Post on 20-Aug-2020
O wykorzystaniu metod planowania eksperymentów czynnikowych
w konstrukcji indeksów statystycznych
Mgr Małgorzata Złotoś
Plan prezentacji
1. Teoretyczne podstawy planowania eksperymentów
2. Indeksy agregatowe
3. Indeksy agregatowe cen i ilości w ujęciu czynnikowym
4. Indeksy agregatowe wielkości stosunkowych w ujęciu czynnikowym
5. Przykład empiryczny
6. Podsumowanie
Teoretyczne podstawy planowania eksperymentówCele planowania eksperymentów
➢Określenie czynników najsilniej oddziałujących na zmienną objaśnianą
➢Określenie takich wartości czynników
• dla których zmienna objaśniana osiąga pożądaną wartość lub najmniejszą zmienność
• dla których możliwe jest ograniczenie efektu wpływu czynników zakłócających na zmienną wynikową
Teoretyczne podstawy planowania eksperymentów
Schemat postępowania w planowaniu eksperymentów.
➢ Identyfikacja i sformułowanie problemu
➢ Wybór czynników i określenie ich poziomów
➢ Określenie zmiennej objaśnianej
➢ Wybór planu eksperymentów
➢ Realizacja eksperymentu
➢ Analiza wyników, wnioski, zalecenia
Teoretyczne podstawy planowania eksperymentów
- zbiory wszystkich możliwych wartości czynników
Obszar eksperymentowania - zbiór punktów gdzie
Plan eksperymentu - zbiór par gdzie oraz
Ponadto oraz dla
Macierz planu
m21 XXX ,,, mXXX ,,, 21
),,, 21 mxxx (x mix ii ,,2,1, X
n
jjjn pP 1},{ x ),,, 21 mjjjj xxx (x .n
np
j
j
nnn
jj
1
n
jjp
1
1 .,,2,1 nj
mnnn
m
m
xxx
xxx
xxx
21
22212
12111
X
Teoretyczne podstawy planowania eksperymentówZwiązek pomiędzy zmienną wynikową, a czynnikami przedstawia się zwykle w postaci modelu
statystycznego:
gdzie , ,
Przedmiotem badania jest funkcja powierzchni odpowiedzi
gdzie
oraz
),,,(),,,( 2121 mm XXXyXXXY
),,,(),,,( 2121 mm XXXyXXXEY 0E .2 V
Fβy),,,(21
m
xxxy
,β21
T
k
T21
1
111
)x(f)x(f)x(f
)x()x(
)x()x(
F n
nkn
k
ff
ff
nyyy 21Ty
Plany eksperymentów czynnikowychCałkowity plan eksperymentu czynnikowego typu 2m uwzględnia m czynników
występujących na dwu poziomach
• górnym - oznaczanym symbolem "+" oraz
• dolnym - oznaczanym symbolem "-".
Zależność pomiędzy zmienną objaśniającą a zmienną wynikową w przypadku planu eksperymentu
czynnikowego typu 2m można przedstawić w postaci modelu regresji liniowej postaci
gdzie - efekty główne czynników .
mXXX ,,, 21
,
)x(
21121212
321123112112110
mmmmmmmm
mmmmmm
xxxxxx
xxxxxxxxxy
m ,, 21 mXXX ,,, 21
Plan eksperymentu czynnikowego typu 2m
Oznaczenie
doświadczenia 1 1
X 2
X 21 XX
Wartości zmiennej
wynikowej i
y
1 2 ... k
(1) + - - + 11
y 12
y ... ky
1
k
jj
yy1
11
a + + - - 21
y 22
y ... ky
2
k
jj
yy1
22
b + - + - 31y
32y ... k
y3
k
jj
yy1
33
ab + + + + 41
y 42
y ... ky
4
k
jj
yy1
44
Funkcja regresji liniowej
gdzie
Plan eksperymentu czynnikowego typu 2m
21322110 xxxxy
)(2
1ˆ2
)(2
1ˆ2
)(2
1ˆ2
4
1ˆ
43213
43212
43211
4
1
0
yyyyk
yyyyk
yyyyk
yk i
i
Teoria indeksów statystycznychKierunki wyróżniane w teorii indeksów statystycznych:
▪ Ujęcie aksjomatyczne
▪ Ujęcie stochastyczne
▪ Ujęcie ekonomiczne
▪ Ujęcie Divisia
▪ Ujęcie czynnikowe
W teorii indeksów statystycznych nieustannie poszukuje się takich formuł indeksów, które spełniałyby możliwie jak najwięcej aksjomatów (testów) oraz możliwa byłaby ich interpretacja ekonomiczna. Jednak w zastosowaniach indeksów statystycznych często drugorzędną staje się ich interpretacja ekonomiczna, a ważniejsza jest formuła indeksu.
Optymalne kryteria poprawności metodologicznej indeksów zespołowych (testy):
▪ Proporcjonalność – wartość liczbowa indeksu zawiera się pomiędzy minimalnym oraz maksymalnym indeksem indywidualnym
▪ Jednoznaczność – jeżeli indeksy indywidualne są równe to indeks zespołowy jest równy dowolnemu indeksowi indywidualnemu
▪ Oznaczoność – indeks zespołowy nie może się równać zero lub ∞
▪ Współmierność – zmiana jednostek miary nie wpływa na zmianę wartości indeksu
▪ Odwracalność w czasie – iloczyn indeksów zespołowych okresów badanego i bazowego są równe 1
▪ Odwracalność czynników - iloczyn indeksów zespołowych tej samej formuły równa się zespołowemu indeksowi wartości
▪ Okrężność (test kołowy) – iloczyn łańcuchowych indeksów zespołowych równa się zespołowemu indeksowi jednopodstawowemu
▪ Odpowiedniość – wartość indeksu zespołowego powinna być możliwa do jednoznacznej interpretacji
Teoria indeksów statystycznych
Agregatowy indeks wartości
Agregatowy indeks cen
Agregatowy indeks ilości
Indeksy agregatowe cen i ilości
k
iii
k
iii
W
qp
qpI
100
111
k
iiit
k
iinit
q
qp
qpI
10
1
k
iiti
k
iitin
p
qp
qpI
10
1
k
i
ii
k
i
iinL
p
qp
qp
I
1
00
1
0
k
i
ini
k
i
ininP
p
qp
qp
I
1
0
1
k
i
ii
k
i
iniL
q
qp
qp
I
1
00
1
0
k
i
iin
k
i
ininP
q
qp
qp
I
1
0
1
Agregatowy indeks
Agregatowe indeksy o stałej strukturze
Agregatowe indeksy wpływu zmian strukturalnych
Indeksy agregatowe wielkości stosunkowych
k
ii
k
ii
k
iin
k
iin
z
y
z
x
z
xI
10
10
1
1)( :
k
iii
k
iiin
s
yL
zy
zyI
100
10
)(
k
iini
k
iinin
s
yP
zy
zyI
10
1)(
)(
)(
)(
s
yP
z
yws
yLI
II
)(
)(
)(
s
yL
z
yws
yPI
II
Indeksy agregatowe cen i ilości w ujęciu czynnikowymOpis eksperymentu:
• pojedyncze doświadczenie – analiza danych dotyczących jednego towaru
• czynniki p oraz q występują na dwóch poziomach: „0” oraz „1”
Oznaczenie
doświadczenia 1 p q pq
iy
I + - - + 00
qp
P + + - - 01
qp
Q + - + - 10
qp
PQ + + + + 11
qp
Oszacowanie wartości efektów głównych
Po wykonaniu odpowiednich przekształceń algebraicznych otrzymano równania postaci
Indeksy agregatowe cen i ilości w ujęciu czynnikowym
)(2
1
)(2
1
)(2
1
)(4
1
00011011
00011011
00011011
00011011
qpqpqpqpPQ
qpqpqpqpQ
qpqpqpqpP
qpqpqpqpM
)1)(1())((2
)1)(1())((2
)1)(1())((2
)1)(1())((4
0101000101
0101000101
0101000101
0101000101
qpqpqqppPQ
qpqpqqppQ
qpqpqqppP
qpqpqqppM
Stąd wynika, że
11)1)(1(
11)1)(1(
11)1)(1(
11)1)(1(
00
01
00
10
00
11
0101
00
01
00
10
00
11
0101
00
01
00
10
00
11
0101
00
01
00
10
00
11
0101
p
L
q
LW
p
L
q
LW
p
L
q
LW
p
L
q
LW
IIIqp
qp
qp
qp
qp
qpqp
IIIqp
qp
qp
qp
qp
qpqp
IIIqp
qp
qp
qp
qp
qpqp
IIIqp
qp
qp
qp
qp
qpqp
Indeksy agregatowe cen i ilości w ujęciu czynnikowym
1)1)(1(
1)1)(1(
0101
0101
p
L
q
LW
p
L
q
LW
IIIqp
IIIqp
Indeksy agregatowe cen i ilości w ujęciu czynnikowym
q
L
q
L
W
p
L
Iq
I
IIp
01
011
• Rozważa się plan eksperymentu typu 2m .
• Uwzględniono dwa czynniki Y i Z występujące na górnym i dolnym poziomie każdy.
• Dla rozważanego eksperymentu wykonano k replikacji.
• W teorii indeksów statystycznych wartości czynnika Y odpowiadają wartościom wielkości stosunkowych w okresie badanym (górny poziom czynnika Y) i w okresie podstawowym (dolny poziom czynnika Y), natomiast liczba replikacji odpowiada liczbie poziomów danego czynnika klasyfikacyjnego.
Indeksy agregatowe wielkości stosunkowychw ujęciu czynnikowym
Oznaczenie
doświadczenia 1 y z yz
jy
I + - - +
k
iii
zy1
00
Y + + - -
k
iii
zy1
01
Z + - + -
k
iii
zy1
10
YZ + + + +
k
iii
zy1
11
Indeksy agregatowe wielkości stosunkowychw ujęciu czynnikowym
Zgodnie z teorią planu eksperymentu typu 2m prawdziwe są równania
Indeksy agregatowe wielkości stosunkowychw ujęciu czynnikowym
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
zyzyzyzykYZ
zyzyzyzykZ
zyzyzyzykY
zyzyzyzykM
100
101
110
111
100
101
110
111
100
101
110
111
100
101
110
111
2
2
2
4
1)1)(1(
100
101
100
110
100
111
0101
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
zy
zy
zy
zy
zy
zyzy
1)1)(1(
100
101
100
110
100
111
0101
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
zy
zy
zy
zy
zy
zyzy
1)1)(1(
100
101
100
110
100
111
0101
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
zy
zy
zy
zy
zy
zyzy
1)1)(1(
100
101
100
110
100
111
0101
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
k
iii
zy
zy
zy
zy
zy
zyzy
Indeksy agregatowe wielkości stosunkowychw ujęciu czynnikowym
(a)
(b)
(c)
(d)
Indeksy agregatowe wielkości stosunkowychw ujęciu czynnikowym
abk
i
k
iiiii
k
i
k
iiiii
Izyzy
zyzy
1 10010
1 11101
adk
iii
k
i
k
iii
k
iiiii
Izy
zyzyzy
100
1 111
11001
cdk
i
k
iiiii
k
iii
k
iii
Izyzy
zyzy
1 10010
101
111
Przykład empirycznyDane dotyczą przeciętnego zatrudnienia i przeciętnego miesięcznego wynagrodzenia brutto (w zł) dla trzech wybranych sekcji (według podziału klasyfikacji działalności z 2007 roku) gospodarki narodowej w Polsce w roku 2014 i w roku 2015.
Sekcja PKD
2007
Przeciętne zatrudnieniePrzeciętne miesięczne
wynagrodzenie brutto (w zł)
2014 r. 2015r. 2014 r. 2015r.
Przemysł 2 676 458 2 705 576 3 876,91 3 983,49
Budownictwo 590 006 592 752 3 102,28 3 217,49
Handel hurtowy
i detaliczny1 562 388 1 596 417 3 129,77 3 278,13
Przykład empirycznyWyniki obliczeń – metoda klasyczna
Postać indeksu Wartość
)(z
yI 1,0339
)(s
yLI 1,03421
)( s
yPI 1,03426
)(ws
yLI 0,9997
)(ws
yPI 0,9997
Wyniki obliczeń - ujęcie czynnikowe
Przykład empiryczny
03424,1
1 1
0010
1 1
1101
k
i
k
i
iiii
k
i
k
i
iiii
ab
zyzy
zyzy
I
03716,1
1 1
0010
1
01
1
11
k
i
k
i
iiii
k
i
ii
k
i
ii
cd
zyzy
zyzy
I
Przykład empirycznyWyniki obliczeń.
Postać indeksu Wartość
)(z
yI 1,0339
)(s
yLI 1,03421
)( s
yPI 1,03426
)(ws
yLI 0,9997
)(ws
yPI 0,9997
03426,103424,103421,1
)()( s
yPab
s
yL III
Przykład empirycznyWyniki obliczeń.
Postać indeksu Wartość
)(z
yI 1,0339
)(s
yLI 1,03421
)( s
yPI 1,03426
)(ws
yLI 0,9997
)(ws
yPI 0,9997
)()( s
yPcd
s
yL III
03426,103424,103421,1
)()( s
yPab
s
yL III
03426,103716,103421,1
Przykład empiryczny
Okres
podstawowy
Okres
badany
Postać indeksu
)(z
yI )(s
yLI
)( s
yPI
)(ws
yLI
)(ws
yPI abI cdI
2013 2014 1,034674 1,034104 1,034099 1,000556 1,000551 1,034101 1,033765
2012 2013 1,009472 1,038347 1,038599 0,971955 0,972192 1,038471 1,029584
2011 2012 1,037106 1,036642 1,036705 1,000387 1,000447 1,036673 1,033337
2010 2011 1,06311 1,062841 1,062872 1,000224 1,000253 1,062856 1,067764
2010 2015 1,226556 1,22385 1,224482 1,001694 1,002211 1,224164 1,177038
Przykład empiryczny
Okres
podstawowy
Okres
badany
Postać indeksu
)(z
yI )(s
yLI
)( s
yPI
)(ws
yLI
)(ws
yPI abI cdI
2013 2014 1,034674 1,034104 1,034099 1,000556 1,000551 1,034101 1,033765
2012 2013 1,009472 1,038347 1,038599 0,971955 0,972192 1,038471 1,029584
2011 2012 1,037106 1,036642 1,036705 1,000387 1,000447 1,036673 1,033337
2010 2011 1,06311 1,062841 1,062872 1,000224 1,000253 1,062856 1,067764
2010 2015 1,226556 1,22385 1,224482 1,001694 1,002211 1,224164 1,177038
Przykład empiryczny
Okres
podstawowy
Okres
badany
Postać indeksu
)(z
yI )(s
yLI
)( s
yPI
)(ws
yLI
)(ws
yPI abI cdI
2013 2014 1,034674 1,034104 1,034099 1,000556 1,000551 1,034101 1,033765
2012 2013 1,009472 1,038347 1,038599 0,971955 0,972192 1,038471 1,029584
2011 2012 1,037106 1,036642 1,036705 1,000387 1,000447 1,036673 1,033337
2010 2011 1,06311 1,062841 1,062872 1,000224 1,000253 1,062856 1,067764
2010 2015 1,226556 1,22385 1,224482 1,001694 1,002211 1,224164 1,177038
Przykład empiryczny
Okres
podstawowy
Okres
badany
Postać indeksu
)(z
yI )(s
yLI
)( s
yPI
)(ws
yLI
)(ws
yPI abI cdI
2013 2014 1,034674 1,034104 1,034099 1,000556 1,000551 1,034101 1,033765
2012 2013 1,009472 1,038347 1,038599 0,971955 0,972192 1,038471 1,029584
2011 2012 1,037106 1,036642 1,036705 1,000387 1,000447 1,036673 1,033337
2010 2011 1,06311 1,062841 1,062872 1,000224 1,000253 1,062856 1,067764
2010 2015 1,226556 1,22385 1,224482 1,001694 1,002211 1,224164 1,177038
Kierunki dalszych badań
▪ Badanie symulacyjne własności wyznaczonych indeksów zespołowych dla wielkości ilorazowych
▪ Symulacyjne wyznaczanie przedziału ufności dla indeksów agregatowych wielkości ilorazowych
▪ Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących indeksów zespołowych dla wielkości ilorazowych
LiteraturaBanerjee K. S. (1961), A Unified Statistical Approach to the Index Number Problem, "Econometrica", vol. 29 , s. 591 - 601
Białek J. (2016), Ogólna formuła indeksu cen, "Wiadomości Statystyczne", nr 3, GUS, s. 25 – 37
Białek J. (2012), Propozycja indeksu cen, "Wiadomości Statystyczne", nr 7, GUS, s. 13 – 24
Białek J. (2010), Uogólnione indeksy agregatowe, "Wiadomości Statystyczne", nr 10, GUS, s. 1 – 12
Domański Cz., red. (2001), Metody statystyczne. Teoria i zadania, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź
Kończak G. (2007), Metody statystyczne w sterowaniu jakością produkcji, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Katowice
Luszniewicz A. (2009), Indeksy statystyczne, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Finansów i Zarządzania w Białymstoku, Białystok
Montgomery D. C. (2001), Design and Analysis of Experiments, John Wiley & Sons, Inc., New York
Montgomery D. C. (1997), Introduction to statistical quality control, John Wiley & Sons, Inc., New York
Wawrzynek J. (2009), Planowanie eksperymentów zorientowane na doskonalenie jakości produktu, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Wrocław
Wawrzynek J. (1993), Statystyczne planowanie eksperymentów w zagadnieniach regresji w warunkach małej próby, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław
von der Lippe P. (2007), Index Theory and Price Statistics, Peter Lang, Frankfurt