1

Wykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne

Fizyka komputerowa 2005

Katarzyna Weron,

kweron@ift.uni.wroc.pl

(c) 2003 K&R Weron 2

Co to jest fraktal?

Złożona budowa – dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak całość. Samopodobieństwo - dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio powiększony, przypomina do złudzenia cały zbiór lub jego znaczną część. Wymiar fraktalny jest liczbą niecałkowitą.

(c) 2003 K&R Weron 3

Klasyfikacja fraktali

Fraktale deterministycznegeometryczne – złożone z pomniejszonych kopii całości np. Zbiór Cantora, krzywa Kochaalgebraiczne - iteracja funkcji nieliniowych: zbiór Mandelbrota, zbiory Julii, drzewo Feigenbauma itd..

Fraktale stochastyczneTrajektoria błądzenia losowegoDLAklaster perkolujący

(c) 2003 K&R Weron 4

Dywan Sierpińskiego

Każdy kwadrat dzielimy na dziewięć równych części i usuwamy środkową

krok 1 krok 2 krok 5

(c) 2003 K&R Weron 5

Jakie jest pole powierzchni dywanu Sierpińskiego?

Bok kwadratu równy 1W pierwszym kroku usuwamy kwadrat o boku 1/3, tzn. o polu 1/9.W drugim kroku usuwamy 8 kwadratów o długości boku (1/3)^2. Pole powierzchni każdego z nich jest równe (1/3)^4. Suma pól powierzchni kwadratów usuniętych w drugim kroku wynosi 8* (1/3)^4.

(c) 2003 K&R Weron 6

Jakie jest pole powierzchni dywanu Sierpińskiego?

W k-tym kroku usuwamy 8^(k-1) kwadratów o długości boku (1/3)^k. Po k krokach suma usuniętych pól:Pole powierzchni dywanu = 1-1=0

k

k

k

k

k

−=

−

=

++

+

++=

++++

−

−

981

91

981

91

98

98

98

981

91

98

98

98

91

132

1

3

2

2

L

L

2

(c) 2003 K&R Weron 7

Trójkąt Sierpińskiego

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami i usuwamy środkowy trójkąt.

(c) 2003 K&R Weron 8

Piramida Sierpińskiego

Łączymy odcinkami środki krawędzi czworościanu i usuwamy bryłę, której krawędziami są te odcinki.

(c) 2003 K&R Weron 9

Płatek śniegu, Koch 1904Każdy bok trójkąta dzielimy na trzy równe części i doklejamy do części środkowej, tak jak na rysunku, trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym.

(c) 2003 K&R Weron 10

N ε1 1

2 1/3

4 1/9

8 1/27

13log/2log

3log/2loglim

<=

=

c

nnc

d

d∞→n

Zbiór Cantora

(c) 2003 K&R Weron 11

Wymiar fraktalny samopodobieństwa

Dla dowolnego obiektu samopodobnegoistnieje związek między współczynnikiem redukcji s (skalą), a liczbą części n na które obiekt może być podzielony:

Dsn −=

(c) 2003 K&R Weron 12

Wymiary samopodobieństwa:

log3/log23^k(1/2)^kTrójkąt Sierpińskiego

log2/log32^k(1/3)^kZbiór Cantora

log4/log34^k(1/3)^kKrzywa Kocha

wymiarliczba elementów

skalaobiekt

3

(c) 2003 K&R Weron 13

Co to jest wymiar?

1=4^01

4=4^11/2

16=4^21/4

64=4^41/8

liczba nskala s

224214 =⇒=⇒

=⇒=

−− Dsn D

kDkD

(c) 2003 K&R Weron 14

'log'log',log'

logloglog

bxayxxyyxbay

xay b

+===+=

⋅=

nachylenie prostej

Skala podwójnie logarytmiczna (log-log scale)

(c) 2003 K&R Weron 15

Jak zmierzyć linię brzegową?

(c) 2003 K&R Weron 16

6301265

6403220

6501350

długośćNL

Wybrzeże – linia prosta

(c) 2003 K&R Weron 17

Wybrzeże Irlandii

(c) 2003 K&R Weron 18

Długość wybrzeża Irlandii

17453495

13206620

11002250

długośćNL

4

(c) 2003 K&R Weron 19

-1.23

Irlandia w log-log

(c) 2003 K&R Weron 20

Zlepek DLA też jest fraktalem

Można go skonstruować przez prosty processtochastyczny (poprzedni wykład)

(c) 2003 K&R Weron 21

Jaki jest wymiar (fraktalny) DLA ?

Boxcounting:

Bok: L=1/8

Liczba pudełek o boku L potrzebnych do pokrycia DLA

N(L)=?

(c) 2003 K&R Weron 22

Wymiar pudełkowy (metoda boxcounting)

Boxcounting:

Bok: L=1/8

Liczba pudełek o boku L potrzebnych do pokrycia DLA

N(L)= 46

(c) 2003 K&R Weron 23

Narysuj to w log-log’u

log(L)

log(

N)

Wymiar pudełkowy d = - nachylenie prostej

d=1.7

Fraktal !

(c) 2003 K&R Weron 24

Zbiory Julii

Dla każdego punktu z0 (zespolone) tworzymy ciąg z1, z2, z3, ... iterując funkcję kwadratową

Jeżeli ciąg nie ucieka do nieskończoności to punkt z0 należy do zbioru więźniów W;Jeżeli ciąg ucieka do nieskończoności to z0 należy do zbioru uciekinierów U;Granica między zbiorami W i U to zbiór Julii

czz +→ 2

5

(c) 2003 K&R Weron 25

Powtórka z liczb zespolonych

x

y

u

v

φr

)exp( ϕiriyxz =+=

(c) 2003 K&R Weron 26

z3

x

y

r1

r2

ψφ

α=φ+ψ

z1

z2

Co to znaczy pomnożyć dwie liczby zespolone?

( )ψϕ

ψϕ

+==

==

ierrzzzirzirz

21213

22

11

)exp()exp(

(c) 2003 K&R Weron 27

160431439,9

32013200,0008z32

80656,916011600,0281z16

4025,63801800,1678z8

2005,06401400,4096z4

1002,25201200,64z2

501,5101100,8z0

argument φ

(stopnie)

Moduł z

argument φ

(stopnie)

Moduł z

argument φ

(stopnie)

Moduł z

Dynamika przekształcenia z→ z^2

x

y

Uc

Wc

zn+1=zn2 +c

Zbiór Julii dla c=0(okrąg)

(c) 2003 K&R Weron 29

Przykład: c= –0,5 +0,5i

Brzeg jest zarazem zbioremJulii i fraktalem.

(c) 2003 K&R Weron 30

Co to znaczy nieskończoność?

Punkt ucieknie do nieskończoności jeżeli kolejna iteracja przekroczy r(c)=max(|c|,2).Pierwsze przybliżenie zbioru uciekinierów U to dysk o promieniu r(c).Kolejne przybliżenie dadzą punkty, które po pierwszej iteracji uciekną poza obszar o promieniu r(c).Itd.

6

(c) 2003 K&R Weron 31

Jak ważny jest czas?Załóżmy, że z0, ..., z100 leżą w odległości mniejszej niż 2 od punktu początkowego. Czy ciąg nigdy nie ucieknie do nieskończoności?Niestety nie wiemy!Musimy wybrać maksymalną liczbę iteracji N. Decyzja: większa dokładność i dłższyczas.

(c) 2003 K&R Weron 32

Jak ważny jest czas - przykład

N = 10; N = 50.

(c) 2003 K&R Weron 33

Przykłady zbiorów Julii

c = -0.5 c = -0.5 + 0.3i c = -1 + 0.16ic = -0.12 + 0.765i c = i c = -0.3 + 0.71ic = -0.775 + 0.177i c = 0.44 + 0.29i c = -0.513 - 0.579i

(c) 2003 K&R Weron 34

Zbiór Mandelbrota

Zbiór tych c, dla których zbiory Julii są spójne.Dla każdego c, zaczynamy z z0 = 0 i generujemy ciąg z1, z2, z3, ... iterując zn -> zn

2 + c = zn+1

Jeżeli ciąg nie ucieka do nieskończonosci, wtedy c należy do zbioru Mandelbrota M.Uwagi dotyczące kryterium ucieczki do nieskończonośi są takie same jak przy zbiorach Julii.

(c) 2003 K&R Weron 35

Zajrzyj w głąb zbioru Mandelbrota

(c) 2003 K&R Weron 36

Analogi zbioru Mandelbrotadla wyższych potęg

3 4 5

6 72010