DMBO

DMBO

Programowanie liniowe 2

Rozwiązywanie problemów liniowych – ogólny przypadek

• Dotychczas – forma standardowa– Maksymalizacja– Ograniczenia postaci ≤– Prawa strona ograniczeń ≥ 0– Wszystkie zmienne ≥ 0

• Punkt (0,0,…,0) zawsze jest dopuszczalnym rozwiązaniem wierzchołkowym przy formie standardowej

• A co jeśli zadanie nie jest w formie standardowej?

Minimalizacja

1. Przekształć w maksymalizację: – min Z = 12x1 + 5x2 – 7x3

– max (–Z) = –12x1 – 5x2 + 7x3

• Dla przypomnienia wstaw -1 w kolumnie Z tabelki simplex• Po rozwiązaniu programu liniowego w postaci max:

– Pomnóż funkcję celu przez -1– Wartości zmiennych wzięte z tabelki są właściwym

rozwiązaniem

2. Drugi sposób – mniej popularny – rozwiązuj simplex w postaci minimalizacji ze zmienionymi regułami

Ograniczenia w postaci równości• W problemie firmy Rowerek:

• Wprowadzamy sztuczną zmienną a1 [artificial variable]

• Sztuczna zmienna różni się od zmiennej luzu – musimy ją zmusić, aby się wyzerowała, ponieważ punkt (x1,x2,s1,s2,a1) = (0,0,2,3,4) nie jest dopuszczalny.

Simplex dwufazowy

• Do tego służy 2-fazowy algorytm simplex– Faza 1: minimalizuj wartości wszystkich sztucznych

zmiennych (u nas tylko a1); jeśli minimum wynosi 0, wówczas mamy dopuszczalne rozwiązanie wierzchołkowe …

– Faza 2: … z którego zaczynamy szukać rozwiązania problemu właściwego tak jak wcześniej

Faza 1• Przekształcamy

– min W = a1 + a2 + a3 + …

– max –W + a1 + a2 + a3 + … = 0

• Właściwa funkcja celu również jest zapisywana w tabelce obok powyższej• Pierwsza tabelka simplex fazy 1 nie jest nigdy w formie właściwej, ponieważ

sztuczne zmienne, które są na początku zmiennymi bazowymi, pojawiają się dwa razy w kolumnie

• Potrzebna jest wstępna obróbka

Faza 1• Przekształcamy w formę właściwą

• 4 jednostki naruszenia ograniczenia

• d

Faza 1• Rozwiązując również pamiętamy o oryginalnej funkcji celu

• Zakończyliśmy fazę 1. Musimy kontynuować fazę 2, ponieważ jest ujemny współczynnik w funkcji celu ph2

Faza 2

• Rozwiązanie: (x1,x2,s1,s2) = (2,2,0,1); Z=50

Co się wydarzyło?• Zaczynamy w wierzchołku, który jest niedopuszczalny dla fazy 2, ale

jest dopuszczalny dla fazy 1• Fazę 1 kończymy w wierzchołku, który jest dopuszczalny zarówno w

fazie 1, jak i w fazie 2

Zadanie sprzeczne

• Jeśli faza 1 kończy się i nadal wartość W jest dodatnia – zadanie jest sprzeczne

• Jak sprawdzić dlaczego:– IIS – irreducible infeasible set – zazwyczaj bardzo

mały podzbiór wszystkich ograniczeń, które łącznie są sprzeczne, ale

– Wyrzucenie jednego lub więcej ograniczeń z tego zbioru skutkuje zadaniem niesprzecznym

Ograniczenia typu ≥ z dodatnią prawą stroną

• Ograniczenia tego typu powodują, że początek układu współrzędnych jest niedopuszczalny

• Nie możemy po prostu pomnożyć przez -1, bo wtedy prawa strona będzie ujemna

• Rozwiązanie: wprowadzamy zmienną nadmiaru [surplus variable]3x1 + 5x2 ≥ 20 3x⇒ 1 + 5x2 − s1 = 20.

• Zmienna nadmiaru nie może być użyta jako zmienna bazowa ograniczenia, w którym występuje, ponieważ jest -1 zamiast +1

• Ale ograniczenie jest teraz w postaci równości, więc możemy je traktować tak, jak inne ograniczenia w tej postaci

3x1 + 5x2 − s1 + a1 = 20

Ujemna prawa strona nierówności

• Problem – zmienna bazowa dla tego ograniczenia musiałaby przyjąć ujemną wartość, a nie może

• Rozwiązanie: pomnóż przez -1 i powstałe ograniczenie typu ≥, =, ≤ odpowiednio potraktuj

Przykładowa konwersja

min Z = 15x1 + 10x2 ← minimalizacja zamiast maksymalizacjix1 ≤ 2x2 = 3 ← równość zamiast ≤x1 + x2 ≥ 4 ← ≥ zamiast ≤

max (-W) + a1 + a2 = 0 [funkcja celu fazy 1]max (-Z) + 15x1 + 10x2 =0 [funkcja celu fazy 2]x1 + s1 = 2x2 + a1 = 3x1 + x2 – s2 + a2 = 4

Zmienne, które mogą być ujemne• Dwie możliwości:

1. Ograniczenie dolne na ujemne wartości• Na przykład poziom produkcji nie może spaść o więcej

niż Lj od aktualnego poziomu xj ≥ Lj

• Rozwiązanie – zmiana zmiennych xj = xj + L′ j

2. Zmienna bez ograniczeń – na następnej stronie

Zmienna bez ograniczeń• Zmienna nieograniczona xj jest zastąpiona różnicą dwóch zmiennych

nieujemnych xj = xj+ – xj

-

• Simplex automatycznie przyporządkuje tylko jednej z tych zmiennych niezerową wartość– Kolumny dla tych zmiennych są swoim lustrzanym odbiciem (w jednej -1 w drugiej

+1), więc obie zmienne nie mogą być jednocześnie bazowe– Jeśli xj

+ > 0 to xj = xj+

– Jeśli xj- > 0 to xj = - xj

-,

– Jeśli xj+ =xj

- = 0 to xj = 0.

• Jeśli mamy wiele zmiennych nieograniczonych, używamy dla każdej tej samej zmiennej xj

-. W rozwiązaniu xj- jest wartością bezwględną najbardziej

ujemnej zmiennej. Wówczas zmienne xj+ mówią, jak bardzo dana zmienna

przewyższa tą najbardziej ujemną wartość

Tropikalne błyszczyki do ust – Jessica Simpson i Urban Chic Boutique

• Dear Students of DMBO class at WSE, My name is Jessica Simpson. I have been going through some tough times recently and am having a real problem with one of mycosmetic lines. The info for the line is on the next page. Recently though costs are changing based on market demand in addition to highly fluctuating resource costs. My problem is this we currently have an LP that we solve to find the optimal amount to produce of each product. However, every time a parameter changes, I am always forced to resolve the LP and this takes too long. I was hoping you guys could find a better way. Lately I have just been out of it. For example, Nick and I decided to split our Hummer in half, and now I need to buy a new one. Oh yeah, about the LP it seems to have been misplaced when I was moving out of my Malibu house. Please Help! -Jessica

http://www.urbanchic-boutique.com/dhop/jessica-simpson-dessert-treats/jessica-simpson-tropical-treats-kissable-lip-shine/prod_89.html




Dane do problemu

• Jessica sprzedaje 4 rodzaje błyszczyka do ust.• Dokładnie 950 sztuk wszystkich musi być wyprodukowane• Klienci domagają się przynajmniej 400 sztuk błyszczyka Mango• Dostępny materiał ≤ 4600• Dostępna praca ≤ 5000

Brzoskwinia Ananas Pomarańcza Mango

Materiał 2 3 4 7

Godziny pracy 3 4 5 6

Cena ($) 4 6 7 8

Zadanie programowania Liniowego• Ilość wyprodukowanego błyszczyka:

– X1: brzoskwiniowy– X2: ananasowy– X3: pomarańczowy– X4: mango

max

Rezultat

• Co może się zmienić w modelu?:– Ceny produktów– Koszty materiałów– Ilość dostępnych materiałów– Mogą zostać wprowadzone nowe produkty

• Pytanie: Jak mogę stwierdzić, czy moje rozwiązanie jest ciągle optymalne po zmianie?

Zmienne decyzyjne 0 400 150 400

Funkcja celu 6650

Raport wrażliwości

• Czy powinien wyglądać tak?Microsoft Excel 14.1 Sensitivity ReportWorksheet: [Workbook2]Sheet1Report Created: 10/31/2011 3:32:45 PM

Variable Cells Final Reduced

Cell Name Value Gradient$B$6 Zmienne decyzyjne Brzoskwinia 0 -1.000000238$C$6 Zmienne decyzyjne Ananas 400 0$D$6 Zmienne decyzyjne Pomarańcza 150 0$E$6 Zmienne decyzyjne Mango 400 0

Constraints Final Lagrange

Cell Name Value Multiplier$B$11 Materiały 4600 1$B$12 Praca 4750 0$B$13 Ilość łącznie 950 3$B$14 Ilość mango 400 -2

Główne błędy

• Brak zaznaczenia “model liniowy” (lub “Simplex LP”)

• Brak zaznaczenia “przyjmij nieujemne”

• Zakładamy na razie, że nie mamy do czynienia ze zdegenerowanym rozwiązaniem

Właściwy raport wrażliwości

Microsoft Excel 14.1 Sensitivity ReportWorksheet: [Workbook2]Sheet1Report Created: 10/31/2011 3:35:03 PM

Variable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease$B$6 Zmienne decyzyjne Brzoskwinia 0 -1 4 1 1E+30$C$6 Zmienne decyzyjne Ananas 400 0 6 0.666666667 0.5$D$6 Zmienne decyzyjne Pomarańcza 150 0 7 1 0.5$E$6 Zmienne decyzyjne Mango 400 0 8 2 1E+30

Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable

Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease$B$11 Materiały 4600 1 4600 250 150$B$12 Praca 4750 0 5000 1E+30 250$B$13 Ilość łącznie 950 3 950 50 100$B$14 Ilość mango 400 -2 400 37.5 125

Zmienne decyzyjne 0 400 150 400

Funkcja celu 6650

Problem 1: zmiana współczynnika funkcji celu przy zmiennej bazowej

• “Hi guys I was at the market and noticed the price of ananas went up by 50 cents. That means if I raise the price of the ananas lip shine by 50 cents I will make more money. Right?” Jessica

• Rozwiązanie: – Sprawdź, czy zmiana współczynnika funkcji celu jest w zakresie

dopuszczalnej zmiany • W naszym przykładzie mieści się: 50 c < 66.66 c (allowable increase)

– Jeśli tak, to optymalne rozwiązanie bazowe (optimal basic feasible solution) się nie zmieni. Oblicz zmianę zysku.• W naszym przykładzie zmiana zysku to 0.5*$400 = $200

• Ćwiczenie: Przypuśćmy, że cena brzoskwnini wzrosła o 60 c. Jakie jest nowe rozwiązanie i zmiana zysku?

Problem 2: Zmiana współczynnika funkcji celu przy zmiennej niebazowej

• “Hello Class, I went to the store to buy some of my peach gloss and found out none of it was being produced because it wasn’t profitable. What should I charge to make them in the optimal mix?”, Jessica

• Musimy spojrzeć na “reduced cost”:– Jeśli “reduced cost” przy zmiennej xi wynosi –ri, znaczy to, że

zwiększenie “kosztu” przy tej zmiennej o ri doprowadzi do optymalnej bazy, która będzie zawierać xi.• W naszym przykładzie musimy zwiększyć cenę przynajmniej o $1 (do

$5) zanim x1 znajdzie się w optymalnej bazie

Problem 2 – pytania kontrolne• Co się stanie jeśli podniesiemy cenę brzoskwiniowego błyszczyka do

$5?– Bedziemy obojętni pomiędzy włączeniem tego błyszczyka do bazy – będzie

więc wiele rozwiązań optymalnych• Co to jest “reduced cost” zmiennej bazowej?

– Dla problemów maksymalizacji koszty te są niedodatnie. Mówią nam, jak mocno trzeba podnieść cenę produktu, aby się opłacało go produkować.

• Poniżej jest tabelka simplex optymalnego rozwiązania. Jaki jest “reduced cost” zmiennej c?

– “Reduced cost” przy zmiennej c wynosi -2.

Problem 3: Zmiana współczynnika prawej strony ograniczenia

• “Uggh! You won’t believe this. After seeing me on Newlyweds, MTV decided it would be profitable to make a reality show where instead of having 4600 of raw materials, I have only 4499 .What should I do (that is, what happens to the optimal solution)?”, Jessica z pomocą doradcy

• Rozwiązanie:– Sprawdź, czy zmiana współczynnika prawej strony

ograniczeń jest w zakresie dopuszczalnej zmiany• W naszym przykładzie 101<150, więc się mieści

– Jeśli tak, optymalna baza się nie zmieni, ale wartości zmiennych bazowych się zmienią. Możemy wykorzystać “shadow price” ograniczenia, aby policzyć zmianę optymlanej wartości funkcji celu• “Shadow price” przy ograniczeniu materiałowym wynosi 1.

Zatem zmiana optymalnej wartości funkcji celu wynosi -101*1=-101

Pytania kontrolne

• Jaka jest zmiana optymalnej wartości funkcji celu jeśli dostępna ilość godzin pracy wynosi 4800?– Mieści się w dopuszczalnym zakresie zmiany, baza pozostaje

niezmieniona. “Shadow price” wynosi 0, zatem zmiana wartości funkcji celu wynosi 0

• Co można powiedzieć o “shadow price” ograniczenia “≥”? A co o ograniczeniu typu “=”?– Ograniczenie “≥” zawsze ma niedodatnią “shadow price”.

Intuicyjnie, podniesienie prawej strony, bardziej ogranicza zbiór dopuszczalny. O ograniczeniu “=” nic nie można powiedzieć. “Shadow price” może być dodatnia, ujemna lub zero.

Problem 4: Zakup nowych zasobów

• “Guys, My sister Ashlee just lost her recording contract. I know, it’s shocking. Anyway, she needs a job; she is willing to work for 1 hour. She also said she could convert her unit of talent into a unit of raw material, whatever that means. What is the most I should pay for the unit of raw materials and for her?”, Jessica

• Rozwiązanie: Obie możliwe zmiany są w zakresie dopuszczalnych zmian– “Shadow price” ograniczenia materiałowego

wynosi 1, zatem zysk wzrósłby o $1, gdybyśmy się zgodzili

– “Shadow price” ograniczenia pracy wynosi 0, więc zatrudnienie Ashley nic nie da.

Problem 5: wprowadzenie nowego produktu

• “Hey Yall, I just got the best idea for a new flavor of Lip Gloss called Limonette. To make some, 8 units of raw material are needed and 7 hours of labor are needed. If I sell it for $7, will any be produced?”, Jessica

• Rozwiązanie:– Sprawdź, czy zmiana prawej strony jest w zakresie dopuszczalnej zmiany.– Oblicz “reduced cost” wg wzoru: – Jeśli jest nieujemny, wtedy produkujemy

• W naszym przykładzie: 7-(3)(1)+(2)(0)-(1)(8)-(0)(7)=-4

• Problem kontrolny: Jaka musiałaby być cena, aby się opłacało produkować? Odpowiedź: 11






Brzoskwinia Ananas Pomarańcza Mango Limonette

Materiał 2 3 4 7 8

Godziny pracy 3 4 5 6 7

Cena ($) 4 6 7 8 7

“reduced cost”: 7 - [ 3 * 1 – 2 * 0 + 1 * 8 + 0 * 7 ] = -4

Bo chcemy dodatkową jednostkę łącznie

Bo mango nie chodzi nam o mango

Problem 6: Parametry• “Guys, what would a graph of the optimal objective value look like that used the

amount of available raw materials as a parameter?” Na pewno nie Jessica Simpson

• Rozwiązanie: W zakresie dopuszczalnej zmiany, tj. w przedziale (4450,4850) zysk jest funkcją liniową zasobów materiałowych z nachyleniem równym wysokości “shadow price”, czyli 1

• Następnie należy obliczyć ponownie problem dla zasobów materiałowych równych np. 4449, dopuszczalny spadek wynosi wówczas 549, a “shadow price” wynosi 2.

• Następnie obliczamy problem dla zasobów materiałowych równych np. 3899. Nie ma rozwiązania dopuszczalnego.

• I na koniec liczymy dla 4851. Dopuszczalny wzrost wynosi 399 a “shadow price” wynosi 0.

• W poszczególnych przedziałach funkcja jest liniowa, wg ogólnej reguły będzie to funkcja wklęsła

Funkcja zysku w zależności od zasobów materiałowych

3000 3080 3160 3240 3320 3400 3480 3560 3640 3720 3800 3880 3950 4030 4110 4190 4270 4350 4430 4510 4590 4670 4750 4830 4910 4990 5070 51500

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Problem zdegenerowany• 3 dziwne zachowania mogą się zdarzyć, gdy bazowe rozwiązanie

dopuszczalne (BFS) jest zdegenerowane:1) W zakresie, w którym baza jest niezmienna przynajmniej jedno

oraniczenie będzie miało zerowy dopuszczalny wzrost lub spadek (allowable increase/decrease) To znaczy, że przynajmniej dla jednego ograniczenia, “shadow price” może nam powiedzieć o nowej wartości albo dla wzrostu albo dla spadku, ale nie dla obu

2) Dla niebazowej zmiennej, aby stała się bazowa (dodatnia), współczynnik funkcji celu przy tej zmiennej niebazowej może musi być podniesiony o więcej niż jej “reduced cost”

3) Podniesienie współczynnika funkcji celu o więcej niż jego dopuszczalny wzrost lub spadek może nie zmienić optymalnego rozwiązania

• Zapamiętaj, aby zawsze najpierw sprawdzić, czy aktualne rozwiązanie jest zdegenerowane

Przydatne techniki• Minimax i maximin, np. min max(y1, y2,…, yM)

Wprowadzamy nową zmienną z, zmieniamy funkcję celu namin z i dodatkowe ograniczenia z ≥ yi, dla i=1,2,…,M

• Minimalizacja wartości bezwględnej, min |x|Zapisujemy jako min max (x,-x), a dalej jak powyżej• Ograniczenia w postaci min/max/wartość bezwględnaOgraniczenie mink

i=1 (ciTx) ≥ α zapisujemy jako

ciTx) ≥ α, dla i=1,2,…,k

Tak samo ograniczenie maxki=1 (ci

Tx) ≤ α zapisujemy jako

ciTx) ≤ α, dla i=1,2,…,k

Z kolei ograniczenie |cTx| ≤ α zapisujemy jako max (cTx,-cTx) ≤ αNiestety ograniczeń: mink

i=1 (ciTx) ≤ α, maxk

i=1 (ciTx) ≥ α, |cTx| ≥ α

nie da się zamienić na liniowe.

DMBO

Documents

Transcript of DMBO