Krzysztof Marciniak Krzysztof Marciniak 16.04.2013 r.16.04.2013 r.

Fraktale Fraktale Krótko o historii, przykKrótko o historii, przykłłady i zastosowaniaady i zastosowania

ŹŹródródłło: http://stuffpoint.com/art/image/37290/fractal-art-wallpaper/o: http://stuffpoint.com/art/image/37290/fractal-art-wallpaper/

Fraktale sFraktale sąą bardzo proste. Nie odkryto ich pó bardzo proste. Nie odkryto ich późźnono

dlatego, dlatego, żże se sąą skomplikowane, ale dlatego, skomplikowane, ale dlatego, żże ludziee ludzie

byli zafiksowani na prostych ksztabyli zafiksowani na prostych kształłtach, i wydawatach, i wydawałło imo im

sisięę, , żże te skomplikowane, którymi zajmowae te skomplikowane, którymi zajmowałł si sięę

SierpiSierpińński, sski, sąą cz częęsto matematycznymi tworamisto matematycznymi tworami

—— Benoît Mandelbrot (1924–2010)Benoît Mandelbrot (1924–2010)

““

””

DefinicjeDefinicje

"S"Słłownik wspóownik współłczesnego jczesnego jęęzyka polskiego", 1996:zyka polskiego", 1996:

fraktalfraktal rz. mnrz. mnżż III D. -a; lm D. -i III D. -a; lm D. -i 1.1. mat.mat. 'jeden z klasy obiektów geometrycznych 'jeden z klasy obiektów geometrycznych

odkrytej przez B.Mandelbrota - figura geometryczna o zodkrytej przez B.Mandelbrota - figura geometryczna o złłoożżonej strukturze, nieonej strukturze, nie

bbęęddąąca krzywca krzywąą, powierzchni, powierzchniąą ani bry ani bryłąłą w znaczeniu geometrii klasycznej, w znaczeniu geometrii klasycznej,

majmająąca wymiar uca wymiar ułłamkowy' amkowy' 2.2. 'wykres, rysunek przedstawiaj 'wykres, rysunek przedstawiająący ten obiekt lubcy ten obiekt lub

najcznajczęśęściej wynik dziaciej wynik działłania pewnej okreania pewnej okreśślonej liczby odwzorowalonej liczby odwzorowańń, których, których

granicgranicąą jest ten obiekt': Program komputerowy do rysowania fraktali. Kolorowy jest ten obiekt': Program komputerowy do rysowania fraktali. Kolorowy

fraktal. <fraktal. <łłac.> ac.>

Wikipedia:Wikipedia:

"w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki,"w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki,

którego czktórego częśęści sci sąą podobne do ca podobne do całłoośści) albo "nieskoci) albo "nieskońńczenie subtelny" (ukazujczenie subtelny" (ukazująącycy

subtelne detale nawet w wielokrotnym powisubtelne detale nawet w wielokrotnym powięększeniu) [...]"kszeniu) [...]"

Ciekawostka: termin Ciekawostka: termin "fraktal""fraktal" zosta zostałł u użżyty po raz pierwszy w pracy Benoît Mandelbrota zyty po raz pierwszy w pracy Benoît Mandelbrota z

1975r.1975r.

Rekurencja i samopodobieRekurencja i samopodobieńństwostwo

Krótka historia fraktaliKrótka historia fraktali

WacWacłław Sierpiaw Sierpińński (1882-1969)ski (1882-1969) - trójk - trójkąąt i dywant i dywanSierpiSierpińńskiegoskiego

Gaston Maurice Julia, Pierre Joseph Louis FatouGaston Maurice Julia, Pierre Joseph Louis Fatou - zbiór - zbiórJuliiJulii

Benoît Mandelbrot (1924–2010)Benoît Mandelbrot (1924–2010) - zbiór Mandelbrota, - zbiór Mandelbrota,wprowadzenie terminu "fraktal", popularyzacja fraktaliwprowadzenie terminu "fraktal", popularyzacja fraktali

··

··

··

ZastosowaniaZastosowania

Kompresja fraktalnaKompresja fraktalna - samopodobie - samopodobieńństwo w obrazach istwo w obrazach iklatkach filmów (a wiklatkach filmów (a więęc równiec równieżż obrazach, ale na wi obrazach, ale na więększksząąskalskalęę))

Modelowanie ukModelowanie ukłładów podobnych do rzeczywistychadów podobnych do rzeczywistych - -przykprzykłład: rosnad: rosnąące drzewa w graficece drzewa w grafice

Grafika komputerowaGrafika komputerowa - krajobraz fraktalny, fraktalne - krajobraz fraktalny, fraktalnegeneratory mapgeneratory map

··

··

··

PrzykPrzykłład - fraktalne generowanie terenuad - fraktalne generowanie terenu

ŹŹródródłło: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/Fractal_terrain_texture.jpgo: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/Fractal_terrain_texture.jpg

PrzykPrzykłładyady

Atraktory IFSAtraktory IFS

trójktrójkąąt Sierpit Sierpińńskiegoskiego

dywan Sierpidywan Sierpińńskiegoskiego

atraktor Lorenzaatraktor Lorenza

Mniej trywialneMniej trywialne

zbiór Juliizbiór Julii

zbiór Mandelbrotazbiór Mandelbrota

BuddhabrotBuddhabrot

Nebula Buddhabrot (Nebulabrot)Nebula Buddhabrot (Nebulabrot)

Fraktale 3DFraktale 3D

ggąąbka Mengerabka Mengera

trój- i czterowymiarowy zbiór Juliitrój- i czterowymiarowy zbiór Julii

MandelbulbMandelbulb

··

··

··

··

··

··

··

··

··

··

··

··

··

TrójkTrójkąąt Sierpit Sierpińńskiego - kolejne iteracjeskiego - kolejne iteracje

ŹŹródródłło: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/a/a0/Sierpinski_carpet.pngo: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/a/a0/Sierpinski_carpet.png

Dywan SierpiDywan Sierpińńskiegoskiego

ŹŹródródłło:o:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/05/Sierpinski_triangle_evolution.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/05/Sierpinski_triangle_evolution.svg

Atraktor Lorenza - rzut (x,z)Atraktor Lorenza - rzut (x,z)

Zbiór Julii - przykZbiór Julii - przykłład 1.ad 1.

Zbiór Julii - przykZbiór Julii - przykłład 2., frag. zbioru Mandelbrotaad 2., frag. zbioru Mandelbrota

Zbiór Julii - przykZbiór Julii - przykłład 3., frag. zbioru Mandelbrotaad 3., frag. zbioru Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota - pierwszy obrazZbiór Mandelbrota - pierwszy obraz

ŹŹródródłło: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Mandel.pngo: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Mandel.png

Zbiór MandelbrotaZbiór Mandelbrota

ŹŹródródłło:o:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Mandelset_hires.png/1024px-https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Mandelset_hires.png/1024px-

Mandelset_hires.pngMandelset_hires.png

Zbiór MandelbrotaZbiór Mandelbrota

BuddhabrotBuddhabrot

NebulabrotNebulabrot

GGąąbka Mengerabka Mengera

ŹŹródródłło: http://matematyka47.w.interia.pl/rysunki/gabka.jpgo: http://matematyka47.w.interia.pl/rysunki/gabka.jpg

Zbiór Julii 3D (4D?)Zbiór Julii 3D (4D?)

MandelbulbMandelbulb

ŹŹródródłło: http://mandelbulb.s3.amazonaws.com/full/q50/Mandel3Dpersp-med.jpg (Copyright ©o: http://mandelbulb.s3.amazonaws.com/full/q50/Mandel3Dpersp-med.jpg (Copyright ©

Daniel White)Daniel White)

Przeczytaj wiPrzeczytaj więęcejcej

http://classes.yale.edu/fractals/http://classes.yale.edu/fractals/

http://www.focus.pl/nauka/zobacz/publikacje/wzor-na-rzeczywistosc/http://www.focus.pl/nauka/zobacz/publikacje/wzor-na-rzeczywistosc/

http://users.math.yale.edu/mandelbrot/http://users.math.yale.edu/mandelbrot/

http://www.fractal.art.pl/http://www.fractal.art.pl/

http://multifraktale.stach.org.pl/index.php/fraktale/http://multifraktale.stach.org.pl/index.php/fraktale/

http://www.fractalforums.com/http://www.fractalforums.com/

··

··

··

··

··

··

DziDzięękujkujęę za uwag za uwagęę