4. Aproksymacja i interpolacja - Aktualności...

Aproksymacja

1Zadanie aproksymacji (curve fitting)

xppyyxyx o 12211 ),(),,( +=→

Aproksymacja

( )[ ]2

11∑∑==

+−==m

iii

m

ii baxyrρ

( ) ( )[ ] 021

=+−−∑=

m

iiii baxyx

( ) ( )[ ] 0121

=+−−∑=

m

iii baxy

yi

y

2Rozwiązanie zadania aproksymacji

∑∑∑===

=

+

m

iii

m

ii

m

ii yxbxax

111

2

∑∑==

=+

m

ii

m

ii ymbax

11

=

∑

∑

∑

∑∑

=

=

=

==m

ii

m

iii

m

ii

m

ii

m

ii

y

yx

b

a

mx

xx

1

1

1

11

2

( )baxy ii +−

)x(f

xi x

Aproksymacja

=

1

1

1

2

1

x

x

x

MMA

=

∑

∑

∑

∑∑

=

=

=

==m

ii

m

iii

m

ii

m

ii

m

ii

y

yx

b

a

mx

xx

1

1

1

11

2


1mx

AAT

m

mm

ii

m

ii

m

ii

x

x

x

xxx

mx

xx

=

=

∑

∑∑

=

==

1

1

1

11112

1

21

1

11

2

MM

L

yAT

m

mm

ii

m

iii

y

y

y

xxx

y

yx

=

=

∑

∑

=

=M

L 2

1

21

1

1

1111

Aproksymacja

=

b

ac

=

my

y

y

M

2

1

y

=

1

1

1

2

1

mx

x

x

MMA

y


( ) yAcAA TT =

( ) yAAAc TT 1−=

bax)x(f +=

)x(f

y

x

Aproksymacja

5Ocena jakości aproksymacji – wektor reszt

Aproksymacja

yyi − y

y yi yi

y y

yyi −

6Ocena jakości aproksymacji – R2

yyi −

xi xi x x

yyi −

( )( )∑

∑−

−−=

2

22 1

yy

yyR

i

i

Aproksymacja

7Ocena jakości aproksymacji – R2

Aproksymacja

x

y y=a2eb2x

x

y=a1xb1 y

ln(y)=ln(a2) + b2x*ln(e)log(y)=b1*log(x) + log(a1)

8Krzywoliniowa

log(x)

log(y)

y=a2eb2x

x

ln(y)

b1

log(a1)

b2

ln(a2)

ln(y)=ln(a2) + b2x*ln(e)ln(y)= b2x + ln(a2)

log(y)=b1*log(x) + log(a1)

Aproksymacja

=1

1

2

12

2

21

x

x

x

x

A

022

11 x c x c xcf(x) n

n-n- +++= K

322

1 cx c xcf(x) ++=bax)x(f +=

=1

1

2

1

x

x

A

9Funkcje bazowe

=

1

12

2

2

mm x

x

x

xMMM

A

=

1

12

mx

x

MMA

)x(f c )x(f c )x(fcf(x) nn+++= K2211

n-ii x(x)f =

Aproksymacja

10Funkcje bazowe

A = [sin(x) cos(x)]; A = [sin(x) cos(x) sin(2*x) cos(2*x)...sin(3*x) cos(3*x)];

f(x) = c1sin(x)+c2cos(x) f(x) = c1sin(x)+c2cos(x)+c3sin(2x)+c4cos(2x)+c5sin(3x)+c6cos(3x)

)x(f c )x(f c )x(fcf(x) nn+++= K2211

Aproksymacja

11Wielu zmiennych

Aproksymacja

12Wielu zmiennych

A = [1 x y];

Aproksymacja

A = [1 x y];

13Wielu zmiennych

Aproksymacja

14Wielu zmiennych

A=[1 x y x2 y2 xy x3 y3 x2y xy2];

Interpolacja

322

1 cx c xcW(x) ++=

3122

111 c x c xc)W(x ++=

3222

212 c x c xc)W(x ++=

15Zadanie interpolacji

322212 c x c xc)W(x ++=

3322

313 c x c xc)W(x ++=

=

)x(W

)x(W

)x(W

c

c

c

x

x

x

x

x

x

nn3

2

1

3

2

12

1

2

22

21

1

1

1

MMM

Interpolacja

)xx)(xx(c)xx(cc)x(W 2131212 −−+−+=

1112 yc)x(W ==

2122122 y)xx(cc)x(W =−+=

323133132132 y)xx)(xx(c)xx(cc)x(W =−−+−+=

16Rozwiązanie zadania interpolacji

=

−−−−

3

2

1

3

2

1

231313

12

1

01

001

y

y

y

c

c

c

)xx)(xx()xx(

)xx(

=

]x,x,x[f

]x,x[f

y

c

c

c

321

21

1

3

2

1

100

010

00112

1221 xx

yy]x,x[f

−−

=

23

2132321 xx

]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f

−−

=

Interpolacja

17Problem interpolacji

Interpolacja

18Warunki ciągłości funkcji sklejanych

Rodzaje ciągłości:Co - połączenie końców segmentówC1 – taka sama pochodna (styczna )C2 - ciągła 2-ga pochodna

Interpolacja

19Krzywa parametryczna

Interpolacja


Interpolacja

21Krzywe Hermite’a

Interpolacja

22Krzywe Hermite’a

Interpolacja


Interpolacja

24Krzywe Bezier'a

Interpolacja

25Krzywe Bezier'a

Interpolacja

� Krzywe Beziera i Hermite’a są definiowane globalnie

• Kawałkami sklejane (piecewise) krzywe Beziera iHermite’a nie gwarantują ciągłości pochodnych na łączeniach

26B-Splajn

łączeniach• Przesunięcie jednego punktu

kontrolnego zmienia cała krzywą

� B-splajny składają się z fragmentów krzywych, których współczynniki zależą tylko od kilku punktów kontrolnych – są definiowane lokalnie

Interpolacja

27B-Splajn

4. Aproksymacja i interpolacja - Aktualności...

Documents

Transcript of 4. Aproksymacja i interpolacja - Aktualności...