ANALIZA MATEMATYCZNA2005/06, semestr 1.

Tadeusz Rzeuchowski

1

Spis treci

1 Zbiory liczbowe 51.1 Krtka informacja o zbiorach liczb naturalnych, cakowitych i wymiernych 5

1.1.1 Liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Liczby cakowite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Liczby wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych przy pomocy przekrojw Dedekinda 71.2.1 Definicja przekrojw Dedekinda i podstawowe wasnoci . . . 71.2.2 Definicja zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Wasno cigoci zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . . . . 91.2.4 Wasnoci dziaa w zbiorze liczb rzeczywistych . . . . . . . . 10

1.3 Kresy podzbiorw zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Zbiory ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Kres grny i kres dolny zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Cigi liczbowe 142.1 Definicja cigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Cigi zbiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Dodawanie, mnoenie i dzielenie cigw . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Cigi monotoniczne i ich zbieno . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Warunek Cauchyego, zupeno zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . 192.4 Cigi zbiene do nieskoczonoci granice niewaciwe . . . . . . . . 20

2.4.1 Wasnoci cigw zbienych do nieskoczonoci . . . . . . . . 202.5 Podcigi (cigi czciowe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.1 Istnienie podcigw zbienych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Granica grna i dolna cigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Liczba e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8 Porwnywanie cigw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.8.1 Cigi rwnowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Szeregi liczbowe 323.1 Szeregi liczbowe zbiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2

3.1.1 Warunek konieczny zbienoci szeregu . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2 Dodawanie szeregw i mnoenie przez liczb . . . . . . . . . . 343.1.3 Warunek Cauchyego zbienoci szeregw . . . . . . . . . . . . 343.1.4 Kryterium porwnawcze zbienoci szeregw . . . . . . . . . . 34

3.2 Kryteria zbienoci szeregw o wyrazach nieujemnych . . . . . . . . . 353.2.1 Kryteria wynikajce bezporednio z kryterium porwnawczego 353.2.2 Kryteria dAlemberta i Cauchyego opierajce si na porw-

naniu z szeregami geometrycznymi . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.3 Kryterium Raabego opierajce si na porwnaniu z szere-

giem harmonicznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.4 Niezaleno sumy szeregu o wyrazach nieujemnych od kolejnoci

sumowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Szeregi o dowolnych wyrazach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Szeregi bezwzgldnie zbiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Kryteria zbienoci szeregw o wyrazach dowolnych . . . . . . . . . . 44

3.4.1 Kryterium Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.2 Kryteria Dirichleta i Abela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Szeregi warunkowo zbiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.1 Twierdzenie Riemanna o zmianie kolejnoci sumowania dla

szeregu warunkowo zbienego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Iloczyn Cauchyego szeregw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7 Uoglnienie cigu rednich arytmetycznych twierdzenie Toeplitza . 50

4 Granice funkcji i cigo 524.1 Granica funkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.1 Granice jednostronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.1.2 Granica grna i dolna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.3 Granice w nieskoczonoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.4 Granice nieskoczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.5 Granica sumy, iloczynu oraz ilorazu funkcji . . . . . . . . . . . 57

4.2 Cigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1 Klasyfikacja punktw niecigoci funkcji . . . . . . . . . . . . 594.2.2 Warunek cigoci funkcji odwrotnej do funkcji cigej . . . . 59

4.3 Wasno Darboux dla funkcji cigych. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Pochodna funkcji i jej zastosowania 615.1 Okrelenie pochodnej i jej wasnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.1 Styczna do wykresu funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.2 Funkcja pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.3 Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu funkcji . . . . . . . . . . . . 62

3

5.1.4 Pochodna funkcji zoonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1.5 Pochodna funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1.6 Rniczka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Zasada Fermat i jej konsekwencje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.1 Zasada Darboux dla pochodnych . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.2 Twierdzenia Rollea, Lagrangea i Cauchyego . . . . . . . . . 67

5.3 Pochodne wyszych rzdw, wzr Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3.1 Wzr Taylora z reszt w postaci Peano . . . . . . . . . . . . . 695.3.2 Wzr Taylora z reszt w postaci oglnej, Lagrangea, Cauchyego 715.3.3 Wzr MacLaurina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Cigi i szeregi funkcyjne, szeregi potgowe 766.1 Cigi funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.1.1 Zbieno punktowa i zbieno jednostajna cigw odwzorowa.76

6.1.2 Warunek Cauchyego zbienoci jednostajnej. . . . . . . . . . 786.1.3 Cigo granicy jednostajnej cigu odwzorowa cigych. . . 78

6.2 Rniczkowalno granicy cigu funkcyjnego. . . . . . . . . . . . . . 796.3 Szeregi funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3.1 Warunek Cauchyego zbienoci jednostajnej . . . . . . . . . 836.3.2 KryteriumWeierstrassa zbienoci jednostajnej szeregw funkcyjnych.

836.3.3 Rniczkowalno sumy szeregu funkcyjnego. . . . . . . . . . 83

6.4 Szeregi potgowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4.1 Przedzia zbienoci szeregu potgowego. . . . . . . . . . . . . 846.4.2 Znajdowanie promienia zbienoci szeregu potgowego. . . . . 856.4.3 Wasnoci sumy szeregu potgowego. . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Zbiory i funkcje wypuke 887.1 Zbiory wypuke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2 Funkcje wypuke i wklse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.1 Charakteryzacja funkcji wypukej przez wypuko epigrafu . . 897.3 Funkcje wypuke zmiennej rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.3.1 Charakteryzacja funkcji wypukej przez ilorazy rnicowe . . . 907.3.2 Rniczkowalno funkcji wypukych . . . . . . . . . . . . . . 907.3.3 Warunki wypukoci funkcji rniczkowalnej . . . . . . . . . . 927.3.4 Pooenie wykresu funkcji wypukej i rniczkowalnej wzgldem

stycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.3.5 Punkty przegicia wykresu funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4

Rozdzia 1

Zbiory liczbowe

1.1 Krtka informacja o zbiorach liczb naturalnych,cakowitych i wymiernych

1.1.1 Liczby naturalne

Zbir liczb naturalnych oznaczamy przez N.

Liczby naturalne wprowadza si w sposb aksjomatyczny (aksjomatyka Peano).Pojciami pierwotnymi s: 1, m jest nastpnikiem n oraz N.

Aksjomat I. 1 jest liczb naturaln, czyli 1 N.Aksjomat II. 1 nie jest nastpnikiem adnej liczby naturalnej.

Aksjomat III. Dla kadej liczby naturalnej n istnieje dokadnie jednaliczba naturalnam bdca nastpnikiem n.

Aksjomat IV. Jeeli liczba naturalna m jest nastpnikiem liczby naturalnej n iliczby naturalnej k, to n = k.

Aksjomat V - Zasada indukcji zupenej. Jeeli A jest podzbiorem zbioru liczbnaturalnych takim, e

1. 1 A;2. dla kadego n (N), jeeli n A oraz m jest nastpnikiem n, to m A.

wtedy A = N. 1

1Szczegy w ksice H. Rasiowej - Wstp do matematyki wspczesnej.

5

1.1.2 Liczby cakowite

W iloczynie kartezjaskim N N okrela si relacj:

(n,m) (k, l) n+ l = m+ k

Jest to relacja rwnowanoci (zwrotna, symetryczna, przechodnia).Zbir klas abstrakcji tej relacji nazywamy zbiorem liczb cakowitych i oznaczamy

przez Z. Przez [(n,m)] oznaczamy klas abstrakcji pary (n,m).W zbiorze liczb cakowitych wprowadza si dziaanie dodawania:

[(n,m)] + [(k, l)] = [(n+ k,m+ l)]

Dowodzi si, e tak okrelone dziaanie nie zaley od wyboru reprezentantw klas, toznaczy jeli zmienimy pary na inne, ale rwnowane wyjciowym, to wynik dziaaniabdzie taki sam.

Klas [(1, 1)] nazywamy zerem. (Pary rwnowane z (1, 1) s postaci (n, n), czylidla n N zachodzi rwno [(1, 1)] = [(n, n)]).

Zero jest elementem neutralnym dodawania, a dla kadej liczby cakowitej istniejeliczba cakowita (dokadnie jedna), ktra dodana do tej liczby daje zero.

1.1.3 Liczby wymierne

W iloczynie kartezjaskim Z (N \ {0}) okrela si relacj:

(u, v) (x, y) uy = vx

Jest to relacja rwnowanoci. Zbir klas abstrakcji tej relacji nazywa si zbioremliczb wymiernych i oznacza przez Q, klas abstrakcji pary (u, v) oznaczamy przez[(u, v)].

W zbiorze liczb wymiernych wprowadza si dziaanie dodawania

[(u, v)] + [(x, y)] = [(uy + vx, vy)]

i mnoenia[(u, v)] [(x, y)] = [(ux, vy)]

Dowodzi si, e te okrelenia nie zale od wyboru reprezentantw klas.Jedynk ze zbioru liczb cakowitych utosamia si z par [(1, 1)]. Jest to element

neutralny mnoenia. Dla kadej, rnej od zera liczby wymiernej (czyli rnej od[(0, 1)]) istnieje liczba wymierna, ktra pomnoona przez ni daje jeden.

Twierdzenie 1.1.1 Pomidzy dowolnymi dwoma rnymi liczbami wymiernymi istniejeliczba wymierna rna od kadej z nich.

DOWD: Wystarczy wzi redni arytmetyczn tych liczb.

6

Twierdzenie 1.1.2 Zbir liczb wymiernych jest przeliczalny.

DOWD:eby dowie przeliczalnoci zbioru Q wystarczy pokaza, e da si je ustawi wnieskoczony cig. Taki cig moemy zbudowa w nastpujcy sposb:

0,11,1

1 ,12,21,1

2,2

1 ,13,22,31,1

3,2

2,3

1 , . . .Wyrnione fragmenty cigu skadaj si z wszystkich moliwych uamkw, ktrychsuma licznika i mianownika jest taka sama, przy czym moemy nie uwzgldniatych liczb wymiernych, ktre pojawiy si ju wczeniej. Dowolnie wybrana liczbawymierna znajdzie si w tym cigu, wic zawiera on wszystkie liczby wymierne.

1.2 Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych przypomocy przekrojw Dedekinda

1.2.1 Definicja przekrojw Dedekinda i podstawowe wasnoci

Definicja 1.2.1 Przekrojem Dedekinda zbioru liczb wymiernych nazywa si kadpar uporzdkowan [A,B] zoon z dwch niepustych podzbiorw zbioru Q, speniajcnastpujce warunki:

1. A B = Q2. a A, b B; a < b

A nazywa si klas doln, B klas grn. Jeli klasa dolna zawiera najwikszyelement, to nazywa si domknita, a jeli nie, to otwarta. Podobnie dla klasy grneji najmniejszego elementu.

Moliwe s nastpujce przekroje Dedekinda:

Przekrj wymierny: dokadnie jedna z klas jest domknita.

Dolna klasa domknita, grna otwarta. Grna klasa domknita, dolna otwarta.

Przekrj niewymierny: obydwie klasy s otwarte.

Twierdzenie 1.2.1 Nie istniej przekroje Dedekinda zbioru liczb wymiernych zobydwoma klasami domknitymi.

7

DOWD:Przypumy, e [A,B] jest przekrojem Dedekinda zbioru liczb wymiernych i niecha bdzie najwikszym elementem klasy dolnej A, b najmniejszym elementem klasygrnej B.

Z 2) wynika, e a < b, a z wasnoci gstoci zbioru liczb wymiernych, e istniejec (a, b). Liczba c jest wiksza od a (najwikszej w klasie A), zatem c / A. Liczbac jest mniejsza od b (najmniejszej w klasie B), zatem c / B. Z tego, e c / A,B ic Q wynika, e A B 6= Q co jest sprzeczne z 1).

Przykad 1.2.1 (Przekrj Dedekinda z dwoma klasami otwartymi) Niech Abdzie zbiorem wszystkich liczb wymiernych niedodatnich i takich dodatnich , e2 < 2, natomiast B = Q \ A. Przekrj [A,B] jest przekrojem niewymiernym.

1.2.2 Definicja zbioru liczb rzeczywistych

Definicja 1.2.2 Zbir wszystkich przekrojw Dedekinda zbioru liczb wymiernychnazywa si zbiorem liczb rzeczywistych. Oznaczamy go przez R.

Przekroje Dedekinda, w ktrych jedna z klas jest domknita identyfikujemy z liczbamiwymiernymi. Przekroje, w ktrych obydwie klasy s otwarte, nazywamy liczbaminiewymiernymi.

Umawiamy si, e jeli liczba rzeczywista x jest wymierna, to reprezentujemy jprzekrojem Dedekinda z lew klas domknit. Przy tej konwencji wprowadzamy wzbiorze wszystkich liczb rzeczywistych relacj porzdku.

Definicja 1.2.3 Niech x = [A,B], y = [C,D] bd dwoma dowolnymi liczbamirzeczywistymi. Mwimy, e liczba x jest mniejsza lub rwna liczbie y, co oznaczamyx y, jeli A C.

Ta relacja ma nastpujce wasnoci:

1. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x jest x x (zwrotno).2. Jeli x y i y x, to x = y (antysymetria).3. Jeli x y i y z, to x z (przechodnio).4. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y jest x y lub y x (spjno).

Nierwno x < y oznacza, e x y i x 6= y.

Twierdzenie 1.2.2 Pomidzy dwoma, rnymi liczbami rzeczywistymi znajduje si,zawsze, rna od nich liczba wymierna.

DOWD:Niech x, y bd dwoma rnymi liczbami rzeczywistymi. Rozwamy trzy przypadki:

8

1. x, y wymierne. Wynika bezporednio z wasnoci zbioru liczb wymiernych.

2. Jedna z liczb wymierna, druga niewymierna. Niech x = [A,B] bdzie liczbniewymiern, y wymiern i niech x < y , czyli y B (sposb postpowaniadla y < x byby analogiczny).Klasa B nie ma elementu najmniejszego, zatem istnieje taka liczba wymiernaq B, e q < y. Poniewa q B zatem x < q.

3. Obydwie liczby niewymierne. Niech x = [A,B], y = [C,D] niewymierne, x < y.Wtedy B C 6= .Kada liczba q B C jest wymierna i spenia nierwnoci x < q < y.

1.2.3 Wasno cigoci zbioru liczb rzeczywistych

Przekrj Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych R okrela si analogicznie jak przekrjDedekinda zbioru liczb wymiernych, to znaczy jako par niepustych podzbiorwA,B R takich, e A B = R oraz a A,b B; a < b.

Twierdzenie 1.2.3 Dla kadego przekroju Dedekinda [A,B] zbioru liczb rzeczywistychjedna z klas jest domknita. (Oczywicie tylko jedna z klas.)

DOWD:Niech [A,B] bdzie dowolnym przekrojem Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych,czyli:

1) A B = R2) a A, b B; a < b

Naley udowodni, e nie istnieje przekrj z dwoma klasami domknitymi ani przekrjz dwoma klasami otwartymi:

a) Przypumy, e obie klasy s domknite: Niech a bdzie najwikszym elementemw A, b najmniejszym elementem w B. Wtedy a < b i z twierdzenia 1.2.2wynika, e istnieje c (a, b) Q. Zarazem c / A B = Q, bo a < c < b, costanowi sprzeczno.

b) Przypumy, e obydwie klasy A i B s otwarte i przyjmijmy

A = A Q, B = B Q

Liczba rzeczywista x := [A, B] naley do R = A B.Rozwamy przypadek, gdy x A (analogiczne postpowanie byoby dla x B).Klasa A nie ma elementu najwikszego, wic istnieje y A takie, e y > x

9

ustalmy je. Na podstawie twierdzenia 1.2.2 istnieje takie q Q, e x < q < y.Poniewa x < q i q Q, wic q B. Z drugiej strony q < y, a z faktu, ey A wynika, e q A, wic q A.Dostalimy, e q A B, a to jest niemoliwe, bo A B = . Sprzecznota pokazuje, e przypuszczenie i obydwie klasy A i B s otwarte musiao byfaszywe.

1.2.4 Wasnoci dziaa w zbiorze liczb rzeczywistych

Definicja 1.2.4 (Dodawanie) Niech przekroje Dedekinda [A,B] i [C,D] zbioruliczb wymiernych okrelaj dwie dowolne liczby rzeczywiste x i y. Sum x+y nazywamyliczb rzeczywist okrelon przekrojem Dedekinda [U, V ], gdzie

V = {b+ d : b B, d D}, U = Q \ V

Zbir V wystpujcy w definicji skadajcy si z sum elementw zbiorw B i Doznacza si na og symbolem B +D.

Definicja 1.2.5 Niech przekroje Dedekinda [A,B] i [C,D] zbioru liczb wymiernychokrelaj dwie nieujemne liczby rzeczywiste x i y. Iloczynem x y nazywamy liczbrzeczywist okrelon przekrojem Dedekinda [U, V ], gdzie

V = {b d : b B, d D}, U = Q \ V

W celu zdefiniowania iloczynu dowolnych liczb rzeczywistych wykorzystamy fakt,e jeli x jest liczb rzeczywist ujemn, to liczba do niej przeciwna jest dodatnia.Skorzystamy z tego za porednictwem wartoci bezwzgldnej liczby rzeczywistej

|x| ={

x jeli x 0x jeli x < 0

Definicja 1.2.6 Iloczynem dwch dowolnych liczb rzeczywistych x, y nazywamy liczb|x| |y|, jeli obydwie s nieujemne lub obydwie niedodatnie oraz liczb (|x| |y|),jeli jedna z nich jest dodatnia, a druga ujemna.

Twierdzenie 1.2.4 Zbir liczb rzeczywistych z dziaaniem dodawania i mnoeniaspenia warunki:

1. x, y, z R; (x+ y) + z = x+ (y + z)2. e0 R,x R; x+ e0 = x3. x R,y R; x+ y = e04. x, y R; x+ y = y + x

10

5. x, y, z R; (xy)z = x(yz))6. e1 R,x R; e1x = x7. x R, x 6= e0,y R; xy = e18. x, y R; xy = yx9. x, y, z R; x(y + z) = xy + xz

Element e0 tradycyjnie oznaczamy przez 0, a e1 przez 1.Zbir z dwoma dziaaniami speniajcymi warunki podane w twierdzeniu nazywa

si ciaem.

1.3 Kresy podzbiorw zbioru liczb rzeczywistych

1.3.1 Zbiory ograniczone

Definicja 1.3.1 (Ograniczenia zbiorw liczb) Niech U R. Kad liczb b Rspeniajc warunek

u U ; u bnazywa si ograniczeniem grnym zbioru U .

Jeli istnieje chocia jedno ograniczenie grne zbioru, to zbir taki nazywa siograniczonym z gry.

Analogicznie definiuje si ograniczenia dolne i zbiory ograniczone z dou. Zbirograniczony z gry i z dou nazywa si ograniczonym.

Jeli liczba u jest ograniczeniem grnym zbioru U , to kada liczba wiksza od niejte jest jego ograniczeniem grnym. Podobnie kada liczba mniejsza od ograniczeniadolnego zbioru U jest te jego ograniczeniem dolnym.

1.3.2 Kres grny i kres dolny zbiorw

Twierdzenie 1.3.1 Jeli niepusty zbir liczb jest ograniczony z gry, to istniejejego najmniejsze ograniczenie grne.

DOWD: Niech zbir U R spenia zaoenia. Oznaczmy przez B zbir jegoogranicze grnych oraz A := R \B.

Para [A,B] jest przekrojem Dedekinda zbioru R, czyli dokadnie jedna z klas jestdomknita. Jeli domknita jest klasa B, to jej najmniejszy element jest szukanymnajmniejszym ograniczeniem grnym.

Przypumy, e domknita jest klasa A i a jest jej najwikszym elementem.Z faktu, e a / B, czyli a nie jest ograniczeniem grnym zbioru U , wynika istnieniex U takiego, e a < x. a jest najwikszym elementem w A, wic x B. W klasieB nie ma elementu najmniejszego, wic istnieje takie b B, e b < x.

11

b jest ograniczeniem grnym U , a z drugiej strony jest mniejsze od jednego z elementwtego zbioru. Sprzeczno ta pokazuje, e przypuszczenie i klasaA zawieraa najwikszyelement nie moe by prawdziwe a wobec tego B zawiera element najmniejszy.

Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla zbiorw ograniczonych z dou.Kres grny i dolny nazywa si te odpowiednio supremum i infimum zbioru oraz

oznacza supU, inf U .Jeli zbir U nie jest ograniczony z gry, to przyjmujemy supU = +, jeli nie

jest ograniczony z dou, to inf U = .Dodatkowo przyjmuje si nastpujc konwencj:

sup = , inf = +

Definicja 1.3.2 (Maksimum i minimum zbioru)Jeli supU U , to liczb supU nazywamy maksimum zbioru U i oznaczamy maxU .Jeli inf U U , to liczb inf U nazywamy minimum zbioru U i oznaczamy minU .

Maksimum zbioru, o ile istnieje, jest jego najwikszym elementem, a minimumnajmniejszym.

Twierdzenie 1.3.2 Jeli U R jest niepustym zbiorem ograniczonym z gry, tonastpujce trzy warunki s rwnowane:

1. s = supU

2. (a) p U ; p s(b) x < s, p U ; x < p

3. (c) Jeli cig {pn} elementw zbioru U jest zbieny, to lim pn s(d) Istnieje cig elementw zbioru U zbieny do s.

DOWD:1. 2.supU jest ograniczeniem grnym zbioru U , wic warunek (a) jest speniony.Gdyby nie byo elementu p U takiego, e x < p, to x byby ograniczeniem grnymzbioru U wbrew temu, e s jest najmniejszym ograniczeniem grnym.1. 2.Z (a) wynika, e s jest ograniczeniem grnym.Z (b) wynika, e dla kadej liczby x < s istnieje p U takie, e x < p, czyli x niemoe by ograniczeniem grnym, a wic s jest najmniejszym ograniczeniem grnym.

2. 3.Warunek (c) wynika z tego, e nierwno zachowuje si przy przejciu do granicy.Dziki (a) i (b) istnieje cig pn U taki, e

s 1n< pn s

12

i z twierdzenia o trzech cigach lim pn = s.2. 3.Przypumy, e warunek (a) nie jest speniony, tzn. istnieje element p U taki, ep > s. Cig stay pn = p jest zbieny i lim pn = p > s, co przeczy zaoeniu (c).Niech pn bdzie cigiem elementw zbioru U zbienym do s. Jeli x < s, to poczwszyod pewnego wskanika wyrazy cigu s wiksze od x. Wynika std (b).

13

Rozdzia 2

Cigi liczbowe

2.1 Definicja cigu

Definicja 2.1.1 Cigiem nazywamy kade odwzorowanie zbioru liczb naturalnychN w pewien ustalony zbir X.

Sposoby oznaczenia cigw: {an}n=1 , bd {an} , czsto po prostu an , czasemwymienia si kilka pierwszych wyrazw cigu i koczy kropkami a1, a2, a3, . . .Wartoci tego odwzorowania, to znaczy punkty a1, a2, . . . X nazywa si wyrazamicigu. Czasami numeruje si wyrazy cigu inaczej ni kolejnymi liczbami naturalnymipoczwszy od 1. Na przykad a0, a1, a2, . . . lub jeszcze inaczej. Zawsze jednak monatak je przenumerowa, eby indeksy byy takie jak w definicji.Jeli X = R, to mwimy o cigach liczbowych.

2.2 Cigi zbiene

Definicja 2.2.1 Mwimy, e liczba g jest granic cigu liczbowego an, jeli spenionyjest warunek

> 0, n R, n n; |an g| < Piszemy wtedy:

limn an = g

Cig majcy granic nazywa si zbienym.

Lemat 2.2.1 Cig moe mie co najwyej jedn granic.

DOWD:Przypumy, e istniej dwie rne granice g1 < g2 cigu an.Ustalmy = g2g13 .Dziki zbienoci cigu an do g1 istnieje n, e dla n n jest |an g1| < .Podobnie dziki zbienoci cigu an do g2 istnieje n, e dla n n jest |an g2| < .Dla n max{n, n} mamy

an < g1 + oraz g2 < an

14

co jest niemoliwe, bo g1 + < g2 .Przypuszczenie, e istniej dwie rne granice tego samego cigu, musiao wic

by faszywe.

Uwaga 2.2.1 Dla kadego cigu an mamy

lim an = g lim(an g) = 0 lim |an g| = 0

Lemat 2.2.2 Cig zbieny jest ograniczony, to znaczy

M 0, n N ; |an| M.

(Ograniczono cigu oznacza, e zbir jego wyrazw jest ograniczony.)DOWD:Ustalmy = 1.Cig jest zbieny do g, wic dla wszystkich n poczwszy od pewnego n1 spenionajest nierwno |an g| < 1, a zatem

g < an < g +

Skoczony zbir {a1, . . . , an11} jest te ograniczony.Zbir wszystkich wyrazw cigu jest wic ograniczony jako suma dwch zbiorwograniczonych.

Twierdzenie 2.2.1 Jeli cigi {an} i {bn} s zbiene oraz n N ; an bn, tolim an lim bn.

DOWD:Przypumy, e teza twierdzenia nie jest speniona, czyli a = lim an > lim bn = b.Ustalmy = ab3 .Istnieje n1 takie, e dla n n1 jest |an a| < .Podobnie istnieje n2 takie, e dla n n2 jest |bn b| < .Dla n max{n1, n2} zachodz nierwnoci

bn b+ < a anco jest sprzeczne z zaoeniem, e an bn. Tak wic nierwno a > b nie jestmoliwa.

UWAGA: Silna nierwno pomidzy wyrazami cigw nie implikuje silnej nierwnocimidzy granicami, a jedynie sab.

15

Twierdzenie 2.2.2 (Twierdzenie o trzech cigach) Jeli lim an = lim bn = goraz dla prawie wszystkich n N zachodz nierwnoci

an un bnto limun = g.

DOWD:Ustalmy > 0.Istnieje n, e dla n n jest g an g + .Istnieje n, e dla n n jest g bn g + .Dla n max{n, n} mamy

g an un bn g +

Twierdzenie 2.2.3 Jeli limn un = g, to limn |un| = |g|.Dowd wynika z nierwnoci

||a| |b|| |a b|oraz wasnoci zawartej w Uwadze 2.2.1.

2.2.1 Dodawanie, mnoenie i dzielenie cigw

Sum cigw {an} i {bn} nazywa si cig {an+bn}. Podobnie iloczyn liczby s i cigu{an} to cig {san}, iloczyn cigw {an} i {bn} to cig {anbn}, a iloraz to {anbn } wtym ostatnim przypadku wyrazy cigu {bn} musz by rne od zera.Twierdzenie 2.2.4 Zamy, e cigi {an} i {bn} s zbiene. Wtedy

1. Cig {an + bn} jest zbieny i lim(an + bn) = lim an + lim bn.2. (s R) cig {san} jest zbieny i lim san = s lim an.3. Cig {anbn} jest zbieny i lim(anbn) = lim an lim bn.4. Jeli lim bn 6= 0, to cig {anbn } jest zbieny i

limanbn

=lim anlim bn

DOWD:Wprowadmy oznaczenia lim an = a i lim bn = b.

1. Ustalmy > 0.Istnieje n, e dla n n: |an a| < 2 .Istnieje n, e dla n n: |bn b| < 2 .Dla n n = max{n, n}

|(an + bn) (a+ b)| = |(an a) + (bn b)| |an a|+ |bn b| <

16

2. Dla s = 0 twierdzenie jest oczywiste.Rozpatrzmy przypadek s 6= 0.Ustalmy > 0Istnieje n, e dla wszystkich n n zachodz nierwnoci

|an a| < |s|Mnoc stronami przez |s| dostajemy |san sa| < .

3. Ustalmy > 0.

|anbn ab| = |anbn abn + abn ab| |anbn abn|+ |abn ab| = |bn| |an a|+ |a| |bn b|

Istnieje M 0 takie, e dla wszystkich n N zachodzi nierwno |bn| M .Mamy wic dla wszystkich n

|anbn ab| M |an a|+ |a| |bn b|JeliM > 0, to ustalamy n takie, e dla n n jest |ana| < 2M . JeliM = 0,to n = 1.Jeli a 6= 0, to ustalamy n takie, e dla n n jest |bn b| < 2|a| . Jeli a = 0,to przyjmujemy n = 1.Dla n n = max{n, n} mamy:

|anbn ab| M 2M + |a|

2|a| =

4. Ustalmy > 0. anbn ab =

anb abnbnb = |anb abn||bn| |b|

Istnieje n, e dla n n jest|bn| |b| < 12 |b|, a std |bn| > 12 |b|.

Dla n n mamy 1|bn| < 2|b| , dziki czemuanbn ab 2b2 |anb abn| 2b2 (|an a)| |b|+ |b bn| |a|)

Istnieje n, e dla n n jest |an a| < |b|4 .Jeli a = 0, to dla n n = max{n, n}anbn ab

2b2 |b|4 = 2Rozwamy przypadek a 6= 0. Istnieje n, e dla n n jest |bn b| < b24|a| .Wtedy dla n n = max{n, n, n} bdzieanbn ab

2b2 ( |b|4 |b|+ b

2

4|a| |a|)=

17

2.2.2 Cigi monotoniczne i ich zbieno

Definicja 2.2.2 (Cigi rosnce i silnie rosnce)Cig {an} nazywa si rosncym, jeli speniony jest warunek

n N ; an an+1Jeli nierwno powyej jest silna, to mwimy o cigu silnie rosncym.Zmieniajc kierunek nierwnoci dostajemy okrelenie cigu malejcego.

Cigi rosnce i malejce nazywa si cznie cigami monotonicznymi.

Twierdzenie 2.2.5 Cig monotoniczny i ograniczony jest zbieny.

DOWD: Niech cig {an} bdzie niemalejcy i ograniczony z gry.Przyjmijmy g = sup{an : n N}. Wykaemy, e cig {an} jest zbieny do g.Ustalmy dowolne > 0.Istnieje wyraz cigu oznaczmy go przez ak ktry spenia nierwno g < ak.Ze wzgldu na monotoniczno mamy (n k) g < ak an.Oprcz tego (n) an g, wic ostatecznie

n k; g < an g < g +

czyli |an g| < .

Wnioskiem z tego twierdzenia jest nastpujce:

Twierdzenie 2.2.6 (O zstpujcym cigu przedziaw domknitych) Niech[an, bn] bdzie zstpujcym cigiem przedziaw domknitych, przy czym cig ichdugoci jest zbieny do zera, czyli

m, n N ; (m n) (am an bn bm) oraz lim(bn an) = 0.

Wtedy cz wsplna tych wszystkich przedziaw jest zbiorem jednopunktowym {g}oraz lim an = lim bn = g.

DOWD: k N liczba bk jest ograniczeniem grnym cigu {an}, a liczba ak jestograniczeniem grnym cigu {bn}. Cigi te s monotoniczne, a wic maj granice.Dziki zaoeniu i Tw. 2.2.4 mamy

lim bn lim an = lim(bn an) = 0

Zbir jednopunktowy {g} zawierajcy wspln granic tych cigw jest czciwspln wszystkich przedziaw [an, bn].

Twierdzenie 2.2.7 Zbir liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

18

DOWD:Przypumy, e zbir liczb rzeczywistych R jest przeliczalny, a wic istnieje cig {xn}zawierajcy wszystkie liczby rzeczywiste. Korzystajc z Zasady Indukcji definiujemyzstpujcy cig przedziaw [an, bn] taki, e

(n N, k n)xk / [an, bn] i limn(bn an) = 0

1. Jako [a1, b1] bierzemy dowolny przedzia nie zawierajcy liczby x1.

2. Jeli wybrane s przedziay [a1, b1], [a2, b2], . . . , [an, bn], to jako przedzia [an+1, bn+1]wybieramy przedzia zawarty w [an, bn], nie zawierajcy xn+1 oraz o dugocirwnej bnan3 .

Cigi {an} i {bn} speniaj zaoenia twierdzenia o zstpujcym cigu przedziaw,a ich wsplna granica g, jako naleca do czci wsplnej tych przedziaw, nie moeby adnym z wyrazw cigu {xn}.

2.3 Warunek Cauchyego, zupeno zbioru liczbrzeczywistych

Definicja 2.3.1 Mwimy, e cig {an} spenia warunek Cauchyego, jeli > 0, n, m, n n; |am an|

Cig speniajcy warunek Cauchyego nazywa si cigiem Cauchyego lub cigiempodstawowym.

Lemat 2.3.1 Cig zbieny spenia warunek Cauchyego.

DOWD: Niech lim an = g i ustalmy dowolne > 0.Istnieje n, e dla k n jest |ak g| < 2 .Biorc n n i m n mamy

|an am| = |an g + g am| |an g|+ |am g| < 2 +

2=

Lemat 2.3.2 Cig Cauchyego jest ograniczony.

DOWD:Wemy = 1. Istnieje n1, e m,n n1 jest |am an| < 1.W szczeglnoci dla n n1 zachodz nierwnoci |an an1| < 1 czyli an (an1 1, an1 + 1).Skoczony zbir wyrazw {a1, a2, . . . , an11} jest ograniczony, a zatem zbir wszystkichwyrazw cigu {an} jest ograniczony jako suma dwch zbiorw ograniczonych.

Dla cigw o wartociach w zbiorze liczb rzeczywistych zachodzi twierdzenie

odwrotne.

19

Twierdzenie 2.3.1 Cig liczbowy {an} speniajcy warunek Cauchyego jest zbieny.(T wasno zbioru liczb rzeczywistych nazywamy jego zupenoci.)

DOWD:Niech {an} bdzie cigiem Cauchyego.Przyjmijmy n = inf{ak; k n} oraz n = sup{ak; k n}Cig Cauchyego jest ograniczony, wic wyrazy n i n s skoczone.Dla kadego n N zachodz nierwnoci n n+1 n+1 n.Ustalmy > 0 i niech n bdzie takie, e k, l n; |ak al| < 2 .Niech n n.Dla l n mamy al < an + 2 i std n = sup{al : l n} an + 2 .Z drugiej strony dla l n mamy al > am i std n = inf{al : l n} an 2 .Mamy wic nierwnoci

an

2 n n an +

2

skd n n . Wynika std, e lim(n n) = 0.Dziki twierdzeniu o zstpujcym cigu przedziaw limn = lim n, a nierwnocin an n oraz twierdzenie o trzech cigach implikuj zbieno cigu {an}.

2.4 Cigi zbiene do nieskoczonoci graniceniewaciwe

Definicja 2.4.1 Mwimy, e cig {an} jest zbieny do +, jeli spenia nastpujcywarunek:

L R, nL, n nL; an > LCig jest zbieny do , jeli:

l R, nl, n nl; an l

Zapisujemy to lim an = +, lim an = i mwimy, e granice s niewaciwe.

Czsto te w takiej sytuacji mwi si o cigach rozbienych do + bd do .

2.4.1 Wasnoci cigw zbienych do nieskoczonoci

Lemat 2.4.1 Jeli cig {an} jest zbieny do +, a cig {bn} jest ograniczony zdou, to cig {an + bn} jest zbieny do +.(Analogiczne twierdzenie dla cigw zbienych do .)

DOWD:Ustalmy dowolne L R. Cig {bn} jest ograniczony z dou, wic istnieje m Rtakie, e (n N) bn > m, ustalmy takie m.Istnieje n takie, e (n n) an > Lm. Czyli (n n) an + bn > L.

20

O rnicy nic nie mona oglnie powiedzie.

Lemat 2.4.2 Jeli cig {an} jest zbieny do +, a cig {bn} poczwszy od pewnegowskanika ograniczony z dou przez liczb dodatni (z gry przez liczb ujemn), toiloczyn {anbn} jest cigiem zbienym do + (do ).

DOWD:Ustalmy dowolne L R.Istnieje m > 0, e poczwszy od pewnego wskanika n1 N zachodzi nierwno:(n n1) bn > m. Istnieje n2 N, e (n n2) an > Lm . Niech n = max{n1, n2}.Wtedy (n n) anbn > L.

Jeli cig {bn} nie spenia zaoenia tego lematu, to nic z gry nie mona powiedzieo zachowaniu si iloczynu.

Przykad 2.4.1 Wemy pod uwag cigi o nastpujcych wyrazach oglnych

an = n, bn = n+1n, cn = n2, dn = n+ (1)n

Wszystkie one s zbiene do +. Mamylim(an + bn) = +, lim(an bn) = 0, lim(an cn) =

Granica cigu {an dn} nie istnieje, ani nie jest on zbieny do + lub .

Przykad 2.4.2 Rozwamy cigi

an = n, bn =1n, cn =

1n2

dn =1n, en = (1 + (1)n) 1

n2+ (1 (1)n) 1

n

oraz iloczyny cigu {an} z kadym z pozostaych.

2.5 Podcigi (cigi czciowe)

Definicja 2.5.1 Dany jest cig {an}. Jeli {nk}k=1 jest dowolnym silnie rosncymcigiem liczb naturalnych, to cig {bk} okrelony rwnoci bk = ank , dla k N ,nazywamy podcigiem lub cigiem czciowym cigu {an}.

Mona sobie wyobraa, e podcig powstaje przez opuszczenie czci wyrazwwyjciowego cigu - skoczenie lub nieskoczenie wielu.Wane s relacje pomidzy zbienoci cigu i zbienoci jego podcigw.

21

Lemat 2.5.1 Jeli cig jest zbieny, to kady jego podcig jest zbieny do tej samejgranicy.

DOWD:Sprbujmy wykaza, e (k N) nk k.Istotnie n1 1, bo n1 N. Zamy prawdziwo tego wzoru dla pewnego k.Poniewa nk+1 N i nk N oraz nk+1 > nk, wic nk+1 nk + 1 k + 1.Suszno tego wzoru dla k N wynika z zasady indukcji.Ustalmy > 0.Jeli lim an = a, to istnieje n N takie, e |an a| < dla n n.Jak zauwaylimy: nk n dla k n, wic |ank a| < dla k n.Wobec dowolnoci liczby dodatniej dowodzi to, e lim ank = a.

Lemat 2.5.2 Jeli kady podcig danego cigu ma podcig zbieny do tej samejliczby g, to wyjciowy cig jest zbieny do tej liczby.

DOWD:Przypumy, e kady podcig danego cigu ma podcig zbieny do tej samej liczbyg, ale cig wyjciowy nie jest do niej zbieny, a zatem speniony jest nastpujacywarunek:

> 0, n N, n n; |an g| Ustalmy takie .

1. Jeli wybierzemy n = 1 to z def. istnieje n1 n takie, e |an1 g| .2. Teraz za n wybierzmy poprzednio znaleziony wskanik i dodajmy do niego 1,

tzn. n = n1 + 1; z definicji istnieje n2 n takie, e |an2 g| .W k-krotnym kroku ustalajc n = nk1 + 1 znajdujemy n2 n

Na mocy indukcji dowiedlimy istnienia podcigu rozbienego tego cigu, ktry niemoe mie podcigu zbienego do g (granicy skoczonej), a zatem otrzymalimysprzeczno z zaoeniem.

Przykad 2.5.1 Wiadomo, e zbir liczb wymiernych jest przeliczalny, to znaczy,e mona je ustawi w cig. Niech {qn} bdzie takim cigiem. Wiadomo rwnie,e kad liczb rzeczywist mona przedstawi jako granic cigu liczb wymiernych,przy czym mona to zrobi tak, eby taki przybliajcy cig by podcigiem ustalonegoprzez nas cigu {qn}. Tak wic cig {qn}, ktry nie jest zbieny, ma co najmniej tylepodcigw zbienych, ile jest liczb rzeczywistych.

22

2.5.1 Istnienie podcigw zbienych

Istniej cigi, ktre nie maj adnego podcigu zbienego (chodzi tu o zbieno dogranicy skoczonej). Na przykad kady cig zbieny do +.

Twierdzenie 2.5.1 (Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa)Kady ograniczony cig liczbowy ma podcig zbieny.

DOWD:Niech an bdzie cigiem ograniczonym z dou przez liczb A i z gry przez liczb B.Utwrzmy zstpujcy cig przedziaw domknitych [um, vm] majcy nastpujcewasnoci:

(i) vm um = BA2m(ii) m przedzia [um, vm] zawiera nieskoczenie wiele wyrazw cigu an(iii) um um+1 vm+1 vmZrbmy to indukcyjnie w nastpujcy sposb:

1. Przyjmujemy u0 = A, v0 = B.

2. Zamy, e dla pewnego m mamy um i vm speniajce warunki (i), (ii).Niech z = vmum2 .Jeli przedzia [um, z] zawiera nieskoczenie wiele wyrazw cigu an,to przyjmujemy um+1 = um, vm+1 = z.W przeciwnym przypadku przyjmujemy um+1 = z, vm+1 = vm.

Korzystajc z cigw um i vm znajdujemy, rwnie uywajc Zasady Indukcji, podciganm cigu an speniajcy warunek um anm vm:

1. Jako an0 przyjmujemy dowolny wyraz cigu an.

2. Zamy, e okrelony zosta wyraz anm speniajcy wymagany warunek.Przedzia [um+1, vm+1] zawiera nieskoczenie wiele wyrazw cigu an, wicistnieje pord nich wyraz o wskaniku wikszym od nm. Wybieramy dowolnyz nich i przyjmujemy jako anm+1 .

Na podstawie twierdzenia o zstpujcym cigu przedziaw domknitych i twierdzeniao trzech cigach podcig anm jest zbieny.

2.6 Granica grna i dolna cigu

Niech {an} bdzie dowolnym cigiem liczbowym.

Definicja 2.6.1 (Granica grna cigu)

23

1. Jeli cig jest ograniczony z gry, to jego granic grn nazywa si kres grnyzbioru wszystkich granic zbienych podcigw tego cigu.

2. Jeli cig nie jest ograniczony z gry, to jako granic grn przyjmujemy +.

Jeli cig ograniczony z gry (czyli w pierwszym przypadku) nie ma adnego zbienegopodcigu, to zgodnie z konwencj sup = jego granic grn jest. Analogiczniedefiniuje si granic doln.Granic grn nazywa si te limes superior i oznacza lim sup an.Granic doln nazywa si limes inferior i oznacza lim inf an.

Twierdzenie 2.6.1 (Charakteryzacja granicy grnej i dolnej)

lim supn

an = infnsup{ak : k n} lim inf

n an = supninf{ak : k n}

DOWD (dla granicy grnej):Rozwaymy trzy przypadki:

1. lim sup an R.Wykaemy dwie nierwnoci, z czego bdzie wynikaa potrzebna rwno:

lim sup an infn sup{ak : k n}Niech g bdzie dowoln granic czciow cigu an.n; g sup{ak : k n}.g infn sup{ak : k n}.lim sup an infn sup{ak; k n}.

lim sup an infn sup{ak : k n}Wemy dowolne > lim sup an.Skoczenie wiele wyrazw an moe by wikszych od , czyli.n,n n; sup{ak : k n} < .infn sup{ak : k n} < .Biorc pod uwag wszystkie moliwe > lim sup an moemy napisainfn sup{ak : k n} inf{; > lim sup an} = lim sup an.

2. lim sup an = +Wtedy cig an nie jest ograniczony z gry, skdn; sup{ak : k n} = +.infn sup{ak : k n} = +.

3. lim sup an = W tym przypadku lim an = .z R,nz,n nz; sup{ak : k n} z.infn sup{ak; k n} = .

24

Korzystajc z wprowadzonych wczeniej oznacze (przy okazji badania cigwspeniajcych warunek Cauchyego)

n = inf{ak; k n} , n = sup{ak; k n}

udowodnione wzory mona zapisa

lim inf an = limn , lim sup an = lim n

przy czym dla kadego n N zachodz nierwnoci

n n+1 n+1 nZ tego wynika, e zawsze zachodzi nierwno

lim inf an lim sup an

Lemat 2.6.1 Cig jest zbieny wtedy i tylko wtedy, jeli jego granica dolna jestrwna granicy grnej.

DOWD:

1. Zamy, e lim an = g i ustalmy > 0. Istnieje n > 0 takie, e dla k ng < ak < g +

a std wynika, e dla n ng < n n < g +

a wic limn = lim n na podstawie twierdzenia o zstpujcym cigu przedziaw.

2. Zamy, e limn = lim n. Istnienie granicy lim an wynika wtedy z nierwnoci

n an ni twierdzenia o trzech cigach.

Lemat 2.6.2 Istnieje podcig zbieny do granicy grnej cigu i podcig zbieny dojego granicy dolnej.

DOWD: Dla granicy grnej.Rozwaymy trzy przypadki w zalenoci od postaci granicy grnej lim sup an = .

25

1. R.Zauwamy, e dla dowolnej liczby > 0 i dowolnego n N

sup{ak; k n} > g Z drugiej strony istnieje n takie, e dla n n jest

an < +

Korzystajc z tych dwch faktw mona, stosujc zasad indukcji, udowodniistnienie podcigu ank takiego, e dla kadego k N

g 1k< ank < g +

1k

2. = +Dla kadej liczby L R i n N istnieje k n takie, e ak L. Stosujct wasno dla liczb L = 1, 2, . . . mona, przy pomocy indukcji, udowodniistnienie podcigu ank takiego, e ank k, a wic limk ank = +.

3. = W tym przypadku lim an = , a wic sam cig an spenia dany warunek.

2.7 Liczba e

Liczba e, podstawa logarytmw naturalnych, gra du rol w analizie. Wprowadzimyj jako granic pewnego cigu.

Twierdzenie 2.7.1 Cig

xn =(1 +

1n

)njest zbieny.(Granic tego cigu nazywamy sta Eulera i oznaczamy przez e. Pocztkowe wyrazyjej rozwinicia dziesitnego to 2, 718 . . .)

DOWD: Wykaemy, e cig xn jest rosncy i ograniczony.

xn = 1 + n1n+n(n 1)1 2

1n2

+ . . .+n(n 1) . . . (n n+ 1)

1 2 . . . n 1nn

= 2 +12!

(1 1

n

)+ . . .+

1n!

(1 1

n

). . .(1 n 1

n

)

xn+1 = 2 +12!

(1 1

n+ 1

)+ . . .+

1n!

(1 1

n+ 1

). . .(1 n 1

n+ 1

)+

1(n+ 1)!

(1 1

n+ 1

). . .(1 n 1

n+ 1

)(1 n

n+ 1

)

26

Porwnujc skadniki w tych wyraeniach widzimy, e xn < xn+1.Ponadto

xn < 2 +12!

+13!

+ . . .1n!< 2 +

12+

122

+ . . .1

2n1< 3

Lemat 2.7.1 Prawdziwa jest rwno

e = limn

nk=0

1k!

(2.1)

a ponadto dla kadego n

0 < en

k=0

1k! k i odrzumy wszystkieskadniki, ktre wystpuj po wyraeniu zawierajcym 1

k! . Dostaniemy prawdziwdla wszystkich n > k nierwno

xn > 2 + 12!(1 1

n

)+ 13!

(1 1

n

) (1 2

n

)+ . . .

+ 1k!

(1 1

n

) (1 2

n

). . .(1 k1

n

)Przechodzc z n do nieskoczonoci, przy ustalonym k , dostajemy nierwno

e 2 + 12!

+ . . . +1k!

Oznaczmy praw stron tej nierwnoci przez yk . Mamy wic nierwnoci

xk < yk e

prawdziwe dla kadego k w istocie prawa nierwno jest te ostra ze wzgldu nasiln monotoniczno cigu yk. Z twierdzenia o trzech cigach dostajemy rwno(2.1).

Teraz udowodnimy oszacowanie (2.2). Dla dowolnych n, m N mamy

yn+m yn =1

(n+ 1)!

[1 +

1n+ 2

+1

(n+ 2)(n+ 3)+ . . .+

1(n+ 2) . . . (n+m)

] 0 .

1. Jeli lim sup un+1un

< 1 , to szeregun jest zbieny.

2. Jeli lim inf un+1un

> 1 , to szeregun jest rozbieny.

DOWD:

1. Istnieje liczba q (0, 1) i wskanik n, e

n n; un+1un

< q

36

Zbieno szeregu nie zaley od skoczonej liczby wyrazw, mona wic odrzuciwyrazy o wskanikach mniejszych ni n i przenumerowa tak, by zaczynay siod 1.Mnoymy i dzielimy praw stron nierwnoci przez qn

un+1un

1takie, e od pewnego n zachodzi nierwno

un+1un

> q

Wniosek: Niech lim un+1un

= a.

1. Jeli a < 1 , to szeregun jest zbieny.

2. Jeli a > 1 , to szeregun jest rozbieny.

3. Jeli a = 1 , to na podstawie kryterium dAlemberta nie mona stwierdzi, czyten szereg jest zbieny, czy rozbieny.

Przykady:

1. Szereg n

2n jest zbieny, bo limun+1un

= 12 .

2. Szereg 1

njest rozbieny, a lim un+1

un= 1 .

3. Szereg 1

n2jest zbieny, a lim un+1

un= 1 .

Kryterium Cauchyego

Twierdzenie 3.2.4 Niech n N ; un 0. Wtedy

1. Jeli lim sup nun < 1 , to szereg

un jest zbieny.

2. Jeli lim sup nun > 1 , to szereg

un jest rozbieny.

DOWD:

1. q (0, 1),n N,n n; nun < q.Dla n n mamy un < qn, szereg qn jest zbieny, wic na mocy kryteriumporwnawczego szereg

un rwnie jest zbieny.

2. Istnieje nieskoczenie wyrazw szereguun, dla ktrych n

un > 1, czyli un >

1, a wic nie spenia on warunku koniecznego zbienoci szeregw.

37

Wniosek: Niech lim nun = a.

1. Jeli a < 1 , to szeregun jest zbieny.

2. Jeli a > 1 , to szeregun jest rozbieny.

3. Jeli a = 1 kryterium Cauchyego nie pozwala rozstrzygn problemu zbienoci.

Przykad: Niech (n) oznacza liczb dzielnikw liczby naturalnej n . Na podstawiekryterium Caychyego mona stwierdzi, e szereg

(n)xn jest zbieny dla 0

x < 1 , a dla x 1 jest rozbieny. Kryterium dAlemberta nie da si zastosowa.

Porwnanie kryterium dAlemberta z kryterium Cauchyego

Jeli o zbienoci szeregu rozstrzyga kryterium dAlemberta, to rozstrzyga rwniekryterium Cauchyego. Uzasadnimy to stwierdzenie.

Jeli kryterium dAlemberta rozstrzyga, to istnieje q (0, 1) takie, e dla n kzachodzi nierwno

un+1un

< q

Dla n > k jest un < qnkuk, skd

nun < q

nkn nuk q , gdy n

Poczwszy od pewnego n prawdziwa jest nierwno

nun 1 i rozbieny dla s 1.

DOWD:

Przypadek s 1Poprzednio byo pokazane, e dla s = 1 szereg jest rozbieny. Dziki kryteriumporwnawczemu wynika std, e jest rwnie rozbieny dla s < 1 (dla s 0nie spenia nawet warunku koniecznego zbienoci szeregw).

38

Przypadek s > 1Ustalmy dowoln liczb k = 0, 1, 2, . . . i rozwamy sum wyrazw szeregupoczwszy od wskanika 2k do 2k+1 1. Jest ich (2k+1 1) (2k 1) = 2k.

1(2k)s

+1

(2k + 1)s+ . . .+

1(2k+1 1)s 2

k 1(2k)s

= (21s)k

Niech q bdzie dowoln liczb naturaln i wemy liczb p tak, eby byo2p+1 > q.

qn=1

1ns

pk=0

2(1s)k 1. Wynika to z nastpujcego pomocniczego

lematu.

Lemat 3.2.2 Dla dowolnego s > 1 i (0, 1)

limn

nns = 0

DOWD: Oznaczmy xn = nns. Wtedy

xn+1 = (n+ 1n

)sxn

Poniewa limn(n+1n

)s= 1, wic istnieje p, e dla n p mamy

(n+1n

)s< =

12(+ 1) i std xn+1 < xn. Dla dowolnej liczby naturalnej k

xp+k < kxp

i std na mocy twierdzenia o trzech cigach lim xn = 0.

Twierdzenie 3.2.5 (Kryterium Raabego) Niech n N ; un > 0.

1. Jeli

lim infn n

(unun+1

1)> 1

to szeregun jest zbieny.

2. Jeli istnieje takie m N , e dla n m zachodzi nierwno

n

(unun+1

1) 1

to szeregun jest rozbieny.

39

DOWD:

1. Niech r > 1 i nr bd takie, e dla n nr

n

(unun+1

1)> r , czyli

unun+1

> 1 + r1n

Ustalamy s (1, r) i rozwaamy pomocnicze funkcje

(x) = (1 + x)s , (x) = 1 + rx

Dziki nierwnoci(0) = s < r = (0)

istnieje > 0 takie, e jeli 0 < x < , to

(1 + x)s < 1 + rx

Biorc n > 1dostaniemy

unun+1

> 1 +r

n>(1 +

1n

)s=

(n+ 1)s

ns

skdun+1un

1 szeregun jest zbieny, gdy < 1 jest rozbieny.

Uwaga: Jeli limn(

unun+1

1)= 1, ale cig nie jest z gry ograniczony od jakiego

miejsca przez 1, to kryterium Raabego nie rozstrzyga problemu zbienoci tegoszeregu.

40

Porwnanie kryteriw dAlemberta i Raabego

Twierdzenie 3.2.6 Jeli kryterium dAlemberta rozstrzyga o zbienoci szeregu, tokryterium Raabego rwnie rozstrzyga.

DOWD:

1. Zamy, e na podstawie kryterium dAlemberta mona stwierdzi zbienoszeregu

un.

Istniej wtedy (0, 1) i n, e dla n n jest un+1un < .

n

(unun+1

1)> n

( 1 1

) + , gdy n

2. Zamy, e na podstawie kryterium dAlemberta mona stwierdzi rozbienoszeregu

un.

Istniej > 1 i n, e dla n n jest un+1un > .

n

(unun+1

1)< n

(1 1

) , gdy n

Przykad: Rozwaamy nastpujcy szereg z dowolnym parametrem x > 0

n=1

n!(x+ 1)(x+ 2) . . . (x+ n)

Jest on na mocy kryterium Raabego zbieny dla x > 1, rozbieny dla 0 < x < 1.Dla x = 1 jest on rozbieny, ale nie wynika to z kryterium Raabego. Do tego szeregunie da si zastosowa kryterium dAlemberta.

3.2.4 Niezaleno sumy szeregu o wyrazach nieujemnychod kolejnoci sumowania

Wasno przemiennoci dodawania taka jak w arytmetyce niekoniecznie zachodzidla dowolnych sum nieskoczonych (to znaczy sum szeregw o wyrazach dowolnych).Jest prawdziwa przy pewnych zaoeniach. Tutaj wykaemy, e wystarczy do tegonieujemno wyrazw szeregu. Pniej bdzie podany oglniejszy warunek.

Zmiana kolejnoci sumowania w szeregu liczbowym

Na pocztku ustalimy co rozumiemy przez zmian kolejnoci sumowania w szeregu.Wemy pod uwag dowolny szereg

un.

Definicja 3.2.1 Niech : N N bdzie bijekcj zbioru liczb naturalnych na siebiei przyjmijmy un = u(n). Mwimy, e szereg

un powstaje z szeregu

un poprzez

zmian kolejnoci sumowania.

Wykonujc zmian kolejnoci sumowania w szereguun przy pomocy bijekcji

1

odwrotnej do dostaje si z powrotem szeregun.

41

Zmiana kolejnoci sumowania w szeregu o wyrazach nieujemnych

Twierdzenie 3.2.7 Jeli szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieny, to po zmianiekolejnoci sumowania bdzie on zbieny do tej samej sumy.

DOWD: Niech (p) = max{(1), (2), . . . , (p)} dla kadego p N .p

n=1

un =p

n=1

u(n) (p)n=1

un n=1

un

czyli cig sum czciowych szereguun jest ograniczony z gry, a poniewa jest te

monotoniczny, wic jest zbieny, a ponadto zachodzi nierwno

n=1

un n=1

un

Nierwno przeciwna wynika przez zastosowanie ju udowodnionej, przy czym trzebatraktowa szereg

un jako wyjciowy, a szereg

un jako utworzony z niego przez

zmian kolejnoci sumowania.

3.3 Szeregi o dowolnych wyrazach

Wdalszym cigu omawiane s szeregi, ktrych wyrazy mog by dowolnymi liczbamirzeczywistymi.

3.3.1 Szeregi bezwzgldnie zbiene

Definicja 3.3.1 Szeregun nazywa si bezwzgldnie zbieny, jeli zbieny jest szereg,

ktrego wyrazami s wartoci bezwzgldne wyrazw tego szeregu, to znaczy |un|.

Twierdzenie 3.3.1 Szereg bezwzgldnie zbieny jest zbieny.

DOWD: Skorzystamy z warunku Cauchyego zbienoci szeregw.Ustalmy > 0.Szereg

|un| jest zbieny, czyli spenia warunek Cauchyego, wic istnieje takie n,e dla wszystkich m n i k N

m+kn=m

|un| <

Dziki nierwnoci m+kn=m

un

m+kn=m

|un|

moemy stwierdzi, e dla m n i k N zachodzi nierwnom+kn=m

un

< 42

Oznacza to, e szeregun spenia warunek Cauchyego, a wic jest zbieny.

Istniej szeregi zbiene, ktre nie s bezwzgldnie zbiene. Przykadem takiegoszeregu jest (1)n

n

Jego zbieno mona stwierdzi na podstawie podanego dalej kryterium Leibniza.Przy badaniu bezwzgldnej zbienoci szeregw mona stosowa do szeregu

|un|wszystkie kryteria dla szeregw o wyrazach nieujemnych.

Szereg czci dodatnich i szereg czci ujemnych wyrazw danego szeregu

Dla dowolnej liczby a przyjmijmy oznaczenia

a+ = max{a , 0} a = max{a , 0}

a+ i a mona interpretowa jako dwie funkcjie okrelone na zbiorze liczb rzeczywistych.Zachodz rwnoci

a = a+ a , |a| = a+ + a

Twierdzenie 3.3.2 Szeregun jest bezwzgldnie zbieny wtedy i tylko wtedy, gdy

zbiene s szeregiu+n i

um .

Dla bezwzgldnie zbienych szeregw zachodzi rwno

n=1

un =n=1

u+n n=1

un

DOWD: Najpierw udowodnimy rwnowano zbienoci, to znaczy pierwsz cztwierdzenia.

(Zakadamy, e un jest bezwzgldnie zbieny.) Zbieno szeregwu+niun wynika z nierwnoci

0 u+n |un| , 0 un |un|

oraz z kryterium porwnawczego.

(Zakadamy, e szeregi +n i n s zbiene.) Dla sum czciowych mamyrwno

pn=1

|un| =p

n=1

u+n +p

n=1

un

Dziki twierdzeniu o sumie szeregw zbienych dostajemy zbieno szeregu |un|.Z ostatniej rwnoci pomidzy sumami czciowymi wynika te rwno z tezy twier-dzenia.

43

Niezaleno szumy szeregu bezwzgldnie zbienego od kolejnoci sumowania

Twierdzenie 3.3.3 Jeli szeregun jest bezwzgldnie zbieny, to kady szereg,

ktry powstaje z niego przez zmian kolejnoci sumowania jest rwnie bezwzgldniezbieny i sumy tych szeregw s takie same.

DOWD: Niech bijekcja zbioru liczb naturalnych na siebie opisuje zmian kolejnocisumowania w szeregu. Na podstawie twierdze 3.3.2 i 3.2.7 dostajemy rwnoci

n=1

un =n=1

u+n n=1

un =n=1

u+(n) n=1

u(n) =n=1

u(n)

3.4 Kryteria zbienoci szeregw o wyrazach dowolnych

Podane tu kryteria pozwalaj stwierdza zbieno szeregw, ale nie ich bezwzgldnzbieno.

3.4.1 Kryterium Leibniza

To kryterium pozwala stwierdza zbieno tak zwanych szeregw naprzemiennych,to znaczy takich, ktrych wyrazy s na przemian dodatnie i ujemne.

Twierdzenie 3.4.1 Jeli cig an jest nierosncy i zbieny do zera, to nastpujceszeregi s zbiene

(1)nan ,

(1)n+1anJeli przez Sn oznaczy sumy czciowe takiego szeregu, a przez S jego sum, to dlakadego n N zachodzi nierwno

|Sn S| an+1

Dowd przeprowadzimy dla szeregu postaci(1)n+1an.

DOWD:Zbieno

S2n = (a1 a2) + . . .+ (a2n1 a2n) (a1 a3) + . . .+ (a2n1 a2n) + (a2n+1 a2n+2)

0= S2(n+1)

cig sum czciowych o wskanikach parzystych jest wic niemalejcy. Z nierwnoci

S2n = a1 + (a2 + a2) 0

+ . . .+ (a2n2 + a2n1) 0

a2n a1

wynika, e jest te ograniczony z gry, czyli zbieny.

44

Ze wzgldu na zaleno

|S2n1 S2n| = a2n 0

moemy stwierdzi, e cig S2n1 jest zbieny do tej samej granicy co cig S2n, wiccay cig sum czciowych Sn jest zbieny.Szacowanie bduZ pierwszej czci dowodu wiemy ju, e S2n a1, a ponadto

S2n = a1 a2 0

+ . . .+ a2n1 a2n 0

0

Dla sum czciowych o wskanikach nieparzystych

S2n+1 = a1 + (a2 + a3) 0

+ . . .+ (a2n + a2n+1) 0

a1

S2n+1 = (a1 a2) 0

+ . . .+ (a2n1 a2n) 0

+a2n+1 0

Na podstawie tych wszystkich nierwnoci

0 n=1

(1)n+1an a1

Dla dowolnego n N wynika std, e

|S Sn| =

k=n+1

(1)k+1ak an+1

bo reszta szeregu te jest szeregiem naprzemiennym.

3.4.2 Kryteria Dirichleta i Abela

Twierdzenie 3.4.2 (Kryterium Dirichleta) Zamy, e cig {vn} jest malejcy,zbieny do zera, a cig {un} taki, e cig sum Un = nk=1 uk jest ograniczony. Wtedyszereg

unvn jest zbieny.

DOWD:Wykaemy, e szeregunvn spenia warunek Cauchyego zbienoci szeregw.

W tym celu ustalmy > 0.Dymy do znalezienie takiego n, by dla n p q

qn=p

unvn

< (3.1)Niech p q.

qn=p

unvn =q

n=p(Un Un1)vn =

qn=p

Unvn q1

n=p1Unvn+1 =

45

=q1n=p

Un(vn vn+1) + Uqvq Up1vp

Korzystajc z tego, e vn vn+1 0 i e dla pewnej staej M dla wszystkich n jest|Un| M dostajemy

qn=p

unvn

q1n=p

|Un|(vn vn+1) + |Uq|vq + |Up1|vp

Mq1n=p

(vn vn+1) +Mvq +Mvq = 2Mvp

Biorc n takie, by dla n n byo vn < 2M , dostajemy (3.1). Kryterium Leibniza jest szczeglnym przypadkiem kryterium Dirichleta wystarczy

przyj un = (1)n i vn = an.Przykad: Jeli an 0 , to szeregi

n=1

an sinnx ,n=1

an cosnx

s zbiene. Wynika to z kryterium Dirichleta dziki rwnociom

ni=1

sin ix =cos 12x cos

(n+ 12

)x

2 sin 12x

ni=1

cos ix =sin

(n+ 12

)x sin 12x

2 sin 12x

Na podstawie kryterium Dirichleta mona wykaza nastpujce kryterium.

Twierdzenie 3.4.3 (Kryterium Abela) Jeli szeregun jest zbieny, a cig vn

jest monotoniczny i ograniczony, to szeregunvn jest zbieny.

DOWD: Rozwaamy przypadek cigu vn nierosncego. Ma on granic oznaczamyj przez v.

pn=1

unvn =p

n=1

un(vn v) + vp

n=1

un

Szeregun(vnv) jest zbieny dziki kryterium Dirichleta, a szeregun z zaoenia.

Przypadek cigu vn niemalejcego mona sprowadzi do poprzedniego biorcvn.

3.5 Szeregi warunkowo zbiene

Definicja 3.5.1 Szereg nazywa si warunkowo zbieny, jeli jest zbieny, ale niejest zbieny szereg jego wartoci bezwzgldnych.

46

Inaczej mwic szereg jest warunkowo zbieny, jeli jest zbieny, ale nie jest bezwzgldniezbieny. Przykadem szeregu warunkowo zbienego jest szereg

(1)n 1

n.

Lemat 3.5.1 Jeli szeregun jest warunkowo zbieny, to

n=1

u+n =n=1

un = +

DOWD: Przypumy, e szeregu+n ma sum skoczon. Korzystajc z rwnoci

pn=1

un =p

n=1

u+n p

n=1

un

mona wtedy wywnioskowa, e rwnie szeregun ma sum skoczon. Z twierdzenia

3.3.2 wynikaoby wtedy, e szeregun jest bezwzgldnie zbieny, co jest sprzeczne

z zaoeniem.Analogicznie przebiega dowd jeli by zaoy, e szereg

un ma sum skoczon.

3.5.1 Twierdzenie Riemanna o zmianie kolejnoci sumowaniadla szeregu warunkowo zbienego

Twierdzenie 3.5.1 Zamy, e szeregun jest warunkowo zbieny i ustalmy dwie

wartoci , , speniajce nierwnoci +.Istnieje taka zmiana kolejnoci sumowania, e jeli powstay w ten sposb szereg

oznaczymy przezun , a S

n =

nk=1 uk s jego sumami czciowymi, to

lim infn S

n = , lim sup

nS n = (3.2)

DOWD: Rozbijamy cig wszystkich liczb naturalnych na dwa rosnce podcigi:

p1, p2, . . . taki, e upi 0

q1, q2, . . . taki, e uqi < 0

Na mocy lematu 3.5.1 mamy

i=1

upi = + ,i=1

uqi = (3.3)

a ponadto, dziki zbienoci szereguun

upi , uqi 0, gdy i (3.4)

Przypadek < < +.Tworzymy cig kn zawierajcy kad liczb naturaln dokadnie raz doczajc

na przemian kolejne segmenty cigw pi oraz qi.

47

Zaczynamy biorc po kolei pocztkowe wyrazy cigu pi. Zatrzymujemy si, gdysuma wyrazw up1 + . . .+ upr stanie si wiksza bd rwna .

Nastpnie bierzemy kolejne wyrazy cigu qi. Zatrzymujemy si, gdy suma up1 +. . .+ upr + uq1 + . . .+ uqs stanie si mniejsza bd rwna .

Nastpnie kontynuujemy wybieranie kolejnych wyrazw cigu pi, a suma poprzedniaup1 + . . .+ upr + uq1 + . . .+ uqs i nowych upi stanie si wiksza bd rwna . I takdalej.

Moliwo osigania liczb i przy tym postpowaniu wynika z (3.3), a rwno(3.2) z wasnoci (3.4).Przypadek +, ale i nie s rwnoczenie rwne +,bd rwnoczenie .

Jeli < < = +, to bierzemy cig rosncy liczb cakowitych zm =[]+m i m-tego przeczenia z cigu pi na cig qi dokonujemy, gdy suma wszystkichdotychczas wybranych wyrazw przekroczy zm. Przecze z cigu qi na pi dokonujemyjak w poprzednim przypadku.

Przypadek = , jak rwnie = i = + rozwaa si analogicznie.Przypadek = = +.

m-tego przeczenia z pi na qi naley dokonywa, gdy suma wyrazw przekroczym, a z qi na pi po wziciu jednego wyrazu.Przypadek = = . Analogicznie.

3.6 Iloczyn Cauchyego szeregw

Definicja 3.6.1 Iloczynem Cauchyego szeregw

n=0

un ,n=0

vn

nazywa si szeregn=0

cn , ktrego wyrazy dane s wzorem

cn =n

k=0

ukvnk

Jako uzasadnienie tej definicji moe posuy to, e jeli traktowalibymy szeregipostaci

n=0

anxn ,

n=0

bnxn

jako wielomiany, to mnoc ich wyrazy i grupujc wedug potg x dostaniemy

a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ . . .+(

nk=0

akbnk

)xn + . . .

Ponadto kady iloczyn postaci umun wystpuje dokadnie jeden raz w jednym zwyrazw szeregu Cauchyego. Mona wic powiedzie, e iloczyn Cauchyego jest

48

prb uoglnienia na sumy nieskoczone zasady mnoenia skoczonych summwicej,e trzeba uwzgldni iloczyny wszystkich skadnikw z pierwszej sumy przez kadyskadnik drugiej sumy co wynika z rozdzielnoci dodawania.

Twierdzenie 3.6.1 Jeli szeregiun i

vn s zbiene i przynajmniej jeden z nich

jest bezwzgldnie zbieny, to iloczyn Cauchyego tych szeregw jest zbieny i jego sumajest rwna iloczynowi sum tych szeregw.

DOWD: Zakadamy, eun jest bezwzgldnie zbieny i przyjmujemy oznaczenia

a =n=0

|un|

Un =n

k=0

uk , Vn =n

k=0

vk ,

U =k=0

uk , V =k=0

vk , n = Vn V

Wtedy nk=0 ck =

u0v0 + (u0v1 + u1v0) + . . .+ (u0vn + u1vn1 + + unv0) =u0(v0 + v1 + + vn) + u1(v0 + v1 + + vn1) + . . .+ unv0 =u0Vn + u1Vn1 + . . .+ unV0 =u0(V + n) + u1(V + n1) + . . .+ un(V + 0) =UnV + u0n + u1n1 + . . .+ un0

Poniewa limn UnV = UV , wic dla dowodu wystarczy wykaza, e

limn(u0n + u1n1 + . . .+ un0) = 0

Ustalmy > 0 i niech dla n n zachodzi nierwno

|n| 2aRozwaamy n n.

|u0n + u1n1 + . . .+ un0| (|u0||n|+ . . .+ |unn||n|) + (|unn+1||n1|+ . . .+ |un||0|) 2aa+ (|unn+1||n1|+ . . .+ |un||0|)

W ostatnim nawiasie jest suma n skadnikw, z ktrych kady zbiega do zera, gdyn. Suma te jest zbiena do zera, wic poczwszy od pewnego n jest mniejszaod 2 .Dla n n = max{n, n}

|u0n + u1n1 + . . .+ un0| 2 +

2=

49

3.7 Uoglnienie cigu rednich arytmetycznych twierdzenie Toeplitza

Rozwaamy dla kadego n N skoczony cig {pnm}nm=1 zoony z n wyrazw. Przykadej ustalonej liczbie m N powstaje w ten sposb nieskoczony cig {pnm}n=m .

Ten nieskoczony cig skoczonych cigw mona przedstawi w nieograniczonejtrjktnej tablicy. Bdziemy przyjmowali, e wszystkie jej elementy s nieujemne,suma kadego wiersza jest rwna jeden, a cig z kadej kolumny jest zbieny do zera.

p11 p11 = 1p21 p22 p21 + p22 = 1p31 p32 p33 p31 + p32 + p33 = 1...

......

pn1 pn2 pn3 . . . pnnn

m=1 pnm = 1...

......

... . . .0 0 0 0

Twierdzenie 3.7.1 Zamy, e

n N, m n; pnm 0

n N ;n

m=1

pnm = 1

m N ; limn pnm = 0

Wtedy jeli limm um = u , to

limn

nm=1

pnmum = u

DOWD: Przeprowadzimy uzasadnienie tylko w przypadku granicy waciwej u.Ustalmy > 0 i niech K bdzie takie, e dla k K jest |uk u| .Dla kadego ustalonego m jest limn |pnm(um u)| = 0. Istnieje wic km, e

dla k km zachodzi nierwno

|pkm(um u)| 2KDla n n = max{K, k1, . . . , kK} mamyu

nm=1

pnmum

=

nm=1

pnm(u um)

K

m=1

|pnm(u um)|+n

m=K+1

pnm|(u um)|

50

K

2K+

2

nm=K+1

pnm 2 +

2=

Szczeglnym przypadkiem twierdzenia jest sytuacja gdy pnm = 1n . Mwi ono

wtedy, e cig rednich arytmetycznych pocztkowych n wyrazw cigu zbienegojest zbieny do granicy tego cigu, gdy n.Uwaga: Moe si zdarzy, e cig rednich arytmetycznych pocztkowych wyrazwcigu jest zbieny, a sam cig nie jest zbieny. Na przykad dla um = (1)m.

51

Rozdzia 4

Granice funkcji i cigo

Rozwaamy funkcje okrelone na podzbiorach zbioru liczb rzeczywistych i o wartociachrwnie w zbiorze liczb rzeczywistych. Stosuj si do nich wszystkie oglne rozwaaniaz teorii odwzorowa w przestrzeniach metrycznych, na przykad dotyczce granic,cigoci. Ze wzgldu na charakter zbioru R wystpuj te specyficzne wasnoci.

4.1 Granica funkcji w punkcie

Definicja 4.1.1 (Punkt skupienia zbioru) Mwimy e x0 jest punktem skupieniazbioru E R, jeli dla kadego > 0 przedzia (x0 , x0 + ) zawiera co najmniejjeden punkt zbioru E rny od x0. (x0 moe nie nalee do E.)

Analogicznie definiuje si lewostronny i prawostronny punkt skupienia zbioru odpowiednio przez niepusto przekrojw (x0 , x0) E oraz (x0, x0 + ) Edla kadego > 0.

Definicja 4.1.2 (Granica funkcji w punkcie wariant Cauchyego) Liczba gjest granic funkcji f w punkcie x0, jeli

> 0, > 0, x E; 0 < |x x0| < |f(x) g| <

Piszemy wtedylimxx0

f(x) = g

Lemat 4.1.1 (Granica funkcji w punkcie wariant Heinego) Liczba g jest gra-nic funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla kadego cigu liczb xn,rnych od x0, zachodzi implikacja

limnxn = x0 limn f(xn) = g

4.1.1 Granice jednostronne

Definicja 4.1.3 Liczba g jest granic lewostronn funkcji f w punkcie x0, jeli

> 0, > 0, x E; 0 < x0 x < |f(x) g| <

52

Piszemy wtedylim

xx0f(x) = g

Definicja 4.1.4 Liczba g jest granic prawostronn funkcji f w punkcie x0, jeli

> 0, > 0, x E; 0 < x x0 < |f(x) g| <

Piszemy wtedylim

xx0+f(x) = g

Analogicznie jak poprzednio mona wykaza rwnowano pojcia granic jednostronnychz warunkiem w postaci Heinego wyraonym poprzez cigi.

Lemat 4.1.2 Granica funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istniejobydwie granice jednostronne i s sobie rwne.

Granice funkcji monotonicznej

Twierdzenie 4.1.1 Niech funkcja f : [a, b] R bdzie monotoniczna. W kadympunkcie x (a, b) istniej granice jednostronne oraz

limux f(u) f(x) limux+ f(u)

W punkcie a istnieje granica prawostronna, w punkcie b lewostronna oraz

f(a) limua f(u) , limub+

f(u) f(b)

4.1.2 Granica grna i dolna funkcji

Definicja 4.1.5 Granic grn funkcji f : E R w punkcie x0, bdcym punktemskupienia dziedziny, nazywa si warto

inf>0

sup{f(x); 0 < |x x0| < }

a granic doln warto

sup>0

inf{f(x); 0 < |x x0| < }

Oznacza si je odpowiednio

lim supxx0

f(x) i lim infxx0

f(x)

(Mog one by rwne lub + ).

53

Funkcja() = sup{f(x); 0 < |x x0| < }

jest niemalejca, funkcja

() inf{f(x); 0 < |x x0| < }jest nierosnca, wic obydwie maj w zerze granic prawostronn. Moemy napisa

lim supxx0

f(x) = lim0+() , lim infxx0

f(x) = lim0+()

Lemat 4.1.3 Liczba h R jest granic grn funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylkowtedy, gdy spenione s dwa nastpujce warunki

(i) > 0, > 0, x E; 0 < |x x0| < f(x) < h+ (ii) > 0, > 0, x E; 0 < |x x0| < i f(x) > h

DOWD:

(i)

Ustalmy > 0.; sup{f(x); 0 < |xx0| < } < h+, bo jeli nie, to inf>0 sup{f(x); 0 0; sup{f(x); 0 < |x x0| < } h.Przy ustalonym > 0 musi dla dowolnego > 0 istnie x, e

0 < |x x0| < i f(x) > h bo jeli dla jakiego nie byoby takiego x, to

sup{f(x); 0 < |x x0| < } h .

a) Przy ustalonym z (i) wynika, e dla pewnego

sup{f(x); 0 < |x x0| < } h+ Std

inf>0

sup{f(x); 0 < |x x0| < } h+ Dziki dowolnoci > 0

inf>0

sup{f(x); 0 < |x x0| < } h

54

b) Ustalmy > 0.Z (ii) wynika, e dla kadego

sup{f(x); 0 < |x x0| < } > h czyli

inf>0

sup{f(x); 0 < |x x0| < } h Dziki dowolnoci > 0

inf>0

sup{f(x); 0 < |x x0| < } h

cznie z a) i b) mamy potrzebn rwno. Twierdzenie 4.1.2 Niech x0 bdzie punktem skupienia dziedziny E funkcji f .

lim supxx0

f(x) = sup{ limn f(xn); xn x0, xn 6= x0}

lim infxx0

f(x) = inf{ limn f(xn); xn x0, xn 6= x0}

(Po prawej stronie rozwaa si oczywicie takie cigi xn, e cig f(xn) jest zbienydo granicy skoczonej lub nieskoczonej.)DOWD: Rozwaamy trzy przypadki.

1. < h = lim supxx0 f(x) < +

Niech xn x0, f(xn) u.Dziki (i) przy dowolnym > 0 jest u h+ .Ze wzgldu na dowolno > 0 mamy u h.Std

lim supxx0

f(x) sup{ limn f(xn); xn x0, xn 6= x0}

Na mocy (ii) mona wzi cig xn taki, e

0 < |xn x0| < 1n, f(xn) > h 1

n

Dziki (ii) poczwszy od pewnego n jest f(xn) < h+ 1.Cig f(xn) zawiera podcig zbieny f(xnk).lim f(xnk) h, skd

lim supxx0

f(x) sup{ limn f(xn); xn x0, xn 6= x0}

2. lim supxx0 f(x) = +n N ; sup{f(x); 0 < |x x0| < 1n} = +.Mona wybra cig xn speniajcy warunki

0 < |xn x0| < 1n, f(xn) > n

Dziki temusup{ lim

n f(xn); xn x0, xn 6= x0} = +

55

3. lim supxx0 f(x) = Funkcja sup{f(x); 0 < |x x0| < } jest nierosnca, wic

lim0+ sup{f(x); 0 < |x x0| < } =

Std, jeli xn x0, xn 6= x0, to limn f(xn) = , dziki czemu

sup{ limn f(xn); xn x0, xn 6= x0} =

Twierdzenie 4.1.3 Granica funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdyistniej skoczone granice grna i dolna i s sobie rwne.

4.1.3 Granice w nieskoczonoci

Podane wyej okrelenia i rozwaania mona przenie na przypadek granic w +i w .

Definicja 4.1.6 Mwimy e + jest punktem skupienia zbioru E R, jeli dlakadego b R pprosta (b,+) zawiera co najmniej jeden punkt zbioru E. Analogiczniedla .

Zakadamy, e + jest punktem skupienia zbioru E bdcego dziedzin funkcjif .

Definicja 4.1.7 (Granica funkcji w + wariant Cauchyego) Liczba g jestgranic funkcji f w +, jeli

> 0, b R, x E; x > b |f(x) g| <

Piszemy wtedylim

x+ f(x) = g

Lemat 4.1.4 (Granica funkcji w + wariant Heinego) Liczba g jest gra-nic funkcji f w + wtedy i tylko wtedy, gdy dla kadego cigu liczb xn E zachodziimplikacja

limnxn = + limn f(xn) = g

Analogicznie definiuje si granic funkcji w . Ponadto wprowadza si pojciegranicy grnej i dolnej.

56

4.1.4 Granice nieskoczone

Definicja 4.1.8 (Granica nieskoczona funkcji w punkcie wariant Cauchyego)Mwimy, e + jest granic funkcji f w punkcie x0, jeli

B R, > 0, x E; 0 < |x x0| < f(x) > B

Mwimy, e jest granic funkcji f w punkcie x0, jeli

A R, > 0, x E; 0 < |x x0| < f(x) < A

Piszemy wtedy odpowiednio

limxx0

f(x) = + , limxx0

f(x) =

Definiuje si te granice nieskoczone w + i w . Podamy jeden przypadek,to znaczy granic rwn + przy x zbienym do +.

Definicja 4.1.9 Mwimy, e + jest granic funkcji f w +, jeli

B R, b R, x E; x > b f(x) > B

Dla granic wprowadzonych w tym punkcie te mona sformuowa wariant Heinego.

4.1.5 Granica sumy, iloczynu oraz ilorazu funkcji

Twierdzenie 4.1.4 Jeli istniej granice wystpujce po lewej stronie poniszychrwnoci, to istniej granice po prawej stronie i rwnoci s prawdziwe.

limxx0

f(x) + limxx0

g(x) = limxx0

(f(x) + g(x))

limxx0

f(x) limxx0

g(x) = limxx0

(f(x) g(x))limxx0

f(x) limxx0

g(x) = limxx0

(f(x) g(x))Jeli limxx0 g(x) 6= 0, to rwnie

limxx0 f(x)limxx0 g(x)

= limxx0

f(x)g(x)

DOWD: W dowodach mona uywa bd wariantu Cauchyego, bd wariantuHeinego okrelenia granicy. Dla sumy skorzystamy z pierwszej moliwoci, a dlailoczynu i ilorazu z drugiej.

Oznaczmy limxx0 f(x) = u , limxx0 g(x) = v.

57

SumaUstalmy > 0.Istniej 1, 2 takie, e

0 < |x x0| < 1 |f(x) u| < 20 < |x x0| < 2 |g(x) v| < 2

Std, jeli |x x0| < = min{1, 2}, to

|(f(x) + g(x)) (u+ v)| |f(x) u|+ |g(x) v| < 2+

2=

Iloczyn i iloraz Niech xn x0, xn 6= x0.Dziki zaoeniu lim f(xn) = u, lim g(xn) = v, skd

lim f(xn)g(xn) = uv , limf(xn)g(xn)

=u

v

4.2 Cigo

Niech f : E R, gdzie E R.

Definicja 4.2.1 (Cigo w punkcie) Mwimy, e funkcja f jest ciga w punkciex0 E, jeli ma w tym punkcie granic rwn f(x0), w przypadku gdy x0 jestpunktem skupienia E, bd gdy x0 jest punktem izolowanym zbioru E.

Warunek cigoci funkcji w punkcie mona przedstawi wykorzystujc definicjegranicy w wariancie Cauchyego i Heinego w nastpujcy sposb.

Lemat 4.2.1 Nastpujce warunki s rwnowane:

1. Funkcja f : E R jest ciga w punkcie x0 E.2. > 0, > 0, x E; |x x0| < |f(x) f(x0)| < 3. Dla kadego cigu xn elementw zbioru E zbienego do x0 zachodzi rwno

limn f(xn) = f(x0)

Twierdzenie 4.2.1 Suma, rnica oraz iloczyn funkcji f, g : E R cigych wpunkcie x0 E jest w tym punkcie ciga. Jeli g(x0) 6= 0, to rwnie iloraz jestcigy.

Definicja 4.2.2 Funkcja f : E R (E R) nazywa si cig, jeli jest ciga wkadym punkcie dziedziny.

58

Korzystajc z okrele granicy prawostronnej i lewostronnej mona analogicznieokreli pojcia prawostronnej i lewostronnej cigoci funkcji w punkcie x0 E, jakrwnie twierdzenie o cigoci sumy, iloczynu i ilorazu funkcji.

Zwizek cigoci lewostronnej i prawostronnej z cigoci w punkcie podajetwierdzenie.

Twierdzenie 4.2.2 Funkcja f : E R jest ciga w punkcie x0 E wtedy i tylkowtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie i prawostronnie ciga.

4.2.1 Klasyfikacja punktw niecigoci funkcji

Niecigo usuwalnaJeli istnieje granica limxx0 f(x), ale jest rna od f(x0), to niecigo nazywamyusuwaln.

Niecigo nieusuwalnaJeli nie istnieje granica limxx0 f(x), to niecigo nazywamy nieusuwaln.Mona wtedy rozrni dwa przypadki:

Istniej granice jednostronne w punkcie x0 ale s rne. Przynajmniej jedna z granic jednostronnych nie istnieje.

4.2.2 Warunek cigoci funkcji odwrotnej do funkcji cigej

Funkcja odwrotna do funkcji cigej nie musi by ciga.

Przykad 4.2.1 Funkcja f : [2 , 1) [0 , 1] [1 , 1] okrelona nastpujco

f(x) ={x+ 1 dla x [2,1)x dla x [0, 1]

jest ciga, a funkcja do niej odwrotna nie jest ciga w punkcie 0.

Dla stwierdzenia cigoci funkcji odwrotnej potrzebne jest dodatkowe zaoenie.Z oglnych rozwaa o odwzorowaniach cigych w przestrzeniach metrycznych

wynika nastpujce twierdzenie.

Twierdzenie 4.2.3 Jeli dziedzina E R funkcji cigej jest zbiorem zwartym ifunkcja ta jest odwracalna, to funkcja odwrotna jest ciga.

Zwartym podzbiorami prostej s zbiory domknite i ograniczone, a wic w szczeglnociprzedziay domknite [a, b].

Wniosek 4.2.1 Funkcja ciga i silnie monotoniczna na przedziale [a, b] jest odwracalna,a funkcja do niej odwrotna jest silnie monotoniczna i ciga.

Mona te wykaza, e funkcja ciga i odwracalna na przedziale [a, b] musi bysilnie monotoniczna.

59

4.3 Wasno Darboux dla funkcji cigych.

Twierdzenie 4.3.1 Jeli funkcja f : [a, b] R jest ciga i f(a) 6= f(b), to dlakadej liczby c lecej pomidzy f(a) i f(b) istnieje x (a, b), e f(x) = c.

DOWD: Przymijmy, e f(a) < f(b) i niech c (f(a), f(b)). Wykaemy, e dla

x = sup{u [a, b]; dla t [a, u) jest f(t) < c}

zachodzi rwno f(x) = c.Dziki cigoci na pewno jest f(x) c. Gdyby zachodzia nierwno ostra

f(x) < c, to ze wzgldu na cigo funkcja f w pewnym przedziale (x, x + )rwnie miaaby wartoci mniejsze ni c, a to byoby w sprzecznoci z okreleniemliczby x.

Liczb speniajcych warunek z tezy twierdzenia Darboux moe by wicej nijedna moe to nawet by zbir nieskoczony. Liczba x podana w dowodzie jestnajmniejsz z nich.

60

Rozdzia 5

Pochodna funkcji i jejzastosowania

5.1 Okrelenie pochodnej i jej wasnoci

Rozwaamy funkcj f : E R, przy czym E R oraz punkt x0 IntE.

Definicja 5.1.1 (Pochodna w punkcie) Jeli istnieje granica

limxx0

f(x) f(x0)x x0

to nazywa si j pochodn funkcji f w x0 i oznacza f (x0).

Wystpujcy w definicji pochodnej uamek nazywa si ilorazem rnicowym funkcjif w punkcie x0 dla przyrostu zmiennej niezalenej rwnego x x0. Oznaczajcx = x x0 mona go zapisa w postaci

f(x0 +x) f(x0)x

O ile pochodna istnieje, to przyjmujc

f(x0 +x) f(x0)x

f (x0) = (x)

moemy napisa

f(x0 +x) = f(x0) + f (x0) x+ (x) xOznaczajc (x) = (x) x dostajemy wzr

f(x0 +x) = f(x0) + f (x0) x+ (x) (5.1)gdzie

limx0

(x)x

= 0 (5.2)

Z (5.1) wynika nastpujca wasno:

61

Lemat 5.1.1 Jeli funkcja ma w punkcie x0 pochodn, to jest w tym punkcie ciga.

O pochodnych jednostronnych (prawostronnej i lewostronnej) w punkcie mwimywtedy, gdy istniej granice jednostronne ilorazu rnicowego.

f +(x0) = limxx0+f(x) f(x0)

x x0 , f(x0) = limxx0

f(x) f(x0)x x0

5.1.1 Styczna do wykresu funkcji

Definicja 5.1.2 Jeli funkcja f ma w punkcie x0 pochodn, to prost o rwnaniu

y f(x0) = f (x0) (x x0)nazywa si styczn do wykresu w punkcie o wsprzdnych (x0, f(x0)).

Pochodna f (x0) jest wspczynnikiem kierunkowym stycznej a wektor (f (x0),1)jest normalny (prostopady) do stycznej.

Dugo pionowego odcinka czcego punkt na stycznej o pierwszej wsprzdnejrwnej x z punktem wykresu funkcji o tej samej pierwszej wsprzdnej podzielonaprzez x x0 jest zbiena do zera, gdy x x0. Jest to dokadnie warunek z definicjipochodnej.

Mona powiedzie, e styczna do wykresu to graniczne pooenie siecznych wykresupoprowadzonych przez punkty (x0, f(x0)) oraz (x, f(x)), gdy x x0. Trzeba jednakpamita, e nie zdefiniowalimy pojcia zbienoci w zbiorze prostych, wic jest totylko interpretacja.

5.1.2 Funkcja pochodna

Definicja 5.1.3 Jeli w punktach pewnego podzbioru dziedziny D E okrelonajest pochodna, to odwzorowanie x f (x) nazywamy funkcj pochodn funkcji f .(Analogiczne okrelenie stosuje si do pochodnych jednostronnych.)

W praktyce zarwno pochodn w punkcie, jaki i funkcj pochodn okrela sijako pochodn ucilajc o co konkretnie chodzi w razie moliwoci wystpienianieporozumienia.

Rodzin funkcji cigych na zbiorze E bdziemy oznacza przez C(E), rodzinfunkcji majcych w kadym punkcie zbioru E pochodn przez D1(E), a majcychpochodn bdc funkcj cig w E przez C1(E).

5.1.3 Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu funkcji

Dodawanie, moenie czy dzielenie funkcji okrelonych na takiej samej dziedziniepolega na przyporzdkowaniu parze funkcji nowej funkcji zgodnie z nastpujcymiwzorami podajcymi jakie wartoci te nowe funkcje przyjmuj dla kadego argumentuz tej samej dziedziny:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) , (f g)(x) = f(x)g(x) ,(f

g

)(x) =

f(x)g(x)

62

czsto zamiast pisa (f + g)(x) pisze si f(x) + g(x) i podobnie dla pozostaych.Iloraz jest oczywicie okrelony tylko wtedy, gdy funkcja g nie zeruje si w

dziedzinie mona ewentualnie rozwaa obcicia funkcji do podzbioru dziedziny,gdzie ten warunek jest speniony.

Iloczyn funkcji f przez liczb c to funkcja okrelona wzorem

(c f)(x) = c f(x)Twierdzenie 5.1.1 Jeli istniej w punkcie x pochodne f (x) i g(x) , to istniejpochodne (f + g)(x), (cf)(x), (f g)(x) oraz

(fg

)(x) i prawdziwe s wzory

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

(cf)(x) = cf (x)

(fg)(x) = f (x)g(x) + f(x)g(x)(f

g

)(x) =

f (x)g(x) f(x)g(x)g(x)2

(c jest dowoln sta rzeczywist, a ostatni wzr jest prawdziwy gdy g(x) 6= 0.)DOWD:Suma:

(f(x+ u) + g(x+ u)) (f(x) + g(x))u

=

f(x+ u) f(x)u

+g(x+ u) g(x)

u f (x) + g(x), gdy u 0

Iloczyn:

f(x+ u)g(x+ u) f(x)g(x)u

=

f(x+ u)g(x+ u) f(x)g(x+ u)u

+f(x)g(x+ u) f(x)g(x)

u=

f(x+ u) f(x)u

g(x+ u) + f(x)g(x+ u) g(x)

u

f (x)g(x) + f(x)g(x), gdy u 0Iloraz: Korzystajc z cigoci g w punkcie x moemy stwierdzi, e jeli przyrost

u jest dostatecznie may, to g(x+ u) 6= 0.1u(f(x+ u)g(x+ u)

f(x)g(x)

)=f(x+ u)g(x) f(x)g(x+ u)

ug(x+ u)g(x)=

=f(x+ u)g(x) f(x)g(x) + f(x)g(x) f(x)g(x+ u)

ug(x+ u)g(x)=

=1

g(x+ u)g(x)

(g(x)

f(x+ u) f(x)u

f(x)g(x+ u) g(x)u

)

f(x)g(x) f(x)g(x)

g(x)2, gdy u 0

63

5.1.4 Pochodna funkcji zoonej

Twierdzenie 5.1.2 Jeli istnieje pochodna funkcji f w punkcie x i istnieje pochodnafunkcji g w punkcie f(x), to istnieje pochodna zoenia g fw punkcie x i zachodziwzr

(g f)(x) = g(f(x)) f (x)

DOWD: Rozpatrzymy dwa przypadki:

1. Istnieje przedzia wok x, w ktrym f(y) 6= f(x).Dla u dostatecznie maych moemy napisa

g(f(x+ u)) g(f(x))u

=

g(f(x+ u)) g(f(x))f(x+ u) f(x)

f(x+ u) f(x)u

g(f(x))f (x) ,

gdy u 0. (Skorzystalimy z tego, e dziki istnieniu pochodnej funkcji f wpunkcie x jest ona w tym punkcie ciga, wic limu0f(x+ u) = f(x).)

2. Dowolnie blisko x s y 6= x, dla ktrych f(y) = f(x).Z zaoenia istnienia pochodnej wynika, e w tym przypadku f (x) = 0, boistnieje cig yn x taki, e

f(yn) f(x)yn x = 0

Wemy dowolny cig un 0, un 6= 0.Mona go rozdzieli na dwa podcigi unk i umk takie, e

k; f(unk) 6= f(x), f(umk) = f(x)(moe si zdarzy, e ktry z nich jest skoczony).Dla cigu unk , korzystajc z przeksztacenia w poprzednim punkcie, stwierdzamy,e

g(f(x+ unk)) g(f(x))unk

g(f(x))f (x) , gdy k Dla cigu umk mamy

k; g(f(x+ umk)) g(f(x))umk

= 0

a poniewa f (x) = 0, wic te mamy zbieno do g(f(x))f (x).

5.1.5 Pochodna funkcji odwrotnej

Twierdzenie 5.1.3 Jeli funkcja f , okrelona na przedziale, jest ciga, odwracalnai ma w punkcie x0 pochodn rn od zera, to funkcja odwrotna ma w punkcie y =f(x) pochodn i zachodzi wzr

(f1)(y) =1

f (x)

64

DOWD: Dla dostatecznie maych v liczba y+ v naley do dziedziny f1 wynikato z wasnoci Darboux dziki temu, e dla u w pobliu x na lewo i na prawo rnicaf(u) f(x) ma przeciwne znaki.Dziki cigoci f1 (Tw. 4.2.3)

f1(y + v) f1(y) = x , gdy v 0

Oznaczmy = f1(y + v). Wtedy y + v = f() oraz v = f() y = f() f(x) imamy

f1(y + v) f1(y)v

=1

f()f(x)x

v0 1f (x)

5.1.6 Rniczka

Niech punkt x bdzie punktem wewntrznym dziedziny funkcji f : E R, E R.

Definicja 5.1.4 Jeli istnieje staa A oraz funkcja okrelona na pewnym otoczeniuzera, e

f(x+x) = f(x) + A x+ (x)oraz zachodzi warunek

limx0

(x)x

= 0

to odwzorowanie liniowe x A x nazywa si rniczk funkcji f w punkcie x.

Twierdzenie 5.1.4 Funkcja f ma w punkcie x pochodn wtedy i tylko wtedy, gdyw tym punkcie istnieje rniczka. Wwczas wspczynnik A rniczki jest rwnypochodnej funkcji w tym punkcie.

Dziki tej rwnowanoci stwierdzenie, e funkcja jest rniczkowalna w jakimpunkcie jest rwnowane stwierdzeniu, e ma w tym punkcie pochodn.

5.2 Zasada Fermat i jej konsekwencje

Definicja 5.2.1 (Ekstrema lokalne) Funkcja ma w punkcie x swojej dziedzinyE R maksimum lokalne, jeli istnieje > 0 takie, e

u (x , x+ ) E; f(u) f(x)

Minimum lokalne definiuje si biorc przeciwn nierwno.

Minimum i maksimum lokalne nazywa si ekstremami lokalnymi.Jeli w definicji dla punktw u rnych od x zastpi si nierwno sab nierwnoci

siln, to dostaje si okrelenie silnego maksimum lokalnego (i silnego minimumlokalnego).

65

Twierdzenie 5.2.1 (Zasada Fermat) Jeli funkcja ma w wewntrznym punkcieswojej dziedziny ekstremum lokalne i ma w tym punkcie pochodn, to ta pochodnajest rwna zero.

DOWD: Rozwamy przypadek maksimum lokalnego w punkcie x i niech w przedziale(x , x+ ) zachodzi nierwno f(u) f(x).

Dla u < x

f(u) f(x)u x 0 f

(x) 0

Dla u > x

f(u) f(x)u x 0 f

(x) 0

Z obydwch nierwnoci wynika rwno f (x) = 0. Jeli ekstremum wystpuje w jednym z kocw przedziau domknitego bdcego

dziedzin funkcji oraz istnieje w tym punkcie pochodna jednostronna funkcji, to niemusi ona oczywicie by rwna zero. Odpowiedni fragment rozumowania przeprowadzonegow dowodzie Zasady Fermat pozwala uzasadni twierdzenie.

Twierdzenie 5.2.2 Jeli funkcja f : [a, b] R ma w punkcie a minimum lokalneoraz istnieje w tym punkcie pochodna prawostronna, to f +(a) 0. Jeli w a funkcjaf ma maksimum lokalne, to f +(a) 0. Jeli w prawym kocu dziedziny bdzieminimum lub maksimum lokalne oraz istnieje pochodna lewostronna, to bdzie odpowiedniof (b) 0 lub f (b) 0.

5.2.1 Zasada Darboux dla pochodnych

Istniej funkcje rniczkowalne w kadym punkcie dziedziny, ktrych pochodna niejest funkcj cig. Nie mona w takim przypadku stosowa do pochodnej twierdzeniaDarboux o przyjmowaniu wartoci porednich udowodnionego dla funkcji cigych.Okazuje si jednak, e w tym szczeglnym przypadku zasada Darboux jednak obowizuje.

Twierdzenie 5.2.3 Jeli we wszystkich punktach dziedziny funkcji f : [a, b] Ristnieje pochodna (na kocach przedziau jednostronne), oraz f (a) < < f (b), bdf (a) > > f (b), to istnieje u (a, b) takie, e f (u) = .

DOWD: Dowd przeprowadzimy w przypadku f (a) < < f (b).Rozwaamy pomocnicz funkcj g(x) = f(x) x. Jest ona ciga, wic osiga

w [a, b] warto najmniejsz w pewnym punkcie x.Mamy

g(a) = f (a) < 0, wic g(u) < g(a) w pewnym przedziale [a, a+ ); g(b) = f (b) > 0, wic g(u) < g(b) w pewnym przedziale (b , b].

66

Std wnioskujemy, e warto najmniejsza nie moe by przyjta na adnym zkocw przedziau, czyli x 6= a oraz x 6= b. Z Zasady Fermat wynika, e

f (x) = g(x) = 0

Przykad 5.2.1 Okrelamy funkcj f : [1,+1] R w nastpujcy sposb

f(x) ={x2 sin 1

xdla x 6= 0

0 dla x = 0.

Ma ona w caej dziedzinie pochodn, ale pochodna nie jest ciga w punkcie 0.(Sprawdzenia istnienia pochodnej w zerze najlepiej dokona korzystajc z definicjipochodnej.)

5.2.2 Twierdzenia Rollea, Lagrangea i Cauchyego

Twierdzenie 5.2.4 (Rollea) Jeli f C([a, b]) D1((a, b)) oraz f(a) = f(b), toistnieje c (a, b) takie, e f (c) = 0.

DOWD: Rozwaamy dwa przypadki:

Jeli f jest staa,to jako c mona wzi dowolny punkt z (a, b).

Jeli f nie jest staa,to wewntrz [a, b] istnieje co najmniej jedno ekstremum lokalne i w tym punkciepochodna si zeruje.

Twierdzenie 5.2.5 (Lagrangea) Jeli f C([a, b]) D1((a, b)), to istnieje c (a, b) takie, e

f(b) f(a)b a = f

(c)

Twierdzenie Lagrangea jest wnioskiem z podanego dalej twierdzenia Cauchyego.Przyjmujc a = x, a b = x+h, mona tez twierdzenia Lagrangea zinterpretowa

w nastpujcy sposb: istnieje (0, 1), e

f(x+ h) = f(x) + f (x+ h)h

Wnioski:

1. Jeli f D1((a , b)) oraz x (a , b) zachodzi rwno f (x) = 0 , to funkcjaf jest staa na (a , b) .

2. Jeli f D1((a , b)) oraz x (a , b) zachodzi nierwno f (x) > 0 , tofunkcja f jest silnie rosnca w (a , b) . (Jeli f (x) 0 , to f jest niemalejca.)

67

3. Wasno analogiczna do poprzedniej, z pochodn mniejsz od zera i funkcjmalejc.

Twierdzenie 5.2.6 (Twierdzenie Cauchyego) Jeli f, g C([a , b])D1((a , b)) ,to istnieje c (a , b) takie, e

(g(b) g(a)) f (c) = (f(b) f(a)) g(c) (5.3)

DOWD: Rozwaymy dwa przypadki.

1. g(a) = g(b)Dziki Tw. Rollea i istnieje c (a, b), e g(c) = 0, skd wynika teza.

2. g(a) 6= g(b)Tworzymy pomocnicz funkcj

(x) = f(x) f(a) f(b) f(a)g(b) g(a) (g(x) g(a))

Spenia ona zaoenia Tw. Rollea, wic istnieje c (a, b), e

0 = (c) = f (c) f(b) f(a)g(b) g(a) g

(c)

skd f (c)(g(b) g(a)) = (f(b) f(a))g(c). Jeli g(c) 6= 0 i g(b) g(a) 6= 0 , to rwno w tezie twierdzenia Cauchyego

mona zapisa w nastpujcy sposb

f(b) f(a)g(b) g(a) =

f (c)g(c)

5.3 Pochodne wyszych rzdw, wzr Taylora

Pochodne wyszych rzdw definiuje si w sposb indukcyjny.

Definicja 5.3.1

1. Pochodna pierwszego rzdu w punkcie to granica ilorazu rnicowego (zgodniez poprzedni definicj).

2. Jeli w otoczeniu punktu x istnieje pochodna rzdu n 1 funkcji f , oznaczanaprzez f (n1), oraz ta funkcja f (n1) ma w punkcie x pochodn, to nazywamy jpochodn rzdu n funkcji f w punkcie x i oznaczamy przez f (n)(x).

Przez Dn(E) oznaczamy rodzin funkcji okrelonych na zbiorze E , ktre majw E wszystkie pochodne do rzdu n wcznie.

Przez Cn(E) oznaczamy podzbir rodziny Dn(E) zoony z funkcji, ktrych n-tapochodna jest funkcj cig w E .

Znajdowanie pochodnych wyszych rzdw polega na kolejnym obliczaniu funkcjipochodnych coraz wyszych rzdw. Pomocne mog by nastpujce twierdzenia.

68

Twierdzenie 5.3.1 Jeli w punkcie x istniej pochodne f (n)(x) oraz g(n)(x), toistnieje pochodna (f + g)(n)(x) oraz

(f + g)(n)(x) = f (n)(x) + g(n)(x)

a dla dowolnej staej c istnieje pochodna (c f)(n)(x) oraz

(c f)(n)(x) = c f (n)(x)

Twierdzenie 5.3.2 (Wzr Leibniza) Jeli funkcje f i g maj w pewnym otoczeniupunktu x pochodne do rzdu n 1 wcznie, a w punkcie x pochodn rzdu n, to ichiloczyn ma w punkcie x pochodn rzdu n oraz zachodzi wzr

(fg)n =n

k=0

(n

k

)f (nk)g(k) (5.4)

(Dowd indukcyjny.)

5.3.1 Wzr Taylora z reszt w postaci Peano

Wzr Taylora pozwala przyblia funkcje wielomianami, pod warunkiem istnieniapochodnych tej funkcji do pewnego rzdu wcznie odpowiadajcemu stopniowiaproksymujcego wielomianu.

Do sformuowania twierdzenia bdzie potrzebne pojcie funkcji nieskoczeniemaej w porwnaniu z inn funkcj w otoczeniu ustalonego punktu - przypomnimyje.

Porwnywanie nieskoczenie maych

Definicja 5.3.2 Niech funkcje i maj wspln dziedzin E R i zakadamy, epunkt x0 jest punktem skupienia zbioru E. Mwimy, e funkcja jest nieskoczeniemaa w otoczeniu punktu x0 w porwnaniu z funkcj , gdy

> 0, > 0, x E; 0 < |x x0| < |(x)| |(x)|

Mwi si te wtedy, e funkcja jest o mae funkcji w otoczeniu x0 i zapisujetak: (x) = o((x)) w otoczeniu x0 .

Jeli dodatkowo limxx0 (x) = 0 , to mwi si, e jest w otoczeniu x0 nieskoczeniema rzdu wyszego ni .

Gdy w otoczeniu punktu x0 funkcja nie zeruje si, poza ewentualne punktemx0, to (x) = o((x)) w otoczeniu punktu x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

limxx0

(x)(x)

= 0

Jeli nie jest okrelone o otoczenie jakiego punktu chodzi, to rozumiemy, e x0 = 0.

69

Sformuowanie i dowd twierdzenia

Twierdzenie 5.3.3 (Wzr Taylora z reszt w postaci Peano) Jeli w pewnymprzedziale wok punktu x0 istniej pochodne f , . . . , f (n1) oraz istnieje pochodnaf (n)(x0) , to

f(x) = f(x0) +f (x0)1!

(x x0) + f(x0)2!

(x x0)2 + . . .

. . .+f (n1)(x0)(n 1)! (x x0)

n1 +f (n)(x0)n!

(x x0)n + o((x x0)n) =

=n

k=0

f (k)(x0)k!

(x x0)k + o((x x0)n)

Najpierw udowodnimy lemat.

Lemat 5.3.1 Jeli pochodne (x), . . . , (n1)(x) funkcji istniej dla x z pewnegootoczenia punktu x0, istnieje pochodna (n)(x0) oraz

(x0) = (x0) = . . . = (n)(x0) = 0

to (x) = o((x x0)n) w otoczeniu punktu x0 .DOWD:Dowd indukcyjny ze wzgldu na rzd pochodnej.

Dla n = 1Wynika z okrelenia pochodnej f (x0).

Zakadamy, e wasno jest prawdziwa dla n 1.Dziki Tw. Lagrangea dla dowolnego x 6= x0 z otoczenia punktu x0 istnieje ctakie, e

(x) = (x) (x0) = (c) (x x0) , 0 < |c x0| < |x x0|Korzystajc z tego mamy (x)(x x0)n

=(c)(x x0)(x x0)n

= (c)(c x0)n1

(c x0)n1(x x0)n1

(c)(c x0)n1

0 , gdy x x0 , bo wtedy c x0 bo funkcja pochodna spenia zaoenie indukcyjne dla n 1.

DOWD WZORU TAYLORA Z RESZT W POSTACIE PEANO: Wystarczyzastosowa lemat do funkcji

(x) = f(x)n

k=0

f (k)(x0)k!

(x x0)k

70

Jednoznaczno wspczynnikw we wzorze Taylora

Twierdzenie 5.3.4 Jeli

f(x) = a0 + a1(x x0) + . . .+ an(x x0)n + o((x x0)n)i

f(x) = b0 + b1(x x0) + . . .+ bn(x x0)n + o((x x0)n)to a0 = b0, a1 = b1, . . . , an = bn.

DOWD: Indukcja ze wzgldu na numer wspczynnika ak.

1. Dla k = 0Odejmujc stronami rwnoci z zaoenia dostajemy

b0 a0 = (a1 b1)(x x0) + . . .+ (an bn)(x x0)n + o ((x x0)n)Prawa strona zmierza do 0, gdy x x0, wic a0 = b0.

2. Zakadamy, e a0 = b0, . . . , ap1 = bp1 (dla p n)(ap bp)(x x0)p + . . .+ (an bn)(x x0)n + o((x x0)n) = 0

Po podzieleniu stronami przez (x x0)p

bp ap = (ap+1 bp+1)(x x0) + . . .+ (an bn)(x x0)np + o((x x0)n