Całki
-
Upload
edward-pepek -
Category
Documents
-
view
5 -
download
1
Transcript of Całki
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 1 -
CAŁKI CAŁKA NIEOZNACZONA
• CAŁKOWANIE PRZEZ CZEŚCI • CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE • CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH • CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH • CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOM.
CAŁKA OZNACZONA
• NIEKTÓRE WŁASNOŚCI • GŁÓWNE TW. RACHUNKU CAŁKOWEGO • CAŁKI NIEWŁAŚCIWE PIERWSZEGO RODZAJU • CAŁKI NIEWŁAŚCIWE DRUGIEGO RODZAJU • POLE FIGURY PŁASKIEJ • DŁUGOŚĆ ŁUKU
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 2 -
CAŁKA NIEOZNACZONA
Niech funkcja f(x) określona będzie w przedziale X. Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X, jeżeli dla każdego x∈X spełniony jest warunek
F’(x) = f(x) X = [a,b] X = (a,b) X = (1,∞) X = (-∞,2) X = (-∞,∞)
Np. f(x) = 2x + 1 X = ( -∞,+∞ ) f(x) = √x X = [ 0,+ ∞) f(x) = x2 + x X = ( -∞,+∞)
Funkcję f(x) mającą w danym przedziale funkcję pierwotną nazywamy całkowalną (w sensie Newtona) w tym przedziale. Wyznaczenie funkcji pierwotnych danej funkcji f(x) nazywamy całkowaniem funkcji f(x). Odpowiedz na pytanie: Jakie funkcje posiadają funkcje pierwotne – tj. są całkowalne ? Daje twierdzenie: Tw: Każda funkcja ciągła w przedziale X ma w ym przedziale funkcję pierwotną.
Tw: (Główne o funkcjach pierwotnych) Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X to:
• funkcja ø(x) = F(x) + C gdzie: C – dowolna stała jest także funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X
• każdą funkcję pierwotną ø(x) funkcji f(x) w przedziale X można przedstawić w postaci sumy F(x) + Co gdzie: Co – jest stosownie do Ø(x) i F(x) dobraną stałą.
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 3 -
DOWÓD: (1) ø’(x) = [F(x) + C]’ = F’(x) = f(x)
dla każdego x z przedziału X tzn. ø(x) jest funkcją pierwotną f(x).
(2) Jeżeli ø(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X, to funkcja h(x) = ø(x) – F(x)
ma w tym przedziale pochodną h’(x) = 0 Stąd: ø(x) – F(x) = Co
gdzie: Co – oznacza różnicę ø(xo) – F(xo) w dowolnym pkt. xo Є X Wniosek: Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X to suma F(x) + C gdzie: C – dowolna stała przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) w przedziale X i tylko tę funkcję. Def: (CAŁKI NIEOZNACZONEJ) Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) w przedziale X oznaczamy symbolem
∫ f(x)dx
) , (0 X 1 x
1 f(x)
) , (0 X x
sinx f(x)
) , (0 X xe f(x)
2
x
∞+=+
=
∞+==
∞+==
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 4 -
TWIERDZENIE: Pochodna z całki równa jest funkcji podcałkowej
∫
∫∫
+=+
+=
=
12x 1)dx)'(2x(
.
C f(x) (x)dx f'
f(x) dx)'f(x)(
np
PODSTAWOWE WZORY
(1) ∫ =C 0dx
(2) ∫
=+
≠++
=-1α dla Cxln
-1α dla 1α1x
dx x
α
α
Cxlndxx1dxx
C1
xdxxdxx
C4xdxx
np.
1-
31
131
3
43
31
+==
++
==
+=
∫ ∫
∫∫
∫+
(3) 1a 0,a Clnaa dx a
xx ≠>+=∫
(4) Ce dx e xx +=∫
(5) Ccosx- sinxdx +=∫
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 5 -
(6) Csinx cosxdx +=∫
(7) Cctgx- dx xsin
12 +=∫
(8) C tgxdx xcos
12 +=∫
(9) Carctgx dx 2x11 +=∫ +
(10) Carcsinx dx 2x11 +=∫ −
TW. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale X to w tym przedziale całkowalne są funkcje:
f(x) + g(x) i k*f(x) gdzie: k - dowolna stała przy czym
∫ ∫∫ ∫ ∫
⋅=⋅
+=+
f(x)dxkf(x)dxk
g(x)dx f(x)dx g(x)]dx [f(x)
np.
CxC3x3dxx3dx3x
C3x
2xdxx xdx ]dx x[x
33
22
3222
+=+⋅=⋅=
++=+=+
∫ ∫
∫ ∫ ∫
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 6 -
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne u’(x) i v’(x) to w tym przedziale
v(x)dx(x)u'-v(x)u(x) (x)dx v'u(x) ⋅⋅=⋅∫ ∫
DOWÓD:
(x)v'u(x)
v(x)(x)u'(x)v'u(x)v(x)(x)u'v(x)dx]'(x)u'v(x)[u(x)P'
(x)v'u(x) (x)dx]'v'u(x)[L'
⋅=
=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅=
⋅=⋅=
∫∫
zatem L’=P’ co kończy dowód
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 7 -
WZORY REKURENCYJNE
Wyprowadzenie
∫ ∫∫∫
∫
∫∫
−−⋅−+⋅=
=−⋅−+⋅=
=−⋅⋅−+⋅=
=⋅⋅⋅−−−⋅=
==⋅⋅=
===⋅=
−−
−−
−−
−−
−−
xdxsin1)(nxdxsin1)(nxsin-cosx
x]dxsinx[sin1)(nxsin-cosx
x)]dxsin(1x[sin1)(nxsin-cosx
(-cosx)]dxcosxsin1)[(ncosx)(xsin
-cosx cosx vxsin1)-(nu'
sinx v' x sinuxdxsinsinxxdxsin
n2n1n
n2n1n
22n1n
2n1n
2-n
1n1nn
∫ ∫∫ ⋅−−⋅−+⋅−= −− xdxsin1)(nxdxsin1)(nxsincosxxdxsin n2n1nn
n: /xdxsin1)(nxsincosxxdxsinn 2n1nn ∫∫ −− ⋅−+⋅−=
∫∫ −−
⋅−+⋅−= xdxsinn
1nn
xsincosxxdxsin 2n
1nn
2n,
dx(cosx)n
1nn
(cosx)sinxdx(cosx)
2n,
dx(sinx)n
1nn(sinx)cosx
dx(sinx)
2n1n
n
2n1n
n
≥
⋅−
+⋅
=
≥
⋅−
+⋅
−=
∫∫
∫∫
−−
−−
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 8 -
Przykład. Obliczyć całkę.
(1) dxxsin87
8xsincosx
xdxsin 67
8 ∫∫ ⋅+⋅−
=
⋅+⋅−=⋅ ∫∫ xdxsin
65
6xsincosx
87dxxsin
87 4
56
⋅+⋅−=⋅ ∫∫ xdxsin
43
4xsincosx
65xdxsin
65 2
34
+⋅−=⋅ ∫ x
21
2sinxcosx
43xdxsin
43 2
Cx21
2sinxcosx
43
4xsincosx
65
6xsincosx
87
8xsincosxxdxsin
3578 +
+
⋅−⋅+
⋅−⋅+
⋅−⋅+
⋅−=∫
(2) dxeeeee veu'
e v'eudxee xxxx
xx
xxxx ∫∫ ⋅−−⋅=
=−=
====⋅ −−
−
−−
∫ ∫∫∫
⋅−⋅=⋅
⋅−−⋅=⋅
−−−
−−−
dxeedxeeee
dxeeee dxeexxxxxx
xxxxxx
błąd ∫ ∫ =
==
Cxdx-xdx bo źle 01 0e0
(3) ∫∫ =−−⋅−===⋅==
==cosx)dx1(cosxxsinxdxx
cosx- v1u'
sinxx v'u
Csinxcosxxcosxdxcosxx ++⋅−=+⋅−= ∫
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 9 -
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
TW. Jeżeli funkcja x = ø(x) jest różniczkowalna w przedziale ( α , β ) i odwzorowuje ten przedział na przedział ( a , b ) ,w którym funkcja jest całkowalna, to ma miejsce wzór:
[ ] ∫∫ ⋅=⋅ dxf(x)dt(t)'(t)f φφ
Dowód Wykażemy równość obu stron jeżeli pokażemy, że L’=P’ zatem
[ ]( ) [ ] (t)dt'(t)f(t)dt'(t)fdtdL '
φφφφ ⋅=⋅= ∫
oraz
( ) ( ) (t)'(t))f((t)'f(x)dtdxf(x)
dtdxf(x)dx
dxdf(x)dx
dtd
dtdP
φφφ ⋅=⋅=⋅=== ∫∫
L = P
(4) ∫ =⋅arctgxdxx
=
⋅
+−=
==
=== ∫
+
dx2
xx1
1arctgx2
x v u'
x v'arctgx u 2
2
2
2x
x11 2
2
=+
−+⋅−=
+⋅−= ∫∫ dx
x11x1
21arctgx
2xdx
x1x
21arctgx
2x
2
22
2
22
Carctgx21x
21arctgx
2xdx
x11
21dx
x1x1
21arctgx
2x 2
22
22
++−=+
⋅+++
⋅−= ∫∫
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 10 -
(5) ∫ =+ kx2
dx ..... k – dowolna stała
( )dtdx
dtdx1 dtdx2x1
tkxx
kxxkx
kxx
kx21
2
2
2
2
2
=
=+==⋅+
=++=
+
++
++⋅
ttdt
kxdx
xkxdt
kxdx
2
22
=
=
+
+++
.... CkxxlnCtln 2 +++=+=
(6)
=++
∫ 22xdx
2 x
C1ttln1t
dtdtdx
t1x
11)(xdx 2
22+++=
+=
==+
=++ ∫∫
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 11 -
11.04.2002r.
CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH
Całkowanie funkcji typu
( )ndcxbaxx,R +
+
Stosujemy podstawienie
t
dcxbax
n =++
( ) 322
3 2yx,Ryyx
xyyxyx+⋅
−+⋅++=
(7) ∫ =++
+ dx2xx
1x
(8)
∫ =+ x1dx ∫∫ =
+=
+=
==
=
t1t2
t12dt
2tdtdxtx
tx2
…1t
11t
t11t 1
11)(t:t
++−+ −=⇒
=+
… ( ) ( ) ( )∫ ++−=++−=−= + C1xlnx2C1tlnt2dt12 1t1
(9)
∫ =dxx
xcos ∫ ∫ ==⋅==
=costdt2dx
x21xcos2
dtdxtx
x21
Cx2sinC2sint +=+=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 12 -
(10)
( )∫ ∫∫∫ −=
⋅−=
−=
=
=+
=+
=+⋅
=+
dt1t
12t1t
2tdxt
1te2tdtdxete1
te1
e1eedx
e11
22
2x
x
2x
x
xx
x
x
1tB
1tA
1)1)(t(t1
1t1
2 ++
−=
+−=
−
1)1)(t(t1)B(t1)A(t
1)1)(t(t1
+−−++=
+−
B)(AB)t(A1BBtAAt11)B(t1)A(t1
−++=−++=
−++=
−=
=⇒
=−+=⋅
21
21
A
10
BBABAt
+−
−=
+−
+−
=− 1t
11t
121
1t1t1t1 2
121
2
∫ ∫∫∫ =+
−−
=
+−
−=
+−
−= dt
1t1dt
1t1dt
1t1
1t1dt
1t1
1t1
212...
Ce
eCtt
x
x
+++
−+=++−−=
11
11ln1ln1ln
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 13 -
Całki typu :
0a , dxcbxax
(x)W2
n ≠++∫
Metoda współczynników nieoznaczonych: Powyższą całkę można przedstawić w postaci
∫∫ ++⋅+++⋅=
++ cbxaxdxkcbxax(x)Pdx
cbxax(x)W
22
1-n2n
Wielomian stopnia (n-1)
Przykład:
(11) ∫∫ −−− ⋅+−⋅+= 22
2
x4xdx2
x4xx7 kx4xB)(Axdx
Różniczkujemy obie strony
222
2
x4xk
x4xx-22
x4xx7 B)(Axx4xA
−−−− +⋅++−⋅=
i mnożąc przez 2x4x − dochodzimy do
k)(2BxB)(6A2Ax7x 22 ++⋅−+−=+− Skąd wyznaczamy A, B, k
1k 7k2B3B 0B6A
A 2A 1 21
=⇒=+=⇒=−
=⇒−=−
Więc
=+−⋅+= ∫∫ −−−
22
2
x4xdx2
21
x4xx7 x4x3)x(dx ….
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 14 -
( )===== ∫∫∫∫∫
+−− 2
22-x
4
22)-(x222 -1
dx21
-14
dx2)-(x-4
dx4)4x(x-4
dxx4x
dx
∫∫ −−
−
====−
=
= 22 t1dt
t12dt
21
22x
2dtdx2t2x
t
( ) ( ) C)arcsin(x4x3xx4x3x... 22x2
21
)(1dx
212
21
222x ++−⋅+=+−⋅+= −
−∫ −
(12) ==== ∫ ∫ ∫∫
−−−+−−+ −
4
21)(x22214
dx1)(x4
dx1)2x(x4
dxx-2x3
dx
( )( ) CarcsinCarcsint
2dtdx2t1x
t
21x
t1dt
t12dt
21
21x
1dx
21
22221x
+=+=====−
=
= −−−
−
− ∫∫∫ −
(13) ∫ ∫ ∫ =⋅==
=== dtet
dt2xdxtx
2xdxexdxex t21
2x2
21x3 22
[ ] [ ] [ ] CeexCetedtetee v1u'
et v'u 22 xx221tt
21tt
21
t
t
+−=+−=−===
=== ∫
(14) ...
dtdxxdtdx5x
tx
1tdt
51
1tdt
514
4
5
1xdxx
3351
15
4 ===
=
=
=
=∫ ∫ ∫ −−−
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 15 -
1ttCBt
1tA
1)t1)(t(t1
1t1
223 +++
−++−−+==
1)t1)(t(t1)-C)(t(Bt1)tA(t
1)t1)(t(t1
2
2
2 ++−
++++
++−=
)1()1(1 22 −⋅+−⋅+++++= CBtCtBtAAtAt
C)(AtB)C(AB)t(A1 2 −+⋅−+++=
=
+=+=
−=−+=
+=
3A1
C-A1C2A0
CA1
BCA0BA0
32
31
31
1ACAB
A
−=−=
−=−=
=
1)t(t
t1t1)(t
12
32
31
31
3 ++
−−−−+=
[ ] ( ) =−=−= ∫∫ +++
−++
+
− dt dt ...1tt
2t1t
1151
tt
t1t5
122
32
31
31
...dtdt 1tt
2t151
1t1
151
2 =−= ∫∫ +++
−
(*1) 1-tlndt 1t1 =∫ −
(*2) === ∫∫∫ ++++
+++
+++ dtdtdt
1tt312t
21
1tt42t
21
1tt2t
222
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 16 -
dtdtdtdt1tt
123
1tt12t
21
1tt3
21
1tt12t
21
2222 ∫∫∫∫ +++++
+++++ +=+=
(*3) 1ttlndt 221
1tt12t
21
2 ++=∫ +++
(*4) ( ) ( ) ==⋅=⋅ ∫∫∫
+⋅++++ +
dtdtdt1
123
t1
23
1tt1
23
43
2 21t
434
32212
=
=
=+
=
=⋅=⋅⋅
+
+
+
∫∫++
dudt
ut
u
dt2dt
23
23
21
t
1
1
1
134
23
4321
2
4321t
2
4321t
Carctg3Carctgu33du22321
22
t
u1du
23
1u1 +
⋅=+=⋅=⋅ +
++ ∫∫
Wracamy do Całki
=+⋅−⋅=∫ −)4*3(*)1(* 15
1151
115
4
xdxx
=+
⋅+++⋅−−⋅= − Carctg31ttln1tln2321t2
21
151
151
Carctg1xxln1xln23
215x
153510
3015
151 +
⋅+++⋅−−⋅= −
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 17 -
(15) =+∫ )dxxarctg(1
=⋅−+⋅==⋅=
=+== ∫ ++
++
dx)xarctg(1xx vu'
1 v')xarctg(1ux2
1)x(11
x
x21
)x(111 2
2
===
=
=⋅=⋅=⋅ ∫∫∫ +++++++
2tdtdxtx
txdxdxdx 2
xx22x
21
xx211x
21
x21
)x(11x
2
==++
==⋅−−++++++∫ ∫22t22tt
22
t2t2t
t2t2t
21
22
2
2
12)2t(t:tdt2tdt
( ) =+++−=−=−= ∫∫ ∫ +++
+++ C22ttlntdtdtdt1 2
22tt22t
22tt22t
22
C2x2xlnx ++−−=
C2x2xlnx)xarctg(1x)dxxarctg(1 ++−+−+⋅=+∫
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 18 -
18.04.2002r.
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Stąd, że dowolną funkcję można przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych całkowanie tych funkcji sprowadza się do całkowanie wielomianu oraz następujących czterech typów ułamków prostych.
1. ∫ +−⋅=−
CaxlnAdxax
A
np.
(16) ∫∫ +−⋅=⋅= −− C4xln3dx3dx 4x1
4x3
2. ( ) ∫ ∫∫ −⋅====−
=−
dttBdttB
dtdxtbx
dxbx
B nnn
dla n>1
Cb)(x1
1nBC
t1
1nB
1n1n +−
⋅−−=+⋅
− −−
np.
(17) ∫∫∫∫ ==⋅====−
= −−
dtt4dt4dtdtdx
t2xdx 3
t1
t4
2)(x4
333
C2C4C4 2
21-3
2)(x1
22)(x
13-t +⋅−=+⋅=+⋅
−−−
+
−+
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 19 -
3. przy założeniu p2-4q<0
∫∫∫∫ ++⋅
−+
+++⋅=
++−++
⋅=++
+qpxx
dx2
CpDdxqpxx
p2x2Cdx
qpxxpp2x
2C dx
qpxxDCx
222C2D
2
trójmian 3 rodzaju 173
2 +++xxx
041 <−=∆
(18) ...dx1xx
73x2 =∫ +++
=⋅+⋅=⋅=⋅=++++
+++
++
++
+
+++
1xx23
1xx12
23
1xx
12x23
1xx
2x23
1xx73x
2311
223
11
23
14
2x
∫ ∫ =⋅+⋅++++
+ ...dxdx...1xx
1211
1xx12x
23
22
( ) =⋅=⋅=⋅ ∫∫∫ +++++++dxdx dx
432
21
43
4122 x
1211
xx1
211
1xx1
211
( ) =
=
=+
=
=⋅⋅=⋅=
+
+
+
∫∫++
tdtdx
tx
t
dxdx
23
23
21
x
1
134
211
1
1211
23
21
2
2321x
43
221x
43
CarctgCarctgtdtdt2321
22
x
311
311
1t1
23
322
23
1t1
34
211 +
=+=⋅⋅=⋅⋅ +
++ ∫∫
Carctg1xxln...2321x
3112
23 +
⋅+++⋅= +
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 20 -
4. przy założeniu p2-4q<0 i n > 1
( ) ( ) ( )∫∫∫ ++⋅
−+
++
+⋅=
++
+n2n2n2 qpxx
dx2
KpLdxqpxx
p2x2Kdx
qpxxLKx
( ) =⋅==+=++
=++
+⋅= ∫∫ n
2
n21 tdt
2K
dtp)dx(2xtqpxx
dxqpxx
p2x2K
I
( ) 11n211n Cqpxx
11n
12KC
t1
1n1
2K
+++
⋅−−
⋅=+⋅−−
⋅= −−
( ) ( )[ ] =++
⋅
−=
++⋅
−= ∫∫ −
n
4p4q2
2p
n22 2
x
dx2
KpLqpxx
dx2
KpLI
=+
⋅
−=
=
=
=+
= ∫−
n22
24
p4q
2p
)a(tdt
2Kp
L
a
dtdxtx
2
...dxdxdxdxI
(*1) 2n
n2
2
n2
2
n2
22
n2 1)(xx
1)(x1x
1)(xx1x
1)(x1
n =−===
≥
∫ ∫∫ ∫ +++
+−+
+
...** 1'
n1)
2(x/'x vu
dxxdx(*1) n2n2
2
1)(xx
1)(xx =
==
+==== ∫∫ ++
vu
x
=+⋅−=+⋅∫ ====== −
+−
⋅−+−−
+ ∫∫∫=
=
=+
CCdttdxvv' 1n
1n
n21
n2 t1)(n1
21
1nt
21n
21
t
dt
1)(xx
dt21
xdx
dt2xdx
t12
x
C1n2 1)1)(x2(n1 += −+−
−
dx ... 1n21n2 1)1)(x2(n1
1)1)(x2(nx ∫ −− +−
−+−
− −=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 21 -
=++= ∫∫ −−− +−−
+−+dx dx... 1n21n21n2 1)1)(x2(n
11)1)(x2(n
x1)(x1
=−+= ∫∫ −−− +−+−+dx dx 1n21n21n2 1)(x
11)2(n
11)1)(x2(n
x1)(x1
( ) =+⋅−= ∫ −− +−+− 1n21n2 1)1)(x2(nx
1)(x1
22n1 dx1
∫ −− +−−
+−⋅+= dx1n21n2 1)(x
122n32n
1)1)(x2(nx
2n IdxI 1n22n32n
1)1)(x2(nx
1)(x1
n 1n2n2 ≥+== −−−
+−+ −∫
(19) ( ) =∫ ++
+ dx22 4x2x23x
∫∫∫ =+=⋅+⋅=⋅=++++
+++
−−+ ...IIdx dx 214)2x(xdx
23
4)2x(x22x
23
4)2x(x
222x23
22222234
1421
23
1t1
23
tdt
23
4)2x(x22x
23
1 2222 Cdx Idt2)dx(2x
t42x2
x Cxx
+⋅=+⋅=⋅===++
−−+++ ∫∫
=+
=++
[ ] [ ] ∫∫∫∫ +++++⋅=⋅==⋅⋅=⋅=
=
=+
+ 22222231x22 1)(t
dt23
1)(tdt3
23
1)(dx
31
23
31)(xdx
23
2dt3dx
t31x
I
( ) ( ) 231x
21
42xx1x
321
23
221
1tt
21
23 CarctgCarctgt 22 ++⋅=++⋅= +
+++
+
=++=⋅+=+++−+ ∫∫ Carctgtdt dt 2
11)2(t
t1t
121
1)1)(t2(2t
1)(t1
22222
( ) ( ) Carctg3
x21
1]2[21
231x
31x
++= +
++
+
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 22 -
CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
Niech R(u,v) oznacza funkcję wymierną zmiennych u i v. Całkowanie funkcjie typu R(sinx,cosx) 1. Podstawienie uniwersalne
W całce ∫ R(sinx,cosx)dx dokonujemy podstawienia
t2xtg =
wtedy
2t12dt
2x dxarctgt2xarctgt
+=⇒⋅=⇒=
22x2
2x
2x2
2x2
2x
2x
t12t
tg1
2tg
cossin
cossin22x
2x cossin2sinx
+++
⋅⋅ ===⋅⋅=
2
2
2x22x2
2x2
2x2
2x2
2x2
t1t1
tg1
tg1
sincos
sincos2x2
2x2 sincoscosx
+−
+
−
+
− ===−=
( )
−=⇒=
⋅==⇒⋅=
2x2
2x222
2x
2x
2x
sincoscosxαsin-αcoscos2α
cos2sinsin2sinxcosα2sinαsin2α
Zatem wtedy
( ) dt,Rcosx)dxR(sinx, 22
2
2 t12
t1t1
t12t
++−
+⋅=∫ ∫
(20) === ∫∫∫ −+−−
+−
+
+
23t2tdt
434cosx3sinxdx
22t1
2t12t1
2t
2t12
dt
( ) ClnClndt 2tgtg
21
2t0,5t
21
2t1
0,5t1
21
2x
21
2x
+=+=−⋅= ∫ +
−+−
+−
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 23 -
2. W przypadku gdy R (sinx,cos) jest funkcją nieparzystą ze względu na
sinx tzn. R (-sinx,cos) = -R (sinx,cos)
to w całce
∫ cosx)dxR(sinx,
dokonujemy podstawienia cos = t wtedy:
∫ ∫ =⋅= sinxdxcosx)x,(sinRcosx)dxR(sinx, 21
∫∫ =⋅= t)dt,t-(1Rsinxdxcosx)x,cos-(1R 21
21
(21)
x2cosxsinsinx
22cosx)R(sinx,+
=
cosx)(sinx, Rcosx)R(-sinx,x2cosxsin
sinxx2cos(-sinx)
-sinx2222 −===
+−
+
cosx)(sinx, Rsx)R(sinx,-cox2cosxsin
sinx2(-cosx)(sinx)
sinx2222 ===
++
cosx = t
===∫ ∫=
=
++ dtsinxdx
tcosxdxdx
xcos1sinx
x2cosxsinsinx
222
∫ +−=+−==+− C)arctg(cosxCarctgt2t1
dt
3. Jeżeli R (sinx,cos) jest funkcją parztą ze względu na obie zmienne sinx i cosx równocześnie tzn.
R (-sinx,-cosx) = R (sinx,cos)
to w całce
∫ cosx)dxR(sinx,
dokonujemy podstawienia tgx = t
wtedy dtdxarctgtx 2t1
1+
=⇒=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 24 -
1tt
1xtgxtg
xcosxsinxsin
1xsin2
2
2
2
2
22
22xsin+++
====
1t1
1xtg1
xcosxsinxcos
1xcos2
2222
22xcos+++
====
(22)
=∫ +dx
xcos1xsin2
2
∫∫ ==⋅==++++
+
+= dt1)2)(t(t
tt1
dt1 22
2
22t1
12t1
2t
ttgx
=⇒+=
=⇒+=
=⇒+=
=⇒+=
+++++++=
++
+++++=
++
+++
++=
++
-1D 2DB0
0C 2CA0
2B DB1
0A CA0
2D2Dt2Ct2CtB2BtAt3At2t
1)22)(t2(t2)2D)(t(Ct1)2B)(t(At
1)22)(t2(t
2t
12tDCt
22tBAt
1)22)(t2(t
2t
( ) =+−⋅=−∫ ++Carctgt)arctg(2dt
2t
1t1
2t2
22
Carctg(tgx))arctg(22
tgx +−⋅=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 25 -
25.04.2002r.
CAŁKA OZNACZONA
Niech dana będzie funkcja f(x) określona i ograniczona (ale niekoniecznie ciągła) w przedziale [a,b]. Dokonujemy podziału przedziału [a,b] na dowolną liczbę podprzedziałów punktami.
a = xo < x1 < x2 <…< xk-1 < xk = b
Długości poszczególnych podprzedziałów oznaczamy następująco:
[ xo , x1 ] , ∆ x1 = x1 - xo [ x1 , x2 ] , ∆ x2 = x2 – x1
……. ………….. [ xi-1 , xi ] , ∆ xi = xi – xi-1
……. ………….. [ xk-1 , xk ] , ∆ xk = xk – xk-1
……. …………..
Długoś najdłuższego przedziału częściowego nazywa będziemy średnicą danego podziału i będziemy oznaczać przez δ. Zatem
δ = max ∆ x1 ( i=1,…k )
Podzał odcinków P1
Podprzedział 21 = 2 [ x0 , x1 ]
[ x1 , x2 ] ∆ x1 = x1 – x0 ∆ x2 = x2 – x1
∆ x1 =∆ x2 = 2ab −
2ab
1δ −=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 26 -
P2
22 = 4 [ x0 , x1 ], [ x1 , x2 ], [ x2 , x3 ], [ x3 , x4 ]
∆ x1 = x1 – x0 ∆ x2 = x2 – x1 ∆ x3 = x3 – x2 ∆ x4 = x4 – x3
24ab
4321 δ∆x∆x∆x∆x ===== −
P3
23 = 8
[ x0 , x1 ], [ x1 , x2 ], [ x2 , x3 ], [ x3 , x4 ], [ x4 , x5 ], [ x5 , x6 ], [ x6 , x7 ], [ x7 , x8 ]
87654321 ∆x∆x∆x∆x∆x∆x∆x∆x =======
38ab
1...8 δ∆x == −
Pk
k2ab
i∆x −= 2k – ilość podprzedziałów
Inny podział
P1
12ab
21 δ∆x∆x === −
P2
23ab
321 δ∆x∆x∆x ==== −
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 27 -
P3
kkab
k21 δ∆x...∆x∆x ===== −
W każdym przedziale częściowym obieramy (w sposób dowolny) po jednym punkcie pośrednim η, tj.:
η1 € [x0 , x1] η2 € [x1 , x2] ηk € [xk-1 , xk]
Następnie wyznaczamy wartości funkcji f w punktach pośrednich. Wartości funkcji w punkcie pośrednim mnożymy przez długość odpowiedniego przdziału częściowego i tak otrzymane iloczyny dodajemy.
η1 € [x0 , x1] η2 € [x1 , x2] η3 € [x2 , x3]
Funkcję rozpatrujemy w przedziale (a,b)
332211 ∆x)f(η∆x)f(η∆x)f(ησ ⋅+⋅+⋅=
kk2211 ∆x)f(η ... ∆x)f(η∆x)f(ησ ⋅++⋅+⋅=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 28 -
czyli
∑=
⋅=k
1iii ∆x)f(ησ
Otrzymaną sumę nazywamy sumą całkową (odpowiadającą danemu podziałowi przedziału i wybranym punktom pośrednim). Przy danym przedziale wartość sumy całkowej zależy więc od doboru punktów pośrednich. Przypuśćmy teraz, że mamy do czynienia nie z jednym podziałem przedziału, ale ciągiem podziałów. Oznaczmy kolejne podziały przez
p1, p2,…, pn,… Niech
δ1, δ2,…, δ n,… oznaczają średnie poszczególnych podziałów, a
σ 1, σ 2,…, σ n,… sumy całkowe odpowiadające tym podziałom.
Ciąg podziałów (Pn) PN tej własności, że odpowiadający uciąg średnic {δ n} dąży do zera przy n → ∞ nazywać będziemy normalnym ciągiem podziałów przedziału [a , b].
P1 2ab
1δ −= 2ab
1δ −=
P2 4ab
2δ −= 3ab
2δ −=
P3 8ab
3δ −= 4ab
3δ −= :
Pk k2ab
kδ −= kab
kδ −=
0δlim kk=
+∞→ 0δlim kk=
+∞→
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 29 -
P1
2ab
21 ∆x∆x −==
2ab
1δ −= P2
2ab
2δ −= średnica podziału jest to długość najdłuższego przedziału.
P3
2ab
3δ −=
Pk
2ab
kδ −=
0lnδlim 2ab
2ab
kkk≠== −−
∞→∞→
Def. CAŁKA OZNACZONA Jeżeli ciąg sum całkowych (σn) odpowiadający dowolnemu normalnemu ciągowi podziałów { Pn} przedziału [a , b] jest zbieżny, a jego granica jest zawszeta sama bez względu na wybrany ciąg podziałów i bez względu na dobór punktów pośrednich, wówczas mówimy, że funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a , b]. Tę wspólną granicę wszystkich ciągów sum całkowych nazywamy całką oznaczoną tej funkcji w przedziale [a , b]. Oznaczamy ją symbolem
∫b
a
dx f(x)
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 30 -
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ
Niech f(x) będzie funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale [a , b]. Rozpatrzmy figurę ABCD ograniczoną krzywą o równaniu y = f(x), osią x i prostymi x = a i x = b.
f(x) ≥ 0 dla x∈[a , b]
Iloczyn f(ηi) · ∆xi , i = 1…k interpretujemy jako pole prostokąta o podstawie [ xi-1 , xi ] i wysokości f(ηi).
Suma całkowa ∑ ⋅= ii ∆x)f(ησ geometrycznie daje pole figury złożonej takich prostokątów. Jest widoczne, że figura ta tym dokładniej przybliża figurę krzywoliniową ABCD im więcej jest punktów działowych i im mniejsza jest średnica podziału.
Zatem geometrycznie ∫=b
a
f(x)dxP oznacza pole figury krzywoliniowej ABCD.
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 31 -
WŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ
1) Jeżeli funkcja f(x) i b(x) są całkowalne w [a , b] to:
funkcja f(x) + h(x) jest całkowalna w przedziale [a , b], przy czym
[ ]∫ ∫∫ +=+b
a
b
a
b
a
h(x)dxf(x)dxdxh(x)f(x)
funkcja k · f(x) ( gdzie k – dowolna stała ) jest całkowalna [a , b], przy czym
∫ ∫⋅=⋅b
a
b
a
f(x)dxkf(x)dxk
2) Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a , b] i a<c<b to:
∫∫ ∫ +=b
c
b
a
c
a
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
∫=c
a1 f(x)dxP ∫=
b
c2 f(x)dxP
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 32 -
3) Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a , b], przy czym dla każdego
x∈[a , b] ma miejsce nierówność m ≤ f(x) ≤ M to:
a)M(bf(x)dxa)m(bb
a
−≤≤− ∫
4) Twierdzenie o wartości średniej dla całek.
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a , b] to istnieje taki punkt ξ ∈[a , b], że
a)(b)f(ξf(x)dxb
a
−⋅=∫
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 33 -
GŁÓWNE TWIERDZENIA RACHUNKU CAŁKOWEGO
TWIERDZENIE 1:
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a , b] wtedy funkcja
∫=x
a
f(t)dtG(x)
jest różniczkowalna w tym przedziale przy czym
f(x)(x)G' =
DOWÓD: Niech x i x+h należą do przedziału [a , b]
vh)f(xh
)f(hh
f(t)dt
h
f(t)dtf(t)dt
hG(x)-h)G(x
hx
x
x
a
hx
a +=⋅
==−
=+ ∫∫∫
++
ξ
∫=x
a
f(t)dtG(x) ∫
+
=+hx
a
f(t)dth)G(x
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 34 -
∫+
=+hx
x
f(t)dtG(x)-h)G(x
)f(hf(t)dthx
x
ξ⋅=∫+
ξ ∈[x , x+h]
ξ = x+vh, 0 < r < 1
f(x)f(t)dt(x)G''hx
x=
= ∫
+
Stąd:
f(x)vh)f(xlimh
G(x)h)G(xlimG(x)'0h0h
=+=−+
=→→
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 35 -
TWIERDZENIE 2: NEWTONA – LEIBNIZA Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a , b], f(x) jest zaś jakąkolwiek jej funkcją pierwotną w tym przedziale, to:
∫ −=b
aF(a)F(b)f(x)dx
DOWÓD:
Funkcja ∫=x
a
f(t)dtG(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale [a , b].
Ponieważ F(x) jest także (jakąkolwiek) funkcją pierwotną dla f(x) w przedziale [a , b] To w oparciu o główne twierdzenie o funkcjach pierwotnych mamy:
CG(x)F(x) += tj. ∫ +=x
aCf(t)dtF(x)
gdzie: C – jest stosownie dobraną stałą
Zatem
F(a)C Cf(t)dtF(a)x
a=⇒+= ∫
a stąd
∫ +=b
aF(a)f(t)dtF(b)
F(a)F(b)f(t)dtb
a−=∫ co kończy dowód
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 36 -
TWIERDZENIE 3:
O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI DLA CAŁKI OZNACZONEJ
Jeżeli funkcje u(x) i V(x) są ciągłe wraz z pochodnymi u’(x) i v’(x) w przedziale [a , b], to ma miejsce wzór:
( ) [ ] ( )∫∫ ⋅−⋅=⋅b
a
b
a
b
adxv(x)(x)u'v(x)u(x)dx(x)v'u(x)
Przykłady:
sinxdxxπ
0
2∫ ; cosxdxe2π
0x∫ ; arctgxdx
1
0∫
(23)
=∫ dxarctgx1
0
=⋅−⋅== ∫ +=+
=
==xdxarctgxx
1
0 x111
0 2x v2x11u'
1 v'arctgx u
( ) =−=⋅−⋅−⋅= ∫∫ ++dxxdxarctg00arctg11
1
0 x12x
21
4π
1
0 x11
22
ln2ln12lnx1ln 21
4π
21
21
4π
1
0
221
4π ⋅−=⋅+⋅−=+⋅−=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 37 -
(24)
=⋅∫ dxsinxxπ
0
2
=−−⋅== ∫−==
== dxcosx)2x(cosxx-π
0
π
0
2
cosxv2x u'
sinx v'xu 2
=⋅+=⋅+⋅+⋅= ∫∫ dxcosxx2πdxcosxx2cos00cosπ-ππ
0
2π
0
2
=
−⋅+== ∫
==
== π
0
π
02 sinxdxsinxx2π
sinx v1u'
cosx'x vu
( )[ ] =+=+⋅−⋅+=π
02π
02 cosx2πcosxsin00sinππ2π
2π2cos0-πcos2π 22 −=+=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 38 -
TWIERDZENIE 4: O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE DLA CAŁKI OZNACZONEJ
Jeżeli:
funkcja Φ(t) ma ciągłą pochoną Φ’(t) w przedziale [α , β] funkcja f(x) jest ciągła w zbiorze wartości jakie przyjmuje funkcja Φ(t) w przedziale [α , β],
Φ(α) = a, Φ(β) = b to:
[ ]∫∫ ⋅=β
α
b
a(t)dtΦ'Φ(t)ff(x)dx
Przykłady:
(25)
=∫ dxxsinπ
0
3
==⋅=⋅==
=
∫∫ -dtsinxdx
tcosxdxsinxx)cos-(1dxsinxxsin
π
0
2π
0
2
=−=−=−−=−−=−−
− −
∫∫ ∫1
13t
1
1
21
1
1
1
22 )(t)dtt(1)dtt(1dt))(t(1 3
34
31
31 )1()(1 =+−−−=
(26)
=∫ +dx
1
0 e1e
2x
x
dt dxx
e
tx
e
=
==
arctg1arctgearctgt
e
1
e
1t1dt
2 −=== ∫ +
x 0 π t 1 -1
x 0 1 t 1 e
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 39 -
(27)
=∫ dxtgx4π
4π-
( I )
0...txdxtgxdx0
04π
4π
==+= ∫ ∫−
( II )
4π
4π
cosxsinx lncoslncosxln dx 4
π
4π
4π
4π
−+−=−=−=−−
−∫
0lnln2
12
1 =+−=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 40 -
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE I RODZAJU Def.:
Jeżeli funkcja f(x) jest określona na przedziale [a , ∞] i całkowalna na każdym przedziale [a , T] to granicę
∫∞→
T
aTf(x)dxlim
nazywamy całką niewłaściwą I rodzaju funkcji f(x) w granicach od 0 do ∞ i oznaczamy symbolem:
∫∞
af(x)dx
tzn.
∫∫ ∞→
∞=
T
aTaf(x)dxlimf(x)dx
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 41 -
Przykłady:
(28)
...dxe0
x- =∫∞
( )xe1x yey =⇔= −
( ) ( ) 11limeelimelimdxelim... Te1
T
0T
T
T
0
x
T
T
0
x
T=+=+−=−== −
∞→
−
∞→
−
∞→
−
∞→ ∫
(29)
...dx0 x
1 =∫∞
dxlimT
0 x1
T ∫=∞→
( ) ∞=−==∞→∞→
ln1lnTlimxlnlim...T
T
1T
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 42 -
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE II RODZAJU
Niech funkcja f(x) jest nieograniczona w przedziale skończonym [a , b]. Załóżmy, że f(x) jest ograniczona i całkowalna w przedziale [a , b-ε] i nieograniczona w każdym przedziale [b-ε , b].
Def.: Granicę
∫+→
ε-b
a0εf(x)dxlim
nazywamy całką niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f(x) w granicach od a do b i oznaczamy symbolem:
∫b
af(x)dx
tzn.
∫∫ +→=
ε-b
a0ε
b
af(x)dxlimf(x)dx
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 43 -
Przykłady:
(30)
...dx1
0 x-11
2=∫
2x-11f(x) =
+∞=−→f(x)lim
1x
( ) =−−===+++ →
−
→
−
−→ ∫ arctg0ε)arctg(1limxarcsinlimdxlim...0ε
ε1
00ε
ε1
0 x11
0ε 2
2πarctg1==
(31)
...dx1
0 x1 =∫
x1f(x) =
+∞=+→f(x)lim
0x
( ) 2ε22lim22limdxlim...0ε
1
ε0ε
1
ε x1
0ε=−===
+++ →→→ ∫
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 44 -
(32)
...dx1
0 x1 =∫
( ) ∞=−===+++ →→→ ∫ lnεln1limxlnlimdxlim...
0ε
1
ε0ε
1
ε x1
0ε
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 45 -
POLE FIGURY PŁASKIEJ
∫=b
af(x)dxP
Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi
2
2
x11
2x y ,y
+==
f(x) ≥ 0 [a , b]
2
2
2
2
x11
2x
x11
2x
yy
++
=⇔
=
=
1 x; 1x x; x
981∆ 02xx
2xx
21
2312
22312
1
42
42
=−=
==
=+==−+
=+
+−−−
( ) ( ) =−=−=−=−− +−− + ∫∫∫1
16x
1
1 2x
x11
1
1 2x
1
1 x11 32
2
2
2 arctgxdx dx dx P
( ) ( ) 31
2π
61
4π
61
4π
61
61 1)arctg(arctg1 −=−+−=+−−−=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 46 -
Obliczyć pole koła x2 + y2 ≤ r2
x2 + y2 = r - okrąg
( ) { }222 ryx:y)(x,r(0,0),O ≤+=
≤≤⋅=⋅=⋅=
2π0 sinrydsin-rdx cosrx
:O��
���
∫∫∫ =⋅⋅−=−⋅⋅⋅== 2π
0
22π
0
b
adcossinr4)dcos(rsinrydxP ������
∫−==
==
1
0
2 tdtrdtdcos
tsin��
�
�� sinry cos
rx
==
⋅=⋅=
�
�
sinry cosrx
=
=
ϕϕ
siny cosx
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 47 -
(0,1)(1,0) 0
2π ⇒=⇒=
�
�
dxx14r
0
22∫ −⋅
( ) ϕϕϕ d)sinr(sinr-4P 2π
0∫ ⋅−⋅⋅⋅=
( ) 224π
0
π
022cossin222 r π4r04rdsinr-4P 2
π
=⋅+=+=⋅⋅= ∫ − ϕϕϕϕϕ
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka
- 48 -
Obliczyć długość łuku
[ ]∫ +=b
a
2 dxf(x)1L
Zadanie Obliczyć długość okręgu x2 + y2 = r2
≤≤=
bxaf(x)y
:l
( )∫ +=b
a
2 dxy'1L
x1y' lnx y =⇒=
∫∫∫∫ ====+= ⋅+++e
1 xxdx1xe
1 x1xe
1 x1xe
12
x1 dxdxdxdx)(1L 2
22
22
x 1 e t √2 √(e2+1)
( )∫∫∫+
−
+
−+−
+
−⋅⋅ =+====
=
=
=+
=+
1e
2 1t1
1e
2 1t11t
1e
2 1t
2
2
2
2
22
2 1
tdtxdx
2tdt2xdx
2t1
2x
t12
x
dtdtdttt
( ) 1e
211
21
1e
2 1t1t
2221
21
)ln(1+
+−
+
+− ⋅+=−+= ∫ tttdt