Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacjaagatka/numeryczne/wyklad_05.pdf · Aproksymacja i...

dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne

Wykład nr 5:

Aproksymacja i interpolacja

Aproksymacja i interpolacja

Aproksymacja równaniem liniowym

Błąd dopasowania

n

i

ii axayE1

2

01 )( - Funkcja dwóch zmiennych a1 i a0

Funkcja E ma minimum dla takich wartości a1 i a0, dla których pochodne

cząstkowe względem a1 i a0 zerują się:

n

i

iii

n

i

ii

xaxaya

E

axaya

E

1

01

1

1

01

0

0)(2

0)(2

Jest to układ dwóch równań liniowych:

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

yxaxax

yaxa

1

1

1

2

0

1

1

1

1

0

1

1

Rozwiązaniem tego układu jest:

2

11

2

1111

2

0

2

11

2

1 11

1

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

iii

xxn

xyxyx

a

xxn

yxyxn

a

Aproksymacja wielomianami wyższego rzędu

Wielomian – funkcja postaci

01

1

1 ...)( axaxaxaxf n

n

n

n

ai - współczynniki rzeczywiste

n – stopień wielomianu

Zbiór n punktów można aproksymować wielomianami różnych stopni

(maksymalnie wielomianem stopnia n-1)

Dla n punktów wielomian stopnia (n-1) przechodzi przez wszystkie punkty.

Gdy n jest duże, aproksymowanie funkcji wielomianem stopnia (n-1)

nie jest wskazane.

01

1

1 ...)( axaxaxaxf m

m

m

m

Zastosujmy wielomian stopnia m do aproksymacji n punktów:

n

i

i

m

im

m

imi axaxaxayE1

2

01

1

1 )...(

Wtedy błąd:

Liniowe równanie m+1 zmiennych (a0 do am)

Funkcja E ma minimum dla takich wartości ai , dla których pochodne

cząstkowe względem ai zerują się.

Weźmy m = 2 (wielomian kwadratowy):

n

i

iii axaxayE1

2

01

2

2 )(

n

i

iiii

n

i

iiii

n

i

iii

xaxaxaya

E

xaxaxaya

E

axaxaya

E

1

2

01

2

2

2

1

01

2

2

1

1

01

2

2

0

0)(2

0)(2

0)(2

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

yxaxaxax

yxaxaxax

yaxaxa

1

2

2

1

4

1

1

3

0

1

2

1

2

1

3

1

1

2

0

1

1

2

1

2

1

1

0

1

1

Możemy zatem uogólnić problem:

n

i

i

m

im

n

i

mk

i

n

i

k

i

n

i

k

i yxaxaxax11

1

1

1

0

1

...

Dla wielomianu stopnia m mamy m+1 równań postaci

gdzie k = 0, 1, …, m.

for j = 0..2m

xsum[j] =

for j = 0..m

for i = 0..m

A[i][j] = xsum[i+j]

b[j] =

Znajdź wektor a taki, że A·a = b

n

1i

j

ix

i

n

1i

j

iyx

Interpolacja

Interpolacją funkcji f(x) na przedziale <a; b> nazywa się wyznaczenie

przybliżonych wartości funkcji f(x) dla dowolnego argumentu x <a; b> przy

znanych jej wartościach f(x0), f(x1), ..., f(xn) w ustalonych punktach

zwanych węzłami interpolacji bxxxa n ...10

x0 x1 x2 xk xn

f(x0)

f(x1)

f(x2)

f(xk) f(xn)

x

y

Twierdzenie

Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny Wn(x) stopnia n (n 0), który

w punktach przyjmuje wartości nxxx ,...,, 10 nyyy ,...,, 10

Dowód: Szukany wielomian ma postać:

0

1

1)( axaxaxW n

n

n

nn

Korzystając z faktu, że znamy wartości tego wielomianu w n+1 punktach,

możemy napisać układ n+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi

współczynnikami

)(

)(

)(

)(

2

210

2

210

11

2

12110

00

2

02010

n

n

nnnn

i

n

inii

n

n

n

n

xfxaxaxaa

xfxaxaxaa

xfxaxaxaa

xfxaxaxaa

Układ równań można zapisać w postaci macierzowej

)(

)(

)(

)(

1

1

1

1

1

0

1

0

2

2

1

2

11

0

2

00

n

i

n

i

n

nnn

n

iii

n

n

xf

xf

xf

xf

a

a

a

a

xxx

xxx

xxx

xxx

Macierz

Vandermonde’a Niewiadome

współczynniki Dane wartości

0

1

1

1

1

2

2

1

2

11

0

2

00

n

nnn

n

iii

n

n

xxx

xxx

xxx

xxx

Wyznacznik Vandermonde’a jest różny

od zera, jeśli xi xj, i j (i, j = 0,1,...,n),

czyli układ równań ma dokładnie jedno

rozwiązanie.

Wzór interpolacyjny Lagrange’a

)(xW i

nSkonstruujemy wielomiany pomocnicze , i = 0,1,...,n, stopnia n takie, że

jigdy

jigdyxW ijj

i

n1

0)(

)())(())(()( 1110 niii

i

n xxxxxxxxxxcxW

Dla x = xi , zatem 1)( i

i

n xW

)())(())((1 1110 niiiiiiii xxxxxxxxxxc

Oznacza to, że dla

wielomian równa się zeru, a dla xj równa

się jedności. Stąd jest postaci:

,,,,,,, 1110 njj xxxxx

)(xW j

n

czyli )())(())((

1

1110 niiiiiii

ixxxxxxxxxx

c

1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

4

5

Czyli:

)())(())((

)())(())(()(

1110

1110

niiiiiii

niii

nxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxW

otrzymujemy wielomian stopnia co najwyżej n spełniający wszystkie warunki

wymagane przy interpolacji.

n

i

i

i

nn yxWxW0

)()(

Wystarczy przyjąć:

n

i

i

niiiiiii

niin y

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxW

0 1110

1110

)())(())((

)())(())(()(

Wzór interpolacyjny Lagrange’a Ostatecznie:

Uwagi:

n

i

n

jij ji

j

inxx

xxyxW

0 0 )(

)()(

1. Wzór uproszczony

2. Jeśli zbiór danych {x,y} jest poszerzony o nową daną, cały wielomian Lagrange’a

musi być przeliczony od początku (porównaj z następną metodą).

Wielomiany Newtona

))...((...))(()()( 11213121 nn xxxxaxxxxaxxaaxf

Ogólna postać:

Wielomian Newtona pierwszego stopnia

)()( 121 xxaaxf

Dla dwóch punktów (x1, y1) i (x2, y2)

CB

AB

CE

DE

12

12

1

1)(

xx

yy

xx

yxf

1

12

121)( xx

xx

yyyxf

11 ya 12

122

xx

yya

Wielomian Newtona drugiego stopnia

))(()()( 213121 xxxxaxxaaxf

Dla trzech punktów (x1, y1), (x2, y2) i (x3, y3)

12

122

xx

yya

Podstawiając x = x1 i 11)()( yxfxf

11 ya Dostajemy


Dostajemy 12212 xxayy


Dostajemy 2313313

12

1213 xxxxaxx

xx

yyyy

)( 13

12

12

23

23

3xx

xx

yy

xx

yy

a

Wielomian Newtona trzeciego stopnia

)(

)()(

14

13

12

12

23

23

24

23

23

34

34

4xx

xx

xx

yy

xx

yy

xx

xx

yy

xx

yy

a

Współczynniki a1 i a2 są takie same jak dla wielomianu pierwszego stopnia.

Czyli, jeśli mamy dwa punkty i wyznaczony wielomian pierwszego stopnia,

to po dodaniu trzeciego punktu wystarczy obliczyć tylko jeden współczynnik

i dodać nowy wyraz do istniejącego wielomianu.

))()(())(()()( 3214213121 xxxxxxaxxxxaxxaaxf

Znamy a1, a2, a3 oraz f(x = x4) = y4. Możemy więc znaleźć a4:

11 ya

12

122

xx

yya

)( 13

12

12

23

23

3xx

xx

yy

xx

yy

a

)(

)()(

14

13

12

12

23

23

24

23

23

34

34

4xx

xx

xx

yy

xx

yy

xx

xx

yy

xx

yy

a

],[ 12 xxf

],[],[],[

12,3

13

1223 xxxfxx

xxfxxf

],[],[],,[

12,3,4

14

12,3234xxxxf

xx

xxxfxxxf

Uogólniona postać współczynników wielomianu Newtona

Iloraz różnicowy pierwszego rzędu

Iloraz różnicowy drugiego rzędu

Algorytm:

1. Obliczamy n-1 ilorazów różnicowych pierwszego rzędu

2. Korzystając z wartości obliczonych w kroku 1, obliczamy n-2 ilorazów różnicowych

drugiego rzędu

3. Korzystając z wartości obliczonych w kroku 2, obliczamy n-3 ilorazów różnicowych

trzeciego rzędu

n. Korzystając z wartości obliczonych w kroku n-1, obliczamy 1 iloraz różnicowy

n-tego rzędu

Danych jest n punktów.

I ilorazy różn. II ilorazy różn. III ilorazy różn. IV ilorazy różn.

Przykład: Znajdźmy wielomian Newtona czwartego stopnia

przechodzący przez punkty:

)5)(4)(2)(1()4)(2)(1()2)(1()1()( 54321 xxxxaxxxaxxaxaaxf

x 1 2 4 5 7

y 52 5 -5 -40 10

0 1 2 3 4 5 6 7-100

-50

0

50

100

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Zadanie: znajdź wielomian interpolujący funkcję f(x) = sqrt(abs(x)), mając dane

wartości tej funkcji w punktach -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Wielomian

3 stopnia

Wielomian

5 stopnia

Wielomian

7 stopnia

Funkcje sklejane

Idea

• Zastosować wielomiany

niższych stopni do mniejszej

liczby punktów (podzielić cały

zbiór punktów na przedziały)

• Wygładzić końce przedziałów

Splines

Krzywa ciągła i gładka

Mamy n-1 przedziałów i n punktów

fi(x) jest wielomianem niskiego stopnia

Przykład dla n = 4:

węzeł

x1 x2 x3 x4

Liniowe funkcje sklejane

nn

nn

nn

nn

n

i

xxxxx

xxx

xx

xx

xxxfxx

xxxf

xx

xx

xxxfxx

xxxf

xx

xx

xf

1n-

2

1

x , f f

x ,

x ,

)()(

)()(

)()(

)(

1

11

1

33

23

22

32

3

22

12

11

21

2

n

i

i

niiiiiii

niin y

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxW

0 1110

1110

)())(())((

)())(())(()(

Wielomiany

Lagrange’a

dla n = 2 punktów

f1(x) f2(x)

fn-1(x)

Kwadratowe funkcje sklejane

Mamy dane n punktów i n-1 przedziałów.

Wielomian kwadratowy w i-tym przedziale:

1...,,2,1)( 2 nicxbxaxf iiii dla

Mamy n-1 równań i 3(n-1) = 3n-3 niewiadomych.

1. Każdy wielomian fi(x) musi przechodzić przez punkty na końcach przedziału:

1,...,2,1

1,...,2,1

11

2

1

2

niycxbxa

niycxbxa

iiiiii

iiiiii

dla

dla

Daje to nam 2(n-1) = 2n-2 równań.

2. W węzłach nachylenia (pierwsze pochodne) wielomianów z sąsiednich

przedziałów muszą być jednakowe (nie dotyczy to skrajnych węzłów).

ii bxaxf 2)('

1,...,3,222 11 nibxabxa iiiiii dla

Daje to nam n-2 równań. 3n-3 = 2n-2 + n-2 + jeszcze jedno.

3. Druga pochodna w pierwszym punkcie (x1, y1) równa jest zero.

11 2)('' axf

01 a

Zatem pierwsze dwa punkty łączymy prostą linią.

Przykład:

Znajdź wielomiany sklejane dla: x y

-1 -5

0 4

2 -2

5 19

6 58

f(x)=x3-5x2+3x+4

1,...,2,1

1,...,2,1

11

2

1

2

niycxbxa

niycxbxa

iiiiii

iiiiii

dla

dla x y

-1 -5

0 4

2 -2

5 19

6 58

4

5

1

111

c

cba

224

4

222

2

cba

c

19525

224

333

333

cba

cba

58636

19525

444

444

cba

cba

01010

044

0

4433

3322

21

baba

baba

bb

01 a

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

1 -1 1 -5

0 0 1 4

0 0 1 4

4 2 1 -2

4 2 1 -2

25 5 1 19

25 5 1 19

36 6 1 58

1 -1 0

4 1 -4 -1 0

10 1 -10 -1 0

1 0

2n-2

n-2

1


19

29

10

2

15

3.7

4

9

6

5

9

0

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x)

Podstawowe zastosowanie kwadratowych wielomianów sklejanych:

Pomagają zrozumieć kubiczne wielomiany sklejane.

Kubiczne funkcje sklejane Mamy dane n punktów i n-1 przedziałów.

Wielomian sześcienny w i-tym przedziale: 1...,,2,1)( 23 nidxcxbxaxf iiiii dla

Mamy n-1 równań i 4(n-1) = 4n-4 niewiadomych.

1. Każdy wielomian fi(x) musi przechodzić przez punkty na końcach przedziału.

Daje to nam 2(n-1) = 2n-2 równań.

2. W węzłach nachylenia (pierwsze pochodne) wielomianów z sąsiednich


Daje to nam n-2 równań.

4n-4 = 2n-2 + n-2 + n-2 + jeszcze dwa.

3. W węzłach nachylenia (drugie pochodne) wielomianów z sąsiednich


iii bxaxf 26)(''


Daje to nam n-2 równań.

4. Druga pochodna w pierwszym i w ostatnim punkcie (x1, y1) równa jest zero.

026 111 bxa 026 11 nnn bxa

Kubiczne funkcje sklejane (wielomiany Lagrange’a)

)()()( 1

''

1

''

1

1''

ii

ii

iii

ii

ii xf

xx

xxxf

xx

xxxf

Gdy scałkujemy to wyrażenie dwukrotnie

otrzymamy wielomian trzeciego stopnia.

Dwie stałe całkowania wyznaczamy z warunku:

)()(6

)('')(

)()(6

)('')(

)()(6

)('')(

)(6

)('')(

11

1

1

11

1

3

1

13

1

1

iiiii

ii

i

iiiii

ii

i

i

ii

iii

ii

iii

xxxxxf

xx

xf

xxxxxf

xx

xf

xxxx

xfxx

xx

xfxf

)()()()( 1111 iiiiiiii xfxfxfxf oraz

2...,,2,1)(')(' 111 nixfxf iiii dla

Korzystając z warunku

możemy wyznaczyć nieznane f’’i(xi) oraz f’’i(xi+1).

2...,,2,1)()()()(

6

)('')()('')(2)('')(

1

1

12

12

212121

nixx

xfxf

xx

xfxf

xfxxxfxxxfxx

ii

ii

ii

ii

iiiiiiiii

dla

Układ n-2 równań liniowych z n niewiadomymi.

Pozostałe dwa równania uzyskujemy z warunku:

0)(''0)('' 1 nxfxf oraz

Wniosek: mimo trudności z korzystaniem z wielomianów Lagrange’a

uzyskaliśmy prostszy układ równań (n równań zamiast 4n-4)

06f )(

01f )(

Dwuwymiarowe funkcje sklejane

6. Obliczamy wartość tej funkcji dla x*.

1. Mamy dany zbiór wartości pewnej funkcji f(x,y) w węzłach dwuwymiarowej

siatki kwadratowej m x n

2. Poszukujemy wartości tej funkcji w punkcie (x*, y*) nie będącym węzłem siatki.

3. Ustalając jedną współrzędną, np. x, obliczamy m jednowymiar. funkcji sklejanych

4. Dla każdej z tych funkcji obliczamy jej wartość dla y*.

5. Przez zbiór m obliczonych wartości y* prowadzimy funkcję sklejaną.

Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacjaagatka/numeryczne/wyklad_05.pdf · Aproksymacja i...

Documents

Transcript of Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacjaagatka/numeryczne/wyklad_05.pdf · Aproksymacja i...