PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ MES

Piotr Nikiel

Metoda elementów skooczonych

Metoda elementów skooczonych jest metodą rozwiązywania zadao brzegowych. MES jest wykorzystywana obecnie praktycznie we wszystkich dziedzinach nauki. Głowna idea MES polega na tym, że dowolną ciągła wartośd (np. temperaturę) można zmienid na model dyskretny, który oparty jest na ograniczonej ilości węzłów, tworzących ograniczona ilośd elementów skooczonych.

Algorytm MES (dla wyznaczania temperatury) można przedstawid następująco:

1) W rozpatrywanym ośrodku bierzemy pod uwagę ograniczona ilośd punktów (węzły siatki elementów skooczonych).

2) Wartośd temperatury definiuje się, jako parametr, który należy wyznaczyd.

3) Strefa wyznaczenia temperatury dzieli się na ograniczoną ilośd pod-stref (elementy skooczone), które maja wspólne węzły i w sumie aproksymują kształt ośrodka.

Metoda elementów skooczonych

4) Temperaturę aproksymuje się na każdym elemencie za pomocą wielomianu, który wyznaczony jest za pomocą węzłowych wartości temperatury. Dla każdego elementu wyznaczany jest wielomian i wyznaczany jest on w taki sposób, aby zachowad warunek ciągłości temperatury na granicach elementów.

5) Węzłowe wartości musza byd tak dobrane aby zapewnid najlepsze w stosunku do rzeczywistego przybliżenia pola temperatury. Dobór taki wykonywany jest za pomocą minimalizacji funkcjonału, który odpowiada równaniu przewodzenia ciepła. Minimalizacja może byd wykonywana zarówno przez minimalizację bezpośrednią, jak i na podstawie warunku koniecznego ekstremum funkcji, w tym wypadku wyznaczenie temperatur węzłowych musi byd powiązane za pomocą układu równao algebraicznych. Liczba równao jest równa liczbie niewiadomych wartości węzłowych temperatur.

Metoda elementów skooczonych

Przy rozwiązywaniu metodą MES zagadnieo, w których nieznany jest rozkład danej funkcji, wykorzystuje się trzy typy elementów, które można sklasyfikowad na podstawie typu i stopnia wielomianu interpolującego:

simpleks, któremu odpowiada wielomian gdzie liczba współczynników jest o jeden większa od liczby współrzędnych przestrzennych, np. dla dwuwymiarowego elementu typu simpleks, zdefiniowanego przez trzy węzły funkcja wygląda następująco:

kompleks – elementy tego typu mają większą liczbę węzłów niż elementy typu simpleks, funkcje interpolujące mają ilośd współczynników równą liczbie węzłów;

multipleks – elementy tego typu różnią się od elementów typu kompleks tym, że brzegi elementów są równoległe do osi współrzędnych, a w przypadku elementów trójwymiarowych ściany elementów są równoległe do płaszczyzn wyznaczonych przez osie układu współrzędnych.

yxt 321

Element jednowymiarowy typu simpleks

Określenie wartośd temperatury w punkcie b, 2 – węzłowego elementu jednowymiarowego typu simpleks:

Funkcja aproksymująca dla tego elementu ma postad:Współczynniki a1 i a2 można wyznaczyd za pomocą warunków w punktach węzłowych:

Warunki te opisuje układ równao:

Element jednowymiarowy typu simpleks

Podstawiając do otrzymuje się:

Określenie wartości temperatury

Dane: ti = 110 ºC, tj = 230 ºC, Xb = 4 mm

Obliczenia:

Element dwuwymiarowy typu simpleks

Określenie wartości temperatury w punkcie b elementu dwuwymiarowego typu simpleks:

Wartości współczynników α1 α2 α3

otrzymamy wychodząc z warunków w

węzłach elementu:

Po rozwiązaniu utrzymujemy:

Element dwuwymiarowy typu simpleks

A – pole elementu skooczonego, opisujemy wzorem:

gdzie:

Określenie wartości temperatury

Dane:

t i = 400ºC, xi = 0m, yi = 0m, tj = 340ºC, xj = 4m, yj = 0,5m,tk = 460ºC, xk = 2m, yk = 5m,xb = 2m, yb = 1,5mtb=?

Obliczenia:

Określenie wartości temperaturyObliczamy wyznacznik 2A:

Obliczamy funkcję kształtu:

Określenie wartości naprężeniaOkreślenie wartości naprężenia w punkcie b elementu dwuwymiarowego typu simpleks:Dane:σi = 40MPa, xi = 0m, yi = 0m, σj = 34MPa, xj = 4m, yj = 0,5m,σk =46MPa, xk = 2m, yk = 5m,xb = 2m, yb = 1,5mσb = ?

Obliczanie współczynników dla funkcji:

Określenie wartości naprężenia

Określenie wartośd odkształcenia

Obliczyd odkształcenia w elemencie skooczonym:

Dane:

Uxi = 10mm, Uyi = -1mm, Xi = 5mm Yi = 3mm

Uxj = 10mm, Uyi = 0mm, Xj = 5mm, Yj = 0 mm

Uxk = 15mm, Uyk = 0,5mm, Xk = 10mm, Yk = 2mm

εx, εy, εxy = ?

Określenie wartośd odkształcenia

Obliczanie współczynników:

Podstawiając, otrzymujemy:

εx = 7,66;εy = 2εxy = 0,05

Element typu multipleks

Obliczenie φ w elemencie skończonym ma postać:

Element typu multipleks

Określenie wartośd naprężenia

Określid wartośd naprężenia w zadanym punkcie B Dane:σ1 = 40MPa, X1 = 1mm, Y1 = 1mmσ2 = 34MPa, X2 = 3mm, Y2 = 1mmσ3 = 46MPa, X3 = 4mm, Y3 = 4mmσ4 = 32MPa, X4 = 0,5mm, Y4 = 4mmξ = 0,5 η = 0,5σB, XB, YB = ?

Funkcje kształtu w układzie lokalnym:

Określenie wartośd naprężenia

Określenie wartości naprężenia

Określenie wartości naprężenia w punkcie bDane:σ1 = 40MPa, x1 = 1mm, y1 = 1mm, σ2 = 34MPa, x2 = 3mm, y2 = 1mm,σ3 =46MPa, x3 = 4mm, y3 = 4mm,σ4 =32MPa, x4 = 0,5mm, y4 = 4mmxb = 2,5, yb = 3,25mObl. σB, ξB, ηB

Określenie wartości naprężenia

Określenie wartości naprężenia

η = 0,5

ξ = 0,357

Określenie wartości naprężenia

Wyznaczenie ustalonego pola temperatury w pręcie

Do zamocowanego kooca pręta jest doprowadzony strumieo ciepła q, na wolnym koocu pręta zachodzi wymiana ciepła przez konwekcję. Współczynnik konwekcyjnej wymiany jest równy natomiast temperaturze otoczenia t∞Obliczyd wartości temperatur w pręcie dla punktów T1, T2, T3.

Dane:

Podstawowe równanie:

Warunki brzegowe:

Jednostkowy strumieo ciepła q jest dodatni, jeżeli ciepło jest odprowadzone z pręta

Wyznaczenie ustalonego pola temperatury w pręcie

Funkcjonał dla rozpatrywanego przypadku można zapisad w następujący sposób:

Wyznaczenie ustalonego pola temperatury w pręcie

Obliczenie składowych funkcjonału:

Wyznaczenie ustalonego pola temperatury w pręcie

Podstawiając otrzymujemy funkcjonał:

Minimalizacja funkcjonału sprowadza się do obliczenia pochodnych cząstkowych tego funkcjonału względem wartości węzłowych temperatury:

Wyznaczenie ustalonego pola temperatury w pręcie

Obliczenia:

C(1) = 75/3,75=20=C(2)αS = 10-qS = 150αSt∞ = 10*40 = 400

t1 = 70ºCt2 = 62,5ºCt3 = 55ºC

Ważniejsze zalety MES

własności materiału elementów niekoniecznie muszą byd jednakowe co daje możliwośd wykorzystania MES do materiałów wielofazowych, jak również do materiałów, których własności są funkcją temperatury

ośrodek o skomplikowanym kształcie może byd zaproksymowana z dużą dokładnością za pomocą elementów krzywoliniowych

wymiary elementów mogą byd objętościowo rożne,to daje możliwośd powiększania lub zmniejszania wymiarów elementów w pewnych strefach rozpatrywanej objętości

za pomocą MES można uwzględniad nieliniowe warunki brzegowe

Literatura

A. Milenin Podstawy metody elementów skooczonych, Kraków 2010

Zienkiewicz O.C., Metoda elementów skooczonych, Warszawa 1972