III. Interpolacja38

Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest

Wniosek 3.2. Jeœli funkcja f ma ci¹g³¹ pochodn¹ rzêdu n + 1 na odcinku [a, b] zawieraj¹cym

iwêz³y rzeczywiste x (i = 0, 1, ... , k) i punkt x, to istnieje wartoœæ > 0 [a, b], przyczym > = >(x), ¿e

W dowodzie tego wniosku korzysta siê z przedstawienia ca³kowego uogólnionego ilorazu ró¿-nicowego, a nastêpnie stosuje siê twierdzenie o wartoœci œredniej dla ca³ek.

Wzór (3.20) jest czêsto stosowany w praktyce, gdy¿ w wielu przypadkach potrafimy z w³as-noœci rozwa¿anego zagadnienia oszacowaæ pochodn¹ nieznanej funkcji f. Jeœli

dla x 0 [a, b], to bezpoœrednio z wzoru (3.20) mamy

3.7. Interpolacja wymierna

Definicja 3.9. Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji

mnwymiernej W postaci

w której stopieñ licznika jest równy co najwy¿ej m, a stopieñ mianownika – co

inajwy¿ej n, spe³niaj¹cej dla danych wêz³ów x i wartoœci funkcji w tych wêz³ach

if(x ) (i = 0, 1, ... , m + n) warunki

mnZauwa¿my, ¿e funkcja W zawiera m + n + 2 wspó³czynniki, podczas gdy warunków posta-

mnci (3.20) jest m + n + 1. Najczêœciej okreœla siê bowiem funkcjê W z dok³adnoœci¹ do wspól-nego czynnika k � 0.

Z zale¿noœci (3.20) mamy

(3.20)

(3.20)

(3.21)

3.8. Interpolacja trygonometryczna 39

k kJest to uk³ad równañ jednorodnych ze wzglêdu na niewiadome wspó³czynniki a i b . Okazuje siêjednak, ¿e zast¹pienie zadania interpolacji wymiernej rozwianiem ww. uk³adu nie zawsze pro-wadzi do rozwi¹zania.

Przyk³ad 3.7

Niech m = n = 1 oraz

i 0 1 2

ix 0 1 2

if(x ) 1 2 2

Spróbujmy okreœliæ funkcjê wymiern¹

spe³niaj¹c¹ warunki (3.20). Z zale¿noœci (3.21) mamy

Rozwi¹zaniem tego uk³adu z dok³adnoœci¹ do wspólnego czynnika ró¿nego od 0 jest

St¹d

Dla x = 0 mamy wyra¿enie nieokreœlone. Jeœli dokonamy redukcji, to otrzymamy funkcjê ale i ta funkcja nie rozwi¹zuje zagadnienia interpolacji w punkcie x = 0, bo mamy

#

Wniosek 3.3. Zadanie interpolacji wymiernej nie zawsze jest rozwi¹zalne. Prawie ka¿de roz-wi¹zanie uk³adu (3.20) jest rozwi¹zaniem uk³adu (3.21), ale nie na odwrót.

W podrêczniku [2] s¹ podane zale¿noœci pomiêdzy rozwi¹zaniami uk³adów (3.20) i (3.21).W ksi¹¿ce tej podano tak¿e algorytm interpolacji wymiernej, który odpowiada algorytmowi Ne-ville’a w interpolacji wielomianowej.

3.8. Interpolacja trygonometryczna

Niech bêdzie dany przedzia³ [0, 2B] oraz punkty wêz³owe i wartoœci funkcji

k kw tych wêz³ach f(x ) (k = 0, 1, ... , n ! 1), przy czym wartoœci f(x ) mog¹ byæ zespolone.

III. Interpolacja40

Definicja 3.10. Zadanie interpolacji trygonometrycznej polega na znalezieniu dla danej funkcjiokresowej f o okresie 2B wielomianu trygonometrycznego

exp("i) = cos" + isin" (wzór Eulera), i oznacza jednostkê urojon¹, takiego ¿e

kFunkcja f jest funkcj¹ zmiennej rzeczywistej o wartoœciach zespolonych. Wspó³czynniki $w ogólnoœci mog¹ byæ liczbami zespolonymi.

Je¿eli dana jest funkcja g o okresie T, tj. g(y + T) = g(y), to dokonuj¹c zamiany zmiennej we-

d³ug zale¿noœci otrzymamy a wiêc funkcjê okresow¹ o okresie 2B.

Bez zmniejszania ogólnoœci mo¿emy zatem rozwa¿aæ tylko funkcje o okresie 2B.

Podobnie, jak w przypadku interpolacji wielomianowej, mo¿emy udowodniæ

kTwierdzenie 3.9. Dla dowolnych liczb zespolonych f(x ) i rzeczywistych wêz³ów

(k = 0, 1, ... , n ! 1), gdzie liczba n jest ustalona, istnieje dok³adnie jeden wie-lomian trygonometryczny (3.22) spe³niaj¹cy warunki (3.23).

Dowód. Podstawiaj¹c w = exp(xi) z wzoru (3.22) otrzymujemy

i zagadnienie interpolacji trygonometrycznej sprowadza siê do zagadnienia interpolacyjnegoLagrange’a znalezienia wielomianu stopnia n ! 1, gdy¿

#

kW kolejnym twierdzeniu podano wzory na wspó³czynniki $ wielomianu (3.22).

Twierdzenie 3.10. Je¿eli dla wielomianu trygonometrycznego (3.22) zachodz¹ zale¿noœci(3.23), to

k kDowód. Oznaczmy w = exp(x i). Poka¿emy najpierw, ¿e

a) dla liczb ca³kowitych j oraz k,

b) gdzie 0 # j, h # n ! 1.

kRównoœæ a) jest oczywista, gdy¿ wynika z definicji liczb w . W celu udowodnienia zale¿noœci b)

kzauwa¿my, ¿e dla k = 0, ±1, ±2, ... , liczba w jest pierwiastkiem równania

(3.22)

(3.23)

(3.24)

3.8. Interpolacja trygonometryczna 41

kZatem w � 1 dla wszystkich k � 0, ±n, ±2n, ... . Mamy

a st¹d otrzymujemy zale¿noœæ b).

0 1 n!1Je¿eli w przestrzeni C zawieraj¹cej wszystkie wektory f = (f(x ), f(x ), ... , f(x )) okreœlimy ilo-n

czyn skalarny

gdzie oznacza sprzê¿enie liczby to w³asnoœci a) i b) oznaczaj¹, ¿e przyporz¹dkowanefunkcji exp(jxi) specjalne uk³ady n liczb

tworz¹ bazê ortonormaln¹ w przestrzeni C , tj.n

n k kPoniewa¿ T (x ) = f(x ), wiêc z uwagi na zale¿noœæ (3.25) mamy

#

kNiech teraz wartoœci f(x ) bêd¹ rzeczywiste. Oznaczmy

gdzie j oznacza liczbê ca³kowit¹. Z wzoru (3.24) wynika, ¿e

(3.25)

(3.26)

(3.27)

III. Interpolacja42

Mo¿emy teraz udowodniæ twierdzenie o interpolacji rzeczywistymi wielomianami trygono-metrycznymi.

Twierdzenie 3.11. Dla danych punktów wêz³owych i rzeczywistych wartoœci funkcji

kw tych wêz³ach f(x ) istnieje dok³adnie jeden wielomian trygonometryczny

n k ko w³asnoœci T (x ) = f(x ), przy czym dla n parzystego (n = 2m)

a dla n nieparzystego (n = 2m + 1)

Dowód. Istnienie i jednoznacznoœæ wielomianów (3.28) i (3.29) wynika z twierdzenia 3.9. Dlan = 2m z wzorów (3.22), (3.24), (3.26) i (3.27) mamy

Z zale¿noœci (3.26) otrzymujemy

bo

ki dlatego wzór (3.30) daje zale¿noœæ (3.28) dla x = x . Gdy liczba n jest nieparzysta dowód prze-biega podobnie. #

(3.28)

(3.29)

(3.30)

3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi 43

3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi

W dotychczas rozpatrywanych zagadnieniach interpolacji wielomianowej zak³adaliœmy, ¿e

0 ndana funkcja jest przybli¿ana jednym wielomianem na ca³ym odcinku [a, b] = [x , x ]. Jedyn¹mo¿liwoœci¹ uzyskania lepszego przybli¿enia by³o zwiêkszenie stopnia wielomianu. Wiadomojednak, ¿e nawet dla bardzo regularnych funkcji ci¹g wielomianów interpolacyjnych nie musibyæ zbie¿ny do interpolowanej funkcji. Dlatego do zagadnienia tego podchodzi siê w inny spo-sób. Dzielimy ca³y przedzia³ [a, b] na N czêœci i w ka¿dym z podprzedzia³ów przybli¿amy funk-cjê wielomianem ustalonego (mo¿liwie niskiego) stopnia. Istotne jest przy tym, aby tak skon-struowane przybli¿enie by³o ci¹g³e wraz z pochodnymi odpowiednich rzêdów na ca³ym odcinku[a, b]. Funkcje o tej w³asnoœci nazywaj¹ siê funkcjami sklejanymi.

Definicja 3.11. Funkcjê rzeczywist¹ S nazywamy funkcj¹ sklejan¹ stopnia m z wêz³ami

jeœli

i!1 ia) w ka¿dym przedziale (x , x ) dla i = 0, 1, ... , n + 1, przy czym przyjmujemy

!1 n+1x = !4, x = +4, funkcja S jest wielomianem stopnia nie wy¿szego ni¿ m,b) funkcja S i jej pochodne rzêdu 1, 2, ... , m ! 1 s¹ ci¹g³e na ca³ej osi rzeczy-

wistej.

Zauwa¿my, ¿e gdy m = 1, to funkcja sklejana jest ³aman¹. Wœród funkcji sklejanych specjaln¹rolê (zob. dalej) spe³niaj¹ pewne ich klasy.

Definicja 3.12. Funkcjê sklejan¹ S stopnia 2m ! 1 z wêz³ami ) nazywamy naturaln¹ funkcj¹

0 nsklejan¹, gdy w przedzia³ach (!4, x ) i (x , +4) dana jest wielomianem stopniam ! 1 (a nie 2m ! 1).

Definicja 3.13. Funkcjê sklejan¹ S stopnia m z wêz³ami ) nazywamy okresow¹ funkcj¹ skleja-n¹ o okresie b ! a, gdy dla i = 0, 1, ... , m ! 1.

W dalszym ci¹gu przyjmiemy nastêpuj¹ce oznaczenia:

mS ()) – klasa funkcji sklejanych stopnia m z wêz³ami ),

mP ()) – klasa okresowych funkcji sklejanych stopnia m z wêz³ami ),

2m!1N ()) – klasa naturalnych funkcji sklejanych stopnia 2m ! 1 z wêz³ami ).

Definicja 3.14. Zadanie interpolacji funkcjami sklejanymi polega na znalezieniu dla danych

i ipunktów (x , f(x )), i = 0, 1, ... , n, funkcji sklejanej S, takiej ¿e

mW ca³ej klasie S ()) zadanie to nie ma jednoznacznego rozwi¹zania, natomiast w klasach

m 2m!1P ()) i N ()) istnieje dok³adnie jedna funkcja sklejana S spe³niaj¹ca warunki (3.31) (dowódtego twierdzenia znajduje siê m. in. w [1]).

(3.31)

III. Interpolacja44

Poni¿ej podajemy algorytm wyznaczania naturalnej i okresowej funkcji sklejanej stopnia trze-ciego. Tak¹ funkcjê najczêœciej stosuje siê w praktyce. Zak³adamy zatem, ¿e

i i i+1 3 3 i igdzie t = x ! x dla x 0 [x , x ), i = 0, 1, ... , n ! 1, S 0 N ()) lub S 0 P ()) oraz S(x ) = f(x )w wêz³ach ).

Z wzoru (3.32) wynika, ¿e nale¿y wyznaczyæ 4n wspó³czynników (jeœli przedzia³ [a, b] jestpodzielony na n podprzedzia³ów). Z warunków interpolacji (3.31) oraz z okreœlenia funkcji Swzorem (3.32) otrzymujemy

igdy¿ dla x = x mamy t = 0. Nale¿y zatem jeszcze wyznaczyæ 3n wspó³czynników. 3n ! 3 równa-

inia na te wspó³czynniki otrzymamy z za³o¿enia ci¹g³oœci funkcji S, SN i SO w wêz³ach x (i = 1,2, ... , n ! 1), a pozosta³e równania z faktu, ¿e funkcja S jest naturaln¹ lub okresow¹ funkcj¹ skle-jan¹.

Z okreœlenia (3.32) funkcji S mamy

iZ ci¹g³oœci funkcji SO w wêz³ach x (i = 1, 2, ... , n ! 1), czyli z warunku

otrzymujemy

czyli

Obliczaj¹c pochodn¹ funkcji S z wzoru (3.32) mamy

ii z warunku ci¹g³oœci funkcji SN w wêz³ach x , tj. z warunku

mamy

a wiêc

iPostêpuj¹c dalej podobnie, z ci¹g³oœci funkcji S w wêz³ach x otrzymamy równania

i!1Z zale¿noœci (3.34) wyznaczamy d :

(3.32)

(3.33)

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi 45

gdzie przyjêto oznaczenie po czym podstawiamy te wartoœci do wzorów (3.35)i (3.36) uwzglêdniaj¹c warunki (3.33). Otrzymujemy

czyli

i igdzie dla prostoty oznaczyliœmy f = f(x ). Z drugiego z powy¿szych równañ mo¿emy obliczyæ

i!1b . Mamy

i po podstawieniu do pierwszego równania dostajemy

Równanie (3.38) mo¿emy tak¿e zapisaæ nastêpuj¹co:

Dla i = 1, 2, ... , n ! 2 z równañ (3.39) i (3.40) otrzymujemy

czyli

0 1 n!1Jest to uk³ad n ! 2 równañ z n niewiadomymi c , c , ... , c .

Warunek

i nmusi zachodziæ tak¿e w punkcie x = b, czyli w punkcie x , a st¹d (por. wzór (3.34))

Rozumuj¹c jak poprzednio dostaniemy (por. wzory (3.37) i (3.38))

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

(3.42)

III. Interpolacja46

0 1 na wiêc uk³ad (3.41) zachodzi dla i = 1, 2, ... , n ! 1 (z n + 1 niewiadomymi c , c , ... , c ). Poprostych przekszta³ceniach mo¿emy go zapisaæ w postaci

Je¿eli funkcja S jest naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹, to poza przedzia³em [a, b] jest ona wielomia-nem stopnia m ! 1, a w przedziale [a, b] – stopnia 2m – 1. W naszym przypadku 2m ! 1 = 3,a st¹d m = 2. Oznacza to, ¿e w przedzia³ach (!4, a) i (b, +4) funkcja S jest wielomianem stopniapierwszego, a st¹d SO(x) = 0 dla x ó [a, b]. Z drugiej strony funkcja SO musi byæ ci¹g³a w punk-

0 n 0 n 0 0 0 0tach x = a i x = b, czyli SO(x ) = SO(x ) = 0. Zatem c = 0, bo SO(x) = 2c + 6d (x ! x ) dla

0 1 n n nx 0 [x , x ) oraz c = 0 z warunku 2c = SO(x ! 0). Uk³ad (3.43) przyjmuje wiêc postaæ

gdzie

Macierz tego uk³adu jest trójprzek¹tniowa. Sposób rozwi¹zania uk³adu równañ liniowych z tak¹macierz¹ jest podany w p. 4.4.

Jeœli funkcja S jest okresow¹ funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego, to musz¹ byæ spe³nione wa-runki

a st¹d dla i = 0 otrzymujemy

a wiêc warunek, jaki powinna spe³niaæ funkcja f w interpolacji funkcj¹ okresow¹. Dla i = 1mamy

czyli

Wreszcie, dla i = 2 otrzymujemy

(3.43)

(3.44)

3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi 47

Z zale¿noœci (3.44) po uwzglêdnieniu równañ (3.38) i (3.42) mamy

0 nSt¹d, uwzglêdniaj¹c, ¿e c = c , po prostych przekszta³ceniach otrzymujemy

1Równania (3.43) i wzór (3.45) prowadz¹ do uk³adu n równañ liniowych z n niewiadomymi c ,

2 nc , ... , c postaci

gdzie

i i ia pozosta³e wielkoœci w , u i v (i = 1, 2, ... , n ! 1) s¹ okreœlone jak poprzednio.

iKorzystaj¹c z obliczonych wspó³czynników c funkcjê S mo¿emy przedstawiæ w postaci

B³¹d interpolacji funkcjami sklejanymi jest okreœlony w poni¿szych twierdzeniach.

Twierdzenie 3.12. Jeœli funkcja f spe³nia warunek Höldera, tzn. istniej¹ sta³e L > 0 i " 0 (0, 1],takie ¿e dla dowolnych x, y 0 [a, b] mamy

to

(3.45)

(3.46)

III. Interpolacja48

Dowód tego twierdzenia znajduje siê w [1]. Zauwa¿my, ¿e z wzoru (3.46) wynika, ¿e jeœli

chcemy, aby oszacowanie b³êdu by³o rzêdu to wielkoœæ powinna byæ

w przybli¿eniu równa 1. Oznacza to, ¿e wêz³y powinny byæ roz³o¿one w miarê równomiernie.Za³o¿enie to nie jest konieczne dla bardziej regularnej funkcji. Mamy bowiem

Twierdzenie 3.13. Je¿eli f 0 C [a, b], to(2)

gdzie

Dowód tego twierdzenia te¿ znajduje siê w [1].

Zadania

1. ZnaleŸæ wielomian interpolacyjny Lagrange’a, który w punktach !2, 1, 2, 4 przyjmuje war-toœci odpowiednio 3, 1, !3, 8. Jaka jest wartoœæ tego wielomianu w punkcie x = 0?

2. ZnaleŸæ wielomian interpolacyjny Lagrange’a, który w punktach 0, 1, 2 przyjmuje wartoœciodpowiednio 1, 1, 3. Obliczyæ wartoœæ tego wielomianu w punkcie x = 1/2.

3. Dla danych z zadania 2 znaleŸæ wartoœæ wielomianu interpolacyjnego w punkcie x = 1/2stosuj¹c algorytm Neville’a.

4. Dla danych z zadania 2 znaleŸæ wielomian interpolacyjny stosuj¹c wzór interpolacyjnyNewtona.

5. Napisaæ wzór interpolacyjny Newtona dla funkcji f(x) i nastêpuj¹cych danych: f(0) = 1,f(2) = 3, f(3) = 2, f(4) = 5, f(6) = 7.

6. Udowodniæ, ¿e je¿eli

to

Jaka jest wartoœæ tego ilorazu ró¿nicowego, gdy n = p. + 1?

7. Obliczyæ ró¿nice progresywne wielomianu

przyjmuj¹c h = 1.

48. ZnaleŸæ ró¿nice wsteczne wielomianu W (x) z zadania 6.

i 09. Udowodniæ, ¿e jeœli x = x + ih, i = 0, 1, ... , k, to

3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi 49

10. Pokazaæ, ¿e

11. Udowodniæ, ¿e

12. Korzystaj¹c z przedstawienia wielomianu interpolacyjnego za pomoc¹ ró¿nic progresyw-nych znaleŸæ ten wielomian, gdy f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 2 i f(3) = 3.

13. Dla danych z zadania 12 znaleŸæ wielomian interpolacyjny korzystaj¹c jego przedstawieniaza pomoc¹ ró¿nic wstecznych.

i i14. Dane s¹ punkty x (i = 0, 1, 2) o krotnoœciach m oraz wartoœciach funkcji f i jej pochodnychw tych punktach:

i 0 1 2

ix 0 1 2

im 1 2 3

if(x ) 0 1 0

ifN(x ) – 2 1

ifO(x ) – – 2

Skonstruowaæ wielomian interpolacyjny Hermite’a pos³uguj¹c siê wzorami (3.15) na wspó³-czynniki.

15. Dla danych z zadania 14 wyznaczyæ wspó³czynniki wielomianu interpolacyjnego Hermite’akorzystaj¹c z uogólnionych ilorazów ró¿nicowych.

16. Z jak¹ dok³adnoœci¹ mo¿na obliczyæ ln(100,5) przy u¿yciu wzoru interpolacyjnego Lagran-ge’a, je¿eli dane s¹ wartoœci ln(100), ln(101), ln(102) i ln(103).

0 1 n!117. Udowodniæ, ¿e jeœli funkcja g interpoluje funkcjê f w wêz³ach x , x , ... , x , a funkcja h

1 2 ninterpoluje funkcjê f w wêz³ach x , x , ... , x , to funkcja

0 1 ninterpoluje funkcjê f we wszystkich wêz³ach x , x , ... , x (funkcje g i h nie musz¹ byæ wie-lomianami).

0 118. Udowodniæ, ¿e jeœli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcjê f w wêz³ach x , x , ... ,

n!1 i inx , a funkcja h jest funkcj¹ tak¹, ¿e h(x ) = * (0 # i # n), to istnieje sta³a c, dla której

0 1 nfunkcja g + ch interpoluje funkcjê f w punktach x , x , ... , x .

III. Interpolacja50

19. Wielomian

interpoluje cztery pocz¹tkowe punkty z tablicy

x !1 0 1 2 3

f(x) 2 1 2 !7 10

Dodaj¹c do wielomianu p jeden sk³adnik, wyznaczyæ wielomian interpoluj¹cy wszystkiedane.

20. Dla jakich wartoœci a, b i c funkcja

mo¿e byæ w przedziale [0, 3) naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego?

21. Dla jakich wartoœci parametrów a, b, c i d funkcja

jest funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego?

22. Dla jakich wartoœci parametrów a i b funkcja

jest funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego?

23. Dla jakich wartoœci parametrów a, b, c i d funkcja

mo¿e byæ w przedziale [!1, 1) naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego?