Fraktale zrób to sam

Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Fraktale – zrób to sam

Jędrzej Garnek

Po indeks z Pitagorasem,

Poznań, 13 czerwca 2017 r.

http://jgarnek.faculty.wmi.amu.edu.pl/fraktale.pdf

Definicja (nieformalna)

Fraktal –

zbiór, który jest samopodobny (można go

podzielić na mniejsze kawałki, podobne do całości)

oraz ma skomplikowaną strukturę.

Fraktal – zbiór, który jest samopodobny (można go

Przykłady

Trójkąt Sierpińskiego

Przykłady

Dywan Sierpińskiego

Przykłady

Śnieżynka Kocha

Przykłady

Paproć Barnsley’a

Przykłady

Zbiór Mandelbrota

Przykłady

Zbiór Julii

Wacław Sierpiński

Wacław Sierpiński (1882 - 1969)

warszawska szkoła matematyczna,

teoria liczb, analiza matematyczna, teoria miary,

„badacz nieskończoności”.

Wacław Sierpiński

Trójkąt Sierpińskiego i jego własności

T =∞⋂n=1

ma tyle elementów, co R, ale pole = 0,

jest złożony z trzech swoich kopii, jednokładnych do niego

w skali 1/2.

T =∞⋂n=1

w skali 1/2.

T =∞⋂n=1

w skali 1/2.

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f1(x , y) = (x/2, y/2) –

jednokładność o środku w A i skali 12 ,

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f2(x , y) = ((x + 1)/2, y/2) –

jednokładność o środku w B i skali 12 ,

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f3(x , y) = (2x+14 ,

2y+√3

4 ) –

jednokładność o środku w C i skali 12 ,

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ f3(A) dla A ⊂ R2

f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T ) = F (T )

T = f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T ) = F (T )

SPOSTRZEŻENIE:za każdym razem „graniczny” rysunek jest fraktalem!

PYTANIA:(1) dla jakich zbiorów można powtórzyć „sztuczkę”?

(2) dla jakich fraktali można powtórzyć „sztuczkę”?

(3) jak formalnie zrozumieć „sztuczkę”?

PYTANIA:

(1) dla jakich zbiorów można powtórzyć „sztuczkę”?

Definicja

Metryka – funkcja d : X × X → R+ ∪ {0} spełniająca:

(rozróżnianie) d(x , y) = 0 ⇔x = y

Różne elementy są w dodatniej odległości!

(symetria) d(x , y) = d(y , x)

Odległość z A do B = Odległość z B do A

(nierówność trójkąta) d(x , y) ¬ d(x , z) + d(z , y)

„Bezpośrednia” droga jest najkrótsza...

Definicja

Przykłady metryk na R2:

metryka Euklidesowa:

d((x , y), (a, b)

)=√(x − a)2 + (y − b)2

metryka taksówkowa: d((x , y), (a, b)

)= |x − a|+ |y − b|

metryka maksimum: d((x , y), (a, b)

)= max{|x − a|, |y − b|}

d((x , y), (a, b)

)=√(x − a)2 + (y − b)2

)= |x − a|+ |y − b|

)= max{|x − a|, |y − b|}

d((x , y), (a, b)

)=√(x − a)2 + (y − b)2

)= |x − a|+ |y − b|

)= max{|x − a|, |y − b|}

d((x , y), (a, b)

)=√(x − a)2 + (y − b)2

)= |x − a|+ |y − b|

)= max{|x − a|, |y − b|}

Przykład metryki na dowolnym zbiorze:

Metryka dyskretna:

d(x , y) =

0, dla x = y

1, dla x 6= y

Definicja

Kula o środku w P i promieniu r ∈ R+:

B(P , r) := {Q ∈ X : d(P ,Q) ¬ r}

Przykład:

Definicja

B(P , r) := {Q ∈ X : d(P ,Q) ¬ r}

Przykład:kula jednostkowa B

((0, 0), 1

)w metryce Euklidesowej:

Definicja

B(P , r) := {Q ∈ X : d(P ,Q) ¬ r}

((0, 0), 1

)w metryce taksówkowej:

Definicja

B(P , r) := {Q ∈ X : d(P ,Q) ¬ r}

((0, 0), 1

)w metryce taksówkowej:

Definicja

B(P , r) := {Q ∈ X : d(P ,Q) ¬ r}

((0, 0), 1

)w metryce maksimum:

Definicja

Element g nazywamy granicą ciągu (xn) przestrzeni

metrycznej (X , d), jeżeli każda kula o środku w g zawiera

prawie wszystkie elementy tego ciągu.

Definicja

Nasza przestrzeń metryczna:

{A ⊂ R2 : A – niepusty, domknięty i ograniczony

„Złe” zbiory:

„Dobre” zbiory:

„Złe” zbiory:

„Dobre” zbiory:

„Złe” zbiory:

„Dobre” zbiory:

„Złe” zbiory:

„Dobre” zbiory:

„Złe” zbiory:

„Dobre” zbiory:

„Złe” zbiory:

„Dobre” zbiory:

„Złe” zbiory:

„Dobre” zbiory:

„Złe” zbiory:

„Dobre” zbiory:

„Złe” zbiory:

„Dobre” zbiory:

Definicja

ε – otoczenie zbioru A ⊂ R2:Aε := {P ∈ R2 : ∃Q∈A d(P ,Q) ¬ ε}

Definicja

„Odległość” między zbiorami – metryka Hausdorffa:

dH(A,B) = min{ε > 0 : A ⊂ Bε oraz B ⊂ Aε}

Definicja

„Odległość” między zbiorami – metryka Hausdorffa:

dH(A,B) = min{ε > 0 : A ⊂ Bε oraz B ⊂ Aε}

Stefan Banach (1892 - 1945)

nieślubny syn praczki,

„największe odkrycie” Hugona Steinhausa,

dzieło Banacha „Theorie des operations lineaires”

zapoczątkowało rozwój analizy funkcjonalnej,

doktor bez studiów,

spotkania w kawiarni Szkockiej i „Księga Szkocka”,

„Po ostatnim mazurze docent spieszył na pierwszy wykład...”

w czasie wojny – karmiciel wszy,

zmarł na raka płuc tuż po wojnie.

Definicja

Funkcję f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli: