Metody komputeroweMetody komputerowe

WprowadzeniePodstawy fizyczne i matematyczne Podstawy fizyczne i matematyczne

metody elementw skoczonych

LiteraturaLiteratura O.C.Zienkiewicz: Metoda elementw skoczonych. Arkady,

Warszawa 1972. Rakowski G., Kacprzyk Z.: Metoda elementw

skoczonych w mechanice konstrukcji, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.

Bazik-Borowa E., Podgrski J.: Wprowadzenie do metody elementw skoczonych w statyce konstrukcji elementw skoczonych w statyce konstrukcji inynierskich, IZT, Lublin 2001

Metoda elementw skoczonych wybrane problemy, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1996.

Ciesielski R. i inni. Mechanika Budowli. Ujcie komputerowe t. I i II Arkady. Warszawa, 1991.

odygowski T., Kkol W.: Metoda elementw skoczonych w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji inynierskich, Skrypt Politechniki Poznaskiej, 1994;

2

Podstawowe pojcia, zaoenia Podstawowe pojcia, zaoenia i twierdzenia mechanikii twierdzenia mechaniki

Liniowy model konstrukcji; Rwnania konstytutywne; Paski stan naprenia i paski stan

odksztacenia;odksztacenia; Rwnania rwnowagi; Zasada prac wirtualnych; Twierdzenie Clapeyrona; Twierdzenia Bettiego i Maxwella.

3

Liniowy model konstrukcjiLiniowy model konstrukcji Ukad opisuj liniowe rwnania

rniczkowe: Mae przemieszczenia konstrukcji (duo mniejsze

od wymiarw konstrukcji);

Mae odksztacenia; Mae odksztacenia;

Materia liniowo-sprysty (moliwo stosowania prawa Hookea: =E).

Modu Younga E=tg()

4

Nieliniowy model konstrukcjiNieliniowy model konstrukcji W rwnaniach rniczkowych ukadu

mog by wprowadzone: Due przemieszczenia konstrukcji; Materia z nieliniow zalenoci .

5

Modu YoungaE=tg()

Modu wzmocnieniaEw=tg()

Obliczenia dla konstrukcji z nieliniowym modelem s wykonywane jak dla ukadw liniowych, ale obcienie jest dzielone na mniejsze wartoci tak, aby mona przy maej wartoci obcienia problem traktowa jak liniowy.

Przykad materiau nieliniowego

Tensor naprenia Tensor naprenia i tensor odksztaceniai tensor odksztacenia

Naprenia, dziaajce na element o nieskoczenie maych wymiarach, zestawia si w macierz, ktra nosi nazw tensora stanu napre a wyglda w nastpujcy sposb:

=

xzxyxx

6

=

zzzyzx

yzyyyx

a naprenia a naprenia ii i ij s nazywane skadowymi tensora napre. Powysza s nazywane skadowymi tensora napre. Powysza macierz jest macierz symetryczn czyli macierz jest macierz symetryczn czyli = oraz ij= ji

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Odksztacenia elementu o nieskoczenie maych wymiarach, zestawia si take w macierz, ktra nosi nazw tensora stanu odksztacenia i wyglda w nastpujcy sposb:

Tensor naprenia Tensor naprenia i tensor odksztaceniai tensor odksztacenia

Skadowe tensorw napre i odksztace mona zapisa w formie wektorw:

=zz

yy

xx

= yzyyyx

xzxyxx

7

=

yz

xz

xy

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzzyzx

yzyyyx

yxxy = zyyz = zxxz =

yxxy = zyyz = zxxz =

Tensor naprenia Tensor naprenia i tensor odksztaceniai tensor odksztacenia

Skadowe tensora naprenia (9) z uwagi na symetri mona zapisa jako wektor:

Podobnie mona postpi ze

=

yz

xz

z

y

x

Podobnie mona postpi ze skadowymi tensora odksztacenia:

Skadowe tensora odksztacenia jako pochodne przemieszcze:

8

xy

yz

=

xy

yz

xz

z

y

x

x

uxx

=

yu y

y

= z

uzz

=

x

u

yu yx

xy

+

=x

u

z

u zxxz

+

= yu

z

uzy

yz

+

=

Rwnania konstytutywneRwnania konstytutywne Rwnania wice

skadowe tensorw naprenia i odksztacenia:

+

+

+

=

0000000000000200020002

D

odksztacenia:

9

00000

00000

1

=

=

DD

( )( )

21+1 =

E

( ) +12E

=

+

+

+

=

)1(2000000)1(2000000)1(2000000100010001

11

ED

Rwnania konstytutywneRwnania konstytutywneZestawienie odksztace podunych w przestrzennym stanie napre

Exx

xx

=

xxxx

xxyy EE

=

== xx

xxxxzz EE

=

==

naprenia dziaaj wzdu osi naprenia dziaaj wzdu osi xx

10

Eyy

yy

= naprenia dziaaj wzdu osi naprenia dziaaj wzdu osi yy

Ezz

zz

=

yyyy

yyxx EE

=

== yy

yyyyzz EE

=

==

naprenia dziaaj wzdu osi naprenia dziaaj wzdu osi zz

zzzz

zzxx EE

=

== zz

zzzzyy EE

=

==

Rwnania konstytutywneRwnania konstytutywneTak jak w przypadku odksztace podunych na podstawie bada stwierdzono zakres pracy materiau, ktry nazywany jest sprystym i w odniesieniu do ktrego mona zapisa:

Gxy

xy

=2

11

W przypadku odksztace postaciowych nie ma sprzenia pomidzy W przypadku odksztace postaciowych nie ma sprzenia pomidzy odksztaceniami w stanie przestrzennym. Odksztacenia postaciowe odksztaceniami w stanie przestrzennym. Odksztacenia postaciowe ostateczne zale tylko od napre stycznych, dziaajcych w ostateczne zale tylko od napre stycznych, dziaajcych w paszczynie zmiany kta odksztacenia postaciowegopaszczynie zmiany kta odksztacenia postaciowego..

Gyz

yz

=2

Gxz

xz

=2

Rwnania konstytutywneRwnania konstytutywneW rwnaniach konstytutywnych wystpuj stae materiaowe:

E modu Younga, modu sprystoci podunejG modu Kirchoffa, modu sprystoci postaciowej wspczynnik PoissonaWszystkie powysze parametry czy zaleno: ( )+= 12

EG

12

( )+12W przypadku zapisu rwna konstytutywnych za pomoc W przypadku zapisu rwna konstytutywnych za pomoc rachunku tensorowego dochodz dwie stae rachunku tensorowego dochodz dwie stae i i , nazywane , nazywane staymi staymi LamegoLamego. Pomidzy staymi . Pomidzy staymi LamegoLamego a wyej a wyej wymienionymi staymi istniej zalenoci:wymienionymi staymi istniej zalenoci:

G=

=

212 G

Rwnania konstytutywneRwnania konstytutywneZaleno pomidzy napreniami i odksztaceniami mona zapisa w formie:

gdzie:= D

13

stae Lamego

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

+

+

+

=

000000000000000000200020002

D

G=

=

212 G

Paski stan napreniaPaski stan napreniaPaski element, ktrego grubo jest znacznie mniejsza od dwch pozostaych, obciony tylko w swojej paszczynie nazywany jest tarcz. W takiej sytuacji na powierzchni elementu nie ma obcie, a wic nie ma napre czyli naprenia, ktre maj jeden z indeksw z, s rwne zero. Taki stan napre nazywany jest paskim stanem napre (PSN).

14

Tarcza obciona tylko w Tarcza obciona tylko w swojej paszczynie.swojej paszczynie.

Paski stan napreniaPaski stan naprenia Zaoenie upraszczajce, ktre mona

stosowa np. w przypadku cienkich tarcz.

Otrzymujemy nastpujce skadowe tensora odksztacenia:

000 === zyzxz

tensora odksztacenia:

Zredukowane wektory napre i odksztace:

15

( )yxz

+

=

10=zx 0=zy

=

xy

y

x

=

xy

y

x

D =

E1

1 01 0

0 0 12

2

Paski stan odksztaceniaPaski stan odksztaceniaW przypadku budowli, ktrych wymiary s we wszystkich kierunkach podobne, mona wyci paski element. Na ten paski element dziaaj pozostae czci bryy, ktre nie pozwalaj na odksztacenia w kierunku prostopadym do tarczy. W takiej sytuacji na powierzchni elementu odksztacenia s rwne zero. Taki stan napre nazywany jest paskim stanem odksztace (PSO).

16

Brya Wycita tarcza

Paski stan odksztaceniaPaski stan odksztacenia Zaoenie upraszczajce w przypadku

masywnych budowli.

Otrzymujemy nastpujce skadowe tensora naprenia:

000 === zyzxz

17

tensora naprenia:

Zwizek midzy zredukowanymi wektorami naprenia i odksztacenia:

( )yxz += 0=zx 0=zy

( )( )D = +

E1 1 2

1 01 0

0 0 1 22

D =

121

11

0

11 0

0 0 21

E

Rwnania rwnowagiRwnania rwnowagi Wektorowa suma si i suma momentw

s rwne 0:

Zapis skalarny

0P ==

n

ii

10M =

=

n

ii

1

Zapis skalarny w przestrzeni:

na paszczynie:

18

PYii

n

=

=1

0 PZii

n

=

=1

0

M Xii

n

=

=1

0 MYii

n

=

=1

0 M Zii

n

=

=1

0

PXii

n

=

=1

0 PYii

n

=

=1

0 M Zii

n

=

=1

0

PXii

n

=

=1

0

Ciao sztywne i odksztacalneCiao sztywne i odksztacalne Ciao doskonale sztywne (idealizacja):

Brak zmian odlegoci punktw ciaa pod dziaaniem obcie.

Ciao odksztacalne: Ciao odksztacalne: Odksztacenia s na tyle due, e nie jest

moliwe pominicie odksztace ciaa w analizie, bez istotnej utraty dokadnoci oblicze.

19

Zasada prac wirtualnych Zasada prac wirtualnych ciao sztywneciao sztywne

Praca wykonywana na przemieszczeniach wirtualnych przez siy zewntrzne (obcienia, reakcje) rwna jest 0.

0=n

ii uP

Przemieszczenie wirtualne powinno spenia nastpujce warunki:

dowolne, niezalene od si dziaajcych na bry, zgodne z wizami (kinematycznie dopuszczalne), niezalene od czasu.

20

01

=iii

Zasada prac wirtualnych Zasada prac wirtualnych przykadprzykad

VA RB

HAP

H P

0BP = BRP

a b baa +=

BP

( )baaPPRB +

==P

21

HA

HA

P

P

VA RB

VA

RB

PB

P

A

( )baB +B

0AP = AVP

bab +=

AP

( )babPPVA +

==

A

P

Zasada prac wirtualnych Zasada prac wirtualnych ciao odksztacalneciao odksztacalne

Wzrost energii potencjalnej ciaa, znajdujcego si w rwnowadze, rwny jest pracy si zewntrznych wykonanych na przemieszczeniach wirtualnych.

n

na przemieszczeniach wirtualnych.

Wzrost energii potencjalnej = praca wykonywana przez siy wewntrzne na przemieszczeniach wirtualnych.

22

P ui ii

n

E ==

1

=V

dVE T

KomplementarnaKomplementarnazasada prac wirtualnych zasada prac wirtualnych

Wzrost energii potencjalnej ciaa, znajdujcego si w rwnowadze, rwny jest pracy wirtualnych si zewntrznych wykonanych na rzeczywistych przemieszczeniach.przemieszczeniach.

Wzrost energii potencjalnej = praca wykonywana przez wirtulane siy wewntrzne na przemieszczeniach rzeczywistych.

23

En

iii =

=1uP

=V

dVE T

Twierdzenie ClapeyronaTwierdzenie Clapeyrona (1)(1)Twierdzenia Clapeyrona mwi, e dla ukadu sprystego, znajdujcegosi w rwnowadze, praca si zewntrznych Lz rwna jest energiipotencjalnej si wewntrznych (energii sprystej):

Lz=V

24

lub w innej wersji

Praca si zewntrznych jest miar energii potencjalnej obcieniazewntrznego przeksztacajcej si w energi spryst:

Lz=Vz=V=-Lw

==

n

iii

121

uP =VV

dVdV TT21

21

Twierdzenie ClapeyronaTwierdzenie Clapeyrona (2)(2) Ukad musi spenia nastpujce

warunki: materia zachowuje si zgodnie z prawem

Hookea,Hookea,

nie ma takich warunkw brzegowych, ktrych istnienie zaley od odksztacenia konstrukcji,

temperatura ukadu jest staa,

nie ma napre i odksztace wstpnych.

25

Twierdzenie BettiegoTwierdzenie BettiegoUkad si Pik wykonuje tak sam prac na przemieszczeniachwywoanych ukadem si Pjn jak ukad si Pjn na przemieszczeniachwywoanych przez siy Pik.

ijji uPuP =Pi Pj

=n

injnk

jkik uPuP

Ugicie belki od siy Ugicie belki od siy

26

Pi

uiiuji

Pj

uiiuji

Pj

uij ujj

uijujj

jij uP iji uP =

Ugicie belki od siy Pi

Ugicie belki od siy Pj

Praca siy Pj Praca siy Pi

Twierdzenie MaxwellaTwierdzenie MaxwellaJeeli na konstrukcj dziaaj dwie niezalene uoglnione siy jednostkowe Pi=1 iPj=1, wywoujce odpowiednio przemieszczenia wji (przemieszczenie w punkcie j nakierunku siy Pj wywoane si Pi) i wij (przemieszczenie w punkcie i na kierunku siyPi wywoane si Pj), to te przemieszczenia s sobie rwne.

Pi wij = Pj wji oraz Pi=1 i Pj=1 wij = wjiPi=1 Pj=1Ugicie belki od siy

27

Pi

wiiwji

Pj

wiiwji

Pj=1

wij wjj

wij wjj

Ugicie belki od siy Pi=1Ugicie belki od siy Pj=1

Praca siy Pj Praca siy Pi

Metoda elementw skoczonychMetoda elementw skoczonych Aproksymacja ukadu rwna

rniczkowych wraz z warunkami brzegowymi, opisujcych obiekt ukadem rwna algebraiccznych, ktry jest atwiejszy do rozwizania.rwna algebraiccznych, ktry jest atwiejszy do rozwizania.

Rozwizanie przyblione dokadno zaley od metod aproksymacji.

Metoda stosowana w rnych dziedzinach: mechanika ciaa staego, budowli, pynw, elektryka itp.

28

Sposb poszukiwania Sposb poszukiwania rozwizania przyblionegorozwizania przyblionego (1)(1)

Podzia na elementy skoczonepoczone w wzach. Niewiadome: przemieszczenia w wzach.

Przyblienie przemieszcze punktw wewntrz elementw za pomoc funkcji wewntrz elementw za pomoc funkcji aproksymujcych (funkcje ksztatu) na podstawie przemieszcze wzowych.

Siy w elementach uzalenione od przemieszcze wzw za pomoc macierzy sztywnoci.

29

Sposb poszukiwania Sposb poszukiwania rozwizania przyblionegorozwizania przyblionego (2)(2)

Zapis ukadu rwna rwnowagi dla wszystkich wzw (stopni swobody) i wprowadzenie warunkw brzegowych.

Rozwizanie ukadu rwna Rozwizanie ukadu rwna algebraicznych obliczenie przemieszcze wzw.

Obliczenie pozostaych wielkoci odksztacenia, siy wewntrrzne, naprenia.

30

Algorytm Algorytm metody elementw skoczonychmetody elementw skoczonych

Dyskretyzacja (generacja siatki); Tworzenie macierzy sztywnoci

elementw; Agregacja globalnej macierzy Agregacja globalnej macierzy

sztywnoci; Budowa globalnego wektora obcienia; Wprowadzenie warunkw brzegowych; Rozwizanie ukadu rwna; Obliczenie si wewntrznych i reakcji.

31

DyskretyzacjaDyskretyzacja (1)(1) Konstrukcje prtowe:

kratowe i ramowe Czsto podzia naturalny

odcinek prostoliniowy odcinek prostoliniowy prta jest elementem skoczonym;

Tarcze, pyty i powoki:

Elementy prostoktne lub trjktne;

32

DyskretyzacjaDyskretyzacja (2)(2) Konstrukcje

bryowe:Elementy czterowzowe (czworocienne), (czworocienne), szeciowzowe, omiowzowe.

33

Macierze sztywnoci elementwMacierze sztywnoci elementw Analiza poszczeglnych elementw; Znalezienie zwizkw midzy parametrami

statycznymi (obcieniami) i odpowiadajcymi im parametrami geometrycznymi (przemieszczeniami).(przemieszczeniami).

34

=

=

jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

eee

F

F

F

F

u

u

u

u

lEA

lEA

lEA

lEA

0000

00

0000

00

''' fuK

Stopnie swobodyStopnie swobodyRodzaj

konstrukcjiIlo stopni

swobody Przesunicia Obroty

ND ux uy uz x y zkrata paska 2 krata przestrzenna 3

35

rama paska 3 rama przestrzenna 6

ruszt 3

tarcza 2

pyta 3

powoka 6

brya 3

Globalna macierz sztywnoci Globalna macierz sztywnoci i rozwizanie ukadu rwnai rozwizanie ukadu rwna

Ukad rwna metody elementw skoczonych:

puK =

=

n

n

Nn

Nn

p

p

p

u

u

u

KKKK

KKKK

KKKK

MM

KK

MMOMM

KK

KK

2

1

2

1

122221

111211

Jako wynik otrzymujemy przemieszczenia w wzach (na poszczeglnych stopniach swobody). Na ich podstawie wyliczane s siy odksztacenia i naprenia a nastpnie siy wewntrzne, reakcje, itp.

36

=

nnnnnnn

n

N

n

N

n

NNNNN

Nnnnn

p

p

u

u

KKKK

KKKK

MM

KK

MOMMM

KK

111

121

Funkcje ksztatuFunkcje ksztatu Do wyznaczenia przemieszcze

wewntrz elementu na podstawie przemieszcze wzw suy funkcja ksztatu.

[ ]u

u

i

u N u( , ) ( , )x y x ye e=

Na podstawie funkcji przemieszcze liczone s odksztacenia

I na tej podstawie naprenia37

[ ]u N N N N uu

u

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x y x y x yi j k l jk

l

=

x

uxx

= y

u yy

=

z

uzz

=

x

u

yu yx

xy

+

=x

u

z

u zxxz

+

=yu

z

uzy

yz

+

=

= D

Moduy systemw MES (FEM)Moduy systemw MES (FEM) Preprocesor:

Dyskretyzacja; Dane materiaowe; Opis obcienia. Nowoczesny preprocesor pozwala na graficzne Nowoczesny preprocesor pozwala na graficzne

wprowadzanie informacji o modelu. Procesor:

Macierze sztywnoci elementw; Globalna macierz sztywnoci; Wektor obcienia; Warunki brzegowe; Rozwizanie ukadu rwna.

38

Moduy systemw MES (FEM)Moduy systemw MES (FEM) Postprocesor:

Obliczenie si wewntrznych i reakcji;

Wizualizacjawynikw.wynikw.

39

Moduy systemw MES (FEM)Moduy systemw MES (FEM) Postprocesor: (postaci drga wasnych prostoktnej pyty)

40

KoniecKoniec