1 FIZYKA - wykład 2

Część I. MECHANIKA

2. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

Ruch jednowymiarowy

Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni

Wykład 2.

Cel dydaktyczny:

• Położenie, przemieszczenie, prędkość

średnia

• Prędkość chwilowa i szybkość średnia

• Przyspieszenie średnie i chwilowe

• Ruch ze stałym przyspieszeniem

• Spadek swobodny, rzut pionowy

• Rzut ukośny

2 FIZYKA - wykład 2

Rys. Wektor przemieszczenia podczas wyprawy na ryby. Rys. źródło: „Fizyka dla szkół wyższych S. Ling, , J.Sanny,

W. Moebs

KLUCZOWE POJĘCIA : Ruch mechaniczny – zmiana wzajemnego położenia ciała (punktu materialnego) w przestrzeni

(lub jednych ich części względem drugich) pod

wpływem czasu.

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

Punkt materialny – punkt geometryczny, w którym

skupiona jest pewna masa, a którego rozmiary

i kształty możemy w danym zagadnieniu pominąć.

Układ odniesienia – nieruchome w czasie

obserwacji ciało lub zbiór ciał, względem którego

opisujemy ruch innych ciała w przestrzeni.

Układ współrzędnych – związany z danym

układem odniesienia zespół wzajemnie prostopadłych

osi umożliwiający jednoznaczne określenie położenia

punktu w przestrzeni.

Równania ruchu – opisują zmiany położenia ciała

w przestrzeni w funkcji czasu.

Trajektoria ruchu – krzywa w przestrzeni, opisująca

zmianę położenia ciała.

AB

4AB km

3 FIZYKA - wykład 2

Klasyfikacja ruchów:

A. Ze względu na tor (trajektorię) ruchu:

prostoliniowe (postępowe);

krzywoliniowe (w tym: po okręgu);

B. Ze względu na zależność położenia od czasu:

jednostajne;

jednostajnie zmienne (przyspieszone lub opóźnione);

pozostałe (np. niejednostajnie zmienny itp.).

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

4 FIZYKA - wykład 2

Ruch cząstek emitowanych w

zderzeniach jąder atomowych,

trwał ułamki milionowych

części sekundy. (CERN,

Rap.Ann.1986)

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

Ruch prostoliniowy

Położenie i przemieszczenie

Prędkość średnia i chwilowa

Przyspieszenie

Spadek swobodny

Ruch w dwóch i w trzech wymiarach

Rzut ukośny

Ruch jednostajny po okręgu

5 FIZYKA - wykład 2

RUCH PROSTOLINIOWY - JEDNOWYMIAROWY

Założenia:

-ruch odbywa się tylko wzdłuż linii prostej (pionowej lub poziomej)

- interesuje nas sam ruch i jego zmiany a nie ich przyczyny

-poruszające się ciało traktujemy jak obiekt punktowy, czyli obdarzony

masą lecz bez rozmiaru.

6 FIZYKA - wykład 2

• Przemieszczenie - zmiana położenia pomiędzy danymi punktami

• Prędkość średnia

RUCH JEDNOWYMIAROWY

)()( 1221 txtxx tt

t

x

tt

txtxv ttśr

12

12 )()(21

przemieszczenie

przedział czasu

na przemieszczenie

nachylenie prostej

m

s

m

7 FIZYKA - wykład 2

• Prędkość chwilowa- prędkość poruszania się ciała w danej chwili,

0x

t

x dxv ( t ) lim

t dt

Poło

żenie

[m

]

Czas [s]

m

s

RUCH JEDNOWYMIAROWY

8 FIZYKA - wykład 2

Przyspieszenie – określa jak zmienia się prędkość ciała.

• Przyspieszenie średnie: 1 2

2 1

2 1

x x x

xśr t t

v ( t ) v ( t ) va

t t t

• Przyspieszenie chwilowe: 2

20

x x

xt

v dv d xa lim

t dt dt

2

m

s

2

m

s

RUCH JEDNOWYMIAROWY

9 FIZYKA - wykład 2

Przyspieszenie stałe (a=constant)

• Najczęściej będziemy się spotykać ze stałym przyspieszeniem (opóźnieniem).

• Gdy przyspieszenie chwilowe i średnie są równe, można zapisać:

Przekształcając powyższe, mamy :

RUCH ZE STAŁYM PRZYSPIESZENIEM

,0

0

tt

vvaa

k

kśr

0: 00 tkowejpocząoczątwchwilidkoćoznaczapręvgdzie

atvtv o )(

Rys. 12 a) Położenie cząstki poruszającej się ze stałym przyspieszeniem. b) Prędkość cząstki w ruchu przyspieszonym. c) Przyspieszenie

cząstki w ruchu przyspieszonym jest stałe. Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki - tom I", PWN, Warszawa 2005r.

10 FIZYKA - wykład 2

Rys. źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker,

"Podstawy fizyki , tom I”.

Gdy rzucimy ciało w górę lub w dół i w jakiś

sposób wyeliminujemy wpływ powietrza na jego

ruch, to podczas wznoszenia jak i opadania ciało

porusza się z przyspieszeniem, które nazywamy

przyspieszeniem ziemskim g (m/s2).

W PRÓŻNI g nie zależy ono od własności przedmiotu (masa, kształt, itd.)

Wartość g zmienia się nieznacznie w zależności

od szerokości geograficznej i wysokości nad poziomem morza. W zadaniach będziemy używać wartości g=9,81 m/s2

Spadek swobodny (rzut pionowy)

11 FIZYKA - wykład 2

RZUT PIONOWY W GÓRĘ

RÓWNANIA RUCHU

2

2

0

gttvty y

gtvdt

dytv y 0

Dla ciała wyrzuconego z prędkością : ,0v

Tablica- wyprowadzenie wzorów

(2.10)

(2.11)

(2.13)

(2.12)

12 FIZYKA - wykład 2

RZUT PIONOWY W DÓŁ

Dla ciała wyrzuconego z wysokości H, prędkością : ,0v

RÓWNANIA RUCHU

2

2

0

gttvHty y

gtvdt

dytv y 0

Czas trwania rzutu.

Wartość prędkości

Końcowej.

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

13 FIZYKA - wykład 2

Przykład 1 (tablica)

Jechałeś samochodem po prostej drodze z szybkością 70 km/h.

Po przebyciu 8,4 km skończyło ci się paliwo i samochód się

zatrzymał. Musiałeś iść pieszo 2 km do stacji benzynowej, co

zajęło 30 min.

a) Ile wynosiło twoje przemieszczenie od początku podróży do

stacji benzynowej?

b) Ile czasu upłynęło od początku podróży, do chwili przybycia

na stację benzynową?

c) Ile wynosiła twoja prędkość średnia w czasie od początku

podróży do przybycia na stację benzynową (2 sposobami).

d) Załóżmy, że nabrałeś benzyny i wróciłeś do samochodu co

zajęło ci 45 min. Ile wynosi twoja średnia prędkość i średnia

szybkość w czasie od początku podróży do chwili powrotu z

benzyną do samochodu.

e) Załóżmy, że po nalaniu benzyny powróciłeś do punktu startu z

prędkością 35 km/h. Ile wynosi średnia prędkość dla całej

podróży?

14 FIZYKA - wykład 2

RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH

Założenia:

- tor ruchu nie musi być linią prostą,

- interesuje nas sam ruch i jego zmiany a nie ich przyczyny,

- poruszające się ciało traktujemy jak obiekt punktowy,

15 FIZYKA - wykład 2

Rys. Wektor prędkości, w każdym punkcie toru

poruszającego się ciała, (jego kierunek), pokrywa się

ze styczną do toru i jest prędkością chwilową .

Wektor położenia ciała w funkcji czasu:

ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)(

(2.1)

Przemieszczenie:

(2.2)

Prędkość średnia:

kt

zj

t

yi

t

x

t

rvśr

ˆˆˆ.

(2.3)

Prędkość chwilowa:

vkdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rd

t

r

zyx vvv

t

ˆˆˆlim0

(2.4)

s

m

dt

rdv 1

(2.5)

A

B

kzjyixr

rrr

ˆˆˆ

'

Przemieszczenie i prędkość

RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH

16 FIZYKA - wykład 2

PRZYSPIESZENIE (ang. acceleration, ), to wielkość wektorowa, która

określa zmiany wektora prędkości w czasie poruszającego się ciała (zarówno wartości,

jak i kierunku).

21.,

s

mjedna

Rys. źródło:

http://www.if.pwr.edu.pl/~piosit/we.php

RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH

17 FIZYKA - wykład 2

PRZYSPIESZENIE CHWILOWE :

Składowe wektor przyspieszenia w układzie współrzędnych prostokątnych:

Zauważamy, przyspieszenie jest też drugą pochodną wektora położenia względem czasu.

PRZYSPIESZENIE ŚREDNIE:

21

s

m

t

vaśr

(2.7)

(2.8)

kdt

dvj

dt

dvi

dt

dva

zy

x a

z

a

y

a

x ˆˆˆ

(2.9)

22

2

01

)(lim

s

m

dt

rd

dt

d

dt

vd

t

va dt

rd

t

tor

styczna

przedział czasu

zmiana wektora prędkości

RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH

18 FIZYKA - wykład 2

2.4.1. RZUT UKOŚNY – ruch krzywoliniowy

v0x x

y

z

H

v0

v0y

g

Rzut ukośny jest złożeniem dwóch ruchów :

•ruchu jednostajnego w kierunku poziomym - z prędkością: cos0vvox

•ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku pionowym: -z prędkością początkową: sin0vvoy

i przyspieszeniem . g

tvtx x0

2

2

0

gttvty y

xx vdt

dxtv 0

gtvdt

dytv yy 0

Rys. Rzut ukośny: w czasie ruchu składowa pozioma prędkości przyspieszenie a- takie samo w każdym punkcie toru ;0 constv x

xv0

ga

a

y

x

0

RÓWNANIA RUCHU:

Dla ciała wyrzuconego z położenia (0,0)

z prędkością do poziomu: podv ,0

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

r( t ) :

v( t ) : a( t ) :

RUCH W DWÓCH I TRZECH WYMIARACH

19 FIZYKA - wykład 2

(2.24)

(2.25)

(2.26)

RZUT UKOŚNY c.d.

Równanie toru dla rzutu ukośnego- trajektoria ruchu:

2

2cos2

xv

gxtgxy

o

Wyznaczając z równania (3.26) czas t i podstawiając do równania (3.27), znajdujemy równanie toru:

• Otrzymane parametry toru:

g

vtxZ c

2sin)(

2

0Zasięg (Z) rzutu:

Maksymalna wysokość wzniesienia Hmax: g

vtyH w

2

sin)(

22

0max

(z warunku: ) 0)( wy tv

Tablica- wyznaczenie parametrów toru:

Tablica- Przykłady

20 FIZYKA - wykład 2

Analiza rzutu ukośnego

Opór powietrza

Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki , tom I”.

21 FIZYKA - wykład 2

(2.28)

(2.29)

(2.31)

2.4.1.* Od przyspieszenia do równania ruchu ( *dla dociekliwych:)

Znając przyspieszenie (a =const.) ciała można znaleźć prędkość, przemieszczenie lub drogę tego

ruchu.

Całka po czasie z wektora prędkości wyraża przemieszczenie ciała w przestrzeni.

Z definicji wynika : dt

dva adtdv

t

t

v

v

adtdv

00

Całkując obie strony równania (2.35), otrzymujemy:

a ponieważ a= const, stąd: )( 00 ttavv (2.30)

W przypadku t0=0s, równość (2.37) przyjmuje postać: 0)( vtatv

Z definicji prędkości chwilowej , otrzymujemy: dt

rdv

dtvrd

(2.32)

Całkując obie strony równania (2.39), otrzymujemy: (2.33)

Co wynika z całkowania stałego przyspieszenia…?

22 FIZYKA - wykład 2

RUCH PO OKRĘGU

2.5. Ruch jednostajny po okręgu

- ruch cząstki odbywa się po okręgu lub kołowym łuku z prędkością o stałej

wartości bezwzględnej,

- choć wartość prędkości się nie zmienia, ruch cząstki jest ruchem

przyspieszonym .

Uzasadnienie.

Przyspieszenie ( zmiana prędkości) kojarzy się ze

Wzrostem lub zmniejszaniem się wartości bezwzględnej

prędkości . Prędkość jest wektorem, a nie skalarem.

Jeśli zmienia się choćby tylko jej kierunek,

to ruch jest przyspieszony.

Okres-czas potrzebny cząstce na jednokrotny obieg zamkniętego toru.

(2.36)

23 FIZYKA - wykład 2

Wielkości kątowe – wektor prędkości kątowej

(2.37)

(2.38)

RUCH PO OKRĘGU

24 FIZYKA - wykład 2

Wielkości kątowe – przyspieszenie kątowe

(2.39)

(2.40)

(2.41)

RUCH PO OKRĘGU

25 FIZYKA - wykład 2

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)

(2.42)

RUCH PO OKRĘGU

26 FIZYKA - wykład 2

Zależności między wielkościami liniowymi a kątowymi w ruchu po okręgu

Występowanie:

RUCH PO OKRĘGU

27 FIZYKA - wykład 2

Przykład (dla zainteresowanych)

Talerz adaptera o średnicy d = 20 cm obraca się ruchem jednostajnym wykonując

33 obroty/min w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Oblicz :

a) prędkość kątowa talerza,

b) prędkość liniową i przyspieszenie dośrodkowe punktu na brzegu talerza.

c) Ile obrotów/min powinien wykonywać talerz, aby przyspieszenie dośrodkowe

punktu na jego brzegu było równe przyspieszeniu ziemskiemu? Jaki byłby jego

okres obrotu?

d) Gdy adapter wyłączono talerz zatrzymał się po upływie 10 s. Zakładając, że siła

oporu była stała obliczyć przyspieszenie kątowe talerza podczas hamowania

oraz ilość obrotów, które wykonał talerz od momentu wyłączenia do

zatrzymania. Oblicz przyspieszenie liniowe punktu na brzegu talerza w chwili

rozpoczęcia hamowania. Narysuj wektory prędkości i przyspieszenia kątowego

talerza oraz prędkości liniowej, przyspieszenia dośrodkowego, stycznego i

całkowitego punktu na brzegu talerza tuż po wyłączeniu adaptera.

28 FIZYKA - wykład 2

Dziękuję za uwagę !