Wprowadzenie do metody elementów skończonych

 MES – Metoda Elementów Skończonych

FEM – Finite Element MethodFEA – Finite Element Analysis

Systemy MES można zaliczyć do grupy programówCAE (Computer Aided Engineering).

Do najbardziej znanych systemów MES (podobnej klasy) można zaliczyćprogramy naukowe:

ABAQUS, Pro-MECHANICA, ANSYS, NISA, ADINA, MARC, FLUENT, DIANA, (NASTRAN)

oraz programy inżynierskie:

NASTRAN, COSMOS, ALGOR, ROBOT, FEAP

Systemy MES mogą importować modele 3D z następujących programów :AutoCAD (ACIS: *.sat),

SolidEdge, SolidWorks, (Parasolid : *.x_t, *.igs)CATIA, Pro-Engineer, Unigraphics.

Mogą to być pliki w formacie:IGES, (DXF, DWG), ACIS, ParaSolid, Step, UG .

Oprócz tego istnieją specjalistyczne programy, które współpracują z różnymi systemami CAD i generują dane do wyżej wymienionych systemów MES.

Do programów tej grupy należą:FEMAP, PATRAN, HYPERMESH, FEMGEN, FEMVIEW, HOUDINI, itp.

Systemy CAD sprzężone z MES:Pro-Engineer + Pro-Mechanica, CATIA

SolidWorks + COSMOS, SolidEdge +AlgorAnsys DesignSpace v.7, Ansys Workbench v.10

System ANSYS ma wiele zalet, które decydują o jego walorach użytkowych (spełnia wymogi normy ISO-9001). Można do nich zaliczyć: - język opisu konstrukcji APDL (Ansys Parametric Design Language), zwany także językiem modelowania bryłowego (Solid Modeling),-        bogata biblioteka elementów skończonych

(ponad 200 typów elementów),- duże możliwości selekcji cech obiektów i przedstawiania wyników,- wygodna praca zarówno w trybie wsadowym, jak i interakcyjnym (dialogowym),-                   dobrze opracowana dokumentacja i pomoc -                   (Manual , Tutorials, Help).

 

ANSYS rozwiązuje problemy z następujących działów mechaniki:- mechanika konstrukcji (Structure Mechanics),- mechanika płynów (Fluid Mechanics),- przewodnictwo cieplne (Thermal Analysis),- elektromagnetyzm (Electromagnetics),- pola sprzężone (Coupled Fields) Odnośnie do mechaniki konstrukcji system ANSYS wykonuje obliczenia w zakresie następujących zagadnień:- mechanika liniowa: statyka, dynamika, stateczność, pełzanie, optymalizacja, zmęczenie materiału,-mechanika nieliniowa: stateczność, zagadnienia kontaktowe, plastyczność, pękanie, duże odkształcenia (>5%) i duże obroty,- dynamika liniowa: drgania własne, analiza harmoniczna, analiza modalna, drgania nieustalone-struktury: izotropowe, anizotropowe, kompozyty. Podręczniki podstawowe:-        O.C. Zienkiewicz, Metoda elementów skończonych, Arkady 1972-        J.Szmelter, Metoda elementów skończonych w statyce konstrukcji-        S. Łaczek, Wprowadzenie do systemu elementów skończonych ANSYS (wersja 5, 5-ED), Kraków 1999

Procedura metody elementów skończonych  Metoda elementów skończonych jest metodą przemieszczeniową i polega na zastąpieniu konstrukcji jednolitej (ciągłej) modelem dyskretnym (nieciągłym) zwanym strukturą. Podział konstrukcji na elementy nazywa się dyskretyzacją lub idealizacją. Dyskretyzacji podlegają: -        wnętrze konstrukcji (powstaje siatka elementów skończonych),-        obciążenia ciągłe (powierzchniowe) oraz -        warunki brzegowe . Obciążenia ciągłe zastępuje się statycznie równoważnym układem sił skupionych zaczepionych w węzłach. Oddziaływanie między elementami występuje poprzez węzły. W związku z tym sztywność modelu MES jest zawsze mniejsza niż konstrukcji. Zapewniona jest tylko ciągłość przemieszczeń w węzłach (w bryłach) i także kątów obrotu (w belkach i powłokach). Nazwa metody bierze się stąd, że elementy mają małe, ale skończone wymiary

Zalety MES są następujące:- uniwersalność, duża biblioteka elementów skończonych różnych typów,- zastosowanie w zagadnieniach liniowych i nieliniowych,- możliwość programowania tej metody w językach Fortran i C,- otrzymywanie symetrycznej macierzy pasmowej (mały wpływ błędów zaokrągleń na wyniki). Wady MES:- aproksymacja przemieszczeń wielomianami niskiego stopnia,- między brzegami elementów naruszona jest ciągłość odkształceń i naprężeń.- konieczność zagęszczania w obszarach koncentracji naprężeń,- metoda dość uciążliwa w zagadnieniach przestrzennych (otrzymuje się duże zadania), w tym przypadku może być lepsza metoda elementów brzegowych (BEM) 

Struktura systemów MES 

-        preprocesor (/PREP7)- blok przygotowania danych: czyli: zdefiniowanie geometrii modelu, typu elementów, stałych elementowych, stałych materiałowych, sił i warunków brzegowych -        solver (/SOLU) - blok rozwiązywania zadania, definiowanie sił i warunków brzegowych -        postprocesor (/POST1) - blok przedstawienia wyników)  Każdy blok kończy się poleceniem FINISHW systemach MES operacje numeryczne wykonywane są lokalnie na poziomie elementu (E) lub globalnie na poziomie struktury (S). Kolejność wykonywania operacji jest następująca:

1. (S) Dyskretyzacja obszaru i obciążeń zewnętrznych - ustalenie liczby węzłów oraz określenie ich położenia, - podział na elementy (topologia - relacje przylegania węzłów dla każdego elementu)2. (E) Dobór typów elementów, aproksymacja liniowa lub kwadratowa (przyjęcie funkcji kształtu N i stopni swobody).3. (E) Równanie problemu na poziomie elementu - obliczenie macierzy sztywności elementu ke, macierzy bezwładności Me i wektora obciążeń Fe ;

4. (E) Transformacja macierzy sztywności elementu z układu lokalnego do globalnego.5. (S) Agregacja (sumowanie) macierzy elementów k w celu otrzymania macierzy sztywności K dla całej struktury ([K]= ke(m), dla m=1,p) oraz układu równań

[K] {} = {F} ; ( dla statyki liniowej ),[K] {}+ [M]{}’’={F} ; ( dla dynamiki liniowej ),

gdzie: K – globalna macierz sztywności (struktury), (symetryczna, pasmowa, osobliwa),

- wektor niewiadomych przemieszczeń, F – wektor obciążeń zewnętrznych, M – globalna macierz bezwładności.

6. (S) Wprowadzenie warunków brzegowych i związana z tym redukcja stopni swobody ( liczby niewiadomych). Warunki brzegowe powinny być jednoznaczne, tzn. powinny zabezpieczyć konstrukcję przed globalnym sztywnym przesunięciem i obrotem. Po redukcji globalna macierz K – jest symetryczna, pasmowa i nieosobliwa.  7. (S) Rozwiązywanie układu równań liniowych i wyznaczenie niewiadomych przemieszczeń w węzłach.8. (E) Rozwiązanie problemu na poziomie elementu w oparciu o znane wartości węzłowe i przyjęte funkcje kształtu N : - obliczenie odkształceń poszczególnych elementów, - obliczenie naprężeń wewnątrz elementów i w węzłach, - obliczenie reakcji podpór. 

 

Podstawowe równania i cechy MES Elementy skończone posiadają na ogół w węzłach stopnie swobody (ang. DOF, degree of freedom). W ujęciu klasycznym może być ich 6, czyli: 3 przesuwne (translacyjne) UX,UY,UZ i 3 obrotowe ROTX, ROTY, ROTZ. Przemieszczeniowe stopnie swobody „przenoszą” siły węzłowe FX, FY, FZ, a obrotowe przekazują momenty węzłowe MX,MY,MZ . Lista elementów i stopni swobody: - element belkowy 2D (BEAM3) posiada 3 stopnie swobody UX,UY,ROTZ, -        element belkowy 3D (BEAM4) ma 6 stopni swobody w węźle, -        element tarczowy (PLANE42) po 2 stopnie swobody UX, UY w każdym węźle. -        element powłokowy (SHELL63) ma 6 stopni swobody (w lokalnym układzie praktycznie 5: UX, UY, UZ, ROTX, ROTY). -       standardowe bryłowe elementy (SOLID45) nie mają obrotowych stopni swobody, a tylko przemieszczeniowe UX, UY, UZ.  

Przemieszczenia „ue” wewnątrz elementu wyznacza się za pomocą przemieszczeń

węzłowych i funkcji kszałtu N następująco:  {ue} = [Ne(x,y)] { e} ,

 gdzie Ne jest macierzą funkcyjną,

e jest wektorem liczbowym.

Funkcje kształtu N opisują przemieszczenia w całym obszarze elementu poprzez interpolację przemieszczeń węzłowych. Muszą one spełniać warunki zgodności i zupełności. Przyjmują wartość jednostkową dla danego stopnia swobody w określonym węźle, a w pozostałych węzłach mają wartość zerową. Funkcjami kształtu mogą być wielomiany: Lagrange’a, Hermite’a i Serendipa. Inną rodzinę tworzą elementy hierarchiczne. Najlepiej je definiować we współrzędnych bezwymiarowych. Elementy mogą być dostosowane i niedostosowane 

 

Liniowe funkcje kształtu dla elementu prętowego i tarczowego

Przykładowo dla poziomego pręta rozciąganego można zapisać przemieszczenie u(x) w formie: u (x) = N1 (x)* 1 + N2 (x) * 2 = (1-x/L)* u1 + x/L* u2 ,

gdzie: N1(x)= (1-x/L), N2(x)= x/L,

L - długość elementu prętowego. Odkształcenia oblicza się przez różniczkowanie równania (2.6), otrzymując: {} = [B] {} , gdzie [B]=[N]’=SN . Macierz B nazywa się macierzą deformacji, S - operator pochodnych funkcji kształtu. Naprężenia związane są z odkształceniami poprzez macierz sprężystości [D]: [] = [D] {} . Z zasady prac wirtualnych sił wewnętrznych i zewnętrznych (z równania Clapeyrona) wyprowadza się zależność na macierz sztywności elementu: [ke] = e [B]T [D] [B] dv ,

gdzie dv jest elementarną objętością elementu skończonego. Całkowanie macierzy sztywności wykonuje się zazwyczaj numerycznie, wykorzystując kwadratury Gaussa. Macierze sztywności elementów belkowych są całkowane analitycznie.

Związek między przemieszczeniami węzłowymi a siłami węzłowymi (na poziomie elementu) jest następujący:

  [ke] {e} = {fe},

 gdzie: [ke] - symetryczna macierz kwadratowa dla elementu o wymiarze (m x m),

{e} - wektor przemieszczeń węzłowych elementu o wymiarze (m),

{fe} - wektor sił węzłowych elementu o wymiarze (m).

Związek między siłami węzłowymi i przemieszczeniami węzłowymi można rozpisać w postaci:

Wektor sił węzłowych : {fe} = {f c + f s + f b + f T },

 fc –siły skupione, fs – ciśnienie, fb – siły objętościowe, fT – siły od gradientu temperatury 

n

.

.2

1

nnk...n2kn1k..

2nk...22k21kn1k...21k11k

nf..2f1f

Struktura globalnej macierzy sztywności K

Gdy w macierzy układu równań [K] wyraz na przekątnej głównej MIN_PIVOT jest zerowy lub ujemny, wówczas występuje osobliwość układu równań i zadanie nie może być rozwiązane (kończy się komunikatem typu Error, Fatal Message). Osobliwość ta może być spowodowana przez:- zerowe dane materiałowe lub elementowe (MP, EX, R ),-        nieprawidłowe albo niejednoznaczne warunki brzegowe ( gdy jest możliwy sztywny przesuw lub obrót ),- brak sklejenia węzłów siatki (gdy występują w tym samym miejscu dwa różne węzły),-        elementy prętowe, gdy tworzą mechanizm o stopniu ruchliwości różnym od zera,-        w zagadnieniach kontaktowych, gdy wszystkie elementy kontaktowe są rozwarte. 

Przykłady warunków brzegowych

Przykłady prawidłowych warunków brzegowych (podparcia modelu)

Błędy w systemie MESMożna je podzielić także na:-        błędy modelowe związane z przyjętym typem elementu skończonego (np.

elementy belkowe typu Bernouli’ego mają największy błąd modelowy, elementy belkowe Timoshenki mniejszy, a elementy bryłowe najmniejszy, jeśli chodzi o uwzględnianie efektów lokalnych),

-        błędy numeryczne, czyli błędy zaokrągleń ( przy złym uwarunkowaniu, lub przy dużej liczbie elementów i dużej szerokości pasma),

-        błędy aproksymacji ( przy zbyt małej liczbie elementów skończonych lub braku zagęszczenia siatki w miejscach koncentracji naprężeń),

-        błędy merytoryczne ( związane z nieprawidłowymi danymi materiałowymi, elementowymi, wymiarami modelu, układem jednostek miar, itp.).

 

Stosowanie spójnych jednostek miar Obliczenia z zakresu dynamiki i stateczności należy wykonywać, stosując

spójne jednostki miar, np. MKS, SI (punkt A) lub CGS. Dozwolony jest także układ MMKS (p.B). Niedozwolony jest w tych przypadkach układ MMN (p.C).

A)   Zalecane jest stosowanie podstawowego układu jednostek MKS, SI ( metr, kg, sekunda ): długość l [ m ], masa m [ kg ], czas t [ s ], siła F [ N ] = [ kg m / s2], ciśnienie p[Pa] = [ N/m2 ], obciążenie ciągłe q [ N/m ], gęstość [ kg/m3 ], przyspieszenie a [ m/s2 ]. Przykłady danych w układzie MKS :Moduł Younga dla stali E= 2.1E11 Pa, gęstość dla stali = 7.85 E3 kg/m3 ,

przyspieszenie ziemskie g= 9.81 m/s2 . Wyniki otrzymuje się w następujących jednostkach:przemieszczenia ui [m], naprężenia ij [Pa] .

  

 SI Metric (m, kg, s)

Metric (mm,tona,s)

Metric (mm, kg, ms)

U.S. Customary (in, lb mass, s)

Długość metr milimetr milimetr inch

Masa kilogram tona kilogram pound-mass

Czas sekunda sekunda milisekunda sekunda

Siła Newton Newton kiloNewton pound-force

Moduł sprężystości stali

2.10E+11 2.1E+05 210.0 30.0E+06

Gęstość stali 7.85E+03 7.85E-09 7.85E-6 0.00073

Przyspieszenie ziemskie

9.81 9.81E+03 9.81E-03 386.4

Tabela spójnych jednostek miar

C) W przypadku obliczeń z zakresu statyki (także z ciężarem własnym) dozwolone jest stosowanie niespójnego układu jednostek, zwanego umownie MMN (milimetr, Newton), zdefiniowanego następująco : długość l [ mm ], masa m [ kg ], czas t [ s ], przyspieszenie a [ m/s2 ], siła F [ N ], ciśnienie p [ N/mm2 ], obciążenie ciągłe q [ N/mm ], gęstość [ kg/mm3 ].Sprawdzenie wymiaru siły ciężkości: F = *g*V= [kg/mm3] [m/s2] [mm3] = [kg m/s2] = [N]. UWAGA : Tego rodzaju jednostek nie wolno stosować w dynamice i w stateczności, gdyż otrzyma się nieprawidłowe częstości drgań własnych i sił krytycznych. Przykłady danych: Moduł Younga dla stali E =2.1E5 N/mm2 , F=10 N, p=20 N/mm2, przysp. ziemskie g = 9.81 m/s2, gęstość dla stali = 7.85 E-6 kg/mm3 .

Zbieżność rozwiązania W metodzie elementów skończonych, w zależności od typu elementów, zbieżność rozwiązania może być monotoniczna (jednostajna) lub naprzemienna (niejednostajna), w zależności od tego czy elementy są dostosowane, czy niedostosowane. Charakterystyczna dla tej metody jest szybkość zbieżności dla określonych wielkości:- najszybsza dla przemieszczeń,- wolniejsza dla naprężeń normalnych,- najwolniejsza dla wytężenia i naprężeń stycznych.Zbieżność naprężeń uzyskuje się dla problemów bez osobliwości geometrycznych (bez ostrego karbu).

Osobliwości geometryczne Niejednokrotnie kształt modelu (załomy), warunki brzegowe i obciążenia mogą powodować tzw. osobliwość geometryczną (brak zbieżności koncentracji naprężeń w punktach osobliwych) w zakresie sprężystym. Na rysunku przedstawiono problem koncentracji naprężeń i punktów osobliwych, który występuje w następujących przypadkach:- w miejscu sztywnego utwierdzenia konstrukcji (p.1,2), gdy UX=UY=0,- w miejscu ostrego wklęsłego załomu modelu (p.3),- w miejscu przyłożenia siły skupionej (p.4). W miejscach koncentracji naprężeń należy zagęścić siatkę elementów, stosując polecenia: LESIZE, KESIZE, KSCON, (np. w p.3: KSCON,3,4,,8, a w p.4: KESIZE,4,3 ). W przypadku punktów osobliwych, przy zagęszczaniu siatki, otrzymuje się coraz większe naprężenia, które nie są zbieżne. Zbieżność naprężeń można uzyskać, wprowadzając promienie zaokrągleń w miejscach załomu.

 

Zadanie z koncentracjami naprężeń (punkty osobliwe : 1,2,3,4)

Testowanie zbieżności rozwiązania Testowanie zbieżności rozwiązania może polegać na:a)  porównywaniu wyników ( np. wytężenia ) w obrębie tego samego typu

elementów, np. przez dwukrotne zagęszczanie siatki węzłów,b) zamianie typu elementu z 4-węzłowego na 8-węzłowy ( np. w przypadku

stosowania elementów powłokowych) i porównaniu wyników przy tej samej liczbie elementów,c)  porównywaniu maksymalnych wartości naprężeń obliczonego SMX i

szacowanego SMXB na podstawie błędu średniokwadratowego (RMS) dla naprężeń w danym węźle lub według normy błędów energii W przypadku c) należy stosować polecenia: /Graphics,full $ ERNORM,on $ plnsol,s,eqv

SMX SMXB

SMXB dop