Zasada Metody Elementów Skończonych

Założenia Metody Elementów SkończonychGeometrie dzielimy na elementy skończone połączone w węzłach.Kształt tych elementów jest uzależniony od liczby wymiarów geometrii.

Elementy oddziałują na siebie tylko poprzez węzły. Także siły zewnętrzne działają na konstrukcje poprzez węzły. Siły które występują między węzłami na elemencie muszą być sprowadzone do obciążenia zastępczego w węzłach. Przemieszczenia węzłów są niewiadomymi zadania. Przemieszczenia wewnątrz elementu są wyznaczane z przemieszczeń węzłów poprzez aproksymacje funkcjami zwanymi funkcjami kształtu. Funkcje te są funkcjami jednej, dwóch lub trzech zmiennych w zależności od typu elementu. Siły węzłowe są związanie z przemieszczeniami węzłowymi za pomocą macierzy sztywności.

Funkcje kształtu i opis przemieszczeń w elemencie a) belkowym 1W b) prostokątnym 2W

a) b)

Procedura MES:

1.Dyskretyzacja czyli podział na elementy skończone. W wielu istniejących pakietach obliczeniowych podział ten jest automatyczny. Nie zawsze jednak taki dobór elementów daje dobre rezultaty. Potrzebne doświadczenie użytkownika.2. Obliczenie macierzy sztywności i wektora zastępników węzłowych obciążenia3.Obliczenie macierzy przylegania (Boole’a) i macierzy sztywności dla całej konstrukcji4.Obliczenie globalnego wektora równoważników węzłowych i wektora sił węzłowych dla całej konstrukcji5.Uwzględnienie warunków brzegowych6.Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie przemieszczeń węzłów.7. Wyznaczenie z przemieszczeń pozostałych interesujących parametrów jak siły wewnętrzne, naprężenia.

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

BABA

BABA

BB

BB

AA

AA

2212

2111

2221

1211

AA

AA

AA

AAT

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

BABABABA

BABABABA

BB

BB

AA

AA*

Potrzebne będą podstawowe operacje na macierzachDodawanie macierzy – dodajemy odpowiednie elementy

Transpozycja macierzy – zamiana kolumn z wierszami

Wektor po transpozycji z pionowego staje się poziomyMnożenie macierzy – według schematu

Podstawowe równanie metody elementów skończonych polega na przedstawieniu obciążeń w funkcji uogólnionych przemieszczeń.

kqQ

Gdzie:

222111 MTNMTNQ ,,,,, obciążenia na końcu elementu

222111 ,,,,, vuvuq przemieszczenia końców

Macierz k nazywa się macierzą sztywności i wiąże przemieszczenia z siłami zewnętrznymi. W tym wypadku będzie miała wymiar 6x6. Macierz sztywności ma różną postać w zależności od rodzaju elementu (belkowy, płytowy). Jej znalezienie jest niezbędne dla sformułowania i rozwiązania układu równań. Jako wynik otrzymujemy przemieszczenia a następnie można wyznaczyć z nich odkształcenia, naprężenia i siły w przekroju.

Podstawowe równanie

Dla przykładu znajdziemy macierz sztywności dla elementu prętowego obciążonego tylko siłami normalnymi. Wektor obciążeń zawiera tylko te siły.

21 NNQ ,

Natomiast wektor przemieszczeń zawiera tylko przemieszczenia wzdłuż osi x.

21 uuq ,Macierz sztywności będzie miała wymiar 2x2. Wyznaczanie macierzy zaczynamy od napisania równania różniczkowego na pole przemieszczeń, w tym przypadku jednowymiarowe, jest to równanie Lamego w liniowej teorii sprężystości.

0 xpEAu ''

Zakładamy że px=0 (brak obciążenia na długości belki) i mamy równanie w postaci

0''u

Otrzymanie macierzy sztywności

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja

xAAu 10

Stałe A0 i A1 wyznaczmy w stanach jednostkowych:

•u1=1, u2=0 czyli u(0)=1, u(l)=0 stąd

lAA

11 10 ,

czyli opis pola ugięcia w tym stanie ma postać:

l

xN 11ˆ

1

•a1=0, u2=1 czyli u(0)=0, u (l)=1 stąd

lAA

10 10 ,

czyli opis pola ugięcia w tym stanie:

l

xN 2ˆ

1

Funkcje N1 i N2 nazywamy funkcjami kształtu. Wynikowy (dla pewnych u1 i u2) opis pola przemieszczeń uwzględniający oba parametry ma postać:

NquNuNu 2211ˆˆ

Gdzie N jest macierzą funkcji kształtu (nie siłą normalną !!)

Mając pole przemieszczeń można znaleźć pole odkształceń

Bqq

dx

dN

dx

Nqd

dx

du

Gdzie B jest pochodną macierzy funkcji kształtu i dla tego przypadku ma postać

lll

x

l

xB

111 ,,

'

Siły podłużne wyrazimy przez odkształcenia korzystając z definicji naprężenia i prawa Hooka

A

N

E

,

δ – naprężenieA – przekrój poprzecznyN – siła normalna

Na podstawie poprzednich wzorów mamy pole sił wewnętrznych:

EABqEAN

Teraz trzeba powiązać siły zewnętrzne z przemieszczeniami, dokonamy tego wykorzystując zasadę prac wirtualnych. Zasada ta mówi że praca sił zewnętrznych równa się pracy sił wewnętrznych

wz LL

Prace sił zewnętrznych wyrazimy jako iloczyn tych sił na końcach i przemieszczeń końców.

QqNuNuL Tz 2211

Prace sił wewnętrznych obliczymy z iloczynu sił wewnętrznych i przemieszczeń wewnętrznych oraz uwzględniając wzory na siłę normalną i odkształcenie.

EABqdxBqEABqqdxBNdxNdudL TTTTTw

Praca na długości całego elementu

l l

TTww EABqdxBqdLL

Wektor q jest stały więc można go wynieść przed całkę

qEABdxBqLl

TTw

Uwzględniając równość prac zewnętrznej i wewnętrznej

qEABdxBqQql

TTT

W różniczkowym fragmencie elementu mamy:

Dzieląc stronami przez δqT

qEABdxBQl

T

Powyższe wyrażenie określa wektor sił Q przez wektor przemieszczeń q czyli fragment w nawiasie jest macierzą sztywności.

dx

ll

llEAdxll

l

lEABdxBEAEABdxBkll l

T

l

T

22

22

11

1111

1

1

Po przecałkowaniu otrzymujemy:

11

11

l

EAk

Mając raz wyprowadzoną postać macierzy sztywności można już obliczyć przemieszczenia w elemencie prętowym mając dane siły zewnętrzne według wzoru (1), rozwiązując układ równań.

2

1

2

1

11

11

u

u

l

EA

N

N

Po obliczeniu macierzy sztywności dla elementów pozostaje złożenie całej konstrukcji. W przypadku kratownic elementem jest pojedynczy pręt kratownicy. Najpierw wszystkie macierze sztywności należy przetransformować z układów lokalnych związanych z każdym prętem do układu globalnego, wspólnego dla całej konstrukcji. Dokonujemy tego mnożąc macierz przez macierz cosinusów kierunkowych.

Transformacja do układu globalnego

Do rozwiązywania zadań praktycznych wygodnie jest zapisać macierz sztywności w postaci:

l

EA

l

EAl

EA

l

EA

Wyrazy macierzy obliczamy dla danych właściwości belki.

I tak dla ramy zależność między układem lokalnym związanym z elementem (x,y) a globalnym (X,Y) określa kąt alfa

Zgodnie z rachunkiem wektorowym transformacja sił z układu globalnego do lokalnego będzie

sincos gg TNN 111

Zabieg ten jest niepotrzebny na przykład w przypadku obliczania pojedynczych prętów ponieważ układ związany z elementami nie różni się od układu globalnego.

Macierzowo dla wszystkich parametrów:

egee

eg

eg

eg

eg

eg

eg

e

e

e

e

e

e

QCQ

M

T

N

M

T

N

M

T

N

M

T

N

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

100000

0000

0000

000100

0000

0000

cossin

sincos

cossin

sincos

Indeks eg oznacza parametry globalne a e parametry lokalne.Qe – wektor sił węzłowych w układzie elementuQeg – wektor sił węzłowych dla elementu w układzie globalnym

Zauważ że dla ramy płaskiej momenty na oś Z transformują się bezpośrednio bo osie z i Z są równoległe.Podobnie przemieszczenia

egee qCq

My potrzebujemy transformacji odwrotnej

eTeeeeg QCQCQ 1

Ponieważ

qe – wektor przemieszczeń w układzie elementu który można wyznaczyć z podstawowego równania MES.

egeeTeee

Teeg qCkCqkCQ

czyli macierz sztywności elementu w układzie globalnym

eeTeeg CkCk

Tworzenie wektorów zastępników węzłowych obciążenia

Wektory zastępników przenoszą obciążenie na długości elementu do węzłów. W przypadku belek przyjmujemy bez dowodu że są to uogólnione reakcje (siły i momenty) jakie wystąpią przy danym obciążeniu w belce obustronnie utwierdzonej.

Siła skupiona P w środku belki o długości l :

siły momenty

P/2 P/2 Pl/8 - Pl/8

Obciążenie q na całej długości belki:

siły momenty

ql/2 ql/2 ql2/12 - ql2/12

Składanie elementów

Następnie trzeba złożyć wszystkie macierze elementów zamienione na układ globalny w jedną macierz sztywności konstrukcji. Jest to agregacja macierzy sztywności.Oczywiście ta macierz sztywności konstrukcji jest w układzie globalnym, w którym są już zapisane macierze sztywności dla elementów.

Rozpatrzmy ramę z rysunku. Węzły ramy mają numery globalne odnoszące się do całej konstrukcji. Jednocześnie każdy element posiada lokalne numery węzłów, w tym przypadku 1l i 2l. Wyrażając siły lokalne przez siły globalne mamy

221221 glgl TTNN

N1l2 – siła normalna w węźle 1l elementu 2

Ng2 – siła normalna w węźle globalnym 2

Związki wszystkich parametrów dla elementu można zapisać

g

g

g

g

g

g

l

l

l

l

ll

l

M

T

N

M

T

N

M

T

N

M

T

N

3

3

3

2

2

2

22

22

22

21

2

21

100000

010000

001000

000100

000010

000001

Macierz z jedynkami na przekątnej nazywa się macierzą przylegania (lub Boole’a) i oznacza literą a. Określa ona miejsce elementu w konstrukcji.

geg aQQ

Przemieszczenia

geg aqq

Qg – siły w numeracji węzłów konstrukcji i układzie globalnymMy potrzebujemy przekształcenia odwrotnego aby wyrazić siły konstrukcji przez znane już siły elementu

egT

g QaQ

Sumując dla wszystkich elementów(w tym przykładzie 3) mamy całą macierz sił konstrukcji:

3

1eeg

Teg QaQ

Stąd wyprowadzimy wyrażenie na macierz sztywności

3

1

3

1

3

1

3

1 e egeeg

Tegeeg

Teegeg

e

Te

eeg

Teg qakaqakaqkaQaQ

Czyli macierz sztywności dla całej ramy:

3

1eeeg

Teg akaK

Na podporach nie występują przemieszczenia. Trzeba uwzględnić to w równaniu MES. W praktyce oznacza to umieszczenie jedynki na przekątnej macierzy sztywności oraz wyzerowanie wiersza i kolumny w której występuje zerowe przemieszczenie. Zerujemy też odpowiedni element wektora sił Q. Na przykład jeśli dla układu o czterech węzłach przemieszczenie w węźle drugim jest równe zero to mamy.

4

3

2

1

444341

343331

141311

4

3

1

0

0

0010

0

0

q

q

q

q

KKK

KKK

KKK

Q

Q

Q

Po wymnożeniu łatwo się przekonać że taki układ daje tylko jedno równanie w którym występuje przemieszczenie q2

02 q

Co jest zgodne z prawdą.

Obliczyć za pomocą MES przemieszczenie końca pręta obciążonego liniowo siłą normalną.

Długość pręta l=4 m, przekrój prostokątny h=0,1 m, b=0,02 m moduł sprężystości E=200 GPa, obciążenie liniowe q=2000 N/mb.

Macierz sztywności: Wektor zastępników węzłowych obciążenia:

l

EA

l

EAl

EA

l

EA

k

88

88

1010

1010k

2

2ql

ql

Qz

4000

4000zQ

Układ równań:

2

1

88

88

2

1

1010

1010

u

u

Q

Q

Uwzględnienie warunku brzegowego – zerowe przemieszczenie u1 w lewym węźle

2

18100

01

4000

0

u

u

mmmuu 04,010*410

4000104000 5

8228

Wyznaczamy przemieszczenie q2

Wewnątrz elementu przemieszczenia są opisywane przez funkcje kształtu

5521 10*10*41

x

l

xul

xu

l

xu

4*10-5

Pręt z poprzedniego zadania obciążono dodatkowo siłą skupioną w połowie

P=1 kNTym razem dzielimy pręt na dwa elementy:Pierwszy element:Macierz sztywności:

l

EA

l

EAl

EA

l

EA

k

5,05,0

5,05,0

88

88

10*210*2

10*210*2k

Wektor zastępników węzłowych obciążenia:

4

4ql

ql

Qz

2000

2000zQ

Drugi element będzie miał identyczną macierz i wektor.Wyznaczenie macierzy sztywności konstrukcji. Macierze Boole’a (przylegania)

G

G

G

e

e

N

N

N

N

N

3

2

1

12

11

010

001

0

Element 1

G

G

G

e

e

N

N

N

N

N

3

2

1

22

21 100

0100

Element 2

Macierz sztywności konstrukcji

222111 BkBBkBK TT

000

010*210*2

010*210*2

010

001

00

10*210*2

10*210*2

010

001

10*210*2

10*210*2

00

10

01

88

88

88

88

88

88

1K

88

88

88

88

88

88

2

10*210*20

10*210*20

000

100

010

10*210*2

10*210*2

00

100

010

10*210*2

10*210*2

10

01

00

K

Ostatecznie macierz sztywności konstrukcji:

88

888

88

10*210*20

10*210*410*2

010*210*2

K

Agregacja wektorów równoważników węzłowych obciążenia

2211 QBQBP TT

0

2000

2000

2000

2000

00

10

01

1P

2000

2000

0

2000

2000

10

01

00

2P

2000

4000

2000

P

Wektor sił węzłowych:

0

10

03F

2000

4000

0

0

10

0

10*210*20

10*210*40

0013

88

88 PFK

Uwzględnienie warunków brzegowych

Zestawienie układu równań i obliczenie przemieszczeń węzłów

3

2

1

88

88

10*210*20

10*210*40

001

2000

5000

0

u

u

u

mmummuu 045,0035,00,0 321

Macierz sztywności dla belkowego elementu zginanego:

llll

llll

llll

llll

EJ

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323