R(x) = 0 mwimy, ze wielomian W(x) dzieli sie przez P(x) bez reszty(albo krtko, ze sie dzieli przez P(x)). Oczywiscie znowu jest to w peni analogiczne doterminologii stosowanej przy dzieleniu liczb.

W jednym z poprzednich przykadw sprawdzilismy, ze

2x3 5x2 + 7x+ 5 = (x2 3x+ 5)(2x+ 1).Rwnosc ta oznacza, ze wielomian z lewej strony dzieli sie bez reszty zarwnoprzez wielomian x2 3x+ 5 (z ilorazem 2x+ 1) jak i przez 2x+ 1 (z ilorazem x2 3x+ 5).

Dzielenie wielomianw dzielenie pisemne

Skoro juz dobrze wiemy o co chodzi w dzieleniu wielomianw, nadszed czas, zebysmynauczyli sie sprawnie takie dzielenie wykonywac.

Nauke rozpoczniemy od dzielenia pisemnego, ktre jest dokadnym odpowiednikiemdzielenia liczb. Powiedzmy, ze chcemy podzielic wielomian x5 + 1 przez wielomian x2 + 1.Wykonamy najpierw dzielenie, a potem wyjasnimy, co dokadnie sie dziao.

x3 xx5 +0x4 +0x3 +0x2 +0x +1 : x2 + 1x5 x3

x3 +1x3 +x

x +1

Zaczynamy jak przy dzieleniu liczb: piszemy wielomian, ktry dzielimy i nad nim rysuje-my kreske. W tym kroku jest wazne, zeby napisac wszystkie wspczynniki wielomianu,rwniez te zerowe. Patrzymy teraz na najwyzsza potege x w naszym wielomianie, czyli na



x5 i dzielimy przez najwyzsza potege x w wielomianie przez, ktry dzielimy. Otrzymuje-my x

5

x2 = x3 i piszemy to nad kreska, jest to pierwszy skadnik wyniku. Mnozymy teraz

otrzymane x3 przez wielomian, przez ktry dzielimy i otrzymujemy

x3(x2 + 1) = x5 + x3.

Zapisujemy to wyrazenie ze zmienionym znakiem pod wyjsciowym wielomianem. Caoscpodkreslamy i dodajemy. Teraz startujemy od wyrazenia pod kreska, czyli od x3 + 1 i po-wtarzamy te same operacje co poprzednio: dzielimy x3 przez x2 i wynik x piszemy ugry; przemnazamy x przez x2 + 1 i podpisujemy ze zmienionym znakiem pod x3 + 1.Znowu kreska i dodawanie. Teraz otrzymujemy juz wielomian, ktrego stopien jest mniej-szy od wielomianu, przez ktry dzielimy, wiec jest to nasza reszta. Iloraz mamy napisanyna samej grze.

Sprawdzmy jeszcze, ze dzielenie dao nam dobry wynik

(x2 + 1)(x3 x) + x+ 1 = x5 x3 + x3 x+ x+ 1 = x5 + 1,czyli jest OK.

Dzielenie pisemne to bardzo szybki sposb na dzielenie wielomianw, ale zapis algoryt-mu jest dosc nieprzyjemny i z tego powodu na og traktujemy je jak ostatecznosc.

Dzielenie wielomianw grupowanie wyrazw

Grupowanie wyrazw to czesto najprostszy sposb na dzielenie wielomianw. Wprawdziesposb ten nie jest najszybszy, ale ma dosc elegancki zapis i najtrudniej sie w nim pomylic.A nawet gdy zrobimy bad, to dosc atwo jest go znalezc.

Ale do rzeczy, zrbmy ten sam przykad co przy dzieleniu pisemnym.

x5 + 1 = x3(x2 + 1) x3 + 1 = x3(x2 + 1) x(x2 + 1) + x+ 1 == (x3 x)(x2 + 1) + x+ 1.

W zasadzie jest to inny zapis dzielenia pisemnego: zaczynamy od najwyzszej potegi, czyliod x5 i dopisujemy do niej skadniki tak, aby miec wielokrotnosc wielomianu, przez ktrydzielimy, czyli x3. Potem odejmujemy to dopisane x3 i reszte przepisujemy bez zmian. Wkolejnym kroku robimy to samo, ale poczatkowym skadnikiem x3(x2 + 1) juz sie nie zaj-mujemy i zaczynamy od x3. Znowu dopisujemy brakujacy skadnik do tego, zeby miecwielokrotnosc x2 + 1 i go odejmujemy, zeby sie zgadzao. Zostaje wielomian stopnia 1, wiecjest to juz reszta z dzielenia. Na koniec grupujemy wyrazy wyciagajac (x2 + 1) przed nawias,zeby byo widac jaki jest iloraz.

Przy odrobinie wprawy, zapis dzielenia przy pomocy grupowania wyrazw mozna znacz-nie skrcic, co zilustrujmy dzielac wielomian x3 + 2x2 23x+ 1 przez wielomian x 4.

x3 + 2x2 23x+ 1 = (x3 4x2) + (6x2 24x) + (x 4) + 5 == (x 4)(x2 + 6x+ 1) + 5.



O co chodzi? Rozpiszmy szczegowo w jaki sposb pisalismy kolejne skadniki tego wyra-zania.

x3 + 2x2 23x+ 1 = (x3 4x2)x3 + 2x2 23x+ 1 = (x3 4x2) + 6x2x3 + 2x2 23x+ 1 = (x3 4x2) + (6x2 24x) + xx3 + 2x2 23x+ 1 = (x3 4x2) + (6x2 24x) + (x 4)x3 + 2x2 23x+ 1 = (x3 4x2) + (6x2 24x) + (x 4) + 5x3 + 2x2 23x+ 1 = (x 4)(x2 + 6x+ 1) + 5.

Zaczynamy od x3 i dopisujemy drugi skadnik tak, aby miec wielomian podzielny przezx 4 (czyli x3x (4) = 4x2). Potem patrzymy na x2: ma byc 2x2, a na razie mamy napi-sane 4x2, wiec trzeba dodac 6x2. Do tego 6x2 znowu dopisujemy skadnik tak, aby miecwielomian podzielny przez x 4 (czyli 6x2x (4) = 24x). Teraz patrzymy na x: mamynapisane24x, a ma byc23x, wiec dopisujemy x. Potem dopisujemy4 (zeby miec x 4)i na koniec dodajemy 5, zeby sie zgadzao (bo ma byc 1). Na koniec wyaczamy x 4 przednawias.

Dzielenie wielomianw schemat Hornera

Schemat Hornera pozwala bardzo szybko (i bezmyslnie) dzielic wielomiany przez dwumia-ny postaci x a. Jak zwykle wyjasnijmy o co chodzi na przykadzie.

Wykonamy to samo dzielnie, co poprzednio, czyli dzielimy x3 + 2x2 23x + 1 przezx 4. Robimy tabelke i w pierwszym jej wierszu, poczawszy od drugiego pola, wpisujemykolejne wspczynniki wielomianu (acznie z zerowymi!), ktry dzielimy.

1 2 -23 14 1 4 1 + 2 = 6 4 6 23 = 1 4 1 + 1 = 5

Dolny wiersz wypeniamy nastepujaco:

a) w pierwszym polu wpisujemy a, jezeli dzielimy przez x a (w naszym przypadku 4);b) w drugim polu przepisujemy element z grnego wiersza (w naszym przypadku 1);

c) kazdy kolejny element drugiego wiersza powstaje przez pomnozenie poprzedniegoelementu przez element pierwszy (czyli przez a, u nas przez 4) i dodanie liczby, ktrajest napisana u gry.

Gdy juz wypenimy dolny wiersz, wynik odczytujemy nastepujaco

a) liczby od drugiej do przedostatniej sa wspczynnikami ilorazu, w naszym przyka-dzie daja nam wielomian

x2 + 6x+ 1;

b) ostatnia liczba w drugim wierszu jest reszta z dzielenia, w naszym przykadzie resztajest rwna 5.



Widac zatem, ze otrzymalismy te sama odpowiedz, co poprzednio:

x3 + 2x2 23x+ 1 = (x 4)(x2 + 6x+ 1) + 5.

Sprawdzmy, ze liczba x = 1 jest pierwiastkiem podwjnym wielomianu W(x) =x3 x2 5x 3.Musimy wykazac, ze wielomian W(x) dzieli sie przez (x+ 1)2, czyli, ze mozna godwa razy podzielic przez dwumian x+ 1. Wykonujemy pierwsze dzielenie.

1 -1 -5 -3-1 1 -2 -3 0

Zatem po podzieleniu otrzymujemy wielomian x2 2x 3. Teraz dzielimy razjeszcze.

1 -2 -3-1 1 -3 0

Teraz otrzymalismy iloraz (x 3) i reszte 0, co pokazuje, ze istotnie wyjsciowy wie-lomian dzieli sie przez (x + 1)2. Wynik wykonanych rachunkw mozemy zapisacw postaci:

x3 x2 5x 3 = (x+ 1)(x2 2x 3) = (x+ 1)2(x 3).

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1

W wielu prostych zadaniach dzielenie wielomianw wykonujemy rozkadajac wielomianna czynniki, korzystajac ze wzorw skrconego mnozenia lub grupujac wyrazy.

Zapiszmy wielomian W(x) = x3 x2 5x+ 5 jako iloczyn czynnikw liniowych.Jeden ze sposobw rozwiazania tego zadania, to szukanie pierwiastkw tego wie-lomianu, a potem dzielenie przez dwumian. Znacznie prosciej jest jednak rozozycgo bezposrednio:

x3 x2 5x+ 5 = x2(x 1) 5(x 1) == (x2 5)(x 1) = (x

5)(x+

5)(x 1).



2Na og staramy sie unikac uamkw w rachunkach, wiec np. zamiast dzielic przez dwu-mian x 12 wygodniej jest dzielic przez 2x 1 (o ile nie dzielimy schematem Hornera!).

Rozwiazmy nierwnosc 3x3 + x2 + x 2 > 0.Szukamy najpierw pierwiastkw wymiernych lewej strony. atwo sprawdzic, zepierwiastkiem jest x = 23 . Jezeli teraz bedziemy dzielic przez x 23 to nieuchronniewpuscimy sie w swiat uamkw. Dlatego wygodniej jest dzielic przez 3(x 23) =3x 2. Dzielimy grupujac wyrazy.

3x3 + x2 + x 2 = (3x3 2x2) + (3x2 2x) + (3x 2) == (3x 2)(x2 + x+ 1).

Poniewaz trjmian w nawiasie nie ma pierwiastkw (jest zawsze dodatni), rozwia-zaniem wyjsciowej nierwnosci jest zbir (23 ,+).

3Na szczeglna uwage zasuguje reszta z dzielenia wielomianuW(x) przez dwumian (x a).Z definicji jest to wielomian stopnia co najwyzej 0, a wiec liczba. Ile jest rwna? Zapiszmydefinicje dzielenia

W(x) = (x a)W(x) + R.Podstawiajac w tej rwnosci x = a mamy R = W(a). Te wasnosc warto zapamietac, bo jestwykorzystywana w wielu zadaniach.

Reszta z dzielenia W(x) przez dwumian (x a) jest rwna W(a).

Wiedzac, ze reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez trjmian x2 x 12 jestrwna 3x+ 5 obliczmy reszte z dzielenia W(x) przez (x 4).Z definicji dzielenia mamy rwnosc

W(x) = (x2 x 12)Q(x) 3x+ 5.Jak juz wiemy, reszta z dzielenia W(x) przez (x 4) to po prostu W(4), wiec wsta-wiamy x = 4 do powyzszej rwnosci

W(4) = (16 4 12)Q(x) 7 = 7.

4Z poprzedniej uwagi wynika praktyczny sposb czesciowej kontroli poprawnosci dzieleniaprzez dwumian schematem Hornera: jezeli dzielimy wielomian W(x) przez x a, to reszta(a wiec liczba w prawym dolnym rogu tabeli) musi byc rwna W(a).



Podzielmy x5 + 1 przez x+ 2.

1 0 0 0 0 1-2 1 -2 4 -8 16 -31

Mamy wiecx5 + 1 = (x+ 2)(x4 2x3 + 4x2 8x+ 16)31.

Poprawnosc tego dzielenia pobieznie sprawdzamy liczac W(2) = 32 + 1 =31.

5Schemat Hornera jest najszybszym sposobem dzielenia przez dwumian, ale jest bezlitosnyjezeli popenimy pomyke mamy mae szanse, zeby zauwazyc bad. Dlatego musimy do-kadnie pamietac przebieg algorytmu, co w zasadzie wszystkim sprawia problemy. Najwaz-niejsze rzeczy, o ktrych nalezy pamietac to

a) wpisujac do tabelki wspczynniki wielomianu, ktry dzielimy pamietajmy o wpisa-niu rwniez wspczynnikw zerowych (jak przy zwykym dzieleniu wielomianw);

b) schemat Hornera mozemy stosowac tylko do dzielenia przez dwumian postaci (x a);nie prbujmy go stosowac do wyrazen typu 2x 1 albo x2 1;

c) jezeli dzielimy przez x+ 2 to w lewym dolnym rogu tabelki wpisujemy 2, a nie 2 (box+ 2 = x (2)).

Dobra rada: jezeli nie czujecie sie pewnie stosujac schemat Hornera, nie stosujcie go i zamiasttego nauczcie sie dzielic wielomiany grupujac wyrazy.

6Pisalismy, ze schemat Hornera mozemy stosowac tylko do dzielenia przez dwumian x a,ale stosujac go wielokrotnie mozemy go uzywac do dzielenia przez dowolny wielomian,ktry rozkada sie na czynniki liniowe.

Jak podzielic wielomian schematem Hornera przez x2 3? Rozkadamy

x2 3 = (x

3)(x+

3),

a nastepnie wykonujemy dwa dzielenia: najpierw przez x 3, a potem przezx+

3.

A jak podzielic przez 10x2 3x 1? Tez rozkadamy = 9 + 40 = 49

x =3 7

20= 1

5 x = 3 + 7

20=

12

.

Tak wiec najpierw dzielimy przez x+ 15 , a potem przez x 12 .Materia pobrany z serwisu www.zadania.info

7


7

Jezeli myslimy o dzieleniu wielomianw jak o dzieleniu liczb, to odpowiednikiem liczbpierwszych sa wielomiany nierozkadalne. Okazuje sie, ze sa to dokadnie jednomianyax+ b oraz wielomiany kwadratowe z ujemna -a (tak jest bo kazdy wielomian mozna roz-ozyc na iloczyn wielomianw stopnia co najwyzej 2). W takim jezyku rozkad wielomianuna czynniki liniowe i kwadratowe z ujemna -a odpowiada rozkadowi liczby naturalnejna iloczyn liczb pierwszych. Okazuje sie, ze podobnie jak dla liczb, taki rozkad jest jedno-znaczny (z dokadnoscia do mnozenia czynnikw przez liczbe).Podobnie jak dla liczb pierwszych, jezeli W(x) jest wielomianem nierozkadalnym, ktrydzieli iloczyn

P(x) Q(x)to W(x) musi dzielic jeden ze skadnikw.

Uzasadnijmy, ze jezeli wielomiany P(x) i Q(x) speniaja rwnosc

P(x)Q(x) = x8 1to jeden z nich dzieli sie przez wielomian x2 + 1.Na mocy poczynionej uwagi wystarczy wykazac, ze wielomian x2 + 1 dzieli prawastrone. A to nie jest trudne

x8 1 = (x4 1)(x4 + 1) = (x2 1)(x2 + 1)(x4 + 1).


Dzielenie wielomianów

Documents

Transcript of Dzielenie wielomianów