Przykład zbioru zadań www.TaskBook.pl

Wzory dla całek

L.p. Całka Funkcja pierwotna1

∫0 dx C

2∫

dx x+ C3

∫x dx 1

2x2 + C

4∫xn dx 1

n+1xn+1 + C, n 6= −1

5∫ 1x

dx ln |x|+ C6

∫c · f(x) dx c ·

∫f(x) dx+ C

7∫

sin(x) dx − cos(x) + C8

∫cos(x) dx sin(x) + C

9∫

tg(x) dx − ln | cos(x)|+ C10

∫ctg(x) dx ln | sin(x)|+ C

11∫ 1cos2(x) dx tg(x) + C

12∫ 1sin2(x) dx − ctg(x) + C

13∫ex dx ex + C

14∫ax dx ax

ln a + C, a > 015

∫ 1x2+a2 dx 1

aarctg

(xa

)+ C

16∫ 1x2−a2 dx 1

2·a ln∣∣∣x−ax+a

∣∣∣+ C17

∫ 1√a2−x2 dx arcsin

(xa

)+ C

18∫ 1√x2+a

dx ln |x+√x2 + a|+ C

19∫

[f(x) + g(x)] dx∫f(x) dx+

∫g(x) dx+ C

20∫ea·x dx 1

aeax + C

21∫

sin(a · x) dx − 1a

cos(x) + C22

∫cos(a · x) dx 1

asin(x) + C

c© Wydawnictwo TaskBook 1

Przykład zbioru zadań www.TaskBook.pl

W serwisie www.TaskBook.pl możesz wybrać zadania, które Cię interesują. Jeżeli masz szcze-gólny problem z zadaniem, nie potrafisz zrozumieć jak je rozwiązać, możesz je wybrać kilkarazy.Poniżej zobaczysz trzy typy zadań. Każde z nich zostało wygenerowane przez specjalny algorytmpo dwa razy.Gwarantujemy, że będziesz zadowolony. Jeżeli nie będziesz, możesz odesłać e-booka.Zapraszamy na stronę www.TaskBook.pl

Zadania

Zad. 1. [923486] Wyznaczyć całkę∫

(e8y − 9)2 dy.Roz. Podnosimy do potęgi formułę podcałkową∫ (

e8y − 9)2

dy =∫ (e16y − 18e8y + 81

)dy =

116e16y − 9

4e8y + 81y + C.

Zad. 2. [923486] Wyznaczyć∫

(e3y − 7)2 dy.Roz. Upraszczamy formułę podcałkową∫ (

e3y − 7)2

dy =∫ (e6y − 14e3y + 49

)dy =

16e6y − 14

3e3y + 49y + C.

Zad. 3. [342913] Policzyć całkę∫ 10 7tdt.

Roz. Wykorzystamy wzory ∫tndt =

1n+ 1

tn+1 + C

i ∫mf(t)dt = m

∫f(t)dt.

Otrzymujemy

I =∫ 10

7tdt = 7(1

2t2)|10 =

72t2|10 =

72

(12 − 02) = 312.

Zad. 4. [342913] Policzyć całkę∫ 1−2 14z4dz.

Roz. Posłużymy się dwoma wzorami∫zndz =

1n+ 1

zn+1 + C

i ∫mf(z)dz = m

∫f(z)dz.

Dostajemy

I =∫ 1−2

14z4dz = 14(1

5z5)|1−2 =

145z5|1−2 =

145

(15 − (−2)5) = 9225.

Zad. 5. [630209] Obliczyć całkę∫

(2e5x + 1)2dx.Roz. Obliczamy∫

(2e5x + 1)2dx =∫

(4e10x + 4e5x + 1)dx = 4∫e10xdx︸ ︷︷ ︸I1

+4∫e5xdx︸ ︷︷ ︸I2

+∫

1dx︸ ︷︷ ︸I3

,

c© Wydawnictwo TaskBook 2

Przykład zbioru zadań www.TaskBook.pl

W celu wyznaczenia I1 i I2 użyjemy metody podstawiania. W naszym przypadku mamy

I1 =∫e10xdx =

∣∣∣∣∣∣∣t = 10x

dt = 10dxdx = 1

10dt

∣∣∣∣∣∣∣ =110

∫etdt.

Ponieważ∫etdt = et + C dostajemy

I1 =110et + C1 =

110e10x + C1.

Analogicznie dostajemy

I2 =∫e5xdx =

∣∣∣∣∣∣∣y = 5x

dy = 5dxdx = 1

5dy

∣∣∣∣∣∣∣ =15

∫eydy.

Stosując wzór∫eydy = ey + C mamy

I2 =15ey + C2 =

15e5x + C2.

Ostatnia całka I3 jest równaI3 = x+ C3.

Ostatecznie dostajemy ∫(2e5x + 1)2dx =

25e10x +

45e5x + x+ C.

Zad. 6. [630209] Policzyć całkę∫

(−3e2y + 3)2dy.Roz. Liczymy∫

(−3e2y + 3)2dy =∫

(9e4y − 18e2y + 9)dy = 9∫e4ydy︸ ︷︷ ︸I1

−18∫e2ydy︸ ︷︷ ︸I2

+∫

9dy︸ ︷︷ ︸I3

,

Żeby wyznaczyć I1 i I2 użyjemy metody podstawiania. Dostajemy

I1 =∫e4ydy =

∣∣∣∣∣∣∣x = 4y

dx = 4dydy = 1

4dx

∣∣∣∣∣∣∣ =14

∫exdx.

Wykorzystując wzór∫exdx = ex + C mamy

I1 =14ex + C1 =

14e4y + C1.

Postępując podobnie dostajemy

I2 =∫e2ydy =

∣∣∣∣∣∣∣t = 2y

dt = 2dydy = 1

2dt

∣∣∣∣∣∣∣ =12

∫etdt.

Wykorzystując wzór∫etdt = et + C mamy

I2 =12et + C2 =

12e2y + C2.

Ostatnia całka I3 wynosiI3 = 9y + C3.

Ostatecznie dostajemy ∫(−3e2y + 3)2dy =

94e4y − 9e2y + 9y + C.

c© Wydawnictwo TaskBook 3

CZY CHODZIŁEŚ NA WYKŁADY?

CZY ROBIŁEŚ NOTATKI?

CZY SZUKAŁES DODATKOWYCHINFORMACJI W INTERNECIE?

CZY SZUKAŁES DODATKOWYCHINFORMACJI W BIBLIOTECE?

POSZUKAJ INFORMACJI NA....SPRAWDŹ SWOJĄ WIEDZĘ NA....

CZY WSZYSTKO ROZUMIESZ?

CZY POŻYCZYŁES NOTATKI?

WSZYSTKIE DROGI PROWADZĄ DO TASKBOOKwww.taskbook.pl

TAK

TAK

NIE

NIE

TAKNIE

TAK NIE

TAK NIE

TAK NIE