Całka nieoznaczona - mif.pg.gda.pl · Całka nieoznaczona Funkcja pierwotna Definicja Niechf : A...
27
Calka nieoznaczona Funkcja pierwotna Definicja Niech f : A → R. Mówimy, że funkcja ϕ : A → R jest funkcją pierwotną funkcji f , jeżeli ϕ jest różniczkowalna oraz ϕ 0 (x )= f (x ) dla wszystkich x ∈ A.
Transcript of Całka nieoznaczona - mif.pg.gda.pl · Całka nieoznaczona Funkcja pierwotna Definicja Niechf : A...
Całka nieoznaczonaFunkcja pierwotna
DefinicjaNiech f : A→ R. Mówimy, że funkcja ϕ : A→ R jest funkcją pierwotnąfunkcji f , jeżeli ϕ jest różniczkowalna oraz
ϕ′(x) = f (x)
dla wszystkich x ∈ A.
DefinicjaRodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f : A→ R oznaczamysymbolem ∫
f (x)dx
i nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f .
Całka nieoznaczonaFunkcja pierwotna
DefinicjaNiech f : A→ R. Mówimy, że funkcja ϕ : A→ R jest funkcją pierwotnąfunkcji f , jeżeli ϕ jest różniczkowalna oraz
ϕ′(x) = f (x)
dla wszystkich x ∈ A.
DefinicjaRodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f : A→ R oznaczamysymbolem ∫
f (x)dx
i nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f .
Całka nieoznaczonaWłasności
1
ddx
(∫f (x)dx
)= f (x);
2 ∫[f (x) + g(x)]dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx ;
3 ∫λf (x)dx = λ
∫f (x)dx ;
Całka nieoznaczonaWłasności
1
ddx
(∫f (x)dx
)= f (x);
2 ∫[f (x) + g(x)]dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx ;
3 ∫λf (x)dx = λ
∫f (x)dx ;
Całka nieoznaczonaWłasności
1
ddx
(∫f (x)dx
)= f (x);
2 ∫[f (x) + g(x)]dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx ;
3 ∫λf (x)dx = λ
∫f (x)dx ;
Całka nieoznaczonaWłasności
4. Całkowanie przez podstawienie. Niech∫
f (x)dx = ϕ(x) + C dlax ∈ A oraz u : B → A będzie funkcją różniczkowalną. Wówczasϕ ◦ u : B → R jest funkcją pierwotną funkcji (f ◦ u)u′ : B → R, tzn.∫
f (u(t))u′(t)dt = ϕ(u(t)) + C
dla t ∈ B.5. Całkowanie przez części. Jeżeli f , g są funkcjami
różniczkowalnymi oraz funkcja f ′g ma funkcję pierwotną, to równieżfunkcja fg ′ ma funkcję pierwotną i zachodzi wzór∫
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)−∫
f ′(x)g(x)dx ;
6. Jeżeli f : A→ R jest funkcją różniczkowalną oraz f (x) 6= 0 dlax ∈ A, to ∫
f ′(x)f (x)
dx = ln |f (x)|+ C .
Całka nieoznaczonaWłasności
4. Całkowanie przez podstawienie. Niech∫
f (x)dx = ϕ(x) + C dlax ∈ A oraz u : B → A będzie funkcją różniczkowalną. Wówczasϕ ◦ u : B → R jest funkcją pierwotną funkcji (f ◦ u)u′ : B → R, tzn.∫
f (u(t))u′(t)dt = ϕ(u(t)) + C
dla t ∈ B.5. Całkowanie przez części. Jeżeli f , g są funkcjami
różniczkowalnymi oraz funkcja f ′g ma funkcję pierwotną, to równieżfunkcja fg ′ ma funkcję pierwotną i zachodzi wzór∫
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)−∫
f ′(x)g(x)dx ;
6. Jeżeli f : A→ R jest funkcją różniczkowalną oraz f (x) 6= 0 dlax ∈ A, to ∫
f ′(x)f (x)
dx = ln |f (x)|+ C .
Całka nieoznaczonaWłasności
4. Całkowanie przez podstawienie. Niech∫
f (x)dx = ϕ(x) + C dlax ∈ A oraz u : B → A będzie funkcją różniczkowalną. Wówczasϕ ◦ u : B → R jest funkcją pierwotną funkcji (f ◦ u)u′ : B → R, tzn.∫
f (u(t))u′(t)dt = ϕ(u(t)) + C
dla t ∈ B.5. Całkowanie przez części. Jeżeli f , g są funkcjami
różniczkowalnymi oraz funkcja f ′g ma funkcję pierwotną, to równieżfunkcja fg ′ ma funkcję pierwotną i zachodzi wzór∫
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)−∫
f ′(x)g(x)dx ;
6. Jeżeli f : A→ R jest funkcją różniczkowalną oraz f (x) 6= 0 dlax ∈ A, to ∫
f ′(x)f (x)
dx = ln |f (x)|+ C .
Całka nieoznaczonaWyrażenie df
Różniczkę df funkcji f : A→ R definiujemy jako formalny symbol:
df (x) = f ′(x) dx .
Przykład.1 f (x) = x =⇒ df (x) = dx ;2 f (x) = cos(x) =⇒ df (x) = − sin(x) dx
Całka nieoznaczonaWłasności cd.
1’. ∫df (x) = f (x) + C
4’. Całkowanie przez podstawienie. Niech∫
f (x)dx = ϕ(x) + C orazu będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas∫
f (u(t))du(t) = ϕ(u(t)) + C ;
5’. Całkowanie przez części.∫fdg = fg −
∫gdf ;
6’. Jeżeli f : A→ R jest funkcją różniczkowalną oraz f (x) 6= 0 dlax ∈ A, to ∫
df (x)f (x)
= ln |f (x)|+ C .
Całka nieoznaczonaWłasności cd.
1’. ∫df (x) = f (x) + C
4’. Całkowanie przez podstawienie. Niech∫
f (x)dx = ϕ(x) + C orazu będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas∫
f (u(t))du(t) = ϕ(u(t)) + C ;
5’. Całkowanie przez części.∫fdg = fg −
∫gdf ;
6’. Jeżeli f : A→ R jest funkcją różniczkowalną oraz f (x) 6= 0 dlax ∈ A, to ∫
df (x)f (x)
= ln |f (x)|+ C .
Całka nieoznaczonaWłasności cd.
1’. ∫df (x) = f (x) + C
4’. Całkowanie przez podstawienie. Niech∫
f (x)dx = ϕ(x) + C orazu będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas∫
f (u(t))du(t) = ϕ(u(t)) + C ;
5’. Całkowanie przez części.∫fdg = fg −
∫gdf ;
6’. Jeżeli f : A→ R jest funkcją różniczkowalną oraz f (x) 6= 0 dlax ∈ A, to ∫
df (x)f (x)
= ln |f (x)|+ C .
Całka nieoznaczonaWłasności cd.
1’. ∫df (x) = f (x) + C
4’. Całkowanie przez podstawienie. Niech∫
f (x)dx = ϕ(x) + C orazu będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas∫
f (u(t))du(t) = ϕ(u(t)) + C ;
5’. Całkowanie przez części.∫fdg = fg −
∫gdf ;
6’. Jeżeli f : A→ R jest funkcją różniczkowalną oraz f (x) 6= 0 dlax ∈ A, to ∫
df (x)f (x)
= ln |f (x)|+ C .
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej
TwierdzenieJeśli f : [a, b]→ R jest różniczkowalna, to funkcja pochodnaf ′ : [a, b]→ R posiada własność Darboux.
UwagaFunkcja pochodna nie musi być ciągła! Np.
f (x) ={
x2 sin 1x , gdy x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1];
0, gdy x = 0.
WniosekJeśli funkcja f : [a, b]→ R postada pierwotną, to f ma własnośćDarboux.
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej
TwierdzenieJeśli f : [a, b]→ R jest różniczkowalna, to funkcja pochodnaf ′ : [a, b]→ R posiada własność Darboux.
UwagaFunkcja pochodna nie musi być ciągła! Np.
f (x) ={
x2 sin 1x , gdy x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1];
0, gdy x = 0.
WniosekJeśli funkcja f : [a, b]→ R postada pierwotną, to f ma własnośćDarboux.
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej
TwierdzenieJeśli f : [a, b]→ R jest różniczkowalna, to funkcja pochodnaf ′ : [a, b]→ R posiada własność Darboux.
UwagaFunkcja pochodna nie musi być ciągła! Np.
f (x) ={
x2 sin 1x , gdy x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1];
0, gdy x = 0.
WniosekJeśli funkcja f : [a, b]→ R postada pierwotną, to f ma własnośćDarboux.
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej: dowód twierdzenia
Dla ustalenia uwagi załóżmy, że
f ′(a) < µ < f ′(b).
Należy wykazać, że istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f ′(c) = µ.
Niechg : [a, b]→ R będzie zadana wzorem
g(x) := f (x)− µx
Wtedyg ′(x) = f ′(x)− µ, g ′(a) < 0, g ′(b) > 0
Funkcja g jest ciągła ⇒ osiąga minimum na zbiorze [a, b]. Istnieje δ > 0, że
g(x) < g(a), a < x < a + δ oraz g(x) < g(b) b − δ < x < b
Minimum g jest osiągane w pewnym punkcie c ∈ (a, b), czylig ′(c) = 0⇒ f ′(c) = µ.
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej: dowód twierdzenia
Dla ustalenia uwagi załóżmy, że
f ′(a) < µ < f ′(b).
Należy wykazać, że istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f ′(c) = µ. Niechg : [a, b]→ R będzie zadana wzorem
g(x) := f (x)− µx
Wtedyg ′(x) = f ′(x)− µ, g ′(a) < 0, g ′(b) > 0
Funkcja g jest ciągła ⇒ osiąga minimum na zbiorze [a, b]. Istnieje δ > 0, że
g(x) < g(a), a < x < a + δ oraz g(x) < g(b) b − δ < x < b
Minimum g jest osiągane w pewnym punkcie c ∈ (a, b), czylig ′(c) = 0⇒ f ′(c) = µ.
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej: dowód twierdzenia
Dla ustalenia uwagi załóżmy, że
f ′(a) < µ < f ′(b).
Należy wykazać, że istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f ′(c) = µ. Niechg : [a, b]→ R będzie zadana wzorem
g(x) := f (x)− µx
Wtedyg ′(x) = f ′(x)− µ, g ′(a) < 0, g ′(b) > 0
Funkcja g jest ciągła ⇒ osiąga minimum na zbiorze [a, b].
Istnieje δ > 0, że
g(x) < g(a), a < x < a + δ oraz g(x) < g(b) b − δ < x < b
Minimum g jest osiągane w pewnym punkcie c ∈ (a, b), czylig ′(c) = 0⇒ f ′(c) = µ.
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej: dowód twierdzenia
Dla ustalenia uwagi załóżmy, że
f ′(a) < µ < f ′(b).
Należy wykazać, że istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f ′(c) = µ. Niechg : [a, b]→ R będzie zadana wzorem
g(x) := f (x)− µx
Wtedyg ′(x) = f ′(x)− µ, g ′(a) < 0, g ′(b) > 0
Funkcja g jest ciągła ⇒ osiąga minimum na zbiorze [a, b]. Istnieje δ > 0, że
g(x) < g(a), a < x < a + δ oraz g(x) < g(b) b − δ < x < b
Minimum g jest osiągane w pewnym punkcie c ∈ (a, b), czylig ′(c) = 0⇒ f ′(c) = µ.
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej: dowód twierdzenia
Dla ustalenia uwagi załóżmy, że
f ′(a) < µ < f ′(b).
Należy wykazać, że istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f ′(c) = µ. Niechg : [a, b]→ R będzie zadana wzorem
g(x) := f (x)− µx
Wtedyg ′(x) = f ′(x)− µ, g ′(a) < 0, g ′(b) > 0
Funkcja g jest ciągła ⇒ osiąga minimum na zbiorze [a, b]. Istnieje δ > 0, że
g(x) < g(a), a < x < a + δ oraz g(x) < g(b) b − δ < x < b
Minimum g jest osiągane w pewnym punkcie c ∈ (a, b), czylig ′(c) = 0⇒ f ′(c) = µ.
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej: dowód twierdzenia
ba
f ’HaL
f ’HbL
Μ=1
g
f’
f
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej cd.
Funkcja f : [0, 2]→ R
f (x) ={
2x , dla 0 ≤ x < 1;2x + 2, dla 1 ≤ x ≤ 2.
nie posiada pierwotnej
1 2
2
4
6
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej cd.
Czy g : [0, 2]→ R
g(x) ={
x2, dla 0 ≤ x < 1;x2 + 2x , dla 1 ≤ x ≤ 2.
jest pierwotną funkcji f ?
1 2
2
4
6
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej cd.
Czy g : [0, 2]→ R
g(x) ={
x2, dla 0 ≤ x < 1;x2 + 2x , dla 1 ≤ x ≤ 2.
jest pierwotną funkcji f ?
1 2
2
4
6
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej cd.
Czy g : [0, 2]→ R
g(x) ={
x2 + 2, dla 0 ≤ x < 1;x2 + 2x , dla 1 ≤ x ≤ 2.
jest pierwotną funkcji f ?
1 2
4
6
8
Całka nieoznaczonaWarunek konieczny istnienia funkcji pierwotnej cd.
Czy g : [0, 2]→ R
g(x) ={
x2 + 2, dla 0 ≤ x < 1;x2 + 2x , dla 1 ≤ x ≤ 2.
jest pierwotną funkcji f ?
1 2
4
6
8
