Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________

79

X. NIELINIOWOŚĆ GEOMETRYCZNA, ZAGADNIENIE STATECZNOŚCI

Źródła nieliniowości: – duże przemieszczenia, duże gradienty przemieszczeń, – duże odkształcenia.

W przypadku dużych przemieszczeń: – obciążenie zachowawcze (potencjalne): nie zmienia swojej wielkości i orientacji na wsku-

tek przemieszczeń konstrukcji, – obciążenie niezachowawcze (nie konserwatywne): zmienia swoją orientacje w zależności

od przemieszczeń konstrukcji, np. obciążenie śledzące, zawsze prostopadłe do aktualnej powierzchni ciała

1. Sformułowanie zagadnienia nieliniowo - geometrycznego w MES

Założenia: małe odkształcenia, duże przemieszczenia, obciążenia konserwatywne, opis Lagrange’a ( względem konfiguracji odniesienia).

Równanie równowagi wynikające z zasady pracy przygotowanej

0tufuε =Ω∂δ−Ωρδ−Ωδ ∫∫∫Ω∂ΩΩ

)(dˆdˆd TTTσ , (10.1)

stąd ( ) 0d =−Ω∫= Τ

ΩQΒqΨ σ , (10.2)

równanie to jest słuszne dla dowolnego typu nieliniowości. Wektor ( )qΨ jest wektorem różnicy sił węzłowych pochodzących od oddziaływań wewnętrznych i zewnętrznych. W warunkach rów-nowagi wektor ten jest równy zeru.

Związki geometryczne qqΒε dd )(= , (10.3)

gdzie macierz )(qΒ jest liniowa funkcja parametrów q

)(L0 qΒΒΒ += , (10.4)

gdzie B0 - jak dla infinitezymalnych odkształceń.

Rys. 10.1. Obciążenie śledzące

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________

80

Związki fizyczne – prawo Hooke’a dla małych odkształceń ( ) 00 σεεσ +−= D , (10.5)

gdzie: σ0 - naprężenia początkowe, np. sprężenie; ε0 - odkształcenia niemechaniczne; np. skurcz, temp.

Nieliniowe związki fizyczne nie zmieniają zasadniczo algorytmu rozwiązania.

Rozwiązanie równania (2)

Jest to równanie nieliniowe, które należy rozwiązać jedna z metod. W tym celu należy wyzna-czyć styczną macierz sztywności qKΒΒΨ dddddd Τ

Τ

Ω

Τ

Ω=Ω∫+Ω∫= σσ , (10.6)

gdzie przyrosty: qΒDεD ddd ==σ ,

Ldd ΒΒ = ,

stąd

( ) ( ) =⋅Ω++∫+Ω∫=⋅Ω∫+Ω∫=Ω

Τ

Ω

Τ

Ω

Τ

ΩqΒΒDΒΒΒqΒDΒΒΨ ddddddddd L0

TL0LL σσ

( ) qDΒΒDΒΒDΒΒDΒΒΒ ddddd L0LL0L00L⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ω+++Ω+Ω∫= ∫∫

Ω

ΤΤΤ

Ω

ΤΤ

Ωσ , (10.7)

qK dσ 0K uK

gdzie

)(u qK - macierz początkowych przemieszczeń (macierz dużych przemieszczeń),

0K - macierz sztywności, małych przemieszczeń,

)(qK σ - macierz początkowych naprężeń.

Ostatecznie: ( ) qKqKKKΨ ddd u0 Τσ =++= , (10.8)

gdzie: KT - styczna macierz sztywności.

Algorytm rozwiązania

Przykładowo równanie (1) ( ) 0QΒqΨ =−Ω∫= Τ

Ωdσ , (10.9)

rozwiązujemy metodą iteracyjną nieprzyrostową korzystając z równania iiii

i dΨQdqK ⇒+⋅α=− )( 1T , (10.10)

gdzie iii dqq += −1 ,

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________

81

⎩⎨⎧

>=

=α1 dla01 dla1

ii

.

Przyjmujemy na początku kroku 0q =0 .

Niech i = 1,

a) wyznaczamy 001T )( KqK = ,

b) wyznaczamy 0Ψ =1 ,

c) rozwiązujemy równanie QKdQdK 10110

−=⇒= ,

d) stąd 11 dq = ,

e) niech i = i+1, f) wyznaczamy )()()( 1101

iT −σ−− ++= iiui qKqKKqK ,

g) wyznaczamy QqσqΒΨ −Ω∫= −−Ω

d)()( 11 iii ,

h) rozwiązujemy równanie ii

iiiii

i ΨqKdΨdqK 11T1T ))(()(−

−− =⇒= ,

i) stąd 11 dqq += −ii ,

j) przechodzimy do punktu e) dopóki spełniony jest warunek ε>iΨ , gdzie ε - mała liczba.

2. Zagadnienie stateczności początkowej

Jest to zlinearyzowane zagadnienie stateczności.

Zakładamy : a) 0u ≡K

Rys. 10.2

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________

82

b) naprężenia są proporcjonalne do mnożnika obciążenia, jeżeli oznaczyć: ( )( ) ** σσ = KQK σ , to dla obciążenia *QQ λ= macierz naprężeń początkowych będzie równa *σσ λ= KK .

Układ jest w równowadze obojętnej pod obciążeniem krytycznym *krQλ jeżeli

( ) 0qKKΨ =λ+= σ dd *kr0 . (10.11) Układ równań ma nietrywialne rozwiązanie, jeżeli det ( ) 0*kr0 =λ+ σKK . (10.12) Zagadnienie sprowadza się do poszukiwania wartości własnych. Najmniejsza wartość własna jest poszukiwanym rozwiązaniem .}min{ krλ=λ i

3. Nieliniowa stateczność

Jest to najbardziej ogólne zagadnienie stateczności.

Rozważamy zagadnienie jednoparametrowego obciążenia, co oznacza, że wszystkie obciążenia rosną proporcjonalnie do jednego mnożnika λ *QQ λ= . (10.13)

Ścieżka równowagi to krzywa w przestrzeni parametrów węzłowych oraz parametru λ },......,{ ,21 λnqqq . Zwykle analizujemy rzut tej ścieżki na płaszczyznę α×λ q , gdzie αq jest wio-

dącym parametrem.

Na rys. 10.3: B – punkt bifurkacji, 21,GG - punkty graniczne.

Ogólnie punkt bifurkacji i punkty graniczne określone są jako punkty krytyczne.

Rys. 10.3. Punkty krytyczne na ścieżce równowagi

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________

83

Podstawowa ścieżka równowagi to taka, dla której ( ) 00 =q . W punktach bifurkacji ścieżka roz-dwaja się na podstawową i wtórną.

Lokalna i globalna utrata stateczności. – lokalna utrata stateczności → następuje przeskok na ścieżkę stateczną, – globalna utrata stateczności → przemieszczenia rosną nieograniczenie.

4. Wiodące stopnie swobody

Bardzo często w przypadku bifurkacyjnej utraty stateczności obserwuje się: – przed utrata stateczności tylko część parametrów jest aktywna, tzn. mają znacznie większe

wartości od pozostałych parametrów, oznaczamy je przez qp – po bifurkacji uaktywniają się inne parametry, oznacza je wb.

Ścieżki równowagi można analizować w przestrzeni parametrów qp traktując je jako parametry wiodące lub wb. Analizując typy punktów bifurkacji wygodniej jest jako parametry wiodące przyjmować parametry wb – do momentu bifurkacji przyjmują one często wartości bliskie zeru.

Rys. 10.4

Rys. 10.5

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________

84

5. Układy idealne i imperfekcyjne

Układ idealny to układ z idealną geometrią i idealnym schematem obciążenia (np. słup idealnie prosty, obciążony siłą idealnie osiową).

W rzeczywistości, w praktyce mamy do czynienia z układami imperfekcyjnymi. W takim przy-padku zwykle na ścieżce równowagi zamiast punktów bifurkacji mamy punkty graniczne (patrz rysunki).

Typu punktów bifurkacji stanów równowagi.

Analizujemy jednokrotne punkty bifurkacji w układzie pobifurkacyjnych parametrów wiodących wb .

W zależności od punktu bifurkacyjnego, rzeczywista konstrukcja zachowuje się jako: niestatecz-na lub stateczna.

Warunki stateczności układu.

Warunkiem koniecznym stateczności układu jest dodatnia określoność energii potencjalnej.

Jeżeli układ jest w równowadze to 0p =Πδ , (10.14)

oraz 0p

2 >Πδ − stan równowagi statecznej,

0p2 =Πδ − stan równowagi krytycznej (obojętnej), (10.15)

0p2

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________

85

lub 0=ΔΔ Τ

Τ qKq , (10.17)

co pociąga za sobą warunek zerowania się wyznacznika macierzy stycznej ( ) 0,det =λ≡ Τ qKD . (10.18)

W takim przypadku spełniony jest wzór Cramera λΔ=Δ dqD , (10.19)

gdzie

*βαβ

α ∂∂

= QKDd dla N....,2,1=α . (10.20)

Wg wzoru Cramera wyznacznik D jest równy zeru w następujących przypadkach a) 0d ≠ 0=λΔ - punkt graniczny, b) 0d = 0≠λΔ - punkt bifurkacji.

6. Analiza stateczności poprzez zagadnienie własne

Sposób 1:

Mamy przyrostowe równanie równowagi *QqK λΔ=ΔΤ . (10.21)

Przekształcamy macierz styczną ΤK do postaci diagonalnej. W tym celu formułujemy standar-dowe zagadnienie własne ( ) 0WIK =κ−Τ . (10.22)

Ponieważ ΤK jest symetrycznie i dodatnio określone to otrzymujemy z równania (22) N pier-wiastków rzeczywistych Nκκκ ,...,, 21 i wektory własne Nwww ,...,, 21 , które stanowią macierz wektorów własnych [ ]NwwwW ,...,, 21= . (10.23)

Korzystając z powyższego, równanie (1) przekształca się do postaci *κκκ λΔ=Δ QqK , (10.24)

gdzie qWq Δ=Δ κ ,

** QWQ Τκ = , (10.25)

WKWK ΤΤ

κ = , ],...,,[diag 21 Nκκκ=κK . (10.26)

Wyznacznik κK łatwo obliczyć

....)det( 321 ND κ⋅⋅κ⋅κ⋅κ== κK (10.27)

Jeżeli wartości własne są uszeregowane wzrastająco, to pierwszy punkt krytyczny mamy dla ⇒=⇒=κ 001 D W takim razie prawa strona pierwszego równania z układu (3) odpowiadają-

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________

86

ca pierwszej wartości własnej musi być zero: 0*1

* =λΔ=λΔ Τκ QwQ , (10.28)

stąd mamy dwa przypadki:

a) →≠=λΔ Τ 0i0 *1 Qw punkt graniczny, b) →=≠λΔ Τ 0i0 *1 Qw punkt bifurkacji.

Wynika stad, że w punkcie bifurkacji *1 Qw ⊥ (wektor formy wyboczenia prostopadły do wek-tora obciążenia).

Podobnie można analizować pozostałe wartości własne pojedyncze lub wielokrotne. Opowiadają im albo punkty graniczne lub kolejne punkty bifurkacji.

Sposób 2

Wychodzimy z założenia, że w punkcie krytycznym równanie przyrostowe MES może mieć więcej niż jedno rozwiązanie tzn. będą spełnione równania *1 QqK λΔ=ΔΤ i

*22 QqK λΔ=ΔΤ (10.29)

gdzie 21, qq ΔΔ są odpowiednio rozwiązaniami na dwóch ścieżkach równowagi wychodzących z punktu bifurkacji.

Po odjęciu stronami mamy: 0=ΤvK , (10.30)

gdzie 21 qqv Δ−Δ= .

Macierz styczną przedstawiamy w postaci ( ) ( ) ( )σKuuKuKKK σ+++=Τ ,2u1u0 . (10.31)

Zakładamy, że na odcinku [ ]ttt Δ+, macierz ΤK jest funkcja małego parametru ( )1,0∈τ i zapi-suje się w postaci ( ) ( )σσuuKK Δτ+Δτ+=τ ΤΤ , . (10.32)

Po rozwinięciu ( )τΤK w szereg Taylora w otoczeniu 0=τ mamy

( ) ...21)0( 22 +ττ∂

∂+τ

τ∂∂

+=τ ΤΤΤΤKKKK (10.33)

Stąd otrzymujemy uogólnione kwadratowe zagadnienie własne

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) 0},,,],{[

2u2

2u2u1uu0

=ΔΔτ+

+Δ+Δ+Δ+Δτ+++ δδvuuK

uuKuuKuKσKuuKσKK (10.34)

Jest to złożone kwadratowe zagadnienie własne – trudne do rozwiązania.

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________

87

Sposób 3

Podobny do sposobu 2 z tym że przyrost macierzy stycznej liczymy bezpośrednio ( ) ( )qKqqKK Τ−Δ+=Δ ΤΤ , (10.35)

stąd zag. własne ma postać ( )[ ] 0vKqK =Δτ+ ΤΤ . (10.36)

Po rozwiązaniu zagadnienia własnego wyznaczamy τkr jako minimalną wartość własną. Jeżeli )1,0(kr ∈τ to oznacza, że na analizowanym odcinku przyrostu obciążenia występuje punkt kry-

tyczny.

7. Zagadnienie dużych przemieszczeń w płytach cienkich

1. Założenia – analizuje się cienką płytę dla której słuszne są założenia kinematyczne Kirhhoffa- Love, – płytę traktuje się jako zagadnienie dwuwymiarowe i wszystkie pola fizyczne opisujące teo-

rię płyty są polami dwuwymiarowymi na powierzchni środkowej płyty, – w przypadku dowolnego obciążenia w płycie wyróżnia sie stan tarczowy i zgięciowy, – dla zagadnień liniowych stany tarczowy i zgięciowy płyty separują się względem siebie, w

przypadku uwzględnienia nieliniowości geometrycznej stany te są częściowo sprzężone; w klasycznym ujęciu uwzględnia się jedynie wpływ stanu zgięciowego na stan tarczowy,

– w opisie teorii płyty będą konsekwentnie wyróżniane pola związane ze stanem tarczowym i zgięciowym oznaczane odpowiednio: ( . )t i ( . )p.

2. Podstawowe równania teorii powłok cienkich

a) Stan przemieszczenia

Przyjmuje się ortogonalny układ współrzędnych taki, że osie x i y leżą w płaszczyźnie środkowej płyty. Stan przemieszczenia definiuje wektor przemieszczenia.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=),(),(),(

),( pt

yxwyxvyxu

yxuuu . (10.37)

b) Stan odkształcenia, wektor odkształcenia

Związki geometryczne określają zależności pomiędzy uogólnionymi odkształceniami a funkcja-mi przemieszczenia. Uogólnionymi odkształceniami stanu tarczowego są odkształcenia po-wierzchni środkowej płyty w jej płaszczyźnie, natomiast uogólnionymi odkształceniami stanu zgięciowego są krzywizny powierzchni środkowej. W definicji odkształceń εt uwzględnia się człony nieliniowe związane z przemieszczeniem w(x,y) (patrz rys. 10.8).

Rys. 10.7. Schemat płyty cienkiej

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________

88

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+= ...211d1d'd

22

xwx

xwxx (10.38)

,

2

2121

2

2

2

2

2

2

2

p

t

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

χκκγεε

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

yxw

yw

xw

yw

xw

xv

yu

yw

yv

xw

xu

y

x

xy

y

x

εε

ε (10.39)

c) Stan naprężenia, siły wewnętrzne, wektor naprężeń

Stan naprężenia definiowany jest poprzez siły wewnętrzne. Dla stanu tarczowego są nimi siły przekrojowe, natomiast dla stanu zgięciowego momenty zginające i skręcające. Wektor napręże-nia zapisano w postaci

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

xy

y

x

xy

y

x

MMMNNN

p

t

σσ

σ . (10.40)

d) Liniowe związki konstytutywne mają postać

Rys. 10.8

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania ________________________________________________________________________________________

89

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒= pt

p

t

p

t

εε

σσ

εσD00DD . (10.41)

3. Model dyskretny MES

Poniżej zdefiniowano podstawowe wielkości i równania związane z modelem MES płyty. Wszystkie równania zapisano na poziomie zintegrowanego modelu, bez odwoływania się do funkcji na poziomie poszczególnych elementów.

a) Parametry węzłowe – w węźle i-tym

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

θθ

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

yi

xi

i

i

i

i

ii w

vu

p

t

qqq (10.42)

– globalny wektor parametrów węzłowych modelu dyskretnego płyty

[ ]T321 ,...,,, Nqqqqq = . (10.43) b) Interpolacja funkcji przemieszczenia, funkcje kształtu

Stany tarczowy i zgięciowy interpolowane są niezależnie. Funkcje interpolacyjne (funkcje

Rys. 10.9. Siły wewnętrzne w płycie

Rys. 10.10. Model dyskretny obszaru płyty

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: luty 2007) ________________________________________________________________________________________

90

kształtu) dla stanu tarczowego muszą należeć do przestrzeni H1 (co najmniej), natomiast stan zgięciowy wymaga co najmniej przestrzeni H2.

Zwykle funkcjami bazowymi są odpowiednio: funkcje ciągłe klasy C0 dla stanu tarczowego i funkcje klasy C1 dla stanu zgięciowego.

Funkcje przemieszczenia zapisujemy w postaci

Nqqq

N00N

uuu =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= pt

p

t

p

t

),(),(),(

),(i

i

i

i

yxwyxvyxu

yx . (10.44)

c) Związki geometryczne

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=+=

000

2121

2

2

2

2

2

2

2

2L0

yw

xw

ywxw

yxw

yw

xw

xv

yu

yvxu

εεε . (10.45)

Część nieliniową wektora odkształcenia zapisujemy w postaci

θε A210

0

21

2121

2

2

tL =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

ywxw

xw

yw

yw

xw

yw

xw

ywxw

. (10.46)

Oba obiekty A i θ są zależne od parametrów węzłowych.

Różniczka nieliniowego składnika odkształcenia jest równa

ptpLpt

L dddd21d

21d iiii qBqAGAAA ===+= θθθε . (10.47)

W powyższym wyrażeniu różniczka wektora θ jest równa

pppp dd iiiiii

y

x

ywxw

qGqGqN =⇒=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

= θθ . (10.48)