Autor: Piotr Szlagor

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa

Twierdzenie brzmi następująco:

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi, które nie przecinają się w jego wnętrzu, i utworzą one na ramionach kąta odcinki o proporcjonalnych długościach, to te proste są równoległe

k || l

Dowód Twierdzenia

Twierdzenie można uzasadnić w następujący sposób:

1. Z założeń twierdzenia otrzymujemy następującą równość:

Dowód Twierdzenia

2. Rozważmy więc trójkąty OBD i OAC.

Korzystając z wcześniej przedstawionych równości oraz faktu, że mają one wspólny kąt przy wierzchołku O możemy stwierdzić, że są one do siebie podobne (BKB).

Dowód Twierdzenia

3. Korzystając z własności trójkątów podobnych możemy zapisać poniższe równości:

|<OAC| = |<OBD|

|<OCA| = |<ODB|

Dowód Twierdzenia

4. Z równości kątów odpowiadających, przedstawionych na rysunku, bezpośrednio wynika, że:

Tym sposobem Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa zostało udowodnione

k || l