Analiza matematyczna I

65
Analiza matematyczna I 1

Transcript of Analiza matematyczna I

Page 1: Analiza matematyczna I

Analiza matematyczna I

1

Page 2: Analiza matematyczna I

Spis tresci

1 Wst ↪ep. Ograniczenia i kresy zbiorow. 41.1 Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Zbiory liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Kwantyfikatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Iloczyn kartezjanski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Dzialania w zbiorze ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Porz ↪adek ≤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Przedzialy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Kresy zbiorow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Ci ↪agi liczbowe 112.1 Definicje i oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Ci ↪agi monotoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Ci ↪agi zbiezne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Ci ↪agi o granicach niewlasciwych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Symbole nieoznaczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Podci ↪agi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7 Ci ↪agi Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.8 Granica gorna i dolna ci ↪agu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9 Porownywanie ci ↪agow: ’O duze’ i ’o male’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Granice funkcji 253.1 Definicje granicy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Granice jednostronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Granice niewlasciwe w punkcie wlasciwym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Granice wlasciwe w punkcie niewlasciwym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Granice niewlasciwe w punkcie niewlasciwym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6 C.d. arytmetyki granic funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7 Asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Ci ↪aglosc funkcji 394.1 Definicje ci ↪aglosci funkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Ci ↪aglosc funkcji elementarnych cz. I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Ci ↪aglosc jednostronna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Wlasnosci funkcji ci ↪aglych cz. I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5 Ci ↪aglosc funkcji elementarnych cz. II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2

Page 3: Analiza matematyczna I

4.5.1 Funkcja wykladnicza ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5.2 Funkcji logarytmiczna ln(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5.3 Funkcja wykladnicza ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5.4 Funkcja logarytmiczna logax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5.5 Wlasnosci funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6 Wlasnosci funkcji ci ↪aglych cz. II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Rozniczkowalnosc funkcji 545.1 Definicja pochodnej funkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 Definicja funkcji rozniczkowalnej w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3 Pochodne funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.4 Wlasnosci funkcji rozniczkowalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5 Pochodne wyzszych rz ↪edow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3

Page 4: Analiza matematyczna I

1 Wst ↪ep. Ograniczenia i kresy zbiorow.

1.1 Oznaczenia

Niech A, B- zbiory

- A ∪B - suma zbiorow

- A ∩B - iloczyn zbiorow

- A ∖B -roznica zbiorow

1.2 Zbiory liczbowe

- ℕ - zbior liczb naturalnych tzn. ℕ = {1, 2, 3, . . .}

- ℤ - zbior liczb calkowitych tzn. ℤ = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

- ℚ - zbior liczb wymiernych

- ℝ - zbior liczb rzeczywistych

- ℂ - zbior liczb zespolonych

1.3 Kwantyfikatory

- ∀ - ’dla kazdego’- kwantyfikator ogolny (szkolne oznaczenie -⋀

)

- ∃ - ’istnieje’- kwantyfikator szczegolny (szkolne oznaczenie -⋁

)

- ∃! - ’istnieje jedyny’ - ’istnieje dokladnie jeden’

1.4 Iloczyn kartezjanski

Iloczyn kartezjanski zbiorow A i B nazywamy A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

4

Page 5: Analiza matematyczna I

1.5 Dzialania w zbiorze ℝ, ktore spelniaj ↪a nast ↪epuj ↪ace warunki zwane aksjomatami liczb rzeczywistych:

1. ∀x, y, z ∈ ℝ x+ (y + z) = (x+ y) + z - ’l ↪acznosc dodawania’

2. ∀ x, y ∈ ℝ x+ y = y + x -’przemiennosc dodawania’

3. ∃ 0 ∀ x ∈ ℝ x+ 0 = 0 + x = x, 0-element neutralny dodawania

4. ∀x ∈ ℝ ∃ − x ∈ ℝ x+ (−x) = x+ (−x) = 0, −x- element przeciwny

5. ∀x, y, z ∈ ℝ x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z - ’l ↪acznosc mnozenia’

6. ∀ x, y ∈ ℝ x ⋅ y = y ⋅ x -’przemiennosc mnozenia’

7. ∃ 1 ∀ x ∈ ℝ x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x, 1-element neutralny mnozenia

8. ∀x ∈ ℝ ∖ {0} ∃x−1 ∈ ℝ x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1, x−1-element odwrotny

9. ∀x, y, z ∈ ℝ x(y + z) = xy + xz - ’rodzielnosc mnozenia wzgl ↪edem dodawania’

1.6 Porz ↪adek ≤Zawsze o dwoch roznych liczbach rzeczywistych mozemy powiedziec, ktora z nich jest wi ↪eksza.

Aksjomaty ’porz ↪adku liniowego’

1. ∀x ∈ ℝ x ≤ x -zwrotnosc

2. ∀x, y, z ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z -przechodniosc

3. ∀x, y ∈ ℝ x ≤ y ∨ y ≤ x -spojnosc

4. ∀x, y ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y -antysymetria

5. ∀x, y, z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x+ z ≤ y + z

6. ∀x, y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy

5

Page 6: Analiza matematyczna I

Wartosc bewzgl ↪edna (modul) liczby x ∈ ℝ definiujemy nast ↪epuj ↪aco:

∣x∣ :={x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.

Lemat 1.1. Dla dowolnych x, y ∈ ℝ, 0 ≤ y mamy:

1. −∣x∣ ≤ x ≤ ∣x∣

2. ∣x∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y

3. ∣x∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y

4. ∀x, y ∈ ℝ ∣x+ y∣ ≤ ∣x∣+ ∣y∣

5. ∀x, y ∈ ℝ ∣∣x∣ − ∣y∣∣ ≤ ∣x− y∣

1.7 Przedzialy

∙ otwarty (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}

∙ domkni ↪ety [a, b] =< a, b >= {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}

∙ (a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b}

∙ [a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ ℝ : x ≥ a}

1.8 Kresy zbiorow

Definicja 1.2. Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym z gory, jesli

∃M ∈ ℝ ∀x ∈ X x ≤M.

Liczb ↪e M nazywamy ograniczeniem gornym zbioru X.

Przyklad 1.3. Niech

X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

2}

Liczba M =√

2 jest ograniczeniem gornym zbioru X, M /∈ X.

6

Page 7: Analiza matematyczna I

Definicja 1.4. Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym z dolu, jesli

∃m ∈ ℝ ∀x ∈ X m ≤ x.

Liczb ↪e m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru X.

Przyklad 1.5. W powyzszym przykladzie liczba m = −√

2 jest ograniczeniem dolnym zbioruX, m /∈ X.

Definicja 1.6. Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym, jesli

∃m ∈ ℝ, ∃M ∈ ℝ ∀x ∈ X m ≤ x ≤M.

Twierdzenie 1.7. Niepusty zbior X ⊂ ℝ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

∃ 0 ≤ P < +∞ ∀x ∈ X ∣x∣ ≤ P.

Dowod. (=⇒) Jesli X jest ograniczony, to istniej ↪a m,M ∈ ℝ takie, ze

∀x ∈ X m ≤ x ≤M.

Niech P := max{∣m∣, ∣M ∣}. Wtedy:

∀x ∈ X x ≤M ≤ ∣M ∣ ≤ P

∀x ∈ X x ≥ m ≥ −∣m∣ ≥ −PZatem

∀x ∈ X ∣x∣ ≤ P.

(⇐=) Jezeli ∀x ∈ X ∣x∣ ≤ P, to

∀x ∈ X − P ≤ x ≤ P.

Zatem −P jest ograniczeniem dolnym, P ograniczeniem gornym zbioru X.

Twierdzenie 1.8. Suma, roznica, iloczyn zbiorow ograniczonych (zawartych w ℝ) jest zbioremograniczonym.

Definicja 1.9. Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kres gorny(’supremum’), ktory oznaczamy przez supX.

1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z gory, to przyjmujemy, ze � = supX := +∞.

2) Jezeli zbior X jest ograniczony z gory, to liczb ↪e � nazywamy kresem gornym zbioru X,jesli:

– � jest ograniczeniem gornym zbioru X,

– dla kazdego ograniczenia gornego M zbioru X zachodzi � ≤M .

Oznaczenia: � = supX (lacinskie ’supremum’ zbioru X)

7

Page 8: Analiza matematyczna I

Aksjomat kresu gornego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝ ograniczony z gory posiada kresgorny.

Przyklad 1.10. Niech

X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

2}.

Liczba � =√

2 jest kresem gornym zbioru X.

Uwaga 1.11. Kres gorny zbioru X jest najmniejszym ograniczeniem gornym zbioru X.

Lemat 1.12. Jezeli � = supX, to

- ∀x ∈ X, x ≤ �,

- ∀" > 0 ∃x ∈ X x ≥ �− ".

Definicja 1.13. Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kres dolny(’infimum’), ktory oznaczamy przez inf X.

1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z dolu, to przyjmujemy, ze � = inf X := −∞.

2) Jezeli zbior X jest ograniczony z dolu, to liczb ↪e � nazywamy kresem dolnym zbioru X,jesli:

– � jest ograniczeniem dolnym zbioru X,

– dla kazdego ograniczenia dolnego M zbioru X zachodzi M ≤ �.

Oznaczenia: � = inf X (lacinskie ’infimum’ zbioru X)

Aksjomat kresu dolnego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝ ograniczony z dolu posiada kresdolny.

Przyklad 1.14. Niech

X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

2}.

Liczba � = −√

2 jest kresesm dolnym zbioru X.

Uwaga 1.15. Kres dolny zbioru X jest najwi ↪ekszym ograniczeniem dolnymzbioru X.

Lemat 1.16. Jezeli � = inf X, to

8

Page 9: Analiza matematyczna I

∙ ∀x ∈ X, � ≤ x,

∙ ∀" > 0 ∃x ∈ X x ≤ � + ".

Przyklad 1.17. 1. X = (−∞, 1); kres dolny � = −∞ /∈ X, kres gorny � = 1 /∈ X.

2. X = [1, 2]; kres dolny � = 1 ∈ X, kres gorny � = 2 ∈ X.

3. X = (−∞,+∞); kres dolny � = −∞ /∈ X, kres gorny � = +∞ /∈ X.

4. X = ℕ; kres dolny � = 1 ∈ X, kres gorny � = +∞ /∈ X.

Oznaczenia 1.18. Niech X, Y ⊂ ℝ, � ∈ ℝ

X + Y := {x+ y; x ∈ X, y ∈ Y }, �X := {�x; x ∈ X}.

Twierdzenie 1.19. Niech X, Y ⊂ ℝ b ↪ed ↪a zbiorami niepustymi. Wowczas

1. sup(X + Y ) = supX + supY ,

2. inf(A+B) = inf X + inf Y ,

3. jesli X ≤ Y , to supX ≤ inf Y , gdzie X ≤ Y oznacza, ze dla ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y x ≤ y.

4.

sup(�X) =

{� supX dla � ≥ 0� inf X dla � < 0.

5.

inf(�X) =

{� inf X dla � ≥ 0� supX dla � < 0.

Twierdzenie 1.20. (Zasada Archimedesa)

∀x > 0 ∀ y ∈ ℝ ∃n ∈ ℤ (n− 1)x ≤ y < nx.

Dowod Dane s ↪a y ∈ ℝ i x > 0.(a) Najpierw udowodnimy, ze

∃ k ∈ ℤ y ≤ kx. (1.1)

Przypusmy, ze to nie jest prawd ↪a tzn. ∀ k ∈ ℤ y > kx. Niech A = {kx : k ∈ ℤ} ⊂ ℝ. Tenzbior jest ograniczony z gory przez y. Zatem z aksjomatu kresu gornego wynika, ze istnieje� = supA. Wtedy � − x nie jest kresem gornym (korzystamy z zalozenia, ze x > 0, czyli� − x < �). Zatem na mocy Lematu 1.12 istnieje a ∈ A takie, ze a = kx > � − x. St ↪ad

9

Page 10: Analiza matematyczna I

(k + 1)x > �. Niech b := k + 1, wtedy b ∈ ℤ oraz bx > �, co prowadzi do sprzecznosci,poniewaz � = supA.(b) Teraz udowodnimy, ze

∃ m ∈ ℤ y ≥ mx. (1.2)

Przypusmy, ze to nie jest prawd ↪a tzn. ∀m ∈ ℤ y < mx. Niech A = {mx : k ∈ ℤ} ⊂ ℝ. Tenzbior jest ograniczony z dolu przez y. Zatem z aksjomatu kresu dolnego wynika, ze istnieje� = inf A. Wtedy � + x nie jest kresem dolnym (korzystamy z zalozenia, ze x > 0, czyli� < � + x). Zatem na mocy Lematu 1.16 istnieje c ∈ A takie, ze c = mx < � + x. St ↪ad(m − 1)x < �. Niech c := m − 1, wtedy c ∈ ℤ oraz cx < � co prowadzi do sprzecznosci,poniewaz � = inf A.

Teza wynika z (1.1) i (1.2).

10

Page 11: Analiza matematyczna I

2 Ci ↪agi liczbowe

2.1 Definicje i oznaczenia

Definicja 2.1. Ci ↪agiem liczbowym o wyrazach rzeczywistych nazywamy kazd ↪a funkcj ↪ef : ℕ→ ℝ.

Przyklad 2.2.

f : ℕ→ ℝ, f(n) =1

nczyli 1,

1

2,1

3,1

4, . . . .

f : ℕ→ ℝ, f(n) = n√n czyli 1,

√2,

3√

3,4√

4 . . . .

Oznaczenia 2.3. f(n) = an- n-ty wyraz ci ↪agu. Oznaczenie ci ↪agu: {an}n∈ℕ lub(an)n∈ℕ.

2.2 Ci ↪agi monotoniczne

Definicja 2.4. Ci ↪ag {an}n∈ℕ nazywamy

- rosn ↪acym, jesli ∀n ∈ ℕ an+1 > an,

- malej ↪acym, jesli ∀n ∈ ℕ an+1 < an,

- niemalej ↪acym, jesli ∀n ∈ ℕ an+1 ≥ an,

- nierosn ↪acym, jesli ∀n ∈ ℕ an+1 ≤ an.

Pierwsze dwa rodzaje ci ↪agow nazywamy ci ↪agami scisle monotonicznymi

Zadanie 2.5. Wykazac monotonicznosc ci ↪agow an = n2 − n+ 1, bn = n�, ci ↪agu okreslonegorekurencyjnie x1 =

√2, xn+1 =

√2 + xn. Czy ci ↪ag (−1)n

njest monotoniczny?

Definicja 2.6. Ci ↪ag {an}n∈ℕ jest ci ↪agiem

∙ ograniczonym z gory, jesli ∃M ∈ ℝ ∀n ∈ ℕ an ≤M .

∙ ograniczonym z dolu, jesli ∃m ∈ ℝ ∀n ∈ ℕ an ≥ m.

∙ ograniczonym, jesli jest ograniczony z dolu i z gory. Zatem ci ↪ag {an}n∈ℕ jest ograniczonywtedy i tylko wtedy, gdy ∃M ∈ ℝ ∀n ∈ ℕ ∣an∣ ≤M .

Zadanie 2.7. Czy nast ↪epuj ↪ace ci ↪agi

11

Page 12: Analiza matematyczna I

∙ a > 1, an = nan

,

∙ a ∈ ℝ, bn = an

n!,

s ↪a ograniczone?

Definicja 2.8. Niech dany b ↪edzie ci ↪ag {an}n∈ℕ i rosn ↪acy ci ↪ag liczb naturalnych {nk}k∈ℕ.Wtedy ci ↪ag {ank

}nk∈ℕ nazywamy podci ↪agiem ci ↪agu {an}n∈ℕ.

Przyklad 2.9. { 1n}n∈ℕ. Rozpatrzmy ci ↪ag postaci { 1

2n}n∈ℕ. Jest to podci ↪ag ci ↪agu { 1

n}n∈ℕ.

2.3 Ci ↪agi zbiezne

Definicja 2.10. Ci ↪ag {an}n∈ℕ nazywamy zbieznym, jesli istnieje liczba g ∈ ℝ taka, ze

∀" > 0 ∃n0 = n0(") ∀n ≥ n0 ∣an − g∣ < ".

Liczb ↪e g nazywamy granic ↪a ci ↪agu {an}n∈ℕ.

Oznaczenia 2.11. Zapis symboliczny limn→∞ an = g lub an → g.

Interpretacja granicy ∣an − g∣ < "⇔ −" < an − g < "⇔ g − " < an < g + "⇔ an ∈ (g − ", g + "). Dla n ≥ n0 kazdy wyraz an ∈ (g − ", g + ").

Zadanie 2.12. Udowodnic, ze ci ↪ag an = 1n

jest zbiezny do g = 0, czyli

∀ " > 0 ∃n0 ∈ ℕ ∀ n ≥ n0 ∣an − 0∣ =∣∣∣∣ 1n∣∣∣∣ < ".

Jak dobrac n0 do " > 0?

Odp. Zapis ∣ 1n∣ < " oznacza, ze 1

"< n. Z zasady Archimedesa zastosowanej do y = 1

"i x = 1

wynika, ze istnieje n0 ∈ ℕ takie, ze

n0 − 1 ≤ 1

"< n0.

Wtedy dla kazdego n > n0 zachodzi n0 − 1 ≤ 1"< n0 < n.. Zatem

∀ " > 0 ∃n0 ∈ ℕ ∀ n > n0 ∣an − 0∣ =∣∣∣∣ 1n∣∣∣∣ < ".

12

Page 13: Analiza matematyczna I

Zadanie 2.13. Korzystaj ↪ac z definicji granicy udowodnic, ze

limn→∞

1

2n− 1= 0 , lim

n→∞

1

n2= 0 , lim

n→∞(0, 7)n = 0.

Twierdzenie 2.14. Ci ↪ag zbiezny {an}n∈ℕ ma dokladnie jedn ↪a granic ↪e.

Dowod. Przypusmy, ze ci ↪ag jest zbiezny do g1 ∈ ℝ i do g2 ∈ ℝ, g1 ∕= g2. Mozna przyj ↪ac, zeg1 < g2. Niech " = g2−g1

3, czyli " > 0. Z definicji granicy wynika, ze

∃ n1 ∈ ℕ ∀n ≥ n1 g1 − " < an < g1 + "

oraz∃ n2 ∈ ℕ ∀n ≥ n2 g2 − " < an < g2 + ".

Niech n3 := max{n1, n2}. Wtedy dla kazdego n ≥ n3 mamy

an < g1 + " < g2 − " < an.

Otrzymalismy sprzecznosc an < an, ktora konczy dowod.

Lemat 2.15. Kazdy podci ↪ag ci ↪agu zbieznego jest rowniez zbiezny do tej samej granicy.

Dowod. Zalozmy, ze ci ↪ag an → g ∈ ℝ. Wezmy dowolny podci ↪ag {ank}k∈ℕ. Niech " > 0.

Wowczas istnieje n0 ∈ ℕ takie, ze ∣an − g∣ < " dla n ≥ n0. Poniewaz ci ↪ag nk jest rosn ↪acy, toistnieje k0 ∈ ℕ takie, ze nk0 ≥ n0. Wowczas, jesli nk ≥ nk0 , to nk ≥ n0, a st ↪ad ∣ank

− g∣ < ",co dowodzi, ze ank

→ g.

Wniosek 2.16. Jezeli ci ↪ag {an}n∈ℕ zawiera co najmniej dwa podci ↪agi zbiezne do roznychgranic, to ci ↪ag {an}n∈ℕ nie ma granicy.

Twierdzenie 2.17. Jezeli ci ↪ag {an}n∈ℕ jest zbiezny, to jest ograniczony.

Dowod. Zalozmy, ze limn→∞ an = g. Wezmy " = 1. Wowczas istnieje n0 ∈ ℕ takie, ze∣an − g∣ < 1 dla n ≥ n0. St ↪ad an − 1 < g < an + 1 dla n ≥ n0. Niech M b ↪edzie najwi ↪eksz ↪a zliczb

∣a1∣, ∣a2∣, . . . ∣an0∣, ∣g∣+ 1. (2.1)

Wtedy dla kazdego n ≤ n0 mamy ∣an∣ ≤M . Jesli n ≥ n0, to

−M ≤ −∣g∣ − 1 ≤ g − 1 < an < g + 1 ≤ ∣g∣+ 1 ≤M. (2.2)

Z (2.1) i ( 2.2) wynika, ze ∀ n ∈ ℕ ∣an∣ ≤ M , co oznacza, ze ci ↪ag {an}n∈ℕ jest ograniczony.

13

Page 14: Analiza matematyczna I

Twierdzenie 2.18. Jezeli ci ↪agi {an}n∈ℕ, {bn}n∈ℕ s ↪a zbiezne i � ∈ ℝ, to

i) zbiezne s ↪a ci ↪agi {an + bn}n∈ℕ, {�an}n∈ℕ, {an ⋅ bn}n∈ℕ

ii) oraz zachodz ↪a rownosci:

limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn,

limn→∞

�(an) = � limn→∞

an,

limn→∞

(an ⋅ bn) = ( limn→∞

an) ⋅ ( limn→∞

bn),

limn→∞

∣an∣ = ∣ limn→∞

an∣.

iii) jesli limn→∞ bn ∕= 0 to ci ↪ag {anbn}n∈ℕ jest zbiezny oraz

limn→∞

anbn

=limn→∞ anlimn→∞ bn

.

Uwaga 2.19. an → 0 wtedy i tylko, gdy ∣an∣ → 0.

Twierdzenie 2.20. (twierdzenie o trzech ci ↪agach) Jezeli ci ↪agi {an}n∈ℕ, {bn}n∈ℕ s ↪a zbiezne,limn→∞ an = limn→∞ bn i

∀n ∈ ℕ an ≤ cn ≤ bn,

to ci ↪ag {cn}n∈ℕ jest zbiezny i limn→∞ cn = limn→∞ an = limn→∞ bn.

Dowod. Wezmy " > 0. Z zalozenia, ze limn→∞ an = g i limn→∞ cn = g wynika, ze istniej ↪an1, n2 ∈ ℕ takie, ze ∣an−g∣ < " dla n ≥ n1 i ∣cn−g∣ < " dla n ≥ n2. Niech n3 = max{n1, n2}.Wowczas dla n ≥ n3 mamy

−" < an − g ≤ bn − g ≤ cn − g < ".

St ↪ad ∣bn − g∣ < " dla n ≥ n3.

Twierdzenie 2.21. Jesli ci ↪ag an → 0 oraz ci ↪ag {bn}n∈ℕ jest ograniczony, to ci ↪ag anbn → 0.

Dowod. Poniewaz ci ↪ag {an} jest ograniczony, wi ↪ec istnieje 0 ≤M < +∞ takie, ze ∣an∣ ≤Mdla wszystkich n ∈ ℕ. Zatem

0 ≤ ∣anbn∣ = ∣an∣∣bn∣ ≤ ∣an∣M. (2.3)

Poniewaz an → 0, to z twierdzenia 2.18 podpunkt (ii) wynika, ze ∣an∣ → 0. St ↪ad i ztwierdzenia 2.18 podpunkt (ii) zastosowanego do � = M otrzymamy, ze ∣an∣M → 0. Sto-suj ↪ac twierdzenia o trzech ci ↪agach do (2.3) otrzymamy, ze ∣anbn∣ → 0, a st ↪ad anbn → 0 (zUwagi 2.19).

14

Page 15: Analiza matematyczna I

Twierdzenie 2.22. (twierdzenie o zachowaniu znaku nierownosci przy przejsciu do granicy)Jezeli ci ↪agi {an}n∈ℕ i {bn}n∈ℕ s ↪a zbiezne i

∀n ∈ ℕ an ≤ bn,

to limn→∞ an ≤ limn→∞ bn.

Dowod. Niech a := limn→∞ an, b := limn→∞ bn. Przypusmy, ze nie zachodzi teza tzn. a > b.Wezmy " := (a−b)

2(zauwazmy, ze " > 0). Poniewaz oba ci ↪agi {an}n∈ℕ i {bn}n∈ℕ s ↪a zbiezne, to

istnieje n1 ∈ ℕ takie, ze ∣an − a∣ < " dla n ≥ n1 oraz istnieje n2 ∈ ℕ takie, ze ∣bn − b∣ < " dlan ≥ n2. St ↪ad dla n ≥ n3 = max{n1, n2} mamy

bn ≤ (bn − b) + b < "+ b = b+a− b

2=a+ b

2

= a− a− b2

= a− " < a− (an − a) ≤ an.

Zatem bn < an co przeczy zalozeniu, ze an ≤ bn, czyli twierdzenie jest prawdziwe.

Zadanie 2.23. ∙ Udowodnic

limn→∞

n√a = 1 (dla a > 0) , lim

n→∞n√n = 1 , lim

n→∞

1

nsin

1

n= 0.

∙ Wykazac, ze dla a > 1 jest lim nan

= 0.

∙ Wykazac, ze dla a ∈ ℝ jest lim an

n!= 0.

∙ Znalezc granice wyrazen

n2 + 3

2n2 − 100n+ �,

120n3 − n+ 1

n5 + 3,

√2�n5 + n+ 5

4n5 − n4 − 13,

0, 5n√n,√n2 + n+ 1− n , 3

√n3 − n2 + n+ 7− 3

√n3 + 3,

5n+3 + 3

5n − 2,

n2

an(a > 1) , n

√2n + �n , n

√5n − 3n.

Twierdzenie 2.24. Jesli ci ↪ag {an}n∈ℕ jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbiezny.

15

Page 16: Analiza matematyczna I

Dowod. Zalozmy, ze ci ↪ag {an}n∈ℕ jest niemalej ↪acy i ograniczony. W przypadku, gdy ci ↪ag{an}n∈ℕ jest nierosn ↪acy, dowod jest analogiczny. Niech A = {an; n ∈ ℕ}. Poniewaz zbiorA jest ograniczony, wi ↪ec z aksjomatu kresu gornego istnieje � = supA. Udowodnimy, zean → �. Wezmy " > 0. Z Lematu 1.12 wynika, ze istnieje n0 takie, ze �− " < an0 . Wowczasdla n ≥ n0 mamy,

�− " < an ≤ � ≤ � + ",

a zatem ∣an − �∣ < " dla n ≥ n0.

Uwaga 2.25. Ci ↪ag monotoniczny jest zbiezny ⇔ gdy jest ograniczny.

Dowod.(=⇒) Z twierdenia 2.17 wynika, ze kazdy ci ↪ag zbiezny jest ograniczony.(⇐=) Ta implikacja wynika z twierdzenia 2.24.

Przyklad 2.26. Przyklady zastosowan twierdzenia o zbieznosci ci ↪agow monotonicznych. Wykazaczbieznosc ci ↪agow:

an =n∑k=1

1

k2, bn =

n∑k=1

pk10k

(pk ∈ ℤ ∩ [0, 9]),

cn =n∏k=2

(1− 1

k

)( symbol

∏oznacza iloczyn).

okreslonego rekurencyjnie d1 =√

2 , dn+1 =√

2 + xn.

Ci ↪ag Eulera i liczba e

Rozwazmy ci ↪ag

an =

(1 +

1

n

)n+1

.

Na cwiczeniach udowodnimy, ze ci ↪ag {an}n∈ℕ jest malej ↪acy. Poniewaz jest ograniczony imonotoniczny, to ma granic ↪e, ktor ↪a oznaczymy przez

e := limn→∞

(1 +

1

n

)n+1

.

Nastepnie udowodnimy, ze

e = limn→∞

(1 +

1

n

)n.

16

Page 17: Analiza matematyczna I

Ci ↪ag bn =(1 + 1

n

)njest rosn ↪acy i ograniczony. Ten ci ↪ag odgrywa bardzo wazn ↪a rol ↪e i pozniej

b ↪edziemy wielokrotnie si ↪e do niego odwolywac. Liczba e, zdefiniowana wyzej, jest takze bardzowazn ↪a stala, zwana stal ↪a Eulera. Stala Eulera jest liczb ↪a niewymiern ↪a i w przyblizeniu rown ↪a

e ≈ 2.71828182845 . . . .

Zadanie 2.27. Znalezc granice ci ↪agow:(1 +

1

3n

)n,

(n+ 3

n+ 1

)n,

(n− 1

n+ 1

)n,

(1 +

1

n2

)n, n (ln(n+ 3)− lnn) .

2.4 Ci ↪agi o granicach niewlasciwych

Definicja 2.28. Ci ↪ag {an}n∈ℕ jest zbiezny do +∞ jesli

∀M > 0 ∃N ∀n > N an > M.

Definicja 2.29. Ci ↪ag {an}n∈ℕ jest zbiezny do −∞ jesli

∀M > 0 ∃N ∀n > N an < −M.

Twierdzenie 2.30. (Arytmetyka granic niewlasciwych)

1. Jesli limn→∞ an = a, gdzie −∞ < a ≤ +∞ i limn→∞ bn = +∞ to limn→∞(an + bn) =+∞.

2. Jesli limn→∞ an = a, gdzie −∞ ≤ a < +∞ i limn→∞ bn = +∞ to limn→∞(an − bn) =−∞.

3. Jesli limn→∞ an = a, gdzie 0 < a < +∞ i limn→∞ bn = ±∞ to limn→∞(an ⋅ bn) = ±∞.

4. Jesli limn→∞ an = a, gdzie −∞ ≤ a < 0 i limn→∞ bn = ±∞ to limn→∞(an ⋅ bn) = ∓∞.

5. Jesli limn→∞ an = a ∈ ℝ i limn→∞ bn = ±∞ oraz bn ∕= 0, to limn→∞anbn

= 0.

6. Jesli limn→∞ an = a, gdzie 0 < a ≤ +∞ i limn→∞ bn = 0 bn > 0, to limn→∞anbn

= +∞.

7. Jesli limn→∞ an = a, gdzie 0 < a ≤ +∞ i limn→∞ bn = 0 bn < 0, to limn→∞anbn

= −∞.

8. Jesli limn→∞ an = a, gdzie −∞ < a ≤ 0 i limn→∞ bn = 0 bn > 0, to limn→∞anbn

= −∞.

9. Jesli limn→∞ an = a, gdzie −∞ < a ≤ 0 i limn→∞ bn = 0 bn < 0, to limn→∞anbn

= +∞.

17

Page 18: Analiza matematyczna I

Kolejne twierdzenie jest uogolnieniem Twierdzenia 2.30.

Twierdzenie 2.31. 1. Jesli ci ↪ag an → +∞, a ci ↪ag {bn}n∈ℕ jest ograniczony z dolu, toci ↪ag an + bn → +∞.

2. Jesli ci ↪ag an → −∞, a ci ↪ag {bn}n∈ℕ jest ograniczony z gory, to ci ↪ag an + bn → −∞.

3. Jesli ci ↪ag an → +∞, a ci ↪ag {bn}n∈ℕ pocz ↪awszy od pewnego wskaznika jest ograniczonyz dolu przez liczb ↪e dodatni ↪a (z gory przez liczb ↪e ujemn ↪a), to iloczyn anbn jest ci ↪agiemzbienym do +∞ (do −∞).

Twierdzenie 2.32.

Zadanie 2.33. Zbadac zbieznosc ci ↪agow

p√n , (−1)nn2 ,

n3 + 2

n2 + 5, xn =

n∑k=1

1√k, xn = an (a ∈ ℝ).

Bezposrednio z definicji ci ↪agow zbieznych do +∞ lub −∞ wynika nast ↪epuj ↪acy lemat.

Lemat 2.34. Niech {an}n∈ℕ, {bn}n∈ℕ b ↪ed ↪a ci ↪agami liczb rzeczywistych. Wowczas:

∙ Jesli an → +∞ oraz an ≤ bn, to bn → +∞.

∙ Jesli bn → −∞ oraz an ≤ bn, to an → −∞.

2.5 Symbole nieoznaczone

Dla pewnych dzialan na ci ↪agach nie mozna z gory przewidziec granicy wyniku tych dzialan,pomimo, ze znamy granice poszczegolnych ci ↪agow.

Np. rozwazmy dwa ci ↪agi {an}n∈ℕ i {bn}n∈ℕ, oba d ↪az ↪ace do niekonczonosci tzn. an → +∞ ibn → +∞. Zbadamy roznic ↪e (an−bn). Ile wynosi limn→∞(an−bn)? Z ponizszych przykladowb ↪edzie wynikac, ze roznica an − bn moze miec granic ↪e wlasciw ↪a (tzn. jest liczb ↪a skonczon ↪a),moze miec granic ↪e niewlasciw ↪a ±∞ lub moze nie istniec. Wowczas mowimy, ze ∞−∞ jestsymbolem nieoznaczonym. Mamy siedem takich nieoznaczonosci:

∞−∞, 0 ⋅ ∞, 0

0,∞∞, 1∞, ∞0, 00.

Dla kazdego z powyzszych symboli nieoznaczonych podamy przyklady ilustruj ↪ace tez ↪e, ze niemozna podac uniwersalnej reguly mowi ↪acej ile wynosi granica wykonywanych dzialan w tymprzypadku.

18

Page 19: Analiza matematyczna I

∙ limn→∞ an = +∞, limn→∞ bn = +∞, NIEOZNACZONOSC typu [∞−∞].

an = n2, bn = n2 =⇒ limn→∞

(an − bn) = limn→∞

(n2 − n2) = 0

an = n2, bn = n =⇒ limn→∞

(an − bn) = limn→∞

(n2 − n) = +∞

an = n, bn = n2 =⇒ limn→∞

(an − bn) = limn→∞

(n− n2) = −∞

an = n, bn = (n− a) ∧ a ∈ ℝ =⇒ limn→∞

(an − bn) = limn→∞

[n− (n− a)] = a

an = n+ (−1)n, bn = n =⇒ limn→∞

(an − bn) = limn→∞

(n+ (−1)n − n) = limn→∞

(−1)n =

nie istnieje

∙ limn→∞ an = 0, limn→∞ bn = +∞, NIEOZNACZONOSC typu [0 ⋅ ∞].

an =−1

n, bn = n2 =⇒ lim

n→∞(an ⋅ bn) = lim

n→∞(−n) = −∞

an =1

n, bn = n2 =⇒ lim

n→∞(an ⋅ bn) = lim

n→∞(n) = +∞

an =a

n∧ a ∈ ℝ, bn = n =⇒ lim

n→∞(an ⋅ bn) = lim

n→∞(a) = a

an =(−1)n

n, bn = n =⇒ lim

n→∞(an ⋅ bn) = lim

n→∞(−1)n nie istnieje

∙ limn→∞ an = 0, limn→∞ bn = 0, NIEOZNACZONOSC typu [00].

an =−1

n, bn =

1

n2=⇒ lim

n→∞

(anbn

)= lim

n→∞(−n) = −∞

an =1

n, bn =

1

n2=⇒ lim

n→∞

(anbn

)= lim

n→∞(n) = +∞

an =a

n∧ a ∈ ℝ, bn =

1

n=⇒ lim

n→∞

(anbn

)= lim

n→∞(a) = a

an =(−1)n

n, bn =

1

n=⇒

(anbn

)= lim

n→∞(−1)n nie istnieje

∙ limn→∞ an =∞, limn→∞ bn =∞, NIEOZNACZONOSC typu [∞∞ ].

19

Page 20: Analiza matematyczna I

an = n2, bn = n =⇒ limn→∞

(anbn

)= lim

n→∞(n) = +∞

an = a ∧ a ⋅ n ∈ ℝ, bn = n =⇒ limn→∞

(anbn

)= lim

n→∞(a) = a

an = n+(−1)nn

2, bn = n =⇒ lim

n→∞

(anbn

)= lim

n→∞

(1 +

(−1)n

2

)= nie istnieje

∙ limn→∞ an = 1, limn→∞ bn = +∞, NIEOZNACZONOSC typu [1∞].

an = 1 +1

n, bn = n =⇒ lim

n→∞(an

bn) = limn→∞

(1 +

1

n

)n= e

an = 1 bn = n =⇒ limn→∞

(anbn) = lim

n→∞(1n) = 1

an = 1 +1

n, bn = n2 =⇒ lim

n→∞(an

bn) = limn→∞

(1 +

1

n

)n2

= +∞

an = 1 +(−1)n

n, bn = n =⇒ lim

n→∞(an

bn) = limn→∞

(1 +

(−1)

n

)nnie istnieje

∙ limn→∞ an =∞, limn→∞ bn = 0, NIEOZNACZONOSC typu [∞0].

an = 2n2

, bn =1

n=⇒ lim

n→∞(an

bn) = limn→∞

(2n) = +∞

an = n, bn = 0 =⇒ limn→∞

(anbn) = lim

n→∞(n0) = 1

an = an ∧ a > 1, bn =1

n=⇒ lim

n→∞(an

bn) = limn→∞

(a) = a

an = (3 + (−1)n)n, bn =1

n=⇒ lim

n→∞(an

bn) = limn→∞

(3 + (−1)n) nie istnieje

∙ limn→∞ an = 0, limn→∞ bn = 0, NIEOZNACZONOSC typu [00].

an =1

n, bn =

1

n=⇒ lim

n→∞(an

bn) = limn→∞

(1n√n

) = 1

an = 0, bn =1

n=⇒ lim

n→∞(an

bn) = limn→∞

(01n ) = 0

an = an ∧ a ∈ (0, 1), bn =1

n=⇒ lim

n→∞(an

bn) = limn→∞

(a1n ) = a

20

Page 21: Analiza matematyczna I

2.6 Podci ↪agi

Definicj ↪e podci ↪agu podalismy poprzednio (patrz Definicja 1.8) oraz udowodnilismy lemat 2.15.Teraz chcemy dodac, ze lemat 2.15 jest prawdziwe takze, gdy g = ±∞.

Twierdzenie 2.35. Jezeli kazdy podci ↪ag ci ↪agu {an}n∈ℕ jest zbiezny do tej samej granicy g,to dany ci ↪ag {an}n∈ℕ jest zbiezny do granicy g. Granica g ∈ ℝ lub g = ±∞.

Twierdzenie 2.36. (Bolzano-Weierstrassa) Z kazdego ci ↪agu ograniczonego mozna wybracpodci ↪ag zbiezny.

Zanim udowodnimy powyzsze twierdzenie podamy jeszcze nast ↪epuj ↪ac ↪a definicj ↪e.

Definicja 2.37. Niech A ⊂ ℝ oraz {an}n∈ℕ b ↪edzie dowolnym ci ↪agiem rzeczywitym. Wowczas

∙ prawie wszystkie wyrazy ci ↪agu {an}n∈ℕ nalez ↪a do A, gdy

∃ k ∈ ℕ ∀n ≥ k an ∈ A.

∙ nieskonczenie wiele wyrazow ci ↪agu {an}n∈ℕ nalezy do A, gdy

∀ k ∈ ℕ ∃n ≥ k an ∈ A.

Uwaga 2.38. Jezeli prawie wszystkie wyrazy ci ↪agu {an}n∈ℕ nalez ↪a do A, to nieskonczeniewiele wyrazow ci ↪agu tego ci ↪agu nalezy do A.

Dowod Tw. 2.36 Niech 0 ≤ M < +∞ b ↪edzie liczb ↪a rzeczywist ↪a tak ↪a, ze ∣an∣ ≤ M dlawszystkich n ∈ ℕ. Niech

A = {a ∈ ℝ : a ≤ an dla nieskonczenie wielu n ∈ ℕ}

= {a ∈ ℝ; ∀ k ∈ ℕ ∃n ≥ k a ≤ an}.Poniewaz −M ≤ an ≤M dla kazdego n ∈ ℕ, to −M ∈ A oraz a < M + 1 (takze dla kazdegoa ∈ A). Niech � = supA. Ustalmy " > 0. Wtedy istnieje a ∈ A takie, ze � − " < a ≤ �.Zatem �− " < an dla nieskonczenie wielu n ∈ ℕ. Poniewaz �+ " /∈ A, wi ↪ec �+ " ≤ an tylkodla skonczenie wielu n ∈ ℕ. St ↪ad �− " < an < � + " dla nieskonczenie wielu n ∈ ℕ. Zatem

∀ k ∈ ℕ ∃n ≥ k ∣an − �∣ < ".

Korzystaj ↪ac z tego faktu dla " = 1 otrzymujemy, ze istnieje n1 ∈ ℕ takie, ze ∣an1 − �∣ < 1.Nast ↪epnie znajdziemy n2 > n1 takie, ze ∣an2 − �∣ < 1/2. Post ↪epuj ↪ac w sposob indukcyjnydla dowolnej liczby naturalnej k znajdziemy nk > nk−1 takie, ze 0 ≤ ∣ank

− �∣ < 1/k → 0. Ztwierdzenia o trzech ci ↪agach otrzymamy, ze ∣ank

− �∣ → 0. Zatem ank→ �.

21

Page 22: Analiza matematyczna I

2.7 Ci ↪agi Cauchy’ego

Definicja 2.39. Ci ↪ag {an}n∈ℕ spelnia warunek Cauchy’ego, jesli

∀" > 0 ∃n0 = n0(") ∀m,n ≥ n0 ∣am − an∣ < ".

Twierdzenie 2.40. Kazdy ci ↪ag zbiezny spelnia warunek Cauchy’ego.

Dowod. Zalozmy, ze an → g. Niech " > 0. Wowczas istnieje n0 ∈ ℕ takie, ze ∣an − g∣ < "/2dla n ≥ n0. Wezmy dowolne m,n ≥ n0. Wtedy z nierownosci trojk ↪ata

∣am − an∣ = ∣(am − g) + (g − an)∣ ≤ ∣am − g∣+ ∣an − g∣ <"

2+"

2= ".

Czyli∀" > 0 ∃n0 = n0(") ∀m,n ≥ n0 ∣am − an∣ < ".

Twierdzenie 2.41. Kazdy ci ↪ag Cauchy’ego jest ograniczony.

Dowod. Niech {an}n∈ℕ spelnia warunek Cauchy’ego. Wezmy " = 1. Wowczas istnieje n0 ∈ ℕtakie, ze ∣an − am∣ < 1 dla m,n,≥ n0. St ↪ad an0 − 1 < an < an0 + 1 dla n ≥ n0. Niech Mb ↪edzie najwi ↪eksz ↪a z liczb ∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣an0∣+ 1. Wtedy dla kazedego n < n0 mamy ∣an∣ ≤M .Jesli n ≥ n0, to

−M ≤ −∣an∣ − 1 ≤ an0 − 1 < an < an0 + 1 ≤ ∣an0∣+ 1 ≤M.

Zatem dla kazdego n ∈ ℕ mamy ∣an∣ ≤M .

Twierdzenie 2.42. Kazdy ci ↪ag Cauchy’ego jest zbiezny.

Dowod. Niech {an}n∈ℕ spelnia warunek Cauchy’ego. Z Twierdzenia 2.41 wynika, ze ci ↪ag{an}n∈ℕ jest ograniczony. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa ci ↪ag {an}n∈ℕ zawiera podci ↪agank

, ktory jest zbiezny. Niech ank→ g. Pokazemy, ze ci ↪ag an → g. Wezmy " > 0. Z definicji

warunku Cauchy’ego i definicji granicy istniej ↪a n0, n1 ∈ ℕ takie, ze

∣an − am∣ <"

2dla m,n ≥ n0 (2.4)

oraz∣ank− g∣ < "

2dla nk ≥ n1. (2.5)

22

Page 23: Analiza matematyczna I

Niech n2 ∈ ℕ b ↪edzie takie, ze n2 ≥ max{n0, n1}. Wowczas dla dowolnego n ≥ n2 (korzystamyz (2.4) i (2.5)) mamy

∣an − g∣ ≤ ∣an − an2∣+ ∣an2 − g∣ <"

2+"

2= ".

Definicja 2.43. Tak ↪a wlasnosc zbioru liczb rzeczywistych ℝ nazywamy jego zupelnosci ↪a.

Uwaga 2.44. Zbior liczb wymiernych ℚ nie jest zupelny, to znaczy w obr ↪ebie zbioru liczbwymiernych nie kazdy ci ↪ag Cauchy’ego ma granic ↪e nalez ↪ac ↪a do ℚ.

Zadanie 2.45. Korzystaj ↪ac z kryterium Cauchy’ego zbadac zbieznosc ci ↪agow:

xn =n∑k=1

1

k, yn =

n∑k=1

1

k2, zn =

n∑k=1

sin k

k2.

2.8 Granica gorna i dolna ci ↪agu

Definicja 2.46. Mowimy, ze g ∈ ℝ∪{−∞,+∞} jest punktem skupienia ci ↪agu {an}n∈ℕ, jesliistnieje podci ↪ag {ank

}nk∈ℕ taki, ze ank→ g.

Definicja 2.47. Jezeli ciag {an}n∈ℕ jest ograniczony z gory, to granic ↪a gorn ↪a (lac. limessupremum) ci ↪agu {an}n∈ℕ nazywamy kres gorny zbioru wszystkich punktow skupienia ci ↪agu{an}n∈ℕ tzn.

lim supn→∞

an := sup{g : ∃ank→ g}.

Jezeli ciag {an}n∈ℕ nie jest ograniczony z gory, to

lim supn→∞

an := +∞.

Uwaga 2.48. Dla kazdego ci ↪agu istnieje jego granica gorna.

Definicja 2.49. Jezeli ciag {an}n∈ℕ jest ograniczony z dolu, to granic ↪a doln ↪a (lac. limes infi-mum) ci ↪agu {an}n∈ℕ nazywamy kres dolny zbioru wszystkich punktow skupienia ci ↪agu {an}n∈ℕtzn.

lim infn→∞

an := inf{g : ∃ank→ g}.

Jezeli ciag {an}n∈ℕ nie jest ograniczony z dolu, to

lim infn→∞

an := −∞.

23

Page 24: Analiza matematyczna I

Uwaga 2.50. Dla kazdego ci ↪agu istnieje jego granica dolna.

Zadanie 2.51. Wykazac prawdziwosc Uwagi 1.1 i Uwagi 1.2.

Lemat 2.52. ∙ lim inf an ≤ lim sup an.

∙ Ci ↪ag {an}n∈ℕ jest zbiezny wtedy i tylko wtedy, gdy lim infn∈ℕ an = lim supn∈ℕ an.

Zadanie 2.53. Znalezc granic ↪e gorn ↪a i doln ↪a ci ↪agow:

.n3 + 1

2n3 − n2 + 5sin

2n�

3, (1 + (−1)n)

(1− 1

n

),

n√

2n + 5n⋅(−1)n ,

an =n∑k=1

(−1)k, an = (n2 + 1)(−1)n .

2.9 Porownywanie ci ↪agow: ’O duze’ i ’o male’

Definicja 2.54. Dane s ↪a ci ↪agi {an}n∈ℕ i {bn}n∈ℕ. Mowimy, ze ci ↪ag an jest ’O duze’ ci ↪agubn, jesli

∃L ≥ 0 ∃n0 ∈ ℕ ∀n ≥ n0 ∣an∣ ≤ L∣bn∣.

Oznaczenia 2.55. Zapis symboliczny an = O(bn).

Lemat 2.56. Jesli wyrazy ci ↪agu {bn}n∈ℕ s ↪a rozne od zera, to an = O(bn) wtedy i tylko wtedy,gdy ci ↪ag an

bnjest ograniczony.

Definicja 2.57. Dane s ↪a ci ↪agi {an}n∈ℕ i {bn}n∈ℕ. Mowimy, ze ci ↪ag an jest ’o male’ ci ↪agubn, jesli

∀" > 0 ∃n", ∀n ≥ n" ∣an∣ ≤ "∣bn∣.

Oznaczenia 2.58. Zapis symboliczny an = o(bn).

Lemat 2.59. Jesli wyrazy ci ↪agu {bn}n∈ℕ s ↪a rozne od zera, to an = o(bn) wtedy i tylko wtedy,gdy ci ↪ag an

bnjest ograniczony.

Zadanie 2.60. Uzasadnic:

2n+1 = O(n)5 + n

n2 − 0, 5= O

(1

n

), (−1)n = O(1) n = o(n2) ,

1

n2= o

(1

n

), 2−n = o(1).

24

Page 25: Analiza matematyczna I

3 Granice funkcji

3.1 Definicje granicy

Definicja 3.1. Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ. Punkt x0 nazywamy punktem skupienia zbioru X,jesli istnieje ci ↪ag {xn}n∈ℕ taki, ze

∙ xn ∈ X dla kazdego n ∈ ℕ,

∙ xn ∕= x0 dla kazdego n ∈ ℕ,

∙ limn→∞ xn = x0.

Przyklad 3.2. Niech X = {1, 12, 1

3, . . . , 1

n, . . .}. Wtedy x0 = 0 jest punktem skupienia tego

zbioru ale x0 /∈ X

Przyklad 3.3. Niech X = (0, 1).

∙ Wtedy kazdy punkt x ∈ X jest punktem skupienia, poniewaz np. ci ↪ag xn := x + 1n∈ X

dla n > n0 (gdzie 1n0< min{∣x− 1∣, ∣x− 0∣}), xn ∕= x oraz xn → x.

∙ punkty x0 = 0 i y0 = 1 s ↪a punktami skupienia zbioru X, poniewaz ci ↪ag xn := 1n

dlan ≥ 2 nalezy do X i zbiega do x0 = 0, zas ci ↪ag yn := 1 − 1

ndla n ≥ 2 nalezy do X i

zbiega do y0 = 1

Przyklad 3.4. Niech X = {−1} ∪ [0, 1]. Wtedy punkt x0 = −1 nie jest punktem skupieniazbioru X.

Definicja 3.5. Zbior punktow skupienia zbioru X oznaczamy przez Xd.

Przyklad 3.6. ∙ (0, 1]d = [0, 1],

∙ ((−1, 1) ∪ {2})d = [−1, 1],

∙ { 1n; n ∈ ℕ}d = {0},

∙ ℚd = ℝ,

∙ ℤd = ∅.

Twierdzenie 3.7. X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy∀ " > 0 kula K(x0, ") = (x0 − ", x0 + ") zawiera co najmniej jeden punkt ze zbioru X roznyod x0.

25

Page 26: Analiza matematyczna I

Podamy teraz definicje wlasciwe (skonczone) granicy funkcji w punkcie.

Definicja 3.8. (wg Cauchy’ego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru X,f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e (wlasciw ↪a) g ∈ ℝ w punkcie x0, jesli

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [0 < ∣x− x0∣ < � =⇒ ∣f(x)− g∣ < "] .

Wowczas piszemy limx→x0 f(x) = g lub f(x)→ g.

Definicja 3.9. (wg Heinego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru X,f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e (wlasciw ↪a) g ∈ ℝ w punkcie x0, jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X ∖ {x0};[

limn→∞

xn = x0 =⇒ limn→∞

f(xn) = g].

Wowczas piszemy limx→x0 f(x) = g lub f(x)→ g.

Twierdzenie 3.10. Definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie jest rownowazna definicjiHeinego granicy funkcji w punkcie.

Przyklad 3.11. Korzystaj ↪ac z definicji Cauchy’ego uzasadnic istnienie granicylimx→2(5− 3x) = 1.

Odp. Mamy wykazac, ze

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [0 < ∣x− 2∣ < � =⇒ ∣(5− 3x)− 1∣ < "] .

Ustalmy " > 0. Jak dobrac � = �(")? Niech � := "/3. Wtedy

∣x− 2∣ < � ="

3⇐⇒ −"

3< x− 2 <

"

3⇐⇒ "

3> −x+ 2 > −"

3

⇐⇒ −2 +"

3> −x > −2− "

3⇐⇒ −6 + " > −3x > −6− ".

Dla ∣x− 2∣ < � = "3

mamy

f(x)− 1 = 5− 3x+ 1 = 6− 3x < 6 + [−6 + "] = "

orazf(x)− 1 = 5− 3x+ 1 = 6− 3x > 6 + [−6− "] = −".

Zatem∀ " > 0 ∃ � =

"

3> 0 ∀ x ∈ X [0 < ∣x− 2∣ < � =⇒ ∣f(x)− 1∣ < ".]

26

Page 27: Analiza matematyczna I

Przyklad 3.12. Korzystaj ↪ac z definicji Heinego uzasadnic, ze limx→2 x2 = 4.

Odp. Niech {xn}n∈ℕ b ↪edzie dowolnym ci ↪agiem takim, ze xn → 2. Wtedy istnieje ci ↪ag yn taki,ze x2 = 2− yn, gdzie yn → 0. Zatem f(xn) = x2

n = (2− yn)2 = 4− 2yn + y2n → 4 gdy n→∞,

poniewaz yn, y2n → 0.

Twierdzenie 3.13. (O arytmetyce granic). Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupieniazbioru X, f : X → ℝ, g : X → ℝ. Zalozmy, ze limx→x0 f(x) = a ∈ ℝ oraz limx→x0 g(x) = b ∈ℝ. Wowczas:

∙ limx→x0 ∣f(x)∣ = ∣a∣,

∙ limx→x0 �f(x) = �a dla dowolnego � ∈ ℝ,

∙ limx→x0(f(x)± g(x) = a± b,

∙ limx→x0 f(x) ⋅ g(x) = a ⋅ b,

∙ limx→x0

f(x)g(x)

= ab, gdy b ∕= 0.

Przyklad 3.14. Obliczyc granice funkcji:

∙ limx→x0 2f(x)g2(x)

∙ limx→x02

(1

f(x)+ 1

2g(x)

)jesli wiadomo, ze limx→x0 f(x) = 3, limx→x0 g(x) = 4.

Korzystamy z twierdzenia 3.13. Wtedy

limx→x0

2f(x)g2(x) = 2 limx→x0

f(x) ⋅ [ limx→x0

g(x) ⋅ limx→x0

g(x)] = 2 ⋅ 3 ⋅ 42 = 96

limx→x0

(1

f(x)+

1

2g(x)

)=

(1

limx→x0 f(x)+

1

2 limx→x0 g(x)

)=

1

3+

1

8=

11

24.

Przyklad 3.15. Wykazemy, ze limx→0sinxx

= 1.

Skorzystamy z nast ↪epuj ↪acych nierownosci:

sinx < x < tg(x) dla 0 < x <�

2. (3.1)

27

Page 28: Analiza matematyczna I

St ↪ad1

sinx>

1

x>

1

tg(x)dla 0 < x <

2. (3.2)

Pomnozymy strony nierownosci (3.2) przez sin x, ktore jest dodatnie dla 0 < x < �2. St ↪ad[

1 >sinx

x> cosx

]=⇒

[0 < 1− sinx

x< 1− cosx

].

Ale 1− cosx = 2 sin2(x2) < 2 sin(x

2). Korzystaj ↪ac z (3.1) otrzymamy 2 sin(x

2) < x. Zatem

0 < 1− sinx

x< x.

Dla −�2< x < 0 mamy

sinx > x > tg(x) (3.3)

Post ↪epuj ↪ac analogicznie otrzymamy, ze∣∣∣∣sinxx − 1

∣∣∣∣ < ∣x∣. (3.4)

Warto zauwazyc, zesin(−x)

−x=

sin(x)

x

sk ↪ad wynika, ze (3.4) zachodzi takze dla −�2< x < 0. Aby udowodnic, ze limx→0

sinxx

= 1musimy wykazac:

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ X[0 < ∣x− 0∣ < � =⇒

∣∣∣∣sinxx − 1

∣∣∣∣ < "

]W tym celu dla danego " > 0 mozemy za � = min{", �

2}. Wtedy

∣∣ sinxx− 1∣∣ < ∣x∣ < � ≤ " czyli∣∣∣∣sinxx − 1

∣∣∣∣ < ".

Przyklad 3.16. Czy istnieje limx→0 sin( 1x) dla x ∕= 0?

Skorzystamy z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie.Niech xn = 2

(4n+1)�→ 0. Wtedy

sin

(1

xn

)= sin

((4n+ 1)�

2

)= sin

(2n� +

2

)= sin

(�2

)= 1.

28

Page 29: Analiza matematyczna I

Czyli limn→∞ f(xn) = limn→∞ sin(

1xn

)= limn→∞ 1 = 1.

Niech yn = 2(4n+3)�

. Wtedy

sin

(1

yn

)= sin

((4n+ 3)�

2

)= sin

(2n� +

3�

2

)= sin

(3�

2

)= −1.

Czyli limn→∞ f(yn) = limn→∞ sin(

1yn

)= limn→∞(−1) = −1.

Niech zn = 1n�

. Wtedy

sin

(1

zn

)= sin

(n�2

)= sin (n�) = 0.

Czyli limn→∞ f(zn) = limn→∞ sin(

1zn

)= limn→∞ 0 = 0.

Zatem limx→0 sin( 1x) nie istnieje!!

Przyklad 3.17. Wykazac, ze limx→0 x sin( 1x) = 0, x ∕= 0.

Jest to oczywiste, poniewaz ∣x sin( 1x)∣ < ∣x∣ bo ∣ sin( 1

x)∣ ≤ 1. Wtedy w definicji granicy w

x0 = 0 nalezy przyj ↪ac � = " tzn.

∀ " > 0 ∃ � = " ∀ x ∈ X[0 < ∣x− 0∣ < � =⇒

∣∣∣∣x sin

(1

x

)− 0

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣x sin

(1

x

)∣∣∣∣ < ∣x∣ < "

].

Twierdzenie 3.18. (o trzech funkcjach) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioruX. Niech f, g, ℎ : X → ℝ b ↪ed ↪a funkcjami takimi, ze

∀ x ∈ X f(x) ≤ g(x) ≤ ℎ(x).

Zalozmy, ze limx→x0 f(x) = limx→x0 ℎ(x) = g. Wtedy istnieje limx→x0 g(x) oraz limx→x0 g(x) =g.

Przyklad 3.19. Korzystaj ↪ac z twierdzenia 3.18 (o trzech funkcjach) obliczyc granic ↪elimx→0 x

2(2 + cos

(1x

)).

Odp. Dla kazdego x ∈ ℝ zachodzi:

x2

(2 + cos

(1

x

))≤ x2(2 + 1) = 3x2

oraz

x2

(2 + cos

(1

x

))≥ x2(2− 1) = x2.

29

Page 30: Analiza matematyczna I

St ↪ad na mocy tw. o trzech funkcjach mamy

0 = limx→0

x2 ≤ limx→0

(2 + cos

(1

x

))≤ lim

x→03x2 = 0.

Zatem istnieje limx→0 x2(2 + cos

(1x

))i jest rowna 0.

Definicja 3.20. Niech X ⊂ ℝ, f : X → ℝ. Powiemy, ze funkcja f jest

∙ rosn ↪aca, jesli dla dowolnych x1, x2 ∈ X, x1 < x2 mamy f(x1) < f(x2),

∙ malej ↪aca, jesli dla dowolnych x1, x2 ∈ X, x1 < x2 mamy f(x1) > f(x2),

∙ niemalej ↪aca, jesli dla dowolnych x1, x2 ∈ X, x1 < x2 mamy f(x1) ≤ f(x2),

∙ nierosn ↪aca, jesli dla dowolnych x1, x2 ∈ X, x1 < x2 mamy f(x1) ≥ f(x2),

∙ monotoniczna, jesli jest spelniony jeden z powyzszych czterech warunkow,

∙ scisle monotoniczna, jesli jest rosn ↪aca lub malej ↪aca.

3.2 Granice jednostronne

Definicja 3.21. (wg Cauchy’ego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioruX ∩ (x0,+∞), f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e prawostronn ↪a g ∈ ℝ, jesli

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [x ∈ (x0, x0 + �) =⇒ ∣f(x)− g∣ < "] .

Wowczas piszemy limx→x+0f(x) = g lub f(x+

0 ).

Definicja 3.22. (wg Cauchy’ego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru(−∞, x0) ∩X, f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e lewostronn ↪a g ∈ ℝ, jesli

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [x ∈ (x0 − �, x0) =⇒ ∣f(x)− g∣ < "] .

Wowczas piszemy limx→x−0f(x) = g lub f(x−0 ).

Definicja 3.23. (wg Heinego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru X ∩(x0,+∞), f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e (wlasciw ↪a) g ∈ ℝ, jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X ∩ (x0,+∞);[

limn→∞

xn = x0 =⇒ limn→∞

f(xn) = g].

Wowczas piszemy limx→x+0f(x) = g lub f(x0+).

30

Page 31: Analiza matematyczna I

Definicja 3.24. (wg Heinego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru X ∩(−∞, x0), f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e (wlasciw ↪a) g ∈ ℝ, jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X ∩ (−∞, x0);[

limn→∞

xn = x0 =⇒ limn→∞

f(xn) = g].

Wowczas piszemy limx→x−0f(x) = g lub f(x0−).

Twierdzenie 3.25. Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru X, f : X → ℝ.Wtedy f ma granic ↪e w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja granice limx→x+

0f(x) i

limx→x−0f(x) oraz limx→x+

0f(x) = limx→x−0

f(x).

Przyklad 3.26. Niech f(x) = sin(

1x

)dla x > 0 i f(x) = xsin

(1x

)dla x < 0.

Post ↪epuj ↪ac analogicznie jak w poprzednich przykladach mozemy pokazac, ze limx→0− f(x) =0, natomiast limx→0+ f(x) nie istnieje.

Uwaga 3.27. Twierdzenia dotycz ↪ace granic funkcji podane wyzej zachodz ↪a takze dla granicjednostronnych.

Przyklad 3.28. Korzystaj ↪ac z tw. o trzech funkcjach dla granic jednostronnych obliczycgranice limx→0+

√x sin2

(1x

).

Zauwazmy, ze w tym przypadku nie mozna stosowac twierdzenia o iloczynie granic, poniewaznie istnieje limx→0 sin2

(1x

). Dla x ≥ 0 mamy

0 ≤√x sin2

(1

x

)≤√x

Zatem

limx→0+

0 ≤ limx→0+

√x sin2

(1

x

)≤ lim

x→0+

√x.

Pniewaz limx→0+

√x = 0, to korzystaj ↪ac z Uwagi 3.27 otrzymamy, ze limx→0+

√x sin2

(1x

)= 0.

Twierdzenie 3.29. Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ X jest punktem skupienia zbioru. Jesli f : X → ℝjest funkcj ↪a monotoniczn ↪a, to isniej ↪a limx→x−0

f(x) i limx→x+0f(x). Ponadto:

∙ jesli f jest rosn ↪aca, to limx→x−0f(x) ≤ f(x0) ≤ limx→x+

0f(x).

∙ jesli f jest malej ↪aca, to limx→x−0f(x) ≥ f(x0) ≥ limx→x+

0f(x).

31

Page 32: Analiza matematyczna I

3.3 Granice niewlasciwe w punkcie wlasciwym

Definicja 3.30. Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ b ↪edzie punktem skupienia zbioru X, f : X → ℝ.

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e niewlasciw ↪a +∞ w punkcie x0 (w sensie Cauchy’ego)jesli

∀ M ∈ ℝ ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [0 < ∣x0 − x0∣ < � =⇒ f(x) > M ] .

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e niewlasciw ↪a −∞ w punkcie x0 (w sensie Cauchy’ego)jesli

∀ M ∈ ℝ ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [0 < ∣x0 − x0∣ < � =⇒ f(x) < M ] .

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e niewlasciw ↪a +∞ w punkcie x0 (w sensie Heinego)jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X ∖ {x0};[( limn→∞

xn = x0) =⇒ ( limn→∞

f(xn) = +∞)].

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e niewlasciw ↪a −∞ w punkcie x0 (w sensie Heinego)jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X ∖ {x0};[( limn→∞

xn = x0) =⇒ ( limn→∞

f(xn) = −∞)].

Wowczas piszemy odpowiednio limx→x0 f(x) = +∞ lub limx→x0 f(x) = −∞.

Przyklad 3.31. Wykazac, ze limx→01∣x∣ = +∞.

Mamy wykazac, ze

∀ M ∈ ℝ ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [0 < ∣x− x0∣ < � =⇒ f(x) > M ] .

Ustalmy M ∈ ℝ. Jak dobrac � = �(M)=? Niech � = 1∣M ∣ . Wtedy, jesli ∣x− 0∣ < � = 1

∣M ∣ =⇒∣f(x)− 0∣ = 1

∣x∣ >11∣M∣

= M.

Uwaga 3.32. Oprocz granic niewlasciwych w punkcie wlasciwym wprowadza sie tez poj ↪eciegranic jednostronnych niewlasciwych w tym punkcie.

Przyklad 3.33. Ile wynosz ↪a limx→0−1x

i limx→0+1x?

Pokazemy najpierw, ze limx→0+1x

= +∞. Skorzystamy z definicji granicy prawostronnejniewlasciwej Cauchy’ego tzn.

∀ M ∈ ℝ ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [x ∈ (x0, x0 + �) =⇒ f(x) > M ] .

32

Page 33: Analiza matematyczna I

Ustalmy M ∈ ℝ. Jak dobrac � = �(M)=? Niech � = 1∣M ∣ . Wtedy, jesli x ∈ (0, �) =⇒ x < � =

1∣M ∣ =⇒ f(x) = 1

x> 1

1∣M∣

= M ≥M.

Analogicznie post ↪epujemy aby pokzac, ze limx→0−1x

= −∞. Skorzystamy z definicjigranicy lewostronnej niewlasciwej Cauchy’ego tzn.

∀ M ∈ ℝ ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [x ∈ (x0 − �, x0) =⇒ f(x) < M ] .

Ustalmy M ∈ ℝ. Jak dobrac � = �(M)=? Niech � = 1∣M ∣ . Wtedy, jesli x ∈ (−�, 0) =⇒ x >

−� = − 1∣M ∣ =⇒ f(x) = 1

x< − 1

1∣M∣

= −∣M ∣ ≤M.

Uwaga 3.34. Twierdzenie 3.25 zachodzi takze dla granic niewl ↪asciwych tzn. granica niwlasciwalimx→x0 f(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ↪a granice jednostronne i s ↪a sobie rowne.

Wniosek 3.35. Funkcja f(x) = 1x

nie ma granicy w zerze, poniewaz limx→0−1x

= −∞ ∕=limx→0+

1x

= +∞.

3.4 Granice wlasciwe w punkcie niewlasciwym

Definicja 3.36. Niech f : ℝ→ ℝ, g ∈ ℝ.

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e g w +∞ (w sensie Cauchy’ego) jesli

∀ " > 0 ∃ M ∈ ℝ ∀ x ∈ X [x ≥M =⇒ ∣f(x)− g∣ < "] .

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e g w −∞ (w sensie Cauchy’ego) jesli

∀ " > 0 ∃ M ∈ ℝ ∀ x ∈ X [x ≤M =⇒ ∣f(x)− g∣ < "] .

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e g w +∞ (w sensie Heinego) jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ ℝ; [(xn −→ +∞) =⇒ f(xn) −→ +∞)] .

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e g w −∞ (w sensie Heinego) jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ ℝ; [(xn −→ −∞) =⇒ f(xn) −→ g)] .

Wowczas piszemy odpowiednio limx→+∞ f(x) = g lub limx→−∞ f(x) = g.

Przyklad 3.37. Wykazac, ze limx→+∞1x

= 0 i limx→−∞1x

= 0.

33

Page 34: Analiza matematyczna I

Aby udowodnic, ze limx→+∞1x

= 0, wystarczy pokazac, ze

∀ " > 0 ∃ M ∈ ℝ ∀ x ∈ X [x ≥M =⇒ ∣f(x)− g∣ < "] .

Ustalmy " > 0 Jak dobrac M = M(")? Niech M = 2". Jesli x ≥ M = 2

"=⇒ ∣f(x) − g∣ =

∣ 1x− 0∣ = 1

∣x∣ = 1x≤ "

2< ".

W przypadku drugiej granicy post ↪epujemy analogicznie. Powinnismy pokazac, ze

∀ " > 0 ∃ M ∈ ℝ ∀ x ∈ X [x ≤M =⇒ ∣f(x)− g∣ < "] .

Ustalmy " > 0. Jak dobrac M = M(")? Niech M = −2". Jesli x ≤M = −2

"=⇒ ∣f(x)− g∣ =

∣ 1x− 0∣ = 1

∣x∣ = 1−x ≤

"2< ".

Przyklad 3.38. Obliczyc limx→+∞ cos( 1x).

Pokazemy, ze . limx→+∞ cos( 1x) = 1. Ustalmy " > 0. Wtedy przyjmiemy, ze M := 2

".

zatem jesli x ≥M = 2", to

∣f(x)− 1∣ =∣∣∣∣cos

(1

x

)− 1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣2 sin2

(1

2x

)∣∣∣∣ = 2 sin2

(1

2x

)< 2 sin

(1

2x

)< 2⋅ 1

2x=

1

x≤ "

2< ".

Przyklad 3.39. Korzystaj ↪ac z definicji Heinego pokazac, ze nie istnieje limx→+∞ sin(x).

Niech xn :=(2n+ 1

2

)�, yn =

(2n+ 3

2

)�. Wtedy

limn→+∞

sin(xn) = limn→+∞

sin

((2n+

1

2)�

)= sin

2= 1

oraz

limn→+∞

sin(yn) = limn→+∞

sin

((2n+

3

2)�

)= sin

3�

2= −1.

Poniewaz limn→+∞ sin(xn) ∕= limn→+∞ sin(yn), to f nie ma granicy w +∞.

3.5 Granice niewlasciwe w punkcie niewlasciwym

Definicja 3.40. Niech f : ℝ→ ℝ.

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e +∞ w +∞ (w sensie Cauchy’ego) jesli

∀ N ∈ ℝ ∃ M ∈ ℝ ∀ x ∈ X [x ≥M =⇒ f(x) ≥ N ] .

Wowczas piszemy limx→+∞ f(x) = +∞.

34

Page 35: Analiza matematyczna I

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e −∞ w +∞ (w sensie Cauchy’ego) jesli

∀ N ∈ ℝ ∃ M ∈ ℝ ∀ x ∈ X [x ≥M =⇒ f(x) ≤ N ] .

Wowczas piszemy limx→+∞ f(x) = −∞.

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e +∞ w −∞ (w sensie Cauchy’ego) jesli

∀ N ∈ ℝ ∃ M ∈ ℝ ∀ x ∈ X [x ≤M =⇒ f(x) ≥ N ] .

Wowczas piszemy limx→−∞ f(x) = +∞.

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e −∞ w −∞ (w sensie Cauchy’ego) jesli

∀ N ∈ ℝ ∃ M ∈ ℝ ∀ x ∈ X [x ≤M =⇒ f(x) ≤ N ] .

Wowczas piszemy limx→−∞ f(x) = −∞.

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e +∞ w +∞ (w sensie Heinego) jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X; [(xn −→ +∞) =⇒ f(xn) −→ +∞)] .

Wowczas piszemy limx→+∞ f(x) = +∞.

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e −∞ w +∞ (w sensie Heinego) jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X; [(xn −→ +∞) =⇒ f(xn) −→ −∞)] .

Wowczas piszemy limx→+∞ f(x) = −∞.

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e +∞ w −∞ (w sensie Heinego) jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X; [(xn −→ −∞) =⇒ f(xn) −→ +∞)] .

Wowczas piszemy limx→−∞ f(x) = +∞.

∙ Mowimy, ze funkcja f ma granic ↪e −∞ w −∞ (w sensie Heinego) jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X; [(xn −→ −∞) =⇒ f(xn) −→ −∞)] .

Wowczas piszemy limx→−∞ f(x) = −∞.

35

Page 36: Analiza matematyczna I

3.6 C.d. arytmetyki granic funkcji

Przypomnijmi nast ↪epuj ↪ace twierdzenie.

Twierdzenie 3.41. (o trzech funkcjach) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioruX. Niech f, g, ℎ : X → ℝ b ↪ed ↪a funkcjami takimi, ze

∀ x ∈ X f(x) ≤ g(x) ≤ ℎ(x).

Zalozmy, ze limx→x0 f(x) = limx→x0 ℎ(x) = g. Wtedy istnieje limx→x0 g(x) oraz limx→x0 g(x) =g.

Uwaga 3.42. Twierdzenie 3.18(o trzech funkcjach) jest prawdziwe dla granic wlasciwych iniewlasciwych zarowno w punkcie wlasciwym jak i niewlasciwym (tzn. x0 = ±∞). Zachodziponadto dla granic jednostronnych.

Twierdzenie 3.43. (o dwoch funkcjach) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞,+∞} jest punktemskupienia zbioru X. Niech f, g : X → ℝ b ↪ed ↪a funkcjami takimi, ze

∀ x ∈ X f(x) ≤ g(x).

Jezeli limx→x0 f(x) = +∞, to limx→x0 g(x) = +∞. Jezeli limx→x0 g(x) = −∞, to limx→x0 f(x) =−∞.

Uwaga 3.44. Powyzsze twierdzenie jest prawdziwe takze dla granic jednostronnych.

Twierdzenie 3.45. (Arytmetyka granic niewlasciwych)Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞,+∞} jest punktem skupienia zbioru X, f, g : X → ℝ.

Wowczas:

1. Jesli limx→x0 f(x) = a, gdzie −∞ < a ≤ +∞ i limx→x0 g(x) = +∞, tolimx→x0(f(x) + g(x)) = +∞.

2. Jesli limx→x0 f(x) = a, gdzie −∞ ≤ a < +∞ i limx→x0 g(x) = +∞, tolimx→x0(f(x)− g(x)) = −∞.

3. Jesli limx→x0 f(x) = a, gdzie 0 < a < +∞ i limx→x0 g(x) = ±∞, tolimx→x0(f(x) ⋅ g(x)) = ±∞.

4. Jesli limx→x0 f(x) = a, gdzie −∞ ≤ a < 0 i limx→x0 g(x) = ±∞, tolimx→x0(f(x) ⋅ g(x)) = ∓∞.

36

Page 37: Analiza matematyczna I

5. Jesli limx→x0 f(x) = a ∈ ℝ i limx→x0 g(x) = ±∞ oraz g(x) ∕= 0, to

limx→x0

f(x)g(x)

= 0.

6. Jesli limx→x0 f(x) = a, gdzie 0 < a ≤ +∞ i limx→x0 g(x) = 0, g(x) > 0, to

limx→x0

f(x)g(x)

= +∞.

7. Jesli limx→x0 f(x) = a, gdzie 0 < a ≤ +∞ i limx→x0 g(x) = 0, g(x) < 0, to

limx→x0

f(x)g(x)

= −∞.

8. Jesli limx→x0 f(x) = a, gdzie −∞ < a ≤ 0 i limx→x0 g(x) = 0, g(x) > 0, to

limx→x0

f(x)g(x)

= −∞.

9. Jesli limx→x0 f(x) = a, gdzie −∞ < a ≤ 0 i limx→x0 g(x) = 0, g(x) < 0, to

limx→x0

f(x)g(x)

= +∞.

3.7 Asymptoty

Definicja 3.46. Niech f : X → ℝ, a ∈ ℝ. Prosta x = a jest asymptot ↪a pionow ↪a lewostronn ↪afunkcji f w punkcie a, jesli limx→a− f(x) = ±∞.

Definicja 3.47. Niech f : X → ℝ, a ∈ ℝ. Prosta x = a jest asymptot ↪a pionow ↪a prawostronn ↪afunkcji f w punkcie a, jesli limx→a+ f(x) = ±∞.

Przyklad 3.48. Funkcja f(x) = tg(x), x ∈ (−�2,+�

2) ma asymptot ↪e pionow ↪a prawostronn ↪a

x = −�2

i asymptot ↪e pionow ↪a lewostronn ↪a x = +�2.

Zadanie 3.49. Czy funkcja g(x) = 1x, x ∈ ℝ ∖ {0}, ma asymptot ↪e pionow ↪a?

Definicja 3.50. Niech f : X → ℝ, a ∈ ℝ. Prosta x = a jest asymptot ↪a pionow ↪a funkcji f wpunkcie a, jesli limx→a f(x) = +∞ (odp. limx→a f(x) = −∞).

Definicja 3.51. Niech f : X → ℝ, a ∈ ℝ Prosta x = a jest asymptot ↪a poziom ↪a funkcji f wpunkcie +∞ (odp. w −∞), jesli limx→+∞ f(x) = a (odp. limx→−∞ f(x) = a).

Przyklad 3.52. Funkcja f(x) = 1x, x ∈ ℝ ∖ {0}, ma asymptot ↪e poziom ↪a y = 0 dla x→ −∞

i x→ +∞. Analogicznie funkcja f(x) = 1x

sin(x).

W poprzednim podrozdziale policzylismy granice tych funkcji.

Zadanie 3.53. Czy funkcja f(x) = arctg(x), x ∈ ℝ ma asymptoty poziome?

.

37

Page 38: Analiza matematyczna I

Definicja 3.54. Niech f : X → ℝ, a ∈ ℝ. Prosta y = ax + b jest asymptot ↪a ukosn ↪a funkcjif w punkcie +∞ (odp. w −∞), jesli limx→+∞[f(x) − (ax + b)] = 0 (odp. limx→−∞[f(x) −(ax+ b)] = 0).

Twierdzenie 3.55. Prosta y = ax + b jest asymptot ↪a ukosn ↪a funkcji f w ±∞ wtedy i tylkowtedy, gdy jesli limx→±∞

f(x)x

= a i limx→±∞(f(x)− ax) = b.

38

Page 39: Analiza matematyczna I

4 Ci ↪aglosc funkcji

4.1 Definicje ci ↪aglosci funkcji w punkcie

Definicja 4.1. (wg Cauchy’ego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ X jest punktem skupienia zbioru X,f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f jest ci ↪agla w punkcie x0, jesli

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [∣x− x0∣ < � =⇒ ∣f(x)− f(x0)∣ < "] .

Wowczas piszemy f ∈ C({x0}).

Definicja 4.2. (wg Heinego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ X jest punktem skupienia zbioru X,f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f jest ci ↪agla w punkcie x0, jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X;[

limn→∞

xn = x0 =⇒ limn→∞

f(xn) = f(x0)].

Wowczas piszemy f ∈ C({x0}).

Twierdzenie 4.3. Definicja Cauchy’ego ci ↪aglosci funkcji w punkcie jest rownowazna definicjiHeinego ci ↪aglosci funkcji w punkcie.

Definicja 4.4. Niech X ⊂ ℝ, f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f jest ci ↪agla na zbiorze X,jesli jest ci ↪agla w kazdym punkcie zbioru X. Ozn. f ∈ C(X).

Twierdzenie 4.5. (O dzialaniach na funkcjach ci ↪aglych)Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ X jest punktem skupienia zbioru X, f, g : X → ℝ. Zalozmy, ze f i g

s ↪a funkcjami ci ↪aglymi w x0. Wowczas:

1. ∣f(x)∣ jest ci ↪agla w x0,

2. �f(x) jest ci ↪agla w x0, dla dowolnego � ∈ ℝ,

3. (f ± g) jest ci ↪agla w x0,

4. f ⋅ g jest ci ↪agla w x0,

5. fg

jest ci ↪agla w x0, o ile g(x0) ∕= 0.

Zadanie 4.6. Czy implikacja odwrotna do implikacj wymienionej w punkcie (1) jest prawdziwa?

Twierdzenie 4.7. (O ci ↪aglosci superpozycji)Niech X1, X2 ⊂ ℝ, f : X1 → X2, g : X2 → ℝ. Jesli f jest ci ↪agla w punkcie x0 ∈ X1 i g

jest ci ↪agla w y0 = f(x0) ∈ X2, to g ∘ f jest ci ↪agla w x0.

39

Page 40: Analiza matematyczna I

Dowod. Z definicji ci ↪aglosci funkcji g w punkcie y0 wynika, ze

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ y ∈ X2 [∣y − y0∣ < � =⇒ ∣g(x)− g(x0)∣ < "] . (4.1)

Z definicji ci ↪aglosci funkcji f w punkcie x0 wynika, ze

∀ � > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ X1 [∣x− x0∣ < � =⇒ ∣f(x)− f(x0)∣ < �] . (4.2)

St ↪ad z (4.1) i (4.2) wynika

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ X1 ∣x− x0∣ < � =⇒ ∣f(x)− f(x0)∣ = ∣y − y0∣ < �

=⇒ ∣(g ∘ f)(x)− (g ∘ f)(x0)∣ < "

co oznacza, ze g ∘ f jest ci ↪agla w x0.

4.2 Ci ↪aglosc funkcji elementarnych cz. I

Lemat 4.8. Niech f : X → ℝ, f(x) = const, to f ∈ C(X).

Lemat 4.9. Niech f : ℝ→ ℝ, f(x) = x, to f ∈ C(ℝ).

Dowod. Pokazemy, ze dla dowolnego x0 ∈ ℝ, f ∈ C({x0}). Ustalmy x0 ∈ ℝ. Wtedy ∀" > 0∃� > 0 (przyj ↪ac � = ") takie, ze

∀ x ∈ ℝ [∣x− x0∣ < � =⇒ ∣f(x)− f(x0)∣ = ∣x− x0∣ < � = "] .

Poniewaz x0 ∈ ℝ jest dowolnym punktem, zatem f ∈ C(ℝ).

Z powyzszego twierdzenia i twierdzenia 4.5 wynika, ze

Twierdzenie 4.10. Kazdy wielomian jest funkcj ↪a ci ↪agl ↪a na ℝ.

Dowod. Niech � ∈ ℝ. Wtedy f(x) = �x ∈ C(ℝ) (z drugiego podpunktu tw. 4.5). Ponadtodla kazdego n ∈ ℕ, funkcja f(x) = xn jest ci ↪agla na ℝ (z czwartego podpunktu tw. 4.5). St ↪adna mocy trzeciego podpunktu f(x) = anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 jest funkcj ↪a ci ↪agl ↪a na

ℝ.

Twierdzenie 4.11. Funkcje trygonometryczne s ↪a funkcjami ci ↪aglymi w swojej dziedzinie.

40

Page 41: Analiza matematyczna I

Dowod. Pokazemy, ze sinx ∈ C(ℝ). Dowod dla cos x jest analogiczny. Niech x0 ∈ ℝ. Mamypokazac, ze

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ ℝ [∣x− x0∣ < � =⇒ ∣ sinx− sinx0∣ < "] .

Wiemy, ze

∣ sinx− sinx0∣ =∣∣∣∣2 sin

(x− x0

2

)cos

(x+ x0

2

)∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣2 sin

(x− x0

2

)∣∣∣∣ ≤ 2

∣∣∣∣x− x0

2

∣∣∣∣ .Wystarczy przyj ↪ac � := ". Wtedy ∣ sinx− sinx0∣ ≤ ∣x− x0∣ < � = ".

Funkcje tgx i ctgx s ↪a ci ↪agle w swojej dziedzinie. Wynika to z ci ↪aglosci funkcji sinx, cosxoraz z twierdzenia 4.5.

Zadanie 4.12. Podac przyklad funkcji, ktora nie jest ci ↪agla w zadnym punkcie swojej dziedziny.

Odp. Funkcja Dirichleta

�(x) :=

{1 dla x ∈ ℚ0 dla x ∈ ℝ ∖ℚ.

4.3 Ci ↪aglosc jednostronna

Definicja 4.13. (wg Cauchy’ego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ X jest punktem skupienia zbioruX ∩ (x0,+∞), f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f jest prawostronnie ci ↪agla w x0, jesli

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [x ∈ [x0, x0 + �) =⇒ ∣f(x)− f(x0)∣ < "] .

Definicja 4.14. (wg Cauchy’ego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru(−∞, x0) ∩X, f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f jest lewostronnie ci ↪agla w x0, jesli

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ X [x ∈ (x0 − �, x0] =⇒ ∣f(x)− f(x0)∣ < "] .

Definicja 4.15. (wg Heinego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru X ∩(x0,+∞), f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f jest prawostronnie ci ↪agla x0, jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X ∩ [x0,+∞);[

limn→∞

xn = x0 =⇒ limn→∞

f(xn) = g]

.

Definicja 4.16. (wg Heinego) Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru X ∩(−∞, x0), f : X → ℝ. Mowimy, ze funkcja f jest lewostronnie ci ↪agla w x0, jesli

∀ {xn}n∈ℕ ⊂ X ∩ (−∞, x0];[

limn→∞

xn = x0 =⇒ limn→∞

f(xn) = g].

41

Page 42: Analiza matematyczna I

Twierdzenie 4.17. Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru X, f : X → ℝ.Wtedy f jest ci ↪agla w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy f jest w tym punkcie lewostronniei prawostronnie ci ↪agla.

Zadanie 4.18. Czy nast ↪epuj ↪ace funkcje s ↪a jednostronnie ci ↪agle?

f(x) =

{x− 3 x > 0,−x x ≤ 0.

g(x) =

{arctang( 1

x) x ∈ ℝ ∖ {0}

�2

x = 0.Znalezc asymptoty wykresu funkcji f(x) i g(x).

4.4 Wlasnosci funkcji ci ↪aglych cz. I

Wykazemy teraz uzyteczny lemat mowi ↪acy, ze jesli funkcja ci ↪agla jest dodatnia (ujemna) wpewnym punkcie, to jest takze dodatnia (ujemna) w pewnym otoczeniu tego punktu.

Lemat 4.19. (o zachowaniu znaku w otoczeniu)Jesli X ⊆ ℝ, x0 ∈ X oraz funkcja f : X −→ ℝ jest ci ↪agla w punkcie x0, to:

1. jesli f(x0) > 0, to istnieje � > 0 taka, ze dla kazdego x ∈ (x0 − �, x0 + �) zachodzi, zef(x) > 0.

2. jesli f(x0) < 0, to istnieje � > 0 taka, ze dla kazdego x ∈ (x0 − �, x0 + �) zachodzi, zef(x) < 0.

Dowod. Zalozmy, ze gdy f(x0) > 0. Dowod w drugim przypadku jest analogiczny. Z ci ↪agloscifunkcji w punkcie x0 wynika, ze

∀ " > 0 ∃ � > 0 ∀ x ∈ ℝ, [∣x− x∣ < � =⇒ ∣f(x)− f(x0)∣ < "] .

Wezmy " > 0 takie, ze 0 < " < f(x0). Wtedy istnieje � > 0 taka, ze dla ∣x− x0∣ < � zachodzi−" < f(x)− f(x0) < ". Zatem −"+ f(x0) < f(x) < "+ f(x0). Lewa nierownosc dowodzi, zef(x) > 0 dla x ∈ (x0,−�, x0 + �).

Definicja 4.20. Mowimy, ze A ⊂ ℝ jest zbiorem zwartym, jesli z kazdego ci ↪agu {xn} ⊆ Amozna wybrac podci ↪ag {xnk

} zbiezny do granicy g ∈ A.

Przyklad 4.21. Zbior A = (0, 1) ⊂ ℝ nie jest zwarty.

Uwaga 4.22. Kazdy odcinek I = [a, b] ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞) jest zwarty.

42

Page 43: Analiza matematyczna I

Twierdzenie 4.23. Niech X ⊂ ℝ. Zbior X jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jestdomkni ↪ety i ograniczony.

Twierdzenie 4.24. (Tw. Weierstrassa I)Niech I = [a, b] ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞). Jesli f ∈ C(I), to f jest ograniczona tzn.

istnieje 0 ≤M < +∞ takie, ze dla kazdego x ∈ [a, b] zachodzi ∣f(x)∣ ≤M .

Dowod. Przypusmy, ze f nie jest ograniczona (jest to dowod nie wprost), czyli

∀ M ∈ ℝ ∃ xM ∈ [a, b] : ∣f(xM)∣ > M. (4.3)

Niech M = n ∈ ℕ. Wtedy istnieje xn ∈ [a, b]. Tak otrzymamy ciag {xn}n∈ℕ ⊂ [a, b]. Ztwierdzenia Bolzano-Weierstrasa mozna wybrac z ci ↪agu {xn}n∈ℕ podci ↪ag zbiezny xnk

→ x0 ∈[a, b]. Z ci ↪aglosci funkcji f w punkcie x0 wynika, ze limnk→∞ f(xnk

) = f(x0) co przeczy (4.3),poniewaz nk → ∞, to f(xnk

) > nk dla n wiekszych od pewnego n0. Otrzymana sprzecznosckonczy dowod.

Prawdziwa jest twierdzenie ogolniejsze..

Twierdzenie 4.25. Jesli A ⊂ ℝ jet zwarty i f ∈ C(A) to f jest ograniczona tzn. istnieje0 ≤M < +∞ takie, ze dla kazdego x ∈ A zachodzi ∣f(x)∣ ≤M .

Twierdzenie 4.26. (Tw. Weierstrassa II)Niech I = [a, b] ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞). Jesli f ∈ C(I), to funkcja f osi ↪aga swoje kresy, to

znaczy, ze istniej ↪a punkty ∃xm, xM ∈ I takie, ze f(xm) = infx∈I f(x) i f(xM) = supx∈I f(x).

Dowod. Z poprzedniego twierdzenia Weierstrassa wiemy, ze zbior wartosci f([a, b]) jestograniczony. Zatem istnieje M ∈ ℝ taki, ze

supx∈[a,b]

f(x) = M.

To oznacza, ze dla kazdego x ∈ [a, b] zachodzi f(x) ≤ M . Przypuscmy, ze nie istnieje takipunkt x0 ∈ [a, b], dla ktorego f(x0) = supx∈[a,b] f(x). St ↪ad

∀x ∈ [a, b] f(x) < M.

Rozwazmy funkcj ↪e pomocnicz ↪a g : [a, b]→ ℝ, g(x) = 1M−f(x)

. Jest to funkcja ci ↪agla jako iloraz

funkcji ci ↪aglych, ponadto jest dobrze zdefiniowana, bo f(x) ∕= M . Z Twierdzenia WeierstrassaI wynika, ze g jest ograniczona tzn.

∃ M1 > 0 ∀ x ∈ [a, b] g(x) ≤M1 =⇒ ∀ x ∈ [a, b] f(x) ≤M − 1

M1

< M.

43

Page 44: Analiza matematyczna I

Zatem liczba k = M − 1M1

< M ogranicza zbior wartosci funkcji f , co przeczy faktowi, zeM byla kresem gornym. Otrzymana sprzecznosc dowodzi, ze istnieje xM ∈ [a, b] taki, zef(xM) = M . Dowod dla kresu dolnego jest analogiczny.

Definicja 4.27. Zbior X ⊂ ℝ nazywamy spojnym, jesli dla dowolnych a, b ∈ X takich, zea < b jesli a < c < b, to c ∈ X.

Uwaga 4.28. Dowolny odcinek, polprosta i prosta s ↪a zbiorami spojnymi.

Twierdzenie 4.29. Obraz ci ↪agly zbioru spojnego jest spojny.

Dowod. Niech X ⊂ ℝ b ↪edzie zbiorem spojnym oraz f : X → ℝ funkcj ↪a ci ↪agla. Pokazemy,ze f(X) jest zbiorem spojnym. Niech a, b ∈ f(X) oraz a < b. Wowczas istniej ↪a x ∕= y ∈ Xtakie, ze f(x) = a i f(y) = b. Dla ustalenia uwagi zalozmy, ze x < y. Niech

z0 = sup{z ∈ [x, y] : f(z) ≤ c}.

Wowczas istnieje ci ↪ag elementow {zn}n∈ℕ z [x, y] takich, ze f(zn) ≤ c oraz zn → z0. Zci ↪aglosci funkcji f mamy f(z0) = limn→∞ f(zn) ≤ c. Ponadto, dla dowolnej z0 < z′ ≤ ymamy f(z′) > c. Zatem f(z0 + 1

n) > c dla dostatecznie duzych n. Z ci ↪aglosci funkcji f

otrzymujemy f(z0) = limn→∞ f(z0 + 1n) ≥ c. St ↪ad f(z0) = c.

Bezposrednio z tego twierdzenia wynika nastepuj ↪ace twierdzenie

Twierdzenie 4.30. (Tw. Darboux- o przyjmowaniu wartosci posrednich)Niech I = [a, b] ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞), f ∈ C(I). Wtedy dla kazdego y ∈ (f(a), f(b))

(odp. y ∈ (f(b), f(a))) istnieje c ∈ (a, b) taki, ze f(c) = y.

Twierdzenie 4.31. (O ci ↪aglosci funkcji odwotnej)Niech I = [a, b] ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞), f ∈ C(I) i f jest roznowartosciowa na I.

Wtedy funkcja odwrotna x = g(y) jest ci ↪agla na przedziale [m,M ], gdzie m = infx∈I f(x),M = supx∈I f(x).

Dowod. Poniewaz f jest roznowartosciowa, to istnieje funkcja odwrotna f−1, ktora oznaczymysymbolem g. Niech c ∈ (m,M). Z twierdzenia 4.30 wynika, ze g jest zdefiniowana w punkciec, bo c jest wartosci ↪a funkcji f . Niech yn ∈ [m,M ] b ↪edzie ci ↪agiem takim, ze yn → c. Nalezydowiesc, ze g jest ci ↪agla w c czyli limn→∞ g(yn) = g(c). Niech xn := g(yn) ∈ [a, b] i d := g(c). Ztwierdzenia Bolzano-Weierstrassa z ci ↪agu {xn}n∈ℕ (jest ograniczony, bo jego elementy nalez ↪ado [a, b]) mozna wybrac podci ↪ag zbiezny xnk

. Niech d′ := limnk→∞ xnk. Wtedy d′ ∈ [a, b]

(korzystamy z faktu, odcinek [a, b] jest zwarty). Z ci ↪aglosci f wynika, ze f(xnk) → f(d′). Z

drugiej stronylimnk→∞

f(xnk) = lim

n→∞yn = c = f(d).

44

Page 45: Analiza matematyczna I

Zatem f(d′) = f(d). Poniewaz f jest roznowartosciowa, to d = d′, czyli ci ↪ag xnk→ d. Z

dowolnosci ci ↪agu {yn}n∈ℕ, yn → c wynika, ze jesli yn → c, to g(yn) = xn → d, czyli g jestci ↪agla w c. Z dowolnosci c ∈ [m,M ] otrzymamy, ze g = f−1 ∈ C([m,M ]).

4.5 Ci ↪aglosc funkcji elementarnych cz. II

4.5.1 Funkcja wykladnicza ex

Definicja 4.32. Funkcj ↪e wykladnicz ↪a o podstawie e definiujemy nast ↪epuj ↪aco:

∀ x ∈ (−∞, 0] exp(x) := limn→∞

(1 +

x

n

)n.

Twierdzenie 4.33. Dla kazdego x ∈ (−∞, 0] istnieje granica limn→∞(1 + x

n

)ni jest liczb ↪a

dodatni ↪a. Zatem dla kazdego x ∈ (−∞, 0] funkcja exp(x) jest zdefiniowana i przyjmujewartosci dodatnie.

Aby udowodnic powyzsze twierdzenie skorzystamy z nast ↪epuj ↪acych lematow.

Lemat 4.34. Jesli nan → 0, to (1 + an)n → 1.

Dowod. Korzystamy z nierownosci Bernoulliego

(1 + x)n ≥ 1 + nx dla x > −1 i n ∈ ℕ. (4.4)

Jesli nan → 0 to an → 0 (poniewaz ∣nan∣ ≤M =⇒ ∣an∣ ≤ Mn→ 0) oraz nan

1+an→ 0. St ↪ad

(1 + nan) ≤ (1 + an)n =1(

1− an1+an

)n ≤ 1

1− nan1+an

→ 1+.

Korzystaj ↪ac z twierdzenia o trzech ci ↪agach otrzymamy, ze

1 ≤ limn→∞

(1 + an)n ≤ 1.

Lemat 4.35. Ci ↪ag o wyrazach(1 + x

n

)njest niemalej ↪acy dla n > −x.

Dowod. Jezeli n > −x, to wyrazy ci ↪agu 1 + xn

s ↪a dodatnie. Zatem wystarczy udowodnic, zeiloraz s ↪asiednich wyrazow jest wi ↪ekszy od 1.(

1 + xn+1

)n+1(1 + x

n

)n =(

1 +x

n

)[1 +

xn+1− x

n

1 + xn

]n+1

=

(x+ n

n

)[1 +

−x(n+ 1)(n+ x)

]n+1

45

Page 46: Analiza matematyczna I

≥ n+ x

n

[1− x

n+ 1

]=n+ x

n⋅ n

n+ x= 1.

Lemat 4.36. Jesli x ≤ 0 to 0 < limn→∞(1 + x

n

)n ≤ 1.

Dowod. Dla x < 0 i n > −x wszystkie wyrazy ci ↪agu lez ↪a w odcinku (0, 1]. Z lematu 4.35 ci ↪ag(1 + x

n)n jest niemalej ↪acy i ograniczony z gory np. przez 1. Zatem jest zbiezny. Poniewaz ci ↪ag

jest niemalej ↪acy, to z dolu jest ograniczony przez najmniejszy wyraz czyli 1 + xn> 1− 1 = 0

(korzystamy z zalozenia, ze n > −x).

Uwaga 4.37. Z twierdzenia 4.33 wynika, ze exp(0) = 1, poniewaz limn→∞(1 + 0n)n = 1.

Twierdzenie 4.38. Dla kazdego x ∈ ℝ istnieje dodatnia granica limn→∞(1 + xn)n. St ↪ad dla

kazdego x ∈ ℝ mamy exp(x) > 0 oraz exp(x) ⋅ exp(−x) = 1.

Dowod. Wystarczy dowiesc istnienia granicy dla x > 0. Mamy(1 +

x

n

)n (1− x

n

)n=

(1− x2

n2

)n.

Wykazemy, ze

limn→∞

(1− x2

n2

)n= 1.

W tym celu wystarczy w lemacie 4.34 podstawic an = −xn2 . Z lematu 4.36 z kolei wynika, ze

istnieje

limn→∞

(1− x2

n2

)n,

jest ona wielkosci ↪a dodatni ↪a i wynosi exp(−x). St ↪ad

exp(x) = limn→∞

(1 +

x

n

)n=

limn→∞

(1− x2

n2

)nlimn→∞

(1− x

n

)n =1

exp(−x)> 0.

Zatem dla kazdego x ∈ ℝ+, exp(x) istnieje, jest dodatnie i exp(x) ⋅ exp(−x) = 1.

Twierdzenie 4.39. Dla kazdego x ∈ ℝ mamy exp(x) ≥ 1 + x. Rownosc zachodzi tylko dlax = 0.

46

Page 47: Analiza matematyczna I

Dowod. Z nierownosci Bernoulliego wynika, ze dla n > −x(1 +

x

n

)n≥ 1 + n

x

n= 1 + x.

St ↪ad limn→∞(1 + x

n

)n ≥ 1 + x. Pozostal ↪a cz ↪esc dowodu opuszczamy.

Lemat 4.40. Funkcja exp(x) jest niemalej ↪aca tzn.

∀ x, y ∈ ℝ x ≤ y =⇒ exp(x) ≤ exp(y).

Dowod. Dla n > −x ≥ −y mamy(1 + x

n

)n ≤ (1 + y

n

)n. St ↪ad po przejsciu do granicy

otrzymmy, ze exp(x) ≤ exp(y).

Lemat 4.41. ∀ x, y ∈ ℝ mamy exp(x+ y) = exp(x) ⋅ exp(y).

Dowod.

exp(x) ⋅ exp(y)

exp(x+ y)= lim

n→∞

[(1 + x

n

)n ⋅ (1 + yn

)n(1 + x+y

n

)n]

= limn→∞

[1 +

x+yn2

1 + x+yn

]n.

Jezeli w lemacie 4.34 przyjmiemy an :=x+y

n2

1+x+yn

, to otrzymamy, ze nan =x+yn

1+x+yn

→ 0. Sk ↪ad

wynika, ze limn→∞

[1 +

x+y

n2

1+x+yn

]n= 1.

Wniosek 4.42. Funkcja exp(x) jest rosn ↪aca tzn.

∀ x, y ∈ ℝ ∧ x < y =⇒ exp(x) < exp(y).

Dowod.

exp(x) = exp(x− y + y) = exp(x− y) ⋅ exp(y) ≥ (1 + (x+ y)) exp(y) > exp(y).

Bezposrednio z tego lematu wynika

Wniosek 4.43. Dla dowolnych x1, x2 . . . xn ∈ ℝ mamy exp(x1 + . . . xn) = exp(x1) ⋅ . . . ⋅exp(xn). W szczegolnosci exp(nx) = (exp(x))n dla kazedego n ∈ ℕ.

Twierdzenie 4.44. limx→−∞ exp(x) = 0, limx→+∞ exp(x) = +∞.

47

Page 48: Analiza matematyczna I

Dowod. Z wniosku 4.42 wynika, ze exp(x) jest funkcj ↪a rosn ↪ac ↪a. Ponadto z twierdzenia 4.39dla kazdego x ∈ ℝ zachodzi exp(x) ≥ 1+x. Zatem limx→+∞ exp(x) = +∞. Z twierdzenia 4.39dla kazdego x ∈ ℝ zachodzi exp(x) ⋅ exp(−x) = 1. Tak wi ↪ec exp(−x) = 1

exp(x). St ↪ad i z faktu,

ze limx→+∞ exp(x) = +∞ wynika, ze limx→−∞ exp(x) = 0.

Lemat 4.45. Jesli x ∈ ℚ, to exp(x) = ex.

Dowod. Z lematu 4.41 wiemy, ze exp(n) = exp(1+ ⋅ ⋅ ⋅+1) = (exp(1))n dla n = 1, 2 . . .. Zatemexp(−n) = 1

exp(n)= 1

en= e−n dla n = 1, 2 . . .. Niech p ∈ ℤ, q ∈ ℕ. Wtedy eq = exp(q) =

exp(q ⋅ p

q

)=[exp

(pq

)]q. Zatem exp

(pq

)= e

pq .

Uwaga 4.46. Jesli x ∈ ℝ ∖ℚ, to exp(x) = ex.

Dowod pomijamy. Z tej uwagi i lematu 4.45 wynika nast ↪epuj ↪ace twierdzenie.

Twierdzenie 4.47. Dla kazdego x ∈ ℝ zachodzi, ze exp(x) = ex.

Twierdzenie 4.48. Funkcje ex jest ci ↪agla w swojej dziedzinie.

Dowod. Mamy udowodnic, ze

∀ x0 ∈ ℝ ∀ " > 0 ∃ � = �(x0, ") > 0 ∀ x ∈ ℝ [∣x− x0∣ < � =⇒ ∣ex − ex0∣ < "].

Zauwazmy, ze ex − ex0 = ex0(−1 + ex−x0). Korzystaj ↪ac z tej zaleznosci i z faktu, ze jeslix→ x0 =⇒ (x− x0)→ 0, wystarczy dowiesc, ze

limx→0

ex = 1. (4.5)

Z twierdzenia 4.39 wiemy, ze exp(x) ≥ 1 + x. St ↪ad

exp(x) =1

exp(−x)≤ 1

1 + (−x)=

1

1− x

Zatem

1 + x ≤ exp(x) ≤ 1

1− x.

Korzystaj ↪ac z twierdzenia o trzech funkcjach otrzymamy, ze

limx→0

exp(x) = 1.

48

Page 49: Analiza matematyczna I

St ↪ad

∀ " > 0 ∃ �1 > 0 ∀ x ∈ ℝ [∣x− 0∣ < �1 =⇒ ∣ex − 1∣ < "

ex0]

oraz

∀ " > 0 ∃ �1 > 0 ∀ x ∈ ℝ[∣x− x0∣ < �1 =⇒ ∣ex0(ex−x0 − 1)∣ < ex0

"

ex0= ".

]Czyli ex jest ci ↪agla w punkcie x0. Z dowolnosci punktu x0 ∈ ℝ wynika, ze ex ∈ C(ℝ).

4.5.2 Funkcji logarytmiczna ln(x)

Definicja 4.49. Niech f(x) = ex : ℝ −→ ℝ+. Poniewaz f jest roznowartosciowa (co wynikaz faktu, ze jest rosn ↪ac ↪a), to istnieje funkcja odwrotna f−1 do f , f−1 : ℝ+ −→ ℝ, ktor ↪anazywamy logarytmem naturalnym i ozn. lnx. Zatem dla x ∈ ℝ+ liczba y jest wartosci ↪afunkcji lnx (tzn. y = lnx) jesli ey = x. Ponadto:

∙ elnx = x dla x ∈ ℝ+,

∙ ln(ex) = x dla x ∈ ℝ.

Twierdzenie 4.50. (Wlasnosci funkcji logarytmicznej lnx)

1. dla kazdego x ∈ ℝ+ funkcja lnx jest dobrze okreslona,

2. funkcja lnx jest rosn ↪aca (roznowartosciowa),

3. limx→0+ lnx = −∞, limx→+∞ lnx = +∞ oraz ln 1 = 0,

4. lnx jest funkcj ↪a ci ↪agl ↪a jako funkcja odwrotna do funkcji ci ↪aglej,

5. ∀x, y ∈ ℝ+ ln(x ⋅ y) = lnx+ ln y oraz ∀x, y ∈ ℝ+ ln(xy

)= lnx− ln y. St ↪ad wynika,

ze dla ∀n ∈ ℕ mamy ln(xn) = n lnx oraz ln(x−1) = ln(

1x

)= − lnx,

6. dla kazdego p ∈ ℝ zachodzi ln(xp) = p lnx dla x ∈ ℝ+.

4.5.3 Funkcja wykladnicza ax

Definicja 4.51. Niech a ∈ ℝ+ ∖ {1}. Funkcj ↪e wykladnicz ↪a o podstawie a nazywamy funkcj ↪e,ktora punktowi x ∈ ℝ przypisuje liczb ↪e e

x ln a i oznaczamy j ↪a symbolem ax tzn.

ax : ℝ −→ ℝ+, a ∈ ℝ+ ∖ {1}

x −→ ax := ex ln a.

49

Page 50: Analiza matematyczna I

Twierdzenie 4.52. (Wlasnosci funkcji wykladniczej ax)

1. Dla kazdego x ∈ ℝ funkcja ax jest dobrze okreslona. Ponadto jest funkcj ↪a ci ↪agl ↪a jakosuperpozycja funkcji ci ↪aglych.

2. dla 0 < a < 1 funkcja ax jest malej ↪aca (ronowartoscowa), limx→−∞ ax = +∞,

limx→+∞ ax = 0.

3. dla 1 < a < +∞ funkcja ax jest rosn ↪aca (ronowartoscowa), limx→−∞ ax = 0,

limx→+∞ ax = +∞.

4. Dla x = 0 mamy a0 = 1 oraz

∀x, y ∈ ℝ ax+y = ax ⋅ ay

∀x ∈ ℝ a−x =1

ax

∀x, y ∈ ℝ ax−y =ax

ay

5. wykresy funkcji ax i a−x s ↪a symetryczne wzgl ↪edem osi OY .

4.5.4 Funkcja logarytmiczna logax

Definicja 4.53. Niech f(x) = ax : ℝ −→ ℝ+ dla ustalonego a ∈ ℝ+ ∖ {1}. Poniewaz f jestroznowartosciowa (co wynika z faktu, ze jest rosn ↪ac ↪a), to istnieje funkcja odwrotna f−1 do f ,f−1 : ℝ+ −→ ℝ, ktora nazywamy logarytmem o podstawie a i ozn. logax. Zatem dla x ∈ ℝ+

liczba y jest wartosci ↪a funkcji logax (tzn. y = logax) jesli ay = x. Ponadto:

∙ alogax = x dla x ∈ ℝ+,

∙ loga(ax) = x dla x ∈ ℝ.

Twierdzenie 4.54. (Wlasnosci funkcji logarytmicznej logax)

1. dla kazdego x ∈ ℝ+ funkcja logax jest dobrze okreslona,

2. dla 0 < a < 1 funkcja logax jest malej ↪aca (ronowartoscowa), limx→0− logax = +∞,limx→+∞ loga = −∞.

3. dla 1 < a < +∞ funkcja logax jest rosn ↪aca (ronowartoscowa), limx→0+ logax = −∞,limx→+∞ logax = +∞ oraz loga1 = 0,

50

Page 51: Analiza matematyczna I

4. logax jest funkcj ↪a ci ↪agl ↪a jako funkcja odwrotna do funkcji ci ↪aglej,

5. ∀x, y ∈ ℝ+ loga(x ⋅ y) = logax+ logay oraz ∀x, y ∈ ℝ+ loga

(xy

)= logax− logay.

6. dla kazdego p ∈ ℝ zachodzi loga(xp) = plogax dla x ∈ ℝ+.

4.5.5 Wlasnosci funkcji hiperbolicznych

Definicja 4.55. Sinus hiperboliczny i cosinus hiperboliczny definiujemy nast ↪epuj ↪aco:

sinhx :=ex − e−x

2∧ coshx :=

ex = e−x

2, x ∈ ℝ.

Natomiast tanhx := sinℎxcoshx

, x ∈ ℝ i cothx := coshxsinhx

, x ∈ ℝ ∖ {0}.

Twierdzenie 4.56. Funkcje hiperboliczne s ↪a ci ↪agle w swojej dziedzinie.

Dowod. Twierdzenie to wynika bezposrednio z twierdzenia o ci ↪aglosci funkcji ex (patrztwierdzenie 4.48), oraz z twierdzenia 4.5 i twierdzenia 4.7

4.6 Wlasnosci funkcji ci ↪aglych cz. II

Twierdzenie 4.57. I = [a, b] ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞). Jesli f ∈ C([a, b]) i f jestroznowartosciowa, to f scisle monotoniczna tzn. f jest malej ↪aca lub rosn ↪aca.

Dowod. Z zalozenia f(a) ∕= f(b). Niech f(a) < f(b). Mamy dowiesc, ze jesli x, x ∈ [a, b] ix < x′, to f(x) < f(x′). Niech x ∈ (a, b). Pokzemy, ze

f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) (4.6)

Gdyby tak nie bylo, to albof(x) < f(a) (4.7)

albof(x) > f(b). (4.8)

W przypadku (4.7) zachodzi f(x) < f(a) < f(b). Wtedy z wlasnosci Darboux w przedziale(x, b) istnialby punkt x0 taki, ze f(x0) = f(a), co przeczy roznowartosciowosci f . Jeslizachodzi (4.8), to f(x) > f(b) > f(a). Z wlasnosci Darboux w przedziale (a, x) istnialbypunkt x1 taki, ze f(x1) = f(b), co przeczy roznowartosciowosci f . Zatem wykazalismy (4.6).Niech x′ ∈ (a, b) takie, ze x < x′. Wtedy analogicznie jak poporzednio mozemy wykazac,ze zachodzi odpowiednik (4.6) tzn. f(x) ≤ f(x′) ≤ f(b). Ale f jest ronowartosciowa, tof(x) < f(x′).

51

Page 52: Analiza matematyczna I

Uwaga 4.58. Niech I ⊂ ℝ b ↪edzie przedzialem, f : I → ℝ b ↪edzie funkcj ↪a ci ↪agl ↪a tzn., ze dlakazdego x ∈ I mamy f ∈ C({x0}). Zatemf ∈ C(I)⇐⇒ ∀ x ∈ I ∀ " > 0 ∃� = �(x, ") > 0 ∀ y ∈ I [∣y − x∣ < � =⇒ ∣f(x)− f(y)∣ < "].

Definicja 4.59. Niech I ⊂ ℝ b ↪edzie przedzialem, f : I → ℝ. Mowimy, ze f jest funkcj ↪ajednostajnie ci ↪agla na I jesli

∀ " > 0 ∃ � = �(") > 0 ∀ x, y ∈ I [∣y − x∣ < � =⇒ ∣f(x)− f(y)∣ < "].

Twierdzenie 4.60. (warunek konieczny jednostajnej ci ↪aglosci)Niech I ⊂ ℝ b ↪edzie przedzialem. Jesli f : I → ℝ jest jednostajnie ci ↪agla, to jest ci ↪agla na I.

Uwaga 4.61. Nie zachodzi twierdzenie odwrotne.

Zadanie 4.62. Wykazac, ze f(x) = x2, x ∈ ℝ jest ci ↪agla ale nie jest jednostajnie ci ↪agla.

Odp. Przypusmy, ze f jest jednostajnie ci ↪agla. Zatem istnieje � > 0 taka, ze dla dowolnychliczb rzeczywistych x, y, jesli ∣x− y∣ < �, to ∣x2 − y2∣ < 1. Wezmy liczby 1

�, 1�

+ �2. Odleglosc

pomi ↪edzy nimi jest mniejsza od �, a jednak∣∣∣∣∣(

1

�+�

2

)2

−(

1

)2∣∣∣∣∣ =

(1

�+�

2

)�

2>

2

�⋅ �

2= 1.

Twierdzenie 4.63. (Twierdzenie Cantora)Niech I = [a, b] ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞). Jesli f ∈ C(I), to f jest jednostajnie ci ↪agla na I.

Dowod. Przypusmy, ze f nie jest jednostajnie ci ↪agla. Wowczas istnieje " > 0 taki, ze dladowolnego � > 0 istniej ↪a x = x(�), x′ = x′(�) ∈ [a, b] takie, ze ∣x−x′∣ < � oraz ∣f(x)−f(x′)∣ ≥". Podstawiaj ↪ac kolejno � = 1

notrzymamy dwa ci ↪agi {xn}n∈ℕ, {x′n}n∈ℕ elementow [a, b] takie,

ze ∣x − x′∣ < 1n

oraz ∣f(x) − f(x′)∣ ≥ " dla wszystkich n ∈ ℕ. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa istnieje podci ↪ag xnk

→ x0 ∈ [a, b]. Wowczas x′nk= xnk

+(x′nk−xnk

)→ x0+0 = x0

oraz z ci ↪aglosci f mamy f(xnk) → f(x0) oraz f(x′nk

) → f(x0), a wi ↪ec f(xnk) − f(x′nk

) → 0,co stoi w sprzecznosci z tym , ze ∣f(xn)− f(x′n)∣ ≥ " dla wszystkich n ∈ ℕ.

Twierdzenie 4.64. (Kryterium jednostajnej ci ↪aglosci na przedziale otwartym)Niech I = (a, b) ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞). Wowczas f jest na tym przedziale jednosta-

jnie ci ↪agla wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ↪a skonczone granice jednostronne: limx→a+ f(x) ilimx→b− f(x).

Uwaga 4.65. Jesli a = −∞ lub b = +∞, to prawdziwa jest tylko implikacja w lew ↪a stron ↪e.

52

Page 53: Analiza matematyczna I

Definicja 4.66. Niech I ⊂ ℝ. Moimy, ze funkcje f : I → ℝ spelnia warunek Lipschitza zestal ↪a 0 < L < +∞, jesli

∀ x, y ∈ I ∣f(x)− f(y)∣ < L∣y − x∣.

Lemat 4.67. Jesli f spelnia warunek Lipschitza ze stal ↪a L na zbiorze I, to jest na nimjednostajnie ci ↪agla.

Dowod. Poniewaz f spelnia warunek Lipschitza ze stal ↪a L na zbiorze I, tzn.

∃ L > 0 ∀ x1, x2 ∈ I ∣f(x1)− f(x2)∣ ≤ L∣x1 − x2∣.

Zatem

∀ " > 0 ∃ � = �(") :="

L∀ x1, x2 ∈ I ∣x1−x2∣ < � =⇒ ∣f(x1)−f(x2)∣ ≤ L∣x1−x2∣ < L

"

L= ".

Przyklad 4.68. Niech f(x) = x+ sin(x), x ∈ ℝ. Pokazac, ze f spelnia warunek Lipschitza.

Przyklad 4.69. Pokazac, ze f : [0,+∞) → ℝ, f(x) =√x jest jednostajnie ci ↪agla i nie

spelnia warunku Lipschitza. Zatem nie zachodzi warunek odwrotny do lematu 4.67.

Definicja 4.70. Niech X ⊂ ℝ, x0 ∈ X, f : X → ℝ. Mowimy, ze f ma punkt nieci ↪aglosci Irodzaju w punkcie x0, jesli istniej ↪a skonczone granice jednostronne oraz limx→x+

0f(x) ∕= f(x0)

lub limx→x−0f(x) ∕= f(x0). Jesli limx→x+

0f(x) = limx→x−0

f(x), to mowimy, ze nieci ↪aglosc jestusuwalna. Jesli x0 ∈ X jest punktem nieci ↪aglosci funkcji i nie jest punktem nieci ↪aglosci Irodzaju, to mowimy, ze f ma nieci ↪aglosc II rodzaju w punkcie x0.

Przyklad 4.71. Funkcja

f(x) =

{x− 3 x > 0,−x x ≤ 0.

ma w x0 = 0 punkt nieci ↪aglosci I rodzaju.

Przyklad 4.72. Funkcja

g(x) =

{sinxx

x ∕= 0,0 x = 0.

ma w x0 = 0 nieci ↪aglosc usuwaln ↪a.

Przyklad 4.73. Natomiast

ℎ(x) =

{x sin(x) x ≥ 0,

sinxx

x < 0.ma w x0 = 0 nieci ↪aglosc II rodzaju.

Twierdzenie 4.74. Niech X ⊂ ℝ, f : X → ℝ. Jezeli f jest monotoniczna, to f ma punktynieci ↪aglosci I rodzaju i jest ich co najwyzej przeliczalnie wiele.

53

Page 54: Analiza matematyczna I

5 Rozniczkowalnosc funkcji

5.1 Definicja pochodnej funkcji w punkcie

Definicja 5.1. Niech I = (a, b) ⊂ ℝ, f : I → ℝ, x0, x ∈ I. Wyrazenie postaci

∙ Δx := x− x0 nazywamy przyrostem argumentu.

∙ Δf := f(x) − f(x0) = f(x0 + Δx) − f(x0) nazywamy przyrostem wartosci funkcjiodpowiadaj ↪acym przyrostowi argumentu Δx = x− x0.

∙ ΔfΔx

:= f(x)−f(x0)x−x0

= f(x0+Δx)−f(x0)Δx

nazywamy ilorazem roznicowym funkcji.

Definicja 5.2. Niech I = (a, b) ⊂ ℝ, f : I → ℝ, x0, x ∈ I. Jesli istnieje skonczona granica

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

,

to nazywamy j ↪a pochodn ↪a funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f ′(x0) lub dfdx

(x0)

Uwaga 5.3. Inny zapis f ′(x0) := limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)

Δxlub f ′(x0) := limℎ→0

f(x0+ℎ)−f(x0)ℎ

.Czyli pochodna funkcji w punkcie x0, to granica ilorazu roznicowego funkcji gdy Δx → 0(ℎ→ 0).

Przyklad 5.4. Niech f : ℝ→ ℝ, f(x) = x. Wtedy jej pochodna w dowolnym punkcie x0 ∈ ℝwynosi 1, czyli f ′(x0) = 1, poniewaz

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= limx→x0

x− x0

x− x0

= 1.

Przyklad 5.5. Niech f(x) = sin(x), x ∈ ℝ. Pokazemy, ze dla dowolnego x0 ∈ ℝ zachodzif ′(x0) = cos(x0).

54

Page 55: Analiza matematyczna I

f ′(x0) = limΔx→x0

sin(x0 + Δx)− sin(x0)

Δx=

limΔx→x0

2 sin(

[x0+Δx]−x0

2

)cos(

[x0+Δx]+x0

2

)Δx

=

limΔx→x0

[cos

(x0 +

Δx

2

)]⋅

sin(

Δx2

)Δx2

= cos(x0),

poniewaz limΔx→x0

sin(Δx2 )

Δx2

= 1 oraz z ciaglosci funkcji cos x w punkcie x0 wynika, ze

limΔx→0

[cos(x0 + Δx

2

)]= cos(x0).

Uwaga 5.6. Analogicznie mozna udowodnic, ze (cosx)′ = − sinx.

Przyklad 5.7. Funkcja f(x) = ∣x∣, x ∈ ℝ, nie ma pochodnej w x0 = 0.

limℎ→0+

f(x0 + ℎ)− f(x0)

ℎ= lim

ℎ→0+

∣ℎ∣ − 0

ℎ= lim

ℎ→0+

ℎ− 0

ℎ= 1

limℎ→0−

f(x0 + ℎ)− f(x0)

ℎ= lim

ℎ→0−

∣ℎ∣ − 0

ℎ= lim

ℎ→0+

−ℎ− 0

ℎ= −1

Zatem NIE istnieje limℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0)

ℎ, gdy x0 = 0.

Interpretacja geometryczna ilorazu roznicowego funkcji - jest to tangens k ↪ata nachyleniasiecznej przechodz ↪acej przez punkty : (x0, f(x0) i (x, f(x)) do osi Ox.

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji - jest to tangens k ↪ata nachylenia stycznejw punkcie (x0, f(x0) do wykresu funkcji f do osi Ox.

Rownanie stycznej ma wowczas postac y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0).

5.2 Definicja funkcji rozniczkowalnej w punkcie

Definicja 5.8. Niech I = (a, b) ⊂ ℝ, f : I → ℝ, x0 ∈ I. Mowimy, ze funkcja f jestrozniczkowalna w punkcie x0 ∈ I, jesli istnieje liczba a ∈ ℝ oraz funkcja r : K(x0, ") → ℝ,K(x0, ") = (x0 − ", x0 + ") ⊂ I, zwana reszt ↪a, takie ze dla

x ∈ K(x0, ") f(x)− f(x0) = a(x− x0) + r(x0, x)

55

Page 56: Analiza matematyczna I

oraz

limx→x0

∣r(x0, x)∣∣x− x0∣

= 0.

Twierdzenie 5.9. Niech f : K(x0, ") → ℝ. Funkcja f jest rozniczkowalna w x0 wtedy itylko wtedy, gdy istnieje pochodna f ′(x0). Wtedy f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + r(x0, x) dlax ∈ K(x0, ").

Uwaga 5.10. Niech f, g : K(x0, ") → ℝ oraz limx→x0 g(x) = 0. Jesli limx→x0

f(x)g(x)

= 0,

to mowimy, ze funkcja f jest rz ↪edu ’o’ male w stosunku do funkcji g (czyli musi d ↪azyc

duzo szybciej do zera niz funkcja g(x)). Zatem warunek limx→x0

∣r(x0,x)∣∣x−x0∣ = 0 w definicji

rozniczkowalnosci funkcji oznacza, ze funkcja r(x0, x) jest rz ↪edu ’o’ od x− x0, co zapisujemy

r(x0, x) = o(x− x0).

Definicja 5.11. Niech I = (a, b) ⊂ ℝ, f : I → ℝ, x0 ∈ I. Rozniczk ↪a zupeln ↪a funkcji wpunkcie x0 nazywamy cz ↪esc liniow ↪a przyrostu funkcji Δf = f(x) − f(x0). Zatem rozniczkazupelna rowna si ↪e f

′(x0)(x− x0) i oznaczamy j ↪a symbolem df . St ↪ad

df = f ′(x0)(x− x0).

Definicja 5.12. Niech I ⊂ ℝ, f : I → ℝ. Mowimy, ze f jest rozniczkowalna na zbiorze I,jesli jest rozniczkowalna w kazdym punkcie zbioru I. Ozn. f ∈ D1(I).

Twierdzenie 5.13. Niech I = (a, b) ⊂ ℝ, f : I → ℝ, x0,∈ I. Jezeli f jest rozniczkowalna wpunkcie x0, to f jest ci ↪agla w x0.

Zapis symboliczny Jesli f ∈ D1({x}) to f ∈ C({x}), czyli ci ↪aglosc funkcji w punkcie jestwarunkiem koniecznym rozniczkowalnosci funkcji w tym punkcie.Dowod. Udowodnimy, ze limx→x0 f(x) = f(x0).

limℎ→0

[f(x0+ℎ)−f(x0)] = limℎ→0

[f(x0 + ℎ)− f(x0)]

ℎ= lim

ℎ→0

[f(x0 + ℎ)− f(x0)]

ℎ⋅limℎ→0

ℎ = f ′(x0)⋅0 = 0.

Uwaga 5.14. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Np. f(x) = ∣x∣ dla x ∈ ℝ jest ci ↪aglaw x0 = 0 ale nie jest w tym punkcie rozniczkowalna.

Twierdzenie 5.15. (O dzialaniach na funkcjach rozniczkowalnych) Niech I = (a, b) ⊂ ℝ,x0 ∈ I, f, g : I → ℝ. Jesli f i g s ↪a rozniczkowalne w punkcie x0, to funkcje �f (� ∈ ℝ), f ±g,f ⋅ g oraz f

g(o ile g(x0) ∕= 0) s ↪a rozniczkowalne w punkcie x0 oraz

56

Page 57: Analiza matematyczna I

1. (�f)′(x0) = �f ′(x0),

2. (f ± g)′(x0) = f ′(x0)± g′(x0),

3. Wzor Leibniza (f ⋅ g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0),

4.(fg

)′(x0) = f ′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)

[g(x0)]2.

5.3 Pochodne funkcji elementarnych

Lemat 5.16. Niech f : (a, b) → ℝ, f(x) = const, to f ∈ D1(ℝ) oraz f ′(x) = 0 dla kazdegox ∈ ℝ.

Dowod.

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= limx→x0

c− cx− x0

= 0.

Lemat 5.17. Niech f : ℝ→ ℝ, f(x) = xn, n ∈ ℕ, to f ∈ D1(ℝ) oraz f ′(x) = nxn−1.

Dowod.

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= limx→x0

xn − xn0x− x0

=

limx→x0

(xn−1 + xn−2x0 + xn−3x20 + . . .+ xxn−2

0 + xn−10 ) = nxn−1

0

.

Korzystaj ↪ac z przykladu 5.4 i twierdzenia 5.15 otrzymany, ze

Lemat 5.18. Kazdy wielomian anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0, ai ∈ ℝ, i = 0, . . . , n jestfunkcj ↪a rozniczkowaln ↪a na ℝ oraz

f ′(x) = nanxn−1 + (n− 1)an−1x

n−2 + . . .+ a1.

Wzory na pochodne funkcji elementarnych.

1. (tgx)′ = 1cos2x

2. (ctgx)′ = − 1sin2x

3. (ex)′ = ex

4. (lnx)′ = 1x

5. (ax)′ = ax ln a

57

Page 58: Analiza matematyczna I

6. (sinℎx)′ = cosℎx

7. (cosℎx)′ = sinℎx

8. (tgℎx)′ = 1cosℎ2x

9. (ctgℎx)′ = − 1sinℎ2x

10. (arcsinx)′ = 1√1−x2

11. (arctgx)′ = 11+x2

12. (arcsinℎx)′ = 1√1+x2

13. (arctgℎx)′ = 11−x2

Lemat 5.19. Dla kazdego x ∈ ℝ istnieje pochodna funkcji f(x) = ex oraz (ex)′ = ex.

Dowod. Niech x0 ∈ ℝ. Mamy udowodnic, ze

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= ex0 .

Przypomnijmy definicj ↪e funkcji ex. Wiemy, ze dla kazdego x ∈ ℝ ex := limn→∞(1 + x

n

)n.

Najpierw udowodnimy, ze∀ x > 0 x ≤ ex − 1 ≤ xex (5.1)

Korzystaj ↪ac ze wzoru

an − 1 = (a− 1)(an−1 + an−1 + . . .+ a+ 1), (5.2)

mozemy napisac:

ex − 1 = limn→∞

[(1 +

x

n

)n− 1]

= limn→∞

x

n

[(1 +

x

n

)n−1

+(

1 +x

n

)n−2

+ . . .+(

1 +x

n

)+ 1

].

(5.3)

Poniewaz x > 0 i a := 1 + xn> 1, to korzystaj ↪ac z (5.2) zapiszemy (5.3) nast ↪epuj ↪aco:

ex − 1 ≤ limn→∞

x

n

[n(

1 +x

n

)n]= xex.

58

Page 59: Analiza matematyczna I

Ponadto z (5.3) wynika, ze

ex − 1 ≥ limn→∞

x

n⋅ n = x.

Zatem udowodnilismy (5.1). Teraz wykazemy, ze

limx→0−

ex − 1

x= 1 oraz lim

x→0+

ex − 1

x= 1. (5.4)

Dla x > 0 dzielimy (5.1) stronami przez x i otrzymamy

1 ≤ ex − 1

x≤ ex.

Z twierdzenia o trzech funkcjach wnioskujemy, ze

1 ≤ limx→0+

ex − 1

x≤ lim

x→0+ex.

Poniewaz ex jest f. ci ↪agla, to limx→0+ ex = 1. Zatem limx→0+

ex−1x

= 1. Dla x < 0 podstaw-iamy t = −x > 0. Wtedy

limx→0−

ex − 1

x= lim

t→0+

e−t − 1

−t= lim

t→0+

et − 1

tet= lim

t→0+

1

etet − 1

t.

Z ci ↪aglosci et dla t = 0 i z (5.4) wynika, ze limt→0+

1ete−t−1t

= 1. Mamy udowodnic, ze istniejegranica

limx→x0

ex − ex0

x− x0

= limex−x0 − 1

x− x0

ex0 .

Podstawiaj ↪ac z = x− x0 i korzystaj ↪ac z (5.4) dla z → 0, otrzymamy, ze

limx→x0

ex − ex0

x− x0

= limz→0

ex0ez − 1

z= ex0 .

Przyklad 5.20. Ile wynosi pochodna funkcji f(x) = ex cosx?

Poniewaz ex ∈ D1(ℝ) i cosx ∈ D1(ℝ), to z tw. 5.15 wynika, ze ich iloczyn jest takzefunkcj ↪a rozniczkowaln ↪a na ℝ. Pochodn ↪a iloczynu policzymy korzystaj ↪ac ze wzoru Lebnitzatzn.

(ex cosx)′ = (ex)′ cosx+ ex(cosx)′ = ex cosx+ ex(− sinx) = ex(cosx− sinx).

59

Page 60: Analiza matematyczna I

Przyklad 5.21. Ile wynosi pochodna funkcji f(x) = lnxx

, x ∈ ℝ+?

Poniewaz lnx ∈ D1(ℝ+) i x ∈ D1(ℝ), to z tw. 5.15 wynika, ze ich iloraz jest takze funkcj ↪arozniczkowaln ↪a na ℝ+. Aby policzyc pochodn ↪a skorzystamy ze wzoru na pochodn ↪a ilorazutzn. (

lnx

x

)′=

(lnx)′x− (x)′ lnx

x2=

( 1x) ⋅ x− lnx

x2=

1− lnx

x2.

Twierdzenie 5.22. (O rozniczkowalnosci superpozycji) Niech (a, b), (c, d) ⊂ ℝ, f : (a, b) →(c, d), g : (c, d)→ ℝ. Jesli f jest rozniczkowalna w punkcie x0 ∈ (a, b) i g jest rozniczkowalnaw y0 = f(x0) ∈ (c, d), to g ∘ f jest rozniczkowalna w x0 oraz

(g ∘ f)′(x0) = g′(f(x0)) ⋅ f ′(x0).

Przyklad 5.23. Niech ℎ(x) = sin(x3), x ∈ ℝ. Poniewaz f(x) = x3 ∈ D1(ℝ) i g(y) = sin y ∈D1(ℝ), to z tw. 5.22 funkcja ℎ(x) = g(f(x)) ∈ D1(ℝ). Zatem (g ∘ f)′(x) = g′(f(x)) ⋅ f ′(x) =cos(x3)3x2.

Zastosowania: Niech f ∈ D1({x}). Wtedy

1. (ln f(x))′ = f ′(x)f(x)

o ile f(x) > 0

2. (ef(x))′ = ef(x) ⋅ f ′(x)

3. (x�)′ = �x�−1 o ile x ∈ ℝ+, � ∈ ℝ ∖ {1}, gdzie x� := e� lnx.

4. (f�(x))′ = �f�−1(x) ⋅ f ′(x) gdzie � ∈ ℝ.

Twierdzenie 5.24. (O pochodnej funkcji odwrotnej) Niech (a, b), (c, d) ⊂ ℝ, f : (a, b) →(c, d) jest funkcj ↪a rozniczkowaln ↪a na (a, b) oraz roznowartosciow ↪a. Jesli f ′(x0) ∕= 0, to funkcjaodwrotna f−1 jest rozniczkowalna w punkcie y0 = f(x0) oraz

(f−1)′(y0) =1

f ′(f−1(y0))=

1

f ′(x0).

Dowod. Poniewaz f jest funkcj ↪a rozniczkowaln ↪a na (a, b), to z twierdzenia 5.13 wynika, ze fjest takze funkcj ↪a ci ↪agl ↪a na (a, b). Ponadto f jest roznowartosciowa. St ↪ad istnieje f−1, ktorajest funkcj ↪a ci ↪agl ↪a. Niech {yn}n∈ℕ b ↪edie ci ↪agiem w (c, d) ∖ {y0} takim, ze yn → y0. Wowczasz ci ↪aglosci f−1 mamy f−1(yn) → f−1(y0) oraz f−1(yn) ∕= f−1(y0). Zatem jesli xn = f−1(yn),to xn → x0. Ponadto

f−1(yn)− f−1(y0)

yn − y0

=xn − x0

f(xn)− f(x0)→ 1

f ′(x0)=

1

f ′(f−1(y0)).

60

Page 61: Analiza matematyczna I

Zadanie 5.25. Korzystaj ↪ac z tego twierdzenia wykazac:

∙ (lnx)′ = 1x

∙ (arcsinx)′ = 1√1−x2

∙ (logax)′ = 1x ln a

.

Odp. Niech y = f(x) = ex to x = f−1(y) = ln(y). Wiemy juz, ze ex jest funkcj ↪aroniczkowaln ↪a dla kazdego x ∈ ℝ oraz f ′(x) = ex ∕= 0. Korzystaj ↪ac z powyzszego twierdzenia

(ln y0)′ =1

f ′(f−1(y0))=

1

(eln y0)′=

1

eln y0=

1

y0

.

Odp. Funkcja f(x) = sin(x) : (−�2,−�

2)→ (−1, 1) jest odwracalna oraz f ′(x) = (sin x)′ =

cosx > 0 dla x ∈ (−�2,−�

2). Zatem funkcja odwrotna oznaczana przez arcsinx : (−1, 1) →

(−�2,−�

2) jest funkcj ↪a rozniczkowaln ↪a oraz

(arcsinx)′ =1

sin′(arcsinx)=

1

cos(arcsinx)=

1√cos2(arcsinx)

=1√

1− sin2(arcsinx)=

1√1− x2

.

Komentarz do wzorow na pochodne funkcji elementarnych.Pochodne funkcji tg(x) i ctg(x) wynikaj ↪a z zastosowania wzorow na pochodn ↪a ilorazu funkcji.Wzor na pochodn ↪a funkcji ex wyprowadzilismy korzystaj ↪ac z defincji pochodnej. Z koleipochodn ↪a lnx obliczylismy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej. Natomiast dopoliczenia pochodnej funkcji ax = ex ln a mozemy skorzystac z twierdzenia o pochodnej su-perpozycji (ex ln a)′ = ex ln a(x ln a)′ = ex ln a(ln a) = ax ln a. Aby policzyc pohodne funkcjihiperbolicznych sinh, coshx nalezy skorzystac z faktu, ze (e−x) = e−x(−x)′ = −ex orazz twierdzenia 5.15. Do policzenia pochodnych funkcji tℎgℎx i ctgℎx nalezy skorzystamyze wzoru na pochodn ↪a ilorazu funkcji. Pochodne funkcji odwrotnych do funkcji tygonome-trycznych lub hiperbiloicznych liczymy z twierdzenia o pochodnej funkcji odrwotnej. Nast ↪epnief ′(x) = (x�)′ = (e� lnx)′ = e� lnx(� lnx)′ = x� ⋅ �

x= �x�−1.

5.4 Wlasnosci funkcji rozniczkowalnych

Definicja 5.26. Niech I = (a, b) ⊂ ℝ, f : ℝ → ℝ. Mowimy, ze w punkcie x0 ∈ I funkcja fma

∙ minimum lokalne, jesli istnieje otoczenie (x0 − ", x0 + ") ⊂ I punktu x0 takie, ze dlakazdego x ∈ (x0 − ", x0 + ") zachodzi nierownosc f(x0) ≤ f(x);

61

Page 62: Analiza matematyczna I

∙ maksimum lokalne, jesli istnieje otoczenie (x0 − ", x0 + ") ⊂ I punktu x0 takie, ze dlakazdego x ∈ (x0 − ", x0 + ") zachodzi nierownosc f(x) ≤ f(x0);

Minima i maksima lokalne funkcji b ↪edziemy nazywac eksstremami lokalnymi funkcji.

Twierdzenie 5.27. (Twierdzenie Fermata- warunek konieczny ekstremum) Niech x0 ∈I = (a, b) ⊂ ℝ, f ∈ C(I) i f ∈ D1({x0}). Jezeli f ma x0 ∈ I ekstremum lokalne, to f ′(x0) = 0.

Dowod. Dla ustalenia uwagi zalozmy, ze f osi ↪aga maksimum lokalne w x0. Wtedy istnieje" > 0 taki, ze f(x)− f(x0) < 0 dla x ∈ (x0 − ", x0 + ") ⊂ I. Poniewaz f jest rozniczkowalnaw x0, zatem

limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0

≤ 0 oraz limx→x−0

f(x)− f(x0)

x− x0

≥ 0.

St ↪ad

0 ≤ limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0

≤ 0,

wi ↪ec f ′(x0) = 0.

Twierdzenie 5.28. (Twierdzenie Rolle’a) Niech I = [a, b] ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞). Jezelif ∈ C([a, b]) i f ∈ D1((a, b)) oraz f(a) = f(b), to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, ze f ′(c) = 0.

Dowod Jesli f jest funkcj ↪a stal ↪a, to pochodna w kazdym punkcie jest rowna zero. Jesli f niejest funkcj ↪a stal ↪a, to z Twierdzenia Weierstrassa II wynika, ze funkcja w tym przedziale osi ↪agakresy czyli s ↪a to ekstrema lokalne funkcji. Zatem z Twierdzenia 5.27 wynika, ze pochodna wtakim punkcie musi byc rowna zero.

Intepretacja geometryczna tw. Rolle’a. Styczna do wykresu funkcji w punkcie c jestrownolegla do osi Ox.

Twierdzenie 5.29. (Twierdzenie Lagrange’a)(tw. o wartosci sredniej) Niech I = [a, b] ⊂ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞). Jezeli f ∈ C([a, b]) i f ∈ D1((a, b)). Wowczas istnieje c ∈ (a, b) taki,ze

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Intepretacja geometryczna tw. Lagrange’a. Styczna do wykresu funkcji w punkcie c jestrownolegla do siecznej przechodz ↪acej przez punkty (a, f(a)) i (b, f(b)).

62

Page 63: Analiza matematyczna I

Twierdzenie 5.30. (Twierdzenie Cauchy’ego)(ugolnione tw. o wartosci sredniej) NiechI = [a, b] ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞). Niech f, g ∈ C([a, b]) i f, g ∈ D1((a, b)). Wowczas istniejec ∈ (a, b) taki, ze

f ′(c)

g′(c)=f(b)− f(a)

g(b)− g(a).

Twierdzenie 5.31. Niech I = [a, b] ⊂ ℝ (a ∕= −∞, b ∕= +∞). Niech f ∈ C([a, b]) if ∈ D1((a, b)).

1. Jesli f ′(x) = 0 dla kazdego x ∈ (a, b), to f jest funkcj ↪a stala.

2. Jesli f ′(x) > 0 (f ′(x) ≥ 0) dla kazdego x ∈ (a, b), to f jest funkcj ↪a rosn ↪ac ↪a (niemalej ↪ac ↪a).

3. Jesli f ′(x) < 0 (f ′(x) ≤ 0) dla kazdego x ∈ (a, b), to f jest funkcj ↪a malej ↪ac ↪a (nierosn ↪ac ↪a).

5.5 Pochodne wyzszych rz ↪edow

Definicja 5.32. Niech I = (a, b) ⊂, f ∈ D1(I). Niech x0 ∈ I. Jezeli istnieje skonczonagranica

limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

x− x0

,

to nazywamy j ↪a drug ↪a pochodn ↪a funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f ′′(x0). Ozn.f ∈ D2({x0}).

Ogolnie n-ta pochodna f (n)(x0) (jesli istnieje) jest pochodn ↪a pochodnej f (n−1) czyli

f (n)(x0) = limx→x0

f (n−1)(x)− f (n−1)(x0)

x− x0

.

Ozn f ∈ Dn({x0}). Jezeli dla kazdego x ∈ I zachodzi, ze f ∈ DN({x0}, to mowimy, ze f jestn-krotnie rozniczkowalna na przedziale I i ozn. f ∈ Dn(I).

Definicja 5.33. Jezeli f ∈ D1({x0}) i f ′ jest funkcj ↪a ci ↪agla w punkcie x0, to mowimy, zef jest funkcj ↪a klasy C1 w punkcie x0. Ozn. f ∈ C1({x0}). Jezeli f ′ jest funkcj ↪a ci ↪agla dlakazdego x ∈ (a, b) to mowimy, ze f jest funkcj ↪a klasy C1 na (a, b) i piszemy f ∈ C1(a, b).Analogicznie jesli f ∈ Dn({x0}) i f (n) jest funkcj ↪a ci ↪agla w punkcie x0, to mowimy, ze f jestfunkcj ↪a klasy Cn w punkcie x0. Ozn. f ∈ Cn({x0}). Jezeli f (n) jest funkcj ↪a ci ↪agla dla kazdegox ∈ (a, b), to mowimy, ze f jest funkcj ↪a klasy Cn na (a, b) i piszemy i piszemy f ∈ Cn(a, b).

63

Page 64: Analiza matematyczna I

Definicja 5.34. Jezeli dla kazdego n ∈ ℕ zachodzi, ze f ∈ Dn(a, b), to mowimy, ze f jestNIESKONCZENIE wiele razy rozniczkowalna na (a, b) i ozn. f ∈ D∞(a, b). Analogicznie,Jezeli dla kazdego n ∈ ℕ zachodzi, ze f ∈ Cn(a, b), to mowimy, ze f jest klasy C∞ naprzedziale (a, b) i ozn. f ∈ C∞(a, b).

Uwaga 5.35. Jesli f ∈ Cn(a, b), to f ∈ Dn(a, b).

Przyklad 5.36. Policzyc pochodne funkcji f(x) = xn

f ′(x) = nxn−1,

f ′′(x) = n(xn−1)′ = n(n− 1)xn−2,

f ′′′(x) = n(n− 1)(n− 2)xn−3,

...

f (k)(x) = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− (k − 1))xn−k

= n(n− 1)(n− 2) . . . (n− k + 1)xn−k dla k < n,

...

f (n)(x) = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− (n− 1)) = n!

f (l)(x) = 0 dla l > n.

Wniosek 5.37. Wielomian f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0 jest funkcj ↪a klasy C∞

na ℝ.

Uwaga 5.38. Funkcja f(x) = ex ∈ C∞ na ℝ, poniewaz dla kazdego n ∈ ℕ zachodzi, zef (n)(x) = f(x) = ex ∈ C(ℝ).

Zadanie 5.39. Wyprowadzic wzor na n-t ↪a pochodn ↪a funkcji f(x) = sinx, x ∈ ℝ.

Wiemy, ze f ′(x) = cosx,f ′′(x) = − sin(x), f ′′′(x) = − cosx, f (4) = sin(x) = f(x). Widac,ze f (5)(x) = f ′(x), f (6)(x) = f ′′(x), f (7)(x) = f ′′′(x), f (8)(x) = f (4)(x) = f(x). Wyprowadz-imy wzor rekurencyjny na n-t ↪a pochodn ↪a.

f (n)(x) = sin(x+

n�

2

)dla n ≥ 1, x ∈ ℝ

Dla n = 1 mamy, ze f ′(x) = (sinx)′ = cosx = sin(x+ �

2

)dla x ∈ ℝ. Zalozmy, ze wzor jest

prawdziwy dla k = n− 1 tzn. f (n−1)(x) = sin(x+ (n−1)�

2

). Wtedy

f (n)(x) = sin

(x+

(n− 1)�

2

)= cos

(x+

(n− 1)�

2

)= sin

(x+

(n− 1)�

2+�

2

)= sin

(x+

n�

2

).

64

Page 65: Analiza matematyczna I

Z Twierdzenia o indukcji matematycznej wynika, ze wzor jest prawdziwy dla kazdego n ∈ ℕ.Faktycznie pokazalismy, ze f(x) = sin(x) ∈ C∞(ℝ).

65