CAŁKA NIEOZNACZONA - oldimif.utp.edu.ploldimif.utp.edu.pl/jjanusz/MI_09_calkinieo.pdf · Dla n = 0...

Wykłady z matematyki inżynierskiej

CAŁKA NIEOZNACZONA

JJ, IMiF UTP

09

CAŁKA NIEOZNACZONA

Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna).

DEFINICJA.Niech f bedzie funkcja określona w pewnym przedziale I .Całka nieoznaczona funkcji f (x) nazywamy każdąfunkcje F (x) różniczkowalna w I i spełniajaca dla każdego x ∈ Iwarunek

[F (x)]′ = f (x).

Piszemy:

F (x) =

∫f (x)dx .

Mówimy, że f jest całkowalna w I .

CAŁKA NIEOZNACZONA

∫f (x)dx = F (x)⇔ F ′(x) = f (x)

UWAGA.Znajac jedna całke F funkcji f otrzymamy wszystkie pozostałe:∫

f (x)dx = F (x) + C .

PRZYKŁAD. ∫1 dx = x + C , ponieważ x ′ = 1

∫cos x dx = sin x + C , ponieważ (sin x)′ = cos x .

TWIERDZENIE. Każda funkcja ciagła jest całkowalna.

CAŁKA NIEOZNACZONA

∫f (x)dx = F (x)⇔ F ′(x) = f (x)

PODSTAWOWE WZORY (część pierwsza)

Całkowanie odnosi sie do tych przedziałów, w których funkcjepodcałkowe sa określone.

∫xadx =

1a+ 1

xa+1 + C dla a 6= −1

∫1xdx = ln |x |+ C

∫exdx = ex + C

CAŁKA NIEOZNACZONA


∫axdx =

ax

ln a+ C

∫sin xdx = − cos x + C

∫cos xdx = sin x + C

∫1

cos2 xdx = tg x + C

CAŁKA NIEOZNACZONA


∫1

sin2 xdx = −ctg x + C

∫1

1 + x2dx = arctg x + C = −arcctg x + K

∫1√

1− x2dx = arc sin x + C = − arc cos x + K

CAŁKA NIEOZNACZONA

∫f (x)dx = F (x)⇔ F ′(x) = f (x) WŁASNOŚCI

∫[f (x)± g(x)]dx =

∫f (x)dx ±

∫g(x)dx

∫λf (x)dx = λ

∫f (x)dx

∫f ′(x)dx = f (x) + C

[∫f (x)dx

]′= f (x)

CAŁKA NIEOZNACZONA

CAŁKOWANIE PRZEZ CZEŚCI

∫u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x)dx

Zakładamy tu, że funkcje u(x) i v(x) maja ciagłe pochodne.

Wyprowadzenie wzoru:

(uv)′ = u′v + uv ′∫(uv)′dx =

∫(u′v + uv ′)dx

uv =

∫u′vdx +

∫uv ′dx∫

uv ′dx = uv −∫

u′vdx

CAŁKA NIEOZNACZONA

∫u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x)− ∫

u′(x)v(x)dx

CAŁKOWANIE PRZEZ CZEŚCI

PRZYKŁAD:

∫xexdx =

∣∣u=x v ′=ex

u′=1 v=ex

∣∣ = xex −∫

1 · exdx = xex − ex + C

PRZYKŁAD:∫x2 · ln xdx =

∣∣u=ln x v ′=x2

u′= 1x

v= 13 x3

∣∣ = ln x · 13x3 −

∫1x· 1

3x3dx

13x3 ln x − 1

3

∫x2dx =

13x3 ln x − 1

9x3 + C

CAŁKA NIEOZNACZONA

∫u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x)− ∫

u′(x)v(x)dx

PRZYKŁAD: ∫ex cos xdx =

∣∣u=ex v ′=cos xu′=ex v=sin x

∣∣= exsin x −

∫ex · sin xdx =

∣∣u=ex v ′=sin xu′=ex v=− cos x

∣∣= ex sin x −

[ex(− cos x)−

∫ex · (− cos x)dx

]= ex sin x + ex cos x −

∫ex cos xdx

2∫

ex cos xdx = ex sin x + ex cos x + C1

∫ex cos xdx =

12ex sin x +

12ex cos x + C

CAŁKA NIEOZNACZONA

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

∫f (x)dx =

∫f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt, gdzie x = ϕ(t).

Zakładamy tu, że funkcja ϕ : (α, β)→ (a, b) ma ciagłapochodna ϕ′ oraz że funkcja f : (a, b)→ R jest ciagła.

Wyprowadzenie wzoru:

Niech F (x) =∫f (x)dx (oznacza to, że [F (x)]′ = f (x)).

Funkcja złożona F [ϕ(t)] ma pochodna (wzgledem t){F [ϕ(t)]

}′= F ′[ϕ(t)]ϕ′(t) = f [ϕ(t)]ϕ′(t).

Zatem, ∫f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt = F [ϕ(t)] = F (x) =

∫f (x)dx .

CAŁKA NIEOZNACZONA


∫f (x)dx =

∫f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt, gdzie x = ϕ(t).

PRZYKŁAD. ∫1

4 + x2dx =

∣∣x=2t ϕ(t)=2tϕ′(t)=2 dx=2dt

∣∣=

∫1

4 + (2t)2· 2dt = 2

4

∫1

1 + t2dt

=12arctgt + C =

12arctg

x

2+ C

CAŁKA NIEOZNACZONA


Obserwacja. Jeśli x = ϕ(t), to dx zamieniamy na ϕ′(t)dt. Gdy funkcjax = ϕ(t) ma funkcję odwrotną t = ϕ−1(x) (oznaczmy ją przez ψ(x)),to, jak wiemy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej,ψ′(x) = 1

ϕ′(t) . Skoro dx = ϕ′(t)dt, więc dt = 1ϕ′(t)dx = ψ′(x)dx .

Zatem jeśli t = ψ(x), to zamieniamy dt na ψ′(x)dx .

PRZYKŁAD.

∫x sin

(110x2 + 7

)dx =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

t = 110x2 + 7

ψ(x) = 110x2 + 7

ψ′(x) = 15x

dt = ψ′(x)dxdt = 1

5xdx5dt = xdx

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∫

sin t · 5dt = −5 cos t + C = −5 cos(110x2 + 7

)+ C

CAŁKA NIEOZNACZONA


Zazwyczaj stosujemy zapis:

PRZYKŁAD.

∫x sin

(110x2 + 7

)dx =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣110x2 + 7 = t( 1

10x2 + 7

)′xdx = (t)′tdt

15xdx = dtxdx = 5dt

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∫

sin t · 5dt = −5 cos t + C = −5 cos(110x2 + 7

)+ C

CAŁKA NIEOZNACZONA


PRZYKŁAD.

∫x3√x4 + 1dx =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

podstawiamy :√x4 + 1 = tczyli :

x4 + 1 = t2

(x4 + 1)′xdx = (t2)′tdt4x3dx = 2tdtx3dx = 1

2 tdt

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∫t · 12 tdt =

12

∫t2dt = 1

2 ·13 t3 + C = 1

6

(√x4 + 1

)3+ C

CAŁKA NIEOZNACZONA


∫dx

x2 + q2=

1qarctg

x

q+ C

∫dx

x2 − q2=

12q

ln∣∣∣∣x − q

x + q

∣∣∣∣+ C∫arc sin x dx = x arc sin x +

√1− x2 + C∫

arctg x dx = xarctg x − 12

ln(1 + x2) + C

CAŁKA NIEOZNACZONA

Uzasadnienie ostatniego wzoru

∫arctgxdx =

∫1 · arctgxdx

=∣∣u=arctgx v ′=1u′= 1

1+x2v=x

∣∣= arctgx · x −

∫1

1 + x2· xdx

= xarctgx − 12

∫2x

1 + x2dx

= xarctgx − 12

ln |1 + x2|+ C

CAŁKA NIEOZNACZONA


∫dx√−x2 + q

= arc sinx√q+ C

∫dx√x2 + q

= ln |x +√x2 + q|+ C

∫ √−x2 + q dx =

12x√−x2 + q +

12q arc sin

x√q+ C

∫ √x2 + q dx =

12x√x2 + q +

12q ln |x +

√x2 + q|+ C∫

sin2 x dx =12x − 1

4sin 2x + C∫

cos2 x dx =12x +

14

sin 2x + C

CAŁKA NIEOZNACZONA

WZORY REKURENCYJNE

Dla n = 0 oraz dla n = 1 potrafimy obliczyć całki: In =∫ dx(1+x2)n

,Jn =

∫sinn xdx , Kn =

∫cosnxdx .

Dla n 2 stosujemy wzory:

In =1

2n − 2· x

(1 + x2)n−1+

2n − 32n − 2

In−1,

Jn = −1n

cos x sinn−1 x +n − 1n

Jn−2,

Kn =1n

sin x cosn−1 x +n − 1n

Kn−2.

CAŁKA NIEOZNACZONA

CAŁKA NIEOZNACZONA - oldimif.utp.edu.ploldimif.utp.edu.pl/jjanusz/MI_09_calkinieo.pdf · Dla n = 0...

Documents

Transcript of CAŁKA NIEOZNACZONA - oldimif.utp.edu.ploldimif.utp.edu.pl/jjanusz/MI_09_calkinieo.pdf · Dla n = 0...