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Programao Linear (PL)

Escola Politcnica da Universidade de So Paulo Departamento de Engenharia Hidrulica e Ambiental PHA2343 - Anlise de Sistemas Ambientais

Mario Thadeu Leme de Barros Renato Carlos Zambon

SMAP...

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Programao Linear

A Programao Linear (PL) a tcnica mais conhecida e usada na soluo de problemas de otimizao

o termo linear: relaes lineares entre as variveis, tanto na F.O. como nas restries

o termo programao: planejamento de atividades

max (ou min) F = a1 X1 + a2 X2 + ......+ an Xn sujeito (por exemplo) a:

X1+ X2 + ... + Xn < b1 3 X1 -2 X3 + ... + 10 Xn > b2

(...)

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Razes de sucesso da PL

flexibilidade para aplicao a problemas variados;

maior facilidade de entendimento;

capacidade de tratar de problemas de grande porte, comuns em Engenharia Ambiental;

disponibilidade pacotes computacionais, em nvel comercial ou gratuitos para pronta utilizao.

Prmio Nobel de Economia em 1975 (Koopmans e Kantorovich): alocao tima de recursos. Outros ligados a PL em: 1970, 1972, 1973, 1983, 1987.

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Exemplo - SOCRATES

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Exemplo 1 - Irrigao

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reservatrio irrigao

Consumo do milho: 3,0 dam3/ha

Consumo do feijo: 1,5 dam3/ha

Receita do milho: 100 R$/ha

Receita do feijo: 80 R$/ha

Quanto plantar de milho

e de feijo?

rea Total de plantio = 100 ha

Milho (x1 ha)

Feijo (x2 ha)

Formulao do Problema (vamos cham-lo de PL1)

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max R = 100 X1 + 80 X2 (F.O.: maximizar a receita)

Sujeito a (restries):

X1+ X2 < 100 (rea total)

X1 > 0

X2 > 0

lembrar sempre de incluir nas restries variveis que podem

no ser negativas!

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Formulao do Problema (PL1 na forma matricial)

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(maximizar a receita)

Sujeito a:

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max 100 80x

Rx

1

2

1 1 100

1 0 0

0 1 0

x

x

notar a

inverso do sinal na troca

de > para <

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Podemos resolver este problema graficamente:

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0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

x2

x1

espao das variveis de deciso (espao das solues viveis, regio factvel)

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x1>0

x2>0

regio factvel

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Vamos desenhar neste grfico a funo objetivo:

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busca da soluo tima

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0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

x2

x1

ponto (20,50): R=100.20+80.50 R=6000

Soluo tima no ponto (100,0)

direo do crescimento da

F.O. (R)

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Ou seja, se tenho gua a vontade vou plantar s milho!

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Vamos supor agora que o volume de gua disponvel de 240 dam3

Certamente o consumo de gua das

culturas dever alterar o resultado!

Problema PL2 - Introduo de limites de disponibilidade de gua

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Max R = 100 X1 + 80 X2 (maximizar a receita)

Sujeito a:

X1+ X2 < 100 (rea total)

3 X1+ 1.5 X2 < 240 (gua disponvel)

X1 > 0

X2 > 0

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busca da soluo tima

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0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

x2

x1

Soluo tima no ponto (60,40)

regio factvel

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no Problema PL2:

na soluo tima X1 = 60 ha e X2 = 40 ha

ambos os insumos (rea agrcola e gua para irrigao) foram fatores limitantes ao aumento da funo objetivo:

X1 + X2 = 100 ha

3 X1 +1,5 X2 = 240 dam3

Ou seja o ponto timo F(60,40) est na interseco de duas retas limites da regio vivel

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Problema PL3 - A Introduo do Custo da gua

Num cenrio de Cobrana pelo Uso da gua:

a aquisio da gua do reservatrio custa $ 20/dam3

Assim, a nova Receita Lquida (Funo Objetivo) ser:

RL = RL1 + RL2 = 40 X1 + 50 X2

onde:

RL1 = 100 X1 - 20 ( 3 X1 ) = 40 X1

RL2 = 80 X2 - 20 ( 1,5 X2 ) = 50 X2

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Formulao do Problema PL3

Max RL = 40 X1 + 50 X2 (maximizar a receita lquida)

Sujeito a:

X1+ X2 < 100 (rea total)

3 X1+ 1.5 X2 < 240 (gua disponvel)

X1 > 0

X2 > 0

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Comparao das Solues

Tabela 3.1 - Consumo Hdrico e Receita Lquida para cada Cultura

Cultura Consumo Hdrico

(dam/ha)

Receita Lquida (R$/ha )

Soluo tima (ha)

PL1 PL2 PL3

Milho (X1) 3,0 100 100 60 0

Feijo (X2) 1,5 80 0 40 100

rea total utilizada(ha)

100

100

100

gua total utilizada (dam)

300

240

150

Enquanto a gua no tinha limite (PL1) ou no custava nada (PL2): X1> X2 na soluo tima, embora o milho exija mais gua

Quando houve custo para a gua (PL3): X2>X1 na sol. tima

Caractersticas importantes da PL

as restries de um problema de PL definem semi-espaos

a interseco de semi-espaos define a regio vivel (factvel)

as solues timas recaem sobre os vrtices (pontos extremos) da regio vivel

a soluo tima depende da Funo Objetivo (comparar PL2 com PL3) e da regio vivel

(comparar PL1 com PL2)

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Caractersticas importantes da PL

a regio vivel formada pelas restries sempre um poliedro convexo

as solues timas so sempre timos globais

nem sempre a soluo nica, podem haver infinitas solues igualmente boas

se for impossvel atender simultaneamente todas as restries, o problema invivel

problemas no lineares podem ser aproximados com PL p.ex. atravs da linearizao por partes, PLS, etc.

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F.O.: maximizar a receita: max R = 100 X1 + 80 X2 Variveis de deciso: X1: rea plantada de milho (ha) X2: rea plantada de feijo (ha) Restries: X1+ X2 < 100 X1 > 0 X2 > 0

resumo do exemplo 1 - Irrigao

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reservatrio irrigao

Consumo do milho: 3,0 dam3/ha

Consumo do feijo: 1,5 dam3/ha

Receita do milho: 100 R$/ha

Receita do feijo: 80 R$/ha

Quanto plantar de milho e de feijo?

rea Total de plantio = 100 ha

Milho (x1 ha)

Feijo (x2 ha)

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Exemplo 2 - Produo e Tratamento timo de Resduos de uma Indstria

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X1: quantidade diria produzida

E.T.R. ef.80%

X2: resduos lanados diretamente

2.X1: resduos

0,2(2.X1-X2): resduos remanescentes do tratamento

2.X1-X2

curso dgua

Dados do Exemplo 2

Preo de Venda do produto: $ 10 / unidade

Custo de produo: $ 3 / unidade

Estao de Tratamento de Resduos (ETR):

capacidade: 10 unidades/dia

eficincia de remoo dos resduos: 80%

custo do tratamento: $ 0,60 / unidade de resduo tratado

Taxa de cobrana pela poluio: $ 2 por unidade de resduo lanado

Mxima quantidade permitida de lanamentos dirios: 4 unidades de resduos

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Qual deve ser a

produo da indstria (X1) ?

Quanto devo tratar

de resduos lquidos (X2) ?

X1 e X2 so as variveis de deciso!

Funo Objetivo: Maximizar a Receita Lquida

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RL = RB (C1+C2+C3)

onde:

RB = 10.X1 (receita bruta)

C1 = 3.X1 (produo)

C2 = 0,60 ( 2.X1 - X2 ) (tratamento)

C3 = 2 [ X2 + 0,2 ( 2.X1 - X2 )] (lanamento)

Funo Objetivo: max RL = 5.X1 - X2

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Restries:

Capacidade diria da ETR:

2.X1 - X2 < 10

Limite mximo de lanamentos:

X2 + 0,2 ( 2.X1 - X2 ) < 4

Quantidade de resduos desviada para a ETR:

2.X1 - X2 > 0

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O problema de PL fica ento:

max RL = 5.X1 - X2

Sujeito s restries:

2.X1 - X2 < 10

0,4.X1 + 0,8.X2 < 4

2.X1 - X2 > 0

X1 > 0

X2 > 0

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Ou na forma matricial:

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Sujeito a:

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max 5 1x

RLx

1

2

2 1 10

0,4 0,8 4

2 1 0

1 0 0

0 1 0

x

x

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Posso solucionar este problema graficamente

Determinar a regio factvel para as duas variveis de deciso

Plotar a funo objetivo e verificar onde ocorre o mximo (num dos vrtices da regio factvel!)

Resulta em:

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0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4x2

x1

ETR: 2.0 x1 - 1.0 x2 = 10.0

Lanam.: 0.4 x1 + 0.8 x2 = 4.0

ETR: 2.0 x1 - 1.0 x2 = 0.0

Payoff: 5.0 x1 - 1.0 x2 = 28.0

Optimal Decisions(x1,x2): ( 6.0, 2.0)

ETR: 2.0x1 - 1.0x2

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Opes Extremas

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(a) nenhum tratamento dos resduos:

X2 = 2 X1 resultando

X1 = 2 ; X2 = 4 e

RL= $ 6

(b) tratamento mximo dos resduos:

X2 = 0 ; X1 = 5 e

RL = $ 25

Exemplos de rotinas ou algoritmos disponveis para PL

Simplex: caminha na fronteira da regio

factvel (George Bernard Dantzig, 1914-2005)

PCx (algoritmo de pontos interiores, gratuito)

Solver do Excel

Solver da Frontline (www.solver.com)

vrias inclusas no GAMS (www.gams.com)

e em vrios outros...

...existem problemas com dezenas de milhares de variveis!

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Lista de Exerccios de PL

Sugesto para estudo:

Enunciado no site

http://phd.poli.usp.br

Graduao

Disciplinas

PHD2343 - Anlise de

Sistemas Ambientais

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