1

Wzory ułatwiające obliczenia

ANA

ix

x

)(Nix

x

A – dowolna liczba

Obliczenie średniej arytmetycznej dla liczb:

55,5 57,5 58,5 59,5 61,5 (N=5)

2

Wzory ułatwiające obliczenia

Nix

x

Obliczenie średniej arytmetycznej dla liczb:

55,5 57,5 58,5 59,5 61,5 (N=5)

Poprzednio:

5,585292

55.615.595.585.575.55 x

3

Oblizenie

A – dowolna liczba

Obliczenie średniej arytmetycznej dla liczb:

55,5 57,5 58,5 59,5 61,5 (N=5)

Od każdej liczby odejmujemy A=57,5 i otrzymujemy ciąg:

55,5 - 57,5 = -2

57,5 - 57,5 = 0

58,5 - 57,5 = ?

59,5 - 57,5 = ?

61,5 - 57,5 = ?

ANA

ix

x

)(

4

Oblizenie

?5.575

42102 x

A – dowolna liczba

Obliczenie średniej arytmetycznej dla liczb:

55,5 57,5 58,5 59,5 61,5 (N=5)

Od każdej liczby odejmujemy A=57,5 i otrzymujemy ciąg:

55,5 - 57,5 = -2

57,5 - 57,5 = 0

58,5 - 57,5 = 1

59,5 - 57,5 = 2

61,5 - 57,5 = 4

ANA

ix

x

)(

5

Oblizenie

5.585.575.5755

542102 x

A – dowolna liczba

Obliczenie średniej arytmetycznej dla liczb:

55,5 57,5 58,5 59,5 61,5 (N=5)

Od każdej liczby odejmujemy A=57,5 i otrzymujemy ciąg:

55,5 - 57,5 = -2

57,5 - 57,5 = 0

58,5 - 57,5 = 1

59,5 - 57,5 = 2

61,5 - 57,5 = 4

ANA

ix

x

)(

6

Wariancja

Nx

ix

s

2)(2

2)(2)(2 Ax

NA

ix

s

A – dowolna liczba

7

Obliczanie wariancji

2)5.575.58(25

4210)2( 22222 s

Obliczenie wariancji dla liczb:

55,5 57,5 58,5 59,5 61,5 (N=5)

Poprzednio dla liczby A = 57,5 otrzymaliśmy różnice:

-2 0 1 2 4 oraz średnią 58,5Obliczamy wariancję:

8

Obliczanie wariancji

2)5.575.58(25

4210)2( 22222 s

Obliczenie wariancji dla liczb:

55,5 57,5 58,5 59,5 61,5 (N=5)

Poprzednio dla liczby A = 57,5 otrzymaliśmy różnice:

-2 0 1 2 4 oraz średnią 58,5Obliczamy wariancję:

415112525

5164104 s

9

Obliczanie wariancji dla A=0

222 xxs

2)(2)(2 Ax

NA

ix

s

Czyli

od średniej kwadratów odjąć kwadrat średniej

10

Przykład

Obliczyć wariancję dla szeregu

5, 7, 8, 9, 11średnia dla tego szeregu wynosi X=8

S2 =(52+72+82+92+112)/5 – 82

S2 = (25+49+64+81+121)/5 – 64

S2 = 340/5 – 64 = 68 – 64 = 4

11

Średnia ważona

50 55 60 (n = 3) Suma = 165 , średnia X =165/3 = 55

55 60 62 65 68 (n = 5)Suma = 310, średnia X = 310/5 = 62

55 60 65 66 67 68 68 69 70 72 (n=10)Suma = 660, średnia X = 660/10 = 66

Liczebność całej populacji N= 3+ 5 + 10 = 18Średnia całej populacji:

50 55 60 55 60 62 65 68 55 60 65 66 67 68 68 69 70 72 Suma = 1135, średnia X = 1135/18 = 63,06

12

Obliczanie średniej ważonej

inixnx

Obliczenie nieprawidłoweX=(55+62+66)/3 = 183/3 = 61

Obliczenie prawidłoweX=(3*55+5*62+10*66)/(3+5+10)X=1135/18 = 63,06

13

Zdarzenie losowe

Zdarzeniem losowym nazywamy

zdarzenie, które może się zrealizować lub nie, a którego wyniku nie można przewidzieć, można jednak podać prawdopodobieństwo jego realizacji (sukcesu lub porażki).

14

Prawdopodobieństwo

klasyczna definicja prawdopodobieństwa określa je jako:

stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do możliwych

15

Rzuty kostką do gryKostka do gry ma 6 ścianek oznaczonych oczkami

od 1 do 6. Prawdopodobieństwo wyrzucenia określonej liczby

oczek wynosi 1/6

Rzut kostką:P(x = 1) p = 1/6 = 0,17P(x = 2) p = 1/6 = 0,17P(x=3 lub x=4) p = 2/6 = 0,34

P(x=1 lub x=2 lub x=3 lub x=4 lub x=5 lub x=6) p = 6/6 = 1P(x=7) p = 0/6 = 0

16

Prawdopodobieństwo jest liczbą zawartą

w granicach 0 - 1

Prawdopodobieństw między tymi liczbami oznacza, że liczba zdarzeń sprzyjających w dużej próbie będzie proporcjonalna do prawdopodobieństwa wystąpienia tego zdarzenia .

17

Przykład

Prawdopodobieństwo wyrzucenia „piątki” wynosi 1/6. Oczekujemy, że na 120 rzutów „piątek” będzie:

120*1/6 = 20Tę liczbę (20) nazywamy liczebnością

oczekiwaną albo teoretyczną, ponieważ obliczyliśmy ją na drodze teoretycznej zakładając, że prawdopodobieństwo otrzymania danej liczby oczek jest znane i wynosi 1/6.

Jeśli rzeczywiście rzucimy kostką 120 razy i policzymy "piątki" - będzie to tzw. liczebność doświadczalna.

18

Rzuty monetą

Przy rzucie monetą mamy dwie możliwości wyniku „orzeł” lub „reszka”

Prawdopodobieństwo wyrzucenia „orła” wynosi ½. Prawdopodobieństwo wyrzuceni dwóch kolejnych „orłów” wyniesie ½*½ = ¼ itd. Np.

1 reszka p = ½2 reszki p = ½• ½ = (1/2)2 =1/43 reszki p = ½•½•½ = (1/2)3 =1/164 reszki p =(1/2)4 = 1/32 itd.n reszek p =(1/2)n

19

Prawdopodobieństwo spotkania

Kobiet i mężczyzn jest mniej więcej tyle samo. Prawdopodobieństwo spotkania mężczyzny wynosi ½.

Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania 100 mężczyzn idących razem?

P = (1/2)100 = 7,9•10-31 = 0,000.....na 31 miejscu........ 79

20

Prawdopodobieństwo określonej liczby sukcesów

Jakie jest prawdopodobieństwo przy rzucie trzema monetami

a) 3 „orłów”

b) 2 „orłów”

c) 1 „orła”

d) 0 „orłów”

21

Rozkład dwumianowy(Bernouliego)

O R

O R O R

O R O R O R O R

3 2 2 1 2 1 1 0

(Liczba wyrzuconych orłów)

22

Trzy rzutyPrzy trzech rzutach jest 8 możliwości:

3 „orły” 1 raz (1 na 8 możliwości)

P(x =3) = 1/8 = 0,125

2 „orły” 3 razy (3 na 8 możliwości)

P(x =2) = 3/8 = 0,375

1 „orzeł” 3 razy (3 na 8 możliwości)

P(x =1) = 3/8 = 0,3750 „orłów” 1 raz (1 na 8 możliwości)

P(x =3) = 1/8 = 0,125

1/8+3/8+3/8+1/8 = 8/8 = 1

23

Przykład obliczeńJaka będzie oczekiwana liczebność

wyrzucenia 3, 2, 1, 0 „orłów” przy trzykrotnym rzucie monetą (lub jednokrotnym trzema monetami) w grupie liczącej 60 osób?

Liczebności oczekiwane:

3 „orły” : 60*0,125 = 7,5 (7-8 osób)

2 „orły”: 60*0,365 = 22,5 (22-23 osoby)

1 „orzeł” 60*0,375 = 22,5 (22-23 osoby)

0 „orłów” 60*0,125 = 7,5 (7-8 osób)