Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całka nieoznaczona i oznaczona

Maciej Grzesiak

Maciej Grzesiak Całka nieoznaczona i oznaczona

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Treść wykładu

Całka nieoznaczona

Całka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyce

Całka niewłaściwa

Maciej Grzesiak Całka nieoznaczona i oznaczona

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja całki nieoznaczonej

Definicja

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli

F ′(x) = f (x)

dla każdego x ∈ I .

Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x ,− cos x + 1,− cos x − 100.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja całki nieoznaczonej

Definicja

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli

F ′(x) = f (x)

dla każdego x ∈ I .

Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są

− cos x ,− cos x + 1,− cos x − 100.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja całki nieoznaczonej

Definicja

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli

F ′(x) = f (x)

dla każdego x ∈ I .

Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x ,

− cos x + 1,− cos x − 100.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja całki nieoznaczonej

Definicja

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli

F ′(x) = f (x)

dla każdego x ∈ I .

Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x ,− cos x + 1,

− cos x − 100.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja całki nieoznaczonej

Definicja

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli

F ′(x) = f (x)

dla każdego x ∈ I .

Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x ,− cos x + 1,− cos x − 100.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy

1 funkcja G (x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.

2 każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić wpostaci F (x) + D, gdzie D ∈ R.

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotnąna tym przedziale.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy1 funkcja G (x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.

2 każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić wpostaci F (x) + D, gdzie D ∈ R.

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotnąna tym przedziale.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy1 funkcja G (x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.

2 każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić wpostaci F (x) + D, gdzie D ∈ R.

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotnąna tym przedziale.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy1 funkcja G (x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.

2 każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić wpostaci F (x) + D, gdzie D ∈ R.

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotnąna tym przedziale.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji

{F (x) + C : C ∈ R}.

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .

Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫

f (x) dx]′

= f (x),

∫f ′(x) dx = f (x) + C .

Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji

{F (x) + C : C ∈ R}.

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .

Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫

f (x) dx]′

= f (x),

∫f ′(x) dx = f (x) + C .

Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji

{F (x) + C : C ∈ R}.

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .

Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.

W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫

f (x) dx]′

= f (x),

∫f ′(x) dx = f (x) + C .

Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji

{F (x) + C : C ∈ R}.

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .

Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.

[∫f (x) dx

]′= f (x),

∫f ′(x) dx = f (x) + C .

Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji

{F (x) + C : C ∈ R}.

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .

Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫

f (x) dx]′

= f (x),

∫f ′(x) dx = f (x) + C .

Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji

{F (x) + C : C ∈ R}.

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .

Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫

f (x) dx]′

= f (x),

∫f ′(x) dx = f (x) + C .

Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wzory podstawowe

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1

∫1x

dx = ln |x |+ C∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + C

∫dx

cos2 x= tg x + C

∫dx

sin2 x= − ctg x + C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wzory podstawowe

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1

∫1x

dx = ln |x |+ C

∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + C

∫dx

cos2 x= tg x + C

∫dx

sin2 x= − ctg x + C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wzory podstawowe

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1

∫1x

dx = ln |x |+ C∫sin x dx = − cos x + C

∫cos x dx = sin x + C

∫dx

cos2 x= tg x + C

∫dx

sin2 x= − ctg x + C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wzory podstawowe

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1

∫1x

dx = ln |x |+ C∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + C

∫dx

cos2 x= tg x + C

∫dx

sin2 x= − ctg x + C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wzory podstawowe

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1

∫1x

dx = ln |x |+ C∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + C

∫dx

cos2 x= tg x + C

∫dx

sin2 x= − ctg x + C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wzory podstawowe

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1

∫1x

dx = ln |x |+ C∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + C

∫dx

cos2 x= tg x + C

∫dx

sin2 x= − ctg x + C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

∫ax dx =

ax

ln a+ C

∫ex dx = ex + C

∫dx

1 + x2 = arc tg x + C

∫dx√

1− x2= arc sin x + C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

∫ax dx =

ax

ln a+ C

∫ex dx = ex + C

∫dx

1 + x2 = arc tg x + C

∫dx√

1− x2= arc sin x + C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

∫ax dx =

ax

ln a+ C

∫ex dx = ex + C

∫dx

1 + x2 = arc tg x + C

∫dx√

1− x2= arc sin x + C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

∫ax dx =

ax

ln a+ C

∫ex dx = ex + C

∫dx

1 + x2 = arc tg x + C

∫dx√

1− x2= arc sin x + C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

∫sinh x dx = cosh x + C

∫cosh x dx = sinh x + C

∫dx

cosh2 x= tgh x + C

∫dx

sinh2 x= − ctgh x + C

Ponadto mamy wzór∫f ′(x)f (x)

dx = ln |f (x)|+ C .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

∫sinh x dx = cosh x + C

∫cosh x dx = sinh x + C

∫dx

cosh2 x= tgh x + C

∫dx

sinh2 x= − ctgh x + C

Ponadto mamy wzór∫f ′(x)f (x)

dx = ln |f (x)|+ C .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

∫sinh x dx = cosh x + C

∫cosh x dx = sinh x + C

∫dx

cosh2 x= tgh x + C

∫dx

sinh2 x= − ctgh x + C

Ponadto mamy wzór∫f ′(x)f (x)

dx = ln |f (x)|+ C .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

∫sinh x dx = cosh x + C

∫cosh x dx = sinh x + C

∫dx

cosh2 x= tgh x + C

∫dx

sinh2 x= − ctgh x + C

Ponadto mamy wzór∫f ′(x)f (x)

dx = ln |f (x)|+ C .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

∫sinh x dx = cosh x + C

∫cosh x dx = sinh x + C

∫dx

cosh2 x= tgh x + C

∫dx

sinh2 x= − ctgh x + C

Ponadto mamy wzór∫f ′(x)f (x)

dx = ln |f (x)|+ C .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.

Twierdzenie

Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to1∫

(f (x) + g(x)) dx =∫f (x) dx +

∫g(x) dx ,

2∫

(f (x)− g(x)) dx =∫f (x) dx −

∫g(x) dx ,

3∫

(cf (x)) dx = c∫f (x) dx ,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.

Twierdzenie

Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to1∫

(f (x) + g(x)) dx =∫f (x) dx +

∫g(x) dx ,

2∫

(f (x)− g(x)) dx =∫f (x) dx −

∫g(x) dx ,

3∫

(cf (x)) dx = c∫f (x) dx ,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.

Twierdzenie

Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to1∫

(f (x) + g(x)) dx =∫f (x) dx +

∫g(x) dx ,

2∫

(f (x)− g(x)) dx =∫f (x) dx −

∫g(x) dx ,

3∫

(cf (x)) dx = c∫f (x) dx ,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.

Twierdzenie

Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to1∫

(f (x) + g(x)) dx =∫f (x) dx +

∫g(x) dx ,

2∫

(f (x)− g(x)) dx =∫f (x) dx −

∫g(x) dx ,

3∫

(cf (x)) dx = c∫f (x) dx ,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykłady

1.∫ dxx2 3√x2

2.∫ (x−

√x)(1+

√x)

3√x dx

3.∫

tg2 x dx

4.∫ dx

sin2 x cos2 x

5.∫ x2(x3+1)√x(x2−x+1)

dx

6.∫ x4

x2+1 dx

7.∫ 2x−3x2−3x+6 dx

8.∫

tg x dx

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), to

∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =

∫f (t) dt.

D o w ó d. Niech F (t) będzie funkcją pierwotną funkcji f (t), tzn.F ′(t) = f (t). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy(

F (ϕ(x)))′

= f (ϕ(x))ϕ′(x) dx .

Zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), to ∫

f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =

∫f (t) dt.

D o w ó d. Niech F (t) będzie funkcją pierwotną funkcji f (t), tzn.F ′(t) = f (t). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy(

F (ϕ(x)))′

= f (ϕ(x))ϕ′(x) dx .

Zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), to ∫

f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =

∫f (t) dt.

D o w ó d. Niech F (t) będzie funkcją pierwotną funkcji f (t), tzn.F ′(t) = f (t). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy(

F (ϕ(x)))′

= f (ϕ(x))ϕ′(x) dx .

Zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), to ∫

f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =

∫f (t) dt.

D o w ó d. Niech F (t) będzie funkcją pierwotną funkcji f (t), tzn.F ′(t) = f (t). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy(

F (ϕ(x)))′

= f (ϕ(x))ϕ′(x) dx .

Zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Podstawiając po prawej stronie ϕ(x) = t otrzymujemy∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (t) + C ,

a zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =

∫f (t) dt.

Przykłady.

1.∫

(3x − 5)25 dx

2.∫ 1

3x−5 dx

3.∫ ex

1+e2x dx

4.∫ e1/x

x2 dx

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Podstawiając po prawej stronie ϕ(x) = t otrzymujemy∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (t) + C ,

a zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =

∫f (t) dt.

Przykłady.

1.∫

(3x − 5)25 dx

2.∫ 1

3x−5 dx

3.∫ ex

1+e2x dx

4.∫ e1/x

x2 dx

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wniosek

Jeżeli funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to∫f (ax + b) dx =

1aF (ax + b) + C

Przykłady

1.∫

cos(3x + 1) dx

2.∫e2x dx

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wniosek

Jeżeli funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to∫f (ax + b) dx =

1aF (ax + b) + C

Przykłady

1.∫

cos(3x + 1) dx

2.∫e2x dx

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to

∫u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x) dx .

Przypomnijmy, że v ′(x) dx = dv , u′(x) dx = du (różniczki).Zatem krócej ∫

u dv = uv −∫v du.

D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu

(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + v(x)u′(x)

wynika, że∫(u(x)v(x))′ dx =

∫u′(x)v(x) dx +

∫v(x)u′(x) dx ,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫

u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx .

Przypomnijmy, że v ′(x) dx = dv , u′(x) dx = du (różniczki).Zatem krócej ∫

u dv = uv −∫v du.

D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu

(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + v(x)u′(x)

wynika, że∫(u(x)v(x))′ dx =

∫u′(x)v(x) dx +

∫v(x)u′(x) dx ,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫

u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx .

Przypomnijmy, że v ′(x) dx = dv , u′(x) dx = du (różniczki).

Zatem krócej ∫u dv = uv −

∫v du.

D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu

(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + v(x)u′(x)

wynika, że∫(u(x)v(x))′ dx =

∫u′(x)v(x) dx +

∫v(x)u′(x) dx ,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫

u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx .

Przypomnijmy, że v ′(x) dx = dv , u′(x) dx = du (różniczki).Zatem krócej ∫

u dv = uv −∫v du.

D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu

(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + v(x)u′(x)

wynika, że∫(u(x)v(x))′ dx =

∫u′(x)v(x) dx +

∫v(x)u′(x) dx ,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫

u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx .

Przypomnijmy, że v ′(x) dx = dv , u′(x) dx = du (różniczki).Zatem krócej ∫

u dv = uv −∫v du.

D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu

(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + v(x)u′(x)

wynika, że∫(u(x)v(x))′ dx =

∫u′(x)v(x) dx +

∫v(x)u′(x) dx ,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

czyli

u(x)v(x) =

∫u′(x)v(x) dx +

∫v(x)u′(x) dx ,

a więc ∫u′(x)v(x) dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x) dx .

Przykłady.

1.∫

ln x dx

2.∫x sin 2x dx

3.∫x arc tg x dx

4.∫ex cos x dx

5.∫x3e−x

2dx

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wzory rekurencyjne

∫sinn x dx = −1

ncos x sinn−1 x +

n − 1n

∫sinn−2 x dx , n ­ 2,

∫cosn x dx =

1n

sin x cosn−1 x +n − 1n

∫cosn−2 x dx , n ­ 2,

∫xnax dx =

xnax

ln a− n

ln a

∫xn−1ax dx , n ­ 1,

∫dx

(1 + x2)n=

x2(n − 1)(1 + x2)n−1 +

2n − 32n − 2

∫dx

(1 + x2)n−1 , n ­ 2,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wzory rekurencyjne

∫sinn x dx = −1

ncos x sinn−1 x +

n − 1n

∫sinn−2 x dx , n ­ 2,

∫cosn x dx =

1n

sin x cosn−1 x +n − 1n

∫cosn−2 x dx , n ­ 2,

∫xnax dx =

xnax

ln a− n

ln a

∫xn−1ax dx , n ­ 1,

∫dx

(1 + x2)n=

x2(n − 1)(1 + x2)n−1 +

2n − 32n − 2

∫dx

(1 + x2)n−1 , n ­ 2,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wzory rekurencyjne

∫sinn x dx = −1

ncos x sinn−1 x +

n − 1n

∫sinn−2 x dx , n ­ 2,

∫cosn x dx =

1n

sin x cosn−1 x +n − 1n

∫cosn−2 x dx , n ­ 2,

∫xnax dx =

xnax

ln a− n

ln a

∫xn−1ax dx , n ­ 1,

∫dx

(1 + x2)n=

x2(n − 1)(1 + x2)n−1 +

2n − 32n − 2

∫dx

(1 + x2)n−1 , n ­ 2,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Wzory rekurencyjne

∫sinn x dx = −1

ncos x sinn−1 x +

n − 1n

∫sinn−2 x dx , n ­ 2,

∫cosn x dx =

1n

sin x cosn−1 x +n − 1n

∫cosn−2 x dx , n ­ 2,

∫xnax dx =

xnax

ln a− n

ln a

∫xn−1ax dx , n ­ 1,

∫dx

(1 + x2)n=

x2(n − 1)(1 + x2)n−1 +

2n − 32n − 2

∫dx

(1 + x2)n−1 , n ­ 2,

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji wymiernych

Definicja

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcjępostaci P(x)

Q(x) , gdzie P(x), Q(x) są wielomianami. JeżelidegP < degQ, to funkcję wymierną nazywamy właściwą (lubułamkiem właściwym).

Jeżeli degP ­ degQ, to można wykonać dzielenie. Otrzymamyiloraz S(x) i resztę R(x), tj.:

P(x)Q(x)

= S(x) +R(x)Q(x)

.

Zatem funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postacisumy wielomianu i ułamka właściwego.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji wymiernych

Definicja

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcjępostaci P(x)

Q(x) , gdzie P(x), Q(x) są wielomianami. JeżelidegP < degQ, to funkcję wymierną nazywamy właściwą (lubułamkiem właściwym).

Jeżeli degP ­ degQ, to można wykonać dzielenie. Otrzymamyiloraz S(x) i resztę R(x), tj.:

P(x)Q(x)

= S(x) +R(x)Q(x)

.

Zatem funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postacisumy wielomianu i ułamka właściwego.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji wymiernych

Definicja

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcjępostaci P(x)

Q(x) , gdzie P(x), Q(x) są wielomianami. JeżelidegP < degQ, to funkcję wymierną nazywamy właściwą (lubułamkiem właściwym).

Jeżeli degP ­ degQ, to można wykonać dzielenie. Otrzymamyiloraz S(x) i resztę R(x), tj.:

P(x)Q(x)

= S(x) +R(x)Q(x)

.

Zatem funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postacisumy wielomianu i ułamka właściwego.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład Przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamkawłaściwego funkcję x

3+5x2−7x2+1 .

Definicja

Funkcję wymierną postaci

A(x + a)n

, n ∈ N, a,A ∈ R

nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcję

Bx + C(x2 + px + q)n

, n ∈ N, p, q,B,C ∈ R, ∆ = p2 − 4q < 0

nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład Przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamkawłaściwego funkcję x

3+5x2−7x2+1 .

Definicja

Funkcję wymierną postaci

A(x + a)n

, n ∈ N, a,A ∈ R

nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcję

Bx + C(x2 + px + q)n

, n ∈ N, p, q,B,C ∈ R, ∆ = p2 − 4q < 0

nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)

Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych.Jeżeli mianownik funkcji jest postaci

Q(x) = a(x − x1)k1(x − x2)k2 . . . (x − xr )kr ··(x2 + p1x + q1)l1(x2 + p2x + q2)l2 . . . (x2 + psx + qs)ls ,

to czynnikowi (x − xi )ki odpowiada suma ki ułamków prostychpostaci

A1

x − xi+

A2

(x − xi )2 + · · · Aki(x − xi )ki

,

a czynnikowi (x2 + pjx + qj)lj odpowiada suma lj ułamkówprostych postaci

B1x + C1

x2 + pjx + qj+

B2x + C2

(x2 + pjx + qj)2 + · · ·+Blj x + Clj

(x2 + pjx + qj)lj.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)

Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych.Jeżeli mianownik funkcji jest postaci

Q(x) = a(x − x1)k1(x − x2)k2 . . . (x − xr )kr ··(x2 + p1x + q1)l1(x2 + p2x + q2)l2 . . . (x2 + psx + qs)ls ,

to czynnikowi (x − xi )ki odpowiada suma ki ułamków prostychpostaci

A1

x − xi+

A2

(x − xi )2 + · · · Aki(x − xi )ki

,

a czynnikowi (x2 + pjx + qj)lj odpowiada suma lj ułamkówprostych postaci

B1x + C1

x2 + pjx + qj+

B2x + C2

(x2 + pjx + qj)2 + · · ·+Blj x + Clj

(x2 + pjx + qj)lj.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)

Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych.Jeżeli mianownik funkcji jest postaci

Q(x) = a(x − x1)k1(x − x2)k2 . . . (x − xr )kr ··(x2 + p1x + q1)l1(x2 + p2x + q2)l2 . . . (x2 + psx + qs)ls ,

to czynnikowi (x − xi )ki odpowiada suma ki ułamków prostychpostaci

A1

x − xi+

A2

(x − xi )2 + · · · Aki(x − xi )ki

,

a czynnikowi (x2 + pjx + qj)lj odpowiada suma lj ułamkówprostych postaci

B1x + C1

x2 + pjx + qj+

B2x + C2

(x2 + pjx + qj)2 + · · ·+Blj x + Clj

(x2 + pjx + qj)lj.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Etapy rozkładu na ułamki proste

1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki). Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.

2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.

3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.4 Eliminuj A,B,C , . . . wybierając wartości dla x , lub

Uporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynnikipo obu stronach.

5 Wylicz wartości A,B,C , . . ..

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Etapy rozkładu na ułamki proste

1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki). Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.

2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.

4 Eliminuj A,B,C , . . . wybierając wartości dla x , lubUporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynnikipo obu stronach.

5 Wylicz wartości A,B,C , . . ..

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Etapy rozkładu na ułamki proste

1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki). Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.

2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.4 Eliminuj A,B,C , . . . wybierając wartości dla x , lub

Uporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynnikipo obu stronach.

5 Wylicz wartości A,B,C , . . ..

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Etapy rozkładu na ułamki proste

1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki). Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.

2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.4 Eliminuj A,B,C , . . . wybierając wartości dla x , lub

Uporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynnikipo obu stronach.

5 Wylicz wartości A,B,C , . . ..

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Jak napisać przewidywany rozkład na ułamki?

Czynniki jednokrotne:

1x2 − 9

=1

(x − 3)(x + 3)=Ax − 3

+Bx + 3

Czynniki wielokrotne:

3x2 + x − 1x(x − 2)3 =

Ax

+Bx − 2

+C

(x − 2)2 +D

(x − 2)3

Nierozkładalna funkcja kwadratowa:

3x + 4(x − 2)(x2 + 3)

=Ax − 2

+Bx + Cx2 + 3

Wielokrotność nierozkładalnej funkcji kwadratowej:

x3 + x + 4(x + 5)(x2 + 5)2 =

Ax − 2

+Bx + Cx2 + 5

+Dx + E

(x2 + 5)2

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Jak napisać przewidywany rozkład na ułamki?

Czynniki jednokrotne:

1x2 − 9

=1

(x − 3)(x + 3)=Ax − 3

+Bx + 3

Czynniki wielokrotne:

3x2 + x − 1x(x − 2)3 =

Ax

+Bx − 2

+C

(x − 2)2 +D

(x − 2)3

Nierozkładalna funkcja kwadratowa:

3x + 4(x − 2)(x2 + 3)

=Ax − 2

+Bx + Cx2 + 3

Wielokrotność nierozkładalnej funkcji kwadratowej:

x3 + x + 4(x + 5)(x2 + 5)2 =

Ax − 2

+Bx + Cx2 + 5

+Dx + E

(x2 + 5)2

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Jak napisać przewidywany rozkład na ułamki?

Czynniki jednokrotne:

1x2 − 9

=1

(x − 3)(x + 3)=Ax − 3

+Bx + 3

Czynniki wielokrotne:

3x2 + x − 1x(x − 2)3 =

Ax

+Bx − 2

+C

(x − 2)2 +D

(x − 2)3

Nierozkładalna funkcja kwadratowa:

3x + 4(x − 2)(x2 + 3)

=Ax − 2

+Bx + Cx2 + 3

Wielokrotność nierozkładalnej funkcji kwadratowej:

x3 + x + 4(x + 5)(x2 + 5)2 =

Ax − 2

+Bx + Cx2 + 5

+Dx + E

(x2 + 5)2

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Jak napisać przewidywany rozkład na ułamki?

Czynniki jednokrotne:

1x2 − 9

=1

(x − 3)(x + 3)=Ax − 3

+Bx + 3

Czynniki wielokrotne:

3x2 + x − 1x(x − 2)3 =

Ax

+Bx − 2

+C

(x − 2)2 +D

(x − 2)3

Nierozkładalna funkcja kwadratowa:

3x + 4(x − 2)(x2 + 3)

=Ax − 2

+Bx + Cx2 + 3

Wielokrotność nierozkładalnej funkcji kwadratowej:

x3 + x + 4(x + 5)(x2 + 5)2 =

Ax − 2

+Bx + Cx2 + 5

+Dx + E

(x2 + 5)2

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykłady Rozłożyć na ułamki proste

5x2 − 4x3 + 2x2 − x − 2

=16

1x − 1

− 12

1x + 1

+163

1x + 2

,

xx3 + 1

= −13

1x + 1

+13x + 1

3

x2 − x + 1,

x2

(x − 2)3(x + 1)=

127

1x − 2

− 89

1(x − 2)2 +

43

1(x − 2)3 −

127

1x − 1

.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Z powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowaniefunkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamkówprostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu:

∫Ax + a

= A ln |x + a|+ C ;

∫A

(x + a)n=

A(1− n)(x + a)1−n + C ;

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Z powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowaniefunkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamkówprostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu:∫

Ax + a

= A ln |x + a|+ C ;

∫A

(x + a)n=

A(1− n)(x + a)1−n + C ;

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Z powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowaniefunkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamkówprostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu:∫

Ax + a

= A ln |x + a|+ C ;

∫A

(x + a)n=

A(1− n)(x + a)1−n + C ;

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Ułamki drugiego rodzaju

Dla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B

2 (2x + p) + (C − Bp2 );

2 rozłożyć na sumę ułamków:

Bx + Cx2 + px + q

=B2 (2x + p)x2 + px + q

+C − Bp2x2 + px + q

;

3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′(x)f (x) dx = ln |f (x)|+ C ;

4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p

2 )2 − ∆4 a następnie skorzystać ze wzoru∫

dx(x + p

2 )2 + a2=

1a

arc tgx + p

2

a+ C , gdzie a =

√−∆

4

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Ułamki drugiego rodzaju

Dla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B

2 (2x + p) + (C − Bp2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:

Bx + Cx2 + px + q

=B2 (2x + p)x2 + px + q

+C − Bp2x2 + px + q

;

3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′(x)f (x) dx = ln |f (x)|+ C ;

4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p

2 )2 − ∆4 a następnie skorzystać ze wzoru∫

dx(x + p

2 )2 + a2=

1a

arc tgx + p

2

a+ C , gdzie a =

√−∆

4

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Ułamki drugiego rodzaju

Dla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B

2 (2x + p) + (C − Bp2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:

Bx + Cx2 + px + q

=B2 (2x + p)x2 + px + q

+C − Bp2x2 + px + q

;

3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′(x)f (x) dx = ln |f (x)|+ C ;

4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p

2 )2 − ∆4 a następnie skorzystać ze wzoru∫

dx(x + p

2 )2 + a2=

1a

arc tgx + p

2

a+ C , gdzie a =

√−∆

4

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Ułamki drugiego rodzaju

Dla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B

2 (2x + p) + (C − Bp2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:

Bx + Cx2 + px + q

=B2 (2x + p)x2 + px + q

+C − Bp2x2 + px + q

;

3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′(x)f (x) dx = ln |f (x)|+ C ;

4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p

2 )2 − ∆4

a następnie skorzystać ze wzoru∫dx

(x + p2 )2 + a2

=1a

arc tgx + p

2

a+ C , gdzie a =

√−∆

4

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Ułamki drugiego rodzaju

Dla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B

2 (2x + p) + (C − Bp2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:

Bx + Cx2 + px + q

=B2 (2x + p)x2 + px + q

+C − Bp2x2 + px + q

;

3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′(x)f (x) dx = ln |f (x)|+ C ;

4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p

2 )2 − ∆4 a następnie skorzystać ze wzoru∫

dx(x + p

2 )2 + a2=

1a

arc tgx + p

2

a+ C , gdzie a =

√−∆

4

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Ułamki drugiego rodzaju

Przykład∫3x − 1x2 − 2x + 5

dx =

=

∫ 32 (2x − 2) + 2x2 − 2x + 5

dx =

=32

∫2x − 2x2 − 2x + 5

dx +

∫2

x2 − 2x + 5dx =

=32

ln(x2 − 2x + 5) +

∫2

(x − 1)2 + 4dx =

=32

ln(x2 − 2x + 5) + arctgx − 1

2+ C

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Ułamki drugiego rodzaju

Ułamek drugiego rodzaju, gdzie n > 1, całkujemy podobnie:1 wydzielamy w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B

2 (2x + p) + (C − Bp2 );

2 rozkładamy na sumę ułamków:

Bx + C(x2 + px + q)n

=B2 (2x + p)

(x2 + px + q)n+

C − Bp2(x2 + px + q)n

;

3 pierwszy ułamek całkujemy przez podstawieniex2 + px + q = t;

4 w drugim ułamku mianownik sprowadzamy do postacikanonicznej: (x + p

2 )2 − ∆4 a następnie korzystamy ze wzoru

rekurencyjnego

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Ułamki drugiego rodzaju

Ułamek drugiego rodzaju, gdzie n > 1, całkujemy podobnie:1 wydzielamy w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B

2 (2x + p) + (C − Bp2 );2 rozkładamy na sumę ułamków:

Bx + C(x2 + px + q)n

=B2 (2x + p)

(x2 + px + q)n+

C − Bp2(x2 + px + q)n

;

3 pierwszy ułamek całkujemy przez podstawieniex2 + px + q = t;

4 w drugim ułamku mianownik sprowadzamy do postacikanonicznej: (x + p

2 )2 − ∆4 a następnie korzystamy ze wzoru

rekurencyjnego

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Ułamki drugiego rodzaju

∫dx

(a2 + x2)n=

x2(n − 1)a2(a2 + x2)n−1 +

+2n − 3

(2n − 2)a2

∫dx

(a2 + x2)n−1 ,

gdzie a =√−∆

4 .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Będziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x , cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.

Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:

tgx2

= t.

Wtedy x = 2 arc tg t, więc

dx =2 dt

1 + t2.

Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy:

sin x =2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Będziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x , cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:

tgx2

= t.

Wtedy x = 2 arc tg t, więc

dx =2 dt

1 + t2.

Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy:

sin x =2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Będziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x , cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:

tgx2

= t.

Wtedy x = 2 arc tg t, więc

dx =2 dt

1 + t2.

Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy:

sin x =2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Będziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x , cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:

tgx2

= t.

Wtedy x = 2 arc tg t, więc

dx =2 dt

1 + t2.

Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy:

sin x =2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Przykład

∫1− cos x1 + cos x

dx =

∫ 1− 1−t21+t2

1 + 1−t21+t2

2 dt1 + t2

=

∫2t2

1 + t2dt =

= 2(t − arc tg t) + C = 2 tgx2− x + C .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

W przypadku całki postaci:∫sinm x cosn x dx , m, n ∈ N

sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.

Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫sinm x cosn x dx =

∫sin2k x cosn x sin x dx ,

i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy −∫

(1− t2)ktn dt.Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorów

sin2 x =12

(1−cos 2x), cos2 x =12

(1+cos 2x), sin x cos x =12

sin 2x ,

lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

W przypadku całki postaci:∫sinm x cosn x dx , m, n ∈ N

sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫

sinm x cosn x dx =

∫sin2k x cosn x sin x dx ,

i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy −∫

(1− t2)ktn dt.Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorów

sin2 x =12

(1−cos 2x), cos2 x =12

(1+cos 2x), sin x cos x =12

sin 2x ,

lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

W przypadku całki postaci:∫sinm x cosn x dx , m, n ∈ N

sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫

sinm x cosn x dx =

∫sin2k x cosn x sin x dx ,

i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy −∫

(1− t2)ktn dt.

Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorów

sin2 x =12

(1−cos 2x), cos2 x =12

(1+cos 2x), sin x cos x =12

sin 2x ,

lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

W przypadku całki postaci:∫sinm x cosn x dx , m, n ∈ N

sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫

sinm x cosn x dx =

∫sin2k x cosn x sin x dx ,

i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy −∫

(1− t2)ktn dt.Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.

Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorów

sin2 x =12

(1−cos 2x), cos2 x =12

(1+cos 2x), sin x cos x =12

sin 2x ,

lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

W przypadku całki postaci:∫sinm x cosn x dx , m, n ∈ N

sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫

sinm x cosn x dx =

∫sin2k x cosn x sin x dx ,

i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy −∫

(1− t2)ktn dt.Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorów

sin2 x =12

(1−cos 2x), cos2 x =12

(1+cos 2x), sin x cos x =12

sin 2x ,

lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całki:∫sinmx cos nx dx ,

∫sinmx sin nx dx ,

∫cosmx cos nx dx

przekształcamy korzystając ze wzorów:

sinmx cos nx =12

[sin(m + n)x + sin(m − n)x ],

sinmx sin nx =12

[cos(m − n)x − cos(m + n)x ],

cosmx cos nx =12

[cos(m − n)x + cos(m + n)x ].

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całki:∫sinmx cos nx dx ,

∫sinmx sin nx dx ,

∫cosmx cos nx dx

przekształcamy korzystając ze wzorów:

sinmx cos nx =12

[sin(m + n)x + sin(m − n)x ],

sinmx sin nx =12

[cos(m − n)x − cos(m + n)x ],

cosmx cos nx =12

[cos(m − n)x + cos(m + n)x ].

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całki:∫sinmx cos nx dx ,

∫sinmx sin nx dx ,

∫cosmx cos nx dx

przekształcamy korzystając ze wzorów:

sinmx cos nx =12

[sin(m + n)x + sin(m − n)x ],

sinmx sin nx =12

[cos(m − n)x − cos(m + n)x ],

cosmx cos nx =12

[cos(m − n)x + cos(m + n)x ].

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całki:∫sinmx cos nx dx ,

∫sinmx sin nx dx ,

∫cosmx cos nx dx

przekształcamy korzystając ze wzorów:

sinmx cos nx =12

[sin(m + n)x + sin(m − n)x ],

sinmx sin nx =12

[cos(m − n)x − cos(m + n)x ],

cosmx cos nx =12

[cos(m − n)x + cos(m + n)x ].

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych

Funkcje zawierające pierwiastki (różnych stopni) mogą być bardzoskomplikowane. Dla rozmaitych typów istnieją podstawieniasprowadzające je do funkcji wymiernych.Jeśli funkcja zawiera pierwiastki wyrażenia

ax + bcx + d

to podstawiamyax + bcx + d

= zn

gdzie n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością stopnipierwiastków.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych

Funkcje zawierające pierwiastki (różnych stopni) mogą być bardzoskomplikowane. Dla rozmaitych typów istnieją podstawieniasprowadzające je do funkcji wymiernych.Jeśli funkcja zawiera pierwiastki wyrażenia

ax + bcx + d

to podstawiamyax + bcx + d

= zn

gdzie n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością stopnipierwiastków.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych

Funkcje zawierające pierwiastki (różnych stopni) mogą być bardzoskomplikowane. Dla rozmaitych typów istnieją podstawieniasprowadzające je do funkcji wymiernych.Jeśli funkcja zawiera pierwiastki wyrażenia

ax + bcx + d

to podstawiamyax + bcx + d

= zn

gdzie n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością stopnipierwiastków.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Np. w całce ∫dx√x + 3√x

podstawiamy x = z6, a w całce∫dx√

2x − 1− 4√

2x − 1

podstawiamy 2x − 1 = z4.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Np. w całce ∫dx√x + 3√x

podstawiamy x = z6, a w całce∫dx√

2x − 1− 4√

2x − 1

podstawiamy 2x − 1 = z4.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci

1 m2 − z2,

2 m2 + z2,3 z2 −m2,

a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = m

cos t lub z = m cosh t.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci

1 m2 − z2,2 m2 + z2,

3 z2 −m2,

a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = m

cos t lub z = m cosh t.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci

1 m2 − z2,2 m2 + z2,3 z2 −m2,

a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = m

cos t lub z = m cosh t.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci

1 m2 − z2,2 m2 + z2,3 z2 −m2,

a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,

2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = m

cos t lub z = m cosh t.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci

1 m2 − z2,2 m2 + z2,3 z2 −m2,

a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,

3 z = mcos t lub z = m cosh t.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci

1 m2 − z2,2 m2 + z2,3 z2 −m2,

a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = m

cos t lub z = m cosh t.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład Obliczyć

I =

∫x√x2 + x + 1 dx .

Ponieważ

x2 + x + 1 =(x +

12

)2+

34

więc podstawimy

x +12

=

√3

2sinh t, dx =

√3

2cosh t dt

co prowadzi do całki

I =38

∫ (− 1 +

√3 sinh t

)cosh2 t dt.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład Obliczyć

I =

∫x√x2 + x + 1 dx .

Ponieważ

x2 + x + 1 =(x +

12

)2+

34

więc podstawimy

x +12

=

√3

2sinh t, dx =

√3

2cosh t dt

co prowadzi do całki

I =38

∫ (− 1 +

√3 sinh t

)cosh2 t dt.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład Obliczyć

I =

∫x√x2 + x + 1 dx .

Ponieważ

x2 + x + 1 =(x +

12

)2+

34

więc podstawimy

x +12

=

√3

2sinh t, dx =

√3

2cosh t dt

co prowadzi do całki

I =38

∫ (− 1 +

√3 sinh t

)cosh2 t dt.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład Obliczyć

I =

∫x√x2 + x + 1 dx .

Ponieważ

x2 + x + 1 =(x +

12

)2+

34

więc podstawimy

x +12

=

√3

2sinh t, dx =

√3

2cosh t dt

co prowadzi do całki

I =38

∫ (− 1 +

√3 sinh t

)cosh2 t dt.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Alternatywą jest podstawienie

x +12

=

√3

2tg t, dx =

√3

2 cos2 tdt

co prowadzi do całki

I =38

∫ (− 1 +

√3 tg t

) 1cos3 t

dt.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Alternatywą jest podstawienie

x +12

=

√3

2tg t, dx =

√3

2 cos2 tdt

co prowadzi do całki

I =38

∫ (− 1 +

√3 tg t

) 1cos3 t

dt.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja całki oznaczonej

Niech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].

Przedział [a, b] dzielimy na n podprzedziałów punktami

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b

Długość i−tego podprzedziału oznaczamy ∆xi = xi − xi−1, a całyzbiór n podprzedziałów oznaczamy ∆n. Podziałowi ∆n możemyprzyporządkować liczbę δn = max ∆xi , nazywaną średnicąpodziału.Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆n). Taki ciąg nazywamynormalnym, gdy

limn→∞

δn = 0.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja całki oznaczonej

Niech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].Przedział [a, b] dzielimy na n podprzedziałów punktami

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b

Długość i−tego podprzedziału oznaczamy ∆xi = xi − xi−1, a całyzbiór n podprzedziałów oznaczamy ∆n. Podziałowi ∆n możemyprzyporządkować liczbę δn = max ∆xi , nazywaną średnicąpodziału.Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆n). Taki ciąg nazywamynormalnym, gdy

limn→∞

δn = 0.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja całki oznaczonej

Niech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].Przedział [a, b] dzielimy na n podprzedziałów punktami

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b

Długość i−tego podprzedziału oznaczamy ∆xi = xi − xi−1, a całyzbiór n podprzedziałów oznaczamy ∆n. Podziałowi ∆n możemyprzyporządkować liczbę δn = max ∆xi , nazywaną średnicąpodziału.

Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆n). Taki ciąg nazywamynormalnym, gdy

limn→∞

δn = 0.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Definicja całki oznaczonej

Niech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].Przedział [a, b] dzielimy na n podprzedziałów punktami

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b

Długość i−tego podprzedziału oznaczamy ∆xi = xi − xi−1, a całyzbiór n podprzedziałów oznaczamy ∆n. Podziałowi ∆n możemyprzyporządkować liczbę δn = max ∆xi , nazywaną średnicąpodziału.Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆n). Taki ciąg nazywamynormalnym, gdy

limn→∞

δn = 0.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Dla danego podziału ∆n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξi ,

xi−1 ¬ ξi ¬ xi

i tworzymy sumę

σn =n∑i=1

f (ξi )∆xi . (1)

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b]każdy ciąg sum (σn) dąży do granicy skończonej (niezależnej odwyboru punktów ξi ), to granicę tę nazywamy całką oznaczonąfunkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez

b∫a

f (x) dx .

Powyższa definicja pochodzi od Bernharda Riemanna.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Dla danego podziału ∆n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξi ,

xi−1 ¬ ξi ¬ xi

i tworzymy sumę

σn =n∑i=1

f (ξi )∆xi . (1)

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b]każdy ciąg sum (σn) dąży do granicy skończonej (niezależnej odwyboru punktów ξi ), to granicę tę nazywamy całką oznaczonąfunkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez

b∫a

f (x) dx .

Powyższa definicja pochodzi od Bernharda Riemanna.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Dla danego podziału ∆n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξi ,

xi−1 ¬ ξi ¬ xi

i tworzymy sumę

σn =n∑i=1

f (ξi )∆xi . (1)

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b]każdy ciąg sum (σn) dąży do granicy skończonej (niezależnej odwyboru punktów ξi ), to granicę tę nazywamy całką oznaczonąfunkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez

b∫a

f (x) dx .

Powyższa definicja pochodzi od Bernharda Riemanna.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Dla danego podziału ∆n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξi ,

xi−1 ¬ ξi ¬ xi

i tworzymy sumę

σn =n∑i=1

f (ξi )∆xi . (1)

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b]każdy ciąg sum (σn) dąży do granicy skończonej (niezależnej odwyboru punktów ξi ), to granicę tę nazywamy całką oznaczonąfunkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez

b∫a

f (x) dx .

Powyższa definicja pochodzi od Bernharda Riemanna.Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Bernhard Riemann (1826-1866)

Riemann sformułował wieleznakomitych twierdzeń,noszących obecnie jego nazwisko.Z funkcją dzeta Riemanna:

ζ(z) =∞∑n=1

1nz

=∏(

1− 1pz)−1

związana jest hipoteza Riemanna:wszystkie tzw. nietrywialne zera(nierzeczywiste) tej funkcji majączęść rzeczywistą równą 1

2 .

Film: Hipoteza Riemanna. Zagadka wszech czasów.http://www.filmydokumentalne.eu/hipoteza-riemanna-zagadka-wszech-czasow/

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Pojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆xi i wysokości f (ξi ).

Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox ,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartośćgraniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezukrzywoliniowego.Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b.Przyjmujemy ponadto, że

a∫a

f (x) dx = 0,

a∫b

f (x) dx = −b∫a

f (x) dx dla a < b.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Pojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆xi i wysokości f (ξi ).Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox ,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).

Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartośćgraniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezukrzywoliniowego.Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b.Przyjmujemy ponadto, że

a∫a

f (x) dx = 0,

a∫b

f (x) dx = −b∫a

f (x) dx dla a < b.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Pojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆xi i wysokości f (ξi ).Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox ,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartośćgraniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezukrzywoliniowego.

Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b.Przyjmujemy ponadto, że

a∫a

f (x) dx = 0,

a∫b

f (x) dx = −b∫a

f (x) dx dla a < b.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Pojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆xi i wysokości f (ξi ).Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox ,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartośćgraniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezukrzywoliniowego.Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b.Przyjmujemy ponadto, że

a∫a

f (x) dx = 0,

a∫b

f (x) dx = −b∫a

f (x) dx dla a < b.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład Obliczymy z definicji całkę1∫0x dx . W tym celu

rozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:

0 <1n<

2n< · · · < n

n= 1.

Punkty ξi wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:

ξi = xi−1 +1

2n=i − 1n

+1

2n=

2i − 12n

.

Wtedy

σn =n∑i=1

2i − 12n

1n

=1

2n2

n∑i=1

(2i − 1) =1

2n2 ·1 + (2n − 1)

2· n =

12.

Ciąg jest stały, więc1∫

0

x dx = limn→∞

σn =12.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład Obliczymy z definicji całkę1∫0x dx . W tym celu

rozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:

0 <1n<

2n< · · · < n

n= 1.

Punkty ξi wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:

ξi = xi−1 +1

2n=i − 1n

+1

2n=

2i − 12n

.

Wtedy

σn =n∑i=1

2i − 12n

1n

=1

2n2

n∑i=1

(2i − 1) =1

2n2 ·1 + (2n − 1)

2· n =

12.

Ciąg jest stały, więc1∫

0

x dx = limn→∞

σn =12.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład Obliczymy z definicji całkę1∫0x dx . W tym celu

rozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:

0 <1n<

2n< · · · < n

n= 1.

Punkty ξi wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:

ξi = xi−1 +1

2n=i − 1n

+1

2n=

2i − 12n

.

Wtedy

σn =n∑i=1

2i − 12n

1n

=1

2n2

n∑i=1

(2i − 1) =1

2n2 ·1 + (2n − 1)

2· n =

12.

Ciąg jest stały, więc1∫

0

x dx = limn→∞

σn =12.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład Obliczymy z definicji całkę1∫0x dx . W tym celu

rozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:

0 <1n<

2n< · · · < n

n= 1.

Punkty ξi wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:

ξi = xi−1 +1

2n=i − 1n

+1

2n=

2i − 12n

.

Wtedy

σn =n∑i=1

2i − 12n

1n

=1

2n2

n∑i=1

(2i − 1) =1

2n2 ·1 + (2n − 1)

2· n =

12.

Ciąg jest stały, więc1∫

0

x dx = limn→∞

σn =12.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Zauważmy, że dla innego wyboru liczb ξi , np. ξi = xi−1 = i−1n

otrzymamy

σn =n∑i=1

i − 1n

1n

=1n2

n∑i=1

(i − 1) =1n2 ·

0 + (n − 1)

2· n =

n − 12n

.

Tym razem ciąg nie jest stały, ale granica jest taka sama:

limn→∞n − 1

2n=

12.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Zauważmy, że dla innego wyboru liczb ξi , np. ξi = xi−1 = i−1n

otrzymamy

σn =n∑i=1

i − 1n

1n

=1n2

n∑i=1

(i − 1) =1n2 ·

0 + (n − 1)

2· n =

n − 12n

.

Tym razem ciąg nie jest stały, ale granica jest taka sama:

limn→∞n − 1

2n=

12.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Jeszcze inaczej: gdy ξi = xi = in , to otrzymamy

σn =n∑i=1

in

1n

=1n2

n∑i=1

i =1n2 ·

1 + n2· n =

n + 12n

.

I znowu granica jest taka sama:

limn→∞n + 1

2n=

12.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Jeszcze inaczej: gdy ξi = xi = in , to otrzymamy

σn =n∑i=1

in

1n

=1n2

n∑i=1

i =1n2 ·

1 + n2· n =

n + 12n

.

I znowu granica jest taka sama:

limn→∞n + 1

2n=

12.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (własności całki)

1

b∫acf (x) dx = c

b∫af (x) dx;

2

b∫a

(f (x)± g(x)) dx =b∫af (x) dx ±

b∫ag(x) dx;

3

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx +

b∫cf (x) dx dla a < c < b;

4 Jeżeli f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], tob∫af (x) dx ¬

b∫ag(x) dx.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (własności całki)

1

b∫acf (x) dx = c

b∫af (x) dx;

2

b∫a

(f (x)± g(x)) dx =b∫af (x) dx ±

b∫ag(x) dx;

3

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx +

b∫cf (x) dx dla a < c < b;

4 Jeżeli f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], tob∫af (x) dx ¬

b∫ag(x) dx.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (własności całki)

1

b∫acf (x) dx = c

b∫af (x) dx;

2

b∫a

(f (x)± g(x)) dx =b∫af (x) dx ±

b∫ag(x) dx;

3

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx +

b∫cf (x) dx dla a < c < b;

4 Jeżeli f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], tob∫af (x) dx ¬

b∫ag(x) dx.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (własności całki)

1

b∫acf (x) dx = c

b∫af (x) dx;

2

b∫a

(f (x)± g(x)) dx =b∫af (x) dx ±

b∫ag(x) dx;

3

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx +

b∫cf (x) dx dla a < c < b;

4 Jeżeli f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], tob∫af (x) dx ¬

b∫ag(x) dx.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o istnieniu całki)

Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego

rodzaju, to istnieje całka oznaczonab∫af (x) dx.

Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].

Wniosek

Funkcja ciągła na przedziale [a, b] jest całkowalna na [a, b].

Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbioremfunkcji. Niemniej te dwa pojęcia są blisko ze sobą związane.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o istnieniu całki)

Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego

rodzaju, to istnieje całka oznaczonab∫af (x) dx.

Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].

Wniosek

Funkcja ciągła na przedziale [a, b] jest całkowalna na [a, b].

Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbioremfunkcji. Niemniej te dwa pojęcia są blisko ze sobą związane.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o istnieniu całki)

Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego

rodzaju, to istnieje całka oznaczonab∫af (x) dx.

Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].

Wniosek

Funkcja ciągła na przedziale [a, b] jest całkowalna na [a, b].

Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbioremfunkcji. Niemniej te dwa pojęcia są blisko ze sobą związane.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o istnieniu całki)

Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego

rodzaju, to istnieje całka oznaczonab∫af (x) dx.

Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].

Wniosek

Funkcja ciągła na przedziale [a, b] jest całkowalna na [a, b].

Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbioremfunkcji. Niemniej te dwa pojęcia są blisko ze sobą związane.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całce ze zmienną górną granicą)

Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b]

istnieje całka oznaczonax∫af (t) dt.

Można więc określić funkcję

G (x) =

x∫a

f (t) dt.

Funkcja G (x) jest różniczkowalna na [a, b] i G ′(x) = f (x).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całce ze zmienną górną granicą)

Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b]

istnieje całka oznaczonax∫af (t) dt. Można więc określić funkcję

G (x) =

x∫a

f (t) dt.

Funkcja G (x) jest różniczkowalna na [a, b] i G ′(x) = f (x).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (o całce ze zmienną górną granicą)

Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b]

istnieje całka oznaczonax∫af (t) dt. Można więc określić funkcję

G (x) =

x∫a

f (t) dt.

Funkcja G (x) jest różniczkowalna na [a, b] i G ′(x) = f (x).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Nieformalny dowód twierdzenia

Chcemy wykazać, że dla dowolnego x ∈ [a, b] jest G ′(x) = f (x),tzn. że

limh→0

G (x + h)− G (x)h

= f (x).

Gdy f (x) ­ 0 na [a, b], to G (x) jest równe polu pod wykresemfunkcji f , od a do x . Zatem G (x + h)− G (x) jest równe polu podwykresem funkcji f , od x do x + h.Intuicyjnie jest zrozumiałe, że to pole jest równe polu prostokątao podstawie h i wysokości równej f (z) dla pewnego z ∈ [x , x + h].Wtedy iloraz G(x+h)−G(x)

h jest równy f (z).Gdy h→ 0, to z → x , a z ciągłości funkcji f wynika, żef (z)→ f (x). Tego właśnie chcieliśmy dowieść.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Nieformalny dowód twierdzenia

Chcemy wykazać, że dla dowolnego x ∈ [a, b] jest G ′(x) = f (x),tzn. że

limh→0

G (x + h)− G (x)h

= f (x).

Gdy f (x) ­ 0 na [a, b], to G (x) jest równe polu pod wykresemfunkcji f , od a do x . Zatem G (x + h)− G (x) jest równe polu podwykresem funkcji f , od x do x + h.

Intuicyjnie jest zrozumiałe, że to pole jest równe polu prostokątao podstawie h i wysokości równej f (z) dla pewnego z ∈ [x , x + h].Wtedy iloraz G(x+h)−G(x)

h jest równy f (z).Gdy h→ 0, to z → x , a z ciągłości funkcji f wynika, żef (z)→ f (x). Tego właśnie chcieliśmy dowieść.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Nieformalny dowód twierdzenia

Chcemy wykazać, że dla dowolnego x ∈ [a, b] jest G ′(x) = f (x),tzn. że

limh→0

G (x + h)− G (x)h

= f (x).

Gdy f (x) ­ 0 na [a, b], to G (x) jest równe polu pod wykresemfunkcji f , od a do x . Zatem G (x + h)− G (x) jest równe polu podwykresem funkcji f , od x do x + h.Intuicyjnie jest zrozumiałe, że to pole jest równe polu prostokątao podstawie h i wysokości równej f (z) dla pewnego z ∈ [x , x + h].Wtedy iloraz G(x+h)−G(x)

h jest równy f (z).

Gdy h→ 0, to z → x , a z ciągłości funkcji f wynika, żef (z)→ f (x). Tego właśnie chcieliśmy dowieść.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Nieformalny dowód twierdzenia

Chcemy wykazać, że dla dowolnego x ∈ [a, b] jest G ′(x) = f (x),tzn. że

limh→0

G (x + h)− G (x)h

= f (x).

Gdy f (x) ­ 0 na [a, b], to G (x) jest równe polu pod wykresemfunkcji f , od a do x . Zatem G (x + h)− G (x) jest równe polu podwykresem funkcji f , od x do x + h.Intuicyjnie jest zrozumiałe, że to pole jest równe polu prostokątao podstawie h i wysokości równej f (z) dla pewnego z ∈ [x , x + h].Wtedy iloraz G(x+h)−G(x)

h jest równy f (z).Gdy h→ 0, to z → x , a z ciągłości funkcji f wynika, żef (z)→ f (x). Tego właśnie chcieliśmy dowieść.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykład

Obliczyć F (x), gdy

f (x) = 1 + x dla x ∈ [0, 3]

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Twierdzenie (Newtona-Leibniza)

Jeżeli F (x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f (x) ciągłej na[a, b], to

b∫a

f (t) dt = F (b)− F (a).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Dowód

Niech G oznacza funkcję pierwotną zdefiniowaną wyżej, tj.

G (x) =x∫af (t) dt. Wtedy dla dowolnego x ∈ [a, b]

G (x)− F (x) = C .

Dla x = a jest G (a) = 0. Zatem C = −F (a), a więc

G (x)− F (x) = −F (a).

Jeśli teraz podstawimy x = b, to

b∫a

f (t) dt − F (b) = −F (a),

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Dowód

Niech G oznacza funkcję pierwotną zdefiniowaną wyżej, tj.

G (x) =x∫af (t) dt. Wtedy dla dowolnego x ∈ [a, b]

G (x)− F (x) = C .

Dla x = a jest G (a) = 0. Zatem C = −F (a), a więc

G (x)− F (x) = −F (a).

Jeśli teraz podstawimy x = b, to

b∫a

f (t) dt − F (b) = −F (a),

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Dowód

Niech G oznacza funkcję pierwotną zdefiniowaną wyżej, tj.

G (x) =x∫af (t) dt. Wtedy dla dowolnego x ∈ [a, b]

G (x)− F (x) = C .

Dla x = a jest G (a) = 0. Zatem C = −F (a), a więc

G (x)− F (x) = −F (a).

Jeśli teraz podstawimy x = b, to

b∫a

f (t) dt − F (b) = −F (a),

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Dowód

a zatemb∫a

f (t) dt = F (b)− F (a).

Zamiast F (b)− F (a) piszemy F (x)|ba lub [F (x)]ba .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykłady 1.8∫1

3√x dx ;

2.2∫1

(2x2 + 3x3 ) dx ;

3.π∫0

(2 sin x − 3 cos x) dx .

4.

√3∫

1

dx1+x2 .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie całek

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła na zbiorze wartości funkcji t = ϕ(x)ciągłej i mającej ciągłą pochodną w [α, β] oraz jeżeli ϕ(α) = a,ϕ(β) = b, to

β∫α

f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =

b∫a

f (t) dt.

Przykłady 1.9∫4

dx√x−1 ;

2.1∫0

dxex+e−x ;

3.π/2∫0

cos2 x sin x dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie całek

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła na zbiorze wartości funkcji t = ϕ(x)ciągłej i mającej ciągłą pochodną w [α, β] oraz jeżeli ϕ(α) = a,ϕ(β) = b, to

β∫α

f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =

b∫a

f (t) dt.

Przykłady 1.9∫4

dx√x−1 ;

2.1∫0

dxex+e−x ;

3.π/2∫0

cos2 x sin x dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie całek

Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w przedziale [a, b] ciągłe pochodne,to

b∫a

u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)|ba −b∫a

v(x)u′(x) dx .

Przykłady 1.2∫1

ln x dx ;

2.1∫0xex dx ;

3.π∫−πx sin x dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie całek

Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w przedziale [a, b] ciągłe pochodne,to

b∫a

u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)|ba −b∫a

v(x)u′(x) dx .

Przykłady 1.2∫1

ln x dx ;

2.1∫0xex dx ;

3.π∫−πx sin x dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie pól

Pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego od dołu osią Ox , odgóry wykresem funkcji f (x) ­ 0, a z boków odcinkami prostychx = a, x = b wynosi:

P =

b∫a

f (x) dx .

Jeżeli f (x) ­ 0g(x) dla x ∈ [a, b] oraz obszar jest ograniczony oddołu wykresem funkcji g(x), od góry wykresem funkcji f (x), a zboków odcinkami prostych x = a, x = b, to wzór na pole ulegamodyfikacji i ma postać:

P =

b∫a

(f (x)− g(x)) dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie pól

Pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego od dołu osią Ox , odgóry wykresem funkcji f (x) ­ 0, a z boków odcinkami prostychx = a, x = b wynosi:

P =

b∫a

f (x) dx .

Jeżeli f (x) ­ 0g(x) dla x ∈ [a, b] oraz obszar jest ograniczony oddołu wykresem funkcji g(x), od góry wykresem funkcji f (x), a zboków odcinkami prostych x = a, x = b, to wzór na pole ulegamodyfikacji i ma postać:

P =

b∫a

(f (x)− g(x)) dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie pól

Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:1. xy = 1, y = 0, x = 1

10 , x = 10.2. y2 = 4x + 4, y = 2− x .3. x

2

a2 + y2

b2 = 1 (elipsa).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie pól

Jeżeli funkcja ograniczająca z góry ma równania parametrycznex = x(t), y = y(t), gdzie α ¬ t ¬ β, oraz– x(t) jest rosnąca i ma ciągłą pochodną na [α, β]– y(t) jest ciągła i nieujemna na [α, β]– x(α) = a, y(β) = bto:

P =

β∫α

y(t)x ′(t) dt.

Jeżeli x(t) jest malejąca (pozostałe założenia jak wyżej), to

P =

β∫α

y(t)|x ′(t)| dt.

Przykład x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π, y = 0(łuk cykloidy).

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie pól

Jeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszarokreślony nierównościami:

α ¬ ϕ ¬ β, 0 ¬ ρ ¬ ρ(ϕ),

gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (taki obszar nazywamy trójkątemkrzywoliniowym), to jego pole obliczamy stosując wzór

P =12

β∫α

ρ2(ϕ) dϕ

Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:1. ρ = 2ϕ dla 0 < ϕ < π

2 ;2. ρ = a

√cos 2ϕ, gdzie a > 0 (lemniskata Bernoullego)

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie pól

Jeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszarokreślony nierównościami:

α ¬ ϕ ¬ β, 0 ¬ ρ ¬ ρ(ϕ),

gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (taki obszar nazywamy trójkątemkrzywoliniowym), to jego pole obliczamy stosując wzór

P =12

β∫α

ρ2(ϕ) dϕ

Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:1. ρ = 2ϕ dla 0 < ϕ < π

2 ;2. ρ = a

√cos 2ϕ, gdzie a > 0 (lemniskata Bernoullego)

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Obliczanie pól

Jeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszarokreślony nierównościami:

α ¬ ϕ ¬ β, 0 ¬ ρ ¬ ρ(ϕ),

gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (taki obszar nazywamy trójkątemkrzywoliniowym), to jego pole obliczamy stosując wzór

P =12

β∫α

ρ2(ϕ) dϕ

Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:1. ρ = 2ϕ dla 0 < ϕ < π

2 ;2. ρ = a

√cos 2ϕ, gdzie a > 0 (lemniskata Bernoullego)

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Długość łuku

Jeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f (x) dlaa ¬ x ¬ b, to stosujemy wzór

l =

b∫a

√1 + f ′(x)2 dx .

Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. f (x) = 1− ln cos x , 0 ¬ x ¬ π

4 ;2. x2/3 + y2/3 = a2/3, gdzie a > 0 (asteroida). Uwaga: sprawdzićnajpierw, że

1 + (y ′)2 = a2/3x−2/3.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Długość łuku

Jeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f (x) dlaa ¬ x ¬ b, to stosujemy wzór

l =

b∫a

√1 + f ′(x)2 dx .

Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. f (x) = 1− ln cos x , 0 ¬ x ¬ π

4 ;2. x2/3 + y2/3 = a2/3, gdzie a > 0 (asteroida). Uwaga: sprawdzićnajpierw, że

1 + (y ′)2 = a2/3x−2/3.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Długość łuku

Jeżeli krzywa jest określona parametrycznie: x = x(t), y = y(t)dla α ¬ t ¬ β, to wzór jest inny:

l =

β∫α

√(x ′(t))2 + (y ′(t))2 dt.

Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π (łuk cykloidy).2. x = et sin t, y = et cos t, 0 ¬ t ¬ π

2

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Długość łuku

Jeżeli krzywa jest określona parametrycznie: x = x(t), y = y(t)dla α ¬ t ¬ β, to wzór jest inny:

l =

β∫α

√(x ′(t))2 + (y ′(t))2 dt.

Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π (łuk cykloidy).2. x = et sin t, y = et cos t, 0 ¬ t ¬ π

2

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Długość łuku

W biegunowym układzie współrzędnych, dla krzywej ρ = ρ(ϕ),α ¬ ϕ ¬ β:

l =

β∫α

√(ρ(ϕ))2 + (ρ′(ϕ))2 dϕ.

Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. ρ = a sin3 ϕ

3 , ϕ ∈ [0, 3π];2. ρ = 2a sinϕ, a > 0, ϕ ∈ [0, π].

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Długość łuku

W biegunowym układzie współrzędnych, dla krzywej ρ = ρ(ϕ),α ¬ ϕ ¬ β:

l =

β∫α

√(ρ(ϕ))2 + (ρ′(ϕ))2 dϕ.

Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. ρ = a sin3 ϕ

3 , ϕ ∈ [0, 3π];2. ρ = 2a sinϕ, a > 0, ϕ ∈ [0, π].

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Objętość i pole powierzchni brył obrotowych

W układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x),a ¬ x ¬ b, i obracamy ją dokoła osi Ox . Krzywa zakreśla wtedypowierzchnię.

Po ”zamknięciu” tej powierzchni płaszczyznami x = a i x = botrzymujemy bryłę, której objętość wynosi:

V = π

b∫a

f 2(x) dx ,

a pole powierzchni bocznej

S = 2π

b∫a

f (x)√

1 + (f ′(x))2 dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Objętość i pole powierzchni brył obrotowych

W układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x),a ¬ x ¬ b, i obracamy ją dokoła osi Ox . Krzywa zakreśla wtedypowierzchnię.Po ”zamknięciu” tej powierzchni płaszczyznami x = a i x = botrzymujemy bryłę, której objętość wynosi:

V = π

b∫a

f 2(x) dx ,

a pole powierzchni bocznej

S = 2π

b∫a

f (x)√

1 + (f ′(x))2 dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Objętość i pole powierzchni brył obrotowych

W układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x),a ¬ x ¬ b, i obracamy ją dokoła osi Ox . Krzywa zakreśla wtedypowierzchnię.Po ”zamknięciu” tej powierzchni płaszczyznami x = a i x = botrzymujemy bryłę, której objętość wynosi:

V = π

b∫a

f 2(x) dx ,

a pole powierzchni bocznej

S = 2π

b∫a

f (x)√

1 + (f ′(x))2 dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Objętość i pole powierzchni brył obrotowych

W przypadku równań parametrycznych x = x(t), y = y(t) dlaα ¬ t ¬ β, odpowiednie wzory to:

V = π

β∫α

y2(t)|x ′(t)| dt,

S = 2π

β∫α

|y(t)|√

(x ′(t))2 + (y ′(t))2 dt.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Objętość i pole powierzchni brył obrotowych

W przypadku równań parametrycznych x = x(t), y = y(t) dlaα ¬ t ¬ β, odpowiednie wzory to:

V = π

β∫α

y2(t)|x ′(t)| dt,

S = 2π

β∫α

|y(t)|√

(x ′(t))2 + (y ′(t))2 dt.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Objętość i pole powierzchni brył obrotowych

Przykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsy

x2

a2+y2

b2 = 1

dokoła osi odciętych.

2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidy

x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π

dokoła osi odciętych.3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywejy = sin x , 0 ¬ x ¬ π. Wsk.: zastosować wzór:∫ √

x2 + a dx =a2

ln |x +√x2 + a|+ x

2

√x2 + a+ C

4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos3 t,y = a sin3 t, a > 0 dokoła osi Ox .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Objętość i pole powierzchni brył obrotowych

Przykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsy

x2

a2+y2

b2 = 1

dokoła osi odciętych.2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidy

x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π

dokoła osi odciętych.

3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywejy = sin x , 0 ¬ x ¬ π. Wsk.: zastosować wzór:∫ √

x2 + a dx =a2

ln |x +√x2 + a|+ x

2

√x2 + a+ C

4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos3 t,y = a sin3 t, a > 0 dokoła osi Ox .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Objętość i pole powierzchni brył obrotowych

Przykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsy

x2

a2+y2

b2 = 1

dokoła osi odciętych.2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidy

x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π

dokoła osi odciętych.3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywejy = sin x , 0 ¬ x ¬ π. Wsk.: zastosować wzór:∫ √

x2 + a dx =a2

ln |x +√x2 + a|+ x

2

√x2 + a+ C

4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos3 t,y = a sin3 t, a > 0 dokoła osi Ox .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Objętość i pole powierzchni brył obrotowych

Przykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsy

x2

a2+y2

b2 = 1

dokoła osi odciętych.2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidy

x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π

dokoła osi odciętych.3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywejy = sin x , 0 ¬ x ¬ π. Wsk.: zastosować wzór:∫ √

x2 + a dx =a2

ln |x +√x2 + a|+ x

2

√x2 + a+ C

4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos3 t,y = a sin3 t, a > 0 dokoła osi Ox .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Droga

Jeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t1, t2] wynosi

s =

t2∫t1

v(t) dt.

Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t2 msek . Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?Odp. Mamy

s =

10∫0

0, 6t2 dt = 200m.

Prędkość średnia: v0 = 20010 = 20 m

sek .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Droga

Jeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t1, t2] wynosi

s =

t2∫t1

v(t) dt.

Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t2 msek . Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?

Odp. Mamy

s =

10∫0

0, 6t2 dt = 200m.

Prędkość średnia: v0 = 20010 = 20 m

sek .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Droga

Jeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t1, t2] wynosi

s =

t2∫t1

v(t) dt.

Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t2 msek . Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?Odp. Mamy

s =

10∫0

0, 6t2 dt = 200m.

Prędkość średnia: v0 = 20010 = 20 m

sek .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Droga

Jeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t1, t2] wynosi

s =

t2∫t1

v(t) dt.

Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t2 msek . Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?Odp. Mamy

s =

10∫0

0, 6t2 dt = 200m.

Prędkość średnia: v0 = 20010 = 20 m

sek .Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Praca

Jeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox , to praca tejsiły na przedziale [x1, x2] wynosi

W =

x2∫x1

f (x) dx .

Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?Odp. Zgodnie z prawem Hooke’a F = kx dla pewnej stałej k .Podstawiając F = 1[N] i x = 0, 01[m] otrzymujemy k = 100.Zatem F = 100x oraz

W =

0,06∫0

100x dx = 0, 18 J.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Praca

Jeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox , to praca tejsiły na przedziale [x1, x2] wynosi

W =

x2∫x1

f (x) dx .

Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?

Odp. Zgodnie z prawem Hooke’a F = kx dla pewnej stałej k .Podstawiając F = 1[N] i x = 0, 01[m] otrzymujemy k = 100.Zatem F = 100x oraz

W =

0,06∫0

100x dx = 0, 18 J.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Praca

Jeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox , to praca tejsiły na przedziale [x1, x2] wynosi

W =

x2∫x1

f (x) dx .

Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?Odp. Zgodnie z prawem Hooke’a F = kx dla pewnej stałej k .Podstawiając F = 1[N] i x = 0, 01[m] otrzymujemy k = 100.

Zatem F = 100x oraz

W =

0,06∫0

100x dx = 0, 18 J.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Praca

Jeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox , to praca tejsiły na przedziale [x1, x2] wynosi

W =

x2∫x1

f (x) dx .

Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?Odp. Zgodnie z prawem Hooke’a F = kx dla pewnej stałej k .Podstawiając F = 1[N] i x = 0, 01[m] otrzymujemy k = 100.Zatem F = 100x oraz

W =

0,06∫0

100x dx = 0, 18 J.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona wotoczeniu punktu a, to określamy całkę niewłaściwą pierwszegorodzaju:

b∫a

f (x) dx = limε→0

b∫a+ε

f (x) dx .

Analogicznie określamy całkę z niewłaściwością w granicy górnej:

b∫a

f (x) dx = limε→0

b−ε∫a

f (x) dx .

Jeżeli powyższe granice istnieją i są skończone, to całki nazywamyzbieżnymi; w przeciwnym przypadku (tj. gdy granice nie istniejąlub są niewłaściwe) całki nazywamy rozbieżnymi.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona wotoczeniu punktu a, to określamy całkę niewłaściwą pierwszegorodzaju:

b∫a

f (x) dx = limε→0

b∫a+ε

f (x) dx .

Analogicznie określamy całkę z niewłaściwością w granicy górnej:

b∫a

f (x) dx = limε→0

b−ε∫a

f (x) dx .

Jeżeli powyższe granice istnieją i są skończone, to całki nazywamyzbieżnymi; w przeciwnym przypadku (tj. gdy granice nie istniejąlub są niewłaściwe) całki nazywamy rozbieżnymi.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona wotoczeniu punktu a, to określamy całkę niewłaściwą pierwszegorodzaju:

b∫a

f (x) dx = limε→0

b∫a+ε

f (x) dx .

Analogicznie określamy całkę z niewłaściwością w granicy górnej:

b∫a

f (x) dx = limε→0

b−ε∫a

f (x) dx .

Jeżeli powyższe granice istnieją i są skończone, to całki nazywamyzbieżnymi; w przeciwnym przypadku (tj. gdy granice nie istniejąlub są niewłaściwe) całki nazywamy rozbieżnymi.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykłady 1.1∫0

1√x dx = 2;

2.2∫1

dxx√

ln x= 2√

ln 2;

3.1∫0

dx(x−1)2 (rozbieżna).

Czasem wystarcza informacja, czy całka jest zbieżna, czy nie.Można wtedy zastosować kryterium porównawcze:

Jeżeli f (x) ¬ g(x) w (a, b) i całkab∫ag(x) dx jest zbieżna, to

b∫af (x) dx też jest zbieżna.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykłady 1.1∫0

1√x dx = 2;

2.2∫1

dxx√

ln x= 2√

ln 2;

3.1∫0

dx(x−1)2 (rozbieżna).

Czasem wystarcza informacja, czy całka jest zbieżna, czy nie.Można wtedy zastosować kryterium porównawcze:

Jeżeli f (x) ¬ g(x) w (a, b) i całkab∫ag(x) dx jest zbieżna, to

b∫af (x) dx też jest zbieżna.

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki poprzedziale nieograniczonym:

b∫−∞

f (x) dx = lima→−∞

b∫a

f (x) dx ,

∞∫a

f (x) dx = limb→∞

b∫a

f (x) dx ,

∞∫−∞

f (x) dx = lima→−∞

c∫a

f (x) dx + limb→∞

b∫c

f (x) dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki poprzedziale nieograniczonym:

b∫−∞

f (x) dx = lima→−∞

b∫a

f (x) dx ,

∞∫a

f (x) dx = limb→∞

b∫a

f (x) dx ,

∞∫−∞

f (x) dx = lima→−∞

c∫a

f (x) dx + limb→∞

b∫c

f (x) dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Całkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki poprzedziale nieograniczonym:

b∫−∞

f (x) dx = lima→−∞

b∫a

f (x) dx ,

∞∫a

f (x) dx = limb→∞

b∫a

f (x) dx ,

∞∫−∞

f (x) dx = lima→−∞

c∫a

f (x) dx + limb→∞

b∫c

f (x) dx .

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczona

Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe

Przykłady 1.∞∫0e−x dx = 1;

2.∞∫1

dxx2+x = ln 2;

3.0∫−∞

sin x dx (rozbieżna).

4.∞∫−∞

dxx2+2x+2

Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone