MODELOWANIE W TECHNOLOGII MATERIAŁÓWww1.metal.agh.edu.pl/~milenin/Dydaktyka/modelowanie/... ·...

MODELOWANIE W TECHNOLOGII MATERIAŁÓW

Milenin Andrzej, 2007

Wykłady: prof. dr hab. inŜ. Andrzej Milenin

asystenci : mgr. inŜ. Piotr Kustra

mgr. InŜ. Tomasz Rec

Pok. 710, B5

E-mail: [email protected]




Literatura• Pietrzyk M., Metody numeryczne w przeróbce plastycznej metali, Skrypt AGH, Kraków

1992.

• Zienkiewicz O.C. Metoda elementów skończonych, PWN, Warszawa, 1973.

• Danchenko V., Dyja H., Lesik L. Maskin L. Milenin A. Technologia i modelowanie procesów walcowania w wykrojach. Częstochowa: Wydawnictwo WIMPIFS PCZ, 2002. – 598 s.

• Malinowski Z. Numeryczne modele w przeróbce plastycznej i wymianie ciepła, Kraków, AGH, 2005

• Procesy przeróbki plastycznej (ćwiczenia laboratoryjne): red. Jan Sińczak, Kraków, Wyd. AGH, 2001



SPIS TREŚCI- Wprowadzenie do wykorzystania metod modelowania w technologii materiałów.

Modeli statystyczne, fizyczne i numeryczne.

- Metody otrzymania modeli statystycznych. Metoda najmniejszych kwadratów.

- Modelowanie fizyczne w technologii materiałów. Teoria podobieństwa. Metody fizycznego modelowania procesów i zjawisk w technologii materiałów. Podstawy teorii eksperymentu czynnikowego.

- Metody numerycznego rozwiązania zadań brzegowych do celów modelowania technologii materiałów. Metoda Elementów Skończonych (MES);

- Zastosowanie technik komputerowych do modelowania procesów przetwórstwa metali.

- Modelowanie zmiany mikrostruktury i własności metali w procesach przetwórstwa metali

- Podsumowanie



1. Wprowadzenie do wykorzystania metod modelowania w technologii

materiałów

Modelowanie fizyczne i matematyczne. Przykłady opracowania przemysłowych technologii przetwórstwa metali za pomocą modelowania



Model fizyczny Model matematyczny

Optymalizacja procesów na podstawie modelowania

Model Obiekt

Cel kursu „Modelowanie...” ???



Modelowanie fizyczne - Modelowanie procesów- Modelowanie zjawisk- Modelowanie obiektów



Teoretyczno-doświadczalną metodykę modelowania rozwoju mikrostruktury i własności metalu po procesach walcowania na gorąco rur i profili

Modelowanie zjawisk



Fizyczny symulator GLEEBLE 3800



u=0.01 s-1, t=1200, 1000, 800

Fizyczny symulator GLEEBLE 3800



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

173.0 174.0 175.0 176.0 177.0

Время, с

Напряжение, МПа

№ клети121110

0204060

80100120140160

180200220240

170.5 171.5 172.5 173.5 174.5Время, с

Напряжение, МПа

№ клети121110

Opracowanie na podstawie symulacji MES warunków badan na GLEEBLE 3800



2. Modeli statystyczne

Metody otrzymania modeli statystycznych. Metoda najmniejszych kwadratów.



( ) ( )∑=

=n

i

ii xCx0

ϕϕ

( )0=

∂Φ∂

iC

CnCCC ,..., 10

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]m

xxym

j

jj∑∑∑∑====

−−−−

==== 1

2ϕϕϕϕσσσσ

Metoda najmniejszych kwadratów

?nCCC ,..., 10

( ) ( ) ( )[ ]∑=

→−=Φm

j

jjjn xyxpCCC1

210 min,..., ϕ

Aproksymacja wyników badańplastometrycznych

2321 εασ ++= εααp

21

a

p εα=σ

εααp 21 +=σ

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0

50

100

150

200

250

300

Odkształcenie

NapręŜenie, MPa

prędkość odkształcenia: 5.5 [1/s]

1000 C

900 C

800 C

700 C

0



( ) xCCx 10 +=ϕ

( ) ( )[ ]∑=

→−+=Φm

j

jjj xyxCCpCC1

21010 min,

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

====−−−−++++====∂∂∂∂ΦΦΦΦ∂∂∂∂

====−−−−++++====∂∂∂∂ΦΦΦΦ∂∂∂∂

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

02

02

1

10

1

1

10

0

m

j

jjj

m

j

jj

xxyxCCC

xyxCCC

(((( ))))

(((( ))))

====−−−−++++

====−−−−++++

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

============

========

0

0

11

2

1

1

0

11

10

m

j

jj

m

j

j

m

j

j

m

j

j

m

j

j

xxyxCxC

xyxCmC

∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑

==== ========

==== ========

−−−−

−−−−

====m

j

m

j

j

m

j

jj

m

j

m

j

jj

m

j

jj

xxxm

xxyxxym

C

1 11

2

1 11

1

)()(

m

xxy

C

m

j

j

m

j

j ∑∑∑∑∑∑∑∑========

−−−−

==== 11

0

)(

Funkcja liniowa



С0=-4, С1=4,5

63213

1

=++=∑=j

ix

149413

1

2 =++=∑=j

jx

151041)(3

1

=++=∑=j

jxf

393081)(3

1

=++=∑=j

jj xxf

=+

=+

39146

1563

10

10

CC

CC

y(xj) 1 4 10

xj

1 2 3



(((( )))) 2

210 xCxCCx ++++++++====ϕϕϕϕ

( ) ( )[ ]∑=

→−++=Φm

j

ijj xyxCxCCCCC1

22210210 min,,

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

====−−−−++++++++====∂∂∂∂ΦΦΦΦ∂∂∂∂

====−−−−++++++++====∂∂∂∂ΦΦΦΦ∂∂∂∂

====−−−−++++++++====∂∂∂∂ΦΦΦΦ∂∂∂∂

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

====

02

02

02

1

22

210

2

1

2

210

1

1

2

210

0

m

j

jjjj

m

j

jjjj

m

j

jjj

xxyxCxCCC

xxyxCxCCC

xyxCxCCC

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

====−−−−++++++++

====−−−−++++++++

====−−−−++++++++

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑

================

================

======== ====

m

j

jj

m

j

j

m

j

j

m

j

j

m

j

jj

m

j

j

m

j

j

m

j

j

m

j

j

m

j

m

j

jj

xxyxCxCxC

xxyxCxCxC

xyxCxCmC

1

2

1

4

2

1

3

1

1

2

0

11

3

2

1

2

1

1

0

11 1

2

210

0

0

0

С0=1, С

1=-1,5 , С

2=1,5

Funkcja 2-go stopnia



)(xϕ

y(xj) 1 4 10

0 1,39 2,30

xj

1 2 3

0 0,69 1,10

ϕϕϕϕ(x) 0,984 4,18 9,72

10)( CxCx =ϕ

( )( ) 01 lnlnln CxCx +=ϕ

)(ln)( xx ϕϕ =

xx ln=

Funkcja potęgowa

( ) xCCx 10 +=ϕ

xx ln=



( ) ( )[ ]∑=

→−++=Φm

j

ijj xyxCxCCCCC1

2

22110210 min,,

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

====−−−−++++++++====∂∂∂∂ΦΦΦΦ∂∂∂∂

====−−−−++++++++====∂∂∂∂ΦΦΦΦ∂∂∂∂

====−−−−++++++++====∂∂∂∂ΦΦΦΦ∂∂∂∂

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

====

02

02

02

1

222110

2

1

122110

1

1

22110

0

m

j

jjjj

m

j

jjjj

m

j

jjj

xxyxCxCCC

xxyxCxCCC

xyxCxCCC

=−++

=−++

=−++

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑ ∑

====

====

== =

m

j

j

m

j

j

m

j

jj

m

j

j

m

j

j

m

j

jj

m

j

j

m

j

j

m

j

m

j

m

j

jj

yxxCxxCxC

yxxxCxCxC

yxCxCmC

12

1

222

1211

120

11

1212

1

211

110

11 122110

0

0

0

ϕ(x1,x2)=C0+C

1x1+C

2x2.

Funkcja 2-wymiarowa



Modelowanie napręŜenia uplastyczniającego

Widok plastometru typu DIL 805 A/D

Własności reologiczne odkształcanego metalu mają istotny wpływ na jego płynięcie



0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0

50

100

150

200

250

300

NapręŜenie, MPa

Odkształcenie

prędkość odkształcenia: 1 [1/s]

1000 C

900 C

800 C

700 C

0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0

50

100

150

200

250

300

Odkształcenie

NapręŜenie, MPa

prędkość odkształcenia: 5.5 [1/s]

1000 C

900 C

800 C

700 C

0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0

50

100

150

200

250

300

350

NapręŜenie, MPa

Odkształcenie

prędkość odkształcenia: 10 [1/s]

1000 C

900 C

800 C

700 C

0

Krzywa umocnie-nia stali St3S

odk-ształcanej z pręd-kością

5,5 s-1

Krzywa umocnie-nia stali St3S

odk-ształcanej z pręd-kością 1 s-1 Krzywa umocnie-nia stali St3S

odk-ształcanej z prędkością 10 s-1

Wyniki badań plastometrycznych w postaci krzywych umocnienia dla stali St3S



Funkcja potęgowa

Funkcja 2-go stopnia Funkcja 3-go stopnia

Liniowa funkcja



3. Modeli fizyczne

Teoria podobieństwa. Metody modelowania fizycznego. Teoria eksperymenty inŜynierskiego.



Teoria podobieństwa

Motywacja:

- Jak zbudować model fizyczny ? - Jak przenieść wyniki na obiekt realny ?



Przykład

? Jest defekt



??

Niema defektu



Mechanizm powstawania defektu



Podstawowy teorematy

Teoremat 1:Podobne zjawiska (obiekty, procesy) mająjednakowe kryteria podobieństwa (KP)

KP – bezwymiarowe (bez jednostkowe) współczynniki, które sązbudowany z charakterystycznych parametrów procesu, równośćktórych jest koniecznym warunkiem podobieństwa

itemd

dK ==

0

11 item

a

LVK x ==2 0

2

2

=−dx

dtV

dx

tda x



Teoremat 2:śeby wyniki modelowania fizycznego moŜna było wykorzystać dla podobnych obiektów, wyniki trzeba przedstawić w postaci zaleŜności między KP

( ) 0,...,, 321 =nKKKKF



Metody uzyskania KP:-Analiza równani róŜniczkowych -Analiza jednostek

Analiza jednostek

Parametry, liczbowa wartość których zaleŜy od wykorzystanych jednostek (skali) nazywamy wymiarowymi.



Jednorodnym wzglądem jednostek jest równanie, forma i współczynniki którego nie zalezą od wybranych jednostek.

hab ∆=∆R

h∆=α ( )taa

aa

p 41 exp32ξεσ =

( )[ ]( )

++−

−+

++=

2

2

5050 312

1,007,0

005,025,01

01,04,01

vv

vRKf z

ννε



Teoremat 3:JeŜeli równanie jest jednorodnym względem jednostek, to jego moŜna przedstawić jako zaleŜnośćmiędzy parametrami bezwymiarowymi (KP)

hab ∆=∆ ah

b=

∆∆



Teoremat 4 (Teoremat Bukingiema, π - Teoremat):

JeŜeli wymiarowy parametr a jest jednorodną względem jednostek funkcją niezaleŜnych między sobą parametrów a1, a2, a3 … an, a=f (a1, a2, a3 … an) , w tym spośród wymiarowych parametrów a1, a2, a3 … an k parametrów (k<=n) mają podstawowe albo niezaleŜne jednostki,wtedy zaleŜność a=f (a1, a2, a3 … an) moŜe być

przedstawiona w postaci π = f (π1, π2,… πn-k ), gdzie π1, π2,… πn-k – bezwymiarowe kombinacje z n+1 wymiarowych parametrów a, a1, a2, a3 … an (KP!)



Praktyczne wykorzystanie AJ do wyznaczenia KPZadanie 1.Wyznaczyć KP dla fizycznego modelowania poszerzenia podczas walcowania.

01 bbb −=∆

( )τσ ,,,,, 00 pRhhbfb ∆=∆

ξεδγβαξεδγβα τστσ p

n

i

pi RhhCbRhhbCb iiiiii ∆≈∆=∆ ∑=

001

00



ξεδγβα τσ pRhhCbb ∆≈∆ 00

Rozpatrujemy bilans jednostek względem podstawowych jednostek:

ξεξεδγβα

+=

−−+++=

0][

221][

N

m

ξεδγβα

−=

−−−=

][

1][

N

m



Parametrów a = 7NiezaleŜnych jednostek = 2KP = 7-2=5

ξδγβ

ξξδγβδγβ

στ

τσ

∆

=∆≈∆ −−−−

p

pb

R

b

h

b

hCbRhhCbb

000

000

10

ξδγβ

στ

∆

≈

∆

pb

R

b

h

b

hC

b

b

000

0

0

ξδγβ

στ

∆

≈

∆

pb

R

h

h

b

hC

b

b

000

0

0



item

itemb

R

itemh

h

itemb

h

parametrbadanyb

b

p

=

=

=∆

=

−∆

στ0

0

0

0

0

Warunki budowaniamodelu

Przenoszenie wyników



Zadanie 2:Wyznaczyć KP dla fizycznego modelowania wpływu parametrów walcowania na prędkość wyjścia pasma z walców

ζηνµεδγβα τσ 0110101 QQbbhhCvv pw≈

( )0110101 ,,,,,,,, QQbbhhvfv pw τσ=




Rozpatrujemy bilans jednostek względem podstawowych jednostek:

[ ] ξηνµα

νµεδγβα

+++=

−=−

−−++++=

0

1][

221][

N

s

m

[ ] ξηνµα

νµεδγβα

−−−=

=

−−++++=

N

s

m

1][

221][



( ) ξηεδγβνξηνεδγβ 22220 +++++=−−−−−+++=


ξηεδγβ 22 −−−−−=

ξηνµα

−−−=

=1

ζηνξµνεδγξηεδγ τσ 0110122

01 QQbbhhCvv pw

−−−−−−−−≈ξηνεδγ

σσστ

≈

20

020

1

0

1

0

0

0

11

h

Q

h

Q

h

b

h

b

h

hC

v

v

pppw



ξηνεδγ

σσστ

≈

20

020

1

0

1

0

0

0

11

h

Q

h

Q

h

b

h

b

h

hC

v

v

pppw

ξηνεδγ

σσστ

≈

00

0

11

1

0

1

0

0

0

11

bh

Q

bh

Q

b

b

h

b

h

hC

v

v

pppw

Parametrów a – 10NiezaleŜnych jednostek – 3KP – 10-3=7



Zadanie 3:O moŜliwości analizy wpływu parametru, zmiana którego podczas badan nie jest moŜliwa

δγβα RhhCbb ∆≈∆ 00

δγβα +++=1][m

321

000

0

0

XXX

b

R

b

h

b

hC

b

bδγβ

∆

≈

∆

mmR

mmh

mmb

mmh

100

31

2010

105

0

0

=

−=∆

−=

−=

10

100

20

10010

3

20

110

10

20

5

3

2

1

÷=

÷=

÷=

X

X

X



Podsumowanie

1. Motywacja, Podstawy TP. 2. Analiza jednostek.3. Otrzymanie KP.



4. Modelowanie komputerowe procesów przeróbki plastycznej za

pomocą MES

Motywacja:

- Projektowanie procesów. - Mały koszt badan.



Modelowanie za pomocą FORGE3®

Podstawy teoretyczne: teoria plastycznego płynięcia ośrodku nieściśliwego, MES;Typ elementów skończonych: tetraedr;Przeznaczenie podstawowe: procesy kucia matrycowego.Struktura programu:-Przygotowanie informacji graficznej (CAD);-Preprocessing;-Solver;-Postprocessing.



Przygotowanie informacji graficznej (CAD);



Preprocessing



-Solver;



Postprocessing.



Modelowanie procesów ciągłego odlewania stali

Motywacja modelowania:

- Powstawanie defektów;

- Nierównomierności składu

chemicznego po przekroju;

- Wydajność;

- Odlewanie nowych stopów.



Typy maszyn COS



Model zmian temperatury i krystalizacji

( ) ( ) ( ) ( )( )tgradtkdivd

dtttceff =

τρ

,

)(

LLeff

LS

SL

f

S

feff

SSeff

ttdlacc

tttdlatt

Lc

dt

dfLcc

ttdlatcc

>=

<<−

+≈+=

<=

qz

ttk

zy

ttk

yx

ttk

x

ttct &+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∂∂

)()()()()(τ

ρ

τρ

τρ

d

dt

dt

dfL

d

dfLq s

ss

s ==&



0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

t,C

C,J

/kg

K

20

25

30

35

40

45

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

t,C

k,W

/m K

,

)(

LLeff

LS

SL

fS

feff

SSeff

ttcc

ttttt

Lc

dt

dfLcc

tttcc

>∀=

<<∀−

+≈+=

<∀=




( )∫∫ ∞−+

−

∂∂

+

∂∂

=FV

eff dFttdVtd

dtttc

y

ttk

x

ttkJ

2

22

2)()()()(

2

1 ατ

ρ

( )( )∞∞ +++= ttttradconv

22810

σαα

τττττ

∆−

= ∆−tt

d

dt




( ) ( ) ( ) ( )( )tgradtkdivd

dtttceff =

τρ

( ) ( ) 0=

∂∂

−+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

τρ

tcQ

y

ttk

yx

ttk

xeffdefyx




{ } { }∑=

==n

i

T

ii tNtNt1

{ } { } { } { } { } { }]

{ } { } { } { } .dStNqdStN2

1

2

dVtNQty

Nt

x

N

2

)t(kJ

S

T

S

2T

0

T

V

2T2T

∫∫

∫

+

−+

−

∂∂

+

∂∂

=

tα

{ }{ } { } { } { } { } { }]

{ } { }( ){ } { } .0dSNqdSNtN

dVNQty

N

y

N

x

N

x

Ntk

t

J

SS

T0

V

TT

=+−+

+−

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∂∂

∫∫

∫

t

)(

α

[ ]{ } [ ] { } { } 0=+∂

∂+ PtCtH

τ

[ ] { } { } { } { } { }{ } ,dSNNdVy

N

y

N

x

N

x

NtkH

S

T

V

TT

∫∫ +

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

= α)(

{ } { } { }∫ ∫−+−=S V

dVNQdSNqtP .)( 0α

[ ] { } { }∫=V

T

eff dVNcNC ρ




Zastosowana siatka elementów

skończonych i kontrolne punkty

poprzecznego przekroju wlewka

Rozkład pola temperatur w

krystalizatorze dla analizowanej strony

maszyny do ciągłego odlewania stali




600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Czas, s

Temperatura,

oC

Punkt 1

Punkt 2

Punkt 3

Punkt 4



Model stanu mechanicznego

( )i

iis tE

εεεσ

∆

∆=′

,,

( )0

,

l

ttlt

∆∆=∆β

( ) ( ) ,02

0`2 ∫∫∫ ∫ ∆+∆−∆+∆−∆+∆′=

s

ii

V

fL

V v

i dSudVtpfdVtKdVEJ σβεβεε

t

KK

∆−∆=

βεε

0

0`

( )( )00 1

εδεεν

σσσ ∆−∆

∆++= ijij

i

iij

ττ εσ 00 ∆=∆ K

ν21

`

−=

EK



WYGIĘCIE I PROSTOWANIE METALU W MASZYNIE COS

−−

−=∆

+

+

2

1

2

1

21

1 HR

HR

H

ii

izεН – wysokość przekroju wlewka;

R – promień wygięcia odpowiadający

poprzedniemu (i) i bieŜącemu (i+1) momentem

przejścia przekroju przez maszynę COS.

Schemat obliczeń odkształceń w

kierunku Z



Dylatometr DIL805 (Instytut Modelowania

i Automatyzacji Procesów Przeróbki

Plastycznej Politechniki Częstochowskiej) Próbka do badań

Cel badań: uzyskanie zaleŜności ( )0

,

l

ttlt

∆∆=∆β dla warunków COS



Materiał: ŁH15SGTemperatura: od 700 do 1200°C Prędkości nagrzewania i chłodzenia 3 i

10°C/min.

ZaleŜność wydłuŜenia od temperatury stali

ŁH15SG przy nagrzewaniu (górna

krzywa) i chłodzeniu (dolna krzywa) z

róŜnymi prędkościami

0

0.005

0.010.015

0.02

0.025

0.03

0.0350.04

0.045

0.05

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

t,C

dL

/L0

Formalizacja danych dylatometrycznych w modelu



( )i

iis tE

εεεσ

∆

∆=′

,,



MODELOWANIE FIZYCZNE NAPRĘZENIA UPŁASTYCZNIAJĄCEGO STALI W WARUNKACH COS

Próbka po odkształceniu 0.15

Próbka podczas nagrzewania w

symulatorze GLEEBLE

Do badań uŜyto próbek wykonanych ze stali St3S o wymiarach: długość – 116 mm i Ø10. Materiał na próbki wycięto z powierzchni ciągłego wlewka wzdłuŜkierunku odlewania

Na podstawie otrzymanych wyników modelowania matematycznego wybrano następujący zakres badań własności metalu:

• intensywność odkształcenia: 0÷0,15• prędkość odkształcenia:0,001÷0,01 s-1

• temperatura – 800÷1200°C



Krzywe umocnienia dla prędkości

odkształcenia u=0,001 s-1 i temperatury

t=1200 0C (krzywa 1), 10000C (2), 8000C (3)

Krzywe umocnienia dla prędkości

odkształcenia u=0,01 s-1 i temperatury

t=1200 0C (1), 10000C (2), 8000C (3)



WYNIKI MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO PROCESU CIĄGŁEGO ODLEWANIA STALI



-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Czas, s

NapręŜenie, MPa

Punkt 1

Punkt 2

Punkt 3

Punkt 4



Rozkład temperatury na przekroju poprzecznym wlewka w 157 kroku czasowym dla prędkości a) 1.0; b)0.9, c) 1.1 [m/min]




Rozkład napręŜeń średnich na przekroju poprzecznym wlewka (StressS0) w 157 kroku czasowym dla prędkości a) 0.9, c) 1.1 [m/min]




-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 500 1000 1500

Czas, s

NapręŜenie, sigma0sigmaP

Punkt 2

Punkt 3

Punkt 4

WYNIKI PROGNOZOWANIA POWSTAWANIA DEFEKTÓW I OPTYMALIZACJA PRĘKOŚĆI ODLEWANIA

7,7

7,8

7,9

8

8,1

8,2

8,3

8,4

8,5

0,9 0,95 1 1,05 1,1

V, m/mink

MODELOWANIE W TECHNOLOGII MATERIAŁÓWww1.metal.agh.edu.pl/~milenin/Dydaktyka/modelowanie/... ·...

Documents

Transcript of MODELOWANIE W TECHNOLOGII MATERIAŁÓWww1.metal.agh.edu.pl/~milenin/Dydaktyka/modelowanie/... ·...