O wykorzystaniu metod planowania eksperymentów ......Plan prezentacji 1. Teoretyczne podstawy...

O wykorzystaniu metod planowania eksperymentów czynnikowych

w konstrukcji indeksów statystycznych

Mgr Małgorzata Złotoś

Plan prezentacji

1. Teoretyczne podstawy planowania eksperymentów

2. Indeksy agregatowe

3. Indeksy agregatowe cen i ilości w ujęciu czynnikowym

4. Indeksy agregatowe wielkości stosunkowych w ujęciu czynnikowym

5. Przykład empiryczny

6. Podsumowanie

Teoretyczne podstawy planowania eksperymentówCele planowania eksperymentów

➢Określenie czynników najsilniej oddziałujących na zmienną objaśnianą

➢Określenie takich wartości czynników

• dla których zmienna objaśniana osiąga pożądaną wartość lub najmniejszą zmienność

• dla których możliwe jest ograniczenie efektu wpływu czynników zakłócających na zmienną wynikową

Teoretyczne podstawy planowania eksperymentów

Schemat postępowania w planowaniu eksperymentów.

➢ Identyfikacja i sformułowanie problemu

➢ Wybór czynników i określenie ich poziomów

➢ Określenie zmiennej objaśnianej

➢ Wybór planu eksperymentów

➢ Realizacja eksperymentu

➢ Analiza wyników, wnioski, zalecenia

Teoretyczne podstawy planowania eksperymentów

- zbiory wszystkich możliwych wartości czynników

Obszar eksperymentowania - zbiór punktów gdzie

Plan eksperymentu - zbiór par gdzie oraz

Ponadto oraz dla

Macierz planu

m21 XXX ,,, mXXX ,,, 21

),,, 21 mxxx (x mix ii ,,2,1, X

n

jjjn pP 1},{ x ),,, 21 mjjjj xxx (x .n

np

j

j

nnn

jj

1

n

jjp

1

1 .,,2,1 nj

mnnn

m

m

xxx

xxx

xxx

21

22212

12111

X

Teoretyczne podstawy planowania eksperymentówZwiązek pomiędzy zmienną wynikową, a czynnikami przedstawia się zwykle w postaci modelu

statystycznego:

gdzie , ,

Przedmiotem badania jest funkcja powierzchni odpowiedzi

gdzie

oraz

),,,(),,,( 2121 mm XXXyXXXY

),,,(),,,( 2121 mm XXXyXXXEY 0E .2 V

Fβy),,,(21

m

xxxy

,β21

T

k

T21

1

111

)x(f)x(f)x(f

)x()x(

)x()x(

F n

nkn

k

ff

ff

nyyy 21Ty

Plany eksperymentów czynnikowychCałkowity plan eksperymentu czynnikowego typu 2m uwzględnia m czynników

występujących na dwu poziomach

• górnym - oznaczanym symbolem "+" oraz

• dolnym - oznaczanym symbolem "-".

Zależność pomiędzy zmienną objaśniającą a zmienną wynikową w przypadku planu eksperymentu

czynnikowego typu 2m można przedstawić w postaci modelu regresji liniowej postaci

gdzie - efekty główne czynników .

mXXX ,,, 21

,

)x(

21121212

321123112112110

mmmmmmmm

mmmmmm

xxxxxx

xxxxxxxxxy

m ,, 21 mXXX ,,, 21

Plan eksperymentu czynnikowego typu 2m

Oznaczenie

doświadczenia 1 1

X 2

X 21 XX

Wartości zmiennej

wynikowej i

y

1 2 ... k

(1) + - - + 11

y 12

y ... ky

1

k

jj

yy1

11

a + + - - 21

y 22

y ... ky

2

k

jj

yy1

22

b + - + - 31y

32y ... k

y3

k

jj

yy1

33

ab + + + + 41

y 42

y ... ky

4

k

jj

yy1

44

Funkcja regresji liniowej

gdzie

Plan eksperymentu czynnikowego typu 2m

21322110 xxxxy

)(2

1ˆ2

)(2

1ˆ2

)(2

1ˆ2

4

1ˆ

43213

43212

43211

4

1

0

yyyyk

yyyyk

yyyyk

yk i

i

Teoria indeksów statystycznychKierunki wyróżniane w teorii indeksów statystycznych:

▪ Ujęcie aksjomatyczne

▪ Ujęcie stochastyczne

▪ Ujęcie ekonomiczne

▪ Ujęcie Divisia

▪ Ujęcie czynnikowe

W teorii indeksów statystycznych nieustannie poszukuje się takich formuł indeksów, które spełniałyby możliwie jak najwięcej aksjomatów (testów) oraz możliwa byłaby ich interpretacja ekonomiczna. Jednak w zastosowaniach indeksów statystycznych często drugorzędną staje się ich interpretacja ekonomiczna, a ważniejsza jest formuła indeksu.

Optymalne kryteria poprawności metodologicznej indeksów zespołowych (testy):

▪ Proporcjonalność – wartość liczbowa indeksu zawiera się pomiędzy minimalnym oraz maksymalnym indeksem indywidualnym

▪ Jednoznaczność – jeżeli indeksy indywidualne są równe to indeks zespołowy jest równy dowolnemu indeksowi indywidualnemu

▪ Oznaczoność – indeks zespołowy nie może się równać zero lub ∞

▪ Współmierność – zmiana jednostek miary nie wpływa na zmianę wartości indeksu

▪ Odwracalność w czasie – iloczyn indeksów zespołowych okresów badanego i bazowego są równe 1

▪ Odwracalność czynników - iloczyn indeksów zespołowych tej samej formuły równa się zespołowemu indeksowi wartości

▪ Okrężność (test kołowy) – iloczyn łańcuchowych indeksów zespołowych równa się zespołowemu indeksowi jednopodstawowemu

▪ Odpowiedniość – wartość indeksu zespołowego powinna być możliwa do jednoznacznej interpretacji

Teoria indeksów statystycznych

Agregatowy indeks wartości

Agregatowy indeks cen

Agregatowy indeks ilości

Indeksy agregatowe cen i ilości

k

iii

k

iii

W

qp

qpI

100

111

k

iiit

k

iinit

q

qp

qpI

10

1

k

iiti

k

iitin

p

qp

qpI

10

1

k

i

ii

k

i

iinL

p

qp

qp

I

1

00

1

0

k

i

ini

k

i

ininP

p

qp

qp

I

1

0

1

k

i

ii

k

i

iniL

q

qp

qp

I

1

00

1

0

k

i

iin

k

i

ininP

q

qp

qp

I

1

0

1

Agregatowy indeks

Agregatowe indeksy o stałej strukturze

Agregatowe indeksy wpływu zmian strukturalnych

Indeksy agregatowe wielkości stosunkowych

k

ii

k

ii

k

iin

k

iin

z

y

z

x

z

xI

10

10

1

1)( :

k

iii

k

iiin

s

yL

zy

zyI

100

10

)(

k

iini

k

iinin

s

yP

zy

zyI

10

1)(

)(

)(

)(

s

yP

z

yws

yLI

II

)(

)(

)(

s

yL

z

yws

yPI

II

Indeksy agregatowe cen i ilości w ujęciu czynnikowymOpis eksperymentu:

• pojedyncze doświadczenie – analiza danych dotyczących jednego towaru

• czynniki p oraz q występują na dwóch poziomach: „0” oraz „1”

Oznaczenie

doświadczenia 1 p q pq

iy

I + - - + 00

qp

P + + - - 01

qp

Q + - + - 10

qp

PQ + + + + 11

qp

Oszacowanie wartości efektów głównych

Po wykonaniu odpowiednich przekształceń algebraicznych otrzymano równania postaci

Indeksy agregatowe cen i ilości w ujęciu czynnikowym

)(2

1

)(2

1

)(2

1

)(4

1

00011011

00011011

00011011

00011011

qpqpqpqpPQ

qpqpqpqpQ

qpqpqpqpP

qpqpqpqpM

)1)(1())((2

)1)(1())((2

)1)(1())((2

)1)(1())((4

0101000101

0101000101

0101000101

0101000101

qpqpqqppPQ

qpqpqqppQ

qpqpqqppP

qpqpqqppM

Stąd wynika, że

11)1)(1(

11)1)(1(

11)1)(1(

11)1)(1(

00

01

00

10

00

11

0101

00

01

00

10

00

11

0101

00

01

00

10

00

11

0101

00

01

00

10

00

11

0101

p

L

q

LW

p

L

q

LW

p

L

q

LW

p

L

q

LW

IIIqp

qp

qp

qp

qp

qpqp

IIIqp

qp

qp

qp

qp

qpqp

IIIqp

qp

qp

qp

qp

qpqp

IIIqp

qp

qp

qp

qp

qpqp


1)1)(1(

1)1)(1(

0101

0101

p

L

q

LW

p

L

q

LW

IIIqp

IIIqp


q

L

q

L

W

p

L

Iq

I

IIp

01

011

• Rozważa się plan eksperymentu typu 2m .

• Uwzględniono dwa czynniki Y i Z występujące na górnym i dolnym poziomie każdy.

• Dla rozważanego eksperymentu wykonano k replikacji.

• W teorii indeksów statystycznych wartości czynnika Y odpowiadają wartościom wielkości stosunkowych w okresie badanym (górny poziom czynnika Y) i w okresie podstawowym (dolny poziom czynnika Y), natomiast liczba replikacji odpowiada liczbie poziomów danego czynnika klasyfikacyjnego.

Indeksy agregatowe wielkości stosunkowychw ujęciu czynnikowym

Oznaczenie

doświadczenia 1 y z yz

jy

I + - - +

k

iii

zy1

00

Y + + - -

k

iii

zy1

01

Z + - + -

k

iii

zy1

10

YZ + + + +

k

iii

zy1

11


Zgodnie z teorią planu eksperymentu typu 2m prawdziwe są równania


k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

zyzyzyzykYZ

zyzyzyzykZ

zyzyzyzykY

zyzyzyzykM

100

101

110

111

100

101

110

111

100

101

110

111

100

101

110

111

2

2

2

4

1)1)(1(

100

101

100

110

100

111

0101

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

zy

zy

zy

zy

zy

zyzy

1)1)(1(

100

101

100

110

100

111

0101

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

zy

zy

zy

zy

zy

zyzy

1)1)(1(

100

101

100

110

100

111

0101

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

zy

zy

zy

zy

zy

zyzy

1)1)(1(

100

101

100

110

100

111

0101

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

zy

zy

zy

zy

zy

zyzy


(a)

(b)

(c)

(d)


abk

i

k

iiiii

k

i

k

iiiii

Izyzy

zyzy

1 10010

1 11101

adk

iii

k

i

k

iii

k

iiiii

Izy

zyzyzy

100

1 111

11001

cdk

i

k

iiiii

k

iii

k

iii

Izyzy

zyzy

1 10010

101

111

Przykład empirycznyDane dotyczą przeciętnego zatrudnienia i przeciętnego miesięcznego wynagrodzenia brutto (w zł) dla trzech wybranych sekcji (według podziału klasyfikacji działalności z 2007 roku) gospodarki narodowej w Polsce w roku 2014 i w roku 2015.

Sekcja PKD

2007

Przeciętne zatrudnieniePrzeciętne miesięczne

wynagrodzenie brutto (w zł)

2014 r. 2015r. 2014 r. 2015r.

Przemysł 2 676 458 2 705 576 3 876,91 3 983,49

Budownictwo 590 006 592 752 3 102,28 3 217,49

Handel hurtowy

i detaliczny1 562 388 1 596 417 3 129,77 3 278,13

Przykład empirycznyWyniki obliczeń – metoda klasyczna

Postać indeksu Wartość

)(z

yI 1,0339

)(s

yLI 1,03421

)( s

yPI 1,03426

)(ws

yLI 0,9997

)(ws

yPI 0,9997

Wyniki obliczeń - ujęcie czynnikowe

Przykład empiryczny

03424,1

1 1

0010

1 1

1101

k

i

k

i

iiii

k

i

k

i

iiii

ab

zyzy

zyzy

I

03716,1

1 1

0010

1

01

1

11

k

i

k

i

iiii

k

i

ii

k

i

ii

cd

zyzy

zyzy

I

Przykład empirycznyWyniki obliczeń.


)(z

yI 1,0339

)(s

yLI 1,03421

)( s

yPI 1,03426

)(ws

yLI 0,9997

)(ws

yPI 0,9997

03426,103424,103421,1

)()( s

yPab

s

yL III

Przykład empirycznyWyniki obliczeń.


)(z

yI 1,0339

)(s

yLI 1,03421

)( s

yPI 1,03426

)(ws

yLI 0,9997

)(ws

yPI 0,9997

)()( s

yPcd

s

yL III

03426,103424,103421,1

)()( s

yPab

s

yL III

03426,103716,103421,1

Przykład empiryczny

Okres

podstawowy

Okres

badany

Postać indeksu

)(z

yI )(s

yLI

)( s

yPI

)(ws

yLI

)(ws

yPI abI cdI

2013 2014 1,034674 1,034104 1,034099 1,000556 1,000551 1,034101 1,033765

2012 2013 1,009472 1,038347 1,038599 0,971955 0,972192 1,038471 1,029584

2011 2012 1,037106 1,036642 1,036705 1,000387 1,000447 1,036673 1,033337

2010 2011 1,06311 1,062841 1,062872 1,000224 1,000253 1,062856 1,067764

2010 2015 1,226556 1,22385 1,224482 1,001694 1,002211 1,224164 1,177038

Kierunki dalszych badań

▪ Badanie symulacyjne własności wyznaczonych indeksów zespołowych dla wielkości ilorazowych

▪ Symulacyjne wyznaczanie przedziału ufności dla indeksów agregatowych wielkości ilorazowych

▪ Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących indeksów zespołowych dla wielkości ilorazowych

LiteraturaBanerjee K. S. (1961), A Unified Statistical Approach to the Index Number Problem, "Econometrica", vol. 29 , s. 591 - 601

Białek J. (2016), Ogólna formuła indeksu cen, "Wiadomości Statystyczne", nr 3, GUS, s. 25 – 37

Białek J. (2012), Propozycja indeksu cen, "Wiadomości Statystyczne", nr 7, GUS, s. 13 – 24

Białek J. (2010), Uogólnione indeksy agregatowe, "Wiadomości Statystyczne", nr 10, GUS, s. 1 – 12

Domański Cz., red. (2001), Metody statystyczne. Teoria i zadania, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź

Kończak G. (2007), Metody statystyczne w sterowaniu jakością produkcji, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Katowice

Luszniewicz A. (2009), Indeksy statystyczne, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Finansów i Zarządzania w Białymstoku, Białystok

Montgomery D. C. (2001), Design and Analysis of Experiments, John Wiley & Sons, Inc., New York

Montgomery D. C. (1997), Introduction to statistical quality control, John Wiley & Sons, Inc., New York

Wawrzynek J. (2009), Planowanie eksperymentów zorientowane na doskonalenie jakości produktu, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Wrocław

Wawrzynek J. (1993), Statystyczne planowanie eksperymentów w zagadnieniach regresji w warunkach małej próby, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław

von der Lippe P. (2007), Index Theory and Price Statistics, Peter Lang, Frankfurt

O wykorzystaniu metod planowania eksperymentów ......Plan prezentacji 1. Teoretyczne podstawy...

Documents

Transcript of O wykorzystaniu metod planowania eksperymentów ......Plan prezentacji 1. Teoretyczne podstawy...