Download - Całki

PADER collection

MATEMATYKA – Semestr II - Całki dr Stanisław Kiełtyka

- 1 -

CAŁKI CAŁKA NIEOZNACZONA

• CAŁKOWANIE PRZEZ CZEŚCI • CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE • CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH • CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH • CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOM.

CAŁKA OZNACZONA

• NIEKTÓRE WŁASNOŚCI • GŁÓWNE TW. RACHUNKU CAŁKOWEGO • CAŁKI NIEWŁAŚCIWE PIERWSZEGO RODZAJU • CAŁKI NIEWŁAŚCIWE DRUGIEGO RODZAJU • POLE FIGURY PŁASKIEJ • DŁUGOŚĆ ŁUKU

PADER collection


- 2 -

CAŁKA NIEOZNACZONA

Niech funkcja f(x) określona będzie w przedziale X. Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X, jeżeli dla każdego x∈X spełniony jest warunek

F’(x) = f(x) X = [a,b] X = (a,b) X = (1,∞) X = (-∞,2) X = (-∞,∞)

Np. f(x) = 2x + 1 X = ( -∞,+∞ ) f(x) = √x X = [ 0,+ ∞) f(x) = x2 + x X = ( -∞,+∞)

Funkcję f(x) mającą w danym przedziale funkcję pierwotną nazywamy całkowalną (w sensie Newtona) w tym przedziale. Wyznaczenie funkcji pierwotnych danej funkcji f(x) nazywamy całkowaniem funkcji f(x). Odpowiedz na pytanie: Jakie funkcje posiadają funkcje pierwotne – tj. są całkowalne ? Daje twierdzenie: Tw: Każda funkcja ciągła w przedziale X ma w ym przedziale funkcję pierwotną.

Tw: (Główne o funkcjach pierwotnych) Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X to:

• funkcja ø(x) = F(x) + C gdzie: C – dowolna stała jest także funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X

• każdą funkcję pierwotną ø(x) funkcji f(x) w przedziale X można przedstawić w postaci sumy F(x) + Co gdzie: Co – jest stosownie do Ø(x) i F(x) dobraną stałą.

PADER collection


- 3 -

DOWÓD: (1) ø’(x) = [F(x) + C]’ = F’(x) = f(x)

dla każdego x z przedziału X tzn. ø(x) jest funkcją pierwotną f(x).

(2) Jeżeli ø(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X, to funkcja h(x) = ø(x) – F(x)

ma w tym przedziale pochodną h’(x) = 0 Stąd: ø(x) – F(x) = Co

gdzie: Co – oznacza różnicę ø(xo) – F(xo) w dowolnym pkt. xo Є X Wniosek: Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X to suma F(x) + C gdzie: C – dowolna stała przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) w przedziale X i tylko tę funkcję. Def: (CAŁKI NIEOZNACZONEJ) Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) w przedziale X oznaczamy symbolem

∫ f(x)dx

) , (0 X 1 x

1 f(x)

) , (0 X x

sinx f(x)

) , (0 X xe f(x)

2

x

∞+=+

=

∞+==

∞+==

PADER collection


- 4 -

TWIERDZENIE: Pochodna z całki równa jest funkcji podcałkowej

∫

∫∫

+=+

+=

=

12x 1)dx)'(2x(

.

C f(x) (x)dx f'

f(x) dx)'f(x)(

np

PODSTAWOWE WZORY

(1) ∫ =C 0dx

(2) ∫

=+

≠++

=-1α dla Cxln

-1α dla 1α1x

dx x

α

α

Cxlndxx1dxx

C1

xdxxdxx

C4xdxx

np.

1-

31

131

3

43

31

+==

++

==

+=

∫ ∫

∫∫

∫+

(3) 1a 0,a Clnaa dx a

xx ≠>+=∫

(4) Ce dx e xx +=∫

(5) Ccosx- sinxdx +=∫

PADER collection


- 5 -

(6) Csinx cosxdx +=∫

(7) Cctgx- dx xsin

12 +=∫

(8) C tgxdx xcos

12 +=∫

(9) Carctgx dx 2x11 +=∫ +

(10) Carcsinx dx 2x11 +=∫ −

TW. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale X to w tym przedziale całkowalne są funkcje:

f(x) + g(x) i k*f(x) gdzie: k - dowolna stała przy czym

∫ ∫∫ ∫ ∫

⋅=⋅

+=+

f(x)dxkf(x)dxk

g(x)dx f(x)dx g(x)]dx [f(x)

np.

CxC3x3dxx3dx3x

C3x

2xdxx xdx ]dx x[x

33

22

3222

+=+⋅=⋅=

++=+=+

∫ ∫

∫ ∫ ∫

PADER collection


- 6 -

CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne u’(x) i v’(x) to w tym przedziale

v(x)dx(x)u'-v(x)u(x) (x)dx v'u(x) ⋅⋅=⋅∫ ∫

DOWÓD:

(x)v'u(x)

v(x)(x)u'(x)v'u(x)v(x)(x)u'v(x)dx]'(x)u'v(x)[u(x)P'

(x)v'u(x) (x)dx]'v'u(x)[L'

⋅=

=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅=

⋅=⋅=

∫∫

zatem L’=P’ co kończy dowód

PADER collection


- 7 -

WZORY REKURENCYJNE

Wyprowadzenie

∫ ∫∫∫

∫

∫∫

−−⋅−+⋅=

=−⋅−+⋅=

=−⋅⋅−+⋅=

=⋅⋅⋅−−−⋅=

==⋅⋅=

===⋅=

−−

−−

−−

−−

−−

xdxsin1)(nxdxsin1)(nxsin-cosx

x]dxsinx[sin1)(nxsin-cosx

x)]dxsin(1x[sin1)(nxsin-cosx

(-cosx)]dxcosxsin1)[(ncosx)(xsin

-cosx cosx vxsin1)-(nu'

sinx v' x sinuxdxsinsinxxdxsin

n2n1n

n2n1n

22n1n

2n1n

2-n

1n1nn

∫ ∫∫ ⋅−−⋅−+⋅−= −− xdxsin1)(nxdxsin1)(nxsincosxxdxsin n2n1nn

n: /xdxsin1)(nxsincosxxdxsinn 2n1nn ∫∫ −− ⋅−+⋅−=

∫∫ −−

⋅−+⋅−= xdxsinn

1nn

xsincosxxdxsin 2n

1nn

2n,

dx(cosx)n

1nn

(cosx)sinxdx(cosx)

2n,

dx(sinx)n

1nn(sinx)cosx

dx(sinx)

2n1n

n

2n1n

n

≥

⋅−

+⋅

=

≥

⋅−

+⋅

−=

∫∫

∫∫

−−

−−

PADER collection


- 8 -

Przykład. Obliczyć całkę.

(1) dxxsin87

8xsincosx

xdxsin 67

8 ∫∫ ⋅+⋅−

=

⋅+⋅−=⋅ ∫∫ xdxsin

65

6xsincosx

87dxxsin

87 4

56

⋅+⋅−=⋅ ∫∫ xdxsin

43

4xsincosx

65xdxsin

65 2

34

+⋅−=⋅ ∫ x

21

2sinxcosx

43xdxsin

43 2

Cx21

2sinxcosx

43

4xsincosx

65

6xsincosx

87

8xsincosxxdxsin

3578 +

+

⋅−⋅+

⋅−⋅+

⋅−⋅+

⋅−=∫

(2) dxeeeee veu'

e v'eudxee xxxx

xx

xxxx ∫∫ ⋅−−⋅=

=−=

====⋅ −−

−

−−

∫ ∫∫∫

⋅−⋅=⋅

⋅−−⋅=⋅

−−−

−−−

dxeedxeeee

dxeeee dxeexxxxxx

xxxxxx

błąd ∫ ∫ =

==

Cxdx-xdx bo źle 01 0e0

(3) ∫∫ =−−⋅−===⋅==

==cosx)dx1(cosxxsinxdxx

cosx- v1u'

sinxx v'u

Csinxcosxxcosxdxcosxx ++⋅−=+⋅−= ∫

PADER collection


- 9 -

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

TW. Jeżeli funkcja x = ø(x) jest różniczkowalna w przedziale ( α , β ) i odwzorowuje ten przedział na przedział ( a , b ) ,w którym funkcja jest całkowalna, to ma miejsce wzór:

[ ] ∫∫ ⋅=⋅ dxf(x)dt(t)'(t)f φφ

Dowód Wykażemy równość obu stron jeżeli pokażemy, że L’=P’ zatem

[ ]( ) [ ] (t)dt'(t)f(t)dt'(t)fdtdL '

φφφφ ⋅=⋅= ∫

oraz

( ) ( ) (t)'(t))f((t)'f(x)dtdxf(x)

dtdxf(x)dx

dxdf(x)dx

dtd

dtdP

φφφ ⋅=⋅=⋅=== ∫∫

L = P

(4) ∫ =⋅arctgxdxx

=

⋅

+−=

==

=== ∫

+

dx2

xx1

1arctgx2

x v u'

x v'arctgx u 2

2

2

2x

x11 2

2

=+

−+⋅−=

+⋅−= ∫∫ dx

x11x1

21arctgx

2xdx

x1x

21arctgx

2x

2

22

2

22

Carctgx21x

21arctgx

2xdx

x11

21dx

x1x1

21arctgx

2x 2

22

22

++−=+

⋅+++

⋅−= ∫∫

PADER collection


- 10 -

(5) ∫ =+ kx2

dx ..... k – dowolna stała

( )dtdx

dtdx1 dtdx2x1

tkxx

kxxkx

kxx

kx21

2

2

2

2

2

=

=+==⋅+

=++=

+

++

++⋅

ttdt

kxdx

xkxdt

kxdx

2

22

=

=

+

+++

.... CkxxlnCtln 2 +++=+=

(6)

=++

∫ 22xdx

2 x

C1ttln1t

dtdtdx

t1x

11)(xdx 2

22+++=

+=

==+

=++ ∫∫

PADER collection


- 11 -

11.04.2002r.

CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH

Całkowanie funkcji typu

( )ndcxbaxx,R +

+

Stosujemy podstawienie

t

dcxbax

n =++

( ) 322

3 2yx,Ryyx

xyyxyx+⋅

−+⋅++=

(7) ∫ =++

+ dx2xx

1x

(8)

∫ =+ x1dx ∫∫ =

+=

+=

==

=

t1t2

t12dt

2tdtdxtx

tx2

…1t

11t

t11t 1

11)(t:t

++−+ −=⇒

=+

… ( ) ( ) ( )∫ ++−=++−=−= + C1xlnx2C1tlnt2dt12 1t1

(9)

∫ =dxx

xcos ∫ ∫ ==⋅==

=costdt2dx

x21xcos2

dtdxtx

x21

Cx2sinC2sint +=+=

PADER collection


- 12 -

(10)

( )∫ ∫∫∫ −=

⋅−=

−=

=

=+

=+

=+⋅

=+

dt1t

12t1t

2tdxt

1te2tdtdxete1

te1

e1eedx

e11

22

2x

x

2x

x

xx

x

x

1tB

1tA

1)1)(t(t1

1t1

2 ++

−=

+−=

−

1)1)(t(t1)B(t1)A(t

1)1)(t(t1

+−−++=

+−

B)(AB)t(A1BBtAAt11)B(t1)A(t1

−++=−++=

−++=

−=

=⇒

=−+=⋅

21

21

A

10

BBABAt

+−

−=

+−

+−

=− 1t

11t

121

1t1t1t1 2

121

2

∫ ∫∫∫ =+

−−

=

+−

−=

+−

−= dt

1t1dt

1t1dt

1t1

1t1dt

1t1

1t1

212...

Ce

eCtt

x

x

+++

−+=++−−=

11

11ln1ln1ln

PADER collection


- 13 -

Całki typu :

0a , dxcbxax

(x)W2

n ≠++∫

Metoda współczynników nieoznaczonych: Powyższą całkę można przedstawić w postaci

∫∫ ++⋅+++⋅=

++ cbxaxdxkcbxax(x)Pdx

cbxax(x)W

22

1-n2n

Wielomian stopnia (n-1)

Przykład:

(11) ∫∫ −−− ⋅+−⋅+= 22

2

x4xdx2

x4xx7 kx4xB)(Axdx

Różniczkujemy obie strony

222

2

x4xk

x4xx-22

x4xx7 B)(Axx4xA

−−−− +⋅++−⋅=

i mnożąc przez 2x4x − dochodzimy do

k)(2BxB)(6A2Ax7x 22 ++⋅−+−=+− Skąd wyznaczamy A, B, k

1k 7k2B3B 0B6A

A 2A 1 21

=⇒=+=⇒=−

=⇒−=−

Więc

=+−⋅+= ∫∫ −−−

22

2

x4xdx2

21

x4xx7 x4x3)x(dx ….

PADER collection


- 14 -

( )===== ∫∫∫∫∫

+−− 2

22-x

4

22)-(x222 -1

dx21

-14

dx2)-(x-4

dx4)4x(x-4

dxx4x

dx

∫∫ −−

−

====−

=

= 22 t1dt

t12dt

21

22x

2dtdx2t2x

t

( ) ( ) C)arcsin(x4x3xx4x3x... 22x2

21

)(1dx

212

21

222x ++−⋅+=+−⋅+= −

−∫ −

(12) ==== ∫ ∫ ∫∫

−−−+−−+ −

4

21)(x22214

dx1)(x4

dx1)2x(x4

dxx-2x3

dx

( )( ) CarcsinCarcsint

2dtdx2t1x

t

21x

t1dt

t12dt

21

21x

1dx

21

22221x

+=+=====−

=

= −−−

−

− ∫∫∫ −

(13) ∫ ∫ ∫ =⋅==

=== dtet

dt2xdxtx

2xdxexdxex t21

2x2

21x3 22

[ ] [ ] [ ] CeexCetedtetee v1u'

et v'u 22 xx221tt

21tt

21

t

t

+−=+−=−===

=== ∫

(14) ...

dtdxxdtdx5x

tx

1tdt

51

1tdt

514

4

5

1xdxx

3351

15

4 ===

=

=

=

=∫ ∫ ∫ −−−

PADER collection


- 15 -

1ttCBt

1tA

1)t1)(t(t1

1t1

223 +++

−++−−+==

1)t1)(t(t1)-C)(t(Bt1)tA(t

1)t1)(t(t1

2

2

2 ++−

++++

++−=

)1()1(1 22 −⋅+−⋅+++++= CBtCtBtAAtAt

C)(AtB)C(AB)t(A1 2 −+⋅−+++=

=

+=+=

−=−+=

+=

3A1

C-A1C2A0

CA1

BCA0BA0

32

31

31

1ACAB

A

−=−=

−=−=

=

1)t(t

t1t1)(t

12

32

31

31

3 ++

−−−−+=

[ ] ( ) =−=−= ∫∫ +++

−++

+

− dt dt ...1tt

2t1t

1151

tt

t1t5

122

32

31

31

...dtdt 1tt

2t151

1t1

151

2 =−= ∫∫ +++

−

(*1) 1-tlndt 1t1 =∫ −

(*2) === ∫∫∫ ++++

+++

+++ dtdtdt

1tt312t

21

1tt42t

21

1tt2t

222

PADER collection


- 16 -

dtdtdtdt1tt

123

1tt12t

21

1tt3

21

1tt12t

21

2222 ∫∫∫∫ +++++

+++++ +=+=

(*3) 1ttlndt 221

1tt12t

21

2 ++=∫ +++

(*4) ( ) ( ) ==⋅=⋅ ∫∫∫

+⋅++++ +

dtdtdt1

123

t1

23

1tt1

23

43

2 21t

434

32212

=

=

=+

=

=⋅=⋅⋅

+

+

+

∫∫++

dudt

ut

u

dt2dt

23

23

21

t

1

1

1

134

23

4321

2

4321t

2

4321t

Carctg3Carctgu33du22321

22

t

u1du

23

1u1 +

⋅=+=⋅=⋅ +

++ ∫∫

Wracamy do Całki

=+⋅−⋅=∫ −)4*3(*)1(* 15

1151

115

4

xdxx

=+

⋅+++⋅−−⋅= − Carctg31ttln1tln2321t2

21

151

151

Carctg1xxln1xln23

215x

153510

3015

151 +

⋅+++⋅−−⋅= −

PADER collection


- 17 -

(15) =+∫ )dxxarctg(1

=⋅−+⋅==⋅=

=+== ∫ ++

++

dx)xarctg(1xx vu'

1 v')xarctg(1ux2

1)x(11

x

x21

)x(111 2

2

===

=

=⋅=⋅=⋅ ∫∫∫ +++++++

2tdtdxtx

txdxdxdx 2

xx22x

21

xx211x

21

x21

)x(11x

2

==++

==⋅−−++++++∫ ∫22t22tt

22

t2t2t

t2t2t

21

22

2

2

12)2t(t:tdt2tdt

( ) =+++−=−=−= ∫∫ ∫ +++

+++ C22ttlntdtdtdt1 2

22tt22t

22tt22t

22

C2x2xlnx ++−−=

C2x2xlnx)xarctg(1x)dxxarctg(1 ++−+−+⋅=+∫

PADER collection


- 18 -

18.04.2002r.

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

Stąd, że dowolną funkcję można przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych całkowanie tych funkcji sprowadza się do całkowanie wielomianu oraz następujących czterech typów ułamków prostych.

1. ∫ +−⋅=−

CaxlnAdxax

A

np.

(16) ∫∫ +−⋅=⋅= −− C4xln3dx3dx 4x1

4x3

2. ( ) ∫ ∫∫ −⋅====−

=−

dttBdttB

dtdxtbx

dxbx

B nnn

dla n>1

Cb)(x1

1nBC

t1

1nB

1n1n +−

⋅−−=+⋅

− −−

np.

(17) ∫∫∫∫ ==⋅====−

= −−

dtt4dt4dtdtdx

t2xdx 3

t1

t4

2)(x4

333

C2C4C4 2

21-3

2)(x1

22)(x

13-t +⋅−=+⋅=+⋅

−−−

+

−+

PADER collection


- 19 -

3. przy założeniu p2-4q<0

∫∫∫∫ ++⋅

−+

+++⋅=

++−++

⋅=++

+qpxx

dx2

CpDdxqpxx

p2x2Cdx

qpxxpp2x

2C dx

qpxxDCx

222C2D

2

trójmian 3 rodzaju 173

2 +++xxx

041 <−=∆

(18) ...dx1xx

73x2 =∫ +++

=⋅+⋅=⋅=⋅=++++

+++

++

++

+

+++

1xx23

1xx12

23

1xx

12x23

1xx

2x23

1xx73x

2311

223

11

23

14

2x

∫ ∫ =⋅+⋅++++

+ ...dxdx...1xx

1211

1xx12x

23

22

( ) =⋅=⋅=⋅ ∫∫∫ +++++++dxdx dx

432

21

43

4122 x

1211

xx1

211

1xx1

211

( ) =

=

=+

=

=⋅⋅=⋅=

+

+

+

∫∫++

tdtdx

tx

t

dxdx

23

23

21

x

1

134

211

1

1211

23

21

2

2321x

43

221x

43

CarctgCarctgtdtdt2321

22

x

311

311

1t1

23

322

23

1t1

34

211 +

=+=⋅⋅=⋅⋅ +

++ ∫∫

Carctg1xxln...2321x

3112

23 +

⋅+++⋅= +

PADER collection


- 20 -

4. przy założeniu p2-4q<0 i n > 1

( ) ( ) ( )∫∫∫ ++⋅

−+

++

+⋅=

++

+n2n2n2 qpxx

dx2

KpLdxqpxx

p2x2Kdx

qpxxLKx

( ) =⋅==+=++

=++

+⋅= ∫∫ n

2

n21 tdt

2K

dtp)dx(2xtqpxx

dxqpxx

p2x2K

I

( ) 11n211n Cqpxx

11n

12KC

t1

1n1

2K

+++

⋅−−

⋅=+⋅−−

⋅= −−

( ) ( )[ ] =++

⋅

−=

++⋅

−= ∫∫ −

n

4p4q2

2p

n22 2

x

dx2

KpLqpxx

dx2

KpLI

=+

⋅

−=

=

=

=+

= ∫−

n22

24

p4q

2p

)a(tdt

2Kp

L

a

dtdxtx

2

...dxdxdxdxI

(*1) 2n

n2

2

n2

2

n2

22

n2 1)(xx

1)(x1x

1)(xx1x

1)(x1

n =−===

≥

∫ ∫∫ ∫ +++

+−+

+

...** 1'

n1)

2(x/'x vu

dxxdx(*1) n2n2

2

1)(xx

1)(xx =

==

+==== ∫∫ ++

vu

x

=+⋅−=+⋅∫ ====== −

+−

⋅−+−−

+ ∫∫∫=

=

=+

CCdttdxvv' 1n

1n

n21

n2 t1)(n1

21

1nt

21n

21

t

dt

1)(xx

dt21

xdx

dt2xdx

t12

x

C1n2 1)1)(x2(n1 += −+−

−

dx ... 1n21n2 1)1)(x2(n1

1)1)(x2(nx ∫ −− +−

−+−

− −=

PADER collection


- 21 -

=++= ∫∫ −−− +−−

+−+dx dx... 1n21n21n2 1)1)(x2(n

11)1)(x2(n

x1)(x1

=−+= ∫∫ −−− +−+−+dx dx 1n21n21n2 1)(x

11)2(n

11)1)(x2(n

x1)(x1

( ) =+⋅−= ∫ −− +−+− 1n21n2 1)1)(x2(nx

1)(x1

22n1 dx1

∫ −− +−−

+−⋅+= dx1n21n2 1)(x

122n32n

1)1)(x2(nx

2n IdxI 1n22n32n

1)1)(x2(nx

1)(x1

n 1n2n2 ≥+== −−−

+−+ −∫

(19) ( ) =∫ ++

+ dx22 4x2x23x

∫∫∫ =+=⋅+⋅=⋅=++++

+++

−−+ ...IIdx dx 214)2x(xdx

23

4)2x(x22x

23

4)2x(x

222x23

22222234

1421

23

1t1

23

tdt

23

4)2x(x22x

23

1 2222 Cdx Idt2)dx(2x

t42x2

x Cxx

+⋅=+⋅=⋅===++

−−+++ ∫∫

=+

=++

[ ] [ ] ∫∫∫∫ +++++⋅=⋅==⋅⋅=⋅=

=

=+

+ 22222231x22 1)(t

dt23

1)(tdt3

23

1)(dx

31

23

31)(xdx

23

2dt3dx

t31x

I

( ) ( ) 231x

21

42xx1x

321

23

221

1tt

21

23 CarctgCarctgt 22 ++⋅=++⋅= +

+++

+

=++=⋅+=+++−+ ∫∫ Carctgtdt dt 2

11)2(t

t1t

121

1)1)(t2(2t

1)(t1

22222

( ) ( ) Carctg3

x21

1]2[21

231x

31x

++= +

++

+

PADER collection


- 22 -

CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

Niech R(u,v) oznacza funkcję wymierną zmiennych u i v. Całkowanie funkcjie typu R(sinx,cosx) 1. Podstawienie uniwersalne

W całce ∫ R(sinx,cosx)dx dokonujemy podstawienia

t2xtg =

wtedy

2t12dt

2x dxarctgt2xarctgt

+=⇒⋅=⇒=

22x2

2x

2x2

2x2

2x

2x

t12t

tg1

2tg

cossin

cossin22x

2x cossin2sinx

+++

⋅⋅ ===⋅⋅=

2

2

2x22x2

2x2

2x2

2x2

2x2

t1t1

tg1

tg1

sincos

sincos2x2

2x2 sincoscosx

+−

+

−

+

− ===−=

( )

−=⇒=

⋅==⇒⋅=

2x2

2x222

2x

2x

2x

sincoscosxαsin-αcoscos2α

cos2sinsin2sinxcosα2sinαsin2α

Zatem wtedy

( ) dt,Rcosx)dxR(sinx, 22

2

2 t12

t1t1

t12t

++−

+⋅=∫ ∫

(20) === ∫∫∫ −+−−

+−

+

+

23t2tdt

434cosx3sinxdx

22t1

2t12t1

2t

2t12

dt

( ) ClnClndt 2tgtg

21

2t0,5t

21

2t1

0,5t1

21

2x

21

2x

+=+=−⋅= ∫ +

−+−

+−

PADER collection


- 23 -

2. W przypadku gdy R (sinx,cos) jest funkcją nieparzystą ze względu na

sinx tzn. R (-sinx,cos) = -R (sinx,cos)

to w całce

∫ cosx)dxR(sinx,

dokonujemy podstawienia cos = t wtedy:

∫ ∫ =⋅= sinxdxcosx)x,(sinRcosx)dxR(sinx, 21

∫∫ =⋅= t)dt,t-(1Rsinxdxcosx)x,cos-(1R 21

21

(21)

x2cosxsinsinx

22cosx)R(sinx,+

=

cosx)(sinx, Rcosx)R(-sinx,x2cosxsin

sinxx2cos(-sinx)

-sinx2222 −===

+−

+

cosx)(sinx, Rsx)R(sinx,-cox2cosxsin

sinx2(-cosx)(sinx)

sinx2222 ===

++

cosx = t

===∫ ∫=

=

++ dtsinxdx

tcosxdxdx

xcos1sinx

x2cosxsinsinx

222

∫ +−=+−==+− C)arctg(cosxCarctgt2t1

dt

3. Jeżeli R (sinx,cos) jest funkcją parztą ze względu na obie zmienne sinx i cosx równocześnie tzn.

R (-sinx,-cosx) = R (sinx,cos)

to w całce

∫ cosx)dxR(sinx,

dokonujemy podstawienia tgx = t

wtedy dtdxarctgtx 2t1

1+

=⇒=

PADER collection


- 24 -

1tt

1xtgxtg

xcosxsinxsin

1xsin2

2

2

2

2

22

22xsin+++

====

1t1

1xtg1

xcosxsinxcos

1xcos2

2222

22xcos+++

====

(22)

=∫ +dx

xcos1xsin2

2

∫∫ ==⋅==++++

+

+= dt1)2)(t(t

tt1

dt1 22

2

22t1

12t1

2t

ttgx

=⇒+=

=⇒+=

=⇒+=

=⇒+=

+++++++=

++

+++++=

++

+++

++=

++

-1D 2DB0

0C 2CA0

2B DB1

0A CA0

2D2Dt2Ct2CtB2BtAt3At2t

1)22)(t2(t2)2D)(t(Ct1)2B)(t(At

1)22)(t2(t

2t

12tDCt

22tBAt

1)22)(t2(t

2t

( ) =+−⋅=−∫ ++Carctgt)arctg(2dt

2t

1t1

2t2

22

Carctg(tgx))arctg(22

tgx +−⋅=

PADER collection


- 25 -

25.04.2002r.

CAŁKA OZNACZONA

Niech dana będzie funkcja f(x) określona i ograniczona (ale niekoniecznie ciągła) w przedziale [a,b]. Dokonujemy podziału przedziału [a,b] na dowolną liczbę podprzedziałów punktami.

a = xo < x1 < x2 <…< xk-1 < xk = b

Długości poszczególnych podprzedziałów oznaczamy następująco:

[ xo , x1 ] , ∆ x1 = x1 - xo [ x1 , x2 ] , ∆ x2 = x2 – x1

……. ………….. [ xi-1 , xi ] , ∆ xi = xi – xi-1

……. ………….. [ xk-1 , xk ] , ∆ xk = xk – xk-1

……. …………..

Długoś najdłuższego przedziału częściowego nazywa będziemy średnicą danego podziału i będziemy oznaczać przez δ. Zatem

δ = max ∆ x1 ( i=1,…k )

Podzał odcinków P1

Podprzedział 21 = 2 [ x0 , x1 ]

[ x1 , x2 ] ∆ x1 = x1 – x0 ∆ x2 = x2 – x1

∆ x1 =∆ x2 = 2ab −

2ab

1δ −=

PADER collection


- 26 -

P2

22 = 4 [ x0 , x1 ], [ x1 , x2 ], [ x2 , x3 ], [ x3 , x4 ]

∆ x1 = x1 – x0 ∆ x2 = x2 – x1 ∆ x3 = x3 – x2 ∆ x4 = x4 – x3

24ab

4321 δ∆x∆x∆x∆x ===== −

P3

23 = 8

[ x0 , x1 ], [ x1 , x2 ], [ x2 , x3 ], [ x3 , x4 ], [ x4 , x5 ], [ x5 , x6 ], [ x6 , x7 ], [ x7 , x8 ]

87654321 ∆x∆x∆x∆x∆x∆x∆x∆x =======

38ab

1...8 δ∆x == −

Pk

k2ab

i∆x −= 2k – ilość podprzedziałów

Inny podział

P1

12ab

21 δ∆x∆x === −

P2

23ab

321 δ∆x∆x∆x ==== −

PADER collection


- 27 -

P3

kkab

k21 δ∆x...∆x∆x ===== −

W każdym przedziale częściowym obieramy (w sposób dowolny) po jednym punkcie pośrednim η, tj.:

η1 € [x0 , x1] η2 € [x1 , x2] ηk € [xk-1 , xk]

Następnie wyznaczamy wartości funkcji f w punktach pośrednich. Wartości funkcji w punkcie pośrednim mnożymy przez długość odpowiedniego przdziału częściowego i tak otrzymane iloczyny dodajemy.

η1 € [x0 , x1] η2 € [x1 , x2] η3 € [x2 , x3]

Funkcję rozpatrujemy w przedziale (a,b)

332211 ∆x)f(η∆x)f(η∆x)f(ησ ⋅+⋅+⋅=

kk2211 ∆x)f(η ... ∆x)f(η∆x)f(ησ ⋅++⋅+⋅=

PADER collection


- 28 -

czyli

∑=

⋅=k

1iii ∆x)f(ησ

Otrzymaną sumę nazywamy sumą całkową (odpowiadającą danemu podziałowi przedziału i wybranym punktom pośrednim). Przy danym przedziale wartość sumy całkowej zależy więc od doboru punktów pośrednich. Przypuśćmy teraz, że mamy do czynienia nie z jednym podziałem przedziału, ale ciągiem podziałów. Oznaczmy kolejne podziały przez

p1, p2,…, pn,… Niech

δ1, δ2,…, δ n,… oznaczają średnie poszczególnych podziałów, a

σ 1, σ 2,…, σ n,… sumy całkowe odpowiadające tym podziałom.

Ciąg podziałów (Pn) PN tej własności, że odpowiadający uciąg średnic {δ n} dąży do zera przy n → ∞ nazywać będziemy normalnym ciągiem podziałów przedziału [a , b].

P1 2ab

1δ −= 2ab

1δ −=

P2 4ab

2δ −= 3ab

2δ −=

P3 8ab

3δ −= 4ab

3δ −= :

Pk k2ab

kδ −= kab

kδ −=

0δlim kk=

+∞→ 0δlim kk=

+∞→

PADER collection


- 29 -

P1

2ab

21 ∆x∆x −==

2ab

1δ −= P2

2ab

2δ −= średnica podziału jest to długość najdłuższego przedziału.

P3

2ab

3δ −=

Pk

2ab

kδ −=

0lnδlim 2ab

2ab

kkk≠== −−

∞→∞→

Def. CAŁKA OZNACZONA Jeżeli ciąg sum całkowych (σn) odpowiadający dowolnemu normalnemu ciągowi podziałów { Pn} przedziału [a , b] jest zbieżny, a jego granica jest zawszeta sama bez względu na wybrany ciąg podziałów i bez względu na dobór punktów pośrednich, wówczas mówimy, że funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a , b]. Tę wspólną granicę wszystkich ciągów sum całkowych nazywamy całką oznaczoną tej funkcji w przedziale [a , b]. Oznaczamy ją symbolem

∫b

a

dx f(x)

PADER collection


- 30 -

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ

Niech f(x) będzie funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale [a , b]. Rozpatrzmy figurę ABCD ograniczoną krzywą o równaniu y = f(x), osią x i prostymi x = a i x = b.

f(x) ≥ 0 dla x∈[a , b]

Iloczyn f(ηi) · ∆xi , i = 1…k interpretujemy jako pole prostokąta o podstawie [ xi-1 , xi ] i wysokości f(ηi).

Suma całkowa ∑ ⋅= ii ∆x)f(ησ geometrycznie daje pole figury złożonej takich prostokątów. Jest widoczne, że figura ta tym dokładniej przybliża figurę krzywoliniową ABCD im więcej jest punktów działowych i im mniejsza jest średnica podziału.

Zatem geometrycznie ∫=b

a

f(x)dxP oznacza pole figury krzywoliniowej ABCD.

PADER collection


- 31 -

WŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ

1) Jeżeli funkcja f(x) i b(x) są całkowalne w [a , b] to:

funkcja f(x) + h(x) jest całkowalna w przedziale [a , b], przy czym

[ ]∫ ∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

h(x)dxf(x)dxdxh(x)f(x)

funkcja k · f(x) ( gdzie k – dowolna stała ) jest całkowalna [a , b], przy czym

∫ ∫⋅=⋅b

a

b

a

f(x)dxkf(x)dxk

2) Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a , b] i a<c<b to:

∫∫ ∫ +=b

c

b

a

c

a

f(x)dxf(x)dxf(x)dx

∫=c

a1 f(x)dxP ∫=

b

c2 f(x)dxP

PADER collection


- 32 -

3) Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a , b], przy czym dla każdego

x∈[a , b] ma miejsce nierówność m ≤ f(x) ≤ M to:

a)M(bf(x)dxa)m(bb

a

−≤≤− ∫

4) Twierdzenie o wartości średniej dla całek.

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a , b] to istnieje taki punkt ξ ∈[a , b], że

a)(b)f(ξf(x)dxb

a

−⋅=∫

PADER collection


- 33 -

GŁÓWNE TWIERDZENIA RACHUNKU CAŁKOWEGO

TWIERDZENIE 1:

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a , b] wtedy funkcja

∫=x

a

f(t)dtG(x)

jest różniczkowalna w tym przedziale przy czym

f(x)(x)G' =

DOWÓD: Niech x i x+h należą do przedziału [a , b]

vh)f(xh

)f(hh

f(t)dt

h

f(t)dtf(t)dt

hG(x)-h)G(x

hx

x

x

a

hx

a +=⋅

==−

=+ ∫∫∫

++

ξ

∫=x

a

f(t)dtG(x) ∫

+

=+hx

a

f(t)dth)G(x

PADER collection


- 34 -

∫+

=+hx

x

f(t)dtG(x)-h)G(x

)f(hf(t)dthx

x

ξ⋅=∫+

ξ ∈[x , x+h]

ξ = x+vh, 0 < r < 1

f(x)f(t)dt(x)G''hx

x=

= ∫

+

Stąd:

f(x)vh)f(xlimh

G(x)h)G(xlimG(x)'0h0h

=+=−+

=→→

PADER collection


- 35 -

TWIERDZENIE 2: NEWTONA – LEIBNIZA Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a , b], f(x) jest zaś jakąkolwiek jej funkcją pierwotną w tym przedziale, to:

∫ −=b

aF(a)F(b)f(x)dx

DOWÓD:

Funkcja ∫=x

a

f(t)dtG(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale [a , b].

Ponieważ F(x) jest także (jakąkolwiek) funkcją pierwotną dla f(x) w przedziale [a , b] To w oparciu o główne twierdzenie o funkcjach pierwotnych mamy:

CG(x)F(x) += tj. ∫ +=x

aCf(t)dtF(x)

gdzie: C – jest stosownie dobraną stałą

Zatem

F(a)C Cf(t)dtF(a)x

a=⇒+= ∫

a stąd

∫ +=b

aF(a)f(t)dtF(b)

F(a)F(b)f(t)dtb

a−=∫ co kończy dowód

PADER collection


- 36 -

TWIERDZENIE 3:

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI DLA CAŁKI OZNACZONEJ

Jeżeli funkcje u(x) i V(x) są ciągłe wraz z pochodnymi u’(x) i v’(x) w przedziale [a , b], to ma miejsce wzór:

( ) [ ] ( )∫∫ ⋅−⋅=⋅b

a

b

a

b

adxv(x)(x)u'v(x)u(x)dx(x)v'u(x)

Przykłady:

sinxdxxπ

0

2∫ ; cosxdxe2π

0x∫ ; arctgxdx

1

0∫

(23)

=∫ dxarctgx1

0

=⋅−⋅== ∫ +=+

=

==xdxarctgxx

1

0 x111

0 2x v2x11u'

1 v'arctgx u

( ) =−=⋅−⋅−⋅= ∫∫ ++dxxdxarctg00arctg11

1

0 x12x

21

4π

1

0 x11

22

ln2ln12lnx1ln 21

4π

21

21

4π

1

0

221

4π ⋅−=⋅+⋅−=+⋅−=

PADER collection


- 37 -

(24)

=⋅∫ dxsinxxπ

0

2

=−−⋅== ∫−==

== dxcosx)2x(cosxx-π

0

π

0

2

cosxv2x u'

sinx v'xu 2

=⋅+=⋅+⋅+⋅= ∫∫ dxcosxx2πdxcosxx2cos00cosπ-ππ

0

2π

0

2

=

−⋅+== ∫

==

== π

0

π

02 sinxdxsinxx2π

sinx v1u'

cosx'x vu

( )[ ] =+=+⋅−⋅+=π

02π

02 cosx2πcosxsin00sinππ2π

2π2cos0-πcos2π 22 −=+=

PADER collection


- 38 -

TWIERDZENIE 4: O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE DLA CAŁKI OZNACZONEJ

Jeżeli:

funkcja Φ(t) ma ciągłą pochoną Φ’(t) w przedziale [α , β] funkcja f(x) jest ciągła w zbiorze wartości jakie przyjmuje funkcja Φ(t) w przedziale [α , β],

Φ(α) = a, Φ(β) = b to:

[ ]∫∫ ⋅=β

α

b

a(t)dtΦ'Φ(t)ff(x)dx

Przykłady:

(25)

=∫ dxxsinπ

0

3

==⋅=⋅==

=

∫∫ -dtsinxdx

tcosxdxsinxx)cos-(1dxsinxxsin

π

0

2π

0

2

=−=−=−−=−−=−−

− −

∫∫ ∫1

13t

1

1

21

1

1

1

22 )(t)dtt(1)dtt(1dt))(t(1 3

34

31

31 )1()(1 =+−−−=

(26)

=∫ +dx

1

0 e1e

2x

x

dt dxx

e

tx

e

=

==

arctg1arctgearctgt

e

1

e

1t1dt

2 −=== ∫ +

x 0 π t 1 -1

x 0 1 t 1 e

PADER collection


- 39 -

(27)

=∫ dxtgx4π

4π-

( I )

0...txdxtgxdx0

04π

4π

==+= ∫ ∫−

( II )

4π

4π

cosxsinx lncoslncosxln dx 4

π

4π

4π

4π

−+−=−=−=−−

−∫

0lnln2

12

1 =+−=

PADER collection


- 40 -

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE I RODZAJU Def.:

Jeżeli funkcja f(x) jest określona na przedziale [a , ∞] i całkowalna na każdym przedziale [a , T] to granicę

∫∞→

T

aTf(x)dxlim

nazywamy całką niewłaściwą I rodzaju funkcji f(x) w granicach od 0 do ∞ i oznaczamy symbolem:

∫∞

af(x)dx

tzn.

∫∫ ∞→

∞=

T

aTaf(x)dxlimf(x)dx

PADER collection


- 41 -

Przykłady:

(28)

...dxe0

x- =∫∞

( )xe1x yey =⇔= −

( ) ( ) 11limeelimelimdxelim... Te1

T

0T

T

T

0

x

T

T

0

x

T=+=+−=−== −

∞→

−

∞→

−

∞→

−

∞→ ∫

(29)

...dx0 x

1 =∫∞

dxlimT

0 x1

T ∫=∞→

( ) ∞=−==∞→∞→

ln1lnTlimxlnlim...T

T

1T

PADER collection


- 42 -

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE II RODZAJU

Niech funkcja f(x) jest nieograniczona w przedziale skończonym [a , b]. Załóżmy, że f(x) jest ograniczona i całkowalna w przedziale [a , b-ε] i nieograniczona w każdym przedziale [b-ε , b].

Def.: Granicę

∫+→

ε-b

a0εf(x)dxlim

nazywamy całką niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f(x) w granicach od a do b i oznaczamy symbolem:

∫b

af(x)dx

tzn.

∫∫ +→=

ε-b

a0ε

b

af(x)dxlimf(x)dx

PADER collection


- 43 -

Przykłady:

(30)

...dx1

0 x-11

2=∫

2x-11f(x) =

+∞=−→f(x)lim

1x

( ) =−−===+++ →

−

→

−

−→ ∫ arctg0ε)arctg(1limxarcsinlimdxlim...0ε

ε1

00ε

ε1

0 x11

0ε 2

2πarctg1==

(31)

...dx1

0 x1 =∫

x1f(x) =

+∞=+→f(x)lim

0x

( ) 2ε22lim22limdxlim...0ε

1

ε0ε

1

ε x1

0ε=−===

+++ →→→ ∫

PADER collection


- 44 -

(32)

...dx1

0 x1 =∫

( ) ∞=−===+++ →→→ ∫ lnεln1limxlnlimdxlim...

0ε

1

ε0ε

1

ε x1

0ε

PADER collection


- 45 -

POLE FIGURY PŁASKIEJ

∫=b

af(x)dxP

Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi

2

2

x11

2x y ,y

+==

f(x) ≥ 0 [a , b]

2

2

2

2

x11

2x

x11

2x

yy

++

=⇔

=

=

1 x; 1x x; x

981∆ 02xx

2xx

21

2312

22312

1

42

42

=−=

==

=+==−+

=+

+−−−

( ) ( ) =−=−=−=−− +−− + ∫∫∫1

16x

1

1 2x

x11

1

1 2x

1

1 x11 32

2

2

2 arctgxdx dx dx P

( ) ( ) 31

2π

61

4π

61

4π

61

61 1)arctg(arctg1 −=−+−=+−−−=

PADER collection


- 46 -

Obliczyć pole koła x2 + y2 ≤ r2

x2 + y2 = r - okrąg

( ) { }222 ryx:y)(x,r(0,0),O ≤+=

≤≤⋅=⋅=⋅=

2π0 sinrydsin-rdx cosrx

:O��

��

∫∫∫ =⋅⋅−=−⋅⋅⋅== 2π

0

22π

0

b

adcossinr4)dcos(rsinrydxP ��

∫−==

==

1

0

2 tdtrdtdcos

tsin��

�

�� sinry cos

rx

==

⋅=⋅=

�

�

sinry cosrx

=

=

ϕϕ

siny cosx

PADER collection


- 47 -

(0,1)(1,0) 0

2π ⇒=⇒=

�

�

dxx14r

0

22∫ −⋅

( ) ϕϕϕ d)sinr(sinr-4P 2π

0∫ ⋅−⋅⋅⋅=

( ) 224π

0

π

022cossin222 r π4r04rdsinr-4P 2

π

=⋅+=+=⋅⋅= ∫ − ϕϕϕϕϕ

PADER collection


- 48 -

Obliczyć długość łuku

[ ]∫ +=b

a

2 dxf(x)1L

Zadanie Obliczyć długość okręgu x2 + y2 = r2

≤≤=

bxaf(x)y

:l

( )∫ +=b

a

2 dxy'1L

x1y' lnx y =⇒=

∫∫∫∫ ====+= ⋅+++e

1 xxdx1xe

1 x1xe

1 x1xe

12

x1 dxdxdxdx)(1L 2

22

22

x 1 e t √2 √(e2+1)

( )∫∫∫+

−

+

−+−

+

−⋅⋅ =+====

=

=

=+

=+

1e

2 1t1

1e

2 1t11t

1e

2 1t

2

2

2

2

22

2 1

tdtxdx

2tdt2xdx

2t1

2x

t12

x

dtdtdttt

( ) 1e

211

21

1e

2 1t1t

2221

21

)ln(1+

+−

+

+− ⋅+=−+= ∫ tttdt