1. CAŁKI KRZYWOLINIOWE NIEZORIENTOWANE

1.1 ŁUKI NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

Def. 1.1.1 (funkcja wektorowa jednej zmiennej)a) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie 2: RIr → lub 3: RIr → , gdzie I oznacza przedział na

prostej. Funkcje wektorowe będziemy zapisywali odpowiednio w postaci ( ))(),()( tytxtr = lub ( ))(),(),()( tztytxtr =

, gdzie t ∈ I.

Rys. 1.1.1 Funkcja wektorowa jednej zmiennej na płaszczyźnie

b) Mówimy, że funkcja wektorowa r jest różnowartościowa na przedziale I, gdy dla dowolnych t1, t2 ∈ I prawdziwa jest implikacja

)()( 2121 trtrtt ≠⇒≠ .Funkcja r jest lokalnie różnowartościowa na przedziale I, jeżeli każdy punkt tego przedziału ma otoczenie, na którym funkcja r jest różnowartościowa.

Rys. 1.1.2 Funkcja wektorowa jednej zmiennej w przestrzeni

c) Jeżeli funkcje x, y lub x, y, z są ciągłe na przedziale I, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest ciągła na I.d) Podobnie, jeżeli funkcje x, y lub x, y, z są różniczkowalne w sposób ciągły na I, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest

różniczkowalna w sposób ciągły na I. Pochodną funkcji wektorowej r określamy wzorem:

( ))(),()( /// tytxtrdef= lub ( ))(),(),()( //// tztytxtr

def= .

Rys. 1.1.3 Pochodna funkcji wektorowej

Def. 1.1.2 (łuki na płaszczyźnie)a) Niech funkcja 2],[: Rr →βα

będzie ciągła i różnowartościowa na przedziale [α,β]. Łukiem zwykłym na płaszczyźnie nazywamy zbiór:

{ }],[:)( βα∈=Γ ttr .

Rys. 1.1.4 Łuk zwykły na płaszczyźnie

b) Niech funkcja 2: RIr → , gdzie I oznacza dowolny odcinek, półprostą lub prostą (z końcem lub nie), będzie ciągła i lokalnie różnowartościowa na I. Łukiem na płaszczyźnie nazywamy zbiór:

{ }Ittr ∈=Γ :)( .

Rys. 1.1.5 Łuk na płaszczyźnie

c) Jeżeli dla łuku { }],[:)( βα∈=Γ ttr spełniona jest równość )()( βα rr = , to mówimy, że łuk ten jest zamknięty. W przeciwnym przypadku mówimy, że łuk Γ jest niezamknięty.

Rys. 1.1.6 Łuk zamknięty na płaszczyźnie

d) Jeżeli funkcja r w definicji łuku zwykłego jest różniczkowalna w sposób ciągły na [α,β] oraz dla każdego t ∈ [α,β] speł­niony jest warunek:

Otr ≠)( ,

to mówimy, że łuk ten jest gładki. Mówimy, że łuk jest kawałkami gładki, jeżeli można go podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich.

Rys. 1.1.7 Łuk kawałkami gładki na płaszczyźnie

Uwaga. Podobnie definiuje się łuki analogicznych rodzajów w przestrzeni. Funkcję wektorową r lub funkcje x, y, z opisujące łuk Γ nazywamy jego parametryzacją. Obrazowo łuk zwykły można przedstawić jako powyginany odcinek ma płaszczyźnie lub w przestrzeni. Wyginany odcinek można wydłużać lub skracać, ale nie wolno go rozrywać ani sklejać.

Fakt 1.1.3 (o przedstawianiu łuków na płaszczyźnie i w przestrzeni)Łukami na płaszczyźnie są wykresy funkcji ciągłych postaci:1. Γ: y = y(x), a ≤ x ≤ b,2. Γ: x = x(y), c ≤ y ≤ d.Łukami w przestrzeni są części wspólne ciągłych powierzchni walcowych:

3.

∈==

Γ],[

)()(

:bax

xzzxyy

4.

∈==

Γ],[

)()(

:dcyyzzyxx

5.

∈==

Γ],[

)()(

:qpzzyyzxx

Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe pierwsze pochodne, to łuki Γ są gładkie.

Rys. 1.1.8 Łuk Γ jest wykresem funkcji y = y(x), gdzie x ∈ [a,b]

Rys. 1.1.9 Łuk Γ jest wspólną częścią powierzchni walcowych y = y(x) oraz z = z(x), gdzie x ∈ [a,b]

Fakt 1.1.4 (parametryzacje ważniejszych łuków na płaszczyźnie i w przestrzeni)

1. Odcinek AB o końcach A = (x1,y1), B = (x2,y2) ma przedstawienie parametryczne:

∈−+=−+=

]1,0[)(

)(

121

121

ttyyyy

txxxx.

2. Okrąg o środku w punkcie S = (x0,y0) i promieniu R > 0 ma przedstawienie parametryczne:

∈+=+=

]2,0[sincos

0

0

πttRyytRxx

.

3. Elipsa o środku w punkcie S = (x0,y0) i półosiach a > 0, b > 0 ma przedstawienie parametryczne:

∈+=+=

]2,0[sincos

0

0

πttbyytaxx

.

4. Odcinek AB o końcach A = (x1,y1,z1), B = (x2,y2 ,z2) ma przedstawienie parametryczne:

∈−+=−+=−+=

]1,0[)()(

)(

121

121

121

ttzzzztyyyy

txxxx

.

5. Linia śrubowa o skoku h > 0, nawinięta na walec (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2, gdzie R > 0, ma przedstawienie parametryczne:

∈

=

+=+=

Rt

thz

tRyytRxx

π2

sincos

0

0

.

Jeden zwój linii śrubowej otrzymamy, gdy t ∈ [0,2π].Uwaga. Równania fragmentów łuków określonych wyżej otrzymamy zmniejszając odpowiednio zakres zmienności parametru t. Na rysunkach strzałką zaznaczono kierunek przebiegu łuków przy wzroście parametru t.

Def. 1.1.5 (długość łuku)Długością łuku nazywamy kres górny długości łamanych wpisanych w ten łuk;

Γ∈=Γ ∑

−

=+

∈

1

01 :sup

n

iiii

Nn

defPPP .

Rys. 1.1.10 Długość łuku

Tw. 1.1.6 (długość łuku)Niech Γ = {(x(t), y(t)) : α ≤ t ≤ β} będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wtedy długość tego łuku wyraża się wzorem:

[ ] [ ]∫ +=Γβ

α

dttytx 2/2/ )()( .

Podobnie, niech Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : α ≤ t ≤ β} będzie łukiem gładkim w przestrzeni. Wtedy długość tego łuku wyraża się wzorem:

[ ] [ ] [ ]∫ ++=Γβ

α

dttztytx 2/2/2/ )()()( .

Uwaga. Jeżeli łuk Γ jest wykresem funkcji y = y(x), a ≤ x ≤ b, to jego długość wyraża się wzorem:

[ ]∫ +=Γb

a

dxxy 2/ )(1 .

1.2 DEFINICJE I WŁASNOŚCI CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH

Oznaczenia w definicji całki krzywoliniowej niezorientowanejNiech Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈ [α,β]} będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wprowadzamy następujące oznaczenia:P = {t0, t1, ..., tn}, gdzie α = t0 < t1 < … < tn = β – podział odcinka [α,β] na n ∈ N odcinków;∆tk = tk – tk-1 – długość k-tego odcinka podziału P, 1 ≤ k ≤ n;δ(P) = max{∆tk: 1 ≤ k ≤ n } – średnica podziału P;

{ }∗∗∗=Ξ nttt ,,, 21 , gdzie ],[ 1 kkk ttt −∗ ∈ dla 1 ≤ k ≤ n – zbiór punktów pośrednich podziału P.

Ak = (x(tk),y(tk)) – punkty podziału łuku Γ indukowane przez podział P, 0 ≤ k ≤ n;( ))(),(),( ∗∗∗∗∗ == kkkkk tytxyxA – punkty pośrednie na łuku Ak-1Ak indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału P, 1 ≤ k

≤ n;∆lk – długość łuku Ak-1Ak ,1 ≤ k ≤ n.

Rys. 1.2.1 Podział odcinka [α,β] i podział łuku Γ indukowany przez podział tego odcinka

Def. 1.2.1 (całka krzywoliniowa niezorientowana)Niech f będzie funkcją dwóch zmiennych określoną i ograniczoną na łuku gładkim Γ. Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po łuku Γ definiujemy wzorem:

∑∫=

∗∗

→Γ

∆=n

kkkk

deflyxfdlyxf

10)(),(lim),(

Pδ,

o ile granica po prawej stronie znaku równości nie zależy od sposobu podziału P odcinka [α,β], ani od sposobu wyboru punktów pośrednich Ξ.

Uwaga. Wartość całki krzywoliniowej nie zależy od wybranej parametryzacji łuku. Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji trzech zmiennych po łuku położonym w przestrzeni definiujemy analogicznie. Całkę krzywoliniową niezorientowaną

na płaszczyźnie jak i w przestrzeni oznaczamy krótko symbolem ∫Γ

dlf .

Rys. 1.2.2 Ilustracja do definicji całki krzywoliniowej niezorientowanej

Def. 1.2.2 (całka krzywoliniowa po łuku kawałkami gładkim)Niech Γ będzie łukiem kawałkami gładkim złożonym z łuków gładkich Γ1, Γ2, …, Γm oraz niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną na łuku Γ. Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po łuku Γ definiujemy wzorem:

∫∫∫∫ΓΓΓΓ

+++=m

dlfdlfdlfdlfdef

...21

,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.

Tw. 1.2.3 (liniowość całki krzywoliniowej niezorientowanej)Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe niezorientowane z funkcji f i g po kawałkami gładkim łuku Γ i c ∈ R, to:a) istnieje całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji f + g po łuku Γ oraz

∫∫∫ΓΓΓ

+=+ dlgdlfdlgf )( ,

b) istnieje całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji cf po łuku Γ oraz( ) ∫∫

ΓΓ

= dlfcdlcf .

Def 1.2.4 (całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji wektorowej)Niech Γ będzie łukiem kawałkami gładkim na płaszczyźnie oraz niech funkcje P i Q będą całkowalne na Γ. Całkę krzywoli­niową niezorientowaną po łuku Γ z funkcji wektorowej ( )),(),,(),( yxQyxPycF =

określamy wzorem:

= ∫∫∫

ΓΓΓ

dlyxQdlyxPdlyxFdef

),(,),(),(

.

Uwaga. Podobnie określa się całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji wektorowej ( )),(),,(),,(),( yxRyxQyxPycF =

po łuku położonym na płaszczyźnie xOy oraz całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji wektorowej

( )),(),,(),,(),( yxRyxQyxPycF =

po łuku położonym w przestrzeni.

1.3 ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ POJEDYNCZĄ

Tw. 1.3.1 (o zamianie całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą)a) Jeżeli

1. łuk Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈ [α,β]} jest gładki i niezamknięty,2. funkcja f jest ciągła na łuku Γ,

to

( ) [ ] [ ]∫∫ +=Γ

β

α

dttytxtytxfdlyxf 2/2/ )()()(),(),( .

b) Podobnie, jeżeli1. łuk Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ [α,β]} jest gładki i niezamknięty,2. funkcja f jest ciągła na łuku Γ,

to

( ) [ ] [ ] [ ]∫∫ ++=Γ

β

α

dttztytxtztytxfdlzyxf 2/2/2/ )()()()(),(),(),,( .

Uwaga. W zapisie wektorowym powyższe wzory przyjmują jednolitą postać

( )∫∫ =Γ

β

α

dttrtrfdlrf )()()( /.

Jeżeli funkcja f jest ciągła na łuku gładkim Γ opisanym równaniem y = y(x), gdzie a ≤ x ≤ b, to

( ) [ ]∫∫ +=Γ

b

a

dxxyxyxfdlyxf 2/ )(1)(,),( .

1.4 ZASTOSOWANIA CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH

Fakt 1.4.1 (zastosowania w geometrii)1. Długość łuku Γ na płaszczyźnie lub w przestrzeni wyraża się wzorem:

∫Γ

=Γ dl .

2. Niech Σ oznacza powierzchnię boczną walca o tworzących przechodzących przez łuk Γ ⊂ R2. Tworzące walca są równo­ległe do osi Oz i w punkcie (x,y) ∈ Γ mają długość f(x,y) ≥ 0. Wtedy pole powierzchni Σ wyraża się wzorem:

∫Γ

=Σ dlyxf ),( .

Fakt 1.4.2 (zastosowania w fizyce)1. Masa łuku materialnego Γ ⊂ R2 o gęstości liniowej masy λ wyraża się wzorem:

∫Γ

= dlyxM ),(λ .

2. Momenty statyczne względem osi układu łuku materialnego Γ ⊂ R2 o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:

∫Γ

= dlyxyMS x ),(λ , ∫Γ

= dlyxxMS y ),(λ .

3. Współrzędne środka masy łuku materialnego Γ ⊂ R2 o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:

MMS

x yC = ,

MMS

y xC = .

4. Masa łuku materialnego Γ ⊂ R3 o gęstości liniowej masy λ wyraża się wzorem:

∫Γ

= dlzyxM ),,(λ .

5. Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych łuku materialnego Γ ⊂ R3 o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:

∫Γ

= dlzyxzMS xy ),,(λ , ∫Γ

= dlzyxyMS xz ),,(λ , ∫Γ

= dlzyxxMS yz ),,(λ .

6. Współrzędne środka masy łuku materialnego Γ ⊂ R3 o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:

MMS

x yzC = ,

MMS

y xzC = ,

MMS

z xyC = .

7. Momenty bezwładności względem osi lub początku układu współrzędnych łuku materialnego Γ ⊂ R3 o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:

( )∫Γ

+= dlzyxzyI x ),,(22 λ ,

( )∫Γ

+= dlzyxzxI y ),,(22 λ ,

( )∫Γ

+= dlzyxzxI z ),,(22 λ ,

( )∫Γ

++= dlzyxzyxI ),,(2220 λ .

8. Natężenie pola elektrycznego indukowane w punkcie 0r

przez ładunek elektryczny o gęstości liniowej ładunku λ rozło­żony na łuku Γ ⊂ R2 (R3) wyraża się wzorem:

∫Γ −

−= 3

0

0

0

)()(4

1rr

dlrrrE

λπε ,

gdzie )),,((),( zyxryxr == , a ε0 oznacza stałą dielektryczną próżni.

9. Siła przyciągania grawitacyjnego masy m skupionej w punkcie 0r

przez łuk materialny Γ ⊂ R2 (R3) o gęstości liniowej masy λ wyraża się wzorem:

∫Γ −

−= 3

0

0 )()(

rrdlrrr

GmF

λ,

gdzie )),,((),( zyxryxr == , a G oznacza stałą grawitacji.

10. Energia kinetyczna łuku materialnego Γ ⊂ R3 o gęstości liniowej masy λ, podczas obrotu wokół osi Oy z prędkością ką­tową ω, wyraża się wzorem:

( )2

),,(2

222

2 ωλω y

k

IdlzyxzxE =+= ∫

Γ

.

Uwaga. Wzór na natężenie pola grawitacyjnego jest analogiczny do wzoru na natężenie pola elektrycznego. Także wzór na siłę przyciągania pochodzącą od ładunków elektrycznych jest analogiczny do wzoru na siłę przyciągania grawitacyjnego.

Fakt 1.4.3 (środki masy łuków symetrycznych)1. Jeżeli łuk materialny ma środek symetrii i gęstość liniowa masy jest funkcją symetryczną względem tego środka (np. jest

stała), to środek masy łuk pokrywa się z jego środkiem symetrii.

2. Jeżeli łuk materialny ma oś lub płaszczyznę symetrii i gęstość liniowa masy jest funkcją symetryczną odpowiednio wzglę­dem tej osi lub płaszczyzny (np. jest stała), to środek masy łuku leży na tej osi lub na płaszczyźnie symetrii.

2. CAŁKI KRZYWOLINIOWE ZORIENTOWANE

2.1 DEFINICJE I WŁASNOŚCI CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH ZORIENTOWANYCH

Def. 2.1.1 (pole wektorowe na płaszczyźnie i w przestrzeni)a) Niech D będzie obszarem na płaszczyźnie. Polem wektorowym na D nazywamy funkcję wektorową 2: RDF →

, gdzie

( )),(),,(),( yxQyxPyxF =

dla (x,y) ∈ D.

Rys. 2.1.1 Pole wektorowe na płaszczyźnie Rys. 2.1.2 Pole wektorowe w przestrzeni

b) Niech V będzie obszarem w przestrzeni. Polem wektorowym na V nazywamy funkcję wektorową 3: RDF →

, gdzie

( )),,(),,(),,(),,( zyxRyxQyxPzyxF =

dla (x,y,z) ∈ V.

c) Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R są ciągłe odpowiednio na obszarach D lub V, to mówimy, że pole wektorowe F

jest ciągłe na tych obszarach.

d) Podobnie, jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu odpowiednio na obszarach D lub V, to mówimy, że pole wektorowe F

jest różniczkowalne w sposób ciągły na tych obszarach.

Uwaga. Będziemy także pisali krótko ( ))(),()( rQrPrF = , gdzie ),( yxr = lub ( ))(),(),()( rRrQrPrF

= , gdzie ),,( zyxr = .

Def. 2.1.2 (łuk zorientowany)Łuk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec (kierunek) nazywamy łukiem zorientowanym. Łuk zoriento­wany oznaczamy tym samym symbolem co łuk. Łuk o orientacji przeciwnej do orientacji łuku Γ oznaczamy przez – Γ. Jeżeli ze wzrostem parametru łuku zorientowanego poruszamy się po nim w kierunku orientacji, to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna z jego orientacją.

Rys. 2.1.3 Łuk zorientowany Γ Rys. 2.1.4 Łuk -Γ o orientacji przeciwnej do łuku zorientowanego Γ

Oznaczenia w definicji całki krzywoliniowej zorientowanejNiech Γ będzie łukiem zorientowanym na płaszczyźnie opisanym równaniem parametrycznym ],[),( βα∈= ttrr

, gdzie ),( yxr = oraz ( ))(),()( tytxtr =

. Zakładamy przy tym, że orientacja łuku Γ jest zgodna z jego parametryzacją. Wprowa­dzamy następujące oznaczenia:P = {t0, t1, ..., tn}, gdzie α = t0 < t1 < … < tn = β – podział odcinka [α,β] na n ∈ N odcinków;∆tk = tk – tk-1 – długość k-tego odcinka podziału P, 1 ≤ k ≤ n;δ(P) = max{∆tk: 1 ≤ k ≤ n } – średnica podziału P;

{ }∗∗∗=Ξ nttt ,,, 21 , gdzie ],[ 1 kkk ttt −∗ ∈ dla 1 ≤ k ≤ n – zbiór punktów pośrednich podziału P.

)( kk trA = – punkty podziału łuku Γ indukowane przez podział P, 0 ≤ k ≤ n (A0 jest początkiem, a An końcem łuku zoriento­wanego Γ);

( ))(),(),()( ∗∗∗∗∗∗ === kkkkkk tytxyxtrr – punkty pośrednie na łuku Ak-1Ak indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału

P, 1 ≤ k ≤ n;),()()( 1 kkkkk yxtrtrr ∆∆=−=∆ −

, gdzie )()( 1−−=∆ kkk txtxx , )()( 1−−=∆ kkk tytyy , 1 ≤ k ≤ n.

Rys. 2.1.5 Podział odcinka [α,β] i podział łuku zorientowanego Γ indukowany przez ten podział

Def. 2.1.3 (całka krzywoliniowa zorientowana)Niech ),( QPF =

będzie polem wektorowym określonym na łuku zorientowanym Γ ⊂ R2. Całkę krzywoliniową zorientowaną

z pola wektorowego F

po łuku Γ definiujemy wzorem:

( )∑∫=

∗∗∗∗

→Γ

∆+∆=+n

kkkkkkk

defyyxQxyxPdyyxQdxyxP

10)(),(),(lim),(),(

Pδ,

o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P przedziału [α,β], ani od sposobu

wyboru punktów pośrednich Ξ. Powyższą całkę oznaczamy krótko przez ∫Γ

+ dyQdxP .

Uwaga. Całkę krzywoliniową zorientowaną z pola wektorowego ),,( RQPF =

po łuku Γ położonym w przestrzeni definiu­jemy analogicznie i oznaczamy symbolem:

∫Γ

++ dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( lub krótko ∫Γ

++ dzRdyQdxP .

W zapisie wektorowym definicja całki krzywoliniowej zorientowanej z pola wektorowego ),( QPF =

lub pola wektorowego

),,( RQPF =

po łuku zorientowanym Γ położonym odpowiednio na płaszczyźnie lub w przestrzeni przyjmuje jednolitą formę:

∑∫=

∗∗

→Γ

∆=n

kkk

defrrFrdrF

10)()(lim)(

Pδ

,

gdzie ),( dydxrddef= lub ),,( dzdydxrd

def

= . Całkę krzywoliniową z pola wektorowego F

po łuku Γ oznaczamy też krótko

symbolem ∫Γ

rdF

.

Rys. 2.1.6 Ilustracja do definicji całki krzywoliniowej zorientowanej w formie wektorowej

Def. 2.1.4 (całka krzywoliniowa po sumie łuków zorientowanych)Niech łuk zorientowany Γ będzie sumą łuków niezamkniętch zorientowanych Γ1, Γ2, …, Γm, przy czym koniec łuku Γk jest początkiem łuku Γk+1, 1 ≤ k ≤ m – 1. Ponadto niech F

będzie polem wektorowym określonym na łuku Γ. Całkę krzywoli­

niową zorientowaną z pola F

po łuku Γ określamy wzorem:

∫∫∫∫ΓΓΓΓ

+++=m

rdFrdFrdFrdFdef

...21

,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.

Uwaga. Jeżeli łuk zorientowany na płaszczyźnie jest zamknięty, to wtedy piszemy ∫ w miejsce ∫ .

Rys. 2.1.7 Ilustracje do definicji całki krzywoliniowej zorientowanej po sumie łuków

Tw. 2.1.5 (liniowość całki krzywoliniowej zorientowanej)Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe z pól wektorowych F

i G

po kawałkami gładkim łuku zorientowanym Γ oraz jeżeli c jest

stałą dowolną, to:

a) istnieje całka krzywoliniowa z pola wektorowego GF

+ po łuku Γ oraz

( ) ∫∫∫ΓΓΓ

+=+ rdGrdFrdGF

,

b) istnieje całka z pola wektorowego Fc

po łuku Γ oraz

( ) ∫∫ΓΓ

= rdFcrdFc

,

c) istnieje całka krzywoliniowa z pola wektorowego F

po łuku o orientacji przeciwnej – Γ oraz

∫∫ΓΓ−

−= rdFrdF

.

Tw. 2.1.6 (zależność między całkami krzywoliniowymi)Niech pole wektorowe ),( QPF =

będzie ciągłe na łuku gładkim Γ. Wtedy

[ ]∫∫ΓΓ

+=+ dlyxyxQyxyxPdyyxQdxyxP ),(cos),(),(cos),(),(),( βα ,

gdzie α(x,y) oznacza kąt między wektorem stycznym do łuku Γ w punkcie (x,y) a dodatnią częścią osi Ox, natomiast β(x,y) oznacza kąt między tym samym wektorem i dodatnią częścią osi Oy. Zakładamy przy tym, że zwrot wektora stycznego jest zgodny z orientacją łuku Γ.Uwaga. Prawdziwa jest także analogiczna równość dla całek krzywoliniowych po łuku położonym w przestrzeni. Równości te niektórzy autorzy przyjmują jako definicję całki krzywoliniowej zorientowanej.

Rys. 2.1.8 Ilustracja do twierdzenia o zależności między dwoma rodzajami całek krzywoliniowych

2.2 ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ POJEDYNCZĄ

Tw. 2.2.1 (o zamianie całki krzywoliniowej na całkę pojedynczą)a) Jeżeli

1. łuk Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈ [α,β]} jest niezamknięty i gładki,2. orientacja łuku Γ jest zgodna z jego polaryzacją,3. pole wektorowe ),( QPF =

jest ciągłe na Γ,

to

( ) ( )[ ]∫∫ +=+Γ

β

α

dttytytxQtxtytxPdyyxQdxyxP )()(),()()(),(),(),( // .

b) Podobnie, jeżeli1. łuk Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ [α,β]}jest niezamknięty i gładki,2. orientacja łuku Γ jest zgodna z jego polaryzacją,3. pole wektorowe ),,( RQPF =

jest ciągłe na Γ,

to

( ) ( ) ( )[ ]∫

∫

++=

=++Γ

β

α

dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP

dzzyxQdyzyxQdxzyxP

)()(),(),()()(),(),()()(),(),(

),,(),,(),,(

///.

Uwaga. Powyższe wzory w formie wektorowej przyjmują jednolitą postać:

( )[ ]∫∫ =Γ

β

α

dttrtrFrdrF )()()( /

,

gdzie )(trr = jest parametryzacją łuku Γ oraz ( ))(),()( /// tytxtr = lub ( ))(),(),()( //// tztytxtr =

.

Jeżeli pole wektorowe ),( QPF =

jest ciągłe na łuku gładkim Γ opisanym równaniem y = y(x), gdzie a ≤ x ≤ b i orientacja łuku Γ jest zgodna ze wzrostem zmiennej x, to

( ) ( )[ ]∫∫ +=+Γ

b

a

dxxyxyxQxyxPdyyxQdxyxP )()(,)(,),(),( / .

2.3 NIEZALEŻNOŚĆ CAŁKI OD DROGI CAŁKOWANIA

Def. 2.3.1 (pole potencjalne, potencjał pola)Pole wektorowe F

określone na obszarze D nazywamy polem potencjalnym, gdy istnieje funkcja U: D → R taka, że

UF grad=

.

Funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego F

.

Uwaga. Dla pola wektorowego na płaszczyźnie ),( QPF =

powyższy warunek ma postać

yUQ

xUP

∂∂=

∂∂= , .

Podobnie, dla pola wektorowego w przestrzeni ),,( RQPF =

, mamy

zUR

yUQ

xUP

∂∂=

∂∂=

∂∂= ,, .

Tw. 2.3.2 (całka krzywoliniowa z pola potencjalnego)a) Niech

1. pole wektorowe ),( QPF =

będzie ciągłe na obszarze D ⊂ R2,2. pole wektorowe F

będzie potencjalne na obszarze D z potencjałem U.

Wtedy

),(),(),(),(),( 1122),(

),(22

11yxUyxUyxUdyyxQdxyxP yx

yxBA

−==+∫ ,

gdzie BA

jest dowolnym zorientowanym kawałkami gładkim łukiem o początku w punkcie A = (x1,y1) i końcu w punkcie B = (x2,y2), całkowicie zawartym w obszarze D.

b) Podobnie, niech1. pole wektorowe ),,( RQPF =

będzie ciągłe na obszarze V ⊂ R3,

2. pole wektorowe F

będzie potencjalne na obszarze V z potencjałem U.Wtedy

),,(),,(),,(),,(),,(),,( 111222),,(

),,(222

111zyxUzyxUzyxUdzzyxRdyzyxQdxzyxP zyx

zyxBA

−==++∫ ,

gdzie BA

jest dowolnym zorientowanym kawałkami gładkim łukiem o początku w punkcie A = (x1,y1,z1) i końcu w punkcie B = (x1,y1,z1), całkowicie zawartym w obszarze V.

Uwaga. W formie wektorowej powyższe wzory przyjmują jednolitą postać:

)()()( AUBUrUrdU B

ABA

−==∫

grad .

Inaczej mówiąc, całka zorientowana w polu potencjalnym nie zależy od drogi całkowania i jest równa różnicy potencjałów w punktach końcowym i początkowym drogi całkowania. W szczególności w polu potencjalnym F

mamy

∫Γ

= 0rdF

,

gdzie Γ jest dowolnym łukiem zamkniętym zawartym w rozważanym obszarze.

Tw. 2.3.3 (warunek konieczny i wystarczający potencjalności pola)a) Niech

1. obszar D ⊂ R2 będzie wypukły,2. pole wektorowe ),( QPF =

będzie różniczkowalne w sposób ciągły na D.

Wówczas pole wektorowe F

jest potencjalne na D wtedy i tylko wtedy, gdy

),(),( yxxQyx

yP

∂∂=

∂∂

dla każdego punktu Dyx ∈),( .

b) Niech1. obszar V ⊂ R3 będzie wypukły,

2. pole wektorowe ),,( RQPF =

będzie różniczkowalne w sposób ciągły na V.Wówczas pole wektorowe F

jest potencjalne na V wtedy i tylko wtedy, gdy

),,(),,( zyxxQzyx

yP

∂∂=

∂∂

, ),,(),,( zyxxRzyx

zP

∂∂=

∂∂

, ),,(),,( zyxyRzyx

zQ

∂∂=

∂∂

dla każdego punktu Vzyx ∈),,( .

Uwaga. Zamiast wypukłości obszarów D i V można założyć, że są one obszarami jednospójnymi odpowiednio na płaszczyźnie lub w przestrzeni.

Def. 2.3.4 (rotacja pola wektorowego)Niech pole wektorowe ),,( RQPF =

będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R3. Rotacją pola wektorowego

F

nazywamy pole wektorowe określone wzorem:

kyP

xQj

xR

zPi

zQ

yR

RQPzyx

kji

Fdef

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂=rot .

Fakt 2.3.5 (kryterium potencjalności pola wektorowego)Pole wektorowe ),,( RQPF =

na obszarze V ⊂ R3 jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy 0rot =F

.

2.4 TWIERDZENIE GREENA

Def. 2.4.1 (znak orientacji)Niech Γ będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym (bez samoprzecięć) na płaszczyźnie, tzn. krzywą Jordana. Mówimy, że orientacja łuku Γ jest dodatnia względem swego wnętrza D, gdy podczas ruchu łuku Γ w kierunku jego orientacji obszar D leży cały czas po lewej stronie łuku. W przeciwnym przypadku mówimy, że orientacja łuku jest ujemna.

Rys. 2.4.1 Łuk Γ1 jest zorientowany dodatnio względem obszaru D1

Rys. 2.4.2 Łuk Γ2 jest zorientowany ujemnie względem obszaru D2

Tw. 2.4.2 (wzór Greena)Niech

1. obszar domknięty D ⊂ R2 będzie normalny względem obu osi układu,2. brzeg Γ obszaru D będzie zorientowany dodatnio,3. pole wektorowe ),( QPF =

będzie różniczkowalne w sposób ciągły na D.

Wtedy

∫∫∫

∂∂−

∂∂=+

Γ D

dydxyP

xQdyQdxP .

Uwaga. Wzór Greena jest prawdziwy także dla obszaru D, który można podzielić na skończoną liczbę obszarów normalnych (względem obu osi).

Def. 2.4.3 (cyrkulacja pola wektorowego)Cyrkulacją pola wektorowego F

po łuku zamkniętym zorientowanym Γ nazywamy całkę krzywoliniową zorientowaną

∫Γ

rdF

.

2.5 ZASTOSOWANIA CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH ZORIENTOWANYCH

Fakt 2.5.1 (zastosowania w geometrii)Pole obszaru D ⊂ R2 ograniczonego łukiem zamkniętym kawałkami gładkim Γ, dodatnio zorientowanym względem obszaru D, wyraża się wzorami:

∫∫∫ΓΓΓ

−==−= ydxxdyxdyydxD21

.

Fakt 2.5.2 (zastosowania w fizyce)1. Praca w polu wektorowym F

wykonana wzdłuż łuku zorientowanego Γ, od punktu początkowego do końcowego, wy­

raża się wzorem:

∫Γ

= rdFW

.

2. Ilość płaskiej (umownej) cieczy przepływającej w jednostce czasu przez łuk zorientowany Γ wyraża się wzorem:

∫Γ

−−= dyyxPdxyxQA ),(),( ,

gdzie ( )),(),,(),( yxQyxPyxv = oznacza prędkość przepływu cieczy w punkcie (x,y) tego łuku.

3. CAŁKI POWIERZCHNIOWE NIEZORIENTOWANE

3.1 PŁATY POWIERZCHNIOWE

Def. 3.1.1 (funkcja wektorowa dwóch zmiennych w przestrzeni)a) Niech D będzie obszarem na płaszczyźnie. Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni nazywamy odwzorowanie

3: RDr → . Funkcję taką będziemy zapisywać w postaci( )),(),,(),,(),( vuzvuyvuxvur =

, gdzie Dvu ∈),( .

Rys. 3.1.1 Funkcja wektorowa 3: RDr →

b) Mówimy, że funkcja wektorowa 3: RDr → jest różnowartościowa, gdy dla dowolnych punktów (u1,v1), (u2,v2) ∈ D prawdziwa jest implikacja

),(),(),(),( 22112211 vurvurvuvu ≠⇒≠ .c) Mówimy, że funkcja wektorowa 3: RDr → jest ciągła, gdy funkcje x, y, z są ciągłe na D.d) Mówimy, że funkcja wektorowa 3: RDr → jest różniczkowalna w sposób ciągły, gdy funkcje x, y, z mają ciągłe

wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze D.

Def. 3.1.2 (płat powierzchniowy)Niech D będzie prostokątem na płaszczyźnie oraz niech funkcja wektorowa 3: RDr → , gdzie

( )),(),,(),,(),( vuzvuyvuxvur = dla Dvu ∈),( , będzie ciągła i różnowartościowa na prostokącie D. Płatem powierzchnio­

wym nazywamy zbiór wartości funkcji wektorowej r , tj. zbiór:{ }Dvuvur ∈=Σ ),(:),( .

Zbiór w przestrzeni taki, że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem prostym, nazywamy płatem po­wierzchniowym.

Uwaga. Funkcję wektorową r lub układ funkcji x, y, z nazywamy parametryzacją płata Σ. Płat prosty można wyobrazić sobie jako powyginany w przestrzeni prostokąt. Przy tym przekształcaniu prostokąta nie można rozrywać ani sklejać.

Rys. 3.1.2 Zbiór Σ nie jest płatem powierzchniowym

Rys. 3.1.3 Zbiór Σ jest płatem powierzchniowym

Def. 3.1.3 (płat powierzchniowy gładki)Płat powierzchniowy { }Dvuvur ∈=Σ ),(:),( , gdzie D jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim, a funkcja wektorowa ( )),(),,(),,(),( vuzvuyvuxvur =

jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D, nazy­wamy płatem gładkim, gdy na obszarze D spełniony jest warunek

0

≠∂∂×

∂∂

vr

ur

,

gdzie

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂

uz

uy

ux

ur ,,

oraz

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂

vz

vy

vx

vr ,,

.

Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów gładkich, nazywamy płatem kawałkami gładkim.

Rys. 3.1.4 Płat powierzchniowy gładki Rys. 3.1.5 Płat powierzchniowy kawałkami gładki

Fakt 3.1.4 (równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych)1. Płaszczyzna przechodząca przez punkt ),,( 0000 zyxr =

i rozpięta na wektorach ),,( 111 zyxa =, ),,( 222 zyxb =

ma przedstawienie parametryczne:

RvRuvzuzzzuyuyyyvxuxxx

∈∈

++=++=++=

Σ ,:

210

210

210

.

W formie wektorowej parametryzacja płaszczyzny ma postać:{ RvRubvaurr ∈∈++=Σ ,: 0

.

2. Sfera o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r > 0 ma przedstawienie parametryczne:

−∈∈

===

Σ2

,2

],2,0[sin

cossincoscos

: πππ vuvrz

vuryvurx

.

3. Powierzchnia stożka określona równaniem 22 yxkz += , gdzie 222 ryx ≤+ , ma przedstawienie parametryczne:

[ ] [ ]rvukvz

uvyuvx

,0,2,0sincos

: ∈∈

===

Σ π .

4. Powierzchnia paraboloidy obrotowej określona równaniem ( )22 yxkz += , gdzie 222 ryx ≤+ , ma przedstawienie parametryczne:

[ ] [ ]rvukvz

uvyuvx

,0,2,0sincos

:2

∈∈

===

Σ π .

5. Powierzchnia walcowa opisana równaniem 222 ryx =+ , gdzie Hz ≤≤0 , ma przedstawienie parametryczne:

[ ] [ ]Hvuvz

uryurx

,0,2,0sincos

: ∈∈

===

Σ π .

Uwaga. Równania fragmentów tych płatów powierzchniowych otrzymamy zmniejszając odpowiednio zakresy parametrów u, v.

Fakt 3.1.5 (o postaci płatów powierzchniowych)Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych postaci:1. 1),();,( Dyxyxzz ∈= , gdzie D1 jest obszarem na płaszczyźnie xOy,2. 2),();,( Dzyzyxx ∈= , gdzie D2 jest obszarem na płaszczyźnie yOz,3. 3),();,( Dzxzxyy ∈= , gdzie D3 jest obszarem na płaszczyźnie xOz.Jeżeli funkcje te mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na rozważanych obszarach, to te płaty powierzchniowe są gładkie.Uwaga. Równania ważniejszych płatów powierzchniowych, które są wykresami funkcji postaci z = f(x,y) podane są w części „Analiza matematyczna 2” w fakcie 3.2.5.

Tw. 3.1.6 (pole płata powierzchniowego)Niech { }Dvuvur ∈=Σ ),(:),( będzie gładkim płatem powierzchniowym. Wtedy pole tego płata wyraża się wzorem:

∫∫ ∂∂×

∂∂=Σ

D

dvduvr

ur

.

Uwaga. Jeżeli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D, to jego pole wyraża się wzorem:

∫∫

∂∂+

∂∂+=Σ

D

dydxyz

xz

22

1 .

Analogicznie wyglądają wzory na pola płatów gładkich będących wykresami funkcji x = x(y,z) oraz y = y(x,z).

3.2 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ

Oznaczenia w definicji całki powierzchniowej niezorientowanejNiech { }Dvuvur ∈=Σ ),(:),( będzie gładkim płatem powierzchniowym, zakładamy przy tym, że D jest domkniętym ob­szarem regularnym na płaszczyźnie. Wprowadzamy następujące oznaczenia:P = {∆D1, ∆D2, ..., ∆Dn}, – podział obszaru D na obszary regularne ∆Dk (o rozłącznych wnętrzach), 1 ≤ k ≤ n;dk – średnica obszaru ∆Dk, tj. kres górny odległości punktów zbioru ∆Dk, 1 ≤ k ≤ n;δ(P) = max{dk: 1 ≤ k ≤ n } – średnica podziału P;

{ }),(,),(),,( 2211∗∗∗∗∗∗=Ξ nn vuvuvu , gdzie kkk Dvu ∈∗∗ ),( dla 1 ≤ k ≤ n – zbiór punktów pośrednich podziału P.

∆Σk – część płata Σ odpowiadająca obszarowi ∆Dk w podanej wyżej parametryzacji r , 1 ≤ k ≤ n;|∆Σk| – pole płata ∆Σk, 1 ≤ k ≤ n;

),,( ∗∗∗kkk zyx – punkt płata ∆Σk odpowiadający punktowi kkk Dvu ∈∗∗ ),( w podanej parametryzacji r , 1 ≤ k ≤ n.

Rys. 3.2.1 Ilustracja do definicji całki powierzchniowej niezorientowanej

Def. 3.2.1 (całka powierzchniowa niezorientowana)Niech Σ będzie płatem powierzchniowym gładkim oraz niech funkcja Rf →Σ: będzie ograniczona. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie Σ definiujemy wzorem:

( )∑∫∫=

∗∗∗

→Σ

∆Σ=n

kkkkk

defzyxfdSzyxf

10)(,,lim),,(

Pδ,

o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P obszaru D, ani od sposobu wy­boru punktów pośrednich Ξ.Uwaga. Wartość całki powierzchniowej niezorientowanej nie zależy od sposobu parametryzacji płata. Całkę powierzchniową

niezorientowaną z funkcji f po płacie Σ oznaczamy krótko symbolem ∫∫Σ

dSf .

Def. 3.2.2 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim)Niech Σ będzie płatem kawałkami gładkim złożonym z płatów gładkich Σ1, Σ2, …, Σm oraz niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną na płacie Σ. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie Σ definiujemy wzorem:;

∫∫∫∫∫∫∫∫ΣΣΣΣ

+++=m

dSfdSfdSfdSfdef

...21

,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.

Tw. 3.2.3 (liniowość całki powierzchniowej niezorientowanej)Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na kawałkami gładkim płacie powierzchniowym Σ oraz jeżeli c jest dowolną stałą, to:a) funkcja f + g jest całkowalna na płacie Σ oraz

∫∫ ∫∫∫∫Σ ΣΣ

+=+ dSgdSfdSgf )( ,

b) funkcja cf jest całkowalna na płacie Σ oraz

∫∫∫∫ΣΣ

= dSfcdScf )( .

Def. 3.2.4 (całka powierzchniowa niezorientowana z funkcji wektorowej)Niech Σ będzie kawałkami gładkim płatem powierzchniowym oraz niech funkcje P, Q, R będą całkowalne na Σ. Całkę po­wierzchniową niezorientowaną po płacie Σ z funkcji wektorowej ),,( RQPF =

określamy wzorem:

= ∫∫∫∫∫∫∫∫

ΣΣΣΣ

dSRdSQdSPdSFdef

,,

.

3.3 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ

Tw. 3.3.1 (o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną)Jeżeli

1. obszar D ⊂ R2 jest regularny,2. płat { }Dvuvur ∈=Σ ),(:),( jest gładki,3. funkcja Rf →Σ: jest ciągła,

to

( ) dvduvr

urvurfdSzyxf

D ∂∂×

∂∂= ∫∫∫∫

Σ

),(),,( .

Uwaga. Jeżeli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D oraz funkcja f jest ciągła na Σ, to wzór na zamianę całek przyjmuje postać:

( ) dydxyxyzyx

xzyxzyxfdSzyxf

D

22

),(),(1),(,,),,(

∂∂+

∂∂+= ∫∫∫∫

Σ

.

Analogiczne wzory otrzymujemy w przypadku płatów powierzchniowych opisanych równaniami x = x(y,z) lub y = y(x,z).

3.4 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH

Fakt 3.4.1 (zastosowania w geometrii)Pole kawałkami gładkiego płata Σ wyraża się wzorem:

∫∫Σ

=Σ dS .

Fakt 3.4.2 (zastosowania w fizyce)1. Masa płata materialnego Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem:

∫∫Σ

= dSzyxM ),,(σ .

2. Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych płata materialnego Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami:

∫∫Σ

= dSzyxxMS yz ),,(σ ,

∫∫Σ

= dSzyxyMS xz ),,(σ ,

∫∫Σ

= dSzyxzMS xy ),,(σ .

3. Współrzędne środka masy płata Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami:

MMS

x yzC = ,

MMS

y xzC = ,

MMS

z xyC = .

4. Momenty bezwładności względem osi oraz względem początku układu współrzędnych płata materialnego Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami:

( )∫∫Σ

+= dSzyxzyI x ),,(22 σ ,

( )∫∫Σ

+= dSzyxzxI y ),,(22 σ ,

( )∫∫Σ

+= dSzyxyxI z ),,(22 σ ,

( )∫∫Σ

++= dSzyxzyxI ),,(2220 σ .

5. Natężenie pola elektrycznego w punkcie 0r

pochodzące od ładunku elektrycznego rozłożonego na płacie Σ o gęstości powierzchniowej ładunku σ wyraża się wzorem:

∫∫Σ −

−= dS

rrrrr

E 30

0

0

)()(4

1

σπε ,

gdzie ε0 oznacza stałą dielektryczną próżni.

6. Siła przyciągania grawitacyjnego masy m skupionej w punkcie 0r

przez płat materialny Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem:

dSrr

rrrGmF ∫∫

Σ −

−= 3

0

0 )()(

σ,

gdzie G oznacza stałą grawitacji.

Fakt 3.4.3 (środki masy płatów symetrycznych)1. Jeżeli płat powierzchniowy ma środek symetrii i gęstość powierzchniowa masy jest funkcją symetryczną względem tego

środka (np. jest stała), to środek masy płata pokrywa się z jego środkiem symetrii.2. Jeżeli płat powierzchniowy ma oś lub płaszczyznę symetrii i gęstość powierzchniowa masy jest funkcją symetryczną

względem tej osi lub płaszczyzny (np. jest stała), to środek masy tego płata leży na jego osi lub płaszczyźnie symetrii.

4. CAŁKI POWIERZCHNIOWE ZORIENTOWANE I ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ

4.1 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ

Def. 4.1.1 (płat powierzchniowy zorientowany)Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono jedną ze stron, nazywamy płatem powierzchniowym zorientowa­nym. Wyróżnioną stronę płata zorientowanego nazywamy stroną dodatnią. Płat zorientowany oznaczamy tym samym symbo­lem co płat. Płat powierzchniowy zorientowany przeciwnie do płata zorientowanego Σ oznaczamy przez – Σ.

Dla płatów zamkniętych ograniczających pewien obszar w przestrzeni za stronę dodatnią płata przyjmujemy z reguły jego stronę zewnętrzną. Dla płatów będących wykresami funkcji postaci z = f(x,y), x = g(y,z), y = h(x,z) za stronę dodatnią przyj­mujemy zwykle górną część takiego płata.

Rys. 4.1.1 Płat powierzchniowy jednostronny Rys. 4.1.2 Płat powierzchniowy dwustronny; wykres funkcji z = f(x,y)

Fakt 4.1.2 (postać wersora normalnego płata)Niech płat gładki zorientowany Σ ma przedstawienie parametryczne { }Dvuvur ∈=Σ ),(:),( . Wtedy wersor normalny n do płata Σ wystawiony w punkcie (x0, y0, z0) tego płata, odpowiadającym punktowi (u0, v0) obszaru D w powyższej parametryzacji wyraża się wzorem:

vr

ur

vr

ur

n

∂∂×

∂∂

∂∂×

∂∂

±=

,

gdzie wektory ur

∂∂

oraz vr

∂∂

są obliczone w punkcie (u0, v0). Znak stojący przed wersorem n ustala się na podstawie orientacji

płata Σ. Przyjmujemy, że wersor normalny jest skierowany od strony ujemnej do dodatniej płata zorientowanego.

Jeżeli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D, to wersor normalny n do płata Σ wystawiony w punkcie (x0, y0, z0) tego płata, gdzie z0 = z(x0, y0), wyraża się wzorem:

++++

−

++

−=222222 1

1,1

,1 qpqp

q

qp

pn ,

gdzie ),( 00 yxxzp

∂∂= , ),( 00 yx

yzq

∂∂= . Wersor normalny n można przedstawić w postaci )cos,cos,(cos γβα=n , gdzie

α, β, γ oznaczają kąty między tym wersorem, a dodatnimi częściami osi Ox, Oy, Oz.

Rys. 4.1.3 Wersor normalny do płata zorientowanego Σ Rys. 4.1.4 Kosinusy kierunkowe wektora normalnego n

Def. 4.1.3 (całka powierzchniowa zorientowana)Niech ),,( RQPF =

będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym Σ. Całkę powierzchniową zorientowaną z

pola wektorowego F

po płacie Σ definiujemy wzorem:

( )( )∫∫

∫∫∫∫

Σ

ΣΣ

++=

==++

dSzyxRzyxQzyxP

dSzyxnzyxFdydxzyxRdxdzzyxQdzdyzyxPdef

γβα cos),,(cos),,(cos),,(

),,(),,(),,(),,(),,(

gdzie )cos,cos,(cos γβα=n oznacza wersor normalny do płata zorientowanego Σ wystawiony w punkcie (x,y,z) tego płata.

Uwaga. W zapisie wektorowym powyższa definicja przyjmuje postać:

( )∫∫∫∫ΣΣ

= dSrnrFSdrFdef

)()()(

,

gdzie ),,( dxdydzdxdydzSddef

=

. Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F

po płacie Σ oznaczamy też

krótko ∫∫Σ

++ dydxRdxdzQdzdyP , a w notacji wektorowej ∫∫Σ

SdF

.

Rys. 4.1.5 Ilustracja do definicji całki powierzchniowej zorientowanej z pola wektorowego F

po płacie

zorientowanym Σ

Def. 4.1.4 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim)Niech Σ będzie kawałkami gładkim płatem zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich Σ1, Σ2, …, Σm, o orientacjach po­krywających się z orientacją płata Σ. Ponadto niech F

będzie polem wektorowym określonym na płacie Σ. Całkę powierzch­

niową zorientowaną z pola wektorowego F

po płacie Σ definiujemy wzorem:

∫∫∫∫∫∫∫∫ΣΣΣΣ

+++=m

SdFSdFSdFSdFdef

...21

,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. Jeżeli Σ jest płatem zorientowanym zamkniętym ograniczającym pewien

obszar w przestrzeni, to wtedy piszemy ∫∫Σ

w miejsce ∫∫Σ

.

Tw. 4.1.5 (liniowość całki powierzchniowej zorientowanej)Jeżeli istnieją całki powierzchniowe z pól wektorowych F

i G

po kawałkami gładkim płacie powierzchniowym zorientowa­

nym Σ oraz jeżeli c jest dowolną stałą, toa) istnieje całka z pola wektorowego GF

+ po płacie Σ oraz

( ) ∫∫∫∫∫∫ΣΣΣ

+=+ SdGSdFSdGF

,

b) istnieje całka z pola wektorowego Fc

po płacie Σ oraz

( ) ∫∫∫∫ΣΣ

= SdFcSdFc

,

c) istnieje całka z pola wektorowego F

po płacie o orientacji przeciwnej – Σ oraz

∫∫∫∫ΣΣ−

−= SdFSdF

.

4.2 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ

Tw. 4.2.1 (o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną)Jeżeli

1. ( ){ }Dvuvuzvuyvux ∈=Σ ),(:),(),,(),,( jest gładkim płatem zorientowanym, gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyźnie,

2. pole wektorowe ),,( RQPF =

jest ciągłe na płacie Σ,to

( ) ( )

( ) dvdu

vy

uy

vx

ux

vuzvuyvuxR

vx

ux

vz

uz

vuzvuyvuxQ

vz

uz

vy

uy

vuzvuyvuxP

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP

D

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

±=

=++

∫∫

∫∫Σ

),(),,(),,(

),(),,(),,(),(),,(),,(

),,(),,(),,(

.

Znak stojący przed całką podwójną ustala się na podstawie orientacji płata Σ.

Uwaga. W zapisie wektorowym wzór ten przyjmuje postać

( ) ( )∫∫∫∫

∂∂×

∂∂±=

Σ D

dvduvr

urvurFSdrF

),( .

Jeżeli gładki płat zorientowany Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D, oraz pole wektorowe ),,( RQPF =

jest ciągłe na Σ, to

( ) ( ) ( )∫∫

∫∫

−

∂∂+

∂∂−=

=++Σ

D

dxdyyxzyxRyzyxzyxQ

xzyxzyxP

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP

),(,,),(,,),(,,

),,(),,(),,(

.

Podobne równości mają miejsce, gdy płat Σ jest wykresem funkcji x = x(y,z) lub y = y(x,z).4.3 ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ

Def. 4.3.1 (operator Hamiltona – nabla)Operator Hamiltona (nabla) określony jest wzorem:

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

zyxzk

yj

xi

def,,

.

Def. 4.3.2 (gradient funkcji)Niech f będzie funkcją różniczkowalną na obszarze V ⊂ R3. Gradient funkcji f jest określony wzorem:

∂∂

∂∂

∂∂=∇=

zf

yf

xfff

def,,grad .

Fakt 4.3.3 (własności gradientu)Niech funkcje f i g będą różniczkowalne na obszarze V ⊂ R3 oraz niech a, b ∈ R. Wtedya) gbfabgaf gradgradgrad +=+ )( ,b) gffgfg gradgradgrad +=)( ,

c) 2ggffg

gf gradgradgrad −

=

,

d) ffhfh gradgrad )()( /= , gdzie h jest funkcją różniczkowalną na pewnym przedziale,

e) ofconstf ≡⇔≡ grad ,

f) ( )fvvf grad

=

∂∂

, gdzie v jest wersorem.

Def. 4.3.4 (pole wektorowe potencjalne)Pole wektorowe F

nazywamy polem potencjalnym na obszarze V ⊂ R3, jeżeli istnieje funkcja RVU →: taka, że

UF grad=

.

Funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego F

.

Def. 4.3.5 (rotacja pola wektorowego)Niech ),,( RQPF =

będzie różniczkowalnym polem wektorowym określonym na obszarze V ⊂ R3. Rotację pola wektoro­

wego F

określamy wzorem:

RQPzyx

kji

FFdef

∂∂

∂∂

∂∂=×∇=

rot .

Fakt 4.3.6 (własności rotacji)Niech f będzie funkcją różniczkowalną na obszarze V ⊂ R3 oraz niech pola wektorowe F

i G

będą różniczkowalne na tym

obszarze. Wtedya) ( ) GbFaGbFa

rotrotrot +=+ , gdzie a, b ∈ R,

b) ( ) ( ) FfFfFf

rotgradrot +×= ,

c) ( ) oU =gradrot , gdzie U jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły na V.

Def. 4.3.7 (dywergencja pola wektorowego)

Niech ),,( RQPF =

będzie polem wektorowym różniczkowalnym w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R3. Dywergencję pola wektorowego F

określamy wzorem:

zR

yQ

xPFF

def

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇=

div .

Fakt 4.3.8 (własności dywergencji)Niech f będzie funkcją różniczkowalną w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R3 oraz niech pola wektorowe F

i G

będą

różniczkowalne w sposób ciągły na tym obszarze. Wtedya) ( ) GbFaGbFa

divdivdiv +=+ , gdzie a, b ∈ R,

b) ( ) ( ) FfFfFf

divgraddiv += ,

c) ( ) GFFGGF

rotrotdiv −=× ,

d) ( ) 0=F

rotdiv , gdzie pole wektorowe F

ma współrzędne dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły na V.

4.4 TWIERDZENIE GAUSSA I STOKESA

Tw. 4.4.1 (wzór Gaussa)Jeżeli

1. Σ jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem zamkniętym, który jest brzegiem obszaru domkniętego V ⊂ R3,2. pole wektorowe ),,( RQPF =

jest różniczkowalne w sposób ciągły na V,

to

∫∫∫∫∫ =Σ V

dVFSdF

div .

Po rozwinięciu powyższa równość (wzór Gaussa) przyjmuje postać:

dVzR

yQ

xPdydxRdxdzQdzdyP

V∫∫∫∫∫

∂∂+

∂∂+

∂∂=++

Σ

.

Rys. 4.4.1 Ilustracja do wzoru Gaussa

Tw. 4.4.2 (wzór Stokesa)Jeżeli

1. Σ jest płatem kawałkami gładkim zorientowanym, którego brzeg Γ jest łukiem kawałkami gładkim zorientowanym zgodnie z orientacją płata Σ,

2. pole wektorowe ),,( RQPF =

jest różniczkowalne w sposób ciągły na płacie Σ (łącznie z brzegiem Γ),to

( )∫∫∫ΣΓ

= SdFrdF

rot .

Po rozwinięciu powyższa równość (wzór Stokesa) przyjmuje postać:

∫∫∫ΣΓ

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂=++ dydx

yP

xQdxdz

xR

zPdzdy

zQ

yRRdzQdyPdx .

Rys. 4.4.2 Ilustracja do wzoru Stokesa

Uwaga. Wzór Greena podany w rozdziale 2.4 jest szczególnym przypadkiem wzoru Stokesa. Rzeczywiście, przyjmując, że Σ ⊂ xOy jest płatem zorientowanym o brzegu Γ oraz, że pole wektorowe F

określone na tym płacie ma postać )0,,( QPF =

,

przy czym funkcje P i Q zależą tylko od zmiennych x, y, otrzymamy

∫∫∫ΣΓ

∂∂−

∂∂=+ dydx

yP

xQQdyPdx .

4.5 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH ZORIENTOWANYCH

Fakt 4.5.1 (zastosowania w geometrii)Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym Σ zorientowanym na zewnątrz wyraża się wzorami:

∫∫∫∫∫∫∫∫ΣΣΣΣ

++==== zdxdyydzdxxdydzydzdxxdydzzdxdyV31

.

Fakt 4.5.2 (zastosowania w fizyce)1. Ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany Σ (ze strony ujemnej na dodatnią) wyraża się

wzorem:

∫∫Σ

= SdzyxvA

),,( ,

gdzie ),,( zyxv oznacza prędkość cieczy w punkcie (x,y,z) tego płata.

2. Parcie cieczy o ciężarze właściwym C na dodatnią stronę płata zorientowanego Σ, który jest zanurzony w tej cieczy, wyraża się wzorem:

= ∫∫∫∫∫∫

ΣΣΣ

zdxdyzdzdxzdydzCP ,,

.